专题11.3 一元一次不等式组（知识梳理+十一大考点讲练+真题演练+分层训练 共58题）-2025-2026学年人教版数学七年级下册同步培优讲义

本讲义聚焦一元一次不等式组核心知识点，系统梳理定义、解集（含数轴表示与“同大取大”等口诀）、解法步骤，衔接整数解及与方程组结合的参数问题，延伸至行程、经济等实际应用，构建从概念到应用的学习支架。 资料亮点在于考点讲练覆盖全面，通过经济问题等实例培养用数学眼光观察现实世界的能力，参数求解等题型提升推理意识，分层训练与中考真题助力学生用数学语言表达，课中辅助教学，课后帮助查漏补缺。

2025-2026学年人教版（新教材）数学七年级下册同步培优【重点考点讲练】 专题11.3 一元一次不等式组『第十一章 不等式与不等式组』 （原卷版） 【人教版七下●新教材】 知识梳理 技巧点拨 1 知识点一 一元一次不等式组 2 知识点二 一元一次不等式组的解集 2 知识点三 解一元一次不等式组的一般步骤 2 知识点四 一元一次不等式组的整数解 3 知识点五 一元一次不等式组的应用 3 重点难点 考点讲练 3 考点讲练一 求不等式组的解集 3 考点讲练二 求一元一次不等式组的整数解 4 考点讲练三 由一元一次不等式组的解集求参数 4 考点讲练四 由不等式组解集的情况求参数 5 考点讲练五 不等式组和方程组结合的问题 5 考点讲练六 列一元一次不等式组 6 考点讲练七 不等式组的行程问题 6 考点讲练八 不等式组的经济问题 6 考点讲练九 不等式组的分配问题 7 考点讲练十 不等式组的方案选择问题 8 考点讲练十一 一元一次不等式组的其他应用 9 中考真题 实战演练 10 难度分层 闯关训练 11 基础夯实 能力提升 11 创新拓展 拔尖冲刺 13 知识点一 一元一次不等式组 定义：关于同一个未知数的几个一元一次不等式联立在一起，就组成了一个一元一次不等式组. 特征：①不等式组中的所有不等式都是一元一次不等式； ②不等式组中的所有一元一次不等式都含有同一个未知数； ③不等式组中的一元一次不等式的个数为两个或两个以上. 知识点二 一元一次不等式组的解集 一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们组成的不等式组的解集．解不等式组就是求它的解集. 【补充】 1）如果不等式的解集无公共部分，就说这个不等式组无解. 2）在求不等式组的解集的过程中，通常是利用数轴来表示不等式组的解集的.确定方法如下表所示： 不等式组 设a＞b 解集 x＞a x＜b 无解 数轴上的表示 口诀 同大取大 同小取小 大大小小无处找 大小，小大中间找 知识点三 解一元一次不等式组的一般步骤 第一步：求出不等式组中各不等式的解集； 第二步：将各不等式的解集在数轴上表示出来； 第三步：在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集. 【易错点拨】 1）利用数轴表示不等式组解集时，要把几个不等式的解集都表示出来，不能仅画公共部分. 2）当不等式组中含有“≥”或“≤”时，边界点处要用实心圆点，解集的取法不变. 3）关于x的不等式组的解集为x=a，关于x的不等式组无解. 知识点四 一元一次不等式组的整数解 （1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）． 解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解． （2）已知解集（整数解）求字母的取值． 一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案． 知识点五 一元一次不等式组的应用 对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解． 一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤： （1）分析题意，找出不等关系； （2）设未知数，列出不等式组； （3）解不等式组； （4）从不等式组解集中找出符合题意的答案； （5）作答． 考点讲练一 求不等式组的解集 【典例分析】（25-26七年级下·安徽池州·期中）解不等式组，并写出不等式组的整数解． 【变式训练1】（25-26七年级下·河南开封·期中）已知关于、的方程组中，为负数，为非正数． (1)求的取值范围； (2)在的取值范围内，当为何整数时，不等式的解集为． 【变式训练2】（25-26七年级下·河南开封·期中）不等式组的整数解是_____． 考点讲练二 求一元一次不等式组的整数解 【典例分析】（24-25七年级下·四川泸州·期末）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来，并写出它的所有整数解； 【变式训练1】（2026七年级下·重庆·专题练习）解不等式组：，并求该不等式组所有整数解的和． 【变式训练2】（25-26七年级下·北京延庆·期中）解下列不等式或不等式组： (1)解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来． (2)解不等式组：，并写出它的所有整数解． 考点讲练三 由一元一次不等式组的解集求参数 【典例分析】（24-25七年级下·云南昭通·期末）不等式组的解集为，则m的取值范围在数轴上表示为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】（24-25七年级下·四川遂宁·期中）关于x的不等式组的解集为，则a、b的值是（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】（2026七年级下·上海·专题练习）若关于的不等式组无解，求应满足的条件． 考点讲练四 由不等式组解集的情况求参数 【典例分析】（25-26七年级下·上海杨浦·月考）若不等式组无解，则的取值范围是______． 【变式训练1】（24-25七年级下·贵州安顺·期末）若关于的不等式组无解，则的取值范围是_________． 【变式训练2】（24-25七年级下·河南南阳·月考）已知关于x的不等式组，若该不等式组有且只有三个整数解，求a的取值范围． 考点讲练五 不等式组和方程组结合的问题 【典例分析】（25-26七年级下·安徽淮北·期中）如果方程组：的解满足，求的取值范围． 【变式训练1】（24-25七年级下·四川眉山·期中）已知关于，的方程组 (1)若方程组的解满足，求的值； (2)若方程组的解满足为非正数，为负数，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，化简：． 【变式训练2】（25-26七年级下·全国·课后作业）关于，的方程组且，满足． (1)求的取值范围； (2)已知，求的取值范围． 考点讲练六 列一元一次不等式组 【典例分析】（23-24七年级下·全国·单元测试）小明在天气预报网上，查询到今年3月8日重庆市最高气温是，最低气温是，则当天重庆市气温的变化范围是（　　） A． B． C． D． 【变式训练1】（23-24七年级下·湖北武汉·期末）某校为了培养学生阅读的习惯，准备把一些书分给学生阅读，若每人分3本，则多10本；若每人分5本，则最后一人分到了书但不到3本书．共有多少学生？现设一共有x名学生，则可列不等式组为________． 【变式训练2】（2024·浙江杭州·三模）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于，蛋白质的含量p应不少于．据此情境，可列不等式组为（　　） A． B． C． D． 考点讲练七 不等式组的行程问题 【典例分析】（25-26七年级下·全国·课后作业）方方驾驶汽车从甲地匀速行驶去乙地，设汽车的行驶速度为．已知行驶速度限定为不超过，若他以的平均速度行驶，则需到达目的地；若他必须要在内（包括）到达乙地，则的取值范围是_____． 【变式训练1】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·月考）哈市乘坐出租车的收费标准：起步价8元（即行驶距离不超过3千米都须付8元车费），超过3千米以后，每增加1千米，加收2元（不足1千米的部分按1千米计）．某人乘出租车从甲地到乙地共付车费18元，那么甲地到乙地路程满足（　　） A． B．7 C．7 D．7 【变式训练2】（24-25七年级下·全国·暑假作业）某人上午8时以5千米/时的速度从A地步行到B地，到B地时已过12时，但不到12时10分，设A、B两地相距x千米，根据题意列不等式组 ________． 考点讲练八 不等式组的经济问题 【典例分析】（24-25七年级下·江苏无锡·期末）《哪吒2》上映后非常火爆，哪吒、敖丙的玩偶深受大众喜爱．某商家购进了一批这种玩偶销售，若售出2个哪吒玩偶和4个敖丙玩偶的总销售额为80元，售出3个哪吒玩偶和2个敖丙玩偶的总销售额为60元． (1)求哪吒、敖丙玩偶每个售价各是多少元？ (2)刘老师准备用105元钱购买9个玩偶奖励给学生（两种都要购买，钱可以有剩余）．请通过计算帮助刘老师分析有哪些可能的购买方案． 