6.5.1直线与平面垂直（第2课时）课件-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

该高中数学课件聚焦空间距离（点面、线面、面面）及直线与平面所成角，通过复习直线与平面位置关系、线面垂直性质，以“斜线相交程度”问题衔接，搭建旧知到新知的学习支架。 其亮点是以三棱锥、正方体等典例为载体，通过推理证明（如线面距离转化为点面距离）和步骤化计算（求线面角三步法），发展数学思维（推理能力、运算能力）与数学语言（符号表达）。总结清晰，助力学生提升空间观念，教师可直接用于教学，提高效率。

作课人：廉文杰 北师大版（2019）高中数学 必修第二册 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 第六章 立体几何初步 第5节 垂直关系 5.1 直线与平面垂直 第2课时（共2课时） 1 学 习 目 标 目 标 重 点 难 点 1、理解直线与平面所成角的概念. 2、会求直线与平面所成角的大小. 3、会求简单的空间距离(点面距离、线面距离、面面距离). 1、会求直线与平面所成角的大小. 2、会求简单的空间距离. 1、理解直线与平面所成角的概念. 2 新 知 引 入 1、一条直线和一个平面的位置关系有：________、________、_____________。 线在面内 相交 平行 b α b α P b α 2、过一点有且只有__________直线与已知平面垂直. 一条 α M N 学 习 新 知 α M N 过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段， 垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离． 点到平面的距离 学 习 新 知 引例：如果一条直线平行一个平面，那么这条直线上各点到这个平面的距离相等。 l α A B E F β 过直线l上任意两点A,B分别作平面α的垂线，垂足分别为E,F. ∵AE⊥α,BF⊥α ∴AE____BF 设过直线AE,BF的平面为β，则β∩α=EF 由l∥α,得 l_____EF 所以四边形AEFB是_______________。 所以AE_____BF 即直线l上各点到平面α的距离相等。 ∥ ∥ 平行四边形 = 学 习 新 知 直线到平面的距离 如果一条直线与平面平行，那么这条直线上任意一点到平面的距离就是这条直线到这个平面的距离。 l α M N 学 习 新 知 M N α β 同理可证，当α∥β时，平面β内各点到平面α的距离相等。 平面到平面的距离 如果两个平面平行，一个平面内任意一点到另一个平面的距离称为这两个平行平面的距离。 注意：1、 2、 线面距离、面面距离都可转化为点面距离。 当线面不平行、面面不平行时，没有相应的距离。 典 例 引 路 例1、在三棱锥P-ABC中，△ABC是边长为3的等边三角形，PA⊥AC,PB⊥BC, PC=4，则点P到平面ABC的距离为__________. 解：PA⊥AC,PB⊥BC,PC=4，△ABC是边长为3的等边三角形， ∴ PA=PB= = 取AB的中点D，则PD⊥AB,CD⊥AB,PD = = ,CD = 又PD∩CD=D,PD,CD⊂平面PCD，∴AB⊥平面PCD， 在△PCD中，由余弦定理得cos∠PDC = = - ∴sin∠PDC = = 过点P作直线CD的垂线，垂足为G，则PG=PDsin∠PDC=2， 又PG⊂平面PCD，所以AB⊥PG， 又PG⊥CD,AD∩CD=D,AD,CD⊂平面ABC， ∴PG⊥平面ABC，即点P到平面ABC的距离为PG=2. 同 步 练 习 练1、三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=4,底面△ABC是等腰直角三角形，且AB=BC，顶点P到底面△ABC的距离为6，则点B到平面PAC的距离为___________. 解:如图所示，作AC中点为D，连接PD,BD，∵PA=PC，∴PD⊥AC，   又∵△ABC是等腰直角三角形，且AB=BC，∴BD⊥AC,DA=DB=DC， ∵PA=PB=PC，DA=DB=DC，PD是公共边，∴△PAD≌△PBD≌PCD， ∵∠PDA=∠PDB=∠PDC= ,∴PD⊥BD， ∵AC∩BD=D,AC⊂平面ABC，BD⊂平面ABC，∴PD⊥平面ABC. ∴PD为点P到底面ABC的距离，即PD=6. 在△PAD中，根据勾股定理AD==2,AC=4 ∵PD⊥BD，BD⊥AC，PD∩AC=D，PD⊂平面PAC，AC⊂平面PAC， ∴BD⊥平面PAC，∴ BD为点B到平面PAC的距离， 在等腰直角三角形△ABC中BD = AC = 2 典 例 引 路 例2、已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则直线A1B1到平面 ABC1D1的距离为________. 解:连结B1C，B1C与BC1交点为O，   ∵BCC1B1是正方形， ∴B1O⊥BC1， 又∵AB⊥平面BCC1B1，B1O⊂平面BCC1B1，∴ AB⊥B1O， 又∵AB∩BC1=B，AB,BC1⊂平面ABC1D1， ∴ B1O⊥平面ABC1D1， ∵ A1B1∥AB，A1B1⊄平面ABC1D1，AB⊂平面ABC1D1， ∴ A1B1∥平面ABC1D1， ∴ 直线A1B1到平面ABC1D1的距离为点B1到平面ABC1D1的距离， ∴ 直线A1B1到平面ABC1D1的距离为 B1O = B1C = 同 步 练 习 练2、在长方体ABCD-A1B1C1D1中，若AA1=7,AB=24，则直线B1C1到 平面A1BCD1的距离是___________. 解：∵B1C1∥BC，B1C1⊄面A1BCD1，BC⊂面A1BCD1， ∴B1C1∥面A1BCD1， 则直线B1C1到平面A1BCD1的距离，与点B1到平面A1BCD1的距离相等， 过B1作B1H⊥A1B于H， ∵BC⊥面ABB1A1，B1H⊂面ABB1A1，∴BC⊥B1H， 又A1B∩BC=B，A1B,BC⊂面A1BCD1，∴B1H⊥面A1BCD1， 又AA1=7,AB=24，则A1B==25 在Rt△A1B1B中，A1B·B1H=A1B1·B1B，得到B1H = ∴直线B1C1到平面A1BCD1的距离为. 新 知 引 入 3、过点M有且只有_________直线与平面垂直. 过点M有___________条直线与平面α相交但不垂直呢. α M 一条 无数 它们和平面相交的程度不一样，如何刻画这种程度呢？ 学 习 新 知 1、一条直线与一个平面相交， 但不与这个平面垂直， 这条直线叫做这个平面的___________. 2、斜线和平面的交点叫做__________． 3、过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和 斜足的直线叫做斜线在这个平面上的___________． 4、平面的一条斜线与它在平面上的投影所成的锐角，叫做_________________________________. 5、当直线与平面垂直时，它们所成的角是 . 当直线与平面平行或在平面内时，它们所成的角是 . 直线与平面所成的角的范围是：______________. 斜线 斜足 投影 这条直线和这个平面所成的角 P A O 90 [0 斜线与平面内的直线所成的角是不唯一的,而斜线与它在平面上的投影所成的角是唯一的,也是斜线与平面内的直线所成角中最小的一个. 注意： 学 习 新 知 求斜线与平面所成角的步骤 (1)作图：作(或找)出斜线在平面内的射影，作射影要过斜线上一点作平面的 垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位 置要与问题中已知量有关，才能便于计算． (2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角． (3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算． 典 例 引 路 例3、已知正方体ABCD-A1B1C1D1. （1）求D1A与底面ABCD夹角的大小； （2）设正方体的棱长为a，求D1B与底面ABCD夹角的余弦值。 解：（1）∵DD1⊥底面ABCD，∴∠D1AD是D1A与底面ABCD的夹角。 ∵侧面A1ADD1是正方形，∴∠D1AD=45° 即D1A与底面ABCD的夹角为45°. （2）连接BD，则BD=a ∵DD1⊥底面ABCD，∴∠D1BD是D1B与底面ABCD的夹角。同时DD1⊥DB. 在Rt△D1BD中，DD1=a,BD=a,D1B=a ∴cos∠D1BD = = = 即D1B与底面ABCD夹角的余弦值为 A B C D A1 B1 C1 D1 同 步 练 习 练3、如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．求直线BE 与平面ABB1A1所成的角的正弦值． 解：由图所示，取AA1的中点M，连接EM，BM， ∵E是DD1的中点，四边形ADD1A1为正方形，∴EM∥AD. 又在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AD⊥平面ABB1A1，∴EM⊥平面ABB1A1， ∴BM为直线BE在平面ABB1A1上的射影， ∠EBM即为直线BE与平面ABB1A1所成的角． 设正方体的棱长为2，则EM＝AD＝2，BE＝＝3. 于是在Rt△BEM中，sin∠EBM ＝ ＝ ， 即直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值为. 典 例 引 路 例4、如图所示,三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,PA=AB,则直线PB与 平面ABC所成角的度数为____________.  解:∵PA⊥平面ABC ∴斜线PB在平面ABC上的投影为AB, ∴∠PBA即为直线PB与平面ABC所成的角. 在△PAB中,∠BAP=90°,PA=AB, ∴∠PBA=45°, 即直线PB与平面ABC所成的角等于45°. 同 步 练 习 练4、如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面是边长为2的菱形， 且∠ABC=45º，PA=AB，则直线AP与平面PBC所成角的正切值为______． 解：作AE⊥BC于点E，连接PE. ∵PA⊥底面ABCD，BC⊂底面ABCD， ∴PA⊥BC， ∵AE∩AP=A，AE,AP⊂平面PAE， ∴BC⊥平面PAE， 故点A在平面PBC上的射影在直线PE上，故∠APE为所求的角． AE = ABsin45º = , tan∠APE = = P A B C D E 典 例 引 路 例5、已知一个正三棱台的上、下底面的边长分别为，2，高为， 则该三棱台的侧棱与底面所成角的正切值为________. 解：如图，正三棱台ABC-A1B1C1，且A1B1= ,AB=2 设该三棱台的上、下底面的中心分别为O1，O，则OO1= 在平面C1O1OC中，过C1作C1D⊥OC，垂足为D， 则C1D⊥平面ABC，且C1D = OO1 = , 且该三棱台的侧棱与底面所成的角为∠C1CD． ∵O1C1 = ×× = 1 ,OC = ×2× =2 ∴CD = OC-OD = OC-O1C1 = 1 ∴tan∠C1CD = = 同 步 练 习 练5、已知正三棱台ABC-A1B1C1的上、下底面的边长分别为3和6，AA1=3， 则直线AA1与平面ABC所成角的正弦值为________． 解:分别取上、下底面的中心，设为O,O1，连接AO,A1O1， 过A作AE⊥平面A1B1C1，垂足为E， 由正三棱台的性质可得，E在A1O1上，如图所示， 则四边形AOO1E为矩形，且AO = EO1 = 3× = 又A1O1 = 6× = 2,则A1E = A1O1-EO1 = ∴ AE = = 在Rt△A1AE中，sin∠AA1E = = 则直线AA1与平面A1B1C1所成角的正弦值为. 同 步 练 习 全 课 总 结 一、点到平面的距离 二、直线到平面的距离 三、平面到平面的距离 四、直线和平面所成的角 THANK YOU 谢谢！ 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 22 $