解答题77分三轮冲刺保分强化训练(21)-2026届高三数学三轮冲刺复习(新高考适用)

解答题77分三轮冲刺保分强化训练(21) 第1组 (时间：75分钟分值：77分) 1．（2026·天津·一模）如图，在四棱锥中，平面，. (1)求证：平面； (2)已知点在棱上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的值； (3)求三棱锥的体积. 2．（2026·广东东莞·模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知、、成等差数列. (1)若，，求的面积. (2)求证:. 3．（20-21高二上·吉林·期中）已知数列的前n项和，，数列满足. (1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和. 4．（2026·河北石家庄·一模）某市为增强高中学生的数学建模能力，组织了一次“数学建模竞赛”活动.本次竞赛活动满分为分，得分不低于分为优秀.为了解本次活动学生的得分情况，现从参加活动的所有同学中随机抽取了名学生的分数组成样本，并按分数分成以下6组：，统计结果如图所示. (1)求该样本中学生分数为优秀的人数； (2)从该样本分数不低于分的学生中，用比例分配的分层随机抽样的方法选取人进行座谈，若从座谈名单中随机抽取3人进行个案研究，记分数在的人数为，求的分布列和均值； (3)根据频率分布直方图，以频率估计概率，现从该市所有参加活动的学生中随机抽取人，这名学生的分数相互独立.记分数为优秀的人数为，当最大时，求的值. 5．（2026·吉林长春·二模）已知抛物线上的点到焦点距离的最小值为． (1)求的方程； (2)若点，在上，且线段的中点在直线上，点，求面积的最大值． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 第2组 (时间：75分钟分值：77分) 1．（2026·云南昭通·二模）已知点在函数的图象上，记数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前2026项和． 2．（2026·重庆·模拟预测）小明和小红参加班级数学老师组织的游戏，游戏共2轮，每轮的规则如下：每轮开始时，小明和小红手中各有两张牌，一张是王牌，一张是鬼牌，每人每次独立地随机取出1张牌相互交换，交换3次后该轮结束.2轮进行完游戏结束. (1)记每轮游戏在交换1次后，小明手里王牌的张数为，求的分布列及数学期望； (2)在游戏开始前，数学老师问了小明一个问题：当游戏结束时，只要在2轮中有至少1轮结束时，你手里的两张牌是相同的，你就获胜，否则小红获胜，你愿意接受这样的游戏规则吗？如果你是小明，你会如何回答？ 3．（24-25高三上·陕西·期中）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若，且存在，使得成立，求的取值范围． 4．（2026·浙江杭州·二模）如图，正四棱锥的所有棱长均为2，点M是棱的中点. (1)证明：平面； (2)设点Q在棱上，求平面与平面所成角的余弦值的最大值. 5．（2026·上海闵行·二模）已知椭圆的焦距为，离心率为，过点的直线交椭圆于点. (1)求的方程； (2)记的面积为，求证：； (3)求的最大值与最小值，并写出取最大值与最小值时直线的方程. $ 解答题77分三轮冲刺保分强化训练(21) 第1组 (时间：75分钟分值：77分) 1．（2026·天津·一模）如图，在四棱锥中，平面，. (1)求证：平面； (2)已知点在棱上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的值； (3)求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【解题思路】（1）证法一：连接 与 交于 ,连 ,由相似比与已知比例得 ,从而证得线面平行. 证法二：以 为原点建系,写出各点坐标,求出平面 的法向量,再验证 与法向量垂直,且 不在面 内,从而证得线面平行. （2）解法一：设向量 ,代入线面角正弦公式,化简方程并在区间内求得 ,算出 坐标,最终求得 长度. 解法二: 设向量 ,代入线面角正弦公式,化简方程并在区间内求得 ,算出 坐标,最终求得 长度. （3）解法一：由 得体积比例关系,用棱锥体积公式直接算出 . 解法二：先在 中求边长与正弦值,再用向量求点 到面的距离,代入体积公式得结果. 【解析】（1）证法一：连接与交于点，再连接， 因为， 所以 因为，所以， 所以， 又因为平面，所以平面 证法二：以为原点，所在的直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系. 