解答题77分强化训练(29)-2026届高考数学三轮冲刺

**基本信息** 聚焦高考高频解答题型，整合几何、数列、立几、解几、概率统计模块，通过递进式设问强化数学思维与应用意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |几何综合|2题|平面四边形证明与面积最值|结合平面几何性质与三角函数应用，体现几何直观| |数列与求和|2题|等比数列证明、错位相减求和及参数范围|从递推关系到概念生成，再到求和与不等式应用，强化推理能力| |立体几何|2题|折叠问题中平行证明及二面角计算|空间图形转化与空间向量工具应用，发展空间观念| |解析几何|2题|双曲线方程、斜率计算及切线证明|围绕标准方程构建直线与双曲线位置关系逻辑链| |概率统计|2题|条件概率、概率最值及递推数列证明|结合二项分布与数列推理，培养数据意识与数学表达|

解答题77分三轮冲刺保分强化训练(28) 第1组 (时间：75分钟分值：77分) 1．（2026·湖南衡阳·模拟预测）如图，在平面四边形ABCD中，，． (1)证明：； (2)当时，求四边形ABCD面积的最大值． 2．（2026·四川攀枝花·二模）已知数列的前项和为，，． (1)证明：是等比数列，并求出的通项公式： (2)求数列的前项和； (3)若，求的取值范围． 3．（2026·湖南衡阳·模拟预测）如图，在等腰梯形ABCD中，，且，E是CD的中点．将沿AE折起到的位置． (1)若为棱上动点，是AE的中点，证明． (2)若平面平面ABCE，求二面角的余弦值． 4．（2026·广西贵港·三模）双曲线的左顶点为，右焦点为，点是双曲线右支上的任意一点，且在第一象限，设直线与直线的交点为． (1)求双曲线的标准方程； (2)当三角形为直角三角形时，求直线的斜率； (3)证明：直线与三角形的外接圆相切． 5．（2026·江苏南通·三模）某企业生产的芯片独立出厂，每件芯片出现故障的概率为，正常的概率为.现对一批芯片开展批量抽样检测，连续抽取件芯片，记其中故障芯片的件数为随机变量. (1)连续抽取4件芯片，在至少出现2件故障芯片的条件下，求恰好出现3件故障芯片的概率； (2)当时，记恰好出现2件故障芯片的概率为.若对任意，恒有，求实数的最小整数值； (3)若始终满足，求证：对任意正整数，都有. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 第2组 (时间：75分钟分值：77分) 1．（2026·广西崇左·二模）在中，内角，，所对的边分别为，，，. (1)求的内角中最大的角的大小； (2)点在边上，且，若，的面积为6，求. 2．（2026·上海黄浦·三模）已知函数． (1)判断函数的奇偶性并说明理由； (2)当时，若存在，使得成立，求实数t的取值范围； 3．（2026·广西崇左·二模）如图，在四棱锥中，平面，，，，，点在棱上，且. (1)若，证明：平面. (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 4．（2026·辽宁大连·三模）已知双曲线的实轴长为2，两渐近线的夹角为． (1)求双曲线的方程． (2)当时，过点作斜率为的直线与交于两点，设左焦点为，记的斜率分别为，为轴上一定点． （ⅰ）证明：为定值； （ⅱ）记中点为，以为圆心，为半径的圆与另交于一点，的斜率为，若为定值，求的坐标，并求出的值． 5．（2026·上海·二模）班主任小明查阅了某大学发表的一项本市高三学生手机使用情况的研究报告.报告指出，高三学生每周手机使用时长（单位:小时）总体上服从正态分布. (1)小明老师将自己所带班级（共50名学生）视为从本市高三学生总体中随机抽取的一个样本，能以此正态分布模型估算出全班每周平均手机使用时长超过16小时的人数，在此估算基础上若在全班任选3位同学，则至少有2位同学的每周手机使用时长超过16小时的概率是多少?（结果用最简分数表示） 参考数据:若，则. (2)小明老师发现小虹同学每周手机使用时长超过16小时，对其进行疏导劝解，并跟进统计出之后5周小虹每周手机使用时长与该周数学练习得分（每周练习的难度相同且满分均为150分），制成表1.以这5组数据建立回归方程.请求出实数的值 表1 第1周 第2周 第3周 第4周 第5周 手机使用时长 20 18 22 16 14 练习得分 80 88 73 92 m (3)受到鼓励的小虹制定了寒假复习计划表递交给小明老师，严格控制手机使用时长.小明老师统计发现该计划表中若第n天能复习时长超过5小时（记为“高效复习”），则第天也能“高效复习”的概率为;若第天不能“高效复习”，则第天还能“高效复习”的概率为.设（，为正整数）表示第天能“高效复习”的概率，，若表示复习计划表第天有效.求证:数列是等比数列，并说明小虹的该复习计划表是否在寒假每一天均有效. $ 解答题77分三轮冲刺保分强化训练(29) 第1组 (时间：75分钟分值：77分) 1．（2026·湖南衡阳·模拟预测）如图，在平面四边形ABCD中，，． (1)证明：； (2)当时，求四边形ABCD面积的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用余弦定理，在与中分别表示公共边，联立两式消去参数，化简得到； （2）将四边形面积拆分为两个三角形面积和，结合第（1）问的结论，通过平方相加消元，求出面积的最大值． 【详解】（1） 如图，连接BD， 在中，由余弦定理可得， 在中，由余弦定理可得， 则有， 因为，， 所以， 因为，所以； （2）如图，因为， 所以四边形ABCD的面积， 将两边平方，可得， 即①， 由（1）可知，平方可得②， 联立①②，解得， 则，当且仅当时，等号成立， 所以四边形ABCD面积的最大值为 2．（2026·四川攀枝花·二模）已知数列的前项和为，，． (1)证明：是等比数列，并求出的通项公式： (2)求数列的前项和； (3)若，求的取值范围． 【答案】(1)证明见详解； (2) (3) 【分析】（1）由与关系结合题意可得，据此可完成证明；进而求出的通项公式； （2）由（1）结合错位相减法可得答案； （3）根据（1）得到，根据作差法得到数列的单调性，再求范围即可. 【详解】（1）已知，故，当时，. 因为，代入， 整理得. 因此是首项为、公比为的等比数列， 所以，故. （2） 两边同乘​得 得，， 整理得. （3）由​得，设​，对任意正整数恒成立， 只需的最大值. ， 当时，，即； 当时，，即， 故最大值为. 因此的取值范围为. 3．（2026·湖南衡阳·模拟预测）如图，在等腰梯形ABCD中，，且，E是CD的中点．将沿AE折起到的位置． (1)若为棱上动点，是AE的中点，证明． (2)若平面平面ABCE，求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据折叠前后的量，角度不变，得到，，从而得到平面，即平面，则. （2）先证明面，以为原点建立空间直角坐标系，通过求两个面的法向量的夹角计算二面角. 【详解】（1）证明：连接，如图所示． 因为，且， 所以四边形ABED和四边形ABCE均为菱形． 因为为AE的中点，所以，    因为为AE的中点，所以，   又平面，所以平面，   又因为，所以平面，     因为平面，所以． （2）因为平面平面ABCE，平面平面， 所以平面ABCE， 以为坐标原点，分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，     设，则，    所以，．    设平面的法向量为， 则有 取，所以．    设平面的法向量为， 则有 取，所以．   设二面角的平面角为， 则， 又因为为钝角，所以， 故二面角的余弦值为． 4．（2026·广西贵港·三模）双曲线的左顶点为，右焦点为，点是双曲线右支上的任意一点，且在第一象限，设直线与直线的交点为． (1)求双曲线的标准方程； (2)当三角形为直角三角形时，求直线的斜率； (3)证明：直线与三角形的外接圆相切． 【答案】(1) (2)1或 (3)证明见解析 【分析】（1）由题意可得、，再计算出即可得； （2）设，可得，再分与讨论即可得； （3）表示出直线AP方程后，可得点坐标，可设三角形QAF外接圆圆心的坐标为，再利用可得，再利用向量数量积公式计算即可得证. 【详解】（1）由题意可得，则， 所以双曲线的标准方程为：； （2）设，则， 当时，将代入，得， 此时直线AP的斜率为； 当时，， ， 联立方程：，可得，解得， 代入得：，此时直线AP的斜率为， 综上所述，直线AP的斜率为1或； （3）直线AP方程为：，令，得， 设三角形QAF外接圆圆心的坐标为，则有， 即， 化简得：， 即， 由， 则，即， 故直线PF与三角形的外接圆相切. 5．（2026·江苏南通·三模）某企业生产的芯片独立出厂，每件芯片出现故障的概率为，正常的概率为.现对一批芯片开展批量抽样检测，连续抽取件芯片，记其中故障芯片的件数为随机变量. (1)连续抽取4件芯片，在至少出现2件故障芯片的条件下，求恰好出现3件故障芯片的概率； (2)当时，记恰好出现2件故障芯片的概率为.若对任意，恒有，求实数的最小整数值； (3)若始终满足，求证：对任意正整数，都有. 【答案】(1) (2)1 (3)证明见解析 【分析】（1）由题意知，当时，再根据二项分布，结合条件概率求解即可； （2）由题意知，再根据导数求解最值即可得答案； （3）由题知，，，令，进而将问题转化为证明，再构造函数，，证明，，最后结合不等式放缩得即可证明. 【详解】（1）解：因为连续取件芯片，故障芯片的件数为随机变量，芯片独立出厂, 所以服从二项分布，即，故当连续抽取4件芯片时， 所以 且， 所以 . （2）解：当时， 故恰好出现2件故障芯片的概率为，， 所以， 故当时，，单调递增；当时，，单调递减； 所以， 若对任意，恒有，则实数的最小整数值为1. （3）证明：因为，，所以，， 所以 令，则，， 故要证，只需证， 只需证，只需证 只需证， 令，， 则在上恒成立， 所以在上单调递增， 所以，即， 又， 所以，， 因为，， 所以， 所以 ， 因为，所以， 所以，即， 所以成立，证毕. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 第2组 (时间：75分钟分值：77分) 1．（2026·广西崇左·二模）在中，内角，，所对的边分别为，，，. (1)求的内角中最大的角的大小； (2)点在边上，且，若，的面积为6，求. 【答案】(1). (2) 【分析】（1）利用诱导公式、二倍角的正弦公式变形，结合余弦函数性质可得； （2）结合（1）得，然后设，则，表示出题中各线段长，求得，利用三角形面积公式求得得边长，然后由余弦定理求解． 【详解】（1）,. 因为，所以. 因为，所以. 因为，所以或， 所以或， 所以的内角中最大的角的大小为. （2）因为，所以，结合（1）可得. 设，则，，，，，. 的面积为，解得，所以，. 在中，. 2．（2026·上海黄浦·三模）已知函数． (1)判断函数的奇偶性并说明理由； (2)当时，若存在，使得成立，求实数t的取值范围； 【答案】(1)当时，为偶函数； 当时，为奇函数； 当时，既不是奇函数也不是偶函数. (2) 【分析】（1）利用奇函数，偶函数的基本性质进行判断，分类讨论参数的取值即可求解； （2）通过参变分离，构建辅助函数，将参数的取值范围转化为函数的值域从而进行求解. 【详解】（1），所以， 当时，，为偶函数， 当时，，为奇函数， 当时，，所以既不是奇函数也不是偶函数. （2）当时，，存在，使得成立， 化简可得，即在上有解， 令，因为，所以，即在上有解， 故实数的取值范围为函数的值域， ，因为，所以， 即实数的取值范围为. 3．（2026·广西崇左·二模）如图，在四棱锥中，平面，，，，，点在棱上，且. (1)若，证明：平面. (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2)或. 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据数量积为零可得，从而证得平面.方法二：取的中点，连接，，根据面面平行的判定定理证明平面// 平面，从而得到// 平面；方法三：取的中点，连接，，先证明，再根据线面平行的判定定理证得// 平面. （2）根据线面角的向量求法，列得关于的方程，求解可得的值. 【详解】（1）取的中点，连接. 易证四边形为矩形，所以. 以为坐标原点，，，所在的直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，. ，，，， . 设平面的法向量为， 则取，得. 若，则. 因为，所以. 因为平面，所以// 平面. 方法二： 如图，取的中点，连接，. 在中，分别为的中点，所以. 因为平面，平面，所以// 平面. ，，所以四边形是平行四边形，. 因为平面，平面，所以// 平面. 因为，平面，平面，所以平面// 平面. 因为平面，所以// 平面. 方法三： 如图，取的中点，连接，. 在中，，分别为，的中点，所以，. 因为，所以，所以四边形为平行四边形，. 因为平面，平面，所以// 平面. （2）记直线与平面所成的角为， ， 化简得，解得或，所以的值为或. 4．（2026·辽宁大连·三模）已知双曲线的实轴长为2，两渐近线的夹角为． (1)求双曲线的方程． (2)当时，过点作斜率为的直线与交于两点，设左焦点为，记的斜率分别为，为轴上一定点． （ⅰ）证明：为定值； （ⅱ）记中点为，以为圆心，为半径的圆与另交于一点，的斜率为，若为定值，求的坐标，并求出的值． 【答案】(1)或 (2)（i）证明见解析 （ii）的坐标为，. 【分析】（1）由双曲线实轴长得，根据渐近线夹角分情况求出，即可得到双曲线的方程； （2）（i）写出过的直线方程，与双曲线联立得韦达定理，将用交点坐标表示后代入目标式化简，即可证明为定值； （ii）由中点性质得坐标，根据圆的性质得坐标，设坐标代入目标式，令结果与无关即可求出坐标和定值. 【详解】（1）由实轴长得，双曲线渐近线为. 两渐近线夹角为，故渐近线与轴的夹角为或， 因此或. 双曲线的方程为：或 . （2）当时，双曲线的方程为：，左焦点为. （i）设直线，，联立与得： ， 由韦达定理得. ，代入化简：， 代入韦达定理结果得：，为定值，得证. （ii）中点. 因为是中点（在圆上，）， 故坐标为. 设，则. 化简目标式： ， 由（i）中推导可得，代入得： ，要使该式为定值，需，得，代入得定值为. 故的坐标为，的定值为. 5．（2026·上海·二模）班主任小明查阅了某大学发表的一项本市高三学生手机使用情况的研究报告.报告指出，高三学生每周手机使用时长（单位:小时）总体上服从正态分布. (1)小明老师将自己所带班级（共50名学生）视为从本市高三学生总体中随机抽取的一个样本，能以此正态分布模型估算出全班每周平均手机使用时长超过16小时的人数，在此估算基础上若在全班任选3位同学，则至少有2位同学的每周手机使用时长超过16小时的概率是多少?（结果用最简分数表示） 参考数据:若，则. (2)小明老师发现小虹同学每周手机使用时长超过16小时，对其进行疏导劝解，并跟进统计出之后5周小虹每周手机使用时长与该周数学练习得分（每周练习的难度相同且满分均为150分），制成表1.以这5组数据建立回归方程.请求出实数的值 表1 第1周 第2周 第3周 第4周 第5周 手机使用时长 20 18 22 16 14 练习得分 80 88 73 92 m (3)受到鼓励的小虹制定了寒假复习计划表递交给小明老师，严格控制手机使用时长.小明老师统计发现该计划表中若第n天能复习时长超过5小时（记为“高效复习”），则第天也能“高效复习”的概率为;若第天不能“高效复习”，则第天还能“高效复习”的概率为.设（，为正整数）表示第天能“高效复习”的概率，，若表示复习计划表第天有效.求证:数列是等比数列，并说明小虹的该复习计划表是否在寒假每一天均有效. 【答案】(1) (2)100 (3)答案见解析 【分析】（1）根据正态分布的性质和概率相关知识计算即可. （2）先求出的平均值，然后代入回归方程即可求出结果. （3）先根据题意列出递推式，然后证明数列是以为公比的等比数列，进而可根据等比数列的通项公式求出，并根据的范围证明结论即可. 【详解】（1）由题意知，因为. 所以任取1人使用手机超过16小时的概率为， 50名同学中有位超过16小时， 那么至少2位同学使用手机超过16小时的概率为. （2）由题意得，. 代入回归方程有，解得. （3）证明：由题意知， 所以 所以是以为公比的等比数列. 所以. 因为时，恒成立，所以. 所以小虹的该复习计划表在寒假每一天均有效. $