精品解析：陕西省宝鸡市陈仓区2026年九年级中考数学二模试卷

2026年初中学业水平第二次模考卷 数学 注意事项： 1.本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2.领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）． 3.请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4.作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5.考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列各数中，最小的是（ ） A. 0 B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【详解】∵ ，，， ∴ ， 可得四个数的大小关系为 ， 故选：B． 2. 节约能源，点亮未来，下列倡导节约能耗的图标中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念及判别．根据轴对称图形的概念，判断每个选项是否为轴对称图形即可． 【详解】解：A项：图标是一个灯泡形状，可以看到它左右两边是对称的，如果沿着中间的竖直直线折叠，两边可以完全重合，因此它是轴对称图形，故符合题意； B项：图标是一个插头形状，显然没有一条直线可以使这个图形折叠后两边完全重合，因此它不是轴对称图形，故不符合题意； C项：图标是一个温度计形状，同样没有一条直线可以使这个图形折叠后两边完全重合，因此它不是轴对称图形，故不符合题意； D项：图标是一个水龙头滴水形状，也没有一条直线可以使这个图形折叠后两边完全重合，因此它不是轴对称图形，故不符合题意． 故选：A． 3. 如图，直线、相交于点O，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，则，由代入得出x的值，然后求即可． 【详解】解：，， ， 设，则， ， ，解得，， ， ． 4. 不等式的正整数解有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】解一元一次不等式，再找出范围内的正整数即可． 【详解】解： ， 解得 ， ∴ 满足条件的正整数为 、、、，共4个． 5. 如图，在中，，点D、E分别是、的中点，连接．若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求解，，再利用正切的定义求解即可. 【详解】解：在中，，点D、E分别是、的中点， ， ， ． 6. 已知一次函数（为常数，且）的图象是由一次函数的图象平移得到的，若点在一次函数的图象上，则一次函数的图象与轴的交点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由一次函数平移的性质可确定的值，再代入已知点求出常数项，进而得到一次函数的解析式，再把代入求出的值即可求解． 【详解】解：∵一次函数由一次函数平移得到， ∴， 将点代入，得 ， 解得， ∴一次函数解析式为， 当时，， ∴一次函数的图象与轴的交点坐标为． 7. 如图，四边形内接于，连接，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆内接四边形对角互补求出的度数，再由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴． 8. 已知二次函数（a为常数，且）的图象经过、，当时，y值随x值的增大而减小，若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先对二次函数配方得到对称轴与顶点坐标，根据已知增减性判断开口方向，再比较两个点到对称轴的距离，结合开口向上的二次函数性质比较函数值大小． 【详解】解： ， ∴ 二次函数的对称轴为直线 ，顶点坐标为 ， 当 时，随的增大而减小， ∵ ， 即对称轴左侧随的增大而减小， ∴ 抛物线开口向上，， ∴ 二次函数的最小值为 ，任意非顶点的点满足 ； 点到对称轴的距离 ， 点到对称轴的距离 ， ∵ ， ∴ ， ，且 ， ∴ ，即 ． 第二部分（非选择题共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式解题即可． 【详解】解：原式 ． 10. 如图是用大小相同的小正方形组成的一组有规律的图形，第1个图形中有5个小正方形，第2个图形中有8个小正方形，第3个图形中有11个小正方形，按照这一规律，则第6个图形中有______个小正方形． 【答案】 【解析】 【分析】观察可知，后一个图形比前一个图形多3个小正方形，进而推出第个图形中小正方形的个数，进行求解即可． 【详解】解：第1个图形中有5个小正方形，第2个图形中有8个小正方形，第3个图形中有11个小正方形，…… 观察可知，后一个图形比前一个图形多3个小正方形， ∴第个图形中小正方形的个数为 第6个图形中有 个小正方形． 11. 幻方的历史悠久，三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等．某班举行“填幻方”游戏，将每行、每列以及每条对角线上的三个数之和记为p，若小丽同学抽到的题目如图所示，则p的值为______． 6 3 2 【答案】 【解析】 【分析】设中心数为x，则，求出左上、右上的数，进而列方程求出x的值，即可求出p的值． 【详解】解：三阶幻方的幻和中心数，设中心数为x，则， 则左上，解得：左上； 右上，解得：右上； ∴， 解得：， ∴． 12. 如图，在正方形中，，点是对角线上一点，于点，于点，若，则的长为______． 【答案】6 【解析】 【分析】证明四边形为矩形，则对应边平行且相等，由且三角形为等腰直角三角形，可得，即，又知的长，即可求出． 【详解】解：且四边形为正方形， 可得， 四边形为矩形， ，即， 为对角线，且， ， 为等腰直角三角形， ，即， ，， ，即， 得，则． 13. 若点和点在反比例函数（k为常数，且）的图象上，且，则k的值可能是______．（写出一个符合题意的数即可） 【答案】1（答案不唯一，比3小的数均可） 【解析】 【分析】根据点的坐标特征得出反比例函数（k为常数，且）的图象在一、三象限，根据反比例函数的性质得出，即可求解． 【详解】解：∵点和点在反比例函数（k为常数，且）的图象上，且， ∴点在第三象限，点在第一象限， ∴反比例函数（k为常数，且）的图象在一、三象限， ∴， 解得：， ∴k的值可能是1（答案不唯一）． 14. 如图，在矩形中，，，连接，延长至点E，使得，连接，点F是的中点，连接，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，利用勾股定理求得，得到，利用勾股定理求得，证明和是等边三角形，据此求解即可 【详解】解：连接， ∵矩形中，，， ∴， ∴，， 在中， ， ∴， ∴是等边三角形， ∵点F是的中点， ∴，， ∴，， 则， ∴是等边三角形， ∴． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 16. 解方程：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ∴ 去分母，得， 移项，合并同类项，得， 检验：当时，， ∴原方程的解为 17. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【解析】 【分析】根据完全平方公式、整式的混合运算法则计算． 【详解】解：原式 ， 当，时， 原式 ． 18. 如图，在中，点D是上一点，，连接，利用尺规作图法在边上求作一点E，连接，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【解析】 【分析】作线段的垂直平分线交于点E，连接即可． 【详解】解：如图，点E即为所求． 19. 如图，在中，点E、F分别在边上，，连接，，求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得到，证明，得到，据此可证明平行四边形是菱形． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形． 20. 三十六计，是指中国古代三十六个兵法策略，是根据中国古代军事思想和丰富的斗争经验总结而成的兵书．某班班长课余时间组织同学玩关于三十六计的小游戏，将一个均匀的转盘平均分成四份，四个扇形分别写有：A．打草惊蛇，B．暗度陈仓，C．欲擒故纵，D．调虎离山这四个计谋，其中B．暗度陈仓属于敌战计，A．打草惊蛇，C．欲擒故纵，D．调虎离山属于攻战计，参与游戏的同学转动一次转盘，指针指向哪个计谋，该同学就解释对应的计谋（若指针指向分割线，则重新转动转盘）． （1）参与游戏的小明同学解释的计谋是“B．暗度陈仓”的概率是______； （2）用画树状图或列表的方法，求参与游戏的小美与小丽解释的计谋均属于攻战计的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据概率的公式解题即可； （2）根据列表法解题即可． 【小问1详解】 解：参与游戏的小明同学解释的计谋是“B．暗度陈仓”的概率是； 【小问2详解】 解：可能出现的所有可能情况如下： 小美 小丽 A B C D A （A，A） （B，A） （C，A） （D，A） B （A，B） （B，B） （C，B） （D，B） C （A，C） （B，C） （C，C） （D，C） D （A，D） （B，D） （C，D） （D，D） 其中等可能的情况有16种，其中符合题意的有9种， ∴参与游戏的小美与小丽解释的计谋均属于攻战计的概率为． 21. 某数学兴趣小组用学过的数学知识测量宝鸡市卧龙寺内千佛铁塔的高度，活动报告如表： 活动名称 测量卧龙寺内千佛铁塔的高度 测量过程及示意图 如图，在斜坡顶端的点C处放置一面平面镜C（大小忽略不计），当小组成员甲蹲在点B处时，恰好在平面镜中看到千佛铁塔顶端M点的像，利用皮尺测出、、、的长及点D到点C正下方点E的距离 测量数据 ，，，， 图形说明 ，，，，点N、D、E在同一直线上，图中所有的点在同一平面内 请根据活动报告中的信息，求出千佛铁塔的高度． 【答案】千佛铁塔的高度为 【解析】 【分析】延长交于点F，利用勾股定理求出，然后证明出四边形是矩形，得到，，，证明出，得到，求出，进而求解即可． 【详解】解：延长交于点F， 在中，，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴千佛铁塔的高度为． 22. 4月22日，中共中央办公厅、国务院办公厅《关于更高水平更高质量做好节能降碳工作的意见》对外发布．某工厂为减少废弃物和环境有害物的排放，计划购进甲、乙两种型号的污水处理设备共20台，这两种型号污水处理设备的价格如表所示： 型号 甲 乙 单价（万元/台） 设该工厂购进甲型号污水处理设备台，购进这台污水处理设备的总费用为万元． （1）求与之间的函数关系式； （2）若该工厂购进甲型号污水处理设备的数量不大于乙型号污水处理设备数量的倍，求购买这台污水处理设备至少需要多少万元？ 【答案】（1）（为的整数） （2）购买这台污水处理设备至少需要万元 【解析】 【分析】（1）设该工厂购进甲型号污水处理设备台，根据台污水处理设备的总费用为，列出函数关系，即可； （2）根据题意列出不等式，求得，进而根据一次函数的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意可得， 与之间的函数关系式为（为的整数） 【小问2详解】 由题意可得， 解得 ∵中，， 的值随值的增大而减小， 当时，取得最小值，， 购买这台污水处理设备至少需要万元 23. 今年是《全民阅读促进条例》施行的第一年，也是国务院批复设立“全民阅读活动周”后的第一年．某校在全校学生中开展了“最美四阅天·阅读真有趣”读书节活动，随机调查了50名学生最近一个星期阅读总时长（单位：），并将调查结果绘制成如图所示不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）补全条形统计图，所抽取学生最近一个星期阅读总时长的中位数是______，众数是______； （2）求所抽取学生最近一个星期阅读总时长的平均数； （3）若该校共有1500名学生，请你估计该校最近一个星期阅读总时长为的学生人数． 【答案】（1）见解析，9；9 （2） （3）240名 【解析】 【分析】（1）根据中位数和众数的定义求解即可； （2）根据平均数的定义求解即可； （3）用1500乘以样本中最近一个星期阅读总时长为的学生人数占比即可得到答案． 【小问1详解】 解：最近一个星期阅读总时长为的人数为名， ∵， ∴把这50名学生最近一个星期阅读总时长按照从高到低的顺序排列，第25个数据和第26个数据分别为， ∴中位数为， ∵最近一个星期阅读总时长为的人数最多， ∴众数为； 【小问2详解】 解：， 答：所抽取学生最近一个星期阅读总时长的平均数为； 【小问3详解】 解：名， 答：估计该校最近一个星期阅读总时长为的学生人数为240名． 24. 如图，是的直径，点A是的中点，的平分线交于点F，过点F作的切线，分别交、的延长线于点E、D． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）2 【解析】 【分析】（1）连接，根据切线的性质得出，根据角平分线的定义和等边对等角可得出∴，得出，然后根据平行线的性质即可得证； （2）连接，先求出，，然后求出，得出，，然后根据平行线分线段成比例求解即可． 【小问1详解】 证明：连接， ∵是的切线， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：连接， ∵点A是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 则， ∵， ∴， ∴． 25. 如图1是卫星接收器，其纵截面可以看作如图2所示的抛物线．已知该卫星接收器的口径cm，点与点关于抛物线的对称轴对称，纵截面所在抛物线的最大深度为10cm．以为坐标原点，所在直线为轴，经过点且与垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若抛物线上的点（在对称轴右侧）是该卫星接收器内某一支架与抛物线的接触点，且点到轴的距离为cm，求点的坐标． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可知抛物线的顶点坐标，设抛物线的函数表达式，将代入其中，求解出，即可得到抛物线的函数表达式； （2）由题意可得点的纵坐标为，代入抛物线的函数表达式中，求解出点的横坐标，需要注意点在对称轴右侧． 【小问1详解】 解：由题意可得，点的坐标为，点的坐标为，抛物线的顶点坐标为． 设抛物线的函数表达式为， 将代入，得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为（或）． 【小问2详解】 由题意可得点的纵坐标为， ∴， 解得，． ∴点在对称轴右侧， ∴点的坐标为． 26. 结合图形解答下列各题： （1）【问题提出】如图1，在中，，，点D是边上的动点，连接，则的最小值为______； （2）如图2，在四边形中，，与互补，延长CD至点E，使得，连接，求证：平分； （3）【问题解决】如图3，是某农场的一块育苗基地示意图（周围空地可利用），的中点E处有一口灌溉水井，射线是一条小路，现要将育苗基地进行扩建，在上找一点D，沿修一条小路，并在小路右侧修一小路，使得，且，与关于所在直线对称，四边形是水培植物区，再沿修一条水渠，为节约成本，要求水渠的长度尽可能的短．已知m，，平分，求水渠的最短长度．（灌溉水井的大小、小路和水渠的宽度均忽略不计） 【答案】（1）3 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）过点作于点，根据垂线段最短可得当点与重合时，取得最小值，再解即可； （2）证明即可； （3）以点C为圆心，长为半径作圆弧，交于点G，连接，作点P关于的对称点Q，连接，可证明，则点Q在边上，由对称性可得，故当最小时，最小，过点C作于点H，过点E作于点N，则，那么，可得 ，由三线合一得到 ，则 ，故 ，当点重合时，最小，此时 ． 【小问1详解】 解：过点作于点， ∴， ∴当点与重合时，取得最小值为3； 【小问2详解】 证明：∵与互补，， ∴ ∵ ∴， ∴， ∴ ∴， ∴平分； 【小问3详解】 解：以点C为圆心，长为半径作圆弧，交于点G，连接， ∴， ∴， ∵平分， ∴ ∴ ， ∴， ∵ ∴， 作点P关于的对称点Q，连接，而 ∴， ∴，即 在和中， ∴， ∴， ∴点Q在边上 ∵与关于所在直线对称， ∴点E、F关于所在直线对称， 又∵点P关于的对称点Q， ∴ ∴当最小时，最小， 过点C作于点H，过点E作于点N， 则， ∴ ∴ ∵的中点E ∴ ∴ ∵ 于点H， ∴ ， ∴ ∴ ， ∴当点重合时，最小，此时 ∴水渠的最短长度为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初中学业水平第二次模考卷 数学 注意事项： 1.本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2.领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）． 3.请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4.作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5.考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列各数中，最小的是（ ） A. 0 B. C. 1 D. 2. 节约能源，点亮未来，下列倡导节约能耗的图标中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，直线、相交于点O，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 不等式的正整数解有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. 如图，在中，，点D、E分别是、的中点，连接．若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知一次函数（为常数，且）的图象是由一次函数的图象平移得到的，若点在一次函数的图象上，则一次函数的图象与轴的交点坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，四边形内接于，连接，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 已知二次函数（a为常数，且）的图象经过、，当时，y值随x值的增大而减小，若，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 因式分解：______． 10. 如图是用大小相同的小正方形组成的一组有规律的图形，第1个图形中有5个小正方形，第2个图形中有8个小正方形，第3个图形中有11个小正方形，按照这一规律，则第6个图形中有______个小正方形． 11. 幻方的历史悠久，三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等．某班举行“填幻方”游戏，将每行、每列以及每条对角线上的三个数之和记为p，若小丽同学抽到的题目如图所示，则p的值为______． 6 3 2 12. 如图，在正方形中，，点是对角线上一点，于点，于点，若，则的长为______． 13. 若点和点在反比例函数（k为常数，且）的图象上，且，则k的值可能是______．（写出一个符合题意的数即可） 14. 如图，在矩形中，，，连接，延长至点E，使得，连接，点F是的中点，连接，则的长为______． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 计算：． 16. 解方程：． 17. 先化简，再求值：，其中，． 18. 如图，在中，点D是上一点，，连接，利用尺规作图法在边上求作一点E，连接，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 19. 如图，在中，点E、F分别在边上，，连接，，求证：四边形是菱形． 20. 三十六计，是指中国古代三十六个兵法策略，是根据中国古代军事思想和丰富的斗争经验总结而成的兵书．某班班长课余时间组织同学玩关于三十六计的小游戏，将一个均匀的转盘平均分成四份，四个扇形分别写有：A．打草惊蛇，B．暗度陈仓，C．欲擒故纵，D．调虎离山这四个计谋，其中B．暗度陈仓属于敌战计，A．打草惊蛇，C．欲擒故纵，D．调虎离山属于攻战计，参与游戏的同学转动一次转盘，指针指向哪个计谋，该同学就解释对应的计谋（若指针指向分割线，则重新转动转盘）． （1）参与游戏的小明同学解释的计谋是“B．暗度陈仓”的概率是______； （2）用画树状图或列表的方法，求参与游戏的小美与小丽解释的计谋均属于攻战计的概率． 21. 某数学兴趣小组用学过的数学知识测量宝鸡市卧龙寺内千佛铁塔的高度，活动报告如表： 活动名称 测量卧龙寺内千佛铁塔的高度 测量过程及示意图 如图，在斜坡顶端的点C处放置一面平面镜C（大小忽略不计），当小组成员甲蹲在点B处时，恰好在平面镜中看到千佛铁塔顶端M点的像，利用皮尺测出、、、的长及点D到点C正下方点E的距离 测量数据 ，，，， 图形说明 ，，，，点N、D、E在同一直线上，图中所有的点在同一平面内 请根据活动报告中的信息，求出千佛铁塔的高度． 22. 4月22日，中共中央办公厅、国务院办公厅《关于更高水平更高质量做好节能降碳工作的意见》对外发布．某工厂为减少废弃物和环境有害物的排放，计划购进甲、乙两种型号的污水处理设备共20台，这两种型号污水处理设备的价格如表所示： 型号 甲 乙 单价（万元/台） 设该工厂购进甲型号污水处理设备台，购进这台污水处理设备的总费用为万元． （1）求与之间的函数关系式； （2）若该工厂购进甲型号污水处理设备的数量不大于乙型号污水处理设备数量的倍，求购买这台污水处理设备至少需要多少万元？ 23. 今年是《全民阅读促进条例》施行的第一年，也是国务院批复设立“全民阅读活动周”后的第一年．某校在全校学生中开展了“最美四阅天·阅读真有趣”读书节活动，随机调查了50名学生最近一个星期阅读总时长（单位：），并将调查结果绘制成如图所示不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）补全条形统计图，所抽取学生最近一个星期阅读总时长的中位数是______，众数是______； （2）求所抽取学生最近一个星期阅读总时长的平均数； （3）若该校共有1500名学生，请你估计该校最近一个星期阅读总时长为的学生人数． 24. 如图，是的直径，点A是的中点，的平分线交于点F，过点F作的切线，分别交、的延长线于点E、D． （1）求证：； （2）若，求的长． 25. 如图1是卫星接收器，其纵截面可以看作如图2所示的抛物线．已知该卫星接收器的口径cm，点与点关于抛物线的对称轴对称，纵截面所在抛物线的最大深度为10cm．以为坐标原点，所在直线为轴，经过点且与垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若抛物线上的点（在对称轴右侧）是该卫星接收器内某一支架与抛物线的接触点，且点到轴的距离为cm，求点的坐标． 26. 结合图形解答下列各题： （1）【问题提出】如图1，在中，，，点D是边上的动点，连接，则的最小值为______； （2）如图2，在四边形中，，与互补，延长CD至点E，使得，连接，求证：平分； （3）【问题解决】如图3，是某农场的一块育苗基地示意图（周围空地可利用），的中点E处有一口灌溉水井，射线是一条小路，现要将育苗基地进行扩建，在上找一点D，沿修一条小路，并在小路右侧修一小路，使得，且，与关于所在直线对称，四边形是水培植物区，再沿修一条水渠，为节约成本，要求水渠的长度尽可能的短．已知m，，平分，求水渠的最短长度．（灌溉水井的大小、小路和水渠的宽度均忽略不计） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $