6.5.1直线与平面垂直（第1课时）课件-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

该高中数学课件聚焦直线与平面垂直，涵盖定义、性质定理（垂直于同一平面的两直线平行）及判定定理（线面垂直需垂直面内两条相交直线）。课堂导入从国旗旗杆、树木等现实情境切入，先回顾线面位置关系，引出垂直直观形象，再通过“如何判定线面垂直”的问题过渡，搭建从直观到抽象的学习支架。 其亮点在于以“数学眼光”观察现实抽象概念，用“数学思维”通过反证法、全等推理严谨证明定理，借“数学语言”规范符号与证明表达。例题含判断正误、四棱锥及正四棱柱证明等，总结清晰。助力学生发展空间观念与推理能力，为教师提供系统教学资源和多样化实例。

北师大版（2019）高中数学 必修第二册 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 第六章 立体几何初步 第5节 垂直关系 5.1 直线与平面垂直 第1课时（共2课时） 1 学 习 目 标 目 标 重 点 难 点 1、理解直线与平面垂直的性质定理的含义. 2、理解直线与平面垂直的判定定理的含义. 3、能运用直线与平面垂直的性质定理和判定定理证明一些空间中相关的垂直问题. 1、能运用直线与平面垂直的性质定理和判定定理证明一些空间中相关的垂直问题. 1、理解直线与平面垂直的性质定理和判定定理的含义. 2 新 知 引 入 1、一条直线和一个平面的位置关系有：________、________、_____________。 线在面内 相交 平行 b α b α P b α b与α有____个 公共点 b与α有____个 公共点 b与α有_______个 公共点 1 0 无数 新 知 引 入 2、我们把国旗的旗杆看作一条直线，地面看作一个平面，则此直线与此平 面的位置关系是___________。而且这也是直线与平面垂直的直观形象。 那么，什么是直线与平面垂直呢？ 相交 学 习 新 知 如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直,那么称直线l与平面α垂直，记作l⊥α. 直线 l 称为平面α的垂线,平面α称为直线l的垂面, 它们唯一的公共点P称为垂足. 注意：1、 2、 3、 4、 5、 6、 画直线与平面垂直时,通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直. 过一点有且只有一条直线与已知平面垂直. 过一点有且只有一个平面与已知直线垂直. 线面垂直，则这条直线和平面内所有直线垂直. 直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊形式。 新 知 引 入 3、上图中，每一棵树木都可以看做一条直线，地面看作一个平面， 那么每一棵树木与地面的位置关系是_________. 这些树木所在的直线的位置关系_________. 垂直 平行 学 习 新 知 垂直于同一个平面的两条直线平行。 直线与平面垂直的性质定理 已知：a⊥α,b⊥α，垂足分别为A、B. 求证：a∥b 证明：假设a和b不平行，则过点B作a的平行线b＇,b＇与b不重合。 ∵b＇∩b=B ∴直线b＇与b________________，记为β，且记α∩β=l ∵b⊥α,a⊥α ∴b_____l,a_______l 这样在平面β内，经过直线l上同一点B就有两条直线b与b＇都与l垂直， 这与“_________________________________________________”矛盾。 ∴假设错误，即a∥b a b α A B b＇ β l 确定一个平面 ⊥ ⊥ 平面内，过直线上的一点只有一条直线与已知直线垂直 学 习 新 知 垂直于同一个平面的两条直线平行。 直线与平面垂直的性质定理 注意：1、 2、 此定理可简记为“线面垂直,线线平行”. 此定理可以作为证明线线平行的依据. 新 知 引 入 4、由线面垂直的定义可知，若想判定 l⊥α，则需证明 l 垂直 α内所有的直线，显然，这种判定过程很不容易做到。 那么，有其它方法判定 l⊥α吗？ l α 学 习 新 知 直线与平面垂直的判定定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,那么该直线与此平面垂直。 已知：a⊂α,b⊂α,l⊥a,l⊥b,a∩b=O,求证：l⊥α. 证明：设直线g为平面α内任意一条直线，为了证明l⊥α,只需证明l⊥g. 平移直线l至l＇,使l＇过点O；平移直线g至g＇,使g＇过点O. 在直线a上截取线段OA、OB,在直线b上截取线段OC、OD,使OC=OD=OA=OB 连接AD,DB,BC,CA,则四边形ADBC为_________。 设g＇∩AD=N,g＇∩BC=M,在直线l＇上任取一点P，且P∉α 连接PA,PB,PC,PD,PM,PN 易证△ANO______△BMO(ASA),从而AN=BM,ON=OM 易证△POA____△POC____△POD_____△POC(SAS), 可得PA=PB=PC=PD 从而∠PAN=∠PBM,可得△PAN_____△PBM(SAS),所以PN=PM 进而△PON______△POM(SSS),可得∠PON=∠POM=_______ 即l＇⊥g＇,即l＇⊥g,即l⊥g. α a b g l l＇ g＇ O A B C D M N P 矩形 ≌ ≌ ≌ ≌ ≌ ≌ 90º 学 习 新 知 直线与平面垂直的判定定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,那么该直线与此平面垂直。 此定理可简记为“线线垂直,线面垂直”. 注意：1、 2、 要证明一条直线与一个平面垂直,只需在平面内找到两条相交直线和该直线垂直即可,至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点无关紧要. 学 习 新 知 常用结论1：两条平行直线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面. 常用结论2：若一条直线与两平行平面中的一个面垂直,则它与另一个平面也垂直. α l1 l2 证明：在平面α内作两条相交直线a,b ∵ l1⊥α ∴ l1____a , l1____b 又∵ l1∥l2 ∴ l2____a , l2____b 又a⊂α,b⊂α,a,b是两条相交直线 ∴l2⊥α a b ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ α 已知：l1∥l2,l1⊥α. 求证：l2⊥α. β 已知：α∥β,l⊥α. 求证：l⊥β. 证明：假设直线m是β内任意一条直线，平面γ 经过m，且与α交于直线n. ∵ α∥β， ∴ m____n ∵ l⊥α,且n⊂α ∴ l______n 又∵ m∥n ∴ l_____m ∴ l⊥β． m n l ∥ ⊥ ⊥ 典 例 引 路 （1）l与平面α内的两条直线垂直，则直线l⊥平面α.(      ) （2）直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α．(     ) （3）如果一条直线与一个平面内所有直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直．(    ) （4）若两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也和这个平面垂直．(     ) （5）若a⊥b，b⊥α，则a∥α．(      ) （6）若直线a∥平面α，直线b⊥平面α，则直线b⊥直线a．(     ) 例1、判断正误： √ √ √ × × × 同 步 练 习 练1、判断正误： （1）一条直线垂直于三角形的两条边，则这条直线垂直于三角形所在的平面。(      ) （2）一条直线垂直于梯形的两条边，则这条直线垂直于梯形所在的平面。(       ) （3）一条直线垂直于圆的两条直径，则这条直线垂直于圆所在的平面。(       ) （4）若直线l垂直于平面α，则l与平面α内的直线可能相交，可能异面，也可能平行．(  ) （5）若直线l与平面α垂直，则直线l与平面α内所有直线所成的角均为90°.(    ) （6）过平面外一点有且只有一条直线垂直于这个平面.(      ) （7）垂直于同一个平面的两条直线平行(       ) √ √ √ √ √ × × 典 例 引 路 例2、如图，四棱锥S－ABCD的底面是矩形，SA⊥底面ABCD，E，F分别是SD， SC的中点．求证：(1)BC⊥平面SAB； (2)EF⊥SD. 证明：(1)∵四棱锥S－ABCD的底面是矩形， ∴AB⊥BC. ∵SA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴SA⊥BC. 又∵ SA∩AB＝A ∴BC⊥平面SAB. (2)由(1)知BC⊥平面SAB.同理，CD⊥平面SAD. ∵ E，F分别是SD，SC的中点， ∴ EF∥CD， ∴ EF⊥平面SAD. ∴ EF⊥SD 同 步 练 习 练2、如图所示,AB⊥BC,△ABC所在平面外有一点S,且SA=SB=SC,AC中点为D. 求证:SD⊥平面ABC. 证明：∵ SA=SC,D为AC中点, ∴ SD⊥AC. 在Rt△ABC中,AD=DC=BD, 又∵ SA=SB ∴ △SDA≌△SDB. ∴ ∠SDA=∠SDB,即SD⊥DB. 又∵AC∩BD=D, ∴ SD⊥平面ABC. 典 例 引 路 例3、如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=1，AA1=2，M是DD1的 中点． (1)求证：BD1∥平面AMC； (2)证明：AC⊥平面BDD1B1． 证明：（1）设AC∩BD=O，连接OM， ∵在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABCD为正方形，∴BO=DO， 又M是DD1的中点，∴DM=D1M， ∴OM∥BD1，又OM⊂平面AMC，BD1⊄平面AMC， ∴BD1∥平面AMC. （2）∵在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，DD1⊥平面ABCD， 又AC⊂平面ABCD，∴DD1⊥AC， 在正方形ABCD中，BD⊥AC， 又DD1∩BD=D，DD1⊂平面BDD1B1，BD⊂平面BDD1B1， ∴AC⊥平面BDD1B1. 同 步 练 习 练3、如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1B1=A1C1，D，F分别是棱BC、 B1C1的中点，E是线段CC1上的点． (1)求证：直线A1F∥平面ADE；(2)求证：直线AD⊥平面BCC1B1． 解:（1）连接DF，因为D，F分别是棱BC、B1C1的中点， 则DF∥BB1∥AA1，DF=BB1=AA1， ∴四边形ADFA1为平行四边形，∴AD∥A1F， ∵AD⊂平面ADE，A1F⊄平面ADE， ∴直线A1F∥平面ADE． （2）直棱柱ABC-A1B1C1中，A1B1=A1C1，则AB=AC. ∵D是棱BC中点，∴AD⊥BC. ∴BB1⊥平面ABC，AD⊂平面ABC，∴BB1⊥AD. ∵BC∩BB1=B，BC，BB1⊂平面BCC1B1， ∴直线AD⊥平面BCC1B1． 典 例 引 路 例4、如图，P为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，△ABC是圆锥底面的内接 正三角形，点H在平面PAC内且BH⊥平面PAC，证明：PC⊥平面ABH． 证明：如图，连接PO，连接CO并延长交AB于点D， ∵△ABC是底面的内接正三角形，易得D为AB的中点， ∴CD⊥AB，即CO⊥AB． ∵P为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，∴PO⊥平面ABC， ∵AB⊂平面ABC，∴PO⊥AB． ∵PO∩CO=O,PO,CO⊂平面POC，∴AB⊥平面POC． ∵PC⊂平面POC，∴AB⊥PC． ∵BH⊥平面PAC,PC⊂平面PAC，∴BH⊥PC． ∵BH∩AB=B,AB⊂平面ABH，∴PC⊥平面ABH． 同 步 练 习 练4、如图，在圆锥PO中，AB为底面圆O的直径，C，D为圆O上不与A，B重合的 点，且PO=AB=2，BD=,AB⊥CD.求证：BD⊥平面POC. 证明：连接BC，延长CO交BD于点F，由AB为底面圆O的直径，得AD⊥BD， 由AB=2,BD=,得AD=1，∠ABD=30º,∠BAD=60º， 又AB⊥CD，则AB平分CD，∠CBD=2∠ABD=60º， 又BD=BC，则△BCD为正三角形，O是其中心， 于是F是BD中点，CF⊥BD， 而PO⊥平面BCD，BD⊂平面BCD，则PO⊥BD， 又CF∩PO=O,且CF,PO⊂平面POC， 所以BD⊥平面POC. 典 例 引 路 例5、如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,AB⊥平面PAD,AD=AP,E是PD的中点,M,N分别在AB,PC上,且MN⊥AB,MN⊥PC.证明:AE∥MN. 证明：∵AB⊥平面PAD,AE⊂平面PAD ∴AE⊥AB. 又∵AB∥CD ∴AE⊥CD. ∵AD=AP,E是PD的中点 ∴AE⊥PD. 又CD∩PD=D,CD⊂平面PCD,PD⊂平面PCD, ∴ AE⊥平面PCD. ∵ MN⊥AB,AB∥CD ∴ MN⊥CD. 又∵MN⊥PC,PC∩CD=C,PC⊂平面PCD,CD⊂平面PCD ∴ MN⊥平面PCD ∴ AE∥MN. 同 步 练 习 练5、如图,α∩β=l,PA⊥α,PB⊥β,垂足分别为A,B,a⊂α,a⊥AB.求证:a∥l. 证明：∵PA⊥α,l⊂α ∴ PA⊥l. 同理PB⊥l. ∵ PA∩PB=P,PA⊂平面PAB,PB⊂平面PAB, ∴ l⊥平面PAB. 又∵PA⊥α,a⊂α ∴ PA⊥a. ∵ a⊥AB,PA∩AB=A,PA⊂平面PAB,AB⊂平面PAB, ∴ a⊥平面PAB. ∴ a∥l. 同 步 练 习 全 课 总 结 一、直线与平面垂直的性质定理 二、直线与平面垂直的判定定理 THANK YOU 谢谢！ 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 24 $