解答题77分三轮冲刺保分强化训练(26)-2026届高三数学三轮冲刺复习(新高考适用)

解答题77分三轮冲刺保分强化训练(26) 第1组 (时间：75分钟分值：77分) 1.(2026山东泰安二模)为深入落实“健康第一”的教育理念，某高中为了解高三学生每天运动时间，从2000名 学生中随机抽取了100名学生进行调查，得到的数据如表所示 日均运动时间（小时） [0.5,1) [1,1.5) [1.5,2) [2,2.5] 男生人数 S 20 20 10 女生人数 15 20 4 (1)该校高三2000名学生中，日均运动时间不足1小时的学生约为多少人？ (2)估计该校高三学生日均运动时间的平均数； (3)根据小概率值=0.005的独立性检验，能否认为“该校高三学生日均运动时间不小于1.5小时”与“性别”有关联？ n(ad -be)2 附：X2= (a+b)(c+d)(a+c(b+d)1 其中n=a+b+c+d. 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 2.(2026湖南怀化二模)如图，在棱长为2的正方体ABCD-A,B,CD,中，E,F分别是棱AD,AB的中点. D B (1)证明：CF⊥平面BB,E. (②)求直线FD,与平面BB,E所成角的正弦值. 3.(2026河北沧州·二模)已知在ABC中，sinBsinC+cos2B=l,D是BC边上一点，AD是∠BAC的平分线，且 AD=AC. (I)求cosLBAC; (②设E=元4D(0<1<小当为何值时，8E取得最大值？ CE 4,(2025江西萍乡二模)已知圆C:6++y产-子，圆C:G-+y产-？，对圆V与G外切，与C内切. (1)求M的轨迹E的标准方程； (2)设过点P(0,2)的直线1与E交于AB两点，且PA<PB,求 PA 的取值范围. PB 5.(2026陕西榆林.模拟预测)已知函数f(x=ax2-lnx(a>0). (1)设y=x+b是曲线y=f(x)的任意一条切线，若kb≤0，求a的值； (2)证明：存在r>0,对任意0<s<t,且s+1≤2r,都有fs>∫(t); (3)证明： +>4-n+2. ∑n 2'-i 2-1· 第2组 (时间：75分钟分值：77分) 1.(2026青海西宁.二模)如图，在ABC中，∠ACB=90°，D为AB延长线上的一点，∠BCD=30°，BC=2. C ● B D (I)若BD=√2，求AB的长； (2)若CD=2√5，求△ACD的面积. 2.(2026河北沧州一模)先后掷一个质地均匀的骰子3次，得到向上的点数依次为x,y,z,记随机变量 ξ=x-y+y-z+z-x (①)写出取值的集合： (2)比较取最小值和最大值时的概率值的大小； (3)在：>0的条件下，求取得最大值的概率 4 3.(2026贵州贵阳·模拟预测)设等比数列an}的前n项和为Sn,首项为4，公比为q (1)请推导前n项和公式Sn; (②)是否存在常数c,使得{Sn+C是等比数列？若存在，求出c的值；若不存在，请说明理由 4.(2026江苏·二模)已知函数fx)=alnx+x-2aa∈R. (I)讨论fx)的单调性； (2)若曲线y=∫(x经过点A1,-1,且在A处的切线为1.证明：除切点A外，曲线y=∫(x)在直线1的下方. 5 5.(2025江西萍乡·二模)在三棱锥P-ABC中，点P在底面ABC内的投影F恰在直线AB上，△ACP与△BCP的 面积相等. B (I)若AB⊥CF,证明：F为线段AB的中点； (2)若CP=√2CF=4,EC=CF,△ACP的面积等于4√2. (i)证明：△ABE的周长为定值； (i)当二面角A-CP-B的平面角为2匹时，求线段AB的长. 3 6 解答题77分三轮冲刺保分强化训练(26) 第1组 (时间：75分钟分值：77分) 1．（2026·山东泰安·二模）为深入落实“健康第一”的教育理念，某高中为了解高三学生每天运动时间，从2000名学生中随机抽取了100名学生进行调查，得到的数据如表所示 日均运动时间（小时） 男生人数 5 20 20 10 女生人数 15 20 6 4 (1)该校高三2000名学生中，日均运动时间不足1小时的学生约为多少人？ (2)估计该校高三学生日均运动时间的平均数； (3)根据小概率值的独立性检验，能否认为“该校高三学生日均运动时间不小于1.5小时”与“性别”有关联？ 附，其中. 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)人 (2)小时 (3)根据小概率值的独立性检验，能认为“日均运动时间不小于1.5小时”与“性别”有关联 【解题思路】（1）应用已知比例关系计算求解； （2）应用已知数据计算100名学生日均运动时间的平均数，即可求解； （3）先列表格计算，再与临界值比较判断求解. 