7.3空间点、直线、平面之间的位置关系 课件-2027届高三数学一轮复习

第3节　空间点、直线、平面之间的位置关系 第七章　立体几何与空间向量 1.借助长方体,在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义. 2.了解四个基本事实和一个定理,并能应用定理解决问题. 课标要求 1.与平面有关的基本事实及推论 (1)与平面有关的三个基本事实 基本事实 内容 图形 符号 基本 事实1 过_________________的三个点,有且只有一个平面 A,B,C三点不共线⇒存在唯一的α使A,B,C∈α 不在一条直线上 3 基本 事实 内容 图形 符号 基本 事实2 如果一条直线上的_________在一个平面内,那么这条直线在这个平面内 A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α⇒l⊂α 基本 事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条____________________ P∈α,且P∈β⇒α∩β＝l,且P∈l 两个点 过该点的公共直线 4 (2)三个推论 推论 内容 图形 作用 推论1 经过____________和这条直线外一点,有且只有一个平面 确定平面的依据 推论2 经过____________直线,有且只有一个平面 推论3 经过____________直线,有且只有一个平面 一条直线 两条相交 两条平行 5 2.空间点、直线、平面之间的位置关系   直线与直线 直线与平面 平面与平面 平行关系 图形语言 符号语言 a∥b a∥α α∥β 6   直线与直线 直线与平面 平面与平面 相交 关系 图形语言 符号语言 a∩b=A a∩α=A α∩β=l 7   直线与直线 直线与平面 平面与平面 独有关系 图形语言   符号语言 a,b是异面直线 a⊂α   8 3.基本事实4和等角定理 (1)基本事实4:平行于同一条直线的两条直线____________. (2)等角定理:如果空间中两个角的两边分别对应平行,那么这两个角_______________. 4.异面直线所成的角 (1)定义:已知两条异面直线a,b,经过空间任意一点O分别作直线a'∥a,b'∥b,把a'与b'所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角). (2)范围:. 互相平行 相等或互补 9 常用结论与微点提醒 1.过平面外一点和平面内一点的直线,与平面内不过该点的直线是异面直线. 2.两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时,容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角,也可能等于其补角. 10 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)没有公共点的两条直线是异面直线.(　　) (2)两个平面α,β有一个公共点A,就说α,β相交于过A点的任意一条直线.(　　) (1)两条平行直线也没有公共点,故错误. (2)如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线,故错误. 诊断自测 概念思考辨析+教材经典改编 × × 11 (3)如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合.(　　) (4)若直线a不平行于平面α,且a⊄α,则α内的所有直线与a异面.(　　) (3)如果两个平面有三个公共点,则这两个平面相交或重合,故错误. (4)由于a不平行于平面α,且a⊄α,则a与平面α相交,故平面α内有与a相交的直线,故错误. × × 12 2.(人教A必修二P128T2改编)下列命题正确的是(　　) A.空间任意三个点确定一个平面 B.一个点和一条直线确定一个平面 C.空间两两相交的三条直线确定一个平面 D.空间两两平行的三条直线确定一个或三个平面 D A中,空间不共线的三点确定一个平面,A错; B中,只有点在直线外时才能确定一个平面,B错; C中,空间两两相交的三条直线确定一个平面或三个平面,C错;故只有选项D正确. 13 3.(人教A必修二P147例1改编)在长方体ABCD－A'B'C'D'中,AB＝BC＝1,AA‘ ＝2,则异面直线BA'与AC所成角的余弦值为____________.  如图,连接CD',易知CD'綉BA', 则∠ACD'或其补角是异面直线BA'与AC所成的角, 连接AD',在△ACD'中, AC＝,AD'＝CD'＝, 设AC的中点为O,则D'O⊥AC, 故cos∠ACD'＝. 14 4.(苏教必修二P175T15改编)如图,在三棱锥A－BCD中,E,F,G,H分别是棱AB,BC,CD,DA的中点,则 (1)要使四边形EFGH为菱形, 应有EF＝EH, ∵EF綉AC,EH綉BD, ∴AC＝BD. (1)当AC,BD满足条件____________时,四边形EFGH为菱形;  (2)当AC,BD满足条件___________________时,四边形 EFGH为正方形.  AC=BD AC=BD且AC⊥BD 15 (2)要使四边形EFGH为正方形, 应有EF＝EH且EF⊥EH, ∵EF綉AC,EH綉BD, ∴AC＝BD且AC⊥BD. 16 例1 在正方体ABCD－A1B1C1D1中,E,F分别为D1C1,C1B1的中点,AC∩BD＝P,A1C1∩EF＝Q.求证: (1)D,B,E,F四点共面; 考点一　基本事实与推论的应用 如图所示,连接B1D1. 因为EF是△D1B1C1的中位线,所以EF∥B1D1. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中,B1D1 ∥BD, 所以EF∥BD,所以EF,BD确定一个平面, 即D,B,E,F四点共面. (2)若A1C交平面DBFE于点R,则P,Q,R三点共线; 在正方体ABCD－A1B1C1D1中,连接A1C, 设A1,C,C1确定的平面为α,又设平面BDEF为β. 因为Q∈A1C1,所以Q∈α. 又Q∈EF,所以Q∈β,所以Q是α与β的公共点, 同理,P是α与β的公共点. 所以α∩β＝PQ. 又A1C∩β＝R,所以R∈A1C,R∈α,且R∈β. 则R∈PQ,故P,Q,R三点共线. (3)DE,BF,CC1三线交于一点. 因为EF∥BD且EF<BD, 所以DE与BF相交, 设交点为M,则由M∈DE,DE⊂平面D1DCC1,得M∈平面D1DCC1, 同理,M∈平面B1BCC1. 又平面D1DCC1∩平面B1BCC1＝CC1, 所以M∈CC1. 所以DE,BF,CC1三线交于一点. 感悟提升 共面、共线、共点问题的证明方法 (1)证明共面的方法:①先确定一个平面,然后再证其余的线(或点)在这个平面内;②证明两平面重合. (2)证明共线的方法:①先由两点确定一条直线,再证其他各点都在这条直线上;②直接证明这些点都在同一条特定直线上. (3)证明线共点的方法:先证其中两条直线交于一点,再证其他直线经过该点. 训练1 (1)在三棱锥A－BCD的边AB,BC,CD,DA上分别取E,F,G,H四点,若EF∩HG＝P,则点P(　　) A.一定在直线BD上 B.一定在直线AC上 C.在直线AC或BD上 D.不在直线AC上,也不在直线BD上 B 因为EF∩HG＝P,E,F,G,H四点分别是AB,BC,CD,DA上的点, 所以EF在平面ABC内,HG在平面ACD内, 所以P既在平面ABC内,又在平面ACD内, 所以P在平面ABC和平面ACD的交线上, 又平面ABC∩平面ACD＝AC, 所以P∈AC. (2)如图,P,Q,R,S分别是正方体或四面体所在棱的中点,则在下列图形中,这四个点不共面的一个图是(　　) D A中,由PS∥QR,知P,Q,R,S四点共面; B中,过P,Q,R,S可作一正六边形,知P,Q,R,S四点共面; C中,由PQ∥SR,知P,Q,R,S四点共面; D中,由QR和PS是异面直线,知四点不共面. 例2 (1)(2026·嘉兴调研)已知a,b,c是三条不同的直线,有下列三个命题:①若a,b是异面直线,b,c是异面直线,则a,c也是异面直线;②若a和b相交,b和c相交,则a和c也相交;③若a和b共面,b和c共面,则a和c也共面.其中真命题的个数是(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 A 考点二　空间两直线位置关系的判断 对于①,若a,b是异面直线,b,c是异面直线,则a,c可能相交不是异面直线,如图,故①为假命题; 对于②,若a和b相交,b和c相交,则a和c可能相交、平行、异面,故②为假命题; 对于③,若a和b共面,b和c共面,则a和c也可以异面,错误. (2)(多选)如图,在正方体ABCD－A1B1C1D1中,M,N分别为棱C1D1,C1C的中点,则(　　) CD 因为点A在平面CDD1C1外,点M在平面CDD1C1内, 直线CC1在平面CDD1C1内,CC1不过点M, 所以直线AM与CC1是异面直线,故A错误; A.直线AM与CC1是相交直线 B.直线AM与BN是平行直线 C.直线BN与MB1是异面直线 D.直线A1M与BN是相交直线 取DD1的中点E,连接AE(图略), 则BN∥AE,但AE与AM相交, 所以AM与BN不平行,故B错误; 因为点B1与直线BN都在平面BCC1B1内, 点M在平面BCC1B1外,BN不过点B1, 所以BN与MB1是异面直线,故C正确; MN∥A1B,则A1,M,N,B四点共面. 又A1M与BN不平行,故A1M与BN相交,D正确. 感悟提升 1.要判断空间中两条直线的位置关系一般有两种方法:一是构造几何体(如正方体、空间四边形等)模型来判断;二是利用排除法. 2.异面直线的判定方法:(1)反证法;(2)直接法. 训练2 (1)空间中有三条线段AB,BC,CD,且∠ABC＝∠BCD,那么直线AB与CD的位置关系是(　　) A.平行 B.异面 C.相交或平行 D.平行或异面或相交均有可能 D 根据条件作出示意图,得到以下三种可能的情况, 如图可知AB,CD有相交、平行、异面三种情况,故选D. (2)若直线l1和l2是异面直线,l1在平面α内,l2在平面β内,l是平面α与平面β的交线,则下列结论正确的是(　　) A.l与l1,l2都不相交 B.l与l1,l2都相交 C.l至多与l1,l2中的一条相交 D.l至少与l1,l2中的一条相交 D 如图1,l1与l2是异面直线,l1与l平行,l2与l相交,故A,B不正确; 如图2,l1与l2是异面直线,l1,l2都与l相交,故C不正确. 例3 (1)(2026·南京模拟)在直三棱柱ABC－A1B1C1中,所有棱长都相等,D,E,F分别是棱AB,BC,B1C1的中点,则异面直线DF与C1E所成角的余弦值是(　　) A. B.- C.- D. D 连接BF,因为C1F＝BE,C1F∥BE,所以四边形C1FBE为平行四边形, 考点三　求异面直线所成的角 所以BF∥C1E, 所以∠DFB即为异面直线DF与C1E所成的角或补角, 设AB＝2,则BD＝1,BF＝, 连接EF,DE,则DE＝AC＝1, 因为EF∥BB1,所以EF⊥平面ABE,DE⊂平面ABE,所以EF⊥DE, EF＝BB1＝2,DF＝, 由余弦定理得cos∠DFB＝. 所以异面直线DF与C1E所成角的余弦值是. (2)(2026·石家庄调研)如图,在直三棱柱ABC－A1B1C1中,AA1＝AC＝BC＝3,∠ACB＝90°,点D是线段AA1上靠近A1的三等分点,则直线C1D与B1C所成角的余弦值为 ____________.  根据题意,可以补充成一个棱长为3的正方体,如图所示. 取NM上靠近N的三等分点D1,连接B1D1, 根据正方体性质,得B1D1∥C1D, 则∠CB1D1为直线C1D与B1C所成角或补角. 连接CD1,CM,根据正方体性质,得MD1⊥CM. CM＝＝3,CD1＝, CB1＝＝3,D1B1＝, 在△D1B1C中,由余弦定理得,cos∠D1B1C＝, 则直线C1D与B1C所成角的余弦值为. 感悟提升 异面直线所成角的求法 方法 解读 平移法 将异面直线中的某一条平移,使其与另一条相交,一般采用图中已有的平行线或者作平行线,形成三角形求解 补形法 在该几何体的某侧补接上一个几何体,在这两个几何体中找异面直线相应的位置,形成三角形求解 训练3 (1)在正方体ABCD－A1B1C1D1中,E为BD的中点,则直线B1E与A1D所成的角为(　　) A.30° B.60° C.120° D.150° A 如图,在正方体ABCD－A1B1C1D1中,连接B1C,CE, 则有A1D∥B1C, 所以直线B1E与A1D所成的角等于直线B1E与B1C所成的角, 设正方体的棱长为2, 则BB1＝2,BE＝CE＝,B1C＝2,B1E＝, 在△EB1C中, cos∠EB1C＝, 又∠EB1C∈(0°,90°],所以∠EB1C＝30°. 所以直线B1E与A1D所成的角为30°. (2)已知底面半径为1的圆柱,O是其上底面圆心,A,B是下底面圆周上两个不同的 点,BC是母线.若直线OA与BC所成角的大小为,则BC＝__________________.   如图所示,过A作母线AD,连接OD, 则∠OAD为直线OA与BC所成的角,则∠OAD＝, 在Rt△OAD中,可得AD＝,即BC＝. 一、单选题 1.平面α与平面β,γ都相交,则这三个平面的交线可能有(　　) A.1条或2条 B.2条或3条 C.只有2条 D.1条或2条或3条 D 当平面α过平面β与平面γ的交线时,这三个平面有1条交线; 当β∥γ时,平面α与平面β,γ各有1条交线,这三个平面有2条交线; 当平面α,β,γ两两相交时,这三个平面有3条交线.故选D. 2.若直线上有两个点在平面外,则(　　) A.直线上至少有一个点在平面内 B.直线上有无穷多个点在平面内 C.直线上所有点都在平面外 D.直线上至多有一个点在平面内 D 根据题意,两点确定一条直线,那么由于直线上有两个点在平面外,则直线在平面外,只能是直线与平面相交,或者直线与平面平行,那么可知直线上至多有一个点在平面内. 3.已知平面α∩平面β＝l,点A,C∈α,点B∈β,且B∉l,又AC∩l＝M,过A,B,C三点确定的平面为γ,则β∩γ是(　　) A.直线CM B.直线BM C.直线AB D.直线BC B 已知过A,B,C三点确定的平面为γ, 则AC⊂γ.又AC∩l＝M,则M∈γ, 又平面α∩平面β＝l, 则l⊂α,l⊂β, 又因为AC∩l＝M,所以M∈β, 因为B∈β,B∈γ,所以β∩γ＝BM. 4.已知空间中不过同一点的三条直线l,m,n.“l,m,n共面”是“l,m,n两两相交”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 B 由m,n,l在同一平面内,可能有m,n,l两两平行, 所以m,n,l可能没有公共点,即不能推出m,n,l两两相交. 由m,n,l两两相交且m,n,l不经过同一点, 可设l∩m＝A,l∩n＝B,m∩n＝C,且A∉n, 所以点A和直线n确定平面α,而B,C∈n, 所以B,C∈α,所以l,m⊂α,所以m,n,l在同一平面内. 综上,“l,m,n共面”是“l,m,n两两相交”的必要不充分条件. 5.如图,已知正四棱锥P－ABCD的所有棱长均为2,E为棱 PA的中点,则异面直线BE与PC所成角的余弦值为(　　) C 连接AC,取AC的中点O,连接BO,EO, A. B.－ C. D.－ 由题意知,EO∥PC,则异面直线BE与PC所成角为∠BEO(或其补角), 在△BOE中,EO＝PC＝1,OB＝AC＝,BE＝PA＝, 则cos∠BEO＝, 则异面直线BE与PC所成角的余弦值为. 6.如图,在四面体A－BCD中,M,N,P,Q,E分别是AB,BC,CD,AD,AC的中点,则下列说法中错误的是(　　) D 因为M,N分别是AB,BC的中点, 所以MN∥AC,且MN＝AC, 同理,QP∥AC,且QP＝AC, A.M,N,P,Q四点共面 B.∠QME＝∠CBD C.△BCD∽△MEQ D.四边形MNPQ为梯形 所以MN∥QP,且MN＝QP, 所以四边形MNPQ为平行四边形, 所以M,N,P,Q四点共面,故A正确,D错误; 由等角定理知,∠QME＝∠DBC,故B正确; 所以由等角定理可知,∠QME＝∠DBC,∠QEM＝∠DCB,∠MQE＝∠BDC, 所以△BCD∽△MEQ,故C正确. 7.安徽徽州古城与四川阆中古城、山西平遥古城、云南丽江古城被称为中国四大古城.徽州古城中有一古建筑,其底层部分可近似看作一个正方体ABCD－A1B1C1D1.已知该正方体中,点E,F分别是棱AA1,CC1的中点,过D1,E,F三点的平面与平面ABCD的交线为l,则直线l与直线AD1所成的角为(　　) A A. B. C. D. 如图所示,在平面AA1D1D中,连接D1E与DA的延长线交于点H, 则HA＝AD, 在平面CC1D1D中,连接D1F与DC的延长线交于点G,则GC＝CD, 则GH为平面D1EF与平面ABCD的交线l,且GH∥AC, 而在等边△ACD1中,AC与AD1所成的角为, 故l与直线AD1所成的角为. 二、多选题 8.给出以下四个命题,其中正确的是(　　) A.不共面的四点中,其中任意三点不共线 B.若点A,B,C,D共面,点A,B,C,E共面,则点A,B,C,D,E共面 C.若A∈平面α,B∉平面α,则平面α内存在无数条直线与直线AB相交 D.依次首尾相接的四条线段必共面 AC 反证法:如果四个点中,有3个点共线,第4个点不在这条直线上, 根据基本事实2的推论可知,这四个点共面,这与已知矛盾,故A正确; 如图1,A,B,C,D共面,A,B,C,E共面,但A,B,C,D,E不共面,故B错误; 在平面α内过点A的直线都与直线AB相交,故C正确; 如图2,a,b,c,d四条线段首尾相接,但a,b,c,d不共面,故D错误. 9.如图,G,H,M,N是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH与MN是异面直线的图形有(　　) BD 对于A,连接GM, ∵G,M为所在棱的中点, ∴GM∥HN, ∴直线GH与MN共面,故A错误; 对于B,G,H,N三点共面,但M∉平面GHN, ∴直线GH与MN异面,故B正确; 对于C,如图,连接GM, ∵G,M为所在棱的中点, ∴GM∥AB,又AB∥HN, ∴GM∥HN, ∴直线GH与MN共面,故C错误; 对于D,G,M,N共面,但H∉平面GMN, ∴GH与MN异面,故D正确. 三、填空题 10.已知α,β是不同的平面,l,m,n是不同的直线,P为空间中一点.若α∩β＝l,m⊂α,n⊂β,m∩n＝P,则点P与直线l的位置关系用符号表示为____________.   ∵m⊂α,n⊂β,m∩n＝P, ∴P∈α且P∈β,又α∩β＝l, ∴点P在直线l上,即P∈l. P∈l 11.如图为正方体表面的一种展开图,则图中的AB,CD,EF, GH在原正方体中互为异面直线的有____________对.  把平面展开图还原为原正方体,如图, 易知异面直线有(AB,GH),(AB,CD),(GH,EF),共有3对. 3 12.(2026·银川调研)如图,圆柱的轴截面为矩形ABCD,点M,N分别在上、下底面圆上,＝2,＝2,AB＝2,BC＝3,则异面直线AM与CN所成角的余弦值为____________.  连接DM,CM,AN,BN,BM,由题设及图易知MN是圆柱的母线, 所以BCMN为矩形,设BM∩CN＝P,则P是BM的中点, 设Q是AB的中点,连接PQ, 则PQ∥AM,则∠NPQ是异面直线AM与CN所成角或其补角. 由于＝2,＝2, 所以∠BAN＝,∠NBA＝,由于AB＝2, 而AB是圆柱底面圆的直径,则AN⊥BN, 所以AN＝1,BN＝,则AM＝,PQ＝AM＝, CN＝＝2,PN＝CN＝, 而QN＝1, 在△PQN中,由余弦定理得cos∠NPQ＝. 四、解答题 13.如图所示,△ABC在平面α外,三边AB,AC,BC所在直线分别交平面α于P,Q,R三点,求证:P,Q,R三点在同一直线上. 由AB∩α＝P,可知点P∈AB,且AB⊂平面ABC, 可知点P∈平面ABC,又P∈α, 所以点P在平面ABC与平面α的交线上, 同理可得,点Q,R均在平面ABC与平面α的交线上, 所以P,Q,R三点共线. 14.如图,在正方体ABCD－A1B1C1D1中,点M,N分别是A1B1,B1C1的中点.求证: (1)直线AM与CN在同一平面上; 如图,连接MN,A1C1. ∵点M,N分别是A1B1,B1C1的中点, ∴MN∥A1C1. ∵四边形A1ACC1为平行四边形, ∴A1C1∥AC, ∴MN∥AC,∴A,M,N,C四点共面, 即AM和CN共面. (2)直线AM,BB1和CN交于一点. 由(1)得,MN∥AC且易知MN≠AC, ∴AM与CN相交,设交点为P, ∵P∈AM,AM⊂平面ABB1A1, ∴P∈平面ABB1A1; 又∵P∈CN,CN⊂平面BCC1B1, ∴P∈平面BCC1B1, ∵平面ABB1A1∩平面BCC1B1＝BB1, ∴P∈BB1,∴AM,BB1,CN三线交于点P. $