专题01 相交线与平行线（7大考点）（期末真题汇编，河南专用）七年级数学下学期

**基本信息** 河南多地期末真题汇编，聚焦相交线与平行线7大考点，84题涵盖选择、填空、解答，情境融合科技（仿生机器狗）、文化（汝窑瓷器）及生活实际，梯度分明。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|约30题|相交线（对顶角、垂线）、平行线判定|结合光的折射考平行线性质，如第25题| |填空|约20题|平移性质、垂线段最短|生活情境题，如第3题灌溉挖渠用垂线段最短| |解答|约34题|平行线性质与判定综合、动态角关系|动态探究题，如第16题动点P位置变化下角关系|

专题01 相交线与平行线 7大高频考点概览 考点01相交线 考点02根据平行线的性质探究角的关系 考点03根据平行线的性质求角的度数 考点04平行线的判定与性质综合 考点05定义、命题、定理 考点06 平移 考点07利用平移的性质求解 ( 地 城 考点 01 相交线 )1．（24-25七年级下·河南开封·期末）如图，直线，相交于点，，垂足为点，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，直线与直线相交于点，，且平分，若，则的度数为___________度． 3．（24-25七年级下·河南周口·期末）如图，某村庄在灌溉时要把河水引到农田A处，为保证渠道最短，挖渠的位置这样确定：过点A向河岸l作垂线，垂足为B，则就是所要挖的渠道，理由是（   ） A．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．两条直线相交有且只有一个交点 C．过一点可以作无数条直线 D．垂线段最短 4．（24-25七年级下·河南信阳·期末）如图，直线、相交于点，． (1)直接写出图中的对顶角为________，的邻补角为________； (2)若，求的度数． 5．（24-25七年级下·河南许昌·期末）如图，直线与相交于点F，于点F．，求的度数． 6．（24-25七年级下·河南洛阳·期末）如图，点C是直线上一点，，，则_____． 7．（24-25七年级下·河南安阳·期末）如图，在平面内过点作已知直线的平行线和垂线，可作的条数分别是条和条，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．无法确定 8．（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，中，，无需度量即可判定，理由是______． 9．（24-25七年级下·河南新乡·期末）如图，点在直线上，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 10．（24-25七年级下·河南商丘·期末）如图，量得直线外一点到的距离的长为，点是直线上的一点，那么线段的长不可能是（    ） A． B．4 C． D．5 11．（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，要把水渠中的水引到C点，在渠岸的点D处开沟，能使沟最短，这样做的理由是______． 12．（24-25七年级下·河南安阳·期末）如图，直线相交于点O，于点O，若，则的度数为________． 13．（24-25七年级下·河南安阳·期末）如图，点处安装了一个路灯，能照射范围的水平距离为线段，测得，，则点到直线的距离可能为（    ） A． B． C． D． 14．（24-25七年级下·河南开封·期末）在下列各图中，和是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 15．（24-25七年级下·河南许昌·期末）如图，直线相交，若，则下列结论不正确的是（   ）    A． B． C． D． ( 地 城 考点 02 根据 平行线 的性质探究角的关系 ) 16．（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，点在三角形的边上（点不与点重合），交于点，交于点． (1)若点是线段上任意一点（点不与点重合），连接，补全图形解答下列问题： ①，则___________； ②用等式表示、、之间的数量关系，并证明． (2)若点在线段上（点不与点重合），直接写出、、之间的数量关系． 17．（24-25七年级上·河南南阳·期末）如图，是小明同学用的一盏可以伸缩的台灯，它的优点是可以变化伸缩，找到合适的照明角度．图①是这盏台灯的示意图．已知台灯水平放置，当灯头与支架平行时可达到最佳照明角度，此时支架与水平线的夹角，，两支架和的夹角． 如何求此时支架与底座的夹角的度数及灯头与水平线的夹角的度数呢？小明解决此问题的思路如下： (1)小明在解决问题时，过点作，则可以得到，其理由是_____________． (2)如图②，根据小明的思路求和的度数； (3)小明在解题中发现和的度数永远是相等的，与和的度数无关．小明的说法对吗？请结合图③说明理由． 18．（24-25七年级下·河南省直辖县级单位·期末）已知，如图1，和交于点，，， (1)试说明． (2)在（1）的基础上，如图2，为上一点，过点画交于点，交的延长线于点．请画出图形，并说明． 19．（24-25七年级下·河南商丘·期末）已知直线，直线与、分别交于、两点，点是直线上的一动点， (1)如图①，若动点在线段之间运动（不与、两点重合），问在点的运动过程中是否始终具有这一相等关系？试说明理由； (2)如图②，当动点在线段之外且在的上方运动（不与、两点重合），则上述结论是否仍成立？若不成立，试写出新的结论，并说明理由； 20．（24-25七年级下·河南驻马店·期末）已知直线，点P为直线所在的平面内的一点．       (1)如图1，直接写出之间的数量关系：__________ (2)如图2，点E在射线上，过点E作，作，点G在直线上，作的平分线交于点H，，结合（1）中的结论，求的度数． 21．（24-25七年级下·河南许昌·期末）如图，，的平分线交于点G． (1)试说明：； (2)如图，线段上有一点P，满足，过点A作交于点H． ①若，试判断与的位置关系，并说明理由； ②在①的条件下，在射线上取一点M，使得，直线交直线于点Q，求的值． 22．（24-25七年级下·河南平顶山·期末）已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，结合图，试探索这两个角之间的关系，并说明你的结论． (1)如图1，与的关系为________． (2)如图2，与有何关系？说明理由； (3)由（1）（2）可直接得出的结论是：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角________； (4)若两个角的两边分别平行，其中一个角用表示，另一个角比的2倍少，则的度数为_______． 23．（24-25七年级下·河南周口·期末）（1）如图①，已知，点为平面内一点，．小颖说：“过点作，很容易就能找到和的数量关系．”则和的数量关系是___________． （2）如图②，点，，在一条直线上，点，，在一条直线上，且，点在射线上运动，当点运动到点与点之间时，试判断与，之间的数量关系，并说明理由． （3）在（2）的条件下，当点在射线上的其他地方运动时（点与，，三点不重合）请直接写出与之间的数量关系． ( 地 城 考点 0 3 根据 平行线 的性质求角的度数 ) 24．（24-25七年级下·河南开封·期末）如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，，则的度数为_____． 25．（24-25七年级下·河南开封·期末）如图，科学实践小组在研究“光的折射”现象时，发现烧杯内液体表面与烧杯下底部平行，光线从液体中射向空气时发生折射，光线变成，点在射线上．若，，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 26．（24-25七年级下·河南郑州·期末）一副初中专用三角板与按如图所示的方式摆放，，．当时，的度数为______． 27．（24-25七年级下·河南郑州·期末）西气东输工程是我国迄今为止距离最长、口径最大的管道运输工程之一，肩负着将西部天然气输送到东部的重要任务．某工程队在管道铺设到某段落的B点时，施工人员遇到了一处无法穿越的地质障碍，不得不调整铺设路线．新的铺设路线在B的南偏东方向上，且，若要回到最初的铺设方向上，必须保证______． 28．（24-25七年级下·河南驻马店·期末）如图，，平分，平分，点、、共线，点、、、共线，，则下列结论：①；②；③；④ ．其中正确的是___________． 29．（24-25七年级下·河南周口·期末）将一副含和的三角板如图放置，，，其中点落在线段上，且，则______ 30．（24-25七年级下·河南驻马店·期末）一副直角三角板按如图所示的方式叠放在一起，其中，， ．若固定三角板，将三角板绕点A转动，当时，的度数为________． 31．（24-25七年级下·河南驻马店·期末）一副直角三角板按如图所示的方式叠放在一起，其中，，，．若固定三角板，将三角板绕点A转动，当时，的度数为______． 32．（24-25七年级下·河南商丘·期末）如图，在中，过边上的点C，G分别作，垂足分别为D，F，． (1)试判断与的位置关系，并说明理由． (2)若，求的度数． 33．（24-25七年级下·河南商丘·期末）把一块含角的直角三角尺（其中，）按如图所示的方式摆放在两条平行线，之间．如图1，若直角三角尺的顶点G落在上，且，则的度数为________．如图2，若直角三角尺的直角顶点F落在上，顶点G落在上，则与的数量关系为________． 34．（24-25七年级下·河南周口·期末）如图①是汝窑天蓝釉刻花鹅颈瓶，图②是抽象出来的外部轮廓图，，若， （1），则的度数为___________； （2）若，则___________． 35．（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，在四边形中，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若点是上一点，过点作的垂线分别交于点，交的延长线于点．若，求的度数． 36．（24-25七年级下·河南郑州·期末）将一副三角板如图放置（），在保持不动的前提下，绕点逆时针旋转一周，当时，的度数为______． 37．（24-25七年级下·河南新乡·期末）综合与实践 平面镜反射光线的规律：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所成的夹角相等．如图1，一束光线AB射向一个水平放置的平面镜后被反射成光线BC，此时 (1)如图2，甜甜利用两块平面镜使光线传播路径发生改变，若，请判断光线与光线是否平行，并说明理由． (2)露露根据甜甜的实验想到能否将光线改为反向传播，她利用两块平面镜按图3中的方式制作一个装置，若，求证： ． (3)彬彬利用一块如图4所示的曲面镜做实验，发现从点O处发射的灯光经过反射后都能水平射出，光线反射后的光线为，且．若一入射光线（C是入射光线与曲面镜的交点）反射后的光线为，且∠，直接写出的度数． 38．（24-25七年级下·河南新乡·期末）如图，在的边上取一点，作，使，点在边上，连，． (1)若，直接写出的度数：__________． (2)若，试探究与的位置关系，并给出合理的推理过程． ( 地 城 考点 0 4 平行线 的判定与性质综合 ) 39．