专题14 【中考压轴题专项训练】含参二次函数的解题技巧-2026年中考二轮复习核心考点专题提优拓展训练

专题14 【中考压轴题专项训练】含参二次函数的解题技巧 类型一 抛物线与x轴相交 1．（2025秋•鼓楼区期中）若二次函数y＝（x﹣1）2﹣m的图象与x轴有两个公共点，则m的值可以是（　　） A．﹣2 B． C．0 D．2 【分析】可知二次函数y＝（x﹣1）2﹣m的图象的开口向上，顶点坐标为（1，﹣m），进而可知二次函数y＝（x﹣1）2﹣m的图象的顶点在x轴的下方，则﹣m＜0，可得m＞0，即可得出答案． 【解答】解：二次函数y＝（x﹣1）2﹣m的图象的开口向上，顶点坐标为（1，﹣m）， ∵二次函数y＝（x﹣1）2﹣m的图象与x轴有两个公共点， ∴二次函数y＝（x﹣1）2﹣m的图象的顶点在x轴的下方， ∴﹣m＜0， 即m＞0， ∴m的值可以是2． 故选：D． 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 2．（2026•西安模拟）已知关于x的二次函数y＝ax2+2ax+3a2+3，当x≥2时，y随x的增大而增大，且﹣2≤x≤1时，y的最大值为9，则a的值为（　　） A． B．1 C．1或﹣2 D．或 【分析】先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性得出抛物线开口向上a＞0，然后由﹣2≤x≤1时，y的最大值为9，可得x＝1时，y＝9，即可求出a． 【解答】解：∵二次函数y＝ax2+2ax+3a2+3（其中x是自变量）， ∴对称轴是直线x1， ∵当x≥2时，y随x的增大而增大， ∴a＞0， ∵﹣2≤x≤1时，y的最大值为9， ∴x＝1时，y＝a+2a+3a2+3＝9， ∴3a2+3a﹣6＝0， ∴a＝1，或a＝﹣2（不合题意舍去）． 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 3．（2026•海安市一模）已知抛物线y＝ax2﹣3a2x+c（a＞0），A（x1，y1）和B（4a，y2）是抛物线上的两点，对于3≤x1≤4都有y1＜y2，则a的取值范围是（　　） A．a＜﹣3 B． C．0＜a＜1 D．a＞1 【分析】通过作差法分解因式，判断因式符号后，根据恒成立条件即可求出a的取值范围． 【解答】解：∵A（x1，y1）和B（4a，y2）是抛物线y＝ax2﹣3a2x+c（a＞0）上的两点， ∴y13a2x1+c，y2＝a（4a）2﹣3a2•4a+c＝4a3+c， ∴y1﹣y23a2x1+c﹣（4a3+c）＝a（x1﹣4a）（x1+a）， ∵对于3≤x1≤4都有y1＜y2， 即y1﹣y2＜0， ∵a＞0，3≤x1， ∴x1+a＞0， ∴要满足y1﹣y2＜0，则需（x1﹣4a）＜0对所有3≤x1≤4恒成立， ∴4﹣4a＜0， 解得a＞1， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，一元二次方程根与系数的关系，分类讨论的思想方法，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 4．（2026•东城区一模）把二次函数y＝x2+4x+m的图象向上平移1个单位长度．如果平移后所得抛物线与x轴有且只有一个公共点，那么m的值为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【分析】根据平移规则得到平移后抛物线的解析式，利用抛物线与x轴只有一个公共点时对应一元二次方程的判别式Δ＝0，即可求解m的值． 【解答】解：根据二次函数图象平移规则，向上平移1个单位长度后， 所得抛物线的解析式为：y＝x2+4x+m+1， ∵平移后抛物线与x轴有且只有一个公共点， ∴一元二次方程x2+4x+m+1＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＝42﹣4×1×（m+1）＝0， 化简得12﹣4m＝0， 解得m＝3， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，掌握其相关知识点是解题的关键． 5．（2025•泰和县模拟）已知二次函数y＝x2+bx+c图象与x轴只有一个交点，且图象过（2，n）和（2m，n）两点，设p＝m+n，则（　　） A．p的最小值为 B．p的最小值为1 C．p的最大值为 D．p的最大值为1 【分析】由抛物线与x轴只有一个交点可得c，由抛物线的对称性可得对称轴为直线1+m，可用含m的代数式表示b，进而得出函数为y＝x2﹣2（m+1）x+（m+1）2，代入（2，n）得含m的代数式表示n，进一步得出p＝m+n＝m2﹣m+1＝（m）2，利用二次函数的性质即可求得p有最小值． 【解答】解：∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴只有一个交点， ∴b2﹣4c＝0， ∴c， ∴y＝x2+bx， ∵抛物线经过（2，n）和（2m，n）两点， ∴抛物线对称轴为直线1+m， ∴1+m， ∴b＝﹣2﹣2m， ∴y＝x2﹣2（m+1）x+（m+1）2， 代入（2，n）得，n＝4﹣4（m+1）+（m+1）2＝（m﹣1）2， ∴p＝m+n＝m2﹣m+1＝（m）2， ∴当m时，p有最小值． 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系． 6．（2026春•通州区校级月考）在平面直角坐标系中给出四个点：A（﹣1，1），B（0，2），C（1，3），D（3，2），经过四个点中的三个点画二次函数的图象，对于画出的所有二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，甲认为它们一定经过点C，乙认为b2﹣4ac＞0恒成立．两人的说法（　　） A．两人都对 B．甲对，乙错 C．甲错，乙对 D．两人都错 【分析】先判断能构成二次函数的三点组合，再分别判断甲、乙说法的正误即可． 【解答】解：∵A（﹣1，1），B（0，2），C（1，3）三点都在直线y＝x+2上，三点共线，无法确定二次函数， ∴能确定二次函数的三点组合为：ABD，ACD，BCD， 其中组合ABD不含点C，代入三点坐标求得解析式为，当x＝1时，，说明该二次函数不经过点C，因此甲的说法错误； 分别计算三个组合对应二次函数的判别式Δ＝b2﹣4ac： 对ABD组合：； 对ACD组合：求得解析式为，； 对BCD组合：求得解析式为，； ∴所有二次函数都满足b2﹣4ac＞0，乙的说法正确； 综上，甲错，乙对， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，掌握其相关知识点是解题的关键． 7．（2026春•海门区校级月考）已知二次函数y＝mx2﹣4mx+5（m≠0），将此函数图象向下平移4|m|个单位，若所得图象的顶点落在x轴上，则m的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】求出顶点坐标，根据题意可得5﹣4m﹣4|m|＝0，再分类讨论求解即可． 