【变式训练1】（24-25七年级下·江苏扬州·期末）青少年读书行动启动后，某中学积极响应，计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购进的图书，调查发现，若购买甲种书柜2个、乙种书柜3个，共需资金900元；若购买甲种书柜3个，乙种书柜4个，共需资金1250元． (1)甲、乙两种书柜每个的价格分别是多少元？ (2)若该校计划购进这两种规格的书柜共24个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，学校至多能够提供资金4300元，则购买甲种书柜至少多少个？ 【变式训练2】（24-25七年级下·湖北宜昌·期末）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元． (1)求两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)该汽车销售公司计划购进这两种型号的汽车共20辆，用于拓展市场业务．该销售公司投入的购车资金不超过380万元，且为了保证销售时有足够的车型选择，规定购进的B型汽车数量不少于A型汽车数量的3倍．假设每辆A型汽车的售价为30万元，每辆B型汽车的售价为14万元，若要使销售完这两种汽车后的利润不少于83万元．该经销商共有几种购车方案？哪种方案的利润最高？ 考点讲练九 不等式组的分配问题 【典例分析】（24-25七年级下·全国·单元测试）为筹备元旦联欢会，张老师想在网上商城购买巧克力分发给全班同学．他购买了5包颗数相同的巧克力，计划每人分20颗，这样会剩余80颗．后来因为网店存货不足，所以少买了2包，于是改成每人分14颗，当分到最后一名同学时，发现只有这名同学拿不到14颗，但是至少拿到7颗．全班至少有多少人？至多有多少人？ 【变式训练1】（24-25七年级下·山东枣庄·月考）春雨中学九年级（1）班和九年级（2）班的同学外出参观，将两班的所有学生分成8组，如果每组人数比预定每组人数多1人，那么学生总数将超过100人；如果每组人数比预定每组人数少1人，那么学生总数将不到90人．则预定每组学生有___________人． 【变式训练2】（24-25七年级下·上海·寒假作业）学校现有若干个房间分配给初三班的男生住宿，已知该班男生不足人，若每间住人，则余人无住处；若每间住人，则恰有一间不空也不满（其余均住满）．那么该班的男生人数是___________人． 考点讲练十 不等式组的方案选择问题 【典例分析】（25-26七年级下·山东菏泽·期末）已知用2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货11吨．现要将34吨货物一次性运完，且要求租用的车辆都载满．根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ (2)若A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次，共有几种租车方案？哪种方案租车费用最少？ 【变式训练1】（25-26七年级下·浙江宁波·期末）为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩．已知A型充电桩比B型充电桩的单价少0.3万元．若购买A型充电桩10个，B型充电桩5个，共需付款9万元． (1)A，B两种型号充电桩的单价各是多少万元？ (2)该停车场计划共购买20个A，B型充电桩，购买总费用不超过13万元，且A型充电桩购买数量不超过12个，共有几种购买方案？ 【变式训练2】（24-25七年级下·湖北襄阳·自主招生）三种图书的单价分别为元、元和元，某学校计划恰好用元购买上述图书本，那么不同的购书方案有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 考点讲练十一 一元一次不等式组的其他应用 【典例分析】（25-26七年级下·浙江绍兴·期末）绍兴柯桥不仅是历史悠久的鱼米之乡，还是享誉全国的“轻纺之都”，其纺织服装产业畅销海内外．已知某纺织公司员工在生产过程中需要打卷一批规格相同的绣花坯布，若70块坯布打一卷，则刚好打完；若60块坯布打一卷，则需多打一卷且还有不超过18块坯布剩余．求出这批坯布的块数． 【变式训练1】（25-26七年级下·浙江台州·期末）按照如下程序操作，规定：从“输入一个值”到“结果是否大于83”为一次程序操作．如果结果得到的数小于或等于83，则用得到的这个数进行下一次操作．如果程序操作执行两次才停止，则输入的的取值范围是_____． 【变式训练2】（25-26七年级下·浙江台州·期末）剪纸是我国著名的非物质文化遗产，学校准备购进，两种样式的剪纸用于课外拓展课，种剪纸每幅12元，种剪纸每幅9元，计划购进，两种类型剪纸共100幅，购买预算不超过1100元，且购进的种剪纸数量不少于种剪纸数量的一半，则至少购进种剪纸多少幅？ 【真题演练1】（2024·云南楚雄·中考真题）若不等式组的解集是，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【真题演练2】（2024·山东威海·中考真题）若不等式组有且只有2个整数解，且关于y的一元一次方程的解为非正数，则符合条件的整数的和是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【真题演练3】（2024·吉林长春·中考真题）若不等式组的解集为，则关于的方程组的解 为_____． 【真题演练4】（2024·贵州遵义·中考真题）已知关于的不等式组有两个整数解，求的取值范围_____. 【真题演练5】（2024·广西南宁·中考真题）对于实数、我们定义一种新运算（其中，均为非零常数），等式右边是通常的四则运算，由这种运算得到的数我们称之为线性数，记为，其中、叫做线性数的一个数对．若实数、都取正整数，我们称这样的线性数为正格线性数，这时的、叫做正格线性数的正格数对． (1)若，则________，________； (2)已知，． ①求，的值； ②若正格线性数，求满足的正格数对有多少个． 基础夯实 能力提升 1．（25-26七年级下·河南新乡·期中）图中是李刚同学设计的一个计算程序，规定从“输入 x”到判断“结果是否”为一次运行过程．如果程序运行两次就输出，那么的取值范围是（　　　） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·河南新乡·期中）关于的一元一次不等式组的解集，并在数轴上表示出解集．甲同学看完之后说：“老师，这道题无解，不能在数轴上表示．”乙同学看了甲的计算过程，说：“你把第2个式子抄错了，是数字3，不是你这个．”根据甲、乙两人的对话可知，甲可能将数字3抄成了数字（　　　） A．1 B．2 C．4 D．5 3．（25-26七年级下·河南新乡·期中）若不等式的解集中x的每一个值，都能使关于的不等式成立，则的取值范围是（　　　） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·安徽淮北·期中）（1）已知，设，那么的取值范围是____________． （2）若，且，，，设，且为整数，所有可能的值的和是____________． 5．（25-26七年级下·河南新乡·期中）若关于的不等式组有解，且关于的方程有非负整数解，则符合条件的所有整数的和为______． 6．（2026·四川南充·一模）定义一种新运算：，则关于x的不等式组的负整数解共有__________个． 7．（24-25七年级下·山东泰安·开学考试）若关于的不等式组的解集为，则的取值范围为______________________． 8．（25-26七年级下·河南周口·期中）某学校计划购买A、B两种奖品共100件，A奖品每件20元，B奖品每件15元． (1)若购买两种奖品共花费1650元，求A、B两种奖品各购买多少件？ (2)若购买B奖品的数量不少于A奖品数量的倍，总费用不少于1650元，问有几种购买方案？ 9．（25-26七年级下·北京·期中）解下列不等式（组）： (1)解不等式 (2)解不等式组 10．（25-26七年级下·湖南·期中）定义：给定两个不等式（组）和，若不等式（组）的任意一个解，都是不等式（组）的一个解，则称不等式（组）为不等式（组）的“子集”．例如：不等式是不等式的子集，不等式是不等式的子集，不等式组是不等式组的子集． (1)若不等式组：，，则其中不等式______是不等式的“子集”（填或）； (2)若不等式组的解集是的子集，求的取值范围； (3)若不等式组有解且它的解集是的子集，求的取值范围． 创新拓展 拔尖冲刺 1．（25-26七年级下·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，若一个点的纵坐标比这个点的横坐标的2倍少2，则称这个点为“幸运点”．给出下列结论中正确的是（    ） ①“幸运点”不可能在第二象限； ②若点是“幸运点”，且在坐标轴上，则点的坐标为； ③以关于，的方程组的解为坐标的点是“幸运点”； ④无论取何值时，以关于，的方程的解为坐标的点一定存在“幸运点”． A．①② B．①③ C．②③④ D．①③④ 2．