（24-25七年级下·河南开封·期末）近年来，我国一直提倡“绿色环保，低碳生活”，健康骑行成为一种时尚、环保的运动，深受人们的青睐，小慧的自行车示意图如图所示，其中，，，． (1)求的度数； (2)试判断与的位置关系，并说明理由． 40．（24-25七年级下·河南开封·期末）已知是是一条折线段，且，E为平行线间的一点． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，作的平分线交直线于点F，若，，，求证：． 41．（24-25七年级下·河南焦作·期末）如图，，于点． (1)若，则_________； (2)若与互为余角．试说明：． 以下是小明的解答过程，请你将小明的解答过程和推理依据补充完整． 解：因为（已知）， 所以_________． 因为， 所以（_________）， 所以（_________）， 所以， 因为与互为余角（已知）， 所以_________， 所以_________（_________）， 所以（_________）． 42．（24-25七年级下·河南信阳·期末）在综合与实践课上，老师让同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．已知两直线a，b，且，直角三角尺中，， ． (1)【操作发现】 如图1，当三角尺的顶点B在直线b上时，若，则______； (2)【探索证明】 如图2，当三角尺的顶点C在直线b上时，请写出与间的数量关系，并说明理由； (3)【拓展应用】 如图3，把三角尺的顶点B放在直线b上且保持不动，旋转三角尺，点A始终在直线（D为直线b上一点的上方，若存在，请直接写出射线与直线a所夹锐角的度数． 43．（24-25七年级下·河南周口·期末）随着科技的进步和人工智能技术的成熟，仿生机器狗有望成为人们生活中的重要伙伴．如图所示，仿生机器狗平稳站立时，，，此时的度数为（   ） A． B． C． D． 44．（24-25七年级下·河南驻马店·期末）综合与实践 问题背景：如图，这是部分地区使用的太阳能烧水器，其原理是凹面镜的聚光技术．如图1，这是烧水器的截面示意图，平行的太阳光线和经过凹面镜的反射后，反射光线，交于一点P． 探索发现： (1)如图1，太阳光线平行，利用平行线的性质，把分成两部分进行研究，则，和之间存在的数量关系是______． (2)如图2，，点M，N分别在，上，点P是，之间，且位于右侧的任意一点，连接，，试探究，与之间的数量关系，并写出解答过程． 45．（24-25七年级下·河南周口·期末）课题学习：平行线的“等角转化”功能． 【阅读理解】如图1，已知点A是外一点，连接，求的度数． 阅读下面推理过程： 解：过点A作， 又， 【方法运用】 （1）如图2，已知，求的度数． 【解决问题】 （2）已知，点C在点D的右侧，，平分，平分，所在的直线交于点E，点E在与两条平行线之间． ①如图3，当点B在点A的左侧时，，求的度数． ②如图4，当点B在点A的右侧时，且，直接用含n的式子表示的度数． 46．（24-25七年级下·河南省直辖县级单位·期末）如图，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 47．（24-25七年级下·河南漯河·期末）数学社团的同学以“两条平行线，和一块含角的直角三角板（，）”为主题开展数学活动，已知点E，F中只有一个点落在直线和之间． (1)观察猜想：如图1，把三角板的角的顶点E，G分别放在，上，若，则的度数为________； (2)类比探究：如图2，把三角板的锐角顶点G放在上，且保持不动，绕点G顺时针转动三角板，若点E落在和之间，且AB与EF所夹锐角，则的度数为________； (3)解决问题：把三角板的锐角顶点G放在上，在绕点G顺时针旋转三角板的过程中，若（），请求出的度数． 48．（24-25七年级下·河南三门峡·期末）如图所示，平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 49．（24-25七年级下·河南南阳·期末）如图，直线，直线与、分别交于点、，．小明将一个含角的直角三角板按如图①放置，使点、分别在直线、上，，． (1)填空：________； (2)若，的角平分线交直线于点． ①如图②，当时，求的度数； ②小明将三角板向左平移，直接写出的度数（用含的式子表示）． 50．（24-25七年级下·河南濮阳·期末）如图，，点E，F分别在直线上，是直线之间的一点（点不在直线上），若，，则______（用，的代数式表示）． 51．（24-25七年级下·河南漯河·期中）空竹在中国有悠久的历史，明代《帝京景物略》一书中就记载了空竹的玩法和制作方法．抖空竹是靠四肢配合完成的运动项目，被誉为“中华传统体育文化的瑰宝”．2006年5月20日，抖空竹枝列入第一批国家级非物质文化遗产名录．小洛在观察抖空竹时发现，可以从运动员某一时刻的姿势中抽象出数学问题：如图，，，，则的度数为（　　）（提示：可过点画的平行线再计算．） A． B． C． D． 52．（24-25七年级下·河南郑州·期末）懂下面的推理过程，并填空（理由或数学式）． 中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷．如图（1）是一个“互”字，如图（2）是由图1抽象出的几何图形，其中，点在同一直线上，点在同一条直线上，且．求证：． 证明：如图（2），延长交于点P． ∵（已知）， （两直线平行，内错角相等）． 又______（已知）， （等量代换）． （同位角相等，两直线平行）． （______）． 又∵______（已知）， （两直线平行，同旁内角互补）． ∴______（同角的补角相等）． 53．（24-25七年级下·河南濮阳·期末）如图，，点是边上一点，于点，点是上一点，连接，，求证：．完成下面证明过程并注明推理依据． 证明：∵（已知）， ∴（ ）， ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（ ）， ∴ （ ）， ∵（已知）， ∴ （等量代换）， ∴（ ）， ∴（ ）． 54．（24-25七年级下·河南许昌·期末）完成下面的证明并在括号内填上推理的依据． 如图，已知，，垂足分别为H，F，． 求证：． 证明：∵，（   ）， ∴，（   ）， 即． ∴（   ）． ∴_____（   ）． ∵（已知）， ∴_______（   ）． ∴（   ）． ∴（   ）． ( 地 城 考点 0 5 定义、命题、定理 ) 55．（24-25七年级下·河南焦作·期末）下列命题是真命题的是（   ） A．如果，，那么 B．相等的角是对顶角 C．若，则 D．正数与负数的和一定等于零 56．（24-25七年级下·河南驻马店·期末）命题“如果，则”是________命题．（填“真”或“假”） 57．（24-25七年级下·河南商丘·期末）下列命题中，是真命题的是（   ） A．同旁内角相等，两直线平行 B．过直线外一点作垂线 C．两直线平行，内错角相等 D．点到直线的距离是垂线段 58．（24-25七年级下·河南周口·期末）下列命题中，是真命题的是（　　） A．同旁内角互补 B．0没有相反数 C．一条直线的垂线只有一条 D．任何实数的绝对值都是非负数 59．（24-25七年级下·河南新乡·期末）下列命题中，是真命题的是（    ） A．两个锐角的和一定是钝角 B．如果，那么 C．同旁内角互补 D．是三条直线，若，，则 60．（24-25七年级下·河南安阳·期末）下列命题中，属于真命题的是（    ） A．相等的角是对顶角 B．若，则 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．若，，则 61．（24-25七年级下·河南三门峡·期末）下列命题中，真命题的个数有（    ） ①两个负数的积是正数；②如果，那么；③过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④时，钟面上的时针与分针所成的角是直角． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 62．（24-25七年级下·河南商丘·期末）下列命题为假命题的个数有（    ） ①相等的角是对顶角；②两点之间，线段最短； ③同位角相等；④若，则． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 63．（24-25七年级下·河南·期末）下列命题是真命题的是（     ） A．相等的角是对顶角 B．等角的补角相等 C．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 64．（24-25七年级下·河南安阳·期末）下列命题是真命题的是（   ） A．0没有平方根 B．的算术平方根是－2 C．如果，那么 D．在同一平面内，经过直线上一点，有无数条直线与这条直线垂直 65．（24-25七年级下·河南商丘·期末）下列命题中，是假命题的是（   ） A．对顶角相等 B．有一条公共边，且互补的两个角互为邻补角 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线互相平行 ( 地 城 考点 0 6 平移 ) 66．（24-25七年级下·河南新乡·期末）如图，下列四个图案中，能用平移变换来分析其形成过程的是_____．（填序号） 67．（24-25七年级下·河南商丘·期末）在下列生活现象中，属于平移现象的是（    ） A．小明在荡秋千 B．拉开抽屉 C．行驶中的车轮滚动 D．运动的钟摆 68．（24-25七年级下·河南驻马店·期末）下列所示的图案分别是长安、雪铁龙、小鹏、东风风行汽车的车标，其中可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（　　） A． B． C． D． 69．（24-25七年级下·河南洛阳·期末）如图，在一块长为20米，宽为10米的长方形草地上，有两条宽都为1米的纵、横相交的小路，则这块草地的绿地面积为_____平方米． 70．（24-25七年级下·河南南阳·期末）如图，某住宅小区内有一块长方形空地，想在长方形空地内修筑同样宽的两条小路（图中阴影部分），余下部分绿化，小路的宽为，则两条小路的总面积是（   ） A． B． C． D． 71．（24-25七年级下·河南安阳·期末）下列甲骨文中，能用其中一部分平移得到的是（    ） A． B． C． D． 72．（24-25七年级下·河南周口·期末）如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，三角形的顶点均在格点上．将三角形通过某种平移方式后得到三角形(A、B、C三点的对应点分别为、、)，已知点的坐标为． (1)画出平移后的三角形并写出点、的坐标； (2)若是三角形内部一点，平移后对应点的坐标为，求m、n的值． 73．（24-25七年级下·河南许昌·期末）如图，在平面直角坐标系中，长方形的三个顶点坐标分别为，，． (1)直接写出点D坐标： ； (2)将长方形先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到长方形．画出平移后的图形，并写出四个顶点坐标； (3)两个长方形重叠部分的面积为 ． 74．（24-25七年级下·河南洛阳·期末）在科技飞速发展的今天，智能家居已经成为现代家庭的组成部分．如图是一款正方形的擦窗机器人正在擦拭一块长方形玻璃，建立如图所示的平面直角坐标系，正方形四个顶点的坐标分别是，，，．擦窗机器人的移动速度为每秒1个单位长度，它先向右平移5秒，再向上平移2秒，平移后四个顶点的对应点分别为，，，． (1)写出各点坐标：_____，_____，_____，_____； (2)画出正方形； (3)求在上述平移过程中，机器人所经过的区域的面积． ( 地 城 考点 0 7 利用平移的性质求解 ) 75．（24-25七年级下·河南洛阳·期末）如图，在中，，，，，将沿方向平移，得到，连接，则下列结论：，；；四边形的周长是．其中结论正确的个数有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 76．（24-25七年级下·河南周口·期末）如图，将沿方向平移得到，若的周长为，则四边形的周长为（    ） A． B． C． D． 77．（24-25七年级下·河南许昌·期末）如图，，将沿着边的方向平移到的位置，连接．若，，则的长为_______． 78．（24-25七年级下·河南信阳·期末）如图，将沿直线向右平移得到，连接，若的周长为10，四边形的周长为16，则平移的距离为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 79．（24-25七年级下·河南洛阳·期末）如图，在中，，将沿向右方向平移得到，若，则的长为_____． 80．（24-25七年级下·河南南阳·期末）如图，将向右平移得到，如果的周长是，四边形的周长是，那么平移的距离为（    ） A． B． C． D． 81．（24-25七年级下·河南新乡·期末）如图所示，三角形的周长为16，将三角形沿射线向右平移个单位长度到三角形的位置，交于点．下列结论：①且；②三角形和三角形的周长和为16；③若，则四边形的周长为18；④四边形的面积四边形的面积，其中正确的有_______．（填序号） 82．（24-25七年级下·河南商丘·期末）如图，把直角梯形沿方向平移到梯形的位置，若，，，，则阴影部分的面积是______． 83．（24-25七年级下·河南南阳·期末）如图，将沿方向平移得到，，则的长是______． 84．（24-25七年级下·河南商丘·期中）如图，将长6，宽4的长方形先向右平移2个单位长度，再向下平移m个单位长度，得到长方形，若重合部分面积为长方形面积的，则m的值为_____． 1 / 28 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 相交线与平行线 7大高频考点概览 考点01相交线 考点02根据平行线的性质探究角的关系 考点03根据平行线的性质求角的度数 考点04平行线的判定与性质综合 考点05定义、命题、定理 考点06 平移 考点07利用平移的性质求解 ( 地 城 考点 01 相交线 )1．（24-25七年级下·河南开封·期末）如图，直线，相交于点，，垂足为点，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂直的定义，对顶角相等，熟记对顶角相等的性质是解题的关键． 根据垂直定义求出，进而利用对顶角相等求出的度数，再根据角的差得到答案． 【详解】解：∵， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴， 故选：B． 2．（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，直线与直线相交于点，，且平分，若，则的度数为___________度． 【答案】50 【分析】本题考查了垂直的定义，角平分线的定义，几何图形中角度的计算．设，根据题意得出，根据角平分线的定义，对顶角相等，得出，根据平角的定义列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ∵，平分， 则， ∴ 即 解得：， 故答案为：50． 3．（24-25七年级下·河南周口·期末）如图，某村庄在灌溉时要把河水引到农田A处，为保证渠道最短，挖渠的位置这样确定：过点A向河岸l作垂线，垂足为B，则就是所要挖的渠道，理由是（   ） A．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．两条直线相交有且只有一个交点 C．过一点可以作无数条直线 D．垂线段最短 【答案】D 【分析】本题考查了垂线段最短，根据垂线段的性质得出即可． 【详解】解∶ 过点A向河岸l作垂线，垂足为B，则就是所要挖的渠道，理由是垂线段最短， 故选∶D． 4．（24-25七年级下·河南信阳·期末）如图，直线、相交于点，． (1)直接写出图中的对顶角为________，的邻补角为________； (2)若，求的度数． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查的是对顶角，邻补角的定义，角的和差运算，垂直的定义． （1）根据对顶角与邻补角的定义可得答案； （2）根据邻补角的定义得，根据得，然后根据可得答案． 【详解】（1）解：的对顶角为，的邻补角为， 故答案为：，； （2）解：， ， ， ， ， ． 5．（24-25七年级下·河南许昌·期末）如图，直线与相交于点F，于点F．，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查几何图形中角度的计算，垂线的定义，邻补角，由平角的定义结合，求出的度数，由垂直得到，再根据平角定义进而求出的度数即可． 【详解】解：，， ，， ， ， ． 6．（24-25七年级下·河南洛阳·期末）如图，点C是直线上一点，，，则_____． 【答案】 【分析】此题主要考查了垂线的定义，角的计算，准确识图，理解了垂线的定义，熟练掌握角的计算是解决问题的关键． 依题意得，再根据得，由此可得的度数． 【详解】解：∵点C是直线上一点， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：． 7．（24-25七年级下·河南安阳·期末）如图，在平面内过点作已知直线的平行线和垂线，可作的条数分别是条和条，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了画垂线和平行线，同一平面内，过直线外一点作已知直线的平行线和垂线，都只能作一条，据此可得答案． 【详解】解：同一平面内，过直线外一点作已知直线的平行线和垂线，都只能作一条， ∴， ∴， 故选：B． 8．（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，中，，无需度量即可判定，理由是______． 【答案】垂线段最短 【分析】本题考查了垂线段最短，根据垂线段最短的性质即可求解，正确理解垂线段最短是解题的关键． 【详解】解：在中，， ∴， ∴根据垂线段最短即可判定， 故答案为：垂线段最短． 9．（24-25七年级下·河南新乡·期末）如图，点在直线上，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查垂线，关键是掌握垂直的定义．由垂直的定义得到，即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 10．（24-25七年级下·河南商丘·期末）如图，量得直线外一点到的距离的长为，点是直线上的一点，那么线段的长不可能是（    ） A． B．4 C． D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了垂线段最短的性质和点到直线的距离的概念．从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短，据此可得结论． 【详解】解：直线l外一点P到l的距离的长为，点A是直线l上的一点， ∴线段的长最短等于， 故不可能是． 故选：A． 11．（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，要把水渠中的水引到C点，在渠岸的点D处开沟，能使沟最短，这样做的理由是______． 【答案】垂线段最短 【分析】本题考查了垂线的性质在实际生活中的运用，关键是掌握垂线段的性质：垂线段最短．过直线外一点作直线的垂线，这一点与垂足之间的线段就是垂线段，且垂线段最短．据此作答． 【详解】解：其依据是：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短． 故答案为：垂线段最短． 12．（24-25七年级下·河南安阳·期末）如图，直线相交于点O，于点O，若，则的度数为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂线的定义和对顶角相等的知识，正确得出的度数是解题关键． 直接利用垂直的定义，再结合对顶角的性质即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 13．（24-25七年级下·河南安阳·期末）如图，点处安装了一个路灯，能照射范围的水平距离为线段，测得，，则点到直线的距离可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了点到直线的距离，根据从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离作答即可，正确理解点到直线的距离的定义是解题的关键． 【详解】解：∵点到直线的距离是垂线段长度，，， ∴点到直线的距离小于， ∴点到直线的距离可能为， 故选：． 14．（24-25七年级下·河南开封·期末）在下列各图中，和是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了对顶角的定义，熟练掌握对顶角的定义是解题的关键． 两个角有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、和不是对顶角，故此选项不符合题意； B、和是对顶角，故此选项符合题意； C、和是邻补角，不是对顶角，故此选项不符合题意； D、和不是对顶角，故此选项不符合题意． 故选：B． 15．（24-25七年级下·河南许昌·期末）如图，直线相交，若，则下列结论不正确的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了对顶角相等，补角的概念及计算，理解图示，掌握对顶角，邻补角的计算是关键，根据图示，运用对顶角相等，邻补角的计算是关键． 【详解】解：根据题意，， ∴， ∴A，B，D选项正确，不符合题意； ， ∴C选项错误，符合题意； 故选：C ． ( 地 城 考点 02 根据 平行线 的性质探究角的关系 ) 16．（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，点在三角形的边上（点不与点重合），交于点，交于点． (1)若点是线段上任意一点（点不与点重合），连接，补全图形解答下列问题： ①，则___________； ②用等式表示、、之间的数量关系，并证明． (2)若点在线段上（点不与点重合），直接写出、、之间的数量关系． 【答案】(1)①；②，见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是掌握平行线的判定与性质； （1）①直接根据平行线的性质求解即可； ②过M作，则，根据平行线的传递性得出，根据平行线的性质得出，结合即可得出结论； （2）过M作，则，根据平行线的传递性得出，根据平行线的性质得出，结合即可得出结论． 【详解】（1）解∶①如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为∶45； ②； 理由：过M作，则， ∵，， ∴， ∴， 又， ∴； （2）解：； 理由：过M作，则， ∵，， ∴， ∴， 又， ∴． 17．（24-25七年级上·河南南阳·期末）如图，是小明同学用的一盏可以伸缩的台灯，它的优点是可以变化伸缩，找到合适的照明角度．图①是这盏台灯的示意图．已知台灯水平放置，当灯头与支架平行时可达到最佳照明角度，此时支架与水平线的夹角，，两支架和的夹角． 如何求此时支架与底座的夹角的度数及灯头与水平线的夹角的度数呢？小明解决此问题的思路如下： (1)小明在解决问题时，过点作，则可以得到，其理由是_____________． (2)如图②，根据小明的思路求和的度数； (3)小明在解题中发现和的度数永远是相等的，与和的度数无关．小明的说法对吗？请结合图③说明理由． 【答案】(1)平行于同一条直线的两直线平行 (2)， (3)对，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，需熟练掌握平行线的三条性质，根据平行线的三条性质得到角度相等是求解本题的关键． （1）根据平行公理的推论，即“平行于同一条直线的两直线平行”即可求解； （2）根据平行线的性质，即“两直线平行，内错角相等”，可由求解；再根据“两直线平行，同旁内角互补”即可求解； （3）根据平行线的性质可得，再根据即可求解． 【详解】（1）解：平行于同一条直线的两直线平行； （或如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）； 故答案为：平行于同一条直线的两直线平行； （2）解：如图，过点C作， ， ， ， ， ， , ， ； ， ， ， ， ， ； （3）解：对，理由如下： ， ， ， ， ， ， ， , ， ． 18．（24-25七年级下·河南省直辖县级单位·期末）已知，如图1，和交于点，，， (1)试说明． (2)在（1）的基础上，如图2，为上一点，过点画交于点，交的延长线于点．请画出图形，并说明． 【答案】(1)见解析 (2)图形及证明过程见解析 【分析】本题考查了平行线的判定和性质． （1）根据题意，易得，即可证明； （2）根据题意，画出图形，根据得到，由，得到，得到结果． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴， ∴； （2）解：如图2，过点E画交于点G，交的延长线于点C， ∵， ∴， ∵由（1）知， ∴， ∴． 19．（24-25七年级下·河南商丘·期末）已知直线，直线与、分别交于、两点，点是直线上的一动点， (1)如图①，若动点在线段之间运动（不与、两点重合），问在点的运动过程中是否始终具有这一相等关系？试说明理由； (2)如图②，当动点在线段之外且在的上方运动（不与、两点重合），则上述结论是否仍成立？若不成立，试写出新的结论，并说明理由； 【答案】(1)成立，证明见解析 (2)不成立，新的结论为，证明见解析 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，平行公理的应用； （1）成立，理由如下：过点P作，利用两直线平行内错角相等得到 ，根据，得到，再利用两直线平行内错角相等，根据，等量代换即可得证； （2）不成立，新的结论为，理由为：过P作，同理得到 ，根据 ，等量代换即可得证； 【详解】（1）解：成立，理由如下： 过点P作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：不成立，新的结论为，理由为： 过P作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 20．（24-25七年级下·河南驻马店·期末）已知直线，点P为直线所在的平面内的一点．       (1)如图1，直接写出之间的数量关系：__________ (2)如图2，点E在射线上，过点E作，作，点G在直线上，作的平分线交于点H，，结合（1）中的结论，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了平行线的性质以及角平分线的定义．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． （1）作，易得，根据两直线平行，内错角相等，即可证得； （2）由（2）知，，先证、，，根据可得答案． 【详解】（1）解：， 如图2，作， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）由（1）知，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ． 21．（24-25七年级下·河南许昌·期末）如图，，的平分线交于点G． (1)试说明：； (2)如图，线段上有一点P，满足，过点A作交于点H． ①若，试判断与的位置关系，并说明理由； ②在①的条件下，在射线上取一点M，使得，直线交直线于点Q，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)①，理由见解析；②或 【分析】本题考查平行线的判定与性质，角平分线的定义，几何图形中角度的计算，熟练掌握以上知识点，作出合适的辅助线是解题的关键． （1）根据平行线的性质几何角平分线的定义即可说明结论； （2）①，则，，，根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义得到，由（1）可知，最后根据，推出，进而得到，即可得到结论；②由①得，求出，过点M作，则，然后分当点M在线段上时，当点M在线段的延长线上时，分情况分别求得即可得到结论． 【详解】（1）解：， ， 又平分， ， ． （2）解：①，理由如下： 设， ，， ，，， ， ， ， 又平分， ， 由（1）可知，， ， ， ， ， ． ②同①设，则， ， 过点M作，则， 当点M在线段上时，如图所示， ， ， ， ， ， ， ； 当点M在线段的延长线上时，如图所示， ， ， ， ， ， ， 综上所述，的值为或． 22．（24-25七年级下·河南平顶山·期末）已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，结合图，试探索这两个角之间的关系，并说明你的结论． (1)如图1，与的关系为________． (2)如图2，与有何关系？说明理由； (3)由（1）（2）可直接得出的结论是：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角________； (4)若两个角的两边分别平行，其中一个角用表示，另一个角比的2倍少，则的度数为_______． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)相等或互补 (4)为或． 【分析】本题考查了平行线的性质； （1）根据两直线平行，内错角相等的性质，分别得、，再通过等量代换计算，即可得到答案； （2）根据两直线平行，内错角相等和同旁内角互补的性质，分别得、，从而完成求解； （3）根据（1）和（2）的结论分析，即可得到答案； （4）结合（3）的结论列一元一次方程并求解，即可得到答案． 【详解】（1）解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴. （3）解：根据（1）和（2）的结论，得:如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补； （4）解：设一个角的度数是，则另一个角的度数是． 根据题意，得或， 解得或． ∴为或． 23．（24-25七年级下·河南周口·期末）（1）如图①，已知，点为平面内一点，．小颖说：“过点作，很容易就能找到和的数量关系．”则和的数量关系是___________． （2）如图②，点，，在一条直线上，点，，在一条直线上，且，点在射线上运动，当点运动到点与点之间时，试判断与，之间的数量关系，并说明理由． （3）在（2）的条件下，当点在射线上的其他地方运动时（点与，，三点不重合）请直接写出与之间的数量关系． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）当点在、两点之间时：；当点在的延长线上时，． 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂线的定义，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）过点作，根据平行线的性质可得，再根据可得，进一步得到 ； （2）过点作，交于，根据平行线的性质可得，可得； （3）分两种情况：当点在、两点之间时；当点在的延长线上时；进行讨论可求与的数量关系． 【详解】解：（1）如图，过点作，则，    ， ， ， ， ， ； （2），理由如下： 如图，过点作，交于，则，    ， ， ， ， ； （3）过点作，交于， ①当点在、两点之间时，如图所示，    ∵ ∴， ，， ， ； ②当点在的延长线上时，如图所示，    同理可得， ，， ， ． 综上所述，当点在、两点之间时：；当点在的延长线上时，． ( 地 城 考点 0 3 根据 平行线 的性质求角的度数 ) 24．（24-25七年级下·河南开封·期末）如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，，则的度数为_____． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质． 过顶点O作直线，直线将分成两个角即、，根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：如下图所示，过顶点O作直线， ， ， ，， ， ， ， 故答案为：． 25．（24-25七年级下·河南开封·期末）如图，科学实践小组在研究“光的折射”现象时，发现烧杯内液体表面与烧杯下底部平行，光线从液体中射向空气时发生折射，光线变成，点在射线上．若，，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的性质，灵活应用平行线的性质成为解题的关键． 由平角的定义先求得，再根据平行线的性质可得，然后根据角的和差即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，     ∴． 故选：D． 26．（24-25七年级下·河南郑州·期末）一副初中专用三角板与按如图所示的方式摆放，，．当时，的度数为______． 【答案】/15度 【分析】本题主要考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键． 根据平行线的性质以及三角板的特点求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 27．（24-25七年级下·河南郑州·期末）西气东输工程是我国迄今为止距离最长、口径最大的管道运输工程之一，肩负着将西部天然气输送到东部的重要任务．某工程队在管道铺设到某段落的B点时，施工人员遇到了一处无法穿越的地质障碍，不得不调整铺设路线．新的铺设路线在B的南偏东方向上，且，若要回到最初的铺设方向上，必须保证______． 【答案】115 【分析】本题主要考查了方向角的概念、平行线的性质等知识点，熟练掌握方向角的概念、平行线的性质是解题的关键． 如图：过点O作，根据题意可得：、，从而可得、，然后利用平行线的性质可得，从而可得，再利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图：过点O作， 由题意得：，， ， ， ， ∵， ， ， ， ∵， ． 故答案为：115． 28．（24-25七年级下·河南驻马店·期末）如图，，平分，平分，点、、共线，点、、、共线，，则下列结论：①；②；③；④ ．其中正确的是___________． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，平角的定义，熟练掌握知识点是解题关键． 根据角平分线的定义和平角的定义即可判断①；根据平行线的性质，得出，再根据得出，故②正确；根据角的和差关系，得出 ，即可判断③④． 【详解】解： ∵平分，平分， ． ∴故①正确； 故②正确； 故③正确； 故④错误． 故答案为：①②③． 29．（24-25七年级下·河南周口·期末）将一副含和的三角板如图放置，，，其中点落在线段上，且，则______ 【答案】/15度 【分析】本题主要考查了平行线的性质、三角形内角和等知识点，利用平行线性质求出的度数是解题的关键． 先说明，再根据平行线的性质可得，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 30．（24-25七年级下·河南驻马店·期末）一副直角三角板按如图所示的方式叠放在一起，其中，， ．若固定三角板，将三角板绕点A转动，当时，的度数为________． 【答案】或 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，分类讨论，是解题的关键． 过点A作，得，根据平行线性质,分两种情况，当在点A下方时，，，得； 当在点A上方时，，，得． 【详解】解：过点A作， ∵， ∴， 当在点A下方时， ，， ∴； 当在点A上方时， ，， ∴； ∴的度数为或． 故答案为：或． 31．（24-25七年级下·河南驻马店·期末）一副直角三角板按如图所示的方式叠放在一起，其中，，，．若固定三角板，将三角板绕点A转动，当时，的度数为______． 【答案】或 【分析】本题考查了三角板的角度运算问题，平行线的性质，分两种情况画出图形解答即可求解，正确画出图形运是解题的关键． 【详解】解：如图，当时，， ∴， ∴； 如图，当时，过点作，则， ∴，， ∴； 故答案为：或． 32．（24-25七年级下·河南商丘·期末）如图，在中，过边上的点C，G分别作，垂足分别为D，F，． (1)试判断与的位置关系，并说明理由． (2)若，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂线的定义，熟知平行线的性质与判定定理是解题的关键． （1）由垂线的定义得到，则可证明，得到，据此证明，即可证明． （2）先求出的度数，再根据平行线的性质可得答案． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 33．（24-25七年级下·河南商丘·期末）把一块含角的直角三角尺（其中，）按如图所示的方式摆放在两条平行线，之间．如图1，若直角三角尺的顶点G落在上，且，则的度数为________．如图2，若直角三角尺的直角顶点F落在上，顶点G落在上，则与的数量关系为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线性质是解题关键． 根据平行线的性质可知，依据，可求出结果；依据，可知，再根据，即可求出结果． 【详解】解：因为， 所以， 因为，， 所以， 解得， 因为， 所以， 即， 所以， 故答案为：，． 34．（24-25七年级下·河南周口·期末）如图①是汝窑天蓝釉刻花鹅颈瓶，图②是抽象出来的外部轮廓图，，若， （1），则的度数为___________； （2）若，则___________． 【答案】 /100度 /300度 【分析】（1）延长交于点M，根据平行线的性质可得出，则，即可求解； （2）由（1）知，根据平行线的性质得，即可求解． 本题主要考查了平行线的性质，根据题意作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：（1）延长交于点M，    ∵，， ∴， ， ， ， 故答案为：； （2）由（1）知， ， ， ， 故答案为： 35．（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，在四边形中，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若点是上一点，过点作的垂线分别交于点，交的延长线于点．若，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂线，熟知平行线的性质与判定定理是解题的关键． （1）根据平行线的性质可得，可得，即可得； （2）根据平行线的性质得到，由得，进而可得出答案． 【详解】（1）． 理由：， ． 又， ， ． （2）， ． ， ． 由（1）知，， ． ， ， ． 36．（24-25七年级下·河南郑州·期末）将一副三角板如图放置（），在保持不动的前提下，绕点逆时针旋转一周，当时，的度数为______． 【答案】或 【分析】本题考查了平行线的性质，角的和差，分两种情况，分别画出图形，利用平行线的性质解答即可求解，正确画出图形是解题的关键． 【详解】解：如图，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 如图，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上，的度数为或， 故答案为：或． 37．（24-25七年级下·河南新乡·期末）综合与实践 平面镜反射光线的规律：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所成的夹角相等．如图1，一束光线AB射向一个水平放置的平面镜后被反射成光线BC，此时 (1)如图2，甜甜利用两块平面镜使光线传播路径发生改变，若，请判断光线与光线是否平行，并说明理由． (2)露露根据甜甜的实验想到能否将光线改为反向传播，她利用两块平面镜按图3中的方式制作一个装置，若，求证： ． (3)彬彬利用一块如图4所示的曲面镜做实验，发现从点O处发射的灯光经过反射后都能水平射出，光线反射后的光线为，且．若一入射光线（C是入射光线与曲面镜的交点）反射后的光线为，且∠，直接写出的度数． 【答案】(1)，见解析 (2)见解析 (3)或 【分析】本题考查了平行线的判定和性质． （1）根据，得出，从而得出，最后根据平行线的判定方法，求出结果即可； （2）根据，求出，根据平行线的判定得出答案即可； （3）分两种情况：当点在点下方时，当点在点上方时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解：；理由如下： ， ， ， ， ； （2）证明：， ， ， ， ∴； （3）解：， ． 分两种情况讨论： ①如图1，当点在点下方时， 此时； ②如图2，当点在点上方时， 此时． 综上所述，的度数为或． 38．（24-25七年级下·河南新乡·期末）如图，在的边上取一点，作，使，点在边上，连，． (1)若，直接写出的度数：__________． (2)若，试探究与的位置关系，并给出合理的推理过程． 【答案】(1)52 (2)，理由见解析 【分析】本题考查平行线的判定和性质，掌握平行线的性质定理和判定定理是解题的关键． （1）同位角相等，两直线平行，由可得，再根据平行线的性质可得； （2）根据，可得，结合平角的定义可得，进而可得，即可证明． 【详解】（1）解： ， ， ， 故答案为：52； （2）解：，理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ． ( 地 城 考点 0 4 平行线 的判定与性质综合 ) 39．（24-25七年级下·河南开封·期末）近年来，我国一直提倡“绿色环保，低碳生活”，健康骑行成为一种时尚、环保的运动，深受人们的青睐，小慧的自行车示意图如图所示，其中，，，． (1)求的度数； (2)试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练运用平行线的相关性质解题是关键． （1）利用两直线平行，同旁内角互补即可解答； （2）由平行线的性质以及已知条件可得，进而得到，易证，最后根据同旁内角互补、两直线平行即可证明结论． 【详解】（1）解：∵， ， ． （2）解：，理由如下： ∵， 又， ． ． 40．（24-25七年级下·河南开封·期末）已知是是一条折线段，且，E为平行线间的一点． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，作的平分线交直线于点F，若，，，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）结合图形，先求出，，即可得到的度数； （2）根据题意，求出，的度数，结合已知条件，得到，证得结论． 【详解】（1）解：如图1，过E点作， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 41．（24-25七年级下·河南焦作·期末）如图，，于点． (1)若，则_________； (2)若与互为余角．试说明：． 以下是小明的解答过程，请你将小明的解答过程和推理依据补充完整． 解：因为（已知）， 所以_________． 因为， 所以（_________）， 所以（_________）， 所以， 因为与互为余角（已知）， 所以_________， 所以_________（_________）， 所以（_________）． 【答案】(1) (2)；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；；；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定与性质，涉及同角的余角相等等知识，平行线的性质有：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；平行线的判定有：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；熟记平行线的判定与性质是解决问题的关键． （1）由同位角相等两直线平行判定，进而由两直线平行同位角相等即可求出； （2）由平行线的判定与性质求证即可得到答案． 【详解】（1）解： ， ， ， 故答案为：； （2）解：因为（已知）， 所以． 因为， 所以（同位角相等，两直线平行）， 所以（两直线平行，同位角相等）， 所以， 因为与互为余角（已知）， 所以， 所以（同角的余角相等）， 所以（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；；；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行． 42．（24-25七年级下·河南信阳·期末）在综合与实践课上，老师让同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．已知两直线a，b，且，直角三角尺中，， ． (1)【操作发现】 如图1，当三角尺的顶点B在直线b上时，若，则______； (2)【探索证明】 如图2，当三角尺的顶点C在直线b上时，请写出与间的数量关系，并说明理由； (3)【拓展应用】 如图3，把三角尺的顶点B放在直线b上且保持不动，旋转三角尺，点A始终在直线（D为直线b上一点的上方，若存在，请直接写出射线与直线a所夹锐角的度数． 【答案】(1)； (2)与间的数量关系为，理由见解答； (3)射线与直线所夹锐角的度数为或 【分析】本题考查了平行线的性质以及平行线的拉皮筋模型中构造辅助线的方法，熟练掌握相关知识是解决问题的关键． （1）过点C作直线a的平行线，根据平行线的性质可得，从而可得； （2）过点B作直线a的平行线，根据平行线的性质可得，，由已知，故，从而有； （3）根据点A始终在直线的上方可知，分两种情况：①边在直线上方时，，从而可得，射线与直线a所夹锐角的度数为，②边再直线的下方，此时，从而可得，射线与直线a所夹锐角的度数为． 【详解】（1）解：如图1，过点C作直线a的平行线， ， ， ，， ， ， 故答案为：； （2）与间的数量关系为，理由如下： 如图2，过点B作直线a的平行线， ， ， ，， ， ， 即； （3）由题意可知，分两种情况： ①当边在直线上方时，如图3，射线与直线a所夹锐角为， ，， ， ， ， ， 即射线与直线a所夹锐角的度数为， ②当边再直线的下方时，如图4，射线与直线a所夹锐角为， ，， ， ， ， ， ， ， 即射线与直线a所夹锐角的度数为， 综上所述，射线与直线所夹锐角的度数为或． 43．（24-25七年级下·河南周口·期末）随着科技的进步和人工智能技术的成熟，仿生机器狗有望成为人们生活中的重要伙伴．如图所示，仿生机器狗平稳站立时，，，此时的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，过E作，得到，推出，即可求出的度数． 【详解】解：过E作， ∵， ∴， ∴，， ， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 44．（24-25七年级下·河南驻马店·期末）综合与实践 问题背景：如图，这是部分地区使用的太阳能烧水器，其原理是凹面镜的聚光技术．如图1，这是烧水器的截面示意图，平行的太阳光线和经过凹面镜的反射后，反射光线，交于一点P． 探索发现： (1)如图1，太阳光线平行，利用平行线的性质，把分成两部分进行研究，则，和之间存在的数量关系是______． (2)如图2，，点M，N分别在，上，点P是，之间，且位于右侧的任意一点，连接，，试探究，与之间的数量关系，并写出解答过程． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定和性质的应用． （1）过点作，由平行线的传递性得，由平行线的性质得，，进而可得； （2）由（1）得，然后结合邻补角的定义可得． 【详解】（1）解：如图，过点作， ∵， ， ，， ， ； （2）解：， 理由： 由（1）得， ， ． 45．（24-25七年级下·河南周口·期末）课题学习：平行线的“等角转化”功能． 【阅读理解】如图1，已知点A是外一点，连接，求的度数． 阅读下面推理过程： 解：过点A作， 又， 【方法运用】 （1）如图2，已知，求的度数． 【解决问题】 （2）已知，点C在点D的右侧，，平分，平分，所在的直线交于点E，点E在与两条平行线之间． ①如图3，当点B在点A的左侧时，，求的度数． ②如图4，当点B在点A的右侧时，且，直接用含n的式子表示的度数． 【答案】（1）；（2）①，② 【分析】（1）过C作，根据平行线的性质得到，然后根据已知条件即可得到结论； （2）①过点E作，然后根据两直线平行内错角相等，即可求的度数； ②过点E作，由角平分线的定义可得，然后根据两直线平行内错角相等及同旁内角互补可得，即可解答． 此题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，熟知平行线的性质与判定定理是解题的关键． 【详解】解：（1）如图，过点C作， ， ， ， ， ， ； （2）①如图，过点E作， ， ， ， 平分， ， 平分， ， ； ②如图，过点E作， 平分，平分， ， ， ， ， ． 46．（24-25七年级下·河南省直辖县级单位·期末）如图，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键．解题时由邻补角定义得到与互补，再由与互补，利用同角的补角相等得到，利用同位角相等两直线平行得到 与平行，利用两直线平行同旁内角互补得到与互补，而与对顶角相等，由的度数求出的度数，进而求出的度数． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 47．（24-25七年级下·河南漯河·期末）数学社团的同学以“两条平行线，和一块含角的直角三角板（，）”为主题开展数学活动，已知点E，F中只有一个点落在直线和之间． (1)观察猜想：如图1，把三角板的角的顶点E，G分别放在，上，若，则的度数为________； (2)类比探究：如图2，把三角板的锐角顶点G放在上，且保持不动，绕点G顺时针转动三角板，若点E落在和之间，且AB与EF所夹锐角，则的度数为________； (3)解决问题：把三角板的锐角顶点G放在上，在绕点G顺时针旋转三角板的过程中，若（），请求出的度数． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，添加辅助线，利用平行线的判定与性质解题是关键． （1）根据平行线的性质直接求解即可； （2）过点E作，根据平行线的性质求得，再证明，求得，即可求得答案； （3）分点E在上方和下方两种情况讨论，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：，， ， ， ． 故答案为：． （2）解：过点E作， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． （3）解：设，则， 当点E在上方时， ， ， 解得， 当点E在下方时， ， ， 解得， 综上所述，的度数为或． 48．（24-25七年级下·河南三门峡·期末）如图所示，平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义．先证明，根据平分，求得，再根据平分线的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 49．（24-25七年级下·河南南阳·期末）如图，直线，直线与、分别交于点、，．小明将一个含角的直角三角板按如图①放置，使点、分别在直线、上，，． (1)填空：________； (2)若，的角平分线交直线于点． ①如图②，当时，求的度数； ②小明将三角板向左平移，直接写出的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1)90 (2)①；②的度数为或． 【分析】本题考查平移，平行线的性质，角平分线定义，熟练掌握平移的性质，平行线的性质，角平分线的定义是正确解答的关键． （1）根据平行线的性质得出即可； （2）①根据平行线的性质得出，根据，得出，根据角平分线定义得出，根据平行线的性质得出，即可求出求的度数； ②分两种情况进行讨论：当点在点左侧时，当点在点右侧时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解：如图①，过点P作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴； 故答案为：90； （2）解：①，， ， ， ， 是的角平分线， ， ， ， ， ； ②， ， 是的角平分线， ， ， 当点在点右侧时， ， ， ， ， ； 当点在点左侧时， ， ， ， ， 综上可知，的度数为或． 50．（24-25七年级下·河南濮阳·期末）如图，，点E，F分别在直线上，是直线之间的一点（点不在直线上），若，，则______（用，的代数式表示）． 【答案】或 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质．分两种情况结合平行线的判定和性质解答即可． 【详解】解：如图，过点P作， ∵， ∴， ∴，， ∴； 如图，过点P作， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴； 综上所述，或． 故答案为：或 51．（24-25七年级下·河南漯河·期中）空竹在中国有悠久的历史，明代《帝京景物略》一书中就记载了空竹的玩法和制作方法．抖空竹是靠四肢配合完成的运动项目，被誉为“中华传统体育文化的瑰宝”．2006年5月20日，抖空竹枝列入第一批国家级非物质文化遗产名录．小洛在观察抖空竹时发现，可以从运动员某一时刻的姿势中抽象出数学问题：如图，，，，则的度数为（　　）（提示：可过点画的平行线再计算．） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定及性质．过作，由平行线的性质得，由平行线的判定方法得，由平行线的性质得． 【详解】解：过作， ， ， ， ， ． 故选：D． 52．（24-25七年级下·河南郑州·期末）懂下面的推理过程，并填空（理由或数学式）． 中国汉字博大精深，方块文字智慧灵秀，奥妙无穷．如图（1）是一个“互”字，如图（2）是由图1抽象出的几何图形，其中，点在同一直线上，点在同一条直线上，且．求证：． 证明：如图（2），延长交于点P． ∵（已知）， （两直线平行，内错角相等）． 又______（已知）， （等量代换）． （同位角相等，两直线平行）． （______）． 又∵______（已知）， （两直线平行，同旁内角互补）． ∴______（同角的补角相等）． 【答案】∠GHD；两直线平行，同旁内角互补；；∠EFN=∠G 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据平行线的判定和性质，补齐各步骤的结论和推理依据即可． 【详解】证明：如图（2），延长交于点， （已知）， （两直线平行，内错角相等）， 又（已知）， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同旁内角互补）， 又（已知）， （两直线平行，同旁内角互补）， （同角的补角相等）． 故答案为：；两直线平行，同旁内角互补；；． 53．（24-25七年级下·河南濮阳·期末）如图，，点是边上一点，于点，点是上一点，连接，，求证：．完成下面证明过程并注明推理依据． 证明：∵（已知）， ∴（ ）， ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（ ）， ∴ （ ）， ∵（已知）， ∴ （等量代换）， ∴（ ）， ∴（ ）． 【答案】垂直定义；同位角相等，两直线平行；；；两直线平行，同位角相等；；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等 【分析】本题考查了垂直的定义，平行线的判定和性质，由垂直可得，即得，即得到，进而得到，即可得，再根据平行线的性质即可求证，掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 【详解】证明：∵（已知）， ∴（垂直定义）， ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等）， 故答案为：垂直定义；同位角相等，两直线平行；；；两直线平行，同位角相等；；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等． 54．（24-25七年级下·河南许昌·期末）完成下面的证明并在括号内填上推理的依据． 如图，已知，，垂足分别为H，F，． 求证：． 证明：∵，（   ）， ∴，（   ）， 即． ∴（   ）． ∴_____（   ）． ∵（已知）， ∴_______（   ）． ∴（   ）． ∴（   ）． 【答案】已知；垂直的定义；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；；同角的补角相等；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等 【分析】本题考查了垂直的定义，平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．本题根据垂直的定义，平行线的判定定理与性质定理求证即可． 【详解】证明：∵，（已知）， ∴，（垂直的定义）， 即． ∴（同位角相等，两直线平行）． ∴（两直线平行，同旁内角互补）． ∵（已知）， ∴（同角的补角相等）． ∴（内错角相等，两直线平行）． ∴（两直线平行，同位角相等）． 故答案为：已知；垂直的定义；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；；同角的补角相等；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等． ( 地 城 考点 0 5 定义、命题、定理 ) 55．（24-25七年级下·河南焦作·期末）下列命题是真命题的是（   ） A．如果，，那么 B．相等的角是对顶角 C．若，则 D．正数与负数的和一定等于零 【答案】A 【分析】本题考查了命题的真假，根据平行线的传递性、对顶角的性质、乘方的意义、有理数的加法逐一分析各选项是否为真命题即可． 【详解】解：A．根据平行线的传递性，如果，，那么．该命题成立，故为真命题． B．对顶角相等，但相等的角未必是对顶角（如平行线中的同位角），故为假命题． C．方程的解为或，因此仅是其中一个解，命题结论不全面，故为假命题． D． 正数与负数的和不一定为零（如），仅当绝对值相等时和为0，故为假命题． 故选：A． 56．（24-25七年级下·河南驻马店·期末）命题“如果，则”是________命题．（填“真”或“假”） 【答案】假 【分析】本题主要考查了命题与定理的知识．举出反例判断该命题是假命题即可． 【详解】解：根据不等式的性质得：“如果，当时，则”， 故原命题为假命题， 故答案为：假． 57．（24-25七年级下·河南商丘·期末）下列命题中，是真命题的是（   ） A．同旁内角相等，两直线平行 B．过直线外一点作垂线 C．两直线平行，内错角相等 D．点到直线的距离是垂线段 【答案】C 【分析】本题考查了命题的真假，平行线的判定与性质，点到直线的距离． 逐一分析各选项的正确性即可． 【详解】解：A：同旁内角互补，两直线平行，原命题是假命题； B：过直线外一点作垂线，不是命题； C：两直线平行，内错角相等，原命题是真命题； D：点到直线的距离是垂线段的长度，原命题是假命题； 故选：C． 58．（24-25七年级下·河南周口·期末）下列命题中，是真命题的是（　　） A．同旁内角互补 B．0没有相反数 C．一条直线的垂线只有一条 D．任何实数的绝对值都是非负数 【答案】D 【分析】本题考查了命题的真假，根据平行线的性质，垂线的性质，相反数、绝对值的意义逐一分析各选项是否正确即可． 【详解】A．同旁内角互补需满足两直线平行，否则不成立，故A为假命题． B．0的相反数为0，存在相反数，故B为假命题． C．在平面内，一条直线的垂线有无数条，故C为假命题． D．绝对值表示到原点的距离，绝对值均，故D为真命题． 故选D． 59．（24-25七年级下·河南新乡·期末）下列命题中，是真命题的是（    ） A．两个锐角的和一定是钝角 B．如果，那么 C．同旁内角互补 D．是三条直线，若，，则 【答案】D 【分析】本题考查判断命题的真假，熟练掌握不等式的性质，平行线的判定与性质是解题的关键．根据角的和差，不等式的性质，平行线的判定与性质，逐一进行判断即可． 【详解】A、两个锐角的和可能是锐角，直角或钝角，故原命题为假命题； B、如果，那么，故原命题为假命题； C、同旁内角互补的前提是两直线平行，故同旁内角不一定互补，原命题为假命题； D、是三条直线，若，，则，为真命题，符合题意； 故选：D． 60．（24-25七年级下·河南安阳·期末）下列命题中，属于真命题的是（    ） A．相等的角是对顶角 B．若，则 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．若，，则 【答案】C 【分析】本题主要考查命题，逐一分析各选项的真伪，依据几何基本定理及代数反例进行判断． 【详解】解：A. 相等的角不一定是对顶角，例如平行线中的同位角相等，故A为假命题，不符合题意．   B. 取反例：若，满足，但，故B为假命题，不符合题意．   C. 根据平面几何基本定理，在同一平面内，过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直，故C为真命题，符合题意．   D. 平行于同一直线的两直线互相平行，因此，而非垂直，故D为假命题，不符合题意． 故选：C． 61．（24-25七年级下·河南三门峡·期末）下列命题中，真命题的个数有（    ） ①两个负数的积是正数；②如果，那么；③过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④时，钟面上的时针与分针所成的角是直角． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了真命题的判断，解题的关键是熟练掌握相关数学知识． 本题需要根据有理数乘法法则、立方根的性质、垂线的性质以及钟面角的计算方法，对每个命题进行分析判断． 【详解】①根据有理数乘法法则，两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． 因为两个数都是负数，同号相乘得正，所以两个负数的积是正数，该命题是真命题； ②如果，对等式两边同时开立方，可得，该命题是真命题； ③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，这里没有强调“在同一平面内”，在空间中过一点与已知直线垂直的直线有无数条，所以该命题是假命题； ④时，分针指向6，时针在3和4的正中间． 钟面—圈为，共被分成12个大格，每个大格的角度为． 此时时针与分针之间的夹角为2.5个大格，所以夹角为，不是直角，该命题是假命题． 综上，真命题有①②，共2个， 故选：C． 62．（24-25七年级下·河南商丘·期末）下列命题为假命题的个数有（    ） ①相等的角是对顶角；②两点之间，线段最短； ③同位角相等；④若，则． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题考查了真假命题的判定， 逐一判断四个命题的真假，统计假命题的个数即可． 【详解】解：对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角（例如平行线中的同位角或内错角），因此命题①为假命题， 两点之间，线段最短，这是几何公理，正确无误，命题②为真命题， 同位角相等的前提是两直线平行，若两直线不平行，同位角不相等，命题③为假命题， 由可得或，命题④为假命题， 所以假命题有三个． 故选：D． 63．（24-25七年级下·河南·期末）下列命题是真命题的是（     ） A．相等的角是对顶角 B．等角的补角相等 C．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】B 【分析】本题考查了对顶角、平行线的性质、补角，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 逐一分析各选项是否为真命题，结合几何基本概念进行判断． 【详解】解：A：相等的角不一定是对顶角，例如两角为同一角的补角时相等，但不是对顶角，故该选项不符合题意； B：等角的补角相等，若两角相等，则它们的补角均为减去该角，补角必相等，故该选项符合题意； C：只有当两条直线平行时，同位角才相等，否则不一定相等，故该选项不符合题意； D：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故该选项不符合题意． 故选：B． 64．（24-25七年级下·河南安阳·期末）下列命题是真命题的是（   ） A．0没有平方根 B．的算术平方根是－2 C．如果，那么 D．在同一平面内，经过直线上一点，有无数条直线与这条直线垂直 【答案】C 【分析】此题考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的定义、性质定理及判定定理．根据平方根的定义，实数的性质，垂线的性质逐项判断即可． 【详解】解：A、0的平方根为0，则原命题是假命题，不符合题意； B、的算术平方根是2，则原命题是假命题，不符合题意； C、如果，那么，则原命题是真命题，符合题意； D、在同一平面内，过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直，则原命题是假命题，不符合题意； 故选：C． 65．（24-25七年级下·河南商丘·期末）下列命题中，是假命题的是（   ） A．对顶角相等 B．有一条公共边，且互补的两个角互为邻补角 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线互相平行 【答案】B 【分析】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握对顶角相等及平行线判定的一般方法．根据对顶角、邻补角定义及平行线、垂线的性质逐项判断，即可求解． 【详解】A． 对顶角相等，符合几何性质，是真命题； B． 邻补角需满足“有公共边、另一边互为反向延长线且和为”．仅有公共边和互补不一定是邻补角（如不相邻的互补角），故为假命题； C． 同一平面内，过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直，符合垂线性质，是真命题； D． 同一平面内，垂直于同一直线的两直线互相平行，符合平行线判定，是真命题． 故选：B． ( 地 城 考点 0 6 平移 ) 66．（24-25七年级下·河南新乡·期末）如图，下列四个图案中，能用平移变换来分析其形成过程的是_____．（填序号） 【答案】①③④ 【分析】此题主要考查了利用平移设计图案，根据确定一个基本图案按照一定的方向平移一定的距离组成的图形就是经过平移得到的图形，进行解答即可． 【详解】解：①是由“基本图案”经过平移得到，故符合题意； ②不是由“基本图案”经过平移得到，故不合题意； ③是由“基本图案”经过平移得到，故符合题意； ④是由“基本图案”经过平移得到，故符合题意； 故答案为：①③④． 67．（24-25七年级下·河南商丘·期末）在下列生活现象中，属于平移现象的是（    ） A．小明在荡秋千 B．拉开抽屉 C．行驶中的车轮滚动 D．运动的钟摆 【答案】B 【详解】本题考查生活中的数学现象，熟记平移概念是解决问题的关键．平移是指物体上所有点沿同一方向移动相同距离，形状和大小不变，且无旋转，结合选项中描述的现象逐项判断即可得到答案． 【分析】解：A、荡秋千时，秋千绕固定点摆动，轨迹为圆弧，属于旋转而非平移，不符合题意； B、拉开抽屉时，抽屉整体沿直线移动，各点运动方向、距离相同，无旋转，属于平移，符合题意； C、行驶中的车轮滚动时，车轮绕轴旋转，各点轨迹为圆周运动，属于旋转非平移，不符合题意； D、钟摆绕支点往复摆动，轨迹为圆弧，属于旋转非平移，不符合题意； 故选：B． 68．（24-25七年级下·河南驻马店·期末）下列所示的图案分别是长安、雪铁龙、小鹏、东风风行汽车的车标，其中可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了图形平移的概念，熟练掌握图形平移中“图形的大小，形状和方向不变”是解决本题的关键． 根据图形平移的概念，即“图形平移是指在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的移动”，由此判断选项即可． 【详解】解：观察选项可知，B选项的车标可由平移得到， 经检验，A选项，C选项，D选项不可以由平移得到． 故选：B ． 69．（24-25七年级下·河南洛阳·期末）如图，在一块长为20米，宽为10米的长方形草地上，有两条宽都为1米的纵、横相交的小路，则这块草地的绿地面积为_____平方米． 【答案】171 【分析】本题考查了生活中的平移现象，先由平移得出路的宽度，再求出绿地的面积． 利用平移道路的方法得出草地的绿地面积，进而得出答案． 【详解】解：由图形可得，这块草地的绿地面积为：（平方米）． 故答案为：171． 70．（24-25七年级下·河南南阳·期末）如图，某住宅小区内有一块长方形空地，想在长方形空地内修筑同样宽的两条小路（图中阴影部分），余下部分绿化，小路的宽为，则两条小路的总面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了生活中的平移现象，这类题目体现了数形结合的思想，需利用平移把不规则的图形变为规则图形，进而即可列出方程，求出答案．利用平移把不规则的图形变为规则图形，如此一来，所有绿化面积之和就变为了平方米，进而即可求出答案． 【详解】解：利用平移可得，两条小路的总面积是： ． 故选：A． 71．（24-25七年级下·河南安阳·期末）下列甲骨文中，能用其中一部分平移得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平移，平移只改变位置，不改变大小，方向和形状，据此求解即可． 【详解】解：A、选项中的甲骨文不能用其中一部分平移得到，不符合题意； B、选项中的甲骨文不能用其中一部分平移得到，不符合题意； C、选项中的甲骨文不能用其中一部分平移得到，不符合题意； D、选项中的甲骨文能用其中一部分平移得到，符合题意； 故选：D． 72．（24-25七年级下·河南周口·期末）如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，三角形的顶点均在格点上．将三角形通过某种平移方式后得到三角形(A、B、C三点的对应点分别为、、)，已知点的坐标为． (1)画出平移后的三角形并写出点、的坐标； (2)若是三角形内部一点，平移后对应点的坐标为，求m、n的值． 【答案】(1)图见解析， (2) 【分析】本题主要考查作图-平移变换，掌握平移变换的性质是解题的关键． （1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点，然后顺次连接即可解答； （2）根据平移变换的性质构建方程组求解即可． 【详解】（1）解：如图，三角形即为所求，． （2）解：由题意，解得． 73．（24-25七年级下·河南许昌·期末）如图，在平面直角坐标系中，长方形的三个顶点坐标分别为，，． (1)直接写出点D坐标： ； (2)将长方形先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到长方形．画出平移后的图形，并写出四个顶点坐标； (3)两个长方形重叠部分的面积为 ． 【答案】(1) (2)图见解析；，，， (3)6 【分析】本题考查了平移作图，写出坐标系中点的坐标，网格中求长方形的面积，熟练掌握点的坐标平移是解题的关键． （1）直接根据题中坐标系即可得到答案； （2）分别将点、、、先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到对应点点、、、，再依次连接即可，最后根据图直接写出点的坐标即可； （3）根据（2）中的图形即可进行求解 【详解】（1）解：由图可知，点D坐标为； 故答案为：； （2）解：如图，长方形即为所求， 由图可知：，，，． （3）解：由（2）中图可知，两个长方形重叠部分的面积为． 故答案为：6． 74．（24-25七年级下·河南洛阳·期末）在科技飞速发展的今天，智能家居已经成为现代家庭的组成部分．如图是一款正方形的擦窗机器人正在擦拭一块长方形玻璃，建立如图所示的平面直角坐标系，正方形四个顶点的坐标分别是，，，．擦窗机器人的移动速度为每秒1个单位长度，它先向右平移5秒，再向上平移2秒，平移后四个顶点的对应点分别为，，，． (1)写出各点坐标：_____，_____，_____，_____； (2)画出正方形； (3)求在上述平移过程中，机器人所经过的区域的面积． 【答案】(1)；；；； (2)见解析 (3)18 【分析】本题主要考查了平移作图，求长方形的面积，根据平移求点的坐标，解题的关键是数形结合，熟练掌握平移的规律． （1）根据平移得出点，，，的坐标即可； （2）先描出点，，，，然后再顺次连接即可； （3）根据长方形面积公式求出结果即可． 【详解】（1）解：∵擦窗机器人的移动速度为每秒1个单位长度，先向右平移5秒，再向上平移2秒， ∴擦窗机器人先向右平移5个单位，再向上平移2个单位，平移后四个顶点的对应点分别为，，，， ∴，，，； 故答案为：；；；； （2）解：如图，正方形即为所求作的三角形； （3）解：在上述平移过程中，机器人所经过的区域的面积为： ． ( 地 城 考点 0 7 利用平移的性质求解 ) 75．（24-25七年级下·河南洛阳·期末）如图，在中，，，，，将沿方向平移，得到，连接，则下列结论：，；；四边形的周长是．其中结论正确的个数有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．根据平移的性质逐一判定即可． 【详解】解：将沿方向平移得到， ，，，故正确； ， ， ，故正确； 沿方向平移得到，，，， ，， 四边形的周长，故正确， 故选：D． 76．（24-25七年级下·河南周口·期末）如图，将沿方向平移得到，若的周长为，则四边形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平移的性质，解题的关键是：熟知平移的性质与周长的计算．根据平移的性质可得，即可以通过等量代换求出． 【详解】解：由题意得： 根据平移的性质得： ∴四边形的周长为： 故选：B． 77．（24-25七年级下·河南许昌·期末）如图，，将沿着边的方向平移到的位置，连接．若，，则的长为_______． 【答案】6 【分析】本题考查了图形的平移以及平行四边形的判定与性质． 由图形平移可得，由，求出的长，即可求解 ． 【详解】解：∵，将沿着边的方向平移到， ∴， ∵，，， ∴， 解得． 故答案为：6 ． 78．（24-25七年级下·河南信阳·期末）如图，将沿直线向右平移得到，连接，若的周长为10，四边形的周长为16，则平移的距离为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查平移的性质，根据平移性质得到平移距离，，再根据图形周长可求解． 【详解】解：∵将沿直线向右平移得到， ∴，， ∵的周长为10，四边形的周长为16， ∴，， ∴，则， ∴平移的距离为3， 故选：A． 79．（24-25七年级下·河南洛阳·期末）如图，在中，，将沿向右方向平移得到，若，则的长为_____． 【答案】6 【分析】本题考查图形平移的性质，平移前后对应边相等即可求解． 【详解】解∶ ∵沿向右方向平移得到，， ∴，， ∵， ∴， 故答案为∶6． 80．（24-25七年级下·河南南阳·期末）如图，将向右平移得到，如果的周长是，四边形的周长是，那么平移的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平移的性质，整体的思想．平移前后的图形对应线段平行且相等，对应点平移的方向相同，距离相等． 由平移的性质得，用四边形的周长减去周长，再除以2，即可得出结果． 【详解】解：∵将向右平移得到， ． ∵的周长是，四边形的周长是， ，， ． 由平移的性质得：， ，即：平移的距离为． 故选D． 81．（24-25七年级下·河南新乡·期末）如图所示，三角形的周长为16，将三角形沿射线向右平移个单位长度到三角形的位置，交于点．下列结论：①且；②三角形和三角形的周长和为16；③若，则四边形的周长为18；④四边形的面积四边形的面积，其中正确的有_______．（填序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查了图形平移的性质，根据平移的性质，经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等解答． 【详解】解：三角形沿射线向右平移个单位长度到三角形的位置， 根据平移的性质得到，故①正确； ∴， ∴三角形和三角形的周长和为，故②正确； 若，则，， ∴四边形的周长为，故③错误； ∵，，， ∴四边形的面积四边形的面积，故④正确； 综上所述，正确的有①②④， 故答案为：①②④ ． 82．（24-25七年级下·河南商丘·期末）如图，把直角梯形沿方向平移到梯形的位置，若，，，，则阴影部分的面积是______． 【答案】 【分析】本题考查了直角梯形，平移的性质． 根据平移的变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小可得梯形的面积等于梯形的面积，，从而得到阴影部分的面积等于梯形的面积，再求出的长，然后利用梯形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】解：由平移的性质得：梯形的面积梯形的面积，， ∴阴影部分的面积梯形的面积， ∵， ∴， ∴阴影部分的面积， 答：阴影部分面积是 故答案为：． 83．（24-25七年级下·河南南阳·期末）如图，将沿方向平移得到，，则的长是______． 【答案】2 【分析】本题考查了平移的性质．先求出，根据平移得到，即可求出的长． 【详解】解：∵， ∴， ∵将沿方向平移得到， ∴， ∴， 故答案为：． 84．（24-25七年级下·河南商丘·期中）如图，将长6，宽4的长方形先向右平移2个单位长度，再向下平移m个单位长度，得到长方形，若重合部分面积为长方形面积的，则m的值为_____． 【答案】1 【分析】本题考查平移的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．先求出长方形的面积，再根据平移后重合部分的长和宽与平移距离的关系，表示出重合部分的面积，然后根据重合部分面积是长方形面积的列出方程求解． 【详解】解：长方形的长为6，宽为4，根据长方形面积公式S=长×宽，可得长方形的面积为． 长方形向右平移2个单位长度，再向下平移m个单位长度．重合部分是一个长方形，它的长为，宽为，根据长方形面积公式，重合部分面积为． 已知重合部分面积为长方形面积的，长方形的面积为24， 所以重合部分面积为， 则可列出方程， 解得． 故答案为：1． 1 / 47 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $