第2节 空间点、直线、平面之间的位置关系 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“空间点、直线、平面位置关系”核心考点，依据高考评价体系明确平面基本事实应用、空间位置关系判断、异面直线所成角三大考查方向，通过真题与模拟题分析，突出异面直线所成角（占比约30%）等高频考点，归纳共面证明、位置关系判断等常考题型。 课件亮点在于“真题解析+规律方法+素养提升”，以2021全国乙卷真题为例，详解平移法求异面直线所成角，培养学生空间观念与逻辑推理素养。规律方法中总结共面共线共点证明策略，帮助学生掌握答题技巧，教师可据此精准指导，提升复习效率。

第2节　空间点、直线、平面之间的位置关系 事实 图形 文字语言 符号语言 基本 事实1   过　　　　　　上的三个点,有且只有一个平面  A,B,C三点不共线⇒有且只有一个平面α,使A∈α, B∈α,C∈α 基本 事实2   如果一条直线上的 　　　　在一个平面内,那么这条直线在这个平面内  A∈l,B∈l,且A∈α, B∈α⇒l⊂α 1.与平面及平行线有关的基本事实及推论 (1)平面及平行线的基本事实 不在一条直线 两个点 事实 图形 文字语言 符号语言 基本 事实3   如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们　　 　　　过该点的公共直线  P∈α,且P∈β ⇒α∩β=l,且P∈l 基本 事实4   平行于同一条直线的两条直线平行 若直线a∥b,c∥b,则a∥c 有且只有一条 (2)平面的基本事实的3个推论 推论 自然语言 图形语言 推论1 经过一条直线与　　　　　一点,有且只有一个平面    推论2 经过两条　　　　　直线,有且只有一个平面    推论3 经过两条　　　　　直线,有且只有一个平面    这条直线外 相交 平行 2.空间中直线与直线的位置关系 相交 平行 3.空间中直线与平面、平面与平面的位置关系 类型 图形语言 符号语言 公共点 直线与平面 直线在平面外 相交   　　　  　　个  平行   　　　  　　个  直线在平面内   　　　  　　个  a∩α=A 1 a∥α　 0 a⊂α 无数 类型 图形语言 符号语言 公共点 平面与平面 平行   　　　  　　个  相交   　　　  　　个  α∥β 0 α∩β=l　 无数 4.异面直线所成的角 (1)定义:设a,b是两条异面直线,经过空间任一点O分别作直线a'∥a,b'∥b,把a'与b'所成的锐角(或直角)叫作异面直线a与b所成的角(或夹角). (2)范围:(0,]. [自主诊断] 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)没有公共点的两条直线是异面直线.(　　) (2)两个平面α,β有一个公共点A,则α,β相交于过A点的任意一条直线.(　　) (3)如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合.(　　) (4)若直线a不平行于平面α,且a⊄α,则α内的所有直线与a异面.(　　) × 解析 两条平行直线且没有公共点. × 解析 如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线. × 解析 若三点共线,则两平面可能相交. × 解析 由题可知,a与α相交,则α内过交点的直线与a相交. 2.(人A必修二教材例题)下列说法正确的是(　　) A.三点确定一个平面 B.一条直线和一个点确定一个平面 C.圆心和圆上两点可确定一个平面 D.梯形可确定一个平面 D 解析 三个不共线的点才可以确定一个平面,故A错误;直线和直线外一点才可以确定一个平面,故B错误;若圆心和圆上的两点共线,则无法确定一个平面,故C错误;两条平行直线确定一个平面,梯形有一组对边平行,另一组对边不平行,故梯形可确定一个平面,故D正确.故选D. 3.(人A必修二教材习题)设直线a,b分别是长方体的相邻两个面的对角线所在的直线,则a与b(　　) A.平行 B.相交 C.是异面直线 D.可能相交,也可能是异面直线 D 解析 如图,在长方体ABCD-A'B'C'D'中,当A'B所在的直线为a,BC'所在的直线为b时,a与b相交;当A'B所在的直线为a,B'C所在的直线为b时,a与b异面.故选D. 4.(人A必修二教材习题改编)已知平面α∥平面β,直线a∥平面α,直线b∥平面β,则a与b的位置关系可能是(　　) A.平行或相交 B.相交或异面 C.平行或异面 D.平行、相交或异面 D 5.(人B必修四教材习题改编)已知空间中两个角α,β,且角α与角β的两边分别平行,若α=70°,则β=　　　　　.  70°或110° 解析 根据等角定理,知α=β或α+β=180°,则β=70°或β=110°. 6.(人A必修二教材例题改编)如图,在三棱锥A-BCD中,E,F,G,H分别是棱AB,BC,CD,DA的中点,则: (1)当AC,BD满足条件　　　　时,四边形EFGH为菱形;  (2)当AC,BD满足条件　　 　　时,四边形EFGH为正方形.  AC=BD　 AC=BD且AC⊥BD 解析 因为E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA的中点,所以EF=GH=AC,EF∥GH∥AC,EH=FG=BD,EH∥FG∥BD. (1)因为四边形EFGH为菱形,所以EF=EH,所以AC=BD. (2)因为四边形EFGH为正方形,所以EF=EH且EF⊥EH,所以AC=BD且AC⊥BD. 考点一　与平面有关的基本事实的应用 例1　已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为D1C1,C1B1的中点, AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q.求证: (1)D,B,F,E四点共面; (2)若A1C交平面DBFE于点R,则P,Q,R三点共线; (3)DE,BF,CC1三线交于一点. 考点一 考点二 考点三 证明 (1)如图所示,连接B1D1. 因为EF是△D1B1C1的中位线, 所以EF∥B1D1. 在正方体AC1中,B1D1∥BD,所以EF∥BD.所以EF,BD确定一个平面,即D,B,F,E四点共面. 考点一 考点二 考点三 (2)在正方体AC1中,因为AA1∥CC1, 所以AA1与CC1确定一个平面α,设平面BDEF为β. 因为Q∈A1C1,所以Q∈α. 又Q∈EF,所以Q∈β. 所以Q是α与β的公共点. 同理,P是α与β的公共点, 所以α∩β=PQ.又A1C∩β=R, 所以R∈A1C,即R∈α,且R∈β. 则R∈PQ,故P,Q,R三点共线. 考点一 考点二 考点三 (3)因为EF∥BD,且EF<BD, 所以DE与BF相交. 设交点为M,则由M∈DE,DE⊂平面D1DCC1,得M∈平面D1DCC1, 同理,点M∈平面B1BCC1. 又平面D1DCC1∩平面B1BCC1=CC1, 所以M∈CC1,所以DE,BF,CC1三线交于点M. 考点一 考点二 考点三 规律方法　共面、共线、共点问题的证明方法 考点一 考点二 考点三 [对点训练1]如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,对角线A1C与平面BDC1交于点O,AC,BD交于点M,E为AB的中点,F为AA1的中点.求证: (1)C1,O,M三点共线; (2)E,C,D1,F四点共面; (3)CE,D1F,DA三线共点. 考点一 考点二 考点三 证明 (1)因为A1C∩平面BDC1=O,所以O∈A1C,O∈平面BDC1.又因为A1C⊂平面ACC1A1,所以O∈平面ACC1A1.因为AC,BD交于点M,所以M∈AC,M∈BD.又AC⊂平面ACC1A1,BD⊂平面BDC1,所以M∈平面ACC1A1,M∈平面BDC1.又C1∈平面ACC1A1,C1∈平面BDC1,所以C1,O,M三点在平面ACC1A1与平面BDC1的交线上,所以C1,O,M三点共线. (2)连接BA1,EF,D1C,BC1,因为E为AB的中点,F为AA1的中点,所以EF∥BA1.又因为BC∥A1D1,BC=A1D1,所以四边形BCD1A1是平行四边形,所以BA1∥CD1,所以EF∥CD1,所以E,F,C,D1四点共面. 考点一 考点二 考点三 (3)因为平面ABCD∩平面ADD1A1=AD,设CE与D1F交于一点P,则P∈CE,CE⊂平面ABCD,所以P∈平面ABCD,同理,P∈平面ADD1A1,又平面ABCD∩平面ADD1A1=AD,所以P∈AD,所以直线CE,D1F,DA三线交于一点P,即三线共点. 考点一 考点二 考点三 考点二　空间两直线的位置关系 例2　(2025·湖南娄底学业考试)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,下列直线位置关系判断正确的是(　　) A.直线AB与AC异面 B.直线AC与A1C1相交 C.直线A1B与AC异面 D.直线A1B与C1D相交 C 考点一 考点二 考点三 解析 如图,连接A1C1,A1B,C1D,AC,D1C, 对于A,因为AB∩AC=A,所以直线AB与AC相交,不异面,故A错误;对于B,因为AA1∥BB1∥CC1,AA1=BB1=CC1,所以四边形AA1C1C为平行四边形,则有AC∥A1C1,所以直线AC与A1C1不可能相交,故B错误;对于C,因为AC⊂平面ABCD,B∈平面ABCD,A1∉平面ABCD,所以直线A1B与AC异面,故C正确;对于D,因为A1D1∥B1C1∥BC,A1D1=B1C1=BC,所以四边形BCD1A1为平行四边形,则A1B∥CD1,而CD1与C1D相交,所以直线A1B与C1D异面,故D错误.故选C. 考点一 考点二 考点三 规律方法　判断空间直线的位置关系一般有两种方法:一是构造几何体(如长方体、空间四边形等)模型,通过向量法、定义法与方程法来判断,二是排除法.特别地,对于异面直线的判定常用到结论:“平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线”. 考点一 考点二 考点三 [对点训练2](多选题)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱C1D1,C1C的中点,则下列四个结论正确的是(　　) A.直线AM与CC1是相交直线 B.直线AM与BN是平行直线 C.直线BN与MB1是异面直线 D.直线AM与DD1是异面直线 CD 考点一 考点二 考点三 解析 对于A,因为点A在平面C1D1DC外,点M在平面C1D1DC内,直线CC1在平面C1D1DC内,CC1不过点M,所以AM与CC1是异面直线,故A错误;对于B,直线AM在平面ABC1D1内,直线BN与平面ABC1D1相交于点B,点B不在直线AM上,所以直线AM与BN是异面直线,故B错误;对于C,直线BN在平面BCC1B1内,直线MB1与平面BCC1B1相交于点B1,点B1不在直线BN上,所以直线BN与直线MB1是异面直线,故C正确;对于D,因为点M与DD1都在平面C1D1DC内,点A在平面C1D1DC外,DD1不过点M,所以AM与DD1是异面直线,故D正确.故选CD. 考点一 考点二 考点三 考点三　异面直线所成的角 例3　(1)(2026·江西南昌月考)在长方体ABCD-A1B1C1D1中, AB=2,BC=2, AA1=1,则异面直线A1B与B1C所成角的余弦值为　　　.  　 考点一 考点二 考点三 解析 如图,连接CD1,因为A1D1∥BC,A1D1=BC,所以四边形A1D1CB是平行四边形,故A1B∥D1C,所以异面直线A1B与B1C所成的角等价于D1C与B1C所成的角. 连接B1D1,由题可知D1C=,B1C=,D1B1==2 设D1C与B1C所成角为θ,在△D1B1C中,由余弦定理, 得cos θ= 考点一 考点二 考点三 (2)(2021·全国乙,理5)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为B1D1的中点,则直线PB与AD1所成的角为(　　) A. B. C. D. D 考点一 考点二 考点三 解析 (方法一)如图,连接BC1,PC1.由正方体的性质可得AD1∥BC1,故∠PBC1为直线PB与AD1所成的角.设正方体的棱长为1,则BC1=,C1P=A1C1=而BP=,可得C1P2+BP2=B,故C1P⊥PB.则在Rt△BPC1中,有sin∠PBC1=,于是∠PBC1=,即直线PB与AD1所成的角等于故选D. 考点一 考点二 考点三 (方法二)如图,连接BC1,A1B,A1P,PC1,则易知AD1∥BC1,所以直线PB与AD1所成的角等于直线PB与BC1所成的角,由P为正方形A1B1C1D1的对角线B1D1的中点,知A1,P,C1三点共线,且P为A1C1的中点.易知A1B=BC1=A1C1,所以△A1BC1为等边三角形,所以∠A1BC1=,又P为A1C1的中点,所以可得∠PBC1=A1BC1=,故直线PB与AD1所成的角为故选D. 考点一 考点二 考点三 教考衔接 (人A必修二教材例题)如图,已知正方体ABCD-A'B'C'D'. (1)哪些棱所在的直线与直线AA'垂直? (2)求直线BA'与CC'所成的角的大小. (3)求直线BA'与AC所成的角的大小. 考点一 考点二 考点三 解 (1)棱AB,BC,CD,DA,A'B',B'C',C'D',D'A'所在直线分别与直线AA'垂直. (2)因为ABCD-A'B'C'D'是正方体,所以BB'∥CC',因此∠A'BB'为直线BA'与CC'所成的角.又因为∠A'BB'=45°,所以直线BA'与CC'所成的角等于45°. (3)如图,连接A'C'.因为ABCD-A'B'C'D'是正方体,所以AA' CC',从而四边形AA'C'C是平行四边形,所以AC∥A'C'.于是∠BA'C'为异面直线BA'与AC所成的角. 连接BC',易知△A'BC'是等边三角形,所以∠BA'C'=60°.从而异面直线BA'与AC所成的角等于60°. 考点一 考点二 考点三 点评:这道高考题与教材例题高度契合,在问题情境载体、核心考查方向及解题思路方法上均保持一致,仅在直线参数或表达式上作出调整,体现出对教材例题的灵活化运用. 考点一 考点二 考点三 规律方法　求两条异面直线所成角的方法 方法 解读 平移 法 将异面直线中的某一条平移,使其与另一条相交,一般采用图中已有的平行线或者作平行线,形成三角形求解 补形 法 在该几何体的某侧补接上同样一个几何体,在这两个几何体中找异面直线相应的位置,形成三角形求解 考点一 考点二 考点三 [对点训练3](2025·广东广州模拟)在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB, E,F,G分别是CC1,BD,A1B1的中点,则直线C1G与EF所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. D 考点一 考点二 考点三 解析 令K,I分别是DD1,BB1的中点,H是KI中点,连接C1H,GH, 由正四棱柱的性质及题设,易知HF∥EC1且HF=EC1,则四边形HFEC1为平行四边形,所以C1H∥EF,所以直线C1G与EF所成角即为直线C1G与C1H所成角,即∠GC1H,若AA1=2AB=4,则C1G=,C1H=,GH=, 故cos∠GC1H=故选D. 考点一 考点二 考点三 $