（25-26七年级下·福建福州·期中）已知关于，的方程组，以下结论：①当时，方程组的解也是方程的解；②存在实数，使得；③不论取什么实数，的值始终不变；④若将方程组的每一组解都写成有序数对，并在坐标系中描出所有点，则这些点不可能落在第三象限．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（24-25七年级下·安徽淮南·自主招生）九年级某班有人参加数学综合能力测试，他们的总分为分，其中任意人分数之和不超过分，那么一个人最多得分（    ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）已知实数a，b满足． （1）当时，则的取值范围为__________； （2）在（1）的条件下，实数m，x满足，若存在在的取值范围内，则的取值范围为__________． 5．（25-26七年级下·全国·课后作业）代数式的值_____（填“能”或“不能”）同时大于和的值． 6．（2026七年级·全国·专题练习）若关于，的二元一次方程组的解满足不等式组则的取值范围为______． 7．（25-26七年级下·贵州贵阳·期末）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中记载了“物不知数”的问题，是“中国剩余定理”的经典应用．今有问题为：“现有兵两千有余且不满两千一百，五五数之剩一，七七数之剩三，八八数之剩二，问兵几何”．请利用“逐步确定”策略求出共有兵________人． 8．（25-26七年级下·北京海淀·期中）在平面直角坐标系中，．若为矩形内（不包括边界）一点，过点分别作轴和轴的平行线，这两条平行线将矩形分为四个小矩形，若这四个小矩形中有一个矩形的周长等于的长，则称为矩形的矩宽点．例如：下图中的点为矩形的一个矩宽点． (1)在点，，中，矩形的矩宽点是_____； (2)若点为矩形的矩宽点，直接写出的值_____； (3)将矩形的矩宽点按其坐标特征平移：若点横坐标大于纵坐标，则点向左平移一个单位；若点的横坐标小于等于纵坐标，则点向右平移一个单位．点平移后的点为点，则称点为矩形的矩宽平移点．已知点恰好为矩形的矩宽平移点，请直接写出点的坐标_____． 9．（25-26七年级下·北京·期中）给出如下定义：数轴上点对应的实数为，点对应的实数为，如果，将线段记作：如果，将线段记作．若点A对应的实数为，点B对应的实数为（，则称线段为线段的“平移线段”．若线段与线段有公共点（含端点），则称线段为线段的“相关平移线段” (1)写出以下线段的“平移线段”，并判断是否为线段的“相关平移线段”． ①数轴上点对应的实数为1，点对应的实数为2，； 线段的“平移线段”是（_____），_____（填“是”或“不是”）线段的“相关平移线段”； ②数轴上点对应的实数为，点对应的实数为0，； 线段的“平移线段”是（_____），_____（填“是”或“不是”）线段的“相关平移线段”： (2)数轴上点对应的实数为，点对应的实数为，如果“平移线段”是线段的“相关平移线段”，请写出的取值范围_____． (3)线段是，无论取何值，线段的“平移线段”都是线段的“相关平移线段”，则满足的条件是_____． 10．（25-26七年级下·湖南衡阳·月考）如图，数轴上线段，，点在数轴上表示的数是，点在数轴上表示的数是，若线段以个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段以个单位长度/秒的速度向左匀速运动． (1)问运动多少秒时，； (2)当为何值时，的值与参数无关，求满足条件的； (3)是线段上一点，当点运动到线段上时，是否存在关系式，若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年人教版（新教材）数学七年级下册同步培优【重点考点讲练】 专题11.3 一元一次不等式组『第十一章 不等式与不等式组』 （解析版） 【人教版七下●新教材】 知识梳理 技巧点拨 1 知识点一 一元一次不等式组 1 知识点二 一元一次不等式组的解集 2 知识点三 解一元一次不等式组的一般步骤 2 知识点四 一元一次不等式组的整数解 2 知识点五 一元一次不等式组的应用 3 重点难点 考点讲练 3 考点讲练一 求不等式组的解集 3 考点讲练二 求一元一次不等式组的整数解 5 考点讲练三 由一元一次不等式组的解集求参数 7 考点讲练四 由不等式组解集的情况求参数 8 考点讲练五 不等式组和方程组结合的问题 9 考点讲练六 列一元一次不等式组 11 考点讲练七 不等式组的行程问题 12 考点讲练八 不等式组的经济问题 14 考点讲练九 不等式组的分配问题 17 考点讲练十 不等式组的方案选择问题 18 考点讲练十一 一元一次不等式组的其他应用 21 中考真题 实战演练 23 难度分层 闯关训练 26 基础夯实 能力提升 26 创新拓展 拔尖冲刺 32 知识点一 一元一次不等式组 定义：关于同一个未知数的几个一元一次不等式联立在一起，就组成了一个一元一次不等式组. 特征：①不等式组中的所有不等式都是一元一次不等式； ②不等式组中的所有一元一次不等式都含有同一个未知数； ③不等式组中的一元一次不等式的个数为两个或两个以上. 知识点二 一元一次不等式组的解集 一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们组成的不等式组的解集．解不等式组就是求它的解集. 【补充】 1）如果不等式的解集无公共部分，就说这个不等式组无解. 2）在求不等式组的解集的过程中，通常是利用数轴来表示不等式组的解集的.确定方法如下表所示： 不等式组 设a＞b 解集 x＞a x＜b 无解 数轴上的表示 口诀 同大取大 同小取小 大大小小无处找 大小，小大中间找 知识点三 解一元一次不等式组的一般步骤 第一步：求出不等式组中各不等式的解集； 第二步：将各不等式的解集在数轴上表示出来； 第三步：在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集. 【易错点拨】 1）利用数轴表示不等式组解集时，要把几个不等式的解集都表示出来，不能仅画公共部分. 2）当不等式组中含有“≥”或“≤”时，边界点处要用实心圆点，解集的取法不变. 3）关于x的不等式组的解集为x=a，关于x的不等式组无解. 知识点四 一元一次不等式组的整数解 （1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）． 解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解． （2）已知解集（整数解）求字母的取值． 一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案． 知识点五 一元一次不等式组的应用 对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解． 一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤： （1）分析题意，找出不等关系； （2）设未知数，列出不等式组； （3）解不等式组； （4）从不等式组解集中找出符合题意的答案； （5）作答． 考点讲练一 求不等式组的解集 【典例分析】（25-26七年级下·安徽池州·期中）解不等式组，并写出不等式组的整数解． 【答案】；整数解为3，4 【分析】先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集，然后找出其中的整数解即可． 【详解】解：， 解①得：， 解②得：． ∴不等式组的解集为：． ∴不等式组的整数解为：3，4． 【变式训练1】（25-26七年级下·河南开封·期中）已知关于、的方程组中，为负数，为非正数． (1)求的取值范围； (2)在的取值范围内，当为何整数时，不等式的解集为． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先求出方程组的解，再根据“为负数，为非正数”列不等式组求解即可； （2）根据不等式的性质得到，进而求出的取值范围，再求整数解即可． 【详解】（1）解：解方程组得 ∵为负数，为非正数， （2）解：∵ ∴ ∵的解集为 当为或时，不等式的解集为． 【变式训练2】（25-26七年级下·河南开封·期中）不等式组的整数解是_____． 【答案】，0，1 【分析】先分别解两个一元一次不等式，确定两个不等式解集的公共部分得到不等式组的解集，再在解集范围内找出整数解即可． 【详解】解：， 解不等式①得． 解不等式②得． 因此不等式组的解集为． 则不等式组的整数解为，0，1． 考点讲练二 求一元一次不等式组的整数解 【典例分析】（24-25七年级下·四川泸州·期末）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来，并写出它的所有整数解； 【答案】，数轴见解析，不等式组的所有整数解为：0，1，2 【分析】分别求出不等式组中两个不等式的解集，然后可得不等式组的解集，再根据在数轴上表示解集的方法进行解答即可． 【详解】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 所以不等式组的解集为， 把解集在数轴上表示出来如图所示： 【变式训练1】（2026七年级下·重庆·专题练习）解不等式组：，并求该不等式组所有整数解的和． 【答案】 不等式组的解集为，不等式组所有整数解的和为 【分析】分别求出不等式组中两个不等式的解集，再找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而确定出整数解即可解答． 【详解】解： 由①得，， 整理得，， 解得，， 得，， 整理得，， 解得，， 该不等式组的解集为， 该不等式组的整数解为：，，， 不等式组所有整数解的和． 【变式训练2】（25-26七年级下·北京延庆·期中）解下列不等式或不等式组： (1)解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来． (2)解不等式组：，并写出它的所有整数解． 【答案】(1) ，数轴见解析； (2) 解集为，所有整数解为，，，． 【详解】（1）解：， ， ， ， 在数轴上表示解集为： （2）解：， 由得， ， ， ， 由得， ， ， ， ， 综上，解集为，所有整数解为，，，． 考点讲练三 由一元一次不等式组的解集求参数 【典例分析】（24-25七年级下·云南昭通·期末）不等式组的解集为，则m的取值范围在数轴上表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分别求解不等式组中的不等式，再利用不等式组的解集为确定m的取值范围，即可求解． 【详解】解：， 解不等式，得； 解不等式，得； ∵不等式组的解集为， ∴， 则m的取值范围在数轴上表示为 ， 选项B符合题意． 【变式训练1】（24-25七年级下·四川遂宁·期中）关于x的不等式组的解集为，则a、b的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式组的解集得到一个关于a和b的方程组，解方程组即可求解． 【详解】解：不等式组的解集为， ， 解得． 【变式训练2】（2026七年级下·上海·专题练习）若关于的不等式组无解，求应满足的条件． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的解集的应用．根据已知得出关于的不等式，求出即可． 【详解】解：由题意可得，不等式组无解， ∴， 解得：． 考点讲练四 由不等式组解集的情况求参数 【典例分析】（25-26七年级下·上海杨浦·月考）若不等式组无解，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据不等式组无解的判定规则，列出关于a的一元一次不等式，求解即可得到a的取值范围． 【详解】解：∵不等式组无解， ∴， 移项得， 合并同类项得， 解得． 【变式训练1】（24-25七年级下·贵州安顺·期末）若关于的不等式组无解，则的取值范围是_________． 【答案】 【分析】先分别求解不等式组中两个不等式的解集，再根据不等式组无解的条件列出关于的不等式，求解即可得到的取值范围. 【详解】解： 解不等式①得：； 解不等式②得：； 不等式组无解， ， 解得. 【变式训练2】（24-25七年级下·河南南阳·月考）已知关于x的不等式组，若该不等式组有且只有三个整数解，求a的取值范围． 【答案】 【分析】先解不等式组，然后根据不等式组有且只有三个整数解，可列出的不等式，即可求解． 【详解】解：∵， 解不等式①得到， 解不等式②得到， ∵不等式组有且只有三个整数解， ∴这三个整数解为3，4，5． ∴． ∴． 考点讲练五 不等式组和方程组结合的问题 【典例分析】（25-26七年级下·安徽淮北·期中）如果方程组：的解满足，求的取值范围． 【答案】 【分析】先将两方程相加，整理得到根据解不等式即可． 【详解】解：由方程组， 得：， ， ， ， 解得：． 【变式训练1】（24-25七年级下·四川眉山·期中）已知关于，的方程组 (1)若方程组的解满足，求的值； (2)若方程组的解满足为非正数，为负数，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，化简：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）方法一：先求出方程组的解，再根据方程组的解满足列出关于m的一元一次方程，再解方程即可；方法二：由①②可得，求出m的值即可． （2）由（1）中求出的方程组的解，再根据x，y的取值范围列出不等式组，即可求出m的取值范围． （3）先根据（2）中求出的m的取值范围判断绝对值内式子的正负，进而化简绝对值即可． 本题考查二元一次方程组的解法以及不等式组的求解，绝对值的化简，熟练掌握二元一次方程组的解法以及解不等式组是解题的关键． 【详解】（1）解：， 方法一：①②得， ， ①②，得， ， ， ， 解得． 方法二：①②得， ， ， 解得． （2）解：由（1）知，， ∵为非正数，为负数， ∴，， ， 解得． （3）解：， ，， ． 【变式训练2】（25-26七年级下·全国·课后作业）关于，的方程组且，满足． (1)求的取值范围； (2)已知，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（）求出方程组的解，进而求出，再根据已知列出关于的不等式组解答即可求解； （）由已知得，即得，再结合（）的结果解答即可求解． 【详解】（1）解：解二元一次方程组，得， ∴， ， ， 解得； （2）解：， ， ， 由（）知，， ， 的取值范围是． 考点讲练六 列一元一次不等式组 【典例分析】（23-24七年级下·全国·单元测试）小明在天气预报网上，查询到今年3月8日重庆市最高气温是，最低气温是，则当天重庆市气温的变化范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列一元一次不等式组，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．理解题意是解题的关键．最高气温是，即气温小于或等于，最低气温即温度大于或等于，据此即可判断． 【详解】解：某天最高气温是，最低气温，则当天重庆市的气温t℃的变化范围是． 故答案为：D． 【变式训练1】（23-24七年级下·湖北武汉·期末）某校为了培养学生阅读的习惯，准备把一些书分给学生阅读，若每人分3本，则多10本；若每人分5本，则最后一人分到了书但不到3本书．共有多少学生？现设一共有x名学生，则可列不等式组为________． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组．设一共有x名学生，根据如果每人分3本，则多10本，共本书；如果每人分5本，那么最后一人分到的书是，可列出不等式组． 【详解】解：设一共有x名学生，列不等式组为： ． 故答案为：． 【变式训练2】（2024·浙江杭州·三模）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于，蛋白质的含量p应不少于．据此情境，可列不等式组为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了列不等式组，解题的关键是理解题意，根据酸奶中脂肪的含量f应不少于，蛋白质的含量p应不少于，列出不等式组即可． 【详解】解：∵脂肪的含量f应不少于，蛋白质的含量p应不少于， ∴， 故选：A． 考点讲练七 不等式组的行程问题 【典例分析】（25-26七年级下·全国·课后作业）方方驾驶汽车从甲地匀速行驶去乙地，设汽车的行驶速度为．已知行驶速度限定为不超过，若他以的平均速度行驶，则需到达目的地；若他必须要在内（包括）到达乙地，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 根据路程不变，由速度和时间的关系列出不等式组，解之即可得出行驶的平均速度的范围． 【详解】解：依题意得： 解得：． 故答案为：． 【变式训练1】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·月考）哈市乘坐出租车的收费标准：起步价8元（即行驶距离不超过3千米都须付8元车费），超过3千米以后，每增加1千米，加收2元（不足1千米的部分按1千米计）．某人乘出租车从甲地到乙地共付车费18元，那么甲地到乙地路程满足（　　） A． B．7 C．7 D．7 【答案】D 【分析】本题主要考查了不等式组的应用，根据总费用18元中，起步价8元对应3千米，剩余10元为超过3千米的费用，根据超过部分每千米2元，求出超过的千米数为千米，根据不足1千米按1千米计，实际路程需满足：超过3千米的部分大于4千米且不超过5千米，据此列出不等式组解不等式组即可． 【详解】解：∵总费用18元中，起步价8元对应3千米，剩余10元为超过3千米的费用，超过部分每千米2元， ∴超过的千米数为千米， ∵不足1千米按1千米计， ∴实际路程需满足：超过3千米的部分大于4千米且不超过5千米， ∴， 解得：， 故选：D． 【变式训练2】（24-25七年级下·全国·暑假作业）某人上午8时以5千米/时的速度从A地步行到B地，到B地时已过12时，但不到12时10分，设A、B两地相距x千米，根据题意列不等式组 ________． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组，理解题意是解题的关键．设A、B两地相距x千米，根据到B地时已过12时，但不到12时10分，列一元一次不等式组即可． 【详解】解：根据题意，得， 故答案为：． 考点讲练八 不等式组的经济问题 【典例分析】（24-25七年级下·江苏无锡·期末）《哪吒2》上映后非常火爆，哪吒、敖丙的玩偶深受大众喜爱．某商家购进了一批这种玩偶销售，若售出2个哪吒玩偶和4个敖丙玩偶的总销售额为80元，售出3个哪吒玩偶和2个敖丙玩偶的总销售额为60元． (1)求哪吒、敖丙玩偶每个售价各是多少元？ (2)刘老师准备用105元钱购买9个玩偶奖励给学生（两种都要购买，钱可以有剩余）．请通过计算帮助刘老师分析有哪些可能的购买方案． 【答案】(1)哪吒玩偶的售价为10元，敖丙玩偶的售价为15元； (2)一共有三种方案：购买哪吒玩偶6个，购买敖丙玩偶3个或购买哪吒玩偶7个，购买敖丙玩偶2个或购买哪吒玩偶8个，购买敖丙玩偶1个 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意列出方程组和不等式组是解题的关键． （1）设哪吒玩偶的售价为x元，敖丙玩偶的售价为y元，根据“售出2个哪吒玩偶和4个敖丙玩偶的总销售额为80元，售出3个哪吒玩偶和2个敖丙玩偶的总销售额为60元”建立方程组求解即可； （2）设购买哪吒玩偶m个，则购买敖丙玩偶个，根据总费用不超过105元可得，求出不等式的解集即可得到答案． 【详解】（1）解：设哪吒玩偶的售价为x元，敖丙玩偶的售价为y元， 由题意得，， 解得． 答：哪吒玩偶的售价为10元，敖丙玩偶的售价为15元； （2）解：设购买哪吒玩偶m个，则购买敖丙玩偶个， 由题意得，， 解得， ∴当时，， 当时，， 当时，， 答：一共有三种方案：购买哪吒玩偶6个，购买敖丙玩偶3个或购买哪吒玩偶7个，购买敖丙玩偶2个或购买哪吒玩偶8个，购买敖丙玩偶1个． 【变式训练1】（24-25七年级下·江苏扬州·期末）青少年读书行动启动后，某中学积极响应，计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购进的图书，调查发现，若购买甲种书柜2个、乙种书柜3个，共需资金900元；若购买甲种书柜3个，乙种书柜4个，共需资金1250元． (1)甲、乙两种书柜每个的价格分别是多少元？ (2)若该校计划购进这两种规格的书柜共24个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，学校至多能够提供资金4300元，则购买甲种书柜至少多少个？ 【答案】(1)甲种书柜单价为150元，乙种书柜的单价为200元 (2)甲种书柜至少购买10个 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，找出等量关系式和不等关系式是解题的关键． （1）根据若购买甲种书柜2个、乙种书柜3个，共需资金900元；若购买甲种书柜3个，乙种书柜4个，共需资金1250元列方程组，即可求解； （2）根据乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，学校至多能够提供资金4300元列出不等式组即可求解． 【详解】（1）设甲种书柜单价为元，乙种书柜的单价为元，由题意得： ， 解之得：， 答：甲种书柜单价为150元，乙种书柜的单价为200元． （2）设甲种书柜购买个，则乙种书柜购买个； 由题意得：， 解之得：， 所以甲种书柜至少购买10个． 【变式训练2】（24-25七年级下·湖北宜昌·期末）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元． (1)求两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)该汽车销售公司计划购进这两种型号的汽车共20辆，用于拓展市场业务．该销售公司投入的购车资金不超过380万元，且为了保证销售时有足够的车型选择，规定购进的B型汽车数量不少于A型汽车数量的3倍．假设每辆A型汽车的售价为30万元，每辆B型汽车的售价为14万元，若要使销售完这两种汽车后的利润不少于83万元．该经销商共有几种购车方案？哪种方案的利润最高？ 【答案】(1)A型汽车每辆的进价为25万元，B型汽车每辆的进价为10万元； (2)共有3种购车方案，购进5辆A型、15辆B型时利润最高． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意列出方程组和不等式组是解题的关键． （1）设A型汽车每辆的进价为万元，B型汽车每辆的进价为万元，根据2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元建立方程组求解即可； （2）设购进A型汽车辆，则购进B型汽车辆，根据购车资金不超过380万元，购进的B型汽车数量不少于A型汽车数量的3倍且销售完这两种汽车后的利润不少于83万元建立不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设A型汽车每辆的进价为万元，B型汽车每辆的进价为万元， 依题意得：， 解得：， 答：A型汽车每辆的进价为25万元，B型汽车每辆的进价为10万元； （2）解：设购进A型汽车辆，则购进B型汽车辆． 由题意得， 解得， ∵为整数， ∴m的值为3或4或5； ∴共有三种购买方案，利润为万元 当时，利润为万元； 当时，利润为万元； 当时，利润为万元； 答：共有3种购车方案，购进5辆A型、15辆B型时利润最高． 考点讲练九 不等式组的分配问题 【典例分析】（24-25七年级下·全国·单元测试）为筹备元旦联欢会，张老师想在网上商城购买巧克力分发给全班同学．他购买了5包颗数相同的巧克力，计划每人分20颗，这样会剩余80颗．后来因为网店存货不足，所以少买了2包，于是改成每人分14颗，当分到最后一名同学时，发现只有这名同学拿不到14颗，但是至少拿到7颗．全班至少有多少人？至多有多少人？ 【答案】全班至少有25人，至多有27人 【分析】本题考查的是二元一次方程与不等式组的应用，设全班有人，每包有颗巧克力，根据题意，得，再进一步解题即可． 【详解】解：设全班有人，每包有颗巧克力，根据题意，得 由①得：， 将代入②，得， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∵是正整数， ∴全班至少有25人，至多有27人． 【变式训练1】（24-25七年级下·山东枣庄·月考）春雨中学九年级（1）班和九年级（2）班的同学外出参观，将两班的所有学生分成8组，如果每组人数比预定每组人数多1人，那么学生总数将超过100人；如果每组人数比预定每组人数少1人，那么学生总数将不到90人．则预定每组学生有___________人． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的实际应用，根据题意列出不等式组是解题的关键． 设预定每组分配人，根据两班的所有学生分成8组，如果每组人数比预定每组人数多1人，那么学生总数将超过100人；如果每组人数比预定每组人数少1人，那么学生总数将不到90人，列出不等式方程组求解即可． 【详解】解：设预定每组分配人，根据题意可得： 解得： ∵为整数， ∴， 故答案为：． 【变式训练2】（24-25七年级下·上海·寒假作业）学校现有若干个房间分配给初三班的男生住宿，已知该班男生不足人，若每间住人，则余人无住处；若每间住人，则恰有一间不空也不满（其余均住满）．那么该班的男生人数是___________人． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式组的实际应用，解决本题的关键是读懂题意，并根据题意列出不等式组．设有间宿舍，利用“若每间住人，则余人无住处”得出总人数为，利用“若每间住人，则恰有一间不空也不满（其余均住满）”列式求出范围，再结合为正整数，依次对的值进行判断该班男生是否不足人，即可求解． 【详解】解：设有间宿舍． 根据题意，得：， 解得：， 因为为正整数， 当时，人数为； 当时，人数为； 当时，人数为； 因为该班男生不足人， 所以该班的男生人数是人， 故答案为：． 考点讲练十 不等式组的方案选择问题 【典例分析】（25-26七年级下·山东菏泽·期末）已知用2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货11吨．现要将34吨货物一次性运完，且要求租用的车辆都载满．根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ (2)若A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次，共有几种租车方案？哪种方案租车费用最少？ 【答案】(1)1辆A型车载满货物一次可运货3吨，1辆B型车载满货物一次可运货4吨 (2)共有3种租车方案；方案3租用A型车2辆、B型车7辆最省钱，最少租车费为1040元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用以及在实际问题中寻找最优解方案的能力．问题分为两个部分：第一部分是通过已知运输组合建立方程组，求出每种车型的载货量；第二部分是在总运量固定的前提下，结合租金费用，找出满足运输需求的所有可行方案，并比较各方案的总费用，确定最经济的一种．解题核心在于正确列出方程，合理分析整数解情况，并进行成本比较． 【详解】（1）解：设1辆A型车载满货物一次可运货吨，1辆B型车载满货物一次可运货吨． 根据题意： 得 将第一个方程乘以2： 减去第二个方程： 代入第一个原方程： 解得： 答：1辆A型车载满货物一次可运货3吨，1辆B型车载满货物一次可运货4吨． （2）设租用A型车辆，B型车辆，依题意，租用的车辆需恰好运完34吨货物，故有 其中为非负整数． 由方程得： 要求为非负整数，则必须是3的非负倍数． 得到三组解： A型车100元/辆，B型车120元/辆 方案1：10×100+1×120=1000+120=1120元 方案2：6×100+4×120=600+480=1080元 方案3：2×100+7×120=200+840=1040元 共有3种租车方案，其中方案3总费用最低，为1040元． 答：共有3种租车方案，租用2辆A型车和7辆B型车时费用最少，为1040元． 【变式训练1】（25-26七年级下·浙江宁波·期末）为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩．已知A型充电桩比B型充电桩的单价少0.3万元．若购买A型充电桩10个，B型充电桩5个，共需付款9万元． (1)A，B两种型号充电桩的单价各是多少万元？ (2)该停车场计划共购买20个A，B型充电桩，购买总费用不超过13万元，且A型充电桩购买数量不超过12个，共有几种购买方案？ 【答案】(1)A型充电桩单价为0.5万元，B型充电桩单价为0.8万元 (2)共有3种购买方案 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据题意列出方程组并求解即可； （2）根据题意列出不等式并求解即可． 【详解】（1）解：设型充电桩单价为万元，型充电桩单价为万元， 由题意知， ， 解得   ， 答：A型充电桩单价为0.5万元，B型充电桩单价为0.8万元； （2）解：设型充电桩购入个， 则有， 解得， 又∵为整数， ∴或或． 答：共有3种购买方案． 【变式训练2】（24-25七年级下·湖北襄阳·自主招生）三种图书的单价分别为元、元和元，某学校计划恰好用元购买上述图书本，那么不同的购书方案有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用，不等式组的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程组，准确计算确定取值范围． 设购买元、元和元图书的数量分别为a、b、c本，根据总本数和总金额列出方程组，通过代入消元得到a与c的关系，再根据非负整数条件确定a的取值范围，从而得到方案数． 【详解】解：设购买三种图书的数量分别为a、b、c本， 由题意得：， 整理得：， ∵a、b、c为非负整数， ∴， 解得：， ∴a的取值范围为0到的整数，共种可能的取值，（分别为0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，）， 对于每一个a值，对应地可求出唯一的b和c， ∴不同的购书方案共有种． 故选：B． 考点讲练十一 一元一次不等式组的其他应用 【典例分析】（25-26七年级下·浙江绍兴·期末）绍兴柯桥不仅是历史悠久的鱼米之乡，还是享誉全国的“轻纺之都”，其纺织服装产业畅销海内外．已知某纺织公司员工在生产过程中需要打卷一批规格相同的绣花坯布，若70块坯布打一卷，则刚好打完；若60块坯布打一卷，则需多打一卷且还有不超过18块坯布剩余．求出这批坯布的块数． 【答案】490块 【分析】本题考查了一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意，建立不等式组求解是解题的关键． 设70块坯布可以打卷，根据“若70块坯布打一卷，则刚好打完；若60块坯布打一卷，则需多打一卷且还有不超过18块坯布剩余”建立不等式组求解即可． 【详解】解：设70块胚布可以打卷， 则由题意得 解得， 所以整数 所以坯布数量块． 【变式训练1】（25-26七年级下·浙江台州·期末）按照如下程序操作，规定：从“输入一个值”到“结果是否大于83”为一次程序操作．如果结果得到的数小于或等于83，则用得到的这个数进行下一次操作．如果程序操作执行两次才停止，则输入的的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用， 先根据程序图的操作过程得出不等式组，再求出不等式组的解集． 【详解】解：根据题意，得 ， 解得． 故答案为：． 【变式训练2】（25-26七年级下·浙江台州·期末）剪纸是我国著名的非物质文化遗产，学校准备购进，两种样式的剪纸用于课外拓展课，种剪纸每幅12元，种剪纸每幅9元，计划购进，两种类型剪纸共100幅，购买预算不超过1100元，且购进的种剪纸数量不少于种剪纸数量的一半，则至少购进种剪纸多少幅？ 【答案】34幅 【分析】此题考查的是一元一次不等式组的应用，掌握实际问题中的不等关系是解决此题的关键． 设购进种剪纸幅，则购进种剪纸幅，根据“购买预算不超过1100元，且购进的种剪纸数量不少于种剪纸数量的一半”列不等式组求解即可． 【详解】解：设购进种剪纸幅，则购进种剪纸幅， ， 由①得，， 由②得，， 不等式组解集为， 为整数， ， 答：至少购进A种剪纸34幅． 【真题演练1】（2024·云南楚雄·中考真题）若不等式组的解集是，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求解第一个不等式得到，再根据一元一次不等式组“同小取小”的解集规律，建立关于的不等式，即可求出的取值范围． 【详解】解：， 解不等式，得， ∴原不等式组可化为 ， ∵不等式组的解集是， 根据“同小取小”的规律，可得， 解得． 【真题演练2】（2024·山东威海·中考真题）若不等式组有且只有2个整数解，且关于y的一元一次方程的解为非正数，则符合条件的整数的和是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查不等式组的整数解与一元一次方程的解，分别求解不等式组的解集、方程的解，结合条件确定的取值范围，进而得到符合条件的整数并求和． 【详解】解：先解不等式组，解不等式①，得；解不等式②，得， 所以不等式组的解集为． ∵不等式组有且只有2个整数解，结合，可知整数解为2、1， ∴，解得． 再解关于的方程，得， ∵方程的解为非正数，即， ∴，解得． 结合与，得，符合条件的整数为2、3， ∵它们的和为， ∴符合条件的整数的和是5． 故选：C． 【真题演练3】（2024·吉林长春·中考真题）若不等式组的解集为，则关于的方程组的解 为_____． 【答案】 【分析】本题考查了根据一元一次不等式组的解集求参数，利用加减消元法求解二元一次方程组的解，利用不等式组的解集求出，，代入再利用加减消元法求解方程组的解即可． 【详解】解：不等式组的解集为， ，， ， 得：， 解得：， 将代入得：， 解得：， 则方程组的解为， 故答案为：． 【真题演练4】（2024·贵州遵义·中考真题）已知关于的不等式组有两个整数解，求的取值范围_____. 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，根据已知即可得出关于的不等式组，求出不等式组的解集即可 【详解】解：依题意，得 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组有两个整数解， ∴， 解得：， 故答案为：． 【真题演练5】（2024·广西南宁·中考真题）对于实数、我们定义一种新运算（其中，均为非零常数），等式右边是通常的四则运算，由这种运算得到的数我们称之为线性数，记为，其中、叫做线性数的一个数对．若实数、都取正整数，我们称这样的线性数为正格线性数，这时的、叫做正格线性数的正格数对． (1)若，则________，________； (2)已知，． ①求，的值； ②若正格线性数，求满足的正格数对有多少个． 【答案】(1)9；6 (2)，；10 【分析】（1）根据的运算法则代入计算即可； （2）①根据定义，代入，然后列出关于m，n的二元一次方程组求解即可． ②根据新定义运算，列出关于a的一元一次不等式组，求解得出a的取值范围，再根据正格数对的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，． （2）解：①∵，，． ∴， 解得． ②∵， ∴， 解得：， ∴a可取11，12，13，14，15，16，17，18，19，20，一共10个． 即满足的正格数对有10个． 基础夯实 能力提升 1．（25-26七年级下·河南新乡·期中）图中是李刚同学设计的一个计算程序，规定从“输入 x”到判断“结果是否”为一次运行过程．如果程序运行两次就输出，那么的取值范围是（　　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题可知两次就停止，则有第一次结果15，第二次结果15，由此可得关于x的一元一次不等式组，解之即可得． 【详解】解：由题可得 解得：． 2．（25-26七年级下·河南新乡·期中）关于的一元一次不等式组的解集，并在数轴上表示出解集．甲同学看完之后说：“老师，这道题无解，不能在数轴上表示．”乙同学看了甲的计算过程，说：“你把第2个式子抄错了，是数字3，不是你这个．”根据甲、乙两人的对话可知，甲可能将数字3抄成了数字（　　　） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】D 【分析】设甲将数字3抄成参数a，先分别解两个不等式，再根据不等式组无解得到a的取值范围，即可判断符合条件的选项． 【详解】解：设甲将数字3抄成了，得到甲所用的不等式组为 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∵不等式组无解， ∴， 解得， 选项中只有满足，因此甲将3抄成了5． 3．（25-26七年级下·河南新乡·期中）若不等式的解集中x的每一个值，都能使关于的不等式成立，则的取值范围是（　　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出不等式的解集，再求出不等式的解集，根据第一个不等式的所有解都满足第二个不等式，据此列出关于的不等式求解即可． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， 不等式的解集中的每一个值都满足， ， 解得． 4．（25-26七年级下·安徽淮北·期中）（1）已知，设，那么的取值范围是____________． （2）若，且，，，设，且为整数，所有可能的值的和是____________． 【答案】 【分析】（1）直接根据不等式的性质作答即可； （2）根据题意得到，，，根据，，列不等式组求出的取值范围，进而得到的取值范围，根据为整数得到所有可能的值，相加即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， 即； （2）， ，， ∵， ，，， 可得关于的一元一次不等式组， 解得， 的取值范围为， 为整数， 所有可能的值为， 所有可能的值的和为． 5．（25-26七年级下·河南新乡·期中）若关于的不等式组有解，且关于的方程有非负整数解，则符合条件的所有整数的和为______． 【答案】 【分析】先解一元一次不等式组，根据不等式组有解确定的取值范围，再解关于的一元一次方程，根据方程有非负整数解找出符合条件的整数，最后计算所有符合条件的整数的和． 【详解】解：， 解①得：， 解②得：， ∵不等式组有解， ∴， 解得：， 化简方程得， ∵， ∴， ∴方程的解为， ∵方程有非负整数解，且不满足方程， ∴为正整数，即为负整数，且是的因数， ∵， ∴， ∴的可能取值为， ∴对应整数为． ∴符合条件的所有整数的和为． 6．（2026·四川南充·一模）定义一种新运算：，则关于x的不等式组的负整数解共有__________个． 【答案】3 【分析】根据新定义化简不等式组.求出解集后，找出解集中的负整数，即可得到负整数解的个数． 【详解】解： 将不等式组，即化简得 解得 解得 不等式组的解集为 不等式组的负整数解为，共个． 7．（24-25七年级下·山东泰安·开学考试）若关于的不等式组的解集为，则的取值范围为______________________． 【答案】 【分析】分别求出不等式组中两个不等式的解集，根据不等式组的解集列出关于a的不等式，解不等式即可得到答案． 【详解】解：解不等式 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得； 解不等式得， ∵不等式组的解集为， ∴， ∴． 8．（25-26七年级下·河南周口·期中）某学校计划购买A、B两种奖品共100件，A奖品每件20元，B奖品每件15元． (1)若购买两种奖品共花费1650元，求A、B两种奖品各购买多少件？ (2)若购买B奖品的数量不少于A奖品数量的倍，总费用不少于1650元，问有几种购买方案？ 【答案】(1)购买A种奖品30件，则购买B种奖品70件； (2)三种方案 【分析】（）设购买A种奖品x件，则购买B种奖品件，根据题意得，然后解方程即可； （）设购买A种奖品m件，则购买B种奖品件，根据题意列出不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设购买A种奖品x件，则购买B种奖品件， 根据题意得， 解得， 则， 答：购买A种奖品30件，则购买B种奖品70件； （2）解：设购买A种奖品m件，则购买B种奖品件， 根据题意得，​ 解不等式①得； 解不等式②得， ∴， 当时，； 当时，； 当时，； 综上：共有3种购买方案． 9．（25-26七年级下·北京·期中）解下列不等式（组）： (1)解不等式 (2)解不等式组 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，求出的取值范围即可； （2）分别求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无法找（无解）”确定不等式组的解集即可． 【详解】（1）解：， 去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并得，， 系数化为1，得：； （2）解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， 所以，不等式组的解集为． 10．（25-26七年级下·湖南·期中）定义：给定两个不等式（组）和，若不等式（组）的任意一个解，都是不等式（组）的一个解，则称不等式（组）为不等式（组）的“子集”．例如：不等式是不等式的子集，不等式是不等式的子集，不等式组是不等式组的子集． (1)若不等式组：，，则其中不等式______是不等式的“子集”（填或）； (2)若不等式组的解集是的子集，求的取值范围； (3)若不等式组有解且它的解集是的子集，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据子集的定义判断即可； （2）解出不等式组的解集，由其是的子集，可得出，且，解出的取值范围即可； （3）先解不等式组不等式组，得出结果后，由其有解以及是的子集，可得，且，解出的取值范围即可． 【详解】（1）解：不等式为，不等式为， 不等式是不等式的子集， 故答案为：； （2）解：解不等式组， 解得其解集是， ∵是的子集， ∴，且， 解得：， ∴的取值范围是； （3）解：不等式组的解集为， 这个不等式组有解且它的解集是的子集， ∴，且， 解得， 的取值范围是． 创新拓展 拔尖冲刺 1．（25-26七年级下·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，若一个点的纵坐标比这个点的横坐标的2倍少2，则称这个点为“幸运点”．给出下列结论中正确的是（    ） ①“幸运点”不可能在第二象限； ②若点是“幸运点”，且在坐标轴上，则点的坐标为； ③以关于，的方程组的解为坐标的点是“幸运点”； ④无论取何值时，以关于，的方程的解为坐标的点一定存在“幸运点”． A．①② B．①③ C．②③④ D．①③④ 【答案】D 【详解】解：结论①：一个点的纵坐标比这个点的横坐标的2倍少2，即幸运点满足．若“幸运点”在第二象限，则应满足，即，此不等式组无解，因此“幸运点”不可能在第二象限，故结论①符合题意； 结论②，若“幸运点”在坐标轴上，则当在轴上时，，即，解得．当在轴上时，，此时，因此或，故结论②不符合题意； 结论③，对于方程组由①+②，得 ，整理得，因此以关于，的方程组的解为坐标的点是“幸运点”，故结论③符合题意； 结论④， ，当时，，，此时点为“幸运点”，故结论④符合题意． 综上可知，正确的结论是． 2．（25-26七年级下·福建福州·期中）已知关于，的方程组，以下结论：①当时，方程组的解也是方程的解；②存在实数，使得；③不论取什么实数，的值始终不变；④若将方程组的每一组解都写成有序数对，并在坐标系中描出所有点，则这些点不可能落在第三象限．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】当时，方程为，再把两个方程相加可判断①，由两个方程相减，再建立方程可判断②；解方程组求解可判断③；解方程组可得，再建立不等式组可判断④． 【详解】解：当时， 方程组为， 解得： 代入，与已知矛盾，故①不符合题意； ∵， （4）（3）得：； ∵， ∴，解得，故②符合题意； ∵ ∴（3）+（4）得：； 而可得； ∴， ∴，故③符合题意； ∵， 解方程组可得：， 若点落在第三象限，需满足且， 即， 解可得：； 解可得：， ∴不等式组无解， ∴将方程组的每一组解都写成有序数对，并在坐标系中描出所有点，则这些点不可能落在第三象限；故④符合题意； 综上所述，正确的有3个． 3．（24-25七年级下·安徽淮南·自主招生）九年级某班有人参加数学综合能力测试，他们的总分为分，其中任意人分数之和不超过分，那么一个人最多得分（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是一元一次不等式的实际应用，解题关键是通过任意人分数之和不超过分分析得到不含最高分的其余人满足任意三人分数之和不超过． 设得分最高的人分数为，则其他人总分为，结合任意人分数和，分析可得包括最高分者时，任意其他三人分数之和不超过，则其他 人需满足任意三人分数之和不超过，列出不等式 后即可得解． 【详解】解：总分，设最高分为，则其他人总分为， 又任意人分数和，包括最高分时，任意其他三人分数和， 其他人任意三人分数和，其总分， ， 即， ， ， 当时，其他人分数均为，任意三人之和为， 此时任意四人之和为，满足条件， 一个人最多得分． 故选：． 4．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）已知实数a，b满足． （1）当时，则的取值范围为__________； （2）在（1）的条件下，实数m，x满足，若存在在的取值范围内，则的取值范围为__________． 【答案】 【分析】（1）根据题意列得关于的不等式，解不等式即可； （2）根据题意列得关于的不等式，解不等式即可． 【详解】解：（1）已知实数，满足， 当时， ， 解得：； （2）在（）的条件下，实数，满足，若存在在的取值范围中， ， 解得：． 5．（25-26七年级下·全国·课后作业）代数式的值_____（填“能”或“不能”）同时大于和的值． 【答案】不能 【分析】通过解两个不等式，判断代数式是否同时大于给定表达式，发现不等式组无解． 本题考查了解不等式组，熟练掌握解不等式的方法是解题的关键． 【详解】解：由题可知，列不等式组为：； 代数式化简为 ， 解不等式 ， 两边乘2得 ， 移项得 ， 两边除以得 ． 解不等式 ； 两边乘6得 ， 移项得 ， 两边除以11得 ； 不等式组 和 无公共解， ∴不能同时大于； 故答案为：不能． 6．（2026七年级·全国·专题练习）若关于，的二元一次方程组的解满足不等式组则的取值范围为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，二元一次方程组的解，解一元一次不等式，用表示出和是解本题的关键． 方程组两方程相加减表示出与，代入不等式组计算即可求出的范围． 【详解】解： 得：，即， 得：， ∵关于，的二元一次方程组的解满足不等式组， ∴ 解得：， 故答案为：． 7．（25-26七年级下·贵州贵阳·期末）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中记载了“物不知数”的问题，是“中国剩余定理”的经典应用．今有问题为：“现有兵两千有余且不满两千一百，五五数之剩一，七七数之剩三，八八数之剩二，问兵几何”．请利用“逐步确定”策略求出共有兵________人． 【答案】2026 【分析】本题考查“逐步确定”策略，根据题意，先确定之间，满足除以8余2的数，再在这些数中确定除以7余3的数，再确定除以5余1的数即可． 【详解】解：设八八数之剩二的数为， 由题意，， ∴，即， ∴满足题意的整数为共13个数， ∴满足条件的数有2002，2010，2018，2026，2034，2042，2050，2058，2066，2074，2082，2090，2098，共13个数， 这13个数中满足七七数之剩三的数只有2026和2082两个数， 2026和2082两个数中满足五五数之剩一的只有2026； 故共有兵2026人； 故答案为：2026. 8．（25-26七年级下·北京海淀·期中）在平面直角坐标系中，．若为矩形内（不包括边界）一点，过点分别作轴和轴的平行线，这两条平行线将矩形分为四个小矩形，若这四个小矩形中有一个矩形的周长等于的长，则称为矩形的矩宽点．例如：下图中的点为矩形的一个矩宽点． (1)在点，，中，矩形的矩宽点是_____； (2)若点为矩形的矩宽点，直接写出的值_____； (3)将矩形的矩宽点按其坐标特征平移：若点横坐标大于纵坐标，则点向左平移一个单位；若点的横坐标小于等于纵坐标，则点向右平移一个单位．点平移后的点为点，则称点为矩形的矩宽平移点．已知点恰好为矩形的矩宽平移点，请直接写出点的坐标_____． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（）根据矩宽点的定义逐一判断即可求解； （）根据矩宽点的定义列出方程解答即可求解； （）分点横坐标大于纵坐标和点的横坐标小于等于纵坐标两种情况，据矩宽点的定义列出方程解答即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 当点时，如图，，矩形的周长为 ，此时点为矩形的矩宽点； 当点时，如图，点位于矩形的中心，小矩形的周长为 ，故点不是矩形的矩宽点； 当点时，点位于矩形的外部，不符合矩宽点的定义，故点不是矩形的矩宽点； （2）解：如图，∵点为矩形的矩宽点， ∴ 或 ， 解得：或， （3）解：当点横坐标大于纵坐标时，则点的坐标为， ∵点在矩形内部， ∴， 解得， ∵点是矩形的矩宽点， ∴ 或 或 或 ， 解得或（不合，舍去）， ∴； 当点的横坐标小于等于纵坐标，则点的坐标为， ∵点在矩形内部， ∴， 解得， ∵点是矩形的矩宽点， ∴ 或 或 或 ， 解得（不合，舍去）或， ∴； 综上，点的坐标为或， 故答案为：或． 9．（25-26七年级下·北京·期中）给出如下定义：数轴上点对应的实数为，点对应的实数为，如果，将线段记作：如果，将线段记作．若点A对应的实数为，点B对应的实数为（，则称线段为线段的“平移线段”．若线段与线段有公共点（含端点），则称线段为线段的“相关平移线段” (1)写出以下线段的“平移线段”，并判断是否为线段的“相关平移线段”． ①数轴上点对应的实数为1，点对应的实数为2，； 线段的“平移线段”是（_____），_____（填“是”或“不是”）线段的“相关平移线段”； ②数轴上点对应的实数为，点对应的实数为0，； 线段的“平移线段”是（_____），_____（填“是”或“不是”）线段的“相关平移线段”： (2)数轴上点对应的实数为，点对应的实数为，如果“平移线段”是线段的“相关平移线段”，请写出的取值范围_____． (3)线段是，无论取何值，线段的“平移线段”都是线段的“相关平移线段”，则满足的条件是_____． 【答案】(1)①；是；②；是 (2) (3) 【分析】（1）根据“平移线段”及“相关平移线段”的定义判断即可； （2）分、两种情况，结合线段与线段有公共点，列不等式组求解即可； （3）分、、三种情况，结合定义判断即可． 【详解】（1）解：①根据题意，对应的实数为，对应的实数为， 是； 线段与线段有公共点， 是线段的“相关平移线段”； ②对应的实数为，对应的实数为， 是； 线段与线段有公共点， 是线段的“相关平移线段”； （2）解：对应的实数为，对应的实数为， ①当时，，， 此时线段与线段无公共点，不符合题意； ②时，是，是， 线段与线段要有公共点， ，解得； （3）解：①当时，是，是， 当时，线段与线段无公共点，不符合题意； ②时，线段是，线段是， 当时，线段与线段无公共点，不符合题意； ③当时，线段是，， 线段过点， 当，线段是，， 线段过点， 即此时线段与线段有公共点，符合题意； 当时，线段是，， 线段过点， 即此时线段与线段有公共点，符合题意； 综上，满足的条件是． 10．（25-26七年级下·湖南衡阳·月考）如图，数轴上线段，，点在数轴上表示的数是，点在数轴上表示的数是，若线段以个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段以个单位长度/秒的速度向左匀速运动． (1)问运动多少秒时，； (2)当为何值时，的值与参数无关，求满足条件的； (3)是线段上一点，当点运动到线段上时，是否存在关系式，若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)运动2秒或4秒时， (2)或 (3)存在关系式，线段的长为2或 【分析】（1）根据题意得出运动秒后，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，结合，得出，求解即可． （2）根据（1）可得，，根据的值与参数无关，得出，即，求解即可． （3）设点表示的数为，根据在线段上，得出．当在线段上时，，求出．此时，，，根据，得出，再分情况求解即可． 【详解】（1）解：∵，，点在数轴上表示的数是，点在数轴上表示的数是， ∴点在数轴上表示的数是，点在数轴上表示的数是， 运动秒后，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是， ∵， ∴， 即或， 解得：或． （2）解：根据（1）可得， ， ∵， 又的值与参数无关， ∴，即， ∴， 即或， 解得：或． （3）解：设点表示的数为， 在线段上， ∴， 当在线段上时，， 解得：， 此时，，， ∵， ∴， ∴， 整理得， 即或， 当时，整理得， ∴， 解得：， ∵， ∴，此时，符合条件． 当时，整理得， ∴， 解得：， 在范围内，此时，恒为定值，符合条件． 综上，存在关系式，线段的长为2或． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $