专题11.3 一元一次不等式（高效培优讲义）数学新教材人教版七年级下册

本讲义聚焦一元一次不等式核心知识点，系统构建从定义（含一个未知数、次数为1的整式不等式）到解法（五步步骤及不等式性质应用），再到应用（审题设列解答步骤及与二元一次方程组结合）的完整知识支架。 资料以“即学即练”即时巩固与“题型分类”系统训练为特色，通过解不等式步骤纠错（如小虎解题过程分析）培养推理意识，结合实际应用题（如机器人模型摆放、知识竞赛得分）发展模型意识，课中助力教师分层教学，课后帮助学生查漏补缺。

专题11.3 一元一次不等式 教学目标 1. 掌握一元一次不等式的定义并能够熟练判断一元一次不等式以及根据定义求值。 2. 掌握解一元一次不等式的解法并能够熟练解一元一次不等式。 1. 掌握一元一次不等式解应用题的基本步骤并能熟练利用一元一次不等式解决实际应用题。 教学重难点 1. 重点 （1）一元一次不等式的概念及其解法； （2）一元一次不等式的应用。 2. 难点 （1）利用定义求值以及求一元一次不等式的特殊解； （2）一元一次不等式与二元一次方程组。 知识点01 一元一次不等式 1. 一元一次不等式的定义： 只含有 个未知数，且未知数的次数是 的整式不等式，叫做一元一次不等式。整个不等式中分母不含有 。 【即学即练1】 1．下列不等式：①；②﹣3＜0；③x﹣3＞2y；④；⑤3y＞﹣3，其中一元一次不等式有 　 （填序号）． 【即学即练2】 2．若（m﹣2）x|m﹣1|+3＞0是关于x的一元一次不等式，则m的值为　 　 ． 知识点02 一元一次不等式的解法 1. 一元一次不等式的解法： 具体步骤： ①去分母：在不等式两边同时乘上分母的 。（根据等式的性质 ） ②去括号：利用去括号的法则去括号。 ③移项：把含有未知数的移到等号的 ，常数移到等号的 。（根据等式的性质 ） ④合并：利用合并同类项法则进行合并。 ⑤系数化为1：不等式两边除以 或乘上 。当系数为负数时，不等号方向一定要 。（根据不等式的性质 ） 【即学即练1】 3．下面是小虎同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：去分母，得3（1+x）﹣2（2x+1）≤6．…第一步 去括号，得3+3x﹣4x﹣2≤6．…第二步 移项，得3x﹣4x≤6﹣3+2．…第三步 合并同类项，得﹣x≤5．…第四步 两边都除以（﹣1），得x≤﹣5．…第五步 任务： （1）上述解题过程中，第二步是依据　 　 （运算律）进行变形的； （2）上述解题过程从第　 　 步开始出现错误，这一步错误的原因是　 　 ； （3）请写出正确的解该不等式的过程． 【即学即练2】 4．解下列不等式： （1）3x﹣2＞﹣8；（2）2（x﹣3）≤12+5x；（3）解不等式：，把它的解集表示在数轴上． 【即学即练3】 5．不等式4﹣3x＞﹣9的所有正整数解之和为　 　 ． 【即学即练4】 6．已知不等式2x﹣a＜0的正整数解有3个，那么a的取值范围是（　　） A．6＜a＜8 B．6＜a≤8 C．6≤a≤8 D．6≤a＜8 【即学即练5】 7．已知关于x，y的方程组的解满足不等式x+y＜12． （1）求实数a的取值范围； （2）当a为正整数时，求不等式3x﹣ax＞2a﹣6的负整数解． 知识点03 一元一次不等式的应用 1. 一元一次不等式的应用： 列不等式解决实际问题的具体步骤： ①审题：认真审题，分清已知量、未知量之间的关系，要抓住题设的关键字，如大于、小于、不大于、不小于等，并要准确理解他们的含义。 ②设：设出适当的未知数。 ③列：根据题目中的不等量关系，列出不等式。 ④解：解出所列的不等式的解集。 ⑤答：检验结果是否符合题意，并写出答案。 【即学即练1】 8．某校成立了“智能机器人社团”，该社团在学校展览架的上下两层摆放了40套机器人模型，若将上层的机器人模型拿5套放在下层，则下层的数量大于上层的数量，设上层摆放了x套机器人模型，则可列不等式为（　　） A．x﹣5＜40﹣x+5 B．x+5＜40﹣x﹣5 C．x﹣5＞40﹣x+5 D．x+5＞40﹣x﹣5 【即学即练2】 9．本学期学校打算以知识竞赛的方式评选“博雅之星”．本次竞赛共有50道题，规定每答对一题得3分，答错或不答均扣2分．若得分不低于120分的均可获奖，问至少要答对多少道题才能获奖？设答对x道题，则有（　　） A．3x﹣2（50﹣x）≥120 B．3x﹣2（50﹣x）≤120 C．3x﹣2（50﹣x）＞120 D．3x﹣2（50﹣x）＜120 【即学即练3】 10．造纸术是我国古代四大发明之一，是人类文明史上的杰出成就．某经销商购进了三尺和四尺两种尺寸的石桥皮纸进行销售，在销售的过程中允许进行组合，已知1张三尺和3张四尺的石桥皮纸共15.5元，2张三尺和1张四尺的石桥皮纸共11元． （1）1张三尺和1张四尺的石桥皮纸的单价分别为多少元？ （2）该经销商计划销售这两种尺寸的石桥皮纸共200张，销售收入不低于740元，则至少需要销售四尺的石桥皮纸多少张？ 【即学即练4】 11．某服装店直接从工厂购进A，B两款服装进行销售，进货价如表： 价格/类别 A款 B款 进货价（元/件） 70 80 （1）该服装店第一次用3800元购进A，B两款服装共50件，求两款服装分别购进的件数； （2）第一次购进的两款服装售完后，该服装店计划再次购进A，B两款服装共100件（进货价不变），且第二次进货总价不高于7400元，服装店第二次至少购进A款服装多少件？ 题型01 判断一元一次不等式 【典例1】下列式子中是一元一次不等式的是（　　） A．2x+2＞5 B．x2﹣1＜0 C．2x﹣y≤3 D． 【变式1】下列不等式中，是一元一次不等式的是（　　） A． B．2x+y≠3 C．3x2﹣2x﹣2＜0 D．﹣2x+7≤10 【变式2】有下列不等式：①x≥0；②x+3≤1；③；④3x+y＞5；⑤x2＞1；⑥．其中一元一次不等式有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 题型02 根据一元一次不等式的定义求值 【典例1】已知关于x的不等式xm﹣2+2025＞0是一元一次不等式，那么m的值是 ． 