【解析】（1）因为抽取的100人中日均运动时间不足1小时的人数占比为， 所以该校2000名学生中日均运动时间不足1小时人数约为人； （2）该校名学生日均运动时间的平均数约为 ， 所以该校高三学生日均运动时间的平均数为小时； （3）作出列联表如表所示 日均运动时间 合计 男 25 30 55 女 35 10 45 合计 60 40 100 零假设：“日均运动时间不小于1.5小时”与“性别”无关联， ， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为“日均运动时间不小于1.5小时”与“性别”有关联，此推断犯错误的概率不大于0.005. 2．（2026·湖南怀化·二模）如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别是棱，AB的中点． (1)证明：CF⊥平面． (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解题思路】（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，判断其与共线，从而得证； （2）求出与平面的法向量的夹角的余弦值，进而求解. 【解析】（1）以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以，，． 设平面的法向量为， 则，即， 取，可得． 所以，所以平面． （2）由（1）知，所以， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 3．（2026·河北沧州·二模）已知在中，D是边上一点，是的平分线，且． (1)求； (2)设当λ为何值时，取得最大值? 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用二倍角公式化简可得，结合正弦定理可得，再利用构建方程，解得，进而可求； （2）利用余弦定理，分别求出，进而得到，再令，利用基本不等式得到最值即可． 【解析】（1），， ，，则， 设的内角所对的边分别为，则由正弦定理得， 又是的平分线，， 又，， ， 即， 即， ，解得， （2）如图， ，， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， ， 令，则，， ， 当且仅当，即时取等， 所以当时，取得最大值． 4．（2025·江西萍乡·二模）已知圆，圆，动圆与外切，与内切． (1)求的轨迹的标准方程； (2)设过点的直线与交于两点，且，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【解题思路】（1）根据两圆外切、内切的几何性质，得到动圆圆心到两定圆圆心的距离之和为定值，结合椭圆定义求解轨迹方程。 （2）分直线斜率存在、不存在两种情况讨论，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理结合线段长度比值的关系，结合判别式的限制求解取值范围。 【解析】（1）由题知，圆的半径为，圆的半径为，设动圆M的半径为r， 则，，故， 故M的轨迹E是椭圆，焦点为，，长轴长为4， 故M的轨迹E的标准方程为； （2） ①若直线l不存在斜率，则，，则， ②若直线l存在斜率，设其方程为，，，则，显然，联立E与l的方程，化简得， ，得， ，， 则，，得， 则，由， 当 时，；当 时， 得， 又，解得， 综上所述，的取值范围为． 5．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数（）． (1)设是曲线的任意一条切线，若，求的值； (2)证明：存在，对任意，且，都有； (3)证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【解题思路】（1）设切点再根据点斜式结合不等式计算得出参数； （2）构造函数，结合函数单调性计算证明； （3）由（2）知 ，结合应用错位相减法计算证明即可. 【解析】（1）设直线与曲线切点横坐标为，因为， 所以切线方程为：， 所以， 即对任意都成立， 因为，所以在上递增且存在唯一正的零点， 又在上递减，所以也是它的零点. 所以；解得. （2）因为的定义域为，，， 当时，，递减； 当时，，递增. 取，设，代入得，， 所以， 设，， 因为，所以在上单调递增， 所以，即， 所以， 所以时，存在，对任意，且，都有；. （3）取，，，， 则，， 由（2）知，，即， 因为，， 所以， 设， 所以， 两式相减得，， 所以， 所以. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 第2组 (时间：75分钟分值：77分) 1．（2026·青海西宁·二模）如图，在中，，为延长线上的一点，，． (1)若，求的长； (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用正弦定理求出，结合三角形内角和及外角性质求出，最后在中利用正弦定理求出的长； （2）利用余弦定理求出的长，进而求出，确定的形状，然后根据面积公式求解. 【解析】（1）在中，根据正弦定理可得， 即， 由为钝角，得为锐角，所以， 所以， 所以 ． （2）因为， 在中，由余弦定理得，， 解得，则， 则，在中，， 所以的面积为 2．（2026·河北沧州·一模）先后掷一个质地均匀的骰子3次，得到向上的点数依次为x，y，z，记随机变量. (1)写出取值的集合； (2)比较取最小值和最大值时的概率值的大小； (3)在的条件下，求取得最大值的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据事件的所有可能结果，判断随机变量可能出现的情况即可； （2）根据古典概型概率计算公式，求出事件概率即可； （3）根据条件概率计算公式，求出事件概率即可； 【解析】（1）若，此时； 若x，y，z只有两个相等，则有，，三类，此时； 若x，y，z互不相等，不妨设，此时， 此时． 综上，取值的集合为． （2）由（1）知，， 掷骰子3次，共有个样本点， 当时，共有种不同的情况，； 对于，三个数中必有1和6， 若第三个数为1或6，则共有个样本点， 若第三个数为2，3，4，5中的一个，共有个样本点， 所以． 所以． （3）由（2）可知，则， 则. 3．（2026·贵州贵阳·模拟预测）设等比数列的前n项和为，首项为，公比为q. (1)请推导前n项和公式； (2)是否存在常数c，使得是等比数列？若存在，求出c的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) 当时，不存在常数.当时，存在， 【解析】（1）当时，，此时. 当时，，即.① 用公比q乘①的两边，得.② ，得，即，所以. 综上， （2）当时，.显然不存在常数c，使得是等比数列. 当时，. 令，则，所以. 因为，所以是等比数列. 综上，当时，不存在常数. 当时，存在常数，使得是等比数列. 4．（2026·江苏·二模）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若曲线经过点，且在处的切线为．证明：除切点外，曲线在直线的下方． 【答案】(1)①当时，，则在上单调递增; ②当时，在上单调递增，在上单调递减. (2)证明见解析 【解题思路】第1问将讨论函数单调性问题，转化为讨论导函数的正负问题即可，第2问将要证明曲线在直线的下方，转化为函数不等式问题即可， 【解析】（1）（1）因为的定义域为， 的导函数. ①当时，，则在上单调递增. ②当时，令，得； 令，得； 所以，在上单调递增，在上单调递减. （2）（2）因为曲线经过点 所以，解得． 所以． 因为，所以的方程为. 要证除切点外，曲线在直线的下方， 即证：， 只需证：. 设，则， 令，得；令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以. 所以当时，， 所以原命题得证. 5．（2025·江西萍乡·二模）在三棱锥中，点在底面内的投影恰在直线上，与的面积相等． (1)若，证明：为线段的中点； (2)若，，的面积等于． （ⅰ）证明：的周长为定值； （ⅱ）当二面角的平面角为时，求线段的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）6 【解题思路】（1）过A作，垂足为G，连接GB，先求证平面，再证明平面，最后利用面积得出即可求证； （2）（ⅰ）根据条件求出，，以C为原点建系，设，利用向量法求出A到CP的距离即可求出点的轨迹方程，结合椭圆的定义求解； （ⅱ）设，，先求出平面BCP、平面ACP的法向量，根据二面角求出，再设直线AB的方程为，与椭圆方程联立，根据韦达定理化简求出，最后利用弦长公式求解. 【解析】（1）过A作，垂足为G，连接， 因为点在底面内的投影恰在直线上， 则平面，平面，则， 又，且，平面，所以平面， 因为平面，所以，，， 又，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为与的面积相等，GA与GB分别为两个三角形边上的高， 则，故为等腰三角形， 又，则F为线段AB的中点； （2）（ⅰ）因为，，所以， 因为，所以， 以C为原点，所在方向为x轴正方向，平行于所在方向为z轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， 设，则，， 则A到CP的距离为， 化简得：， 同理可得B的轨迹方程也是， 故点A，B在以C为中心的椭圆上，且E，F分别为该椭圆的左、右焦点， 所以，故的周长为定值16； （ⅱ）设，， 则，，， 设平面ACP的一个法向量为， 则， 取，则，，则， 同理可得平面BCP的一个法向量为， 因为二面角的平面角为， 所以， 又A，B在上， 则，故， 在xOy平面中，设直线AB的方程为，与椭圆方程联立， 化简得，则，， 又， 故，解得， 由弦长公式得线段AB的长 ． $