则. 设是平面的一个法向量， ，则， 令，则，平面的一个法向量为. 因为，所以， 又因为平面，所以平面 （2）解法一： 设，得， ， 设直线与平面所成角为，则 ， 化简得，因为，得， ，所以线段的值为. 解法二： 设，得， ， 设直线与平面所成角为，则 ， 化简得，因为，得，，所以线段的值为. （3）解法一： 因为，所以， 解法二：由（1）所建立的坐标系可得. 则 故由余弦定理可得 所以， 由（1）得,平面的一个法向量为. 点到平面的距离. 2．（2026·广东东莞·模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知、、成等差数列. (1)若，，求的面积. (2)求证:. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）由题意可得，由余弦定理可得，根据同角三角函数基本关系及三角形面积公式计算即可求解； （2）由余弦定理及可得，根据正弦定理及两角和差的正弦公式化简即可得证. 【解析】（1）由题意可得，将，代入可得， 则， 因为，所以， 所以的面积为； （2）由余弦定理及可得， 由正弦定理可得， 因为，所以， 所以， 则， 所以， 即， 化简可得. 3．（20-21高二上·吉林·期中）已知数列的前n项和，，数列满足. (1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【解题思路】（1）当时，可得，当时，，即可推出，可得，即可求证数列是等差数列，求出的通项公式，进而可得数列的通项公式； （2）由（1）知，求出，利用错位相减法和分组求和法即可求解. 【解析】（1）由，得（）， 当时，（）， ∴，化为， ∵，∴， 即当时，， 令，可得，即． 又， ∴数列是首项和公差均为1的等差数列． 于是，∴． （2）由（1）知，∴， 故. 令， ∴， ∴， ∴，∴. 4．（2026·河北石家庄·一模）某市为增强高中学生的数学建模能力，组织了一次“数学建模竞赛”活动.本次竞赛活动满分为分，得分不低于分为优秀.为了解本次活动学生的得分情况，现从参加活动的所有同学中随机抽取了名学生的分数组成样本，并按分数分成以下6组：，统计结果如图所示. (1)求该样本中学生分数为优秀的人数； (2)从该样本分数不低于分的学生中，用比例分配的分层随机抽样的方法选取人进行座谈，若从座谈名单中随机抽取3人进行个案研究，记分数在的人数为，求的分布列和均值； (3)根据频率分布直方图，以频率估计概率，现从该市所有参加活动的学生中随机抽取人，这名学生的分数相互独立.记分数为优秀的人数为，当最大时，求的值. 【答案】(1) (2)分布列 0 1 2 ， (3) 【解题思路】（1）直接根据频率和样本容量计算可得； （2）由随机变量服从超几何分布，根据超几分布计算可得； （3）随机变量服从二项分布，再根据概率的增减性判断可得. 【解析】（1）该样本中学生分数为优秀的频率 故优秀的人数为人; （2）从样本中得分不低于70分的学生中，用比例分配的分层随机抽样的方法选取11人进行座谈， 其中分数在的人数为. 若从座谈名单中随机抽取3人，则的所有可能取值为. 则的分布列为： 0 1 2 所以. （3）由题意知，，则，. 令， 当，解得. 因为，所以时，， 当时，，所以当时，最大. 5．（2026·吉林长春·二模）已知抛物线上的点到焦点距离的最小值为． (1)求的方程； (2)若点，在上，且线段的中点在直线上，点，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由抛物线定义可知抛物线上的动点到焦点距离的最小值即为动点到准线距离的最小值. （2）抛物线方程和直线方程联立，用韦达定理表示根的关系，再利用弦长公式，点到直线的距离公式求出的底和高，最后利用导数即可求出面积的最大值. 【解析】（1）抛物线的焦点，准线为， 抛物线上的动点到焦点距离的最小值即为动点到准线距离的最小值，即，即，故的方程为． （2）由题意可知直线斜率存在，设的方程为，与抛物线联立消去可得 ，则，， 则， 的中点在直线上， 即，即， 由弦长公式可知， 点到直线的距离为， 即的面积为， 令，，则， 则， 令，则 令可得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 因此在处取得最大值，即的最大值为， 即面积的最大值为． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 第2组 (时间：75分钟分值：77分) 1．（2026·云南昭通·二模）已知点在函数的图象上，记数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前2026项和． 【答案】(1) (2)1013 【解题思路】（1）根据题意代入点解得，则，分和两种情况，结合与之间的关系运算求解； （2）根据题意可得，令，可得当n为奇数时，，利用并项求和法运算求解. 【解析】（1）因为点在函数的图象上，则， 解得，即，则， 当时，则； 当时，则，可得； 且符合上式，所以. （2）因为，则， 令，数列的前n项和为， 当n为奇数时，， 可得， 所以数列的前2026项和为1013. 2．（2026·重庆·模拟预测）小明和小红参加班级数学老师组织的游戏，游戏共2轮，每轮的规则如下：每轮开始时，小明和小红手中各有两张牌，一张是王牌，一张是鬼牌，每人每次独立地随机取出1张牌相互交换，交换3次后该轮结束.2轮进行完游戏结束. (1)记每轮游戏在交换1次后，小明手里王牌的张数为，求的分布列及数学期望； (2)在游戏开始前，数学老师问了小明一个问题：当游戏结束时，只要在2轮中有至少1轮结束时，你手里的两张牌是相同的，你就获胜，否则小红获胜，你愿意接受这样的游戏规则吗？如果你是小明，你会如何回答？ 【答案】(1) 0 1 2 数学期望为1； (2)愿意接受这样的游戏规则. 【解题思路】（1）求出的所有可能取值及各个值对应的概率，列出分布列并求出期望. （2）求出每次交换后小明手中两张牌相同的概率，再求出至少1轮结束小明手里的两张牌是相同的概率即可. 【解析】（1）交换1次后，随机变量的所有可能取值为0，1，2， ，，， 所以随机变量的分布列为 0 1 2 随机变量的期望. （2）记事件为每轮小明第次交换后，他手里的两张牌相同， 则，又，因此， ，则小明获胜的概率， 所以如果我是小明，我愿意接受这样的游戏规则. 3．（24-25高三上·陕西·期中）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若，且存在，使得成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）求导，即可根据点斜式求解切线方程， （2）求导，可得函数的单调性，进而对与的大小讨论，即可分类求解. 【解析】（1）当时，，有，由，有， 故曲线在点处的切线方程为． （2），其中，， 时，，时，, 故在上单调递减，在上单调递增. 若，则时，，不符合题意； 若，则时，， 由题意，有，即， 因为，有，即，得， 故的取值范围是． 4．（2026·浙江杭州·二模）如图，正四棱锥的所有棱长均为2，点M是棱的中点. (1)证明：平面； (2)设点Q在棱上，求平面与平面所成角的余弦值的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】（1）利用正四棱锥的性质，结合中点条件，通过等腰三角形三线合一证明与，与垂直，进而证明平面； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解二面角的余弦值，设点的坐标参数，进而表示出平面的法向量，结合平面的法向量，计算两个法向量夹角的余弦值，再根据参数范围求最大值. 【解析】（1）因为的所有棱长相等，点是棱的中点， 所以，， 又因为，平面， 所以平面. （2）以为坐标原点，所在直线为轴，以过点且垂直于底面的直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，则，，， 设，由（1）知平面， 则为平面的法向量. 则，， 设平面的法向量为， 则，可取， 记平面与平面所成角为，则. 当时，取到最大值. 5．（2026·上海闵行·二模）已知椭圆的焦距为，离心率为，过点的直线交椭圆于点. (1)求的方程； (2)记的面积为，求证：； (3)求的最大值与最小值，并写出取最大值与最小值时直线的方程. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)最大值，直线方程；最小值，直线方程 【解题思路】（1）根据椭圆已知的焦距和离心率求出参数，代入椭圆标准方程得到结果； （2）将表示为点坐标的线性式，结合椭圆方程的参数形式，利用余弦函数的值域证明结论； （3）设过点的直线参数方程，利用参数的几何意义将转化为，结合韦达定理得到表达式后求最值. 【解析】（1）由题意得，故，结合离心率得. 由椭圆关系，因此椭圆的方程为： ； （2）设，因为，所以直线，即， 所以点到直线的距离，又， 所以 由在椭圆上得，所以可设， 所以， 因此，得证. （3）设过的直线参数方程为（为参数）， 代入椭圆方程整理得： ， 由参数的几何意义得， 结合韦达定理得： ， 斜率存在时，设斜率为，化简得， 由得：当时，取得最大值，对应直线方程为； 当直线斜率不存在时，直线为，此时，为最小值. 综上，的最大值为，对应直线方程为；最小值为，对应直线方程为 $