【变式1】若（a+2）x|a|﹣1＞1是关于x的一元一次不等式，则a＝ 　 ． 【变式2】当k＝　 　 时，不等式（k+2）x|k|﹣1+2＞0是一元一次不等式． 【变式3】已知是关于x的一元一次不等式，则m的值为 　 　 ． 题型03 解一元一次不等式 【典例1】老师设计了接力游戏，用合作的方式完成解一元一次不等式．规则如下：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简，过程如图所示． 接力中，自己负责的一步出现错误的是（　　） A．只有甲 B．甲和乙 C．乙和丙 D．丙和丁 【变式1】下面是小明解不等式的过程： 解：第一步：x+5﹣2＞3x+1， 第二步：﹣2x＞﹣2， 第三步：x＞1． 小明的解法中哪一步是去分母？去分母的依据是什么？判断小明的解答过程是否正确．若不正确，请写出你的解答过程． 【变式2】解下列不等式： ①3（2x﹣1）≤2（x+1）+1； ②． 【变式3】我们把符号称为二阶行列式，规定它的运算法则为，如2×5﹣3×4＝﹣2． （1）求不等式的解集； （2）若关于x的不等式0的解集与（1）中的不等式解集相同，求m的值． 题型04 一元一次不等式的特殊解 【典例1】不等式9x+3≥7x﹣2的最小整数解是（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1 【变式1】不等式6﹣4x≥3x﹣8的非负整数解的和为（　　） A．2 B．3 C．0 D．1 【变式2】已知关于x的不等式x﹣3m+3＞0的最小整数解为10，则整数m的值是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式3】已知关于x的不等式3x﹣a＜0的正整数解恰好是1、2、3，则a的取值范围是（　　） A．9＜a＜12 B．9≤a＜12 C．9＜a≤12 D．9≤a≤12 题型05 一元一次不等式与二元一次方程组 【典例1】关于x、y的方程组的解中x﹣y≥5，则k的取值范围为（　　） A．k≥3 B．k≤3 C．k≥8 D．k≥9 【变式1】已知关于x、y的方程组满足x+3y≥0，那么k的最大值是　 　 ． 【变式2】已知关于x，y的二元一次方程组，若方程组的解满足2x﹣3y不小于0．求m的取值范围． 【变式3】已知关于x、y的二元一次方程组的解满足2y﹣x＜0． （1）求该方程组的解；（用含a的式子表示） （2）求a的取值范围； （3）若关于x的不等式2ax﹣6x＞a﹣3的解集为，且a为整数，求a的值． 题型06 一元一次不等式的实际应用 【典例1】一个工程队原定在10天内至少要挖土600m3，前两天一共完成了120m3，由于整个工程调整工期，要求提前两天完成挖土任务．问：后6天内平均每天至少要挖土多少立方米？设后6天内平均每天要挖土xm3，根据题意可列不等式（　　） A．120+6x＞600 B．120+8x＞600 C．120+6x≥600 D．120+8x≥600 【变式1】某商店老板以每件80元购进一批哪吒主题的卫衣，出售时标价为110元，为了尽快减少库存，老板准备打折出售，但要使利润率不低于10%，若设该卫衣打x折销售，则可列式为（　　） A．110x﹣80≥80×10% B．110x﹣80≥110×10% C． D． 【变式2】为培养学生科学素养，某校科技社团计划分批采购四款机器人套件：巡线机器人、机械臂、无人机、智能小车．第一次采购巡线机器人2套，机械臂3套，共花费3800元；第二次采购巡线机器人15套，机械臂25套，共花费29000元． （1）求巡线机器人和机械臂每套的售价分别是多少元； （2）科技社团决定再次购买上述四款机器人套件，总费用不超过98000元，已知巡线机器人比无人机每套售价多400元，机械臂比智能小车每套售价少100元．若要使所有采购的套件能配套（四款机器人各一套为一组），那么这次最多能购买巡线机器人多少套？ 【变式3】龟苓膏是广西梧州特产、国家地理标志产品，国家级非遗传统药膳，清热祛湿、滑嫩回甘．梧州某特产店有原味龟苓膏与红豆龟苓膏销售．已知1盒的原味龟苓膏和2盒的红豆龟苓膏共售125元；2盒的原味龟苓膏和3盒的红豆龟苓膏共售205元． （1）求每盒原味龟苓膏、红豆龟苓膏的售价； （2）该店计划用不超过3500元购进上述两种龟苓膏共100盒，其中原味龟苓膏每盒进价28元，红豆龟苓膏每盒进价38元．问至多能购进红豆龟苓膏多少盒？ 【变式4】当下新能源汽车产业快速崛起，某电池生产厂引入A，B两种型号的自动化电芯组装设备，提升产能的同时保障了产品一致性．已知2台A型设备和3台B型设备同时工作1小时可完成140个电芯的组装；3台A型设备和2台B型设备同时工作1小时可完成160个电芯的组装． （1）求每台A，B型设备每小时分别完成多少个电芯的组装． （2）由于电力负荷限制，该厂同一时间内最多可启动8台设备．若要确保每小时完成220个电芯的组装，则该厂同一时间内至少需要启动多少台A型设备？ 1．下列不等式中，是一元一次不等式的是（　　） A．x+y＞﹣7 B． C． D．x2﹣5＞2 2．在数轴上表示不等式的解集，正确的是（　　） A． B． C． D． 3．某校举行知识竞赛，共有30道抢答题，答对一题得5分，答错或不答扣3分，要使总得分不少于80分，则至少应该答对几道题？若设答对x道题，可得式子为（　　） A．5x﹣3（30﹣x）＞80 B．5x﹣3（30﹣x）≤80 C．5x﹣3x≥80 D．5x﹣3（30﹣x）≥80 4．某商店有一款商品，每件进价为100元，标价为150元，现准备打折销售，若要保证利润率不低于20%，设打x折销售，则下列说法正确的是（　　） A．依题意可得150x﹣100≥100×20% B．依题意可得 C．该商品最多打8折 D．该商品最多打9折 5．不等式﹣10﹣x＜2x的负整数解的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．一元一次不等式x≤a的解集有且只有两个非负整数，则a的取值范围是（　　） A．2≤a＜3 B．1＜a≤2 C．1≤a＜2 D．0≤a≤1 7．若关于x的不等式ax﹣2＞3x+1的解集为x＜﹣2，则a的值为（　　） A． B． C． D． 8．若关于x的不等式2（x﹣a）＜a+6的解集与不等式2x﹣4＜0的解集相同，则a的值为（　　） A． B． C． D． 9．某公司预购买10台新设备，现有A，B两种型号，A型每台12万元，B型每台10万元，经预算，该公司购买设备的资金不高于105万元，则该公司的购买方案有（　　） A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 10．若关于x的不等式mx﹣n＞0的解集是，则关于x的不等式（m+n）x＜n﹣m的解集（　　） A． B． C． D． 11．若（a﹣2026）x|a|﹣2025＞1是关于x的一元一次不等式，则a＝　 　 ． 12．美国“阿尔忒弥斯2号”载人绕月飞行任务中，飞船需要从地球出发，绕月球飞行后返回地球．已知地球到月球的平均距离约为3.6×105km，飞船在月球轨道附近执行任务（停留）约48小时．整个任务的总时间（包括飞行和停留）要求不超过168小时．设飞船往返的平均速度为Vkm/h，则V应满足的不等式是　 ． 13．在一场篮球比赛中，某队罚篮得分10分，投进2分球和3分球共48个，如果这支球队在本场比赛中总得分超过110分，则他们至少投进　 　 个3分球． 14．若关于x、y的方程组的解满足2x﹣y≥0，则m的取值范围是 　 ． 15．对于m，n定义一种新运算T，规定：T（m，n），即当m≥n时，T（m，n）＝2m+3n+3；当m＜n时，T（m，n）＝4m﹣3n+1．若关于x的不等式T（x+t，x+t﹣1）＜10t的最大整数解为3t+5，则t＝ 　 ． 16．解下列不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上． （1）xx． （2）2（x﹣1）≤10（x﹣3）﹣4． （3）1． 17．随着社区养老服务设施的升级，某街道计划采购一批智能呼叫器和应急急救箱．街道为了精准预算，工作人员收集了两款设备的采购报价信息，如表： 智能呼叫器数量（单位：个） 应急急救箱数量（单位：个） 总报价（单位：元） 2 3 2700 4 5 4900 （1）求智能呼叫器和应急急救箱的单价各是多少元？ （2）若街道计划采购这两款设备共60个，且采购总费用不超过32000元，则最多采购智能呼叫器多少个？ 18．已知关于x，y的二元一次方程组． （1）当a＝2时，求方程组的解； （2）若方程组的解x与y的值互为相反数，求a的值； （3）若方程组的解满足5x﹣y≥1，求a的取值范围． 19．对实数x，y，我们定义一种新运算：F（x，y）＝ax+by（其中a，b常数）．已知F（1，1）＝3，F（1，﹣1）＝1，请解决以下问题． （1）a＝　 　 ，b＝　 　 ； （2）若关于x，y的方程组的解满足x+y＞0，且m为正整数，求m的值； （3）若关于x的不等式F（﹣3x，4）≥2n恰好有3个正整数解，请直接写出n的取值范围． 20．我们定义：如果两个一元一次不等式有公共整数解，那么称这两个不等式互为“同根不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“同根不等式”． （1）不等式x﹣5≥0　 　 x﹣5＜0的“同根不等式”（填“是”或“不是”）； 不等式x﹣1≥0　 　 1﹣x＜0的“同根不等式”（填“是”或“不是”）． （2）若关于x的不等式x+2m≥0不是2x﹣1≤x+5的“同根不等式”，求m的取值范围． （3）若a≠0，关于x的不等式与不等式ax﹣a≤0互为“同根不等式”．直接写出a的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11.3 一元一次不等式 教学目标 1. 掌握一元一次不等式的定义并能够熟练判断一元一次不等式以及根据定义求值。 2. 掌握解一元一次不等式的解法并能够熟练解一元一次不等式。 1. 掌握一元一次不等式解应用题的基本步骤并能熟练利用一元一次不等式解决实际应用题。 教学重难点 1. 重点 （1）一元一次不等式的概念及其解法； （2）一元一次不等式的应用。 2. 难点 （1）利用定义求值以及求一元一次不等式的特殊解； （2）一元一次不等式与二元一次方程组。 知识点01 一元一次不等式 1. 一元一次不等式的定义： 只含有 1 个未知数，且未知数的次数是 1 的整式不等式，叫做一元一次不等式。整个不等式中分母不含有 字母 。 【即学即练1】 1．下列不等式：①；②﹣3＜0；③x﹣3＞2y；④；⑤3y＞﹣3，其中一元一次不等式有　①④⑤　 （填序号）． 【答案】①④⑤． 【解答】解：①①含有一个未知数，是一元一次不等式； ②﹣3＜0，没有未知数，不是一元一次不等式； ③x﹣3＞2y，含有两个未知数，不是一元一次不等式； ④，π是常数，不等式两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1，是一元一次不等式； ⑤3y＞﹣3，不等式两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1，是一元一次不等式； 故答案为：①④⑤． 【即学即练2】 2．若（m﹣2）x|m﹣1|+3＞0是关于x的一元一次不等式，则m的值为　0　 ． 【答案】0． 【解答】解：∵（m﹣2）x|m﹣1|+3＞0是关于x的一元一次不等式， ∵|m﹣1|＝1且m﹣2≠0， 解|m﹣1|＝1，得m＝2或m＝0， 当m＝2时，m﹣2＝0，不符合题意； 当m＝0时，m﹣2≠0，符合题意． 故答案为：0． 知识点02 一元一次不等式的解法 1. 一元一次不等式的解法： 具体步骤： ①去分母：在不等式两边同时乘上分母的 最小公倍数 。（根据等式的性质 2 ） ②去括号：利用去括号的法则去括号。 ③移项：把含有未知数的移到等号的 左边 ，常数移到等号的 右边 。（根据等式的性质 1 ） ④合并：利用合并同类项法则进行合并。 ⑤系数化为1：不等式两边除以 系数 或乘上 系数的倒数 。当系数为负数时，不等号方向一定要 改变 。（根据不等式的性质 2或3 ） 【即学即练1】 3．下面是小虎同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：去分母，得3（1+x）﹣2（2x+1）≤6．…第一步 去括号，得3+3x﹣4x﹣2≤6．…第二步 移项，得3x﹣4x≤6﹣3+2．…第三步 合并同类项，得﹣x≤5．…第四步 两边都除以（﹣1），得x≤﹣5．…第五步 任务： （1）上述解题过程中，第二步是依据　分配律　 （运算律）进行变形的； （2）上述解题过程从第　五　 步开始出现错误，这一步错误的原因是　不等式两边都除以﹣1时，不等号的方向没有改变　 ； （3）请写出正确的解该不等式的过程． 【答案】（1）分配律； （2）五，不等式两边都除以﹣1时，不等号的方向没有改变； （3）见解答． 【解答】解：（1）上述解题过程中，第二步是依据分配律进行变形的； （2）上述解题过程从第五步开始出现错误，这一步错误的原因是不等式两边都除以﹣1时，不等号的方向没有改变，不符合不等式的基本性质3． （3）解不等式， 去分母，得3（1+x）﹣2（2x+1）≤6， 去括号，得3+3x﹣4x﹣2≤6， 移项，得3x﹣4x≤6﹣3+2， 合并同类项，得﹣x≤5， 两边都除以﹣1，得x≥﹣5． 【即学即练2】 4．解下列不等式： （1）3x﹣2＞﹣8； （2）2（x﹣3）≤12+5x； （3）解不等式：，把它的解集表示在数轴上． 【答案】（1）x＞﹣2； （2）x≥﹣6； （3）x≤1，． 【解答】解：（1）3x﹣2＞﹣8， 3x＞﹣8+2， 3x＞﹣6， x＞﹣2； （2）2（x﹣3）≤12+5x， 2x﹣6≤12+5x， 2x﹣5x≤12+6， ﹣3x≤18， x≥﹣6； （3）， 2x+4﹣6≤1﹣x， 2x+x≤1﹣4+6， 3x≤3， x≤1， 数轴表示如下： ． 【即学即练3】 5．不等式4﹣3x＞﹣9的所有正整数解之和为　10　 ． 【答案】10． 【解答】解：4﹣3x＞﹣9，﹣3x＞﹣9﹣4， ﹣3＞﹣13， x， 所以不等式4﹣3x＞﹣9的所有正整数解为1，2，3，4， 所以所有正整数解之和：1+2+3+4＝10． 故答案为：10． 【即学即练4】 6．已知不等式2x﹣a＜0的正整数解有3个，那么a的取值范围是（　　） A．6＜a＜8 B．6＜a≤8 C．6≤a≤8 D．6≤a＜8 【答案】B 【解答】解：由2x﹣a＜0得，xa， ∵不等式2x﹣a＜0的正整数解有3个，是1，2，3， ∴3a≤4， 解得，6＜a≤8， 故选：B． 【即学即练5】 7．已知关于x，y的方程组的解满足不等式x+y＜12． （1）求实数a的取值范围； （2）当a为正整数时，求不等式3x﹣ax＞2a﹣6的负整数解． 【答案】（1）a＜2． （2）负整数解为﹣1． 【解答】解：（1）， ①+②，得：2x＝4a+2，即x＝2a+1， 将x＝2a+1代入①，得：y﹣2a﹣1＝2， 解得：y＝2a+3， 关于x，y的方程组的解满足不等式x+y＜12． ∴2a+1+（2a+3）＜12， 解得：a＜2． （2）由（1）可知a＜2， ∵a为正整数， ∴a＝1， ∴3x﹣x＞2﹣6， 2x＞﹣4， x＞﹣2， ∴不等式3x﹣ax＞2a﹣6的负整数解为﹣1． 知识点03 一元一次不等式的应用 1. 一元一次不等式的应用： 列不等式解决实际问题的具体步骤： ①审题：认真审题，分清已知量、未知量之间的关系，要抓住题设的关键字，如大于、小于、不大于、不小于等，并要准确理解他们的含义。 ②设：设出适当的未知数。 ③列：根据题目中的不等量关系，列出不等式。 ④解：解出所列的不等式的解集。 ⑤答：检验结果是否符合题意，并写出答案。 【即学即练1】 8．某校成立了“智能机器人社团”，该社团在学校展览架的上下两层摆放了40套机器人模型，若将上层的机器人模型拿5套放在下层，则下层的数量大于上层的数量，设上层摆放了x套机器人模型，则可列不等式为（　　） A．x﹣5＜40﹣x+5 B．x+5＜40﹣x﹣5 C．x﹣5＞40﹣x+5 D．x+5＞40﹣x﹣5 【答案】A 【解答】解：根据题意得： x﹣5＜40﹣x+5； 故选：A． 【即学即练2】 9．本学期学校打算以知识竞赛的方式评选“博雅之星”．本次竞赛共有50道题，规定每答对一题得3分，答错或不答均扣2分．若得分不低于120分的均可获奖，问至少要答对多少道题才能获奖？设答对x道题，则有（　　） A．3x﹣2（50﹣x）≥120 B．3x﹣2（50﹣x）≤120 C．3x﹣2（50﹣x）＞120 D．3x﹣2（50﹣x）＜120 【答案】A 【解答】解：设答对x道题，总得分 ＝3x﹣2（50﹣x）， 由题意可得：3x﹣2（50﹣x）≥120． 故选：A． 【即学即练3】 10．造纸术是我国古代四大发明之一，是人类文明史上的杰出成就．某经销商购进了三尺和四尺两种尺寸的石桥皮纸进行销售，在销售的过程中允许进行组合，已知1张三尺和3张四尺的石桥皮纸共15.5元，2张三尺和1张四尺的石桥皮纸共11元． （1）1张三尺和1张四尺的石桥皮纸的单价分别为多少元？ （2）该经销商计划销售这两种尺寸的石桥皮纸共200张，销售收入不低于740元，则至少需要销售四尺的石桥皮纸多少张？ 【答案】（1）三尺纸3.5元，四尺纸4元； （2）至少销售四尺纸80张． 【解答】解：（1）设1张三尺纸x元，1张四尺纸y元， ， 解得： ， 答：三尺纸3.5元，四尺纸4元； （2）设销售四尺纸m张，则三尺纸（200﹣m）张， 4m+3.5（200﹣m）≥740， 解得：m≥80， 答：至少销售四尺纸80张． 【即学即练4】 11．某服装店直接从工厂购进A，B两款服装进行销售，进货价如表： 价格/类别 A款 B款 进货价（元/件） 70 80 （1）该服装店第一次用3800元购进A，B两款服装共50件，求两款服装分别购进的件数； （2）第一次购进的两款服装售完后，该服装店计划再次购进A，B两款服装共100件（进货价不变），且第二次进货总价不高于7400元，服装店第二次至少购进A款服装多少件？ 【答案】（1）A款服装购进20件，B款服装购进30件； （2）至少购进60件A款服装． 【解答】解：（1）由题意，设购进A款服装x件，购进B款服装y件， ∴根据题意列二元一次方程组得，， ∴． 答：A款服装购进20件，B款服装购进30件； （2）由题意，设第二次购进m件A款服装，则购进（100﹣m）件B款服装， ∴根据题意列一元一次不等式得，70m+80（100﹣m）≤7400． 解得m≥60． 答：至少购进60件A款服装． 题型01 判断一元一次不等式 【典例1】下列式子中是一元一次不等式的是（　　） A．2x+2＞5 B．x2﹣1＜0 C．2x﹣y≤3 D． 【答案】A 【解答】解：A．是一元一次不等式，故此选项不符合题意； B．未知数的次数最高是2，不是一元一次不等式，故此选项不符合题意； C．含有两个未知数，不是一元一次不等式，故此选项不符合题意； D．不是整式，故此选项不符合题意； 故选：A． 【变式1】下列不等式中，是一元一次不等式的是（　　） A． B．2x+y≠3 C．3x2﹣2x﹣2＜0 D．﹣2x+7≤10 【答案】D 【解答】解：A、中，不是整式，不是一元一次不等式，故此选项不符合题意； B、2x+y≠3中，含有两个未知数，不是一元一次不等式，故此选项不符合题意； C、3x2﹣2x﹣2＜0中，3x2的次数是2，不是一元一次不等式，故此选项不符合题意； D、﹣2x+7≤10是一元一次不等式，故此选项符合题意； 故选：D． 【变式2】有下列不等式：①x≥0；②x+3≤1；③；④3x+y＞5；⑤x2＞1；⑥．其中一元一次不等式有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【解答】解：①x≥0；②x+3≤1；③；⑥都是一元一次不等式，共4个， 故选：B． 题型02 根据一元一次不等式的定义求值 【典例1】已知关于x的不等式xm﹣2+2025＞0是一元一次不等式，那么m的值是　3　 ． 【答案】3． 【解答】解：由题意得，m﹣2＝1， 解得：m＝3． 故答案为：3． 【变式1】若（a+2）x|a|﹣1＞1是关于x的一元一次不等式，则a＝　2　 ． 【答案】2． 【解答】解：由题意得：|a|﹣1＝1，且a+2≠0， 解得：a＝2． 故答案为：2． 【变式2】当k＝　2　 时，不等式（k+2）x|k|﹣1+2＞0是一元一次不等式． 【答案】2． 【解答】解：由题意可得： ， 解|k|﹣1＝1，得|k|＝2，即k＝±2， 由k+2≠0得k≠﹣2， ∴k＝2． 故答案为：2． 【变式3】已知是关于x的一元一次不等式，则m的值为 　﹣3　 ． 【答案】﹣3． 【解答】解：∵是关于x的一元一次不等式， ∴|m|﹣2＝1，m﹣3≠0， 解得：m＝﹣3， 故答案为：﹣3． 题型03 解一元一次不等式 【典例1】老师设计了接力游戏，用合作的方式完成解一元一次不等式．规则如下：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简，过程如图所示． 接力中，自己负责的一步出现错误的是（　　） A．只有甲 B．甲和乙 C．乙和丙 D．丙和丁 【答案】B 【解答】解：， 去分母，得2（y+1）﹣3（2y﹣5）＞12， 故步骤甲错误． 去括号，得 2y+2﹣6y+15＞12； 故步骤乙错误． 移项，合并同类项，得﹣4y＞5． 化系数为1，得． 而丙和丁自己负责的一步没有错误； 故选：B． 【变式1】下面是小明解不等式的过程： 解：第一步：x+5﹣2＞3x+1， 第二步：﹣2x＞﹣2， 第三步：x＞1． 小明的解法中哪一步是去分母？去分母的依据是什么？判断小明的解答过程是否正确．若不正确，请写出你的解答过程． 【答案】第一步是去分母，去分母的依据是不等式两边同时乘以一个正数，不等号不改变方向，小明的解答不正确，原不等式的解集为x＜1，过程如下： 去分母得x+5﹣2＞3x+1， 移项，合并同类项得﹣2x＞﹣2， 系数化为1得x＜1． 【解答】解：第一步是去分母，去分母的依据是不等式两边同时乘以一个正数，不等号不改变方向，小明的解答不正确，正确过程如下： ， 去分母得x+5﹣2＞3x+1， 移项，合并同类项得﹣2x＞﹣2， 系数化为1得x＜1． 【变式2】解下列不等式： ①3（2x﹣1）≤2（x+1）+1； ②． 【答案】①x； ②x＞2． 【解答】解：①3（2x﹣1）≤2（x+1）+1， 6x﹣3≤2x+2+1， 6x﹣2x≤2+1+3， 4x≤6， x； ②， 4（2x﹣1）＜3（3x+2）﹣12， 8x﹣4＜9x+6﹣12， 8x﹣9x＜6﹣12+4， ﹣x＜﹣2， x＞2． 【变式3】我们把符号称为二阶行列式，规定它的运算法则为，如2×5﹣3×4＝﹣2． （1）求不等式的解集； （2）若关于x的不等式0的解集与（1）中的不等式解集相同，求m的值． 【答案】（1）x＞1； （2）m． 【解答】解：（1）∵， ∴2x﹣（3﹣x）＞0， 解得：x＞1； （2）∵0， ∴3m﹣4x＜0， 解得：xm， ∵关于x的不等式0的解集与（1）中的不等式解集相同， ∴m＝1， 解得：m． 题型04 一元一次不等式的特殊解 【典例1】不等式9x+3≥7x﹣2的最小整数解是（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1 【答案】A 【解答】解：9x+3≥7x﹣2， 9x﹣7x≥﹣2﹣3， 2x≥﹣5， x， 所以该不等式的最小整数解为﹣2． 故选：A． 【变式1】不等式6﹣4x≥3x﹣8的非负整数解的和为（　　） A．2 B．3 C．0 D．1 【答案】B 【解答】解：6﹣4x≥3x﹣8， ﹣4x﹣3x≥﹣8﹣6， ﹣7x≥﹣14， x≤2， ∴不等式的非负整数解为 0，1，2，其和为0+1+2＝3， 故选：B． 【变式2】已知关于x的不等式x﹣3m+3＞0的最小整数解为10，则整数m的值是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【解答】解：移项得 x＞3m﹣3， ∵不等式的最小整数解为10， ∴9≤3m﹣3＜10， 不等式三边同时加3，得12≤3m＜13， 三边同时除以3，得， ∴m＝4． 故选：A． 【变式3】已知关于x的不等式3x﹣a＜0的正整数解恰好是1、2、3，则a的取值范围是（　　） A．