【解答】解：∵y＝mx2﹣4mx+5＝m（x﹣2）2+5﹣4m， ∴顶点为（2，5﹣4m）， ∵此函数图象向下平移4|m|个单位，若所得图象的顶点落在x轴上， ∴5﹣4m﹣4|m|＝0， ①当m＞0时，则5﹣8m＝0， 解得m； ②当m＜0时，则5﹣4m+4m＝0， 无解； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系、二次函数最值，熟练掌握相关知识是解题的关键． 8．（2025秋•思明区月考）已知抛物线的顶点在第一象限，与x轴一个交点的横坐标为﹣1，若t＝a+2b，则t的取值范围是　　 ． 【分析】首先根据题意得到抛物线开口向下，得到a＜0，对称轴为直线，然后得到，代入得到，进而求解即可． 【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx的顶点在第一象限，与x轴一个交点的横坐标为﹣1， ∴抛物线开口向下， ∴a＜0，对称轴为直线x0， ∴b＞0， ∵与x轴一个交点的横坐标为﹣1， ∴a﹣b0， ∴b＝a0， ∴a＜0， ∵t＝a+2b， ∴t＝a+2（a）＝3a+1， ∴3a+1＜1， ∵a＜0， ∴3a+1＜1． ∴t＜1． 故答案为：． 【点睛】此题考查了二次函数的性质，抛物线与x轴的交点，正确地理解题意是解题的关键． 9．（2024春•姑苏区月考）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+4ax+4a+1（a＜0）交x轴于A，B两点，若此抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）有且只有6个整点（横、纵坐标都是整数的点），则a的取值范围是 　a　 ． 【分析】根据y＝ax2+4ax+4a+1（a＜0）可求出顶点坐标和A、B的坐标，再根据题意结合图象列出关于a的不等式组，求解即可得出答案． 【解答】解：∵y＝ax2+4ax+4a+1＝a（x+2）2+1， ∴顶点坐标为（﹣2，1）， 令y＝0，得x＝﹣2±， 设A（﹣2，0），B（﹣2，0）， ∵此抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）有且只有6个整点（横、纵坐标都是整数的点），且顶点坐标为（﹣2，1）， ∴﹣5＜﹣24，0≤﹣21， 解得：a， 又∵a＜0， ∴a， 故答案为：a， 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，解题的关键是明确已知条件列出关于a的不等式组． 10．（2026•泉州模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点A（﹣4，k），B（2，k）两点，若关于x的方程a（x﹣3）2+b（x﹣3）+c＝k﹣1有两个不相等的实数根m，n（m＜n），则下列结论正确的是（　　） A．n﹣m＝4 B．n+m＝4 C．n﹣m＝6 D．n+m＝6 【分析】先利用二次函数纵坐标相等的两点求出原函数对称轴，再根据函数平移规律得到目标方程对应函数的对称轴，最后利用二次函数交点关于对称轴对称的性质推导两根之和． 【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）经过纵坐标相等的两点A（﹣4，k），B（2，k）， ∴原二次函数的对称轴为直线， ∵令y′＝a（x﹣3）2+b（x﹣3）+c，它是原二次函数向右平移3个单位得到的函数， ∴y′的对称轴为直线x＝﹣1+3＝2， ∵方程a（x﹣3）2+b（x﹣3）+c＝k﹣1的两个根m，n是y′＝a（x﹣3）2+b（x﹣3）+c图象与y＝k﹣1图象的两个交点的横坐标，这两点关于二次函数y′的对称轴对称， ∴，整理得n+m＝4； 而n﹣m的值不确定，因此只有B选项正确， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，根的判别式，根与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，掌握其相关知识点是解题的关键． 11．（2026•海门区模拟）关于x的函数y＝x2﹣|x﹣3|﹣6x+kx+7的图象与x轴有三个不同的公共点，则k的值为 　　 ． 【分析】根据二次函数的图象与性质即可求解． 【解答】解：当x﹣3≥0时， ，＝x2+（k﹣7）x+10， 当x﹣3≤0时， x2+（k﹣5）x+4， ∴x的函数y＝x2﹣|x﹣3|﹣6x+kx+7的图象与x轴有三个不同的公共点时，y1与y2都经过（3，0）， 如图， ∴0＝32+3（k﹣5）+4，解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 12．（2025秋•西湖区月考）已知二次函数y＝（x﹣m）2﹣（x﹣m）． （1）试说明该二次函数的图象与x轴必有两个交点； （2）若m＝1，该抛物线沿x轴平移多少个单位长度后，得到的抛物线经过原点； （3）若该二次函数图象的顶点坐标为，求m，n的值． 【分析】（1）证明Δ＞0，可得结论； （2）求出抛物线与x轴的交点坐标，可得结论； （3）求出抛物线的顶点坐标，可得结论． 【解答】（1）证明：y＝x2﹣（2m+1）x+m2+m， Δ＝（2m+1）2﹣4（m2+m） ＝1＞0， ∴二次函数的图象与x轴必有两个交点； （2）解：m＝1时，y＝（x﹣1）2﹣（x﹣1）＝x2﹣3x+2＝（x﹣1）（x﹣2）， 令y＝0，可得x＝1或2， ∴抛物线与x轴的交点坐标为（1，0），（2，0） ∴该抛物线沿x轴向左平移1或2个单位长度后，得到的抛物线经过原点； （3）抛物线的顶点坐标为（，）， ∴，n， 解得m＝2， 即m、n的值分别为2，． 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上的点的坐标特征，二次函数图象与几何变换，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 13．（2026•海安市校级模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣2，1），（2，﹣3）两点． （1）求b的值； （2）若a＝1，函数的图象同时经过点（p，m），（q，m），且1＜2p+3q＜6，求m的取值范围； （3）设（n，0）是该函数的图象与x轴的一个公共点．当﹣1＜n＜3时，求a的取值范围． 【分析】（1）把已知点代入解析式，两式联立即可求出b的值； （2）根据题意点（p，m），（q，m）关于对称轴对称，可得到p+q的值，根据已知不等式可得到q的取值范围，然后利用图象上点的坐标特征即可求得m的取值； （3）分当a＞0时和当a＜0时两种情况讨论，根据（n，0）是该函数的图象与x轴的一个公共点，且﹣1＜n＜3，分别确定a的取值范围． 【解答】解：（1）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣2，1），（2，﹣3）两点． 把（﹣2，1），（2，﹣3）代入y＝ax2+bx+c中，得： ， 两式相减得4＝﹣4b， ∴b＝﹣1； （2）当a＝1时，y＝x2﹣x+c， 将（﹣2，1）代入得，4+2+c＝1，解得c＝﹣5， ∴， ∴对称轴为直线， ∵函数的图象同时经过点（p，m），（q，m）， ∴， ∴p+q＝1， ∴2p+2q＝2， ∵1＜2p+3q＜6，即1＜（2p+2q）+q＜6， ∴1＜2+q＜6， ∴﹣1＜q＜4， 对于函数y＝x2﹣x﹣5， 当x＝﹣1时，y＝﹣3， 当x＝4时，y＝7， 当时，， ∴m的取值范围是． （3）由（1）知，y＝ax2﹣x+c中， 将（﹣2，1）代入得，4a+2+c＝1， ∴c＝﹣4a﹣1， ∴y＝ax2﹣x﹣4a﹣1， 当a＞0时，如图， 当x＝﹣1时，y＝a+1﹣4a﹣1＝﹣3a＜0； 当x＝3时，y＝9a﹣3﹣4a﹣1＝5a﹣4＞0，解得； 即； 当a＜0时，如图， 当x＝﹣1时，y＝﹣3a＞0； 当x＝3时，y＝5a﹣4＜0，解得； 即a＜0； 综上，a的取值范围为a＜0或． 【点睛】本题考查二次函数的图象与系数的关系，正确进行计算是解题关键． 类型二 抛物线与直线y＝kx＋b相交 14．（2025秋•瑶海区期中）已知：二次函数y＝x2﹣4x+3a+2（a为常数）． （1）请写出该二次函数图象的对称轴； （2）若这个二次函数的最小值是7，求a的值； （3）直角坐标系中，若该二次函数的图象在x≤4的部分与一次函数y＝2x﹣1的图象有两个交点，求a的取值范围． 【分析】（1）由x求得对称轴； （2）将对称轴的x值代入函数解析式求得函数的最小值，然后求出a的值； （3）将函数的交点转化为对应的一元二次方程的两根均小于或等于4求解． 【解答】解：（1）对称轴为直线x2． （2）当x＝2时，y最小值＝22﹣4×2+3a+2＝4﹣8+3a+2＝3a﹣2， ∵最小值是7， ∴3a﹣2＝7， 解得：a＝3． （3）∵该二次函数的图象在x≤4的部分与一次函数y＝2x﹣1的图象有两个交点， ∴x2﹣4x+3a+2＝2x﹣1在x≤4的范围内有两个不同的实数根， 化简得：x2﹣6x+3a+3＝0， Δ＝36﹣4（3a+3）＞0， 解得：a＜2， ∵x2﹣6x+3a+3＝0在x≤4的范围内有两个不同的实数根， ∴x＝4时，y＝16﹣24+3a+3≥0， ∴a， ∴a＜2． 【点睛】本题考查了二次函数的性质、二次函数与一次函数图象的交点与一元二次方程的关系，解题的关键是理解函数图象的交点与对应得到的方程间的关系． 15．（2025•定海区一模）在平面直角坐标系中，设二次函数y＝ax2+bx+2（a，b是常数，a≠0）． （1）若a＝2时，图象经过点（1，1），求二次函数的表达式． （2）写出一组a，b的值，使函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴只有一个公共点，并求此二次函数的顶点坐标． （3）已知，二次函数y＝ax2+bx+2的图象和直线y＝ax+4b都经过点（2，m），求证：a2+b2． 【分析】（1）把a＝2代入二次函数的关系式，再把x＝1，y＝1代入求出b的值，进而确定二次函数的关系式； （2）令y＝0，则ax2+bx+2＝0，当Δ＝0时，求得b2＝8a，据此写出一组a，b的值，化成顶点式即可求得顶点坐标； （3）根据题意得到4a+2b+2＝2a+4b，整理得b＝a+1，则a2+b2＝2a2+2a+1＝2（a）2，根据二次函数的性质即可得到a2+b2． 【解答】（1）解：把a＝2代入得，y＝2x2+bx+2， ∵当x＝1时，y＝1， ∴1＝2+b+2， ∴b＝﹣3， ∴二次函数的关系式为y＝2x2﹣3x+2； （2）解：令y＝0，则ax2+bx+2＝0， 当Δ＝0时，则b2﹣8a＝0， ∴b2＝8a， ∴若a＝2，b＝4时，函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴只有一个公共点， ∴此时函数为y＝2x2+4x+2＝2（x+1）2， ∴此函数的顶点坐标为（﹣1，0）； （3）证明：∵二次函数y＝ax2+bx+2的图象和直线y＝ax+4b都经过点（2，m）， ∴4a+2b+2＝2a+4b， ∴2a+2＝2b， ∴b＝a+1， ∴a2+b2 ＝a2+（a+1）2 ＝2a2+2a+1 ＝2（a）2， ∴a2+b2． 【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键：（1）熟知待定系数法；（2）求得b＝a+1；（3）熟知二次函数的性质． 16．（2026•高新区模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2a2x（a≠0）． （1）当a＝1时，求抛物线的顶点坐标； （2）若抛物线的顶点在直线y＝﹣x上，求a的值； （3）已知M（x1，y1）和N（x2，y2）是抛物线上的两点．若对于x1＝3a，3≤x2≤4，都有y1＜y2，求a的取值范围． 【分析】（1）依据题意，将a＝1代入即可求出抛物线的顶点坐标； （2）抛物线顶点在直线y＝﹣x上，则有﹣a3＝﹣a，解方程即可； （3）求得抛物线的对称轴，然后分类讨论，列出关于a的不等式，解不等式即可． 【解答】解：（1）当a＝1时，则y＝x2﹣2x， ∵y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1， ∴顶点坐标为（1，﹣1）； （2）∵y＝ax2﹣2a2x＝a（x﹣a）2﹣a3， ∴顶点坐标为（a，﹣a3）， ∵若抛物线的顶点在直线y＝﹣x上， ∴﹣a3＝﹣a， ∵a≠0， ∴a＝1或a＝﹣1； （3）∵抛物线y＝ax2﹣2a2x＝a（x﹣a）2﹣a3， ∴抛物线的对称轴是直线x＝a， ∵M（x1，y1）和N（x2，y2）是抛物线上的两点，x1＝3a，3≤x2≤4， ∴y1＝a（3a）2﹣2a2•3a＝3a3， ①当a＞0时， ∵对于x1＝3a，3≤x2≤4，都有y1＜y2， ∴x＝3时，y2有最小值y＝9a﹣6a2， 9a﹣6a2＞3a3， ∵a≠0， ∴a2+2a﹣3＜0，即（a+3）（a﹣1）＜0， 解得﹣3＜a＜1， ∴0＜a＜1； ②当a＜0时， ∵对于x1＝3a，3≤x2≤4，都有y1＜y2， ∴x＝4时，y2有最小值y＝16a﹣8a2， 16a﹣8a2＞3a3， ∵a≠0， ∴3a2+8a﹣16＞0，即（3a﹣4）（a+4）＞0， 解得a＜﹣4或a， ∴a＜﹣4， 综上，0＜a＜1或a＜﹣4． 【点睛】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键． 17．（2026•东城区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+（a﹣2a2）x+c（a＞0）与x轴交于O，A两点． （1）求c的值，并用含a的式子表示A点的横坐标； （2）过点P（t，0）作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线y＝ax于点N． ①若a＝1，t＝3，求MN的长； ②当2＜t＜4时，MN的长随t的增大而增大，直接写出a的取值范围． 【分析】（1）根据二次函数图象过O（0，0）得到c的值，根据二次函数对称轴直线的计算得到A的横坐标； （2）①把a＝1，t＝3代入，得到点M，N的纵坐标，由此即可求解； ②用含a，t的式子表示出MN的值，结合二次函数图象的性质判定即可． 【解答】解：（1）抛物线y＝ax2+（a﹣2a2）x+c（a＞0）与x轴交于O（0，0），A两点， ∴c＝0，抛物线的对称轴直线为， 解得，xA＝2a﹣1， ∴A点的横坐标为2a﹣1； （2）①当a＝1，t＝3时，二次函数解析式为y＝x2﹣x直线的解析式为y＝x， ∴当x＝t＝3时，点M的纵坐标为y＝32﹣3＝6，点N的纵坐标为y＝t＝3， ∴MN＝6﹣3＝3； ②∵a＞0， ∴抛物线y＝ax2+（a﹣2a2）x的图象开口向上，对称轴直线为，A（2a﹣1，0）， 直线y＝ax的图象经过第一、三象限， 当x＝t时，点M的纵坐标为y＝at2+（a﹣2a2）t，点N的纵坐标为y＝at， ∴MN＝|at2+（a﹣2a2）t﹣at|＝a|t2﹣2at|， ∵t＞0， ∴MN＝at|t﹣2a|，当t≥2a时，MN＝at（t﹣2a）＝at2﹣2a2t ∴MN关于t的二次函数图象开口向上，对称轴直线为t＝a， ∵当2＜t＜4时，MN的长随t的增大而增大， ∴a≤2，且2a≤2， ∴a≤1； 当t＜2a时，MN＝at（2a﹣t）＝﹣at2+2a2t， ∴MN关于t的二次函数图象开口向下，对称轴为直线t＝a， ∵当2＜t＜4时，MN的长随t的增大而增大， ∴4≤a； 综上所示，0＜a≤1或a≥4． 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，分类讨论，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 类型三 最值问题 名师点金：含参二次函数最值问题一定要根据自变量取值范围确定。 18．（2026•神木市一模）在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣ax2﹣4ax﹣4a+3（a为常数，且a≠0）的图象与y轴的交点在x轴下方，则该二次函数有（　　） A．最大值﹣3 B．最小值﹣3 C．最大值3 D．最小值3 【分析】首先根据二次函数与 y轴交点在 x轴下方，求出参数 a 的取值范围，再判断抛物线的开口方向，最后结合顶点式分析函数的最值．先将函数配方，得到顶点式，再根据开口方向确定是最大值还是最小值，并结合 a 的范围求出最值的具体数值． 【解答】解：当x＝0时，y＝﹣4a+3，这是抛物线与y轴的交点， ∵交点在x轴下方， ∴﹣4a+3＜0， ∴a， 二次项系数为﹣a，由a0，可知﹣a＜0， ∴抛物线开口向下，函数有最大值，无最小值， 对原函数配方： y＝﹣ax2﹣4ax﹣4a+3， ＝﹣a（x+2）2+3， 抛物线的顶点坐标为（﹣2，3）， ∵抛物线开口向下， ∴顶点是最高点，函数的最大值为3， 综上，该二次函数有最大值3， 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，核心是利用配方法求顶点式，并结合 y轴交点条件判断开口方向．熟练掌握二次函数的配方方法和开口方向与最值的关系，是解题的关键． 19．（2025秋•莱阳市期中）已知二次函数y＝ax2﹣4ax+3，当1≤x≤4时，函数的最大值与最小值之差为8，则a的值为　2或﹣2　 ． 【分析】先求出抛物线的对称轴，得出x＝4比x＝1距离对称轴远，然后分a＞0和a＜0两种情况，分别求出当1≤x≤4时，函数的最大值与最小值，然后再根据函数的最大值与最小值之差为8，求出a的值． 【解答】解：由抛物线的表达式知，函数的对称轴为直线x2， 则x＝4比x＝1距离对称轴远， 当a＞0时，抛物线开口向上，则抛物线在顶点处取得最小值，在x＝4时取得最大值， 当x＝4时，y＝ax2﹣4ax+3＝16a﹣16a+3＝3， 当x＝2时，y＝ax2﹣4ax+3＝4a﹣8a+3＝﹣4a+3， 则3﹣（﹣4a+3）＝8， 解得a＝2， 当a＜0时，抛物线开口向下，则抛物线在顶点处取得最大值，在x＝4时取得最小值， 当x＝4时，y＝ax2﹣4ax+3＝16a﹣16a+3＝3， 当x＝2时，y＝ax2﹣4ax+3＝4a﹣8a+3＝﹣4a+3， 则﹣4a+3﹣3＝8， 解得a＝﹣2， 综上所述，a＝2或a＝﹣2， 故答案为：2或﹣2． 【点睛】本题考查了二次函数的性质和最值问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 20．（2026春•海门区校级月考）已知二次函数的解析式为y＝﹣x2+2mx﹣m2+4，当6≤x≤m+3时，函数最大值与最小值的差为8，则m的值等于　5　 ． 【分析】将二次函数转化为顶点式为y＝﹣（x﹣m）2+4，对对称轴为直线x＝m与区间[6，m+3]的位置关系进行分类讨论，当m＜6时，函数在区间上单调递减，最大值为y（6），最小值为y（m+3），根据题意列方程求解，当m≥6时，再分6≤m≤9和m＞9两种情况讨论最小值，由此求解即可． 【解答】解：∵y＝﹣x2+2mx﹣m2+4＝﹣（x﹣m）2+4， ∴抛物线的对称轴为直线x＝m， 在6≤x≤m+3中， ①当m＜6时， x＝6时，最大值为y＝﹣（6﹣m）2+4， x＝m+3时，最小值为y＝﹣5， ∴﹣（6﹣m）2+4﹣（﹣5）＝8， ∴m1＝5，m2＝7（舍去）， ②当m时，即6≤m≤9时， x＝m时，最大值为y＝4， x＝m+3时，最小值为y＝﹣5， 此时4﹣（﹣5）＝9，不符合题意； ③当m＞9时， x＝m时，最大值为y＝4， x＝6时，最小值为y＝﹣（6﹣m）2+4， ∴4﹣[﹣（6﹣m）2+4]＝8， m1＝6﹣2（舍去），m2＝6+2（舍去）， 综上所述，m＝5． 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质、二次函数最值等知识点，熟练掌握分类讨论是解答本题的关键． 21．（2026•南通校级一模）若1≤x≤3时，二次函数y＝2x2﹣3ax+4的最小值为﹣23，则a＝　5　 ． 【分析】分类讨论①当x＝1取得最小值．②当x＝3取得最小值．③当23．然后画出草图判定是否符合题意即可． 【解答】解：∵1≤x≤3时，二次函数y＝2x2﹣3ax+4的最小值为﹣23， ∴最小值可能在x＝1或3时得到，或最小值， ①当x＝1取得最小值，2﹣3a+4＝﹣23，a，此时对称轴为直线x，x＝3时有最小值，所以不合题意． ②当x＝3取得最小值，18﹣9a+4＝﹣23，a＝5，符合题意． ③当23，a＝±2，a＝2时，对称轴为直线x，x＝3时有最小值，不符合题意， 当a＝﹣2时，对称轴为直线x，x＝1时有最小值，不符合题意． ∴a＝5， 故答案为5． 【点睛】本题考查二次函数的最值问题、解题的关键是学会分类讨论，注意这个最小值可以在区间的端点x＝1或x＝3时取得，属于中考常考题型． 类型四 由自变量的范围及函数值的大小关系求参数的范围 22．（2026•海门区一模）二次函数y＝ax2﹣4ax+2（a＜0）的图象过点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（6，y3）．若y1y2y3＜0，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【分析】先判断出对称轴为直线x＝1，故点B为顶点坐标．把其余两点代入函数解析中可得y1＝5a+2，y3＝12a+2，进而可判断出y2＞y1＞y3.因为y2＝2﹣4a恒为正，且y1y2y3＜0，故y3必为负，y1必为正，由此可列不等式组，解不等式组即可解决问题． 【解答】解：由二次函数y＝ax2﹣4ax+2（a＜0）可知对称轴为直线x＝2， 故点B为顶点坐标． ∵二次函数y＝ax2﹣4ax+2（a＜0）的图象还过A（﹣1，y1），C（6，y3）两点， ∴y1＝a+4a+2＝5a+2，y3＝36a﹣24a+2＝12a+2， ∵2﹣（﹣1）＜6﹣2， ∴y2＞y1＞y3． ∵y2＝2﹣4a恒为正，且y1y2y3＜0， ∴y3必为负，y1必为正， 故有，解得：， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，函数值大小的比较，准确判断出y2和y1和y3的正负情况是解题关键． 23．（2026•天桥区二模）定义：若一个点的横、纵坐标之和为6，则称这个点为“和谐点”．若二次函数y＝x2﹣2x+c（c为常数）在﹣1＜x＜3的图象上存在两个“和谐点”，则c的取值范围是（　　） A．4＜c＜7 B． C．0＜c＜7 D． 【分析】由一个点的横纵坐标之和为6可得“和谐点”在直线y＝﹣x+6上，由﹣1＜x＜3可得“和谐点”所在线段AB的端点坐标，结合图象，通过求抛物线与线段的交点求解． 【解答】解：由题意可得“和谐点”所在直线为y＝﹣x+6， 将x＝﹣1代入y＝﹣x+6得y＝7， 将x＝3代入y＝﹣x+6得y＝3， 设A（﹣1，7），B（3，3），如图， 联立y＝﹣x+6与y＝x2﹣2x+c，得方程x2﹣2x+c＝﹣x+6， 即x2﹣x+c﹣6＝0， ∵抛物线与直线y＝﹣x+6有两个交点， ∴Δ＝（﹣1）2﹣4（c﹣6）＞0， 解得c 当直线x＝﹣1和直线x＝3与抛物线交点在点A，B上方时，抛物线与线段AB有两个交点， 把x＝﹣1代入y＝x2﹣2x+c，得y＝3+c， 把x＝3代入y＝x2﹣2x+c得y＝3+c， ∴， 解得c＞4， ∴4＜c． 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数图象与一次函数图象的交点问题，解题关键掌握函数与方程及不等式的关系，将代数问题转化为图形问题求解． 24．（2026•北京二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2ax（a≠0）． （1）若点A（1，﹣1）在抛物线上， ①求a的值； ②过点P（0，t）且与y轴垂直的直线交抛物线于E，F两点，且点E为线段PF的中点，求t的值； （2）点B（1﹣2a，y1），C（﹣1，y2）是抛物线上的两点，且y1＞y2．若抛物线在点B，C之间的部分（含点B，C）上存在两点M（x1，m），N（x2，n）（点M，N不重合），使得m＝n，求a的取值范围． 【分析】（1）①把点A（1，﹣1）代入y＝ax2﹣2ax（a≠0）计算即可； ②分t＞0、t＝0、t＜0三种情况讨论求解即可； （2）求得对称轴为直线x＝1，再分当a＞0时，抛物线开口向上，当x＜1时，y随x的增大而减小；当a＜0时，抛物线开口向下，当x＜1时，y随x的增大而增大，当x＞1时，y随x的增大而减小；两种情况讨论求解即可． 【解答】解：（1）①∵点A（1，﹣1）在抛物线y＝ax2﹣2ax（a≠0）上，将点A的坐标代入得： ﹣1＝a﹣2a， 解得：a＝1； ②由①可得抛物线的解析式为y＝x2﹣2x， 分三种情况讨论： 当t＞0时，如图1，点E不在线段PF上，故不成立； 当t＝0时，点E与点P重合，也不成立； 当t＜0时，如图2， ∵点E为线段PF的中点，且P（0，t）， ∴设E（x0，t），则F（2x0，t）， ∴， 解得：或x0＝0（不合题意，舍去）， ∴； （2）∵y＝ax2﹣2ax（a≠0）， ∴对称轴为直线x＝1， （ⅰ）当a＞0时，抛物线开口向上，当x＜1时，y随x的增大而减小； 此时，1﹣2a＜1， ∴点B（1﹣2a，y1）在对称轴左侧， ∵﹣1＜1， ∴点C（﹣1，y2）在对称轴左侧，如图3， ∵y1＞y2， ∴1﹣2a＜﹣1， ∴a＞1； ∵在对称轴同侧的两点之间的部分不可能存在纵坐标相等的情况， ∴抛物线在点B，C之间的部分（含点B，C）上不存在两点M（x1，m），N（x2，n），使得m＝n； （ⅱ）当a＜0时，抛物线开口向下，当x＜1时，y随x的增大而增大，当x＞1时，y随x的增大而减小； 此时，1﹣2a＞1， ∴点B（1﹣2a，y1）在对称轴右侧， ∵﹣1＜1， ∴点C（﹣1，y2）在对称轴左侧， 如图4， 点C关于对称轴的对称点C′（3，y2）在对称轴右侧（关于抛物线对称轴对称的两点到对称轴的距离相等，且纵坐标相等）， ∵y1＞y2，点C′和点B在对称轴同侧， ∴1﹣2a＜3， ∴a＞﹣1， 此时，抛物线在点B、C之间的部分（含点B、C）上存在两点M（x1，m），N（x2，n），使得m＝n（当点B、C分别位于对称轴异侧时，在抛物线上点B、C之间的部分关于对称轴对称的对应点均满足m＝n）， 综上所述，a的取值范围为﹣1＜a＜0． 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，分类讨论是解答本题的关键． 类型五 由参数范围确定函数值范围 25．（2026•德州一模）已知点A（1，y1），B（﹣2，y2）在抛物线y＝2x2+bx+1上，若3＜b＜4，则下列判断正确的是（　　） A．1＜y1＜y2 B．y1＜1＜y2 C．1＜y2＜y1 D．y2＜1＜y1 【分析】先求出对称轴的范围，再根据二次函数的增减性进行判断即可． 【解答】解：∵y＝2x2+bx+1， ∴抛物线过点（0，1）， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵3＜b＜4， ∴， ∵，， ∴点B（﹣2，y2）到对称轴的距离大于点（0，1）到对称轴的距离，小于A（1，y1）到对称轴的距离， ∴1＜y2＜y1． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键． 类型六 由抛物线上点的位置关系确定参数范围或参数的值 26．（2025秋•通州区期末）已知点A（﹣t2+3，n），点B（t2﹣1，n）都在关于x的函数y＝x2+bx的图象上．若点A始终在B右侧，则n的取值范围为（　　） A．﹣1＜n＜3 B．﹣1＜n≤3 C．﹣1≤n＜3 D．﹣1≤n≤3 【分析】先利用二次函数上纵坐标相同的两点关于对称轴对称，求出函数的对称轴，进而确定二次函数解析式，再根据点A在点B右侧的条件确定横坐标的取值范围，最后结合二次函数的性质求出n的取值范围． 【解答】解：由条件可知A、B关于二次函数的对称轴对称， ∵二次函数y＝x2+bx的对称轴为，且A、B横坐标的中点为， ∴， 解得：b＝﹣2， ∴二次函数解析式为y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，其对称轴为x＝1，开口向上，顶点为（1，﹣1）， ∵点A始终在B右侧， ∴﹣2t2＞﹣4， 即t2＜2， ∵t2≥0， ∴0≤t2＜2， 对于点A的横坐标，当0≤t2＜2时，1＜xA≤3， 对于点B的横坐标，当0≤t2＜2时，﹣1≤xB＜1， 当﹣1≤x＜1时，二次函数y＝（x﹣1）2﹣1随x的增大而减小， 取x＝﹣1，则y＝（﹣1）2﹣2×（﹣1）＝3， 取x＝1，则y＝12﹣2×1＝﹣1， ∴﹣1＜y≤3， 当1＜x≤3时，二次函数随x的增大而增大， 取x＝3时，则y＝3， 取x＝1时，则y＝﹣1， ∴﹣1＜y≤3， 综上，n的取值范围为﹣1＜n≤3． 故选：B． 【点睛】本题考查了y＝ax2+bx+c的图象与性质，已知抛物线上对称的两点求对称轴，利用不等式求自变量或函数值的范围等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 27．（2026•高新区校级二模）若二次函数y＝ax2+bx﹣1（a≠0）的图象经过点（﹣1，0），且图象的顶点在第四象限，设t＝2a+b，则t的取值范围是（　　） A．t＞2 B．﹣1＜t＜2 C．1＜t＜4 D．t＜0 【分析】二次函数的图象过点（﹣1，0），则a﹣b﹣1＝0，而t＝2a+b＝3a﹣1，由二次函数的图象的顶点在第四象限，可得a＞0，Δ＝b2﹣4ac＝（a﹣1）2﹣4a×（﹣1）＝（a+1）2≥0，0，即可求解． 【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx﹣1（a≠0）的图象经过点（﹣1，0）， ∴a﹣b﹣1＝0， ∴b＝a﹣1， 而t＝2a+b， ∴t＝2a+a﹣1＝3a﹣1 ∵二次函数y＝ax2+bx﹣1（a≠0）的图象的顶点在第四象限， ∴a＞0，Δ＝b2﹣4ac＝（a﹣1）2﹣4a×（﹣1）＝（a+1）2≥0，0， ∴b＜0， ∴a﹣1＜0， ∴a＜1， ∴0＜a＜1， ∴﹣1＜3a﹣1＜2， ∴﹣1＜t＜2， 故选：B． 【点睛】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，二次函数图象上点的坐标特征，会利用抛物线顶点坐标所在象限确定系数的取值范围是解题的关键． 28．（2026春•崇川区校级月考）若抛物线y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）的顶点横坐标比抛物线y＝﹣x2+2x+c的顶点横坐标大1，且点A（x1，m）在抛物线y＝﹣x2+bx+c上，点B（x2，n）在抛物线y＝﹣x2+2x+c上．若x2﹣x1＝t，且x1≥0时，始终有n﹣m＝3t，则t的值为（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 【分析】由题意得b﹣1＝1，即可求得b＝4，则y＝﹣x2+4x+c，由x2﹣x1＝t，设x1＝a，则x2＝a+t，则n﹣m＝﹣（a+t）2+2（a+t）+c+a2﹣4a﹣c＝3t，整理得：（t+1）（t+2a）＝0，求得t＝﹣1． 【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）的顶点横坐标比抛物线y＝﹣x2+2x+c的顶点横坐标大1， ∴b﹣1＝1，则b＝4， ∴y＝﹣x2+4x+c， ∵x2﹣x1＝t， ∴设x1＝a，则x2＝a+t， ∵点A（x1，m）在抛物线y＝﹣x2+bx+c上，点B（x2，n）在抛物线y＝﹣x2+2x+c上， 则n﹣m＝﹣（a+t）2+2（a+t）+c+a2﹣4a﹣c＝3t， 整理得：（t+1）（t+2a）＝0， ∵x1＝a≥0，上式恒成立， 则t+1＝0，则t＝﹣1． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，正确设定未知数a是解题的关键． 29．（2026•海安市校级模拟）已知二次函数y＝﹣x2+2ax﹣a2+3a﹣2（a为常数）的图象上有且仅有两个点到x轴的距离等于3个单位长度，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【分析】求得抛物线的顶点为（a，3a﹣2），由题意可知只有在x轴下方的函数图象与y＝﹣3有两个交点即可． 【解答】解：∵y＝﹣x2+2ax﹣a2+3a﹣2＝﹣（x﹣a）2+3a﹣2， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝a，顶点为（a，3a﹣2）， ∵二次函数y＝﹣x2+2ax﹣a2+3a﹣2（a为常数）的图象上有且仅有两个点到x轴的距离等于3个单位长度， ∴﹣3＜3a﹣2＜3， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，能够明确题意，得到关于a的不等式组是解题的关键． 30．（2025秋•海淀区校级期末）抛物线y＝ax2+bx+c关于x轴对称得到抛物线Γ1，抛物线y＝ax2+bx+c关于其顶点对称得到抛物线Γ2，若Γ1与Γ2完全重合，则下列结论中，一定成立的是（　　） A．a＝0 B．b＝0 C．c＝0 D．b2﹣4ac＝0 【分析】根据抛物线y＝ax2+bx+c关于x轴对称得到抛物线Γ1，抛物线y＝ax2+bx+c关于其顶点对称得到抛物线Γ2，若Γ1与Γ2完全重合可知抛物线y＝ax2+bx+c的顶点在x轴上，据此即可得到b2﹣4ac＝0． 【解答】解：由题意可知抛物线y＝ax2+bx+c的顶点在x轴上， ∴方程ax2+bx+c＝0有一个交点， ∴b2﹣4ac＝0， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，轴对称的性质，能够明确题意是解题的关键． 31．（2026•海门区校级模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣2，0），且对于任意x的值，不等式恒成立，则该二次函数的解析式为（　　） A． B．y＝x2+4x+4 C． D． 【分析】由二次函数经过点（﹣2，0）和不等式恒成立，推导出函数必过点（2，2），从而求得，再结合不等式恒成立条件，利用判别式求得，． 【解答】解：由条件可知4a﹣2b+c＝0． 又∵对于任意x，有，当x＝2时，且x＝2， ∴y＝2，即函数过点（2，2）， ∴4a+2b+c＝2， 联立方程， 相减得4b＝2， ∴， 把代入4a﹣2b+c＝0得4a﹣1+c＝0，即4a+c＝1． 设恒成立， 要使g（x）≥0恒成立，须有a＞0， ∴判别式，即， ∴， 设， 代入和c＝1﹣4a得，需h（x）≥0恒成立， 要使h（x）≥0恒成立，须有二次项系数，即， 判别式， 即，化简得， ∴64a2﹣16a+1≤0， 即， ∴，代入4a+c＝1得， ∴． 故答案选：A． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质、不等式恒成立问题、一元二次方程与二次函数的关系以及利用配方法求二次函数的顶点式．熟练掌握以上知识点是关键． 32．（2026•门头沟区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx（a＜0）经过点A（a，m）和点B（﹣3a，m）． （1）求抛物线的对称轴，并用含a的式子表示b； （2）过点C（t，0）作x轴的垂线，交抛物线于点P，交直线y＝﹣a2x于点Q． ①如果a＝﹣2，t＝1，求线段PQ的长； ②已知点D（t+3，n）在抛物线上，当n＞m时，线段PQ的长随着t的增大而减小，求a的取值范围． 【分析】（1）利用待定系数法求出a、b的关系，进而求出对称轴； （2）①根据题意得到抛物线和直线的表达式，进而求出点P、Q的坐标，从而求出线段PQ的长； ②当n＞m时，得到a﹣3＜t＜﹣3a﹣3，设抛物线y＝ax2+2a2x与直线y＝﹣a2x交于点H，进而求出点H的坐标，设P（t，at2+2a2t），Q（t，﹣a2t），当t≤0或﹣a≤t≤﹣3a时，线段PQ的长随着t的增大而减小，分两种情况讨论，求出PQ的表达式，进而列出不等式组，据此求解即可． 【解答】解：（1）将点A（a，m）和点B（﹣3a，m）代入抛物线y＝ax2+bx（a＜0）， 得：， 解得：b＝2a2， ∴抛物线y＝ax2+2a2x， 则抛物线对称轴为：； （2）①由（1）知，抛物线y＝ax2+2a2x， 当a＝﹣2，t＝1时， ∴抛物线y＝ax2+2a2x＝﹣2x2+8x，直线y＝﹣a2x＝﹣4x，C（1，0）， 将x＝1代入抛物线y＝﹣2x2+8x，得：y＝﹣2×12+8×1＝6， ∴P（1，6）， 将x＝1代入直线y＝﹣4x得：y＝﹣4×1＝﹣4， ∴Q（1，﹣4）， ∴PQ＝|6﹣（﹣4）|＝10； ②由题意得，抛物线y＝ax2+bx（a＜0）图象开口向下， 由（1）知，抛物线y＝ax2+2a2x＝a（x+a）2﹣a3， ∵a＜0， ∴﹣a＞0、﹣a3＞0， 设抛物线y＝ax2+2a2x与直线y＝﹣a2x交于点H， 则， 解得：或， ∵（0，0）为原点坐标， ∴H（﹣3a，a3）， ∵点D（t+3，n）在抛物线上， ∴当n＞m时，a＜t+3＜﹣3a， ∴a﹣3＜t＜﹣3a﹣3， 设P（t，at2+2a2t）、Q（t，﹣a22t）， ∴PQ＝|at2+2a2t﹣（﹣a2t）|＝|at2+3a2t|， 如图，当t≤0或﹣a≤t≤﹣3a时，线段PQ的长随着t的增大而减小， 分情况讨论： 当t≤0时，由题意得：， ∴﹣1≤a＜0； 当﹣a≤t≤﹣3a时，， ∵a＜0， ∴当时，PQ有最大值， ∵a﹣3＜t＜﹣3a﹣3， ∴， ∴此不等式组无解； 综上所述，当n＞m时，线段PQ的长随着t的增大而减小，a的取值范围为﹣1≤a＜0． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象性质，数形结合和分类讨论的思想方法的运用是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14 【中考压轴题专项训练】含参二次函数的解题技巧 类型一 抛物线与x轴相交 1．（2025秋•鼓楼区期中）若二次函数y＝（x﹣1）2﹣m的图象与x轴有两个公共点，则m的值可以是（　　） A．﹣2 B． C．0 D．2 2．（2026•西安模拟）已知关于x的二次函数y＝ax2+2ax+3a2+3，当x≥2时，y随x的增大而增大，且﹣2≤x≤1时，y的最大值为9，则a的值为（　　） A． B．1 C．1或﹣2 D．或 3．（2026•海安市一模）已知抛物线y＝ax2﹣3a2x+c（a＞0），A（x1，y1）和B（4a，y2）是抛物线上的两点，对于3≤x1≤4都有y1＜y2，则a的取值范围是（　　） A．a＜﹣3 B． C．0＜a＜1 D．a＞1 4．（2026•东城区一模）把二次函数y＝x2+4x+m的图象向上平移1个单位长度．如果平移后所得抛物线与x轴有且只有一个公共点，那么m的值为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 5．（2025•泰和县模拟）已知二次函数y＝x2+bx+c图象与x轴只有一个交点，且图象过（2，n）和（2m，n）两点，设p＝m+n，则（　　） A．p的最小值为 B．p的最小值为1 C．p的最大值为 D．p的最大值为1 6．（2026春•通州区校级月考）在平面直角坐标系中给出四个点：A（﹣1，1），B（0，2），C（1，3），D（3，2），经过四个点中的三个点画二次函数的图象，对于画出的所有二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，甲认为它们一定经过点C，乙认为b2﹣4ac＞0恒成立．两人的说法（　　） A．两人都对 B．甲对，乙错 C．甲错，乙对 D．两人都错 7．（2026春•海门区校级月考）已知二次函数y＝mx2﹣4mx+5（m≠0），将此函数图象向下平移4|m|个单位，若所得图象的顶点落在x轴上，则m的值为（　　） A． B． C． D． 8．（2025秋•思明区月考）已知抛物线的顶点在第一象限，与x轴一个交点的横坐标为﹣1，若t＝a+2b，则t的取值范围是　 ． 9．（2024春•姑苏区月考）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+4ax+4a+1（a＜0）交x轴于A，B两点，若此抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）有且只有6个整点（横、纵坐标都是整数的点），则a的取值范围是 　 ． 10．（2026•泉州模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点A（﹣4，k），B（2，k）两点，若关于x的方程a（x﹣3）2+b（x﹣3）+c＝k﹣1有两个不相等的实数根m，n（m＜n），则下列结论正确的是（　　） A．n﹣m＝4 B．n+m＝4 C．n﹣m＝6 D．n+m＝6 11．（2026•海门区模拟）关于x的函数y＝x2﹣|x﹣3|﹣6x+kx+7的图象与x轴有三个不同的公共点，则k的值为 　 ． 12．（2025秋•西湖区月考）已知二次函数y＝（x﹣m）2﹣（x﹣m）． （1）试说明该二次函数的图象与x轴必有两个交点； （2）若m＝1，该抛物线沿x轴平移多少个单位长度后，得到的抛物线经过原点； （3）若该二次函数图象的顶点坐标为，求m，n的值． 13．（2026•海安市校级模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣2，1），（2，﹣3）两点． （1）求b的值； （2）若a＝1，函数的图象同时经过点（p，m），（q，m），且1＜2p+3q＜6，求m的取值范围； （3）设（n，0）是该函数的图象与x轴的一个公共点．当﹣1＜n＜3时，求a的取值范围． 类型二 抛物线与直线y＝kx＋b相交 14．（2025秋•瑶海区期中）已知：二次函数y＝x2﹣4x+3a+2（a为常数）． （1）请写出该二次函数图象的对称轴； （2）若这个二次函数的最小值是7，求a的值； （3）直角坐标系中，若该二次函数的图象在x≤4的部分与一次函数y＝2x﹣1的图象有两个交点，求a的取值范围． 15．（2025•定海区一模）在平面直角坐标系中，设二次函数y＝ax2+bx+2（a，b是常数，a≠0）． （1）若a＝2时，图象经过点（1，1），求二次函数的表达式． （2）写出一组a，b的值，使函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴只有一个公共点，并求此二次函数的顶点坐标． （3）已知，二次函数y＝ax2+bx+2的图象和直线y＝ax+4b都经过点（2，m），求证：a2+b2． 16．（2026•高新区模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2a2x（a≠0）． （1）当a＝1时，求抛物线的顶点坐标； （2）若抛物线的顶点在直线y＝﹣x上，求a的值； （3）已知M（x1，y1）和N（x2，y2）是抛物线上的两点．若对于x1＝3a，3≤x2≤4，都有y1＜y2，求a的取值范围． 17．（2026•东城区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+（a﹣2a2）x+c（a＞0）与x轴交于O，A两点． （1）求c的值，并用含a的式子表示A点的横坐标； （2）过点P（t，0）作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线y＝ax于点N． ①若a＝1，t＝3，求MN的长； ②当2＜t＜4时，MN的长随t的增大而增大，直接写出a的取值范围． 类型三 最值问题 名师点金：含参二次函数最值问题一定要根据自变量取值范围确定。 18．（2026•神木市一模）在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣ax2﹣4ax﹣4a+3（a为常数，且a≠0）的图象与y轴的交点在x轴下方，则该二次函数有（　　） A．最大值﹣3 B．最小值﹣3 C．最大值3 D．最小值3 19．（2025秋•莱阳市期中）已知二次函数y＝ax2﹣4ax+3，当1≤x≤4时，函数的最大值与最小值之差为8，则a的值为　 　 ． 20．（2026春•海门区校级月考）已知二次函数的解析式为y＝﹣x2+2mx﹣m2+4，当6≤x≤m+3时，函数最大值与最小值的差为8，则m的值等于　 　 ． 21．（2026•南通校级一模）若1≤x≤3时，二次函数y＝2x2﹣3ax+4的最小值为﹣23，则a＝　 　 ． 类型四 由自变量的范围及函数值的大小关系求参数的范围 22．（2026•海门区一模）二次函数y＝ax2﹣4ax+2（a＜0）的图象过点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（6，y3）．若y1y2y3＜0，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 23．（2026•天桥区二模）定义：若一个点的横、纵坐标之和为6，则称这个点为“和谐点”．若二次函数y＝x2﹣2x+c（c为常数）在﹣1＜x＜3的图象上存在两个“和谐点”，则c的取值范围是（　　） A．4＜c＜7 B． C．0＜c＜7 D． 24．（2026•北京二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2ax（a≠0）． （1）若点A（1，﹣1）在抛物线上， ①求a的值； ②过点P（0，t）且与y轴垂直的直线交抛物线于E，F两点，且点E为线段PF的中点，求t的值； （2）点B（1﹣2a，y1），C（﹣1，y2）是抛物线上的两点，且y1＞y2．若抛物线在点B，C之间的部分（含点B，C）上存在两点M（x1，m），N（x2，n）（点M，N不重合），使得m＝n，求a的取值范围． 类型五 由参数范围确定函数值范围 25．（2026•德州一模）已知点A（1，y1），B（﹣2，y2）在抛物线y＝2x2+bx+1上，若3＜b＜4，则下列判断正确的是（　　） A．1＜y1＜y2 B．y1＜1＜y2 C．1＜y2＜y1 D．y2＜1＜y1 类型六 由抛物线上点的位置关系确定参数范围或参数的值 26．（2025秋•通州区期末）已知点A（﹣t2+3，n），点B（t2﹣1，n）都在关于x的函数y＝x2+bx的图象上．若点A始终在B右侧，则n的取值范围为（　　） A．﹣1＜n＜3 B．﹣1＜n≤3 C．﹣1≤n＜3 D．﹣1≤n≤3 27．（2026•高新区校级二模）若二次函数y＝ax2+bx﹣1（a≠0）的图象经过点（﹣1，0），且图象的顶点在第四象限，设t＝2a+b，则t的取值范围是（　　） A．t＞2 B．﹣1＜t＜2 C．1＜t＜4 D．t＜0 28．（2026春•崇川区校级月考）若抛物线y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）的顶点横坐标比抛物线y＝﹣x2+2x+c的顶点横坐标大1，且点A（x1，m）在抛物线y＝﹣x2+bx+c上，点B（x2，n）在抛物线y＝﹣x2+2x+c上．若x2﹣x1＝t，且x1≥0时，始终有n﹣m＝3t，则t的值为（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 29．（2026•海安市校级模拟）已知二次函数y＝﹣x2+2ax﹣a2+3a﹣2（a为常数）的图象上有且仅有两个点到x轴的距离等于3个单位长度，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 30．（2025秋•海淀区校级期末）抛物线y＝ax2+bx+c关于x轴对称得到抛物线Γ1，抛物线y＝ax2+bx+c关于其顶点对称得到抛物线Γ2，若Γ1与Γ2完全重合，则下列结论中，一定成立的是（　　） A．a＝0 B．b＝0 C．c＝0 D．b2﹣4ac＝0 31．（2026•海门区校级模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣2，0），且对于任意x的值，不等式恒成立，则该二次函数的解析式为（　　） A． B．y＝x2+4x+4 C． D． 32．（2026•门头沟区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx（a＜0）经过点A（a，m）和点B（﹣3a，m）． （1）求抛物线的对称轴，并用含a的式子表示b； （2）过点C（t，0）作x轴的垂线，交抛物线于点P，交直线y＝﹣a2x于点Q． ①如果a＝﹣2，t＝1，求线段PQ的长； ②已知点D（t+3，n）在抛物线上，当n＞m时，线段PQ的长随着t的增大而减小，求a的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $