专题02 实数（6大考点）（期末真题汇编，河南专用）七年级数学下学期

**基本信息** 河南多地市七年级下期末实数专题汇编，覆盖平方根、立方根等6大高频考点，融合数学文化、生活应用与新定义题型，适配期末复习与核心素养培养。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择|约20道|平方根性质（如无意义式子判断）、无理数识别（如π与根号数辨析）|结合地域期末真题，基础概念辨析与性质应用并重| |填空|约15道|立方根计算（如正方体棱长）、实数大小比较（如根号数估值）|融入生活情境（如电流热量公式求电流）、数学史（如华罗庚立方根速算）| |解答|约28道|实数混合运算、新定义运算（如“组合平方数”“差异数”）|设置分层任务，综合考查运算能力与创新思维（如跨学科物理公式应用、逻辑推理）|

专题02 实数 6大高频考点概览 考点01平方根 考点02立方根 考点03无理数 考点04实数的大小比较 考点05实数的混合运算 考点06 新定义下的实数运算 ( 地 城 考点 01 平方根 )1．（24-25七年级下·河南郑州·期末）在《实数》学习中，我们可以按如图1操作：把面积为1的两个小正方形沿着对角线剪开，将所得的四个直角三角形拼成如图所示的一个大正方形，它的边长为．可以参考这个方法，如图2操作：将长为3、宽为1的两个长方形沿着对角线剪开，将所得的4个直角三角形围成如图所示的正方形，则内部白色正方形的边长为___________． 2．（24-25七年级下·河南驻马店·期末）下列各式无意义的是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·河南信阳·期末）如果实数没有平方根，那么可以是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·河南驻马店·期末）满足方程的x的值为______． 5．（24-25七年级下·河南漯河·期末）电流通过导线时会产生热量，且满足，其中Q为产生的热量（单位：），I为电流（单位：），R为导线电阻（单位：），t为通电时间（单位：s）．若导线电阻为，通电导线产生的热量，则电路中的电流是________． 6．（24-25七年级下·河南许昌·期末）已知，，求的值． 7．（24-25七年级下·河南信阳·期末）定义一种新运算“*” ∶ 则中x的值为（   ） A．1 B． C．3 D． 8．（24-25七年级下·河南信阳·期末）某数学兴趣小组在学习“算术平方根”之后进行了拓展研究．新定义：对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“组合平方数”．例如：，，这三个数，，，其结果2，3，6都是整数，所以，，这三个数称为“组合平方数”． (1)，，这三个数是“组合平方数”吗？请说明理由． (2)若三个数，m，是“组合平方数”，其中有两个数乘积的算术平方根为10，求m的值． (3)写出两组含有的“组合平方数”． 9．（24-25七年级下·河南安阳·期末）若一个正数的两个平方根分别是和，那么_____． 10．（24-25七年级下·河南濮阳·期末）的平方根是（    ） A．2 B． C． D． 11．（24-25七年级下·河南洛阳·期末）亩是中国传统土地面积单位，具有悠久的历史，1亩平方米．根据下列表格中的数据，面积为1亩的正方形土地，估计它的边长所在范围是（   ）米． A． B． C． D． ( 地 城 考点 02 立方根 ) 12．（24-25七年级下·河南许昌·期末）计算：_________． 13．（24-25七年级下·河南郑州·期末）下列式子正确的是（　　） A． B． C． D． 14．（24-25七年级下·河南信阳·期末）一个正方体纸盒的体积为，则其棱长是________． 15．（24-25七年级下·河南许昌·期末）已知，，，则______． 16．（24-25七年级下·河南安阳·期末）与相等的数是（   ） A． B．9的平方根 C．的立方根 D．的算术平方根 17．（24-25七年级下·河南信阳·期末）下列说法正确的是（   ） A．的平方根是 B．5的立方根是 C．的算术平方根是2 D．没有立方根 18．（24-25七年级下·河南安阳·期末）下列说法正确的是（    ） A．4的平方根是2 B．没有平方根 C．的算术平方根是 D．6的立方根是 19．（24-25七年级下·河南安阳·期末）下列各式中运算正确的是（   ） A． B． C． D． 20．（24-25七年级下·河南开封·期末）下列说法正确的是（    ） A．是5的一个平方根 B．的立方根是 C．的平方根是 D．的算术平方根是 21．（24-25七年级下·河南许昌·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 22．（24-25七年级下·河南濮阳·期末）如图是一个正方体的魔方，它由27个大小完全相同的小正方体组成．魔方的体积是，则一个小正方体的棱长是（    ） A． B． C． D． 23．（24-25七年级下·河南洛阳·期末）的相反数是_____． 24．（24-25七年级下·河南洛阳·期末）据说，我国著名的数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求出它的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座乘客很惊讶，忙问计算的奥妙．华罗庚是这样计算的： ①由，从而得出59319的立方根是一个两位数； ②由59319的个位数字是9，从而确定59319的立方根的个位数字是9； ③若划去59319后面的三位数319得到数59，而，从而确定59319的立方根的十位数字是3． 请你按照上面的方法确定110592的立方根为______．（说明：若，则a叫做b的立方根） 25．（24-25七年级下·河南许昌·期末）已知的算术平方根是3，的立方根是2． (1)求a，b的值； (2)求的平方根． 26．（24-25七年级下·河南新乡·期末）已知一个正数m的两个平方根分别为和，是的立方根． (1)求的值． (2)求的平方根． ( 地 城 考点 0 3 无理数 ) 27．（24-25七年级下·河南周口·期末）相传，古希腊有一个叫希帕索斯的门徒发现：边长为1的正方形的对角线的平方等于2，这个求对角线的长度是以前从来没有见过的数，它既不循环，又是无穷尽的，这个数就是今天我们所说的无理数．下列各数是无理数的是（　　） A． B．3.1 C．0 D． 28．（24-25七年级下·河南省直辖县级单位·期末）在实数，，，中无理数共有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 29．（24-25七年级下·河南许昌·期末）下列四个数中，是无理数的是（    ） A．0 B． C． D．1.666…… 30．（24-25七年级下·河南信阳·期末）下列各数中，无理数是（    ） A． B． C． D． 31．（24-25七年级下·河南商丘·期末）在实数、 、 、中，是无理数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 32．（24-25七年级下·河南安阳·期末）下列实数中，是无理数的为（   ） A． B． C． D． 33．（24-25七年级下·河南濮阳·期末）下列各数是无理数的是（    ） A． B． C． D． 34．（24-25七年级下·河南周口·期末）下列四个数中，是无理数的是（    ） A． B． C． D． 35．（24-25七年级下·河南洛阳·期中）实数：，，，，，...（相邻两个一之间多个0），其中无理数有（    ）个. A．1 B．2 C．3 D．4 36．（24-25七年级下·河南郑州·期末）我们知道是一个无理数，用四舍五入法把的结果保留一位小数为（　　） A． B． C． D． 37．（24-25七年级下·河南新乡·期末）已知：且的立方根是它本身，的算术平方根是3． (1)直接写出： ， ； (2)求的平方根； (3)若的整数部分是，小数部分是，求的值． 38．（24-25七年级下·河南三门峡·期末）如图，将面积分别为10和5的正方形纸片的一条边落在数轴上，一个顶点与原点重合，其另一个顶点分别在数轴上的点和点处． (1)点表示的数为___________；点表示的数为___________． (2)请你阅读以下材料，并完成作答： ， ． 的整数部分为2，小数部分为． 根据以上材料可得点所表示数的整数部分为___________，小数部分为___________． (3)已知是整数，，且，求的值． 39．（24-25七年级下·河南开封·期末）阅读与思考： ，即 的整数部分为1 设的小数部分为 则 即的小数部分为． 解答下列问题： (1)的整数部分是________，小数部分是________； (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； 40．（24-25七年级下·河南周口·期末）在数学中，我们可以通过区间估计法估算一个无理数的近似值．例如： ，即， 的整数部分为2， 的小数部分为． (1)求的整数部分和小数部分． (2)已知的立方根是的算术平方根是是的整数部分，求的平方根． ( 地 城 考点 0 4 实数的大小比较 ) 41．（24-25七年级下·河南许昌·期末）比较大小：_______． 42．（24-25七年级下·河南驻马店·期末）下列实数中，最小的是（   ） A． B． C．0 D． 43．（24-25七年级下·河南新乡·期末）比较大小：______．（填“”“”或“”） 44．（24-25七年级下·河南漯河·期末）在实数，0，中，最小的一个是（   ） A．0 B． C． D． 45．（24-25七年级下·河南三门峡·期末）下列数据中，最小的实数是（   ） A． B． C． D．0 ( 地 城 考点 0 5 实数的混合运算 ) 46．（24-25七年级下·河南郑州·期末）（1）计算：         （2）解方程组： 47．（24-25七年级下·河南信阳·期末）（1）计算：； （2）解方程组： 48．（24-25七年级下·河南商丘·期末）（1）计算：； （2）解方程组：； （3）解方程组：． 49．（24-25七年级下·河南驻马店·期末）计算下列方程： (1)； (2) 50．（24-25七年级下·河南信阳·期末）（1）计算：； （2）解方程组：． 51．（24-25七年级下·河南商丘·期末）（1）计算：； （2）已知，求x的值． 52．（24-25七年级下·河南周口·期末）计算： 53．（24-25七年级下·河南新乡·期末）（1）计算：． （2）求式中的值：． 54．（24-25七年级下·河南新乡·期末）（1）计算： （2）解方程组： 55．（24-25七年级下·河南商丘·期末）（1）计算： （2）求的值： 56．（24-25七年级下·河南安阳·期末）（1）计算： （2）解方程组： 57．（24-25七年级下·河南三门峡·期末）（1）计算：； （2）求不等式的正整数解． 58．（24-25七年级下·河南信阳·期末）（1）计算∶ ； （2）解不等式 ，并把它的解集在数轴上表示出来． 59．（24-25七年级下·河南信阳·期末）计算： (1)； (2)解方程组：． 60．（24-25七年级下·河南商丘·期末）（1）计算：；     （2）解方程组：． ( 地 城 考点 0 6 新定义下的实数运算 ) 61．（24-25七年级下·河南信阳·期末）定义：如果一个数的平方等于记为：这个数i叫作虚数单位，则，…… 化简：______． 62．（24-25七年级下·河南许昌·期末）对于任意实数a，b，c，d，规定．若x，y满足，，则的值为（   ） A． B．3 C．6 D．13 63．（24-25七年级下·河南开封·期末）定义：对任意一个两位数，如果满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“差异数”．将一个“差异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为． 例如：，对调个位数字与十位数字得到新两位数21，新两位数与原两位数的和为，和与11的商为，所以． 根据以上定义，回答下列问题： (1)填空： ①下列两位数：60，66，63中，“差异数”为_____； ②计算：_____； (2)如果一个“差异数”的十位数字是，个位数字是，且，求这个“差异数”的十位数字． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 实数 6大高频考点概览 考点01平方根 考点02立方根 考点03无理数 考点04实数的大小比较 考点05实数的混合运算 考点06 新定义下的实数运算 ( 地 城 考点 01 平方根 )1．（24-25七年级下·河南郑州·期末）在《实数》学习中，我们可以按如图1操作：把面积为1的两个小正方形沿着对角线剪开，将所得的四个直角三角形拼成如图所示的一个大正方形，它的边长为．可以参考这个方法，如图2操作：将长为3、宽为1的两个长方形沿着对角线剪开，将所得的4个直角三角形围成如图所示的正方形，则内部白色正方形的边长为___________． 【答案】 【分析】本题考查图形的拼剪，算术平方根的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．根据大正方形面积空白部分面积个直角三角形的面积，通过计算得出，再开方，即可得出答案． 【详解】解：大正方形面积为，空白部分面积为， 根据题意得：，即， ∴（负值舍去）， 故答案为：． 2．（24-25七年级下·河南驻马店·期末）下列各式无意义的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平方根，根据平方根的定义，在实数范围内，被开方数必须是非负数，否则无意义．逐一分析各选项的被开方数即可判断． 【详解】选项A：，被开方数为，是负数，故无意义． 选项B：，被开方数为，有意义． 选项C：，被开方数为，非负，有意义． 选项D：，被开方数为，非负，有意义． 故选：A． 3．（24-25七年级下·河南信阳·期末）如果实数没有平方根，那么可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查平方根的性质，掌握只有非负数有平方根，负数没有平方根是解题关键． 利用乘方、绝对值的性质及去括号法则逐一化简各选项，根据只有非负数有平方根，负数没有平方根即可得答案． 【详解】解：A、∵，∴没有平方根，故此选项符合题意． B、∵，∴有平方根，故此选项不符合题意． C、∵，∴有平方根，故此选项不符合题意． D、∵，∴有平方根，故此选项不符合题意． 故选：A． 4．（24-25七年级下·河南驻马店·期末）满足方程的x的值为______． 【答案】3或/或3 【分析】本题考查了利用平方根解方程． 先整理得到，则或，计算即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴或 ∴或． 故答案为：或3． 5．（24-25七年级下·河南漯河·期末）电流通过导线时会产生热量，且满足，其中Q为产生的热量（单位：），I为电流（单位：），R为导线电阻（单位：），t为通电时间（单位：s）．若导线电阻为，通电导线产生的热量，则电路中的电流是________． 【答案】3 【分析】本题考查了二次根式的实际应用，解题关键是列出方程式． 依据，将值分别代入即可得出，再根据二次根式求出I的值并将负值舍去，即可得出答案． 【详解】解：由题意可得，，， ∴， ∴， （负值舍去） ∴电流的值是3A． 故答案为：3． 6．（24-25七年级下·河南许昌·期末）已知，，求的值． 【答案】55 【分析】本题考查了二次根式的定义，求代数式的值，根据算术平方根的被开数非负求出x的值是解题的关键．根据算术平方根的定义得出，解不等式即可求解． 【详解】解：由题意，得，， ∴， ∴. ∴. ∵， ∴， ∴， ∴．. 7．（24-25七年级下·河南信阳·期末）定义一种新运算“*” ∶ 则中x的值为（   ） A．1 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查新定义，根据新定义运算的规则，将已知条件代入，转化为一元二次方程，运用平方根求解即可． 【详解】解：根据定义，运算“*”的规则为， ∵， ∴， 解得： 故选：D． 8．（24-25七年级下·河南信阳·期末）某数学兴趣小组在学习“算术平方根”之后进行了拓展研究．新定义：对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“组合平方数”．例如：，，这三个数，，，其结果2，3，6都是整数，所以，，这三个数称为“组合平方数”． (1)，，这三个数是“组合平方数”吗？请说明理由． (2)若三个数，m，是“组合平方数”，其中有两个数乘积的算术平方根为10，求m的值． (3)写出两组含有的“组合平方数”． 【答案】(1)，，这三个数是“组合平方数”，理由见解析 (2)m的值为 (3)，，；，，（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了新定义，解题关键是能够熟练理解新定义的含义． （1）先分别求出这三个数两两乘积的算术平方根，然后根据已知条件中的新定义，进行判断即可； （2）根据两个数乘积的算术平方根为，求出这两个数的乘积，列出关于m的方程，解之可得； （3）根据“组合平方数”的定义，写出一组“组合平方数”． 【详解】（1）解：，，这三个数是“组合平方数”．理由如下． ∵，，， ∴，，这三个数是“组合平方数”． （2）解：∵三个数，m，是“组合平方数”，其中有两个数乘积的算术平方根为， ∴，，都是整数． ∴或． ∴或（不合题意，舍去）． 当时，这三个数，，是“组合平方数”． 综上所述，m的值为． （3）解：两组含有的“组合平方数”为：，，或，，（答案不唯一） 故答案为：，，或，，（答案不唯一）． 9．（24-25七年级下·河南安阳·期末）若一个正数的两个平方根分别是和，那么_____． 【答案】196 【分析】本题考查平方根，理解平方根的定义是正确解答的前提． 根据平方根的定义求出x的值，再求出和的值，进而得出a的值． 【详解】解：由平方根的定义得，， 解得， ∴，， ∴这个正数a为． 故答案为：196． 10．（24-25七年级下·河南濮阳·期末）的平方根是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求一个数的平方根，先计算的值，再求其平方根，根据平方根的定义，正数的平方根有两个，互为相反数，进行作答即可． 【详解】解：， ∴4的平方根是， 故选：C 11．（24-25七年级下·河南洛阳·期末）亩是中国传统土地面积单位，具有悠久的历史，1亩平方米．根据下列表格中的数据，面积为1亩的正方形土地，估计它的边长所在范围是（   ）米． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查算术平方根，通过比较表格中不同边长对应的面积与1亩的面积（平方米），确定边长的范围即可． 【详解】解：由表可知，当时，， 当时，， 因， 故边长应在至之间， 故选：C． ( 地 城 考点 02 立方根 ) 12．（24-25七年级下·河南许昌·期末）计算：_________． 【答案】1 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，立方根．先计算和，再求它们的和，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：1 13．（24-25七年级下·河南郑州·期末）下列式子正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平方根与立方根的概念及运算．根据平方根与立方根的定义，逐一判断各选项的正确性即可． 【详解】解：A、，本选项不符合题意； B、，本选项符合题意； C、，本选项不符合题意； D、，本选项不符合题意； 故选：B． 14．（24-25七年级下·河南信阳·期末）一个正方体纸盒的体积为，则其棱长是________． 【答案】 【分析】此题是考查立方根的应用，会求一个数的立方根是解题的关键． 根据正方体的体积公式即可求出棱长． 【详解】解：设正方体的棱长为， ∴ ∴ 即棱长是． 故答案为：． 15．（24-25七年级下·河南许昌·期末）已知，，，则______． 【答案】 【分析】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的小数点移动规律是解题的关键．根据立方根的小数点就向左移动一位，其被开方数小数点向左移动三位即可求出的值． 【详解】解：∵，， ， 故答案为：． 16．（24-25七年级下·河南安阳·期末）与相等的数是（   ） A． B．9的平方根 C．的立方根 D．的算术平方根 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方根、算术平方根、立方根的定义，要注意一个正数的平方根有两个，其中正的为算术平方根；熟练掌握算术平方根、平方根和立方根的定义是解题的关键．本题先根据算术平方根、平方根和立方根的定义进行求解，再逐一比对即可． 【详解】解计算原式：． A：，包含和，与原式仅为不符，故本选项不符合题意； B：9的平方根为，与原式仅为不符，故本选项不符合题意； C：，的立方根为，与原式相等，故本选项符合题意； D：负数无算术平方根，此选项无意义，故本选项不符合题意． 故选：C． 17．（24-25七年级下·河南信阳·期末）下列说法正确的是（   ） A．的平方根是 B．5的立方根是 C．的算术平方根是2 D．没有立方根 【答案】B 【分析】本题考查了平方根、算术平方根和立方根．根据平方根、算术平方根和立方根的概念进行判断即可． 【详解】解：A、的平方根是，原说法错误，故此选项不符合题意； B、5的立方根是，正确，故此选项符合题意； C、，2的算术平方根是，原说法错误，故此选项不符合题意； D、的立方根是，原说法错误，故此选项不符合题意； 故选：B． 18．（24-25七年级下·河南安阳·期末）下列说法正确的是（    ） A．4的平方根是2 B．没有平方根 C．的算术平方根是 D．6的立方根是 【答案】B 【分析】本题考查的是算术平方根、平方根和立方根的定义和性质，根据平方根、算术平方根及立方根的定义逐一判断各选项的正误． 【详解】解：A. 4的平方根是，故A错误； B. 负数没有平方根，是负数，因此没有平方根，故B正确； C. ，3的算术平方根是3，故C错误； D. 6的立方根是，故D错误． 故选：B． 19．（24-25七年级下·河南安阳·期末）下列各式中运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查立方根，算术平方根，平方根的运算，需根据平方根，算术平方根和立方根的定义逐一判断各选项的正确性． 【详解】解：A、，立方根，因此，计算正确； B、，平方根表示算术平方根，结果为非负数，即，而是平方根的两个解，故选项错误； C、，被开方数为，算术平方根，结果应为正数，选项错误； D、，计算，立方根，结果应为负数，选项错误， 故选：A ． 20．（24-25七年级下·河南开封·期末）下列说法正确的是（    ） A．是5的一个平方根 B．的立方根是 C．的平方根是 D．的算术平方根是 【答案】A 【分析】本题考查平方根、立方根及算术平方根，根据平方根、立方根及算术平方根的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、是5的一个平方根，正确； B、的立方根是，原说法错误，不符合题意； C、的平方根是，原说法错误，不符合题意； D、的算术平方根是，原说法错误，不符合题意； 故选A． 21．（24-25七年级下·河南许昌·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根和立方根，，据此求解即可． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C：，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 22．（24-25七年级下·河南濮阳·期末）如图是一个正方体的魔方，它由27个大小完全相同的小正方体组成．魔方的体积是，则一个小正方体的棱长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查立方根的应用，先求出一个小立方体的体积，再求出棱长即可． 【详解】解：一个小正方体的体积为：， 所以，小立方体的棱长为， 故选：B． 23．（24-25七年级下·河南洛阳·期末）的相反数是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了求一个数的相反数，立方根定义，先求出，然后根据相反数定义求出结果即可． 【详解】解：∵， ∴的相反数是． 故答案为：． 24．（24-25七年级下·河南洛阳·期末）据说，我国著名的数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，希望求出它的立方根．华罗庚脱口而出：39．邻座乘客很惊讶，忙问计算的奥妙．华罗庚是这样计算的： ①由，从而得出59319的立方根是一个两位数； ②由59319的个位数字是9，从而确定59319的立方根的个位数字是9； ③若划去59319后面的三位数319得到数59，而，从而确定59319的立方根的十位数字是3． 请你按照上面的方法确定110592的立方根为______．（说明：若，则a叫做b的立方根） 【答案】48 【分析】本题主要考查了乘方运算，立方根的意义，本题是阅读型，熟练掌握题干中的方法和立方根的意义是解题的关键． 利用题干中的方法分步解答即可． 【详解】解：∵，从而得出110592的立方根是一个两位数； 又∵110592的个位数字是2，从而确定110592的立方根的个位数字是8； 划去110592后面的三位数592得到数110，而，，从而确定110592的立方根的十位数字是4． ∴110592的立方根为48． 故答案为：48． 25．（24-25七年级下·河南许昌·期末）已知的算术平方根是3，的立方根是2． (1)求a，b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了算术平方根、立方根、平方根的定义，熟练掌握相关定义是解题关键． （1）先根据算术平方根、立方根的定义列出关于的方程，解方程，即可求解； （2）将、代入，再根据平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得， ． （2）解：当，时，， 所以的平方根是． 26．（24-25七年级下·河南新乡·期末）已知一个正数m的两个平方根分别为和，是的立方根． (1)求的值． (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平方根，立方根．熟练掌握一个正数的两个平方根互为相反数是解题的关键． （1）根据一个正数的两个平方根互为相反数，可算出a值，即可求出m值，根据立方根的定义求出n值； （2）运用（1）中求出的m，n的值，根据平方根定义计算即得． 【详解】（1）解：∵一个正数m的两个平方根分别是和， ∴， ∴， ∴， ∵是的立方根， ∴ （2）解：∵， ∴． ( 地 城 考点 0 3 无理数 ) 27．（24-25七年级下·河南周口·期末）相传，古希腊有一个叫希帕索斯的门徒发现：边长为1的正方形的对角线的平方等于2，这个求对角线的长度是以前从来没有见过的数，它既不循环，又是无穷尽的，这个数就是今天我们所说的无理数．下列各数是无理数的是（　　） A． B．3.1 C．0 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了无理数的定义，根据无理数的定义，无限不循环小数称为无理数，需判断各选项是否为整数、有限小数、无限循环小数或开方不尽的数． 【详解】A、是分数，可化为无限循环小数，属于有理数，不符合题意； B、3.14是有限小数，属于有理数，不符合题意； C、0是整数，属于有理数，不符合题意； D、，因5不是完全平方数，其平方根无法表示为整数或分数，属于无限不循环小数，故为无理数，符合题意； 故选：D． 28．（24-25七年级下·河南省直辖县级单位·期末）在实数，，，中无理数共有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查无理数的定义，无理数就是无限不循环小数，其中初中范围内学习的无理数有：、等；开方开不尽的数；像这样有规律的无限不循环小数，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据无理数的定义，逐个实数进行判断即可． 【详解】解：，是整数，它们不是无理数； ，是无限不循环小数，它们是无理数，共2个； 故选：B． 29．（24-25七年级下·河南许昌·期末）下列四个数中，是无理数的是（    ） A．0 B． C． D．1.666…… 【答案】B 【分析】本题主要考查了无理数的定义，掌握无理数的定义是解题的关键．根据无理数的定义，判断各选项是否为无限不循环小数或无法表示为整数比的数． 【详解】A、0是整数，属于有理数，不符合题意； B、是无限不循环小数，无法表示为两个整数的比，因此是无理数，符合题意； C、是分数，可以表示为整数1和7的比，属于有理数，不符合题意； D、1.666……是无限循环小数（即1.6的循环），可化为分数，属于有理数，不符合题意； 故选：B． 30．（24-25七年级下·河南信阳·期末）下列各数中，无理数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了无理数，算术平方根，立方根， 根据无理数的定义，判断各选项是否为无限不循环小数或不能表示为整数比的数． 【详解】选项A：是无理数， 选项B：，是整数，属于有理数． 选项C：是分数形式，属于有理数． 选项D：是无限循环小数，可表示为，属于有理数． 综上，只有选项A为无理数． 故选：A． 31．（24-25七年级下·河南商丘·期末）在实数、 、 、中，是无理数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了无理数．理解无理数的定义是解题的关键． 无理数，也称为无限不循环小数．根据无理数的特点进行判断即可． 【详解】解： 是分数，分数属于有理数，所以是有理数； ，3是整数，整数属于有理数，所以3是有理数； 是一个无限不循环小数，根据无理数的定义，是无理数； ，2是整数，整数属于有理数，所以是有理数； 综上所述，在实数、 、 、中，是无理数的有1个， 故选A． 32．（24-25七年级下·河南安阳·期末）下列实数中，是无理数的为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了无理数的识别，根据无理数的定义，判断各选项是否为无限不循环小数或无法表示为整数之比． 【详解】A．是分数，属于有理数； B．，是整数，属于有理数； C．是整数，属于有理数； D．是无限不循环小数，不能表示为分数，属于无理数． 故选D． 33．（24-25七年级下·河南濮阳·期末）下列各数是无理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了无理数，无限不循环小数是无理数，据此判断即可求解，掌握无理数的定义是解题的关键． 【详解】解：、是有限小数，属于有理数，该选项不合题意； 、是无理数，该选项符合题意； 、是分数，属于有理数，该选项不合题意； 、是整数，属于有理数，该选项不合题意； 故选：． 34．（24-25七年级下·河南周口·期末）下列四个数中，是无理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了立方根，无理数的定义，无限不循环小数为无理数， 首先计算，然后根据无理数的定义求解即可． 【详解】解：， ∴是无理数的是． 故选：C． 35．（24-25七年级下·河南洛阳·期中）实数：，，，，，...（相邻两个一之间多个0），其中无理数有（    ）个. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据无理数的定义（无限不循环小数），逐一判断各数是否为无理数． 本题考查了无理数，熟练掌握无理数的定义是解题的关键． 【详解】解： 1. 0：整数，属于有理数． 2. ：分数形式，是有理数． 3. ：开平方不尽的数，属于无限不循环小数，是无理数． 4. ：立方根，属于有理数． 5. ：圆周率，是无限不循环小数，属于无理数． 6. ：小数部分0的数量逐渐增加，无循环节，是无限不循环小数，属于无理数． 综上，无理数有、、，共3个， 故选：C． 36．（24-25七年级下·河南郑州·期末）我们知道是一个无理数，用四舍五入法把的结果保留一位小数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的估算．先确定，再根据四舍五入法保留一位小数即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴用四舍五入法把的结果保留一位小数为， 故选：B． 37．（24-25七年级下·河南新乡·期末）已知：且的立方根是它本身，的算术平方根是3． (1)直接写出： ， ； (2)求的平方根； (3)若的整数部分是，小数部分是，求的值． 【答案】(1)1，3 (2) (3) 【分析】本题考查了平方根、立方根、算术平方根的定义，无理数的整数部分和小数部分等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据立方根、算术平方根的定义即可求解； （2）根据平方根的定义即可求解； （3）通过估算确定无理数的整数部分和小数部分，代入即可求解． 【详解】（1）解：∵且的立方根是它本身， ， ∵的算术平方根是3， ∴， ， 故答案为：1，3． （2）， ， 的平方根为． （3）， ， ， ， 的整数部分为1，小数部分为， ， 则的值为． 38．（24-25七年级下·河南三门峡·期末）如图，将面积分别为10和5的正方形纸片的一条边落在数轴上，一个顶点与原点重合，其另一个顶点分别在数轴上的点和点处． (1)点表示的数为___________；点表示的数为___________． (2)请你阅读以下材料，并完成作答： ， ． 的整数部分为2，小数部分为． 根据以上材料可得点所表示数的整数部分为___________，小数部分为___________． (3)已知是整数，，且，求的值． 【答案】(1)， (2)2， (3) 【分析】本题考查了无理数的估算，实数与数轴，算术平方根的应用，已知字母的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据面积分别为10和5的正方形纸片，得边长为，再运用数形结合思想，即可作答． （2）模仿题干过程，则，即的整数部分为2，小数部分为，即可作答． （3）根据，有，即可得，代入进行计算即可． 【详解】（1）解：∵将面积分别为10和5的正方形纸片放在数轴上，使正方形的一条边恰好落在数轴上，一个顶点与原点重合，其另一个顶点分别在数轴上的点A和点B处． 则面积分别为10和5的正方形纸片的边长为． ∴ ∴点A表示的数为；点B表示的数为， 故答案为：，； （2）解：由（1）得点B表示的数为， ， ， 的整数部分为2，小数部分为． ∴点B所表示的数的整数部分为2，小数部分为； 故答案为：2，； （3）解： 是整数，， ， ． 39．（24-25七年级下·河南开封·期末）阅读与思考： ，即 的整数部分为1 设的小数部分为 则 即的小数部分为． 解答下列问题： (1)的整数部分是________，小数部分是________； (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； 【答案】(1)5， (2)0 【分析】本题考查了无理数的整数部分以及小数部分、即无理数的估算； （1）因为，得出的整数部分是，则的小数部分是，即可作答． （2）与（1）同理，求出，，再代入，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴的整数部分是，小数部分是， 故答案为：5，； （2）解：∵，， ∴，， 原式． 40．（24-25七年级下·河南周口·期末）在数学中，我们可以通过区间估计法估算一个无理数的近似值．例如： ，即， 的整数部分为2， 的小数部分为． (1)求的整数部分和小数部分． (2)已知的立方根是的算术平方根是是的整数部分，求的平方根． 【答案】(1)的整数部分为4， 小数部分为． (2) 【分析】本题考查了估算无理数的大小，立方根和算术平方根以及平方根的定义，审清题意掌握相关概念是解题的关键． （1）根据无理数的估算方法求解即可； （2）根据题意立方根和算术平方根的定义求出a、b的值，再仿照题意求出c的值，然后代入求其值，最后根据平方根的定义可得答案． 【详解】（1）解：（1）∵， ∴， ∴的整数部分为4， ∴的小数部分为． （2）解：∵的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴的整数部分是3， ∴， ∴， ∴的平方根是． ( 地 城 考点 0 4 实数的大小比较 ) 41．（24-25七年级下·河南许昌·期末）比较大小：_______． 【答案】> 【分析】本题考查了实数的大小比较，利用作差法比较实数的大小是解题的关键．利用作差法比较实数的大小即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：>． 42．（24-25七年级下·河南驻马店·期末）下列实数中，最小的是（   ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数的大小比较，比较四个实数的大小，先区分正负，负数小于正数，再比较负数中的最小值．两个负数比较大小，绝对值大的数反而小． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴最小的数是：． 故选：A． 43．（24-25七年级下·河南新乡·期末）比较大小：______．（填“”“”或“”） 【答案】< 【分析】本题考查了无理数的估算，不等式的性质，先由整理得，运用不等式的性质得，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：< 44．（24-25七年级下·河南漯河·期末）在实数，0，中，最小的一个是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数的大小比较． 直接比较大小作答即可． 【详解】解：∵， ∴最小的一个是， 故选：C 45．（24-25七年级下·河南三门峡·期末）下列数据中，最小的实数是（   ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】本题考查实数的大小比较．根据正数大于0，负数小于0，两个负数比较大小，绝对值大的反而小比较即可． 【详解】解：∵， ∴， 故最小的数为， 故选：A． ( 地 城 考点 0 5 实数的混合运算 ) 46．（24-25七年级下·河南郑州·期末）（1）计算：         （2）解方程组： 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，解二元一次方程组，熟练掌握二次根式的性质、绝对值的意义、立方根的定义，加减消元法解二元一次方程组的步骤，是解题的关键． （1）先根据二次根式的性质、绝对值的意义、立方根的定义进行化简，然后再进行计算即可； （2）用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】解：（1） ； （2）， ，得：，即， 将代入，得：， 解得：， 方程组的解为：． 47．（24-25七年级下·河南信阳·期末）（1）计算：； （2）解方程组： 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查立方根运算、去绝对值、有理数减法运算及消元法解二元一次方程组，熟练相关运算法则及消元法解二元一次方程组的方法步骤是解决问题的关键． （1）先计算算术平方根、立方根、绝对值，再由有理数减法运算求解即可得到答案； （2）由加减消元法解二元一次方程组即可得到答案． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：， 得：， 得：， 解得：， 把代入②得：， 解得：， 所以原方程组的解：． 48．（24-25七年级下·河南商丘·期末）（1）计算：； （2）解方程组：； （3）解方程组：． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了实数的计算和解二元一次方程组，解题关键是熟练掌握立方根与算术平方根的定义和解二元一次方程组的一般步骤． （1）根据立方根与算术平方根的定义和绝对值的性质进行计算即可； （2）把方程①代入②，消去y，求出x，再把x的值代入①，求出y即可； （3）把方程②×2得③，再把①-③消去y，求出x，最后把x的值代入②求出y即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）， ①代入②得： ， ， 把代入①得：， ∴方程组的解为：； （3）， 得：③， 得：， 把代入②得：， ∴方程组的解为：． 49．（24-25七年级下·河南驻马店·期末）计算下列方程： (1)； (2) 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算（含乘方、开方、绝对值）和二元一次方程组的解法．解题的关键是掌握实数运算的顺序和换元法简化方程组求解． （1）按 “先乘方开方，再加减” 的顺序计算，注意符号和绝对值的化简； （2）将方程组简化，然后用加减消元法求得方程组的解． 【详解】（1）解：原式 （2）解： 由①可得：③， 由②可得：④， ③④，可得，解得， 把代入③，可得，解得， ∴原方程组的解是 50．（24-25七年级下·河南信阳·期末）（1）计算：； （2）解方程组：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了实数的运算和解二元一次方程组． （1）根据乘方的意义、绝对值的性质、立方根的定义和二次根式的性质进行计算即可； （2）先把方程组化成一般形式，然后利用加减消元法求出方程组的解即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）方程组化简为：， ①②得：，解得：， 把代入①得：，解得：， 方程组的解为：． 51．（24-25七年级下·河南商丘·期末）（1）计算：； （2）已知，求x的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了算术平方根、立方根、平方根、实数的运算等知识点，灵活运用相关运算法则是解答本题的关键． （1）根据乘方、立方根、算术平方根分别化简，再合并即可； （2）先整体求得，然后再根据平方根的性质求得即可． 【详解】解：（1）原式． （2）， ∴， ∴， ∴． 52．（24-25七年级下·河南周口·期末）计算： 【答案】 【分析】先根据立方根、算术平方根的定义计算，再根据有理数的加法法则计算即可． 本题考查了实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】解： 53．（24-25七年级下·河南新乡·期末）（1）计算：． （2）求式中的值：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查实数的混合运算，利用立方根解方程，熟练掌握相关运算法则，立方根的定义，是解题的关键： （1）先化简，再进行加减运算即可； （2）利用立方根的定义解方程即可． 【详解】解：（1）原式； （2）， ， ， 解得：． 54．（24-25七年级下·河南新乡·期末）（1）计算： （2）解方程组： 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题考查了实数的混合运算，解二元一次方程组，熟练掌握其运算规则是解题的关键． （1）先计算立方根，算出算术平方根，化简绝对值，然后从左到右进行计算即可； （2）利用加减消元法解方程即可． 【详解】解：（1）原式 ． （2） ①，得③ ②③，得， 解得． 把代入①，得， 解得． 这个方程组的解是． 55．（24-25七年级下·河南商丘·期末）（1）计算： （2）求的值： 【答案】（1）1；（2） 【分析】本题主要考查了实数的运算，求立方根的方法解方程，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先计算立方根和算术平方根，再计算加减法即可得到答案； （2）先把方程两边同时开立方，再解一元一次方程即可得到答案． 【详解】解：（1）原式 ． （2）∵， ， ． 56．（24-25七年级下·河南安阳·期末）（1）计算： （2）解方程组： 【答案】（1）；（2） 【分析】此题考查了算术平方根，立方根，有理数的乘方和绝对值运算，解二元一次方程组，利用了消元的思想，解题的关键是利用代入消元法或加减消元法消去一个未知数． （1）首先计算算术平方根，立方根，有理数的乘方和绝对值运算，然后计算加减； （2）方程组利用加减消元法求解即可． 【详解】解：（1） ； （2） 由得，， 解得：， 将代入①得，， 解得：， ∴原方程组的解为． 57．（24-25七年级下·河南三门峡·期末）（1）计算：； （2）求不等式的正整数解． 【答案】（1）（2）正整数解为：1，2 【分析】本题主要考查了实数的运算，求一元一次不等式的整数解，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先计算乘方和算术平方根，再计算绝对值，最后计算加减法即可得到答案； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，进而求出对应的整数解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， ∴此不等式的正整数解为：1，2． 58．（24-25七年级下·河南信阳·期末）（1）计算∶ ； （2）解不等式 ，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】（1）；（2），数轴见解析． 【分析】本题主要考查了实数的运算，解一元一次不等式， 对于（1），根据，再计算即可； 对于（2），根据去分母，去括号，移项，合并同类项，在数轴上表示解集即可． 【详解】解：（1） ＝4﹣31 ．   （2）， 去分母，得， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 解集在数轴上表示如图： 59．（24-25七年级下·河南信阳·期末）计算： (1)； (2)解方程组：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查实数的混合运算和解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式根据立方根、绝对值和乘方的意义化简各项后再进行计算即可； （2）求出，把代入①得出，从而求出方程组的解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ①×2+②得： 解得 将代入①得： 解得， ∴方程组的解为：． 60．（24-25七年级下·河南商丘·期末）（1）计算：；     （2）解方程组：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了实数的运算，解二元一次方程组，熟练掌握实数的运算法则和解二元一次方程组的方法是解题的关键． （1）先化简绝对值，计算算术平方根，再进行加减计算； （2）利用代入消元法即可求解． 【详解】解：（1） ； （2） 由①得：， 将③代入②得：， 解得：， 将代入③得， ∴原方程组的解为：． ( 地 城 考点 0 6 新定义下的实数运算 ) 61．（24-25七年级下·河南信阳·期末）定义：如果一个数的平方等于记为：这个数i叫作虚数单位，则，…… 化简：______． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，规律型：数字的变化类，观察得出每4个数为一个循环组依次循环是解题的关键．观察可以发现，每4个数为一个循环组依次循环，然后用2025除以4，根据余数的情况，即可解答． 【详解】解：∵ ，，，… ∴每个数为一个循环组依次循环，且每个数之和为 ∴， ∴ 故答案为：． 62．（24-25七年级下·河南许昌·期末）对于任意实数a，b，c，d，规定．若x，y满足，，则的值为（   ） A． B．3 C．6 D．13 【答案】B 【分析】本题考查了解二元一次方程组，新定义的运算，理解题意，将两个方程转化为二元一次方程组，通过代入法求解x和y的值，再计算，即可作答． 【详解】解：依题意，， ， 把整理得， 再把代入， 得， ∴， 解得， 把代入，得， ∴， 故选：B． 63．（24-25七年级下·河南开封·期末）定义：对任意一个两位数，如果满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“差异数”．将一个“差异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，把这个新两位数与原两位数的和与11的商记为． 例如：，对调个位数字与十位数字得到新两位数21，新两位数与原两位数的和为，和与11的商为，所以． 根据以上定义，回答下列问题： (1)填空： ①下列两位数：60，66，63中，“差异数”为_____； ②计算：_____； (2)如果一个“差异数”的十位数字是，个位数字是，且，求这个“差异数”的十位数字． 【答案】(1)①63；②9 (2) 【分析】本题主要考查了新定义运算、一元一次方程的应用等知识点，用新定义的含义建立方程求解是解题的关键． （1）①根据新定义知63为“差异数”；②根据的计算方法求解即可； （2）根据新定义列方程求解即可． 【详解】（1）解：①两位数60，66，63中，“差异数”为63． 故答案为：63． ②． 故答案为：9． （2）解：∵，且， ∴， ∵， ∴，解得：． 1 / 39 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $