11.3一元一次不等式组（4知识点+12题型+过关检测）2025-2026学年七年级数学下册同步培优讲义（人教版）

11.3一元一次不等式组 （4知识点+12题型+过关检测） 【题型1 求不等式组的解集】 1 【题型2 求一元一次不等式组的整数解】 3 【题型3 由一元一次不等式的解集求参数】 5 【题型4 由不等式组解集的情况求参数】 7 【题型5 不等式组和方程组结合的问题】 9 【题型6 列一元一次不等式组】 12 【题型7 不等式组的行程问题】 14 【题型8 不等式组的经济问题】 18 【题型9 不等式组的分配问题】 23 【题型10 不等式组的方案选择问题】 26 【题型11 不等式组的阶梯收费问题】 29 【题型12 一元一次不等式组的其他应用】 34 （1）理解一元一次不等式组、不等式组的解集、解不等式组的基本定义，能准确辨别一元一次不等式组。 （2）熟练掌握解一元一次不等式组的完整步骤，能够利用数轴求解不等式组的公共解集，熟记解集四种基本类型口诀。 （3）掌握一元一次不等式组12类常考题型的解题思路，能独立解决计算、参数、综合应用等各类问题。 （4）学会从实际问题中提取不等关系，列不等式组求解实际应用题，能结合实际情境对结果进行取舍。 03 知识•梳理 知识点1. 一元一次不等式组的定义 由同一个未知数的两个或两个以上的一元一次不等式组成的不等式组，叫做一元一次不等式组。 必备三个条件：①所有不等式均为一元一次不等式；②只含有一个相同的未知数；③不等式数量≥2。 知识点2. 一元一次不等式组的解集 几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集；若几个解集没有公共部分，则该不等式组无解。 解集四种核心类型（设a＞b） 不等式组形式 解集 口诀 备注 x>a 同大取大 取数值更大的边界 x<b 同小取小 取数值更小的边界 a<x<b 大小小大中间找 解集为中间区间 无解 大大小小无处找 无公共重叠部分 知识点3. 解一元一次不等式组的标准步骤 第一步：解不等式，分别求出组内每一个一元一次不等式的解集； 第二步：画数轴，在同一数轴上准确表示出所有不等式的解集（空心圈：不含等号；实心点：含等号）； 第三步：找公共部分，结合数轴或口诀确定不等式组的解集； 第四步：写结论，有公共部分直接写出解集，无公共部分则写“无解”。 知识点4. 不等式组实际应用解题步骤 审题找不等关系→设未知数→列一元一次不等式组→解不等式组→结合实际取值（整数、正数等）→作答 04 题型•汇总 【题型1 求不等式组的解集】 题型特点：基础必考题型，给出完整一元一次不等式组，纯计算求解集。 解题方法：按照标准解题步骤，分别解不等式→数轴表示→结合口诀确定公共解集。 核心注意：严格遵守变号规则，解集区间书写左小右大。 【典例1】．解不等式组，并把其解集表示在数轴上． (1)． (2)． 【答案】(1) ，数轴见解析； (2) ，数轴见解析． 【详解】（1）解：， 由得， 由得， ， 综上，解集为，在数轴上表示如下： （2）解：， 由得， ， ， ， 由得， ， ， ， 综上，解集为，在数轴上表示如下： 【变式1】．解不等式组并把不等式组的解集在数轴上表示出来． 【答案】，图见解析 【分析】分别根据不等式的性质解两个不等式，找到这两个解集的公共部分，并在数轴上表示不等式组的解集即可． 【详解】解：解不等式①，， 去括号，得：， 移项，合并同类项，得：， 系数化为，得：， 解不等式②，， 去分母，得：， 移项，合并同类项，得：， ∴不等式组的解集为， 将解集表示在数轴上如下： 【变式2】．解不等式组：并将解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【分析】先分别解不等式组中的两个不等式，再在数轴上表示其解集，再确定公共部分即可. 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 不等式组的解集在数轴上表示如下： ∴不等式组的解集为． 【变式3】．解不等式组，并将其解集在数轴上表示出来． 【答案】，见解析 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴原不等式组的解集为， 数轴表示如下所示： 【题型2 求一元一次不等式组的整数解】 题型特点：求出不等式组解集后，筛选出范围内的整数、正整数、负整数或非负整数。 解题方法：①先求出不等式组的完整解集；②结合数轴圈出范围内符合条件的整数；③按要求罗列所有解，不重不漏。 易错点：忽略端点取值（实心点包含、空心点不包含），漏数、多数整数。 【典例2】．不等式组的整数解是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】先分别求解不等式组中两个不等式，再确定不等式组的公共解集，最后找出解集中的整数即可得到答案． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 不等式组的解集为，其中整数解为． 【变式1】．不等式组的最小正整数解是________． 【答案】1 【分析】先分别解两个不等式，求出不等式组的解集，再找出解集中的最小正整数即可． 【详解】解：， 解不等式①，得 ， 解不等式②，得 。 该不等式组的解集为， ∴该不等式组的解集中的正整数为，， 因此最小正整数解是． 【变式2】．求不等式组：的所有整数解． 【答案】，，0，1，2 【分析】先求得每个不等式的解集，得到它们的公共部分即为该不等式组的解集，进而可得所有整数解． 【详解】解：解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴该不等式组的解集为， 故该不等式组的整数解为，，0，1，2 【变式3】．解不等式组并写出它的所有整数解． 【答案】；整数解为 【详解】解： 解不等式得 解不等式得 ∴ ∴整数解为 【题型3 由一元一次不等式的解集求参数】 题型特点：不等式组含字母参数，题目已知具体解集，求参数的值或取值范围。 解题方法：①正常解含参不等式组，用参数表示出解集；②与题目已知解集对比，等式对应边界值，不等式锁定参数范围；③验证临界值是否成立。 【典例3】．关于x的不等式组无解，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是利用数轴确定两个不等式解集无公共部分的条件；若不等式组无解，则两个不等式解集的公共部分为空集，结合数轴即可求出 的取值范围． 【详解】解：∵不等式组为，且不等式组无解， ∴两个不等式的解集没有公共部分， 若要与没有公共部分，需满足，此时不存在同时满足两个不等式的x， ∴的取值范围是， 故选：A. 【变式1】．若关于x的不等式组，恰有3个整数解，则字母a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先得到不等式组的解集，再根据整数解个数确定具体的整数解，最后结合边界确定a的范围，注意端点值的取舍． 【详解】解∵不等式组恰有3个整数解， ∴不等式组的解集为，这3个整数解为2，1，0， ∴． 【变式2】．若不等式组的解集为，则的值是__________． 【答案】 【分析】根据已知的不等式组解集，建立关于，的一元一次方程，求出，的值后代入计算即可得到结果． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②：得 因此不等式组的解集为 不等式组的解集为 ， 解得， ． 【变式3】．定义新运算：对于任意数a，b，规定 ． (1)计算： (2)若 ，求x的取值范围； (3)若关于x的不等式组 的解集为，求m的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据新定义即可求解； （2）根据新定义可得不等式，解之即可得到答案； （3）根据新定义可得不等式组，求出此不等式的解集，再根据不等式组的解集为即可求出m的值． 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ∴， 解得：； （3）解：∵， ∴， 解得， ∵解集为， ， 解得． 【题型4 由不等式组解集的情况求参数】 题型特点：已知不等式组无解、有解、解集为全体实数、只有一个整数解等特殊情况，求参数范围。 解题方法：①化简不等式组；②利用数轴分析“有解、无解、有限整数解”的边界条件；③分类讨论，重点验证临界值是否可取。 核心口诀：有解必有重叠，无解无重叠，整数解看区间覆盖个数。 【典例4】．若关于不等式正整数解只有1、2、3，则的取值范围是（     ） A． B．12 C． D． 【答案】D 【分析】先求解不等式得到x关于a的解集，再根据正整数解只有1，2，3确定的取值范围，即可求出a的范围． 【详解】解：解不等式，得 ∵不等式的正整数只有1, 2, 3 ∴最大正整数解为3，且4不是该不等式的解 解得． 【变式1】．若关于的不等式组有解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式组解集的确定规则，判断两个不等式解集存在公共部分的条件即可求解． 【详解】解：关于的不等式组有解， 两个不等式的解集必须存在公共部分，即存在实数满足 ， ． 【变式2】．关于x的不等式组有解．则m的取值范围是________． 【答案】/ 【分析】先分别解出不等式组中两个不等式的解集，再根据不等式组有解，即两个解集之间存在公共部分，确定的取值范围． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②： 去括号，得 移项，合并同类项，得 系数化为，得 关于的不等式组有解 解得． 【变式3】．关于的方程组，且满足． (1)求的取值范围； (2)已知，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用加减消元法解方程组，进而用含的式子表示，得到关于的不等式组，求解即可； （2）根据已知等式得到代入，再结合（1）所得的取值范围求解即可． 【详解】（1）解：将原方程组整理为， 由得，解得：， 由得，解得：， ， ， ， 解得：； （2）解：， ， ， 由（1）可知，， ， 即的取值范围是． 【题型5 不等式组和方程组结合的问题】 题型特点：给出二元一次方程组，已知方程组的解满足某不等关系，求参数范围。 解题方法：①解二元一次方程组，用参数表示出未知数的解；②将解代入不等关系，列出一元一次不等式（组）；③解不等式组求出参数范围。 【典例5】．若方程组的解，满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法与一元一次不等式组的解法，熟练通过方程组变形求出的表达式，再建立不等式组求解是解题的关键．先将方程组中的两个方程相加，求出关于的表达式，再根据列出不等式组，求解得出的取值范围． 【详解】解： ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， 解得：． 故选：B ． 【变式1】．已知关于，的二元一次方程组的解满足，那么的取值范围为_______． 【答案】 【分析】先利用整体的思想求出，从而可得，进而可得，进一步进行计算，即可解答． 【详解】解：， 得：， 解得：， ∵， ∴， ∴， 解得：． 【变式2】．若关于x、y的二元一次方程组的解满足，则k的取值范围为__________ 【答案】 【分析】将方程组中两个方程作差，得到关于的表达式，再代入不等式，解一元一次不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：， 由得， ， 化简得，， 方程组的解满足， ， 根据不等式的基本性质移项得，． 【变式3】．已知关于的方程组． (1)若该方程组的解满足，求的值； (2)若该方程组的解满足为正数，为负数，求的取值范围． (3)在（2）的条件下，若不等式的解为，请直接写出整数的值． 【答案】(1) (2) (3)0 【分析】（1）由加减消元法解二元一次方程组得出，然后代入计算即可得解； （2）由（1）得，结合题意得出，解不等式组即可得出答案； （3）根据题意得出，求解并结合（2）得出，即可得解． 【详解】（1）解：， 由得：， ∴， 得：， ∴， ∵该方程组的解满足， ∴， ∴； （2）由（1）得：， ∵该方程组的解满足为正数，为负数， ∴， 解得：； （3）解：∵， ∴， ∵不等式的解为， ∴， 解得：， 由（2）可得， ∴， ∴的整数值为0． 【题型6 列一元一次不等式组】 题型特点：基础文字应用题，含两个及以上不等关系，需要自主列组求解。 解题方法：精读题干，圈画“至少、最多、不足、不超过”等关键词，转化为对应不等符号，根据双重不等关系列出不等式组求解。 【典例6】．一本书共108页，布克读了一周（7天）还没读完，而莉克不到一周就已读完．莉克平均每天比布克多读5页．若设布克平均每天读x页，则由题意列出不等式组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题干给出的“布克读了一周还没读完，而莉克不到一周就已读完”的条件，提取不等关系，即可列出对应的不等式组． 【详解】解：设布克平均每天读页，则莉克平均每天读页． ∵布克读7天还没读完，说明布克7天读的总页数小于书的总页数， ∴． ∵莉克不到7天就读完了，说明莉克7天读的总页数大于书的总页数， ∴． 因此可得不等式组． 【变式1】．若干名学生住宿舍，若每间住4人，则2人无处住；若每间住6人，则还有一间不空也不满，若设有x间宿舍，则可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列一元一次不等式组，理解题意，正确找出不等关系是解题关键． 设有间宿舍，根据总人数不变和“每间住6人时还有一间不空也不满”的条件，列不等式组．总人数为人，当每间住6人时，前间住满6人，最后一间住的人数大于0且小于6，从而得到． 【详解】解：设有x间宿舍，则总人数为人， 当每间住6人时，有一间不空也不满， ∴， 即不等式组为． 故选：A． 【变式2】．某地区新能源汽车保有量达到万辆，其中纯电动汽车保有量不低于新能源汽车总量的．则纯电动汽车的保有量（单位：万）可以用不等式（组）表示为______． 【答案】 【分析】本题考查了列不等式组，根据题意列出不等式组即可，读懂题意，找出不等关系，列出不等式组是解题的关键． 【详解】解：根据题意得，， 即． 故答案为：． 【变式3】．小明用18克咖啡粉冲泡了300毫升的咖啡液（假设咖啡粉完全溶解，体积忽略不计）．他认为浓度过高，决定先倒掉一部分咖啡液，然后加入一定量的水进行稀释，倒掉咖啡液的量与加入的水量相等．调整后的咖啡浓度既不低于又不超过．设加入的水量为x毫升，请列出符合题意的一元一次不等式组______． 【答案】 【分析】本题考查了列不等式组．先求得调整后咖啡浓度为，再根据“调整后的咖啡浓度既不低于又不超过”列出不等式组即可． 【详解】解：由题意倒掉了x毫升咖啡液，此时剩余的咖啡质量为克， 调整后咖啡浓度为， 根据题意得， 故答案为：． 【题型7 不等式组的行程问题】 题型特点：结合路程、速度、时间公式（路程=速度×时间），涉及追及、相遇、限时到达等场景，含不等关系。 解题方法：根据行程公式表示出对应路程，结合“提前到达、迟到、不超过时间、不少于路程”等条件列不等式组，结果结合实际取舍。 【典例7】．哈市乘坐出租车的收费标准：起步价8元（即行驶距离不超过3千米都须付8元车费），超过3千米以后，每增加1千米，加收2元（不足1千米的部分按1千米计）．某人乘出租车从甲地到乙地共付车费18元，那么甲地到乙地路程满足（　　） A． B．7 C．7 D．7 【答案】D 【分析】本题主要考查了不等式组的应用，根据总费用18元中，起步价8元对应3千米，剩余10元为超过3千米的费用，根据超过部分每千米2元，求出超过的千米数为千米，根据不足1千米按1千米计，实际路程需满足：超过3千米的部分大于4千米且不超过5千米，据此列出不等式组解不等式组即可． 【详解】解：∵总费用18元中，起步价8元对应3千米，剩余10元为超过3千米的费用，超过部分每千米2元， ∴超过的千米数为千米， ∵不足1千米按1千米计， ∴实际路程需满足：超过3千米的部分大于4千米且不超过5千米， ∴， 解得：， 故选：D． 【变式1】．北斗高精导航能够实时显示当前路口的信号灯颜色以及时长，一辆小车行驶在限速的路段上，当距离下一路口时，发现导航显示下一路口的信号灯为绿灯，且剩余时间为，此时导航提示：按照当前时速行驶能通过下一路口，则小车当前行驶速度的取值范围是______． 【答案】 【分析】先统一单位，求出60秒内通过所需的最小速度，再结合路段限速即可得到的取值范围． 【详解】解：要在绿灯剩余的内通过路口，小车的速度至少满足， 将单位转换为，可得． 又∵该路段限速，且按照当前时速行驶能通过下一路口， ∴小车当前行驶速度的取值范围是． 【变式2】．方方驾驶汽车从甲地匀速行驶去乙地，设汽车的行驶速度为．已知行驶速度限定为不超过，若他以的平均速度行驶，则需到达目的地；若他必须要在内（包括）到达乙地，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 根据路程不变，由速度和时间的关系列出不等式组，解之即可得出行驶的平均速度的范围． 【详解】解：依题意得： 解得：． 故答案为：． 【变式3】．如图，A，B两地间的公路长，其中有一段长的施工道路，M距离A地甲、乙两辆轿车分别从A，B两地出发，沿该公路相向而行，乙车比甲车晚出发在非施工道路其限速情况如图所示，甲车始终以的速度行驶，乙车始终以的速度行驶；在施工道路，两车均以的速度行驶． (1)若 ①甲车出发时，甲车行至______处，乙车行至______处；填“M”“N”或“的中点” ②甲车行至的中点时，乙车行驶的时间为______h (2)已知两车在P处相遇． ①若P与N重合，求V的值； ②若P在非施工道路上不与M，N重合，直接写出V的取值范围． 【答案】(1)①M，N；② (2)①，②或 【分析】①根据题意，分别得到，，，，根据甲乙两车的速度，即可得到两车行驶的距离，即可得到结果； ②根据甲车在段和段的速度不同，得到甲车的行驶时间，结合乙车比甲车晚出发，得到乙车所用时间； ①两车在P处相遇与N重合，分别求出甲乙所用的时间，从而得到乙车的速度； ②分类讨论相遇点在上，分别表示甲乙所行驶的路程，根据总路程为，得到等式，表示出速度，同时结合限速的要求，得到结果． 本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，以及路程、速度、时间之间的关系的应用，正确理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：①依题意，，，， ， 甲车从A地出发，始终以的速度行驶， 甲车2小时共行驶了， 甲车出发2小时，行至M处， 乙车从B地出发，比甲车晚出发小时，以的速度行驶， 乙车共行驶了， 乙车行至N处， 故答案为：M，N； ②甲车行至的中点时，所用时间为：， 此时乙车行驶所用时间：， 故答案为：； （2）①两车在P处相遇，P与N重合， 甲车所用时间为， 此时乙车所用时间为， 乙车的速度为； ②P在非施工道路上不与M，N重合， 若P在上，设甲的行驶时间为t，则， 此时甲行驶路程为，乙行驶的路程为， ， ， ， 解得， 限速为， ， 若P在上，设甲的行驶时间为t，， 则， 此时甲行驶路程为，乙行驶的路程为， ， ， ， 解得， 限速为， ， 综上所述或． 【题型8 不等式组的经济问题】 题型特点：涉及利润、成本、售价、销量等经济场景，求盈利、亏损、定价范围等问题。 解题方法：利用利润=售价-成本、总利润=单件利润×销量公式，根据“利润不低于、成本不超过”等不等条件列组求解。 【典例8】．某商店两种商品滞销，分别造成3000元和4000元的资金积压．商店根据市场行情和消费者的心理状态，决定将两种商品分别按积压资金的八折和九折降价出售，结果滞销的这两种商品很快售完．商店立即将回收的全部资金以相当于零售价 的批发价买回一批畅销货．为了支付必要的开支，商店至少得赚回利润1100元，而为了保证这批新货迅速售完，不至于由畅销货变为滞销货，商店拟以低于零售价的价格，将这批新货卖出．设商店应该将这批新进货高出进价的卖出，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是不等式组的应用，某商店两种商品滞销，分别造成3000元和4000元的资金积压，“至少得赚回利润1100元”指的是最终销售额需要覆盖最初积压的全部资金(元)，并在此基础上盈利1100元，因此对最终销售额的最低要求为元；设商店应该将这批新进货高出买进价的卖出，则实际出售商品的收入为；商店立即将回收的全部资金以相当于零售价的批发价买回一批畅销货，则以零售价出售的收入为；且满足：最少收入实际出售商品的收入以零售价出售的收入，代入求解即可． 【详解】解：设新进货应高出进价的， 由题意得，则， 解得：， 故选：D． 【变式1】．综合与实践： 【背景】夏季来临之际，某电器商城想通过市场调研了解如何采购电风扇才能获取最大销售利润． 【素材】素材1：市场畅销的某品牌电风扇有两个型号，其中A型号的进价为140元，B型号的进价为120元； 素材2：该电器商城准备用不超过7830元的金额采购这两种型号的电风扇共60台； 素材3：该电器商城在销售过程中发现：销售2台A型号电风扇和1台B型号电风扇，共获得销售收入510元；销售3台A型号电风扇和2台B型号电风扇，共获得销售收入840元； 【任务】 (1)求A，B两种型号的电风扇的销售单价； (2)求A种型号的电风扇最多能采购多少台？ (3)该电器商城销售完这60台电风扇能否实现利润超过2080元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 【答案】(1)A型号电风扇销售单价为180元，B型号电风扇销售单价为150元 (2)A种型号的电风扇最多能采购31台 (3)能实现利润超过2080元的目标，采购方案为：方案一：采购A型号29台，B型号31台；方案二：采购A型号30台，B型号30台；方案三：采购A型号31台，B型号29台 【分析】（1）设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，根据题目给出的两组销售收入条件列二元一次方程组，解方程组即可得到结果； （2）设采购A种型号电风扇m台，根据总采购金额不超过7830元列一元一次不等式，结合m为非负整数即可求出m的最大值； （3）根据利润超过2080元的要求列不等式，结合第二问得到的m的取值范围，找出所有符合条件的正整数m，即可得到对应的采购方案． 【详解】（1）解：设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为元、元． 根据题意可得 ， 解得 ， 答：A型号电风扇销售单价为180元，B型号电风扇销售单价为150元； （2）解：设A种型号电风扇采购台，则B种型号电风扇采购台． 根据题意可得 ， 化简得， 解得， 因为为非负整数， 所以的最大值为31． 答：A种型号的电风扇最多能采购31台． （3）解：∵要使利润超过2080元， ∴， 化简得，， 解得， 由（2）可知，且为正整数， 因此可取29，30，31． 当时，， 当时，， 当时，， 因此该电器商城销售完这60台电风扇能实现利润超过2080元的目标， 对应的采购方案为：方案一：采购A型号电风扇29台，B型号电风扇31台；方案二：采购A型号电风扇30台，B型号电风扇30台；方案三：采购A型号电风扇31台，B型号电风扇29台． 【变式2】．A笔记本单价5元，B笔记本单价3元，共采购60本；要求：总费用不超过260元，A数量不少于B的 (1)求A款最少购买多少本； (2)直接写出所有购买方案． 【答案】(1)A最少买20本 (2)第1种A款20本，B款40本；第2种A款21本，B款39本；……；第21种：A款40本，B款20本 【分析】（1）设A款买x本，则B款买本，根据总费用不超过260元、A数量不少于B的列不等式组求解即可； （2）根据（1）中x的取值范围写出所有购买方案即可． 【详解】（1）解：设A款买x本，则B款买本，由题意，得 ， 解得， 所以A最少买20本； （2）解：∵， ∴x可取∶20、21、22、……、40，共21种方案， 方案：第1种A款20本，B款40本；第2种A款21本，B款39本；……；第21种：A款40本，B款20本． 【变式3】．国庆期间，某旅游胜地的一家超市销售甲、乙两种纪念品，1件甲种纪念品和2件乙种纪念品共值50元；2件甲种纪念品和1件乙种纪念品共值40元． (1)求甲、乙两种纪念品的单价； (2)国庆期间，超市推出两种优惠活动（游客只能享受一种活动）： 活动一：一次性购买纪念品10件或10件以上，赠送1件10元纪念品； 活动二：一次性购买纪念品10件或10件以上，单价20元的纪念品打九折（注：“打九折”指按标价的出售）． 某游客想购买m（m为整数，且）件纪念品返程后送给亲朋好友． ①该顾客发现：当购买10件甲种纪念品后，其余的购买乙种纪念品，两种优惠活动付费一样，求m的值； ②该顾客想买12件甲种纪念品，其余全部购买乙种纪念品，结算时发现：活动二比活动一优惠不足（不足表示有但又少于）4元，试确定m的值． 【答案】(1)甲、乙两种纪念品的单价分别为10元，20元 (2)①15；②18 【分析】（1）设甲、乙两种纪念品的单价分别为x元，y元，根据“1件甲种纪念品和2件乙种纪念品共值50元；2件甲种纪念品和1件乙种纪念品共值40元”列出二元一次方程组求解； （2）①由题意知，乙种纪念品购买件，根据“两种优惠活动付费一样”列出一元一次方程求解； ②由题意知：乙种纪念品购买件，分别表示出活动一和活动二的付费，然后根据“活动二比活动一优惠不足（不足表示有但又少于）4元”列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设甲、乙两种纪念品的单价分别为x元，y元， 根据题意得，， 解得：， 答：甲、乙两种纪念品的单价分别为10元，20元； （2）解：①由题意知：乙种纪念品购买件， 由题意得，， 解得，； ②由题意知：乙种纪念品购买件， 活动一付费：， 活动二付费：， 由题意知：， 解得：， m为整数， m的值为18． 【题型9 不等式组的分配问题】 题型特点：经典分配场景，物品分给人，出现“有余、不足、剩余、不够分”等情况。 解题方法：根据分配总数不变，结合“分配后剩余数量大于0、不足数量小于标准值”列双重不等关系，列出不等式组，结果取正整数。 【典例9】．课外阅读课上，老师将本书分给各个小组，每组本，还有剩余；每组本，却又不够．这个课外阅读小组共有（   ） A．组 B．组 C．组 D．组 【答案】B 【分析】设小组数量为，根据题意列出一元一次不等式组，求出的取值范围，取范围内的正整数即可得到结果． 【详解】解：设一共有个小组，为正整数， ∵每组本有剩余，每组本不够， ∴可得， 解不等式，得， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为， ∵为正整数， ∴，故一共有个小组． 【变式1】．某学校科技活动小组制作了部分科技产品后，把剩余的甲、乙两种原材料制作成了100个A，B两种型号的工艺品，已知每制作一个工艺品需甲、乙两种原料如下表： A型 B型 原料甲 千克/个 千克/个 原料乙 千克/个 千克/个 已知剩下甲种原料29千克，乙种原料37.2千克，假设制作x个A型工艺品，根据题意，列出相应的不等式组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据题意列出一元一次不等式组即可，掌握一元一次不等式组的应用是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得： ， 故选：B． 【变式2】． “守护长江生态、传承长江文化”，引导青少年感恩长江、热爱长江、保护长江的意识，通过自身的行动和努力，让长江文化在新的时代焕发新的活力与魅力．某校八年级积极开展青少年主题读书活动，现有一批图书分发给若干班级，若每个班级发放4本图书，则剩余20本；若每个班级发放8本图书，就有一个班级发放的图书多于1本且不足8本．则学校八年级共有________个班级． 【答案】6 【分析】设学校八年级共有x个班级，根据题意列出不等式组求解即可． 【详解】解：设学校八年级共有x个班级，根据题意得： ， 解得：， ∵x为整数， ∴x取6， ∴学校八年级共有6个班级． 【变式3】．班级为表彰表现优秀的同学，购买了A，B两种奖品若干件，且A，B两种奖品的数量之比为．设购买A种奖品共（为正整数）件． (1)若最初购买的奖品总数不超过100件，求A种奖品最多买了几件？ (2)奖品颁发完毕后，发现A，B两种奖品分别还剩余原来的和． ①此次颁奖，共颁发了两种奖品__________件．（请用含的代数式表示） ②若全班45位同学均有获得一种或两种奖品，且同时获得A，B两种奖品的人数不超过30人，求全班有几位同学获得了B种奖品？ 【答案】(1)A种奖品最多买了35件； (2)①；②36 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用、列代数式以及一元一次不等式组的应用． （1）设购买A种奖品共（x为正整数）件，则购买B种奖品共（x为正整数）件，根据最初购买的奖品总数不超过100件，可列出关于x的一元一次不等式，解之可得出x的取值范围，再将x的最大整数值代入中，即可求出结论； （2）①设购买A种奖品共（x为正整数）件，则购买B种奖品共（x为正整数）件，利用颁发A，B两种奖品的总数量=颁发A种奖品的数量+颁发B种奖品的数量，可用含x的代数式表示出颁发A，B两种奖品的总数量； ②根据颁发A，B两种奖品的总数量不低于45件且不超过件，可列出关于x的一元一次不等式组，解之可得出x的取值范围，结合x，均为正整数，可确定x的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】（1）解：设购买A种奖品共（x为正整数）件，则购买B种奖品共（x为正整数）件， 根据题意得：， 解得：， 又∵x为正整数， ∴x的最大值为7， ∴（件）． 答：A种奖品最多买了35件； （2）解：①设购买A种奖品共（x为正整数）件，则购买B种奖品共（x为正整数）件， ∴此次颁奖，共颁发了A，B两种奖品（件）． 故答案为：； ②根据题意得：， 解得：， 即， 又∵x，均为正整数， ∴， ∴． 答：全班有36位同学获得了B种奖品． 【题型10 不等式组的方案选择问题】 题型特点：考试高频压轴题型，有多种采购、生产、出行、施工方案，求可行方案数量或最优方案。 解题方法：①设方案中的未知量；②根据总价、数量、限制条件列不等式组；③求出整数解，每一个整数解对应一种可行方案；④对比方案选出最优方案（最省钱、最省材料等）。 【典例10】．学校购进单价分别为5元和7元的两种笔记本共50本作为奖品发放给学生，要求种笔记本的数量不多于种笔记本数量的3倍，不少于种笔记本数量的2倍，则不同的购买方案种数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据题意列出不等式组是解题的关键．设购进A种笔记本为x本，则购进B种笔记本为本，根据题意列出一元一次不等式组，然后求整数解即可． 【详解】解：设购进A种笔记本为x本，则购进B种笔记本为本， 由题意得：， 解得， ∵x为正整数， ∴x的取值为34、35、36、37， 则不同的购买方案种数为4种． 故选：B． 【变式1】．怀化国际陆港某货场现有甲种货物和乙种货物，拟用两种集装箱将其运走．已知甲种货物和乙种货物可装满一个型集装箱，甲种货物和乙种货物可装满一个型集装箱．若共使用了50个集装箱，则有___________种具体的运输方案． 【答案】3 【分析】本题考查了列一元一次不等式组解实际问题的运用， 一元一次不等式组的解法的运用， 解答中运用为整数的隐含条件求出结论是解答的关键 ． 设安排A中集装箱个， 则安排B中集装箱个， 根据题意建立不等式组， 然后求出其解集， 根据解集就可以确定装运方案 ． 【详解】解：设安排A种集装箱x个，则安排B种集装箱个． 根据题意，得， 解不等式①，得； 解不等式②，得， 所以不等式组的解集为， 因为x取正整数，所以x取28，29，30， 当时，；当时，；当时，． 故有三种运输方案：方案一：安排A种集装箱28个，B种集装箱22个； 方案二：安排A种集装箱29个，B种集装箱21个； 方案三：安排A种集装箱30个，B种集装箱20个． 故答案为：3． 【变式2】．某电器经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的微波炉，已知购进1台甲型微波炉和2台乙型微波炉共需资金2700元；购进2台甲型微波炉和3台乙型微波炉共需资金4600元． (1)求甲、乙两种型号的微波炉每台的进价分别为多少元． (2)该店计划购进甲、乙两种型号的微波炉销售，预计用不多于万元且超过万元的资金购进这两种型号的微波炉共20台，共有几种进货方案？请写出所有的进货方案． 【答案】(1)甲种型号的微波炉每台的进价为1100元，乙种型号的微波炉每台的进价为800元； (2)共有3种方案：方案1，购进甲种型号的微波炉8台，购进乙种型号的微波炉12台；方案2，购进甲种型号的微波炉9台，购进乙种型号的微波炉11台；方案3，购进甲种型号的微波炉10台，购进乙种型号的微波炉10台． 【分析】（1）设甲种型号的微波炉每台的进价为x元，乙种型号的微波炉每台的进价为y元，根据购进1台甲型微波炉和2台乙型微波炉共需资金2700元；购进2台甲型微波炉和3台乙型微波炉共需资金4600元建立方程组求解即可； （2）设购进甲种型号的微波炉m台，则购进乙种型号的微波炉台，根据用不多于万元且超过万元的资金购进这两种型号的微波炉共20台建立不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设甲种型号的微波炉每台的进价为x元，乙种型号的微波炉每台的进价为y元， 由题意得，， 解得， 答：甲种型号的微波炉每台的进价为1100元，乙种型号的微波炉每台的进价为800元； （2）解：设购进甲种型号的微波炉m台，则购进乙种型号的微波炉台， 由题意得，， 解得， 又∵m为整数， ∴m的值可以为8或9或10， 当时，， 当时，， 当时，， 答：共有3种方案：方案1，购进甲种型号的微波炉8台，购进乙种型号的微波炉12台；方案2，购进甲种型号的微波炉9台，购进乙种型号的微波炉11台；方案3，购进甲种型号的微波炉10台，购进乙种型号的微波炉10台． 【变式3】．某服装店老板到厂家购进，两种型号的服装，购进型号服装的数量要比购进型号服装的数量的倍还多件，且型号服装最多可购进件． (1)求型号服装最多可以购进多少件． (2)若销售一件型号服装可获利元，销售一件型号服装可获利元，要求这批服装全部售出后总的获利不少于元，问有几种进货方案？如何进货？ 【答案】(1) 型号服装最多可以购进件 (2) 有种进货方案；方案一：购进型号服装件，型号服装件；方案二：购进型号服装件，型号服装件 【分析】（1）根据型号服装数量与型号的关系以及型号的最大购进数量列出一元一次不等式，求解即可得到型号的最大购进数量； （2）根据获利要求列出一元一次不等式，结合第一问得到的型号数量的范围，根据服装数量为正整数得到所有符合条件的进货方案． 【详解】（1）解：设购进型号服装件，则购进型号服装件， 由题意得：， 解得； 答：型号服装最多可以购进件． （2）解：这批服装全部售出后总的获利不少于元， ， 展开整理得：， 解得， 由（1）得， ， 为正整数， 或； 当时，； 当时，． 答： 有种进货方案；方案一：购进型号服装件，型号服装件；方案二：购进型号服装件，型号服装件． 【题型11 不等式组的阶梯收费问题】 题型特点：结合水电费、打车费、快递费等阶梯分段收费场景，分段计费、区间定价。 解题方法：明确每个收费区间的阈值，根据总费用锁定取值范围，结合分段收费公式列不等式组，求解对应用量范围。 【典例11】．某市出租车起步价是8元（及以内为起步价），以后每千米收费元，不足按收费．若小明乘出租车到达目的地时计价器显示为元，则此出租车行驶的路程可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出租车行驶的路程为s千米，根据“车费=起步价+超出3千米的路程×每千米的收费”结合小明乘出租车到达目的地时计价器显示为14.4元，即可得出关于s的一元一次不等式组，解不等式组即可得出s的取值范围，结合四个选项即可得出结论． 【详解】解：设出租车行驶的路程为s千米，由题意得 ， 解得． 在四个选项中，只有在此范围内，所以，选项B符合题意． 【变式1】．大连地铁票收费标准如下： 不超过，2元人次；超过到（含），元/人次； 超过到（含），4元/人次； 超过到（含），5元/人次； 超过到（含），6元/人次； 超过到（含），7元/人次； 超过到（含），8元/人次； 超过部分，票价每增加元可再乘坐． 一位乘客单次乘坐地铁购票花费了元，设他乘坐地铁的里程为，用不等式表示的范围为______． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．根据“超过部分，票价每增加元可再乘坐”，结合一位乘客单次乘坐地铁购票花费了元，即按里程计算超过元且不超过元，可列出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围． 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 故答案为：． 【变式2】．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，重庆市采用价格调控的方式达到节水的目的．重庆市自来水的收费价格见价目表．注：水费按月结算．若某户居民1月份用水8立方米，则应交水费：（元）． 价目表 每月用水量 单价 不超出6立方米的部分 2元/立方米 超出6立方米不超出10立方米的部分 4元/立方米 超出10立方米的部分 8元/立方米 (1)若小明家2月份用水立方米，则应交水费________元； (2)若小明家3月用水量为立方米，当时，小明家应交水费______元，当时，小明家应交水费_______元；（请用含的代数式表示） (3)若小明家3月份，4月份共用水12立方米（4月份用水量多于3月份），共交水费38元，则小明家3，4月份各用水多少立方米？ 【答案】(1)； (2)，； (3)3月份用水立方米，4月份用水立方米． 【分析】本题主要考查了分段计费问题，涉及有理数运算、列代数式及一元一次方程的应用．熟练掌握分段计算费用的方法，根据不同用水量范围准确列出算式或方程是解题的关键． （1）根据价目表，将12.5立方米的用水量按不同单价分段计算，分别算出各段水费再求和． （2）当时，水费由6立方米按2元/立方米和超出6立方米部分按4元/立方米计算；当时，水费由6立方米按2元/立方米、4立方米（6到10立方米）按4元/立方米、超出10立方米部分按8元/立方米计算，据此列代数式． （3）分情况讨论3月用水量的范围，根据不同范围的水费计算方式列方程求解． 【详解】（1）解：应交水费：（元）， 故答案为：； （2）解：当时， 水费为（元） 当时， 水费为（元） 故答案为：，； （3）解：设3月份用水立方米，则4月份用水立方米，由题意得， ，即． 当，即时， 水费为． 令， 解得（舍去）． 若，即， 水费为． 令， 解得． ∴3月份用水立方米，4月份用水立方米． 【变式3】．为鼓励节约用水，居民生活用水采用阶梯收费．水价分三个等级：第一级为月用水量17m3以下（包括17m3）；第二级为月用水量超过17m3但不超过30m3；第三级为月用水量超过30m3（不包括30m3）．下面是某居民收到的一张2025年7月份的生活用水消费明细（不完整）． 居民生活用水消费明细 计费日期2025﹣7﹣1至2025﹣7﹣31 自来水费 污水处理费 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 阶段一：17 2 34 阶段一：17 1 17 阶段二： 2.5 阶段二： 1 本期实付金额（大写） （注：居民生活用水水费=自来水费+污水处理费） 已知该居民6月份和7月份的用水量总和为42m3，且7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍． (1)设该居民7月份的用水量为xm3，求x的取值范围； (2)该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳多少元； (3)若该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，求该居民7月份的用水量． 【答案】(1) (2)89.5元 (3) 【分析】（1 ）设该居民7月份的用水量为，则该居民6月份的用水量为，根据“7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍”，可列出关于x的一元一次不等式组，解之可得出x的取值范围； （2 ）求出当7月份用水量是时的水费即可； （3 ）根据该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，可列出关于x的一元一次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设该居民7月份的用水量为，则该居民6月份的用水量为， 根据题意得：， 解得：． 答：x的取值范围为； （2）解：根据题意得： （元）． 答：该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳89.5元； （3）解：当时，水费差为， 令 解得：，不符合题意，舍去； 当时，， 解得：． 答：该居民7月份的用水量为． 【题型12 一元一次不等式组的其他应用】 题型特点：涵盖取值范围限定、几何图形边长/周长/面积范围、数字问题等综合题型。 解题方法：结合对应场景公式（几何公式、数字规律），根据题干限制条件提取不等关系，列组求解，严格符合场景实际意义。 【典例12】．四月是工大附小的读书节活动月，四年级某班班主任刘老师打算把一些书分给几名同学，如果每人分3本，那么剩余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人分到了书但是不到3本．则共有（    ）名同学． A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】设共有名同学，则书本总数为本，根据最后一人分到书但不到3本的条件列出不等式组，求解后取正整数即可得到结果． 【详解】解：设共有名同学，则书本总数为本， 根据题意，最后一人分得的书本数大于0且小于3，可得不等式组： 化简第一个不等式得， 化简第二个不等式得， 因此不等式组的解集为， ∵为正整数， ∴． 即共有6名同学． 【变式1】．按如图所示的程序进行计算，若输入整数后，程序运行了两次后输出结果，则输入的整数的值可以是（   ） A．1 B．4 C．7 D．10 【答案】B 【分析】列出每一次运算的算式：第一次：，第二次：，再由运算进行2次才停止，列出一元一次不等式组求解即可． 【详解】解：由题意可知，第一次输出：， 第二次输出：， ∵程序运行了两次后输出结果， ∴， 解得：， 观察4个选项，只有4符合题意． 【变式2】．取整符号表示不超过实数的最大整数，如．若，则的值为______． 【答案】2或3或4 【分析】先由有意义得，设，利用取整符号的定义联立不等式，解得；再分区间讨论的范围，得到的所有可能值． 【详解】解：由题意得，对于任意有理数，有， ∵有意义 ∴， 设（为非负整数）， ∴ ， 由题意得，， ∴， ∴， 又∵， ∴当时，x的范围为； 当时，x的范围为； 当时，，无解； 综上所述，的取值范围是， 当时，， ∴， ∴； 当时，， ∴， ∴； 当时，， ∴， ∴， 综上所述，的值为2或3或4． 【点睛】解题核心是利用取整符号定义的不等式性质，通过设元法将条件转化为不等式组，先确定的取值范围，再分段讨论的范围，避免漏解． 【变式3】．请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 某校计划购买篮球和排球，供更多学生参加体育锻炼，增强身体素质． 素材一 购买2个篮球与购买3个排球需要的费用相等； 素材二 购买2个篮球和5个排球共需800元； 素材三 该校计划购买篮球和排球共60个，篮球和排球均需购买，且购买排球的个数不超过购买篮球个数的2倍． 请完成下列任务： (1)任务一：每个篮球，每个排球的价格分别是多少元？ (2)任务二：若恰好赶上价格调整，篮球价格是原价格的八折，排球提价5%，请你给出最节省费用的购买方案． 【答案】(1)每个篮球150元，每个排球100元 (2)最节省费用的购买方案是购买篮球20个，排球40个 【详解】（1）解：设每个篮球的价格是x元，每个排球的价格是y元， 根据题意得： 解得： 答：每个篮球的价格是150元，每个排球的价格是100元． （2）解：购买篮球a个，购买排球个，总花费w元， 根据题意得： 解得：，且为整数， ， 化简得：， ，w随着a的增大而增大， 当时，， 此时，购买排球为（个）， 答：最节省费用的购买方案是购买篮球20个，排球40个． 05 过关•检测 1．已知整数满足，则的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】由题意易得，然后可得，则根据“a、b为整数”可得，进而问题可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵a、b为整数， ∴， ∴． 2．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别求解两个不等式，得到不等式组的解集，然后判断即可． 【详解】解：， 解不等式得：， 解不等式得：， ∴不等式组的解集为， 解集在数轴上表示为， ∴选项符合题意． 3．点在第二象限，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据第二象限的坐标特点，得到关于m的不等式组，解不等式组即可． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴， 解得：． 4．定义一种新运算：当时，；当时，．若，则x的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查新定义运算，解一元一次不等式，注意分情况讨论是解题的关键．分当，即时，当，即时，两种情况，根据题目所给的新定义建立关于x的不等式进行求解即可． 【详解】解：当，即时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当，即时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，或． 5．不等式组恰有3个非负整数解，则k的取值范围在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意易得不等式组的解集为，则有该不等式组的3个非负整数解为，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：， 由①可得：； 由②可得：； ∴不等式组的解集为， ∵不等式组恰有3个非负整数解， ∴该不等式组的3个非负整数解为， ∴， 解得：． 在数轴上表示解集如图所示： 6．若整数使关于的不等式组有且只有3个整数解，则满足条件的整数的值之和为（   ） A．6 B．8 C．9 D．7 【答案】C 【分析】先求得不等式组的解集为，根据题意得到，据此求解即可． 【详解】解：解不等式得， 解不等式得， ∴不等式组的解集为， ∵关于的不等式组有且只有3个整数解，即、0、1， ∴，解得， ∵是整数， ∴的取值为、0、1、2、3、4． ∴满足条件的整数的值之和为． 7．已知关于的不等式组，甲、乙两位同学分别得出以下结论：甲：如果不等式组有且仅有一个整数解，那么的取值范围是；乙：如果，那么此不等式组无解．其中下列判断正确的是（   ） A．甲、乙都对 B．甲错，乙对 C．甲对，乙错 D．甲、乙都错 【答案】B 【分析】根据不等式组解的情况，对a进行讨论求解． 【详解】解：根据题意，得不等式组的解集为， 由它有且仅有一个整数解， ∴， 解得：，故甲错误； 若它无解，则， 解得：， 因为当时，满足， 所以不等式组无解，故乙正确． 8．若整数使关于的不等式组至少有个整数解，且使关于，的方程组的解为整数，那么所有满足条件的整数的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先解不等式组得到解集，根据不等式组至少有个整数解确定的取值范围，再解方程组，根据方程组的解为整数找出符合条件的整数，统计其个数即可． 【详解】解：解不等式， ， ， 解得； 解不等式， ； 不等式组的解集为， 不等式组至少有个整数解， ， 解得． ， 由得，， 将代入得，， 整理得， ， 将代入得，， 方程组的解为整数， 为整数， 为整数，且， ，，， 所有满足条件的整数的个数是个． 9．不等式组的解集是_____ 【答案】 【详解】解：， 由①得， 由②得， 不等式组的解集是． 10．已知关于的不等式组， （1）若不等式组无解，则的取值范围是______． （2）若不等式组有且仅有个整数解，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】先求出不等式组中两个不等式的解集，（1）由不等式组无解得到，即可求解；（2）根据题意可得这三个整数解为，，，进而得到，即可求解． 【详解】解：（1） 解不等式①得， 解不等式②得， 该不等式组无解， ，即； （2）该不等式组有且仅有个整数解，则这三个整数解为，，， ， 解得． 11．如图所示，在数轴上点分别表示数，1，若点为线段上不与端点重合的动点，且表示的数为，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】数形结合得出不等式组，利用不等式性质求解即可． 【详解】解：由图可知，，解得． 12．如果关于的不等式组无解，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据不等式组解集的表示方法“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的法则可得答案． 【详解】解：∵不等式组无解， ∴， ∴． 13．关于x的不等式组的解集中任意一个x的值均不在的范围内，则m的取值范围是______． 【答案】或 【分析】先解不等式组，得到解集为，根据题意，解集中任意均不在范围内，则有或，求解得到的取值范围． 【详解】解：解不等式组得， ∵解集中任意的值均不在范围内， ∴或， 解得或， 因此，的取值范围是或． 14．定义新运算：，若关于正数的不等式组恰有三个整数解，则的取值范围_____． 【答案】 【分析】根据新运算定义化简不等式组，得到不等式组的解集后，再根据整数解的个数确定参数的取值范围即可． 【详解】解：为正数，， 对于， ，即， ， 由得，解得， 对于， ，即， ， 由得，解得． 因此不等式组的解集为． 不等式组恰有三个整数解，三个整数解为， ， 不等式两边同时加，得． 15．运行程序如图所示，从“输入实数”到“结果是否”为一次程序操作．若输入后程序操作进行了两次就停止，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据运行程序，第一次运算结果小于等于5，第二次运算结果大于5列出不等式组，然后求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得． 16．对非负实数“四舍五入”到个位的值记作，即：当为非负整数时，若，则如： （1）_______； （2）如果，则实数的取值范围为_____． 【答案】 4 【分析】（1）先估算出的大致范围，再根据题中定义求出结果； （2）根据题中对的定义，列出关于的一元一次不等式，解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：（1）∵， ∴， 由定义可知， 因此； （2）∵， 根据定义得：， 解得， ∴． 17．解不等式组： (1)； (2)，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】(1)无解； (2)，数轴见解析 【详解】（1）解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∵， ∴不等式组无解； （2）解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集是，在数轴上表示为： 18．为丰富我校学生的文化生活，打造书香校园，学校计划购买一批图书．若同时购进甲种图书7本和乙种图书4本，共需290元；若同时购进甲种图书3本和乙种图书6本，共需210元． (1)求甲、乙两种图书的单价各是多少元？ (2)若学校计划购买这两种图书共60本，要求每种都要购买，且甲种图书的数量不少于乙种图书的数量，又根据学校预算，购买总金额不能超过1550元，请问学校共有哪几种购买方案？ 【答案】(1)甲种图书的单价是30元，乙种图书的单价是20元 (2)学校共有6种购买方案，分别是：方案一：甲种图书30本，乙种图书30本；方案二：甲种图书31本，乙种图书29本；方案三：甲种图书32本，乙种图书28本；方案四：甲种图书33本，乙种图书27本；方案五：甲种图书34本，乙种图书26本；方案六：甲种图书35本，乙种图书25本 【分析】（1）设未知数列出二元一次方程组求解单价； （2）设甲种图书的数量，根据限制条件列出一元一次不等式组，取正整数解即可得到所有购买方案． 【详解】（1）解：设甲种图书的单价是元，乙种图书的单价是元． 根据题意得 解得 答：甲种图书的单价是30元，乙种图书的单价是20元． （2）解：设购买甲种图书本，则购买乙种图书本． ∵每种都要购买，甲种图书数量不少于乙种图书数量，购买总金额不超过1550元， ∴ 解不等式，得． 解不等式，得，即． 解不等式得，． ∴不等式组的解集为． ∵为正整数， ∴的取值为． 答：学校共有6种购买方案，分别是： 方案一：购买甲种图书30本，乙种图书30本； 方案二：购买甲种图书31本，乙种图书29本； 方案三：购买甲种图书32本，乙种图书28本； 方案四：购买甲种图书33本，乙种图书27本； 方案五：购买甲种图书34本，乙种图书26本； 方案六：购买甲种图书35本，乙种图书25本． 19．已知关于，的方程组的解满足以下条件： (1)若，求的值； (2)若为非正数，为负数，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）两式相减得到关于的表达式，再结合求解的值； （2）先解方程组，根据方程的解满足为非正数，为负数，列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：， 得，， ， ， ， ； （2）解：， 得，， ， 将代入得，， ， 为非正数，为负数， ， 解得． 20．小王周末参与2025年湖南足球超级联赛（简称“湘超”）的赛事文创推广社会实践活动，负责筹备湘超主题周边产品，已知4个纪念徽章的成本与5个吉祥摆件的成本相同；采购3个纪念徽章和10个吉祥摆件成本总共需要220元． (1)求每个纪念徽章和每个吉祥摆件的成本； (2)若小王计划用不超过1744元购进这两种产品共100个，购进的吉祥摆件数量不多于纪念徽章数量的2倍，那么小王有多少种采购方案？请问哪种方案最省钱？ 【答案】(1)每个纪念徽章成本为元，每个吉祥摆件成本为元 (2)小王共有种采购方案，其中购进纪念徽章个、吉祥摆件个的方案最省钱 【分析】（1）根据题干给出的两个等量关系，设未知数列二元一次方程组求解，得到两种产品的成本； （2）根据总费用不超过1744元，吉祥摆件数量不超过纪念徽章数量2倍两个限制条件，列一元一次不等式组，求出符合条件的正整数解的个数得到采购方案数量，计算出每种方案所需费用，比较大小即可． 【详解】（1）解：设每个纪念徽章成本为x元，每个吉祥摆件成本为y元， 根据题意可得 ， 解得． 答：每个纪念徽章成本为20元，每个吉祥摆件成本为16元． （2）解：设购进纪念徽章m个，则购进吉祥摆件 个，m为正整数， 根据题意可得， 解得， 因为m为正整数， 所以m的取值为34，35，36，共3种采购方案， 设总费用为W元，则， 时，； 时，； 时，； 可得当时，W取得最小值，此时． 答：小王有3种采购方案，其中购进纪念徽章34个、吉祥摆件66个的方案最省钱． 21． 项目 内   容 主 题 校园“碳中和”——班级绿色出行方案探究 背 景 出行方式：步行、骑自行车、乘公交车（三种方式均有人选择）； 碳排放量：步行（0kg /人）、骑自行车（0.2kg /人）、乘公交车（0.8kg/人）； 每班人数：45 人（每人每天恰好选择一种方式） 案例 条    件 案例一： （1班） ①乘公交车人数为5人；碳排放总量为 10kg． 案例二： （2班） ①骑自行车人数比乘公交车人数多10人； ②步行人数至少15人，不超过25人． 案例三： （3班） ①骑自行车人数是乘公交车人数的2倍； ②骑自行车人数至少12人； ③碳排放总量不超过10kg． 任务： (1)案例一中：求1班步行人数和骑自行车人数分别是多少人？ (2)案例二中：求2班碳排放总量的取值范围是多少？ (3)案例三中：求3班步行人数可能有多少人？ 【答案】(1)1班步行人数为10人，骑自行车人数为30人． (2)2班碳排放总量的取值范围是． (3)3班步行人数可能是21人，24人或27人． 【分析】根据总人数固定，结合不同出行方式的碳排放量规则，利用一元一次方程和一元一次不等式组一一求解． 【详解】（1）解：设1班步行人数为人， 则骑自行车人数为人． 由题意得， 解得， 骑自行车人数为（人）， 答：1班步行人数为10人，骑自行车人数为30人． （2）解：设2班乘公交车人数为人，碳排放总量为， 则骑自行车人数为人，步行人数为人． 由题意得， 解得， 碳排放总量 化简整理得， ∵， ∴， 答：2班碳排放总量的取值范围是． （3）解：设3班乘公交车人数为人， 则骑自行车人数为人，步行人数为人． 由题意得， 化简整理得， ∴， 又∵只能取正整数， ∴可取6，7，8， 当时，步行人数为（人）， 当时，步行人数为（人）， 当时，步行人数为（人）， 答：3班步行人数可能是21人，24人或27人． 22．为了更好治理西太湖水质，保护环境，市治污公司决定购买10台污水处理设备，现有A、B两种型号的设备．经调查：购买3台A型设备和2台B型设备一共26万元，购买2台A型设备比购买4台B型设备少4万元． (1)求A型、B型设备每台各是多少钱； (2)经预算：市治污公司购买污水处理设备的资金不超过54万元，并且A型设备的数量不少于B型设备的数量，则有哪几种购买方案？请写出最省钱的一种购买方案，并写出相应的费用． 【答案】(1)A型设备每台6万元，B型设备每台4万元． (2)共有三种购买方案：①购买A型设备5台，B型设备5台；②购买A型设备6台，B型设备4台；③购买A型设备7台，B型设备3台． 最省钱的购买方案为购买A型设备5台，B型设备5台，相应费用为50万元． 【分析】（1） 设购买A型的价格是x万元，购买B型的设备y万元，根据购买3台A型设备和2台B型设备一共26万元，购买2台A型设备比购买4台B型设备少4万元可列方程组求解； （2）设购买A型号设备x台，则B型为台，根据市治污公司购买污水处理设备的资金不超过54万元，并且A型设备的数量不少于B型设备的数量，可列不等式组求解． 【详解】（1）解：设A型设备每台万元，B型设备每台万元，则 ， 解得∶ ， 故A型设备每台6万元，B型设备每台4万元． （2）解：设购买污水处理设备A型设备x台，B型设备台， 根据题意得，， 解得：， ∵为整数， ∴x为5、6，7． 购买方案：①购买A型设备5台，B型设备5台；费用为（万元）， ②购买A型设备6台，B型设备4台；费用为（万元）， ③购买A型设备7台，B型设备3台；费用为（万元）， 最省钱的购买方案为购买A型设备5台，B型设备5台，相应费用为50万元． 23．定义一种新运算“#”：当时，； 当时，． 例如：，． (1)填空：__________ (2)若，求x的取值范围； (3)已知，求x的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)的取值范围是 【分析】（1）通过比较和3的大小，可知选择计算； （2）根据等式右边的运算形式确定，解不等式即可； （3）由题意可知，分情况讨论或，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得，． （2）解：∵， ∴， 解得：． （3）解：当， ∴， ∴， 解得：， 此时， ∵， ∴， 解得：， ∴； 当， ∴， ∴， 解得：， 此时， ∵， ∴， 解得：， ∴； 综上：的取值范围是． 24．阅读以下素材并解决问题： 制定战机模型购买方案 项目背景 2025年9月3日，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵仪式在北京天安门广场举行，歼-20S，歼-30A等隐形战机震撼亮相．某工厂看准商机，推出了一系列战机模型，某航模专卖店决定购买，两种型号的战机模型． 素材一 购买个型号的战机模型和购买个型号的战机模型共420元；购买个型号的战机模型和购买个型号的战机模型共700元． 素材二 据统计该航模专卖店需购买，两种型号的战机模型共50个，但总费用不超过3890元，且型号战机模型的数量不少于型号战机模型数量的． 问题解决： (1)任务一：，两种型号的战机模型的单价分别为多少元？ (2)任务二：有哪几种购买方案？ (3)任务三：在任务二的基础上，计算出哪种方案最省钱，最低购买费用是多少元？ 【答案】(1)型号战机模型的单价是元，型号战机模型的单价是元 (2)共有种购买方案：方案一：购买个型号战机模型，个型号战机模型；方案二：购买个型号战机模型，个型号战机模型；方案三：购买个型号战机模型，个型号战机模型 (3)方案三最省钱，最低购买费用是3800元 【分析】（1）设型号战机模型的单价是元，型号战机模型的单价是元，利用的购买价格的购买价格总价列出二元一次方程组，运算求解即可； （2）设购买个型号战机模型，则购买个型号战机模型，利用的购买价格的购买价格，型号战机模型的数量不少于型号战机模型数量的列出不等式组，运算求解即可； （3）分别计算方案的总费用，再对比即可． 【详解】（1）解：设型号战机模型的单价是元，型号战机模型的单价是元， 根据题意得：， 解得：， 答：型号战机模型的单价是元，型号战机模型的单价是元； （2）解：设购买个型号战机模型，则购买个型号战机模型， 根据题意得： 解得：， 又∵为正整数， ，或， 则共有种购买方案， 方案一：购买个型号战机模型，个型号战机模型； 方案二：购买个型号战机模型，个型号战机模型； 方案三：购买个型号战机模型，个型号战机模型； （3）选择方案一所需费用为：（元）， 选择方案二所需费用为：（元）， 选择方案三所需费用为：（元）， ∵， ∴方案三最省钱，即购买个型号战机模型，个型号战机模型最省钱， 最低购买费用是元． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 11.3一元一次不等式组 （4知识点+12题型+过关检测） 【题型1 求不等式组的解集】 2 【题型2 求一元一次不等式组的整数解】 3 【题型3 由一元一次不等式的解集求参数】 3 【题型4 由不等式组解集的情况求参数】 4 【题型5 不等式组和方程组结合的问题】 4 【题型6 列一元一次不等式组】 5 【题型7 不等式组的行程问题】 6 【题型8 不等式组的经济问题】 7 【题型9 不等式组的分配问题】 8 【题型10 不等式组的方案选择问题】 9 【题型11 不等式组的阶梯收费问题】 10 【题型12 一元一次不等式组的其他应用】 12 （1）理解一元一次不等式组、不等式组的解集、解不等式组的基本定义，能准确辨别一元一次不等式组。 （2）熟练掌握解一元一次不等式组的完整步骤，能够利用数轴求解不等式组的公共解集，熟记解集四种基本类型口诀。 （3）掌握一元一次不等式组12类常考题型的解题思路，能独立解决计算、参数、综合应用等各类问题。 （4）学会从实际问题中提取不等关系，列不等式组求解实际应用题，能结合实际情境对结果进行取舍。 03 知识•梳理 知识点1. 一元一次不等式组的定义 由同一个未知数的两个或两个以上的一元一次不等式组成的不等式组，叫做一元一次不等式组。 必备三个条件：①所有不等式均为一元一次不等式；②只含有一个相同的未知数；③不等式数量≥2。 知识点2. 一元一次不等式组的解集 几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集；若几个解集没有公共部分，则该不等式组无解。 解集四种核心类型（设a＞b） 不等式组形式 解集 口诀 备注 x>a 同大取大 取数值更大的边界 x<b 同小取小 取数值更小的边界 a<x<b 大小小大中间找 解集为中间区间 无解 大大小小无处找 无公共重叠部分 知识点3. 解一元一次不等式组的标准步骤 第一步：解不等式，分别求出组内每一个一元一次不等式的解集； 第二步：画数轴，在同一数轴上准确表示出所有不等式的解集（空心圈：不含等号；实心点：含等号）； 第三步：找公共部分，结合数轴或口诀确定不等式组的解集； 第四步：写结论，有公共部分直接写出解集，无公共部分则写“无解”。 知识点4. 不等式组实际应用解题步骤 审题找不等关系→设未知数→列一元一次不等式组→解不等式组→结合实际取值（整数、正数等）→作答 04 题型•汇总 【题型1 求不等式组的解集】 题型特点：基础必考题型，给出完整一元一次不等式组，纯计算求解集。 解题方法：按照标准解题步骤，分别解不等式→数轴表示→结合口诀确定公共解集。 核心注意：严格遵守变号规则，解集区间书写左小右大。 【典例1】．解不等式组，并把其解集表示在数轴上． (1)． (2)． 【变式1】．解不等式组并把不等式组的解集在数轴上表示出来． 【变式2】．解不等式组：并将解集在数轴上表示出来． 【变式3】．解不等式组，并将其解集在数轴上表示出来． 【题型2 求一元一次不等式组的整数解】 题型特点：求出不等式组解集后，筛选出范围内的整数、正整数、负整数或非负整数。 解题方法：①先求出不等式组的完整解集；②结合数轴圈出范围内符合条件的整数；③按要求罗列所有解，不重不漏。 易错点：忽略端点取值（实心点包含、空心点不包含），漏数、多数整数。 【典例2】．不等式组的整数解是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1】．不等式组的最小正整数解是________． 【变式2】．求不等式组：的所有整数解． 【变式3】．解不等式组并写出它的所有整数解． 【题型3 由一元一次不等式的解集求参数】 题型特点：不等式组含字母参数，题目已知具体解集，求参数的值或取值范围。 解题方法：①正常解含参不等式组，用参数表示出解集；②与题目已知解集对比，等式对应边界值，不等式锁定参数范围；③验证临界值是否成立。 【典例3】．关于x的不等式组无解，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．若关于x的不等式组，恰有3个整数解，则字母a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．若不等式组的解集为，则的值是__________． 【变式3】．定义新运算：对于任意数a，b，规定 ． (1)计算： (2)若 ，求x的取值范围； (3)若关于x的不等式组 的解集为，求m的值． 【题型4 由不等式组解集的情况求参数】 题型特点：已知不等式组无解、有解、解集为全体实数、只有一个整数解等特殊情况，求参数范围。 解题方法：①化简不等式组；②利用数轴分析“有解、无解、有限整数解”的边界条件；③分类讨论，重点验证临界值是否可取。 核心口诀：有解必有重叠，无解无重叠，整数解看区间覆盖个数。 【典例4】．若关于不等式正整数解只有1、2、3，则的取值范围是（     ） A． B．12 C． D． 【变式1】．若关于的不等式组有解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式2】．关于x的不等式组有解．则m的取值范围是________． 【变式3】．关于的方程组，且满足． (1)求的取值范围； (2)已知，求的取值范围． 【题型5 不等式组和方程组结合的问题】 题型特点：给出二元一次方程组，已知方程组的解满足某不等关系，求参数范围。 解题方法：①解二元一次方程组，用参数表示出未知数的解；②将解代入不等关系，列出一元一次不等式（组）；③解不等式组求出参数范围。 【典例5】．若方程组的解，满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．已知关于，的二元一次方程组的解满足，那么的取值范围为_______． 【变式2】．若关于x、y的二元一次方程组的解满足，则k的取值范围为__________ 【变式3】．已知关于的方程组． (1)若该方程组的解满足，求的值； (2)若该方程组的解满足为正数，为负数，求的取值范围． (3)在（2）的条件下，若不等式的解为，请直接写出整数的值． 【题型6 列一元一次不等式组】 题型特点：基础文字应用题，含两个及以上不等关系，需要自主列组求解。 解题方法：精读题干，圈画“至少、最多、不足、不超过”等关键词，转化为对应不等符号，根据双重不等关系列出不等式组求解。 【典例6】．一本书共108页，布克读了一周（7天）还没读完，而莉克不到一周就已读完．莉克平均每天比布克多读5页．若设布克平均每天读x页，则由题意列出不等式组为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．若干名学生住宿舍，若每间住4人，则2人无处住；若每间住6人，则还有一间不空也不满，若设有x间宿舍，则可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【变式2】．某地区新能源汽车保有量达到万辆，其中纯电动汽车保有量不低于新能源汽车总量的．则纯电动汽车的保有量（单位：万）可以用不等式（组）表示为______． 【变式3】．小明用18克咖啡粉冲泡了300毫升的咖啡液（假设咖啡粉完全溶解，体积忽略不计）．他认为浓度过高，决定先倒掉一部分咖啡液，然后加入一定量的水进行稀释，倒掉咖啡液的量与加入的水量相等．调整后的咖啡浓度既不低于又不超过．设加入的水量为x毫升，请列出符合题意的一元一次不等式组______． 【题型7 不等式组的行程问题】 题型特点：结合路程、速度、时间公式（路程=速度×时间），涉及追及、相遇、限时到达等场景，含不等关系。 解题方法：根据行程公式表示出对应路程，结合“提前到达、迟到、不超过时间、不少于路程”等条件列不等式组，结果结合实际取舍。 【典例7】．哈市乘坐出租车的收费标准：起步价8元（即行驶距离不超过3千米都须付8元车费），超过3千米以后，每增加1千米，加收2元（不足1千米的部分按1千米计）．某人乘出租车从甲地到乙地共付车费18元，那么甲地到乙地路程满足（　　） A． B．7 C．7 D．7 【变式1】．北斗高精导航能够实时显示当前路口的信号灯颜色以及时长，一辆小车行驶在限速的路段上，当距离下一路口时，发现导航显示下一路口的信号灯为绿灯，且剩余时间为，此时导航提示：按照当前时速行驶能通过下一路口，则小车当前行驶速度的取值范围是______． 【变式2】．方方驾驶汽车从甲地匀速行驶去乙地，设汽车的行驶速度为．已知行驶速度限定为不超过，若他以的平均速度行驶，则需到达目的地；若他必须要在内（包括）到达乙地，则的取值范围是_____． 【变式3】．如图，A，B两地间的公路长，其中有一段长的施工道路，M距离A地甲、乙两辆轿车分别从A，B两地出发，沿该公路相向而行，乙车比甲车晚出发在非施工道路其限速情况如图所示，甲车始终以的速度行驶，乙车始终以的速度行驶；在施工道路，两车均以的速度行驶． (1)若 ①甲车出发时，甲车行至______处，乙车行至______处；填“M”“N”或“的中点” ②甲车行至的中点时，乙车行驶的时间为______h (2)已知两车在P处相遇． ①若P与N重合，求V的值； ②若P在非施工道路上不与M，N重合，直接写出V的取值范围． 【题型8 不等式组的经济问题】 题型特点：涉及利润、成本、售价、销量等经济场景，求盈利、亏损、定价范围等问题。 解题方法：利用利润=售价-成本、总利润=单件利润×销量公式，根据“利润不低于、成本不超过”等不等条件列组求解。 【典例8】．某商店两种商品滞销，分别造成3000元和4000元的资金积压．商店根据市场行情和消费者的心理状态，决定将两种商品分别按积压资金的八折和九折降价出售，结果滞销的这两种商品很快售完．商店立即将回收的全部资金以相当于零售价 的批发价买回一批畅销货．为了支付必要的开支，商店至少得赚回利润1100元，而为了保证这批新货迅速售完，不至于由畅销货变为滞销货，商店拟以低于零售价的价格，将这批新货卖出．设商店应该将这批新进货高出进价的卖出，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】．综合与实践： 【背景】夏季来临之际，某电器商城想通过市场调研了解如何采购电风扇才能获取最大销售利润． 【素材】素材1：市场畅销的某品牌电风扇有两个型号，其中A型号的进价为140元，B型号的进价为120元； 素材2：该电器商城准备用不超过7830元的金额采购这两种型号的电风扇共60台； 素材3：该电器商城在销售过程中发现：销售2台A型号电风扇和1台B型号电风扇，共获得销售收入510元；销售3台A型号电风扇和2台B型号电风扇，共获得销售收入840元； 【任务】 (1)求A，B两种型号的电风扇的销售单价； (2)求A种型号的电风扇最多能采购多少台？ (3)该电器商城销售完这60台电风扇能否实现利润超过2080元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 【变式2】．A笔记本单价5元，B笔记本单价3元，共采购60本；要求：总费用不超过260元，A数量不少于B的 (1)求A款最少购买多少本； (2)直接写出所有购买方案． 【变式3】．国庆期间，某旅游胜地的一家超市销售甲、乙两种纪念品，1件甲种纪念品和2件乙种纪念品共值50元；2件甲种纪念品和1件乙种纪念品共值40元． (1)求甲、乙两种纪念品的单价； (2)国庆期间，超市推出两种优惠活动（游客只能享受一种活动）： 活动一：一次性购买纪念品10件或10件以上，赠送1件10元纪念品； 活动二：一次性购买纪念品10件或10件以上，单价20元的纪念品打九折（注：“打九折”指按标价的出售）． 某游客想购买m（m为整数，且）件纪念品返程后送给亲朋好友． ①该顾客发现：当购买10件甲种纪念品后，其余的购买乙种纪念品，两种优惠活动付费一样，求m的值； ②该顾客想买12件甲种纪念品，其余全部购买乙种纪念品，结算时发现：活动二比活动一优惠不足（不足表示有但又少于）4元，试确定m的值． 【题型9 不等式组的分配问题】 题型特点：经典分配场景，物品分给人，出现“有余、不足、剩余、不够分”等情况。 解题方法：根据分配总数不变，结合“分配后剩余数量大于0、不足数量小于标准值”列双重不等关系，列出不等式组，结果取正整数。 【典例9】．课外阅读课上，老师将本书分给各个小组，每组本，还有剩余；每组本，却又不够．这个课外阅读小组共有（   ） A．组 B．组 C．组 D．组 【变式1】．某学校科技活动小组制作了部分科技产品后，把剩余的甲、乙两种原材料制作成了100个A，B两种型号的工艺品，已知每制作一个工艺品需甲、乙两种原料如下表： A型 B型 原料甲 千克/个 千克/个 原料乙 千克/个 千克/个 已知剩下甲种原料29千克，乙种原料37.2千克，假设制作x个A型工艺品，根据题意，列出相应的不等式组正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】． “守护长江生态、传承长江文化”，引导青少年感恩长江、热爱长江、保护长江的意识，通过自身的行动和努力，让长江文化在新的时代焕发新的活力与魅力．某校八年级积极开展青少年主题读书活动，现有一批图书分发给若干班级，若每个班级发放4本图书，则剩余20本；若每个班级发放8本图书，就有一个班级发放的图书多于1本且不足8本．则学校八年级共有________个班级． 【变式3】．班级为表彰表现优秀的同学，购买了A，B两种奖品若干件，且A，B两种奖品的数量之比为．设购买A种奖品共（为正整数）件． (1)若最初购买的奖品总数不超过100件，求A种奖品最多买了几件？ (2)奖品颁发完毕后，发现A，B两种奖品分别还剩余原来的和． ①此次颁奖，共颁发了两种奖品__________件．（请用含的代数式表示） ②若全班45位同学均有获得一种或两种奖品，且同时获得A，B两种奖品的人数不超过30人，求全班有几位同学获得了B种奖品？ 【题型10 不等式组的方案选择问题】 题型特点：考试高频压轴题型，有多种采购、生产、出行、施工方案，求可行方案数量或最优方案。 解题方法：①设方案中的未知量；②根据总价、数量、限制条件列不等式组；③求出整数解，每一个整数解对应一种可行方案；④对比方案选出最优方案（最省钱、最省材料等）。 【典例10】．学校购进单价分别为5元和7元的两种笔记本共50本作为奖品发放给学生，要求种笔记本的数量不多于种笔记本数量的3倍，不少于种笔记本数量的2倍，则不同的购买方案种数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【变式1】．怀化国际陆港某货场现有甲种货物和乙种货物，拟用两种集装箱将其运走．已知甲种货物和乙种货物可装满一个型集装箱，甲种货物和乙种货物可装满一个型集装箱．若共使用了50个集装箱，则有___________种具体的运输方案． 【变式2】．某电器经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的微波炉，已知购进1台甲型微波炉和2台乙型微波炉共需资金2700元；购进2台甲型微波炉和3台乙型微波炉共需资金4600元． (1)求甲、乙两种型号的微波炉每台的进价分别为多少元． (2)该店计划购进甲、乙两种型号的微波炉销售，预计用不多于万元且超过万元的资金购进这两种型号的微波炉共20台，共有几种进货方案？请写出所有的进货方案． 【变式3】．某服装店老板到厂家购进，两种型号的服装，购进型号服装的数量要比购进型号服装的数量的倍还多件，且型号服装最多可购进件． (1)求型号服装最多可以购进多少件． (2)若销售一件型号服装可获利元，销售一件型号服装可获利元，要求这批服装全部售出后总的获利不少于元，问有几种进货方案？如何进货？ 【题型11 不等式组的阶梯收费问题】 题型特点：结合水电费、打车费、快递费等阶梯分段收费场景，分段计费、区间定价。 解题方法：明确每个收费区间的阈值，根据总费用锁定取值范围，结合分段收费公式列不等式组，求解对应用量范围。 【典例11】．某市出租车起步价是8元（及以内为起步价），以后每千米收费元，不足按收费．若小明乘出租车到达目的地时计价器显示为元，则此出租车行驶的路程可能为（   ） A． B． C． D． 【变式1】．大连地铁票收费标准如下： 不超过，2元人次；超过到（含），元/人次； 超过到（含），4元/人次； 超过到（含），5元/人次； 超过到（含），6元/人次； 超过到（含），7元/人次； 超过到（含），8元/人次； 超过部分，票价每增加元可再乘坐． 一位乘客单次乘坐地铁购票花费了元，设他乘坐地铁的里程为，用不等式表示的范围为______． 【变式2】．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，重庆市采用价格调控的方式达到节水的目的．重庆市自来水的收费价格见价目表．注：水费按月结算．若某户居民1月份用水8立方米，则应交水费：（元）． 价目表 每月用水量 单价 不超出6立方米的部分 2元/立方米 超出6立方米不超出10立方米的部分 4元/立方米 超出10立方米的部分 8元/立方米 (1)若小明家2月份用水立方米，则应交水费________元； (2)若小明家3月用水量为立方米，当时，小明家应交水费______元，当时，小明家应交水费_______元；（请用含的代数式表示） (3)若小明家3月份，4月份共用水12立方米（4月份用水量多于3月份），共交水费38元，则小明家3，4月份各用水多少立方米？ 【变式3】．为鼓励节约用水，居民生活用水采用阶梯收费．水价分三个等级：第一级为月用水量17m3以下（包括17m3）；第二级为月用水量超过17m3但不超过30m3；第三级为月用水量超过30m3（不包括30m3）．下面是某居民收到的一张2025年7月份的生活用水消费明细（不完整）． 居民生活用水消费明细 计费日期2025﹣7﹣1至2025﹣7﹣31 自来水费 污水处理费 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 阶段一：17 2 34 阶段一：17 1 17 阶段二： 2.5 阶段二： 1 本期实付金额（大写） （注：居民生活用水水费=自来水费+污水处理费） 已知该居民6月份和7月份的用水量总和为42m3，且7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍． (1)设该居民7月份的用水量为xm3，求x的取值范围； (2)该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳多少元； (3)若该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，求该居民7月份的用水量． 【题型12 一元一次不等式组的其他应用】 题型特点：涵盖取值范围限定、几何图形边长/周长/面积范围、数字问题等综合题型。 解题方法：结合对应场景公式（几何公式、数字规律），根据题干限制条件提取不等关系，列组求解，严格符合场景实际意义。 【典例12】．四月是工大附小的读书节活动月，四年级某班班主任刘老师打算把一些书分给几名同学，如果每人分3本，那么剩余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人分到了书但是不到3本．则共有（    ）名同学． A．6 B．7 C．8 D．9 【变式1】．按如图所示的程序进行计算，若输入整数后，程序运行了两次后输出结果，则输入的整数的值可以是（   ） A．1 B．4 C．7 D．10 【变式2】．取整符号表示不超过实数的最大整数，如．若，则的值为______． 【变式3】．请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 某校计划购买篮球和排球，供更多学生参加体育锻炼，增强身体素质． 素材一 购买2个篮球与购买3个排球需要的费用相等； 素材二 购买2个篮球和5个排球共需800元； 素材三 该校计划购买篮球和排球共60个，篮球和排球均需购买，且购买排球的个数不超过购买篮球个数的2倍． 请完成下列任务： (1)任务一：每个篮球，每个排球的价格分别是多少元？ (2)任务二：若恰好赶上价格调整，篮球价格是原价格的八折，排球提价5%，请你给出最节省费用的购买方案． 05 过关•检测 1．已知整数满足，则的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 2．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 3．点在第二象限，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．定义一种新运算：当时，；当时，．若，则x的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 5．不等式组恰有3个非负整数解，则k的取值范围在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 6．若整数使关于的不等式组有且只有3个整数解，则满足条件的整数的值之和为（   ） A．6 B．8 C．9 D．7 7．已知关于的不等式组，甲、乙两位同学分别得出以下结论：甲：如果不等式组有且仅有一个整数解，那么的取值范围是；乙：如果，那么此不等式组无解．其中下列判断正确的是（   ） A．甲、乙都对 B．甲错，乙对 C．甲对，乙错 D．甲、乙都错 8．若整数使关于的不等式组至少有个整数解，且使关于，的方程组的解为整数，那么所有满足条件的整数的个数是（   ） A． B． C． D． 9．不等式组的解集是_____ 10．已知关于的不等式组， （1）若不等式组无解，则的取值范围是______． （2）若不等式组有且仅有个整数解，则的取值范围是______． 11．如图所示，在数轴上点分别表示数，1，若点为线段上不与端点重合的动点，且表示的数为，则的取值范围是________． 12．如果关于的不等式组无解，则实数的取值范围是__________． 13．关于x的不等式组的解集中任意一个x的值均不在的范围内，则m的取值范围是______． 14．定义新运算：，若关于正数的不等式组恰有三个整数解，则的取值范围_____． 15．运行程序如图所示，从“输入实数”到“结果是否”为一次程序操作．若输入后程序操作进行了两次就停止，则的取值范围是______． 16．对非负实数“四舍五入”到个位的值记作，即：当为非负整数时，若，则如： （1）_______； （2）如果，则实数的取值范围为_____． 17．解不等式组： (1)； (2)，并把它的解集在数轴上表示出来． 18．为丰富我校学生的文化生活，打造书香校园，学校计划购买一批图书．若同时购进甲种图书7本和乙种图书4本，共需290元；若同时购进甲种图书3本和乙种图书6本，共需210元． (1)求甲、乙两种图书的单价各是多少元？ (2)若学校计划购买这两种图书共60本，要求每种都要购买，且甲种图书的数量不少于乙种图书的数量，又根据学校预算，购买总金额不能超过1550元，请问学校共有哪几种购买方案？ 19．已知关于，的方程组的解满足以下条件： (1)若，求的值； (2)若为非正数，为负数，求的取值范围． 20．小王周末参与2025年湖南足球超级联赛（简称“湘超”）的赛事文创推广社会实践活动，负责筹备湘超主题周边产品，已知4个纪念徽章的成本与5个吉祥摆件的成本相同；采购3个纪念徽章和10个吉祥摆件成本总共需要220元． (1)求每个纪念徽章和每个吉祥摆件的成本； (2)若小王计划用不超过1744元购进这两种产品共100个，购进的吉祥摆件数量不多于纪念徽章数量的2倍，那么小王有多少种采购方案？请问哪种方案最省钱？ 21． 项目 内   容 主 题 校园“碳中和”——班级绿色出行方案探究 背 景 出行方式：步行、骑自行车、乘公交车（三种方式均有人选择）； 碳排放量：步行（0kg /人）、骑自行车（0.2kg /人）、乘公交车（0.8kg/人）； 每班人数：45 人（每人每天恰好选择一种方式） 案例 条    件 案例一： （1班） ①乘公交车人数为5人；碳排放总量为 10kg． 案例二： （2班） ①骑自行车人数比乘公交车人数多10人； ②步行人数至少15人，不超过25人． 案例三： （3班） ①骑自行车人数是乘公交车人数的2倍； ②骑自行车人数至少12人； ③碳排放总量不超过10kg． 任务： (1)案例一中：求1班步行人数和骑自行车人数分别是多少人？ (2)案例二中：求2班碳排放总量的取值范围是多少？ (3)案例三中：求3班步行人数可能有多少人？ 22．为了更好治理西太湖水质，保护环境，市治污公司决定购买10台污水处理设备，现有A、B两种型号的设备．经调查：购买3台A型设备和2台B型设备一共26万元，购买2台A型设备比购买4台B型设备少4万元． (1)求A型、B型设备每台各是多少钱； (2)经预算：市治污公司购买污水处理设备的资金不超过54万元，并且A型设备的数量不少于B型设备的数量，则有哪几种购买方案？请写出最省钱的一种购买方案，并写出相应的费用． 23．定义一种新运算“#”：当时，； 当时，． 例如：，． (1)填空：__________ (2)若，求x的取值范围； (3)已知，求x的取值范围． 24．阅读以下素材并解决问题： 制定战机模型购买方案 项目背景 2025年9月3日，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵仪式在北京天安门广场举行，歼-20S，歼-30A等隐形战机震撼亮相．某工厂看准商机，推出了一系列战机模型，某航模专卖店决定购买，两种型号的战机模型． 素材一 购买个型号的战机模型和购买个型号的战机模型共420元；购买个型号的战机模型和购买个型号的战机模型共700元． 素材二 据统计该航模专卖店需购买，两种型号的战机模型共50个，但总费用不超过3890元，且型号战机模型的数量不少于型号战机模型数量的． 问题解决： (1)任务一：，两种型号的战机模型的单价分别为多少元？ (2)任务二：有哪几种购买方案？ (3)任务三：在任务二的基础上，计算出哪种方案最省钱，最低购买费用是多少元？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $