陕西省咸阳市八年级数学下学期期末测试（北师大八年级下册1-6章）

**基本信息** 陕西省咸阳市八年级数学期末卷立足第1-6章核心知识，以原创题（如填空9因式分解m³-9m）和生活情境题（如22题厨具购买费用比较）为亮点，融合几何直观（旋转、平行四边形性质）与运算推理（不等式、分式方程），适配期末综合检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|中心对称、分式意义、不等式解集|结合APP图标情境，考查抽象能力| |填空题|5/15|正多边形内角、一次函数不等式、平行四边形面积|原创题占比60%，强化空间观念| |解答题|13/81|几何证明（23题旋转证BD=CE）、应用题（25题商品购买）|综合题突出推理能力与模型意识，如26题平行四边形性质应用|

Sheet1 陕西省咸阳市八年级数学下学期期末试卷分析双向细目表 题号 题型 分值 难度 难度系数 考查知识点 能力目标 数学核心素养 备注 1 选择题 3 易 0.95 2.85 中心对称图形判断 识记 直观想象 2 选择题 3 易 0.9 2.7 分式无意义条件 理解 数学抽象 3 选择题 3 易 0.9 2.7 一元一次不等式解法 理解 数学运算 4 选择题 3 易 0.85 2.55 因式分解定义判断 理解 数学抽象 5 选择题 3 中 0.85 2.55 不等式组整数解 应用 数学运算 6 选择题 3 中 0.7 2.1 垂直平分线性质、勾股定理 应用 逻辑推理、直观想象 7 选择题 3 中 0.7 2.1 角平分线、等腰三角形计算 应用 逻辑推理、数学运算 8 选择题 3 难 0.5 1.5 旋转性质、等边三角形、坐标 分析 直观想象、数学运算 9 填空题 3 易 0.9 2.7 提公因式法+公式法分解因式 理解 数学运算 10 填空题 3 易 0.85 2.55 正多边形内角与边数 理解 直观想象、数学运算 11 填空题 3 中 0.75 2.25 一次函数与不等式解集 应用 直观想象、数学运算 12 填空题 3 中 0.6 1.8 分式方程增根求参数 应用 数学运算、逻辑推理 13 填空题 3 难 0.35 1.05 平行四边形中心对称、面积 分析 直观想象、数学运算 14 解答题 5 易 0.9 4.5 一元一次不等式解法 理解 数学运算 15 解答题 5 易 0.9 4.5 分式方程解法 理解 数学运算 16 解答题 5 易 0.8 4 分式化简求值 应用 数学运算 17 解答题 5 易 0.8 4 等腰三角形尺规作图 理解 直观想象、逻辑推理 18 解答题 5 易 0.8 4 不等式组解法与数轴表示 理解 数学运算、直观想象 19 解答题 5 中 0.78 3.9 直角三角形全等证明 应用 逻辑推理 20 解答题 5 中 0.75 3.75 平移、中心对称、坐标变换 应用 直观想象 21 解答题 6 中 0.7 4.2 等腰三角形、垂直平分线综合证明 分析 逻辑推理 22 解答题 7 中 0.7 4.9 不等式实际应用（方案选择） 应用 数学建模、数学运算 23 解答题 7 中 0.6 4.2 旋转、平行四边形综合探究 分析 直观想象、逻辑推理 24 解答题 8 中 0.65 5.2 分组分解法因式分解 应用 数学运算、逻辑推理 25 解答题 8 中 0.5 4 分式方程+不等式实际应用 分析 数学建模、数学运算 26 解答题 10 难 0.32 3.2 平行四边形、三角形中位线探究 创造 逻辑推理、直观想象 Sheet2 Sheet3 $ 陕西省咸阳市八年级数学下学期期末测试 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1．【考点】中心对称图形． 【专题】平移、旋转与对称；几何直观． 【分析】根据中心对称图形的概念求解． 【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项不合题意； B、是中心对称图形，故本选项符合题意； C、不是中心对称图形，故本选项不合题意； D、不是中心对称图形，故本选项不合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 2．【考点】分式有意义的条件． 【专题】分式；运算能力． 【分析】根据分式无意义的条件进行解题即可． 【解答】解：∵当x＝6时分式无意义， ∴当x＝6时a+x＝0， 即a+6＝0． 解得a＝﹣6． 故选：A． 【点评】本题主要考查了分式有意义的条件，熟知分式无意义的条件是分母为零． 3．【考点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集． 【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力． 【分析】先解不等式，再把解集表示在数轴上进行判定即可，注意包含等于用实心点，不包含等于用空心点． 【解答】解：原不等式去括号得3x+5＞2x+2， 移项得3x﹣2x＞2﹣5， 合并得x＞﹣3， 解集在数轴上表示为： 故选：A． 【点评】本题考查解一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握该知识点是关键． 4．【考点】因式分解的意义． 【专题】整式；运算能力． 【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此进行判断即可． 【解答】解：4m﹣8n+4＝4（m﹣2n+1），则A不符合题意， x2﹣2x+1＝x（x﹣2）+1中等号右边不是积的形式，则B不符合题意， ﹣x2+2x﹣1＝﹣（x﹣1）2符合因式分解的定义，则C符合题意， 3ab（b﹣4）＝3ab2﹣12ab是乘法运算，则D不符合题意， 故选：C． 【点评】本题考查因式分解的意义，熟练掌握其定义是解题的关键． 5．【考点】一元一次不等式组的整数解． 【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，根据不等式组的解集求出即可． 【解答】解：∵解不等式x-1＞1得：x＞2， 又∵不等式x≤5的解集是x≤5， ∴不等式组的解集是2＜x≤5， ∴不等式组的最大整数解为5， 故选：D． 【点评】本题考查了解一元一次不等式（组），不等式组的整数解的应用，解此题的关键是求不等式组的解集． 6．【考点】线段垂直平分线的性质． 【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力． 【分析】连接BN，根据勾股定理求出NB，根据线段垂直平分线的性质求出NA，进而求出AC． 【解答】解：如图，连接BN， 在Rt