9＜a＜12 B．9≤a＜12 C．9＜a≤12 D．9≤a≤12 【答案】C 【解答】解：由题意解得：， ∵由题意可得：正整数解为1，2，3， ∴， ∴9＜a≤12． 故选：C． 题型05 一元一次不等式与二元一次方程组 【典例1】关于x、y的方程组的解中x﹣y≥5，则k的取值范围为（　　） A．k≥3 B．k≤3 C．k≥8 D．k≥9 【答案】C 【解答】解：由得：4x﹣4y＝3k﹣4， ∴x﹣yk﹣1， ∵x﹣y≥5， ∴k﹣1≥5， 解得k≥8； 故选：C． 【变式1】已知关于x、y的方程组满足x+3y≥0，那么k的最大值是　2　 ． 【答案】2． 【解答】解：， 将②﹣①得，x+3y＝4﹣2k， ∵关于x、y的方程组满足x+3y≥0， ∴4﹣2k≥0， 解得k≤2， 则k的最大值为：2． 【变式2】已知关于x，y的二元一次方程组，若方程组的解满足2x﹣3y不小于0．求m的取值范围． 【答案】m≥﹣5． 【解答】解：解方程组，得， ∵方程组的解满足2x﹣3y不小于0， ∴2（2m+1）﹣3（m﹣1）≥0， 解得m≥﹣5． 【变式3】已知关于x、y的二元一次方程组的解满足2y﹣x＜0． （1）求该方程组的解；（用含a的式子表示） （2）求a的取值范围； （3）若关于x的不等式2ax﹣6x＞a﹣3的解集为，且a为整数，求a的值． 【答案】（1）； （2）a＞﹣2； （3）a＝﹣1，0，1，2． 【解答】解：（1）由题意，∵， ∴； （2）由题意，∵2y﹣x＜0， ∴2（﹣2a﹣1）﹣（2﹣2a）＜0， ∴a＞﹣2； （3）由题意，∵2ax﹣6x＞a﹣3， ∴2（a﹣3）x＞a﹣3． ∵不等式2ax﹣6x＞a﹣3的解集为， ∴a﹣3＜0，则a＜3． 又∵a为整数，a＞﹣2， ∴a＝﹣1，0，1，2． 题型06 一元一次不等式的实际应用 【典例1】一个工程队原定在10天内至少要挖土600m3，前两天一共完成了120m3，由于整个工程调整工期，要求提前两天完成挖土任务．问：后6天内平均每天至少要挖土多少立方米？设后6天内平均每天要挖土xm3，根据题意可列不等式（　　） A．120+6x＞600 B．120+8x＞600 C．120+6x≥600 D．120+8x≥600 【答案】C 【解答】解：设后6天内平均每天要挖土xm3， 由题意得：120+6x≥600， 故选：C． 【变式1】某商店老板以每件80元购进一批哪吒主题的卫衣，出售时标价为110元，为了尽快减少库存，老板准备打折出售，但要使利润率不低于10%，若设该卫衣打x折销售，则可列式为（　　） A．110x﹣80≥80×10% B．110x﹣80≥110×10% C． D． 【答案】C 【解答】解：根据题意得：11080≥80×10%． 故选：C． 【变式2】为培养学生科学素养，某校科技社团计划分批采购四款机器人套件：巡线机器人、机械臂、无人机、智能小车．第一次采购巡线机器人2套，机械臂3套，共花费3800元；第二次采购巡线机器人15套，机械臂25套，共花费29000元． （1）求巡线机器人和机械臂每套的售价分别是多少元； （2）科技社团决定再次购买上述四款机器人套件，总费用不超过98000元，已知巡线机器人比无人机每套售价多400元，机械臂比智能小车每套售价少100元．若要使所有采购的套件能配套（四款机器人各一套为一组），那么这次最多能购买巡线机器人多少套？ 【答案】（1）巡线机器人每套的售价为1600元，机械臂每套的售价为200元； （2）29套． 【解答】解：（1）设巡线机器人每套的售价为x元，机械臂每套的售价为y元， 依题意列二元一次方程组得，， 解得， 即巡线机器人每套的售价为1600元，机械臂每套的售价为200元， 答：巡线机器人每套的售价为1600元，机械臂每套的售价为200元； （2）无人机每套售价为1600﹣400＝1200（元）， 智能小车每套售价为200+100＝300（元）， 设这次购买巡线机器人m套， ∴根据题意列一元一次不等式得，1600m+1200m+300m+200m≤98000， 解得， 又∵m为整数， ∴m可以取的最大值为29， 答：这次最多能购买巡线机器人29套． 【变式3】龟苓膏是广西梧州特产、国家地理标志产品，国家级非遗传统药膳，清热祛湿、滑嫩回甘．梧州某特产店有原味龟苓膏与红豆龟苓膏销售．已知1盒的原味龟苓膏和2盒的红豆龟苓膏共售125元；2盒的原味龟苓膏和3盒的红豆龟苓膏共售205元． （1）求每盒原味龟苓膏、红豆龟苓膏的售价； （2）该店计划用不超过3500元购进上述两种龟苓膏共100盒，其中原味龟苓膏每盒进价28元，红豆龟苓膏每盒进价38元．问至多能购进红豆龟苓膏多少盒？ 【答案】（1）每盒原味龟苓膏的售价是35元，每盒红豆龟苓膏的售价是45元； （2）至多能购进红豆龟苓膏70盒． 【解答】解：（1）设原味龟苓膏每盒x元，红豆龟苓膏每盒y元， 依题意列二元一次方程组得：， 解得． 答：每盒原味龟苓膏的售价是35元，每盒红豆龟苓膏的售价是45元； （2）设购进红豆龟苓膏a盒， 依题意列一元一次不等式得：38a+28（100﹣a）≤3500， 整理得，10a≤700， 解得a≤70． 答：至多能购进红豆龟苓膏70盒． 【变式2】当下新能源汽车产业快速崛起，某电池生产厂引入A，B两种型号的自动化电芯组装设备，提升产能的同时保障了产品一致性．已知2台A型设备和3台B型设备同时工作1小时可完成140个电芯的组装；3台A型设备和2台B型设备同时工作1小时可完成160个电芯的组装． （1）求每台A，B型设备每小时分别完成多少个电芯的组装． （2）由于电力负荷限制，该厂同一时间内最多可启动8台设备．若要确保每小时完成220个电芯的组装，则该厂同一时间内至少需要启动多少台A型设备？ 【答案】（1）每台A型设备每小时完成40个电芯的组装，每台B型设备每小时完成20个电芯的组装； （2）3． 【解答】解：（1）设每台A型设备每小时完成x个电芯的组装，每台B型设备每小时完成y个电芯的组装． 由题意列二元一次方程组得，， 解得， 即每台A型设备每小时完成40个电芯的组装，每台B型设备每小时完成20个电芯的组装， 答：每台A型设备每小时完成40个电芯的组装，每台B型设备每小时完成20个电芯的组装； （2）设同一时间内启动m台A型设备，则启动（8﹣m）台B型设备． 由题意列一元一次不等式得，40m+20（8﹣m）≥220． 整理得，20m≥60， 解得m≥3． 由m是整数，故m的最小值为3． 答：该厂同一时间内至少需要启动3台A型设备． 1．下列不等式中，是一元一次不等式的是（　　） A．x+y＞﹣7 B． C． D．x2﹣5＞2 【答案】C 【解答】解：A、含有两个未知数，不是一元一次不等式，故此选项不符合题意； B、分母中含有x，不是一元一次不等式，故此选项不符合题意； C、是一元一次不等式，故此选项符合题意； D、未知数的次数是2次，不是一元一次不等式，故此选项不符合题意； 故选：C． 2．在数轴上表示不等式的解集，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：去分母，得1﹣2x＞﹣3． 移项、合并同类项，得﹣2x＞﹣4． 系数化为1，得x＜2， 则选项B正确，符合题意． 故选：B． 3．某校举行知识竞赛，共有30道抢答题，答对一题得5分，答错或不答扣3分，要使总得分不少于80分，则至少应该答对几道题？若设答对x道题，可得式子为（　　） A．5x﹣3（30﹣x）＞80 B．5x﹣3（30﹣x）≤80 C．5x﹣3x≥80 D．5x﹣3（30﹣x）≥80 【答案】D 【解答】解：设答对x道题，则答错或不答的题共（30﹣x）道， 由题意可得：5x﹣3（30﹣x）≥80． 故选：D． 4．某商店有一款商品，每件进价为100元，标价为150元，现准备打折销售，若要保证利润率不低于20%，设打x折销售，则下列说法正确的是（　　） A．依题意可得150x﹣100≥100×20% B．依题意可得 C．该商品最多打8折 D．该商品最多打9折 【答案】C 【解答】解：设打x折销售，则售价为元， 根据题意，，A，B选项错误； 化简得：15x﹣100≥20， 解得：15x≥120⇒x≥8， 因此，最多打8折，C选项正确，D选项错误． 故选：C． 5．不等式﹣10﹣x＜2x的负整数解的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解答】解：移项得﹣x﹣2x＜10， 合并同类项得﹣3x＜10， 系数化为1得， ∴不等式的负整数解为﹣3，﹣2，﹣1，共3个． 故选：C． 6．一元一次不等式x≤a的解集有且只有两个非负整数，则a的取值范围是（　　） A．2≤a＜3 B．1＜a≤2 C．1≤a＜2 D．0≤a≤1 【答案】C 【解答】解：根据题意符合条件的两个非负整数只能是0和1， ∵解集需要包含0和1，且不能包含下一个非负整数2， ∴可得1≤a＜2． 故选：C． 7．若关于x的不等式ax﹣2＞3x+1的解集为x＜﹣2，则a的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：ax﹣2＞3x+1， 整理得：（a﹣3）x＞3， ∵关于x的不等式ax﹣2＞3x+1的解集为x＜﹣2， ∴a﹣3， 解得：a， 故选：A． 8．若关于x的不等式2（x﹣a）＜a+6的解集与不等式2x﹣4＜0的解集相同，则a的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：若关于x的不等式2（x﹣a）＜a+6的解集与不等式2x﹣4＜0的解集相同 解不等式2x﹣4＜0得，x＜2， 解不等式2（x﹣a）＜a+6得，， ∴， 解得． 故选：C． 9．某公司预购买10台新设备，现有A，B两种型号，A型每台12万元，B型每台10万元，经预算，该公司购买设备的资金不高于105万元，则该公司的购买方案有（　　） A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 【答案】B 【解答】解：设购买A型号设备x台，则购买B型号设备（10﹣x）台， ∵购买设备的资金不高于105万元， ∴12x+10（10﹣x）≤105， 解得x≤2.5， ∵x为非负整数， ∴x可取0，1，2， ∴该公司的购买方案有3种， 故选：B． 10．若关于x的不等式mx﹣n＞0的解集是，则关于x的不等式（m+n）x＜n﹣m的解集（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：mx﹣n＞0， mx＞n， ∵不等式mx﹣n＞0的解集是， ∴x， ∴m＜0，， ∴m＝4n， ∴4n＜0， ∴n＜0， ∵（m+n）x＜n﹣m， ∴5nx＜﹣3n， ∴x， 故选：B． 11．若（a﹣2026）x|a|﹣2025＞1是关于x的一元一次不等式，则a＝　﹣2026　 ． 【答案】﹣2026． 【解答】解：∵（a﹣2026）x|a|﹣2025＞1是关于x的一元一次不等式， ∴， 解得a＝﹣2026 12．美国“阿尔忒弥斯2号”载人绕月飞行任务中，飞船需要从地球出发，绕月球飞行后返回地球．已知地球到月球的平均距离约为3.6×105km，飞船在月球轨道附近执行任务（停留）约48小时．整个任务的总时间（包括飞行和停留）要求不超过168小时．设飞船往返的平均速度为Vkm/h，则V应满足的不等式是　168﹣48）V≥2×3.6×105 ． 【答案】168﹣48）V≥2×3.6×105． 【解答】解：根据题意得：（168﹣48）V≥2×3.6×105， 故答案为：168﹣48）V≥2×3.6×105． 13．在一场篮球比赛中，某队罚篮得分10分，投进2分球和3分球共48个，如果这支球队在本场比赛中总得分超过110分，则他们至少投进　5　 个3分球． 【答案】5． 【解答】解：设投进x个3分球，则投进（48﹣x）个2分球，根据题意得： 10+3x+2（48﹣x）＞110， 10+3x+96﹣2x＞110， 3x﹣2x＞110﹣10﹣96， 解得x＞4， ∵x为正整数， ∴x的最小值为5， 故答案为：5． 14．若关于x、y的方程组的解满足2x﹣y≥0，则m的取值范围是m≥﹣10　 ． 【答案】m≥﹣10． 【解答】解：， ①﹣②得：2x﹣y＝m+10， ∵2x﹣y≥0， ∴m+10≥0， ∴m≥﹣10． 故答案为：m≥﹣10． 15．对于m，n定义一种新运算T，规定：T（m，n），即当m≥n时，T（m，n）＝2m+3n+3；当m＜n时，T（m，n）＝4m﹣3n+1．若关于x的不等式T（x+t，x+t﹣1）＜10t的最大整数解为3t+5，则t＝　或﹣3　 ． 【答案】或﹣3． 【解答】解：由题知， 因为x+t＞x+t﹣1， 则由T（x+t，x+t﹣1）＜10t得， 2（x+t）+3（x+t﹣1）+3＜10t， 解得x＜t， 因为该不等式的最大整数解为3t+5， 所以3t+5＜t≤3t+6， 解得． 又因为3t+5为最大整数解， 所以t或﹣3． 故答案为：或﹣3． 16．解下列不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上． （1）xx． （2）2（x﹣1）≤10（x﹣3）﹣4． （3）1． 【答案】（1）x≥﹣3，； （2）x≥4，； （3）x＞﹣1，． 【解答】解：（1）xx， ， ， x≥﹣3， 数轴表示如下： ； （2）2（x﹣1）≤10（x﹣3）﹣4， 2x﹣2≤10x﹣30﹣4， 2x﹣10x≤﹣30﹣4+2， ﹣8x≤﹣32， x≥4， 数轴表示如下： ； （3）1， 4x+4＞12﹣9+3x， 4x﹣3x＞12﹣9﹣4， x＞﹣1， 数轴表示如下： ． 17．随着社区养老服务设施的升级，某街道计划采购一批智能呼叫器和应急急救箱．街道为了精准预算，工作人员收集了两款设备的采购报价信息，如表： 智能呼叫器数量（单位：个） 应急急救箱数量（单位：个） 总报价（单位：元） 2 3 2700 4 5 4900 （1）求智能呼叫器和应急急救箱的单价各是多少元？ （2）若街道计划采购这两款设备共60个，且采购总费用不超过32000元，则最多采购智能呼叫器多少个？ 【答案】（1）智能呼叫器的单价是600元/个，应急急救箱的单价是500元/个； （2）最多采购智能呼叫器20个． 【解答】解：（1）设智能呼叫器的单价是x元/个，应急急救箱的单价是y元/个， 根据题意得：， 解得：． 答：智能呼叫器的单价是600元/个，应急急救箱的单价是500元/个； （2）设采购m个智能呼叫器，则采购（60﹣m）个应急急救箱， 根据题意得：600m+500（60﹣m）≤32000， 解得：m≤20， ∴m的最大值为20． 答：最多采购智能呼叫器20个． 18．已知关于x，y的二元一次方程组． （1）当a＝2时，求方程组的解； （2）若方程组的解x与y的值互为相反数，求a的值； （3）若方程组的解满足5x﹣y≥1，求a的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解答】解：（1）当a＝2时，原方程组变形为： ， ①+②得，4x＝4， 解得，x＝1， 把x＝1代入①得，3+y＝6 解得，y＝3， 所以，方程组的解为：； （2）， ①+②得，4x＝4a﹣4， ∴x＝a﹣1， 把x＝a﹣1代入②，得：a﹣1﹣y＝﹣a， ∴y＝2a﹣1， ∵x与y的值互为相反数， ∴x+y＝0，即a﹣1+2a﹣1＝0， 解得； （3）∵x＝a﹣1，y＝2a﹣1，且5x﹣y≥1， ∴5（a﹣1）﹣（2a﹣1）≥1， 解得． 19．对实数x，y，我们定义一种新运算：F（x，y）＝ax+by（其中a，b常数）．已知F（1，1）＝3，F（1，﹣1）＝1，请解决以下问题． （1）a＝　2　 ，b＝　1　 ； （2）若关于x，y的方程组的解满足x+y＞0，且m为正整数，求m的值； （3）若关于x的不等式F（﹣3x，4）≥2n恰好有3个正整数解，请直接写出n的取值范围． 【答案】（1）2，1； （2）1或2． （3）﹣10＜n≤﹣7． 【解答】解：（1）∵F（1，1）＝3，F（1，﹣1）＝1， ∴a+b＝3，a﹣b＝1， 解得：， 故答案为：2，1； （2）依题意， ①+②化简得x+y， ∵x+y＞0，即0， 解得m， 又∵m为正整数， ∴m的值为1或2． （3）依题意得﹣6x+4≥2n，解得x， ∵此不等式恰好有3个正整数解， ∴34， 解得﹣10＜n≤﹣7． 20．我们定义：如果两个一元一次不等式有公共整数解，那么称这两个不等式互为“同根不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“同根不等式”． （1）不等式x﹣5≥0　不是　 x﹣5＜0的“同根不等式”（填“是”或“不是”）； 不等式x﹣1≥0　是　 1﹣x＜0的“同根不等式”（填“是”或“不是”）． （2）若关于x的不等式x+2m≥0不是2x﹣1≤x+5的“同根不等式”，求m的取值范围． （3）若a≠0，关于x的不等式与不等式ax﹣a≤0互为“同根不等式”．直接写出a的取值范围． 【答案】（1）不是，是； （2）m＜﹣3； （3）a＜0或． 【解答】解：（1）解不等式x﹣5≥0得x≥5， 解不等式x﹣5＜0得x＜5， 两个不等式没有公共解，因此没有公共整数解， 故x﹣5≥0不是x﹣5＜0的“同根不等式”， 解不等式x﹣1≥0得x≥1， 解不等式1﹣x＜0得x＞1， 两个不等式的公共解为x＞1，存在无数个公共整数解， 故x﹣1≥0是1﹣x＜0的“同根不等式”， 故答案为：不是，是； （2）解不等式x+2m≥0得x≥﹣2m， 解不等式2x﹣1≤x+5得x≤6， ∵x+2m≥0不是2x﹣1≤x+5的“同根不等式”， ∴两个不等式没有公共整数解， ∴﹣2m＞6， 解得m＜﹣3； （3）若a≠0，关于x的不等式与不等式ax﹣a≤0互为“同根不等式”． 解不等式，整理得x＞6﹣2a， 解不等式ax﹣a≤0，整理得a（x﹣1）≤0， ①当a＞0时，不等式化简为x≤1， 要使两个不等式有公共整数解，需满足6﹣2a＜1， 解得，符合条件； ②当a＜0时，不等式化简为x≥1， ∵a＜0， ∴6﹣2a＝6﹣2×a＞6＞1， 两个不等式的公共解为x＞6﹣2a， 因此所有a＜0都符合条件， 综上，a的取值范围是a＜0或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $