第二节　空间点、直线、平面之间的位置关系课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦立体几何中空间点、直线、平面位置关系核心考点，依据高考评价体系梳理平面基本性质（四个基本事实及推论）、空间线线（相交、平行、异面）、线面、面面位置关系等考查要求，通过小题快练和考点例题分析，明确异面直线所成角、平面基本性质应用等高频考点权重，归纳选择、填空、证明等常考题型，体现备考针对性与实用性。 课件亮点在于高考真题改编与母题训练结合，如正方体中直线BD₁与AA₁所成角余弦值计算、三棱锥中EFGH为菱形或正方形的条件分析，培养学生几何直观与空间观念。通过总结点共线（用基本事实3）、线共点（先证两线交于一点再证第三线过该点）等证明方法，帮助学生掌握答题技巧，提升得分率，为教师提供系统复习指导，助力学生高效冲刺高考。

第二节 第七章 立体几何与空间向量 空间点、直线、平面之间的位置关系 【目标要求】　1.借助长方体,在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上,抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义.2.了解四个基本事实和一个定理,并能应用定理解决问题. 1.平面的基本性质 (1)基本事实1:__________________________,有且只有一个平面. (2)基本事实2:如果一条直线上的___________在一个平面内,那么这条直线在这个平面内. (3)基本事实3:如果两个不重合的平面有_____________公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 过不在一条直线上的三个点 两个点 一个 利用基本事实1和基本事实2,再结合“两点确定一条直线”,可以得到下列推论. ①推论1:经过___________________________,有且只有一个平面. ②推论2:经过_______________,有且只有一个平面. ③推论3:经过_______________,有且只有一个平面. [微点清]　三点不一定能确定一个平面.当三点共线时,过这三点的平面有无数个,所以必须是不在一条直线上的三点才能确定一个平面. 一条直线和这条直线外一点 两条相交直线 两条平行直线 相交直线 平行直线 不同在任何一个平面内,没有公共点 (2)异面直线所成的角 ①定义:已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O分别作直线a'∥a,b'∥b,我们把直线a'与b'所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角). ②范围:. 3.空间中直线与平面、平面与平面的位置关系 (1)直线与平面的位置关系有___________________________三种情况. (2)平面与平面的位置关系有_______________两种情况. [微点清]　直线l和平面α相交、直线l和平面α平行统称为直线l在平面α外,记作l⊄α. 相交、平行、直线在平面内 平行、相交 1.证明点共线与线共点都需用到基本事实3. 2.判断异面直线的一种方法 平面外一点A和平面内一点B的连线与平面内不经过点B的直线是异面直线. 1.思考辨析(对的打“√”,错的打“×”) (1)若A∈l,B∈l且A∈α,B∈α,则l⊂α.(　　) (2)若a,b是两条异面直线,P为空间任意一点,则过P点有且仅有一个平面与a,b都平行.(　　) 当点P不在两直线上时,这样的平面只有一个,当点P在其中一条直线上时,此时不存在这样的平面. 解析 (3)若α∩β≠⌀,则平面α与平面β相交,且交于一个点.(　　) 若α∩β≠⌀,则平面α与平面β有无数个公共点,即为一条直线,所以错误. 解析 (4)分别在两个平面内的两条直线是异面直线.(　　) 分别在两个平面内的两条直线可能是异面直线,也可能是相交直线,也可能是平行直线. 解析 2.(人A必二P147例1改编)已知正方体ABCD-A1B1C1D1, 则直线BD1与直线AA1所成角的余弦值是(　　) A. B. C. D. 连接BD(图略),由于AA1∥DD1,所以∠DD1B即为直线BD1与直线AA1所成的角,不妨设正方体的棱长为a,则BD=a,BD1== a,所以cos∠DD1B===. 解析 3.如果直线a⊂平面α,直线b⊂平面β,且α∥β,则a与b(　　) A.共面 B.平行 C.是异面直线 D.可能平行,也可能是异面直线 α∥β,说明a与b无公共点,所以a与b可能平行也可能是异面直线.故选D. 解析 4.已知l1,l2是平面α内的两条相交直线,直线m⊄α,则“m与l1平行”是“m与l2异面”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 若m与l1平行,由l1⊂平面α,m⊄平面α,得m与平面α平行,所以m与l2无公共点.所以m与l2平行,或m与l2异面.若m与l2平行,则l1与l2平行,与 “已知l1,l2是平面α内的两条相交直线”矛盾,所以m与l2不平行,所以m与l2异面.当m与l2异面时,并不能说明m与l1的关系,所以不能推出m与l1平行.所以“m与l1平行”是“m与l2异面”的充分不必要条件.故选A. 解析 5.(苏教必二P175T15改编)如图,在三棱锥A-BCD中,E, F,G,H分别是棱AB,BC,CD,DA的中点,则 (1)当AC,BD满足条件_____________时,四边形EFGH 为菱形; (2)当AC,BD满足条件___________________时,四边形EFGH为正方形. AC=BD AC=BD且AC⊥BD (1)要使四边形EFGH为菱形,应有EF=EH,因为EF􀰿AC,EH􀰿BD,所以AC=BD. (2)要使四边形EFGH为正方形,应有EF=EH且EF⊥EH,因为EF􀰿AC,EH􀰿BD,所以AC=BD且AC⊥BD. 解析 【例1】　已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为D1C1,C1B1的中点,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q.求证: (1)D,B,F,E四点共面; 考点一 平面的基本性质及应用 如图所示,连接B1D1.因为EF是△C1D1B1的中位线,所以EF∥B1D1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,B1D1∥BD,所以EF∥BD,所以EF,BD确定一个平面,即D,B,F,E四点共面. 证明 (2)若A1C交平面DBFE于点R,则P,Q,R三点共线; 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,连接A1C,设A1,C,C1确定的平面为α,又设平面BDEF为β.因为Q∈A1C1,所以Q∈α.又Q∈EF,所以Q∈β,所以Q是α与β的公共点,同理,P是α与β的公共点.所以α∩β=PQ.又A1C∩β=R,所以R∈A1C,R∈α,且R∈β.则R∈PQ,故P,Q,R三点共线. 证明 (3)DE,BF,CC1三线交于一点. 因为EF∥BD且EF<BD,所以DE与BF相交,设交点为M,则由M∈DE,DE⊂平面D1DCC1,得M∈平面D1DCC1,同理,M∈平面B1BCC1.又平面D1DCC1∩平面B1BCC1=CC1,所以M∈CC1.所以DE,BF,CC1三线交于一点. 证明 1.证明点(或线)共面问题的两种方法:(1)首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面,然后再证其余的线(或点)在这个平面内; (2)将所有条件分为两部分,然后分别确定平面,再证两平面重合. 2.证明点共线问题的两种方法:(1)先由两点确定一条直线,再证其他各点都在这条直线上;(2)直接证明这些点都在同一条特定直线 (如某两个平面的交线)上. 3.证明线共点问题的常用方法是:先证其中两条直线交于一点,再证其他直线经过该点. 【训练1】　(1)在三棱锥A-BCD的棱AB,BC,CD,DA上分别取E,F,G,H四点.如果EF∩HG=P,则点P(　　) A.一定在直线BD上 B.一定在直线AC上 C.在直线AC或BD上 D.不在直线AC上,也不在直线BD上 因为EF⊂平面ABC,HG⊂平面ACD,EF∩HG=P,所以P∈平面ABC,P∈平面ACD.又因为平面ABC∩平面ACD=AC,所以P∈AC. 解析 (2)(多选题)给出以下说法,其中正确的是(　　) A.不共面的四点中,其中任意三点不共线 B.若点A,B,C,D共面,点A,B,C,E共面,则点A,B,C,D,E共面 C.若直线a,b共面,直线a,c共面,则直线b,c共面 D.过直线外一点和直线上三点的三条直线共面 在A中,假设其中有三点共线,则该直线和直线外的另一点确定一个平面,这与四点不共面矛盾,故其中任意三点不共线,所以A正确;在B中,如图,两个相交平面有三个公共点A,B,C,且点A,B,C,D共面,点A,B,C,E共面,但点A,B,C,D,E不共面,B不正确;显然选项C不正确,选项D正确.故选AD. 解析 【例2】　(1)如图,E,F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱A1D1与AA1的中点,则下列判断正确的是(　　) A.直线AC与BF是相交直线 B.直线C1E与AC互相平行 C.直线DB与AC互相垂直 D.直线C1E与BF是异面直线 考点二 空间中两条直线的位置关系 由题知,AC⊂平面ABCD,BF与平面ABCD交于点B,B∉AC,所以直线AC与BF是异面直线,故A错误;AC⊂平面ACC1A1,EC1与平面ACC1A1交于点C1,C1∉AC,所以直线C1E与AC是异面直线,故B错误;正方体各个表面均为正方形,所以直线DB与AC互相垂直,故C正确;因为E,F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱A1D1与AA1的中点,所以EF∥AD1,因为AB∥C1D1,AB=C1D1,所以ABC1D1是平行四边形,所以AD1∥BC1,所以EF∥BC1,所以E,F,B,C1四点共面,所以直线C1E与BF不是异面直线,故D错误.故选C. 解析 (2)正四面体PABC中,点M是BC的中点,则异面直线PM与AB所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 如图,设正四面体的棱长为2,取AC的中点N,连接PN, MN,则PN=PM=,MN∥AB,且MN=1,∠PMN即PM与AB所成的角.因为△PMN为等腰三角形,所以取MN的中点O,连接PO,则PO⊥MN,cos∠PMN===.故选B. 解析 判断空间中两条直线的位置关系一般有两种方法:一是构造几何体(如长方体、空间四边形等)模型来判断;二是排除法. 【训练2】　(2026·衡水模拟)如图,在圆锥SO中,AB, CD为底面圆的两条直径,AB∩CD=O,且AB⊥CD,SO= OB=3,SE=SB,则异面直线SC与OE所成角的正切值为(　　) A. B. C. D. 如图,过点S作SF∥OE,交AB于点F,连接CF,则∠CSF (或其补角)为异面直线SC与OE所成的角.因为SE= SB,所以SE=BE.又OB=3,所以OF=OB=1.因为SO ⊥OC,SO=OC=3,所以SC=3.因为SO⊥OF,所以SF ==.因为OC⊥OF,所以CF=.所以在等腰△SCF中,tan∠CSF==.故选D. 解析 异面直线的判定 (1)定义:不同在任何一个平面内的两条直线互为异面直线; (2)结论:经过平面内一点和平面外一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线. 【典例】　(多选题)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为正方形ABCD的中心,当点P在线段BC1上(不包含端点)运动时,下列直线中一定与直线OP异面的是(　　) A.AB1　　B.A1C　　C.A1A　　D.AD1 对于A,如图①,连接AB1,C1D,BD,当P为BC1的中点时,OP∥DC1∥AB1,故A不正确;对于B,如图②,连接A1C,A1C1,AC,因为A1C⊂平面AA1C1C,O∈平面AA1C1C,O∉A1C,P∉平面AA1C1C,所以直线A1C与直 解析 线OP一定是异面直线,故B正确;对于C,如图②,因为A1A⊂平面AA1C1C,O∈平面AA1C1C,O∉A1A,P∉平面AA1C1C,所以直线A1A与直线OP一定是异面直线,故C正确;对于D,如图③,连接AD1,D1C,AC,因为AD1⊂平面AD1C,O∈平面AD1C,O∉AD1,P∉平面AD1C,所以直线AD1与直线OP一定是异面直线,故D正确. 解析 【微练】　(1)空间中有三条线段AB,BC,CD,且∠ABC=∠BCD,那么直线AB与CD的位置关系是(　　) A.平行 B.异面 C.相交或平行 D.平行或异面或相交均有可能 根据条件作出示意图,容易得到以下三种情况,由图可知AB与CD有相交、平行、异面三种情况. 解析 (2)若直线l1和l2是异面直线,l1在平面α内,l2在平面β内,l是平面α与平面β的交线,则下列结论正确的是(　　) A.l与l1,l2都不相交 B.l与l1,l2都相交 C.l至多与l1,l2中的一条相交 D.l至少与l1,l2中的一条相交 如图①,l1与l2是异面直线,l1与l平行,l2与l相交,故A,B不正确;如图②, l1与l2是异面直线,l1,l2都与l相交,故C不正确. 解析 【例3】　(1)(2025·天津高考)若m为直线,α,β为两个不同的平面,则下列结论中正确的是(　　) A.若m∥α,n⊂α,则m∥n B.若m⊥α,m⊥β,则α⊥β C.若m∥α,m⊥β,则α⊥β D.若m⊂α,α⊥β,则m⊥β 考点三 空间中直线、平面的位置关系 对于A,若m∥α,n⊂α,则m,n可平行或异面,故A错误;对于B,若m⊥α,m⊥β,则α∥β,故B错误;对于C,若m∥α,则存在直线a⊂α,a∥m,所以由m⊥β可得a⊥β,故α⊥β,故C正确;对于D,m⊂α,α⊥β,则m与β可平行或相交或m⊂β,故D错误.故选C. 解析 (2)(多选题)用一个平面α截正方体,把正方体分为体积相等的两部分,则下列结论正确的是(　　) A.这两部分的表面积一定不相等 B.截面不会是三角形 C.截面不会是五边形 D.截面可以是正六边形 如图,一个平面α截正方体,把正方体分为体积相等的两部分,则平面α一定过正方体的中心,所以这两部分的表面积相等,根据对称性,截面不会是三角形、五边形,但可以是正六边形(如图).故选BCD. 解析 空间中点、线、面位置关系的判定方法 1.应用平面的基本性质及有关定理进行判断. 2.采用穷举法判断,即对各种关系都进行考虑,要充分发挥模型的直观作用. 3.对关于空间直线与平面的平行或垂直等位置关系的命题的真假判断,常采用构图法(尤其是长方体)、实物判断法(如墙角、桌面等)、排除筛选法等. 4.应用线、面平行和垂直的判定定理和性质定理进行判断,注意使用的前提条件. 【训练3】　(1)已知a,b表示直线,α,β,γ表示平面,则下列推理正确的是 (　　) A.α∩β=a,b⊂α⇒a∥b B.α∩β=a,a∥b⇒b∥α且b∥β C.a∥β,b∥β,a⊂α,b⊂α⇒α∥β D.α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b⇒a∥b 选项A中,α∩β=a,b⊂α,则a,b可能平行也可能相交,故A不正确;选项B中,α∩β=a,a∥b,则可能b∥α且b∥β,也可能b在平面α或平面β内,故B不正确;选项C中,a∥β,b∥β,a⊂α,b⊂α,根据面面平行的判定定理,再加上条件直线a与直线b相交,才能得出α∥β,故C不正确;选项D为面面平行性质定理的符号语言.故选D. 解析 (2)如图,棱长为2的正方体中,A,B,C均为顶点,P为所在棱的中点,若PC∥平面α,且A,B均在平面α内,则平面α截正方体所得图形的外接圆面积为(　　) A. B. C. D.9π 如图,设Q,R为所在棱的中点,又AP∥CQ且AP=CQ, 所以四边形APCQ为平行四边形,则有AQ∥PC,则 经过点A,B,Q三点的平面即为符合题意的平面α,则 平面α截正方体所得图形为矩形ABQR,其中AB=2, BQ==,故AQ==3,所以平面α截正方体所得图形的外接圆面积为π×=.故选C. 解析 2.空间两直线的位置关系 (1)空间两条直线的位置关系 [微点清]　不能把异面直线误认为分别在不同平面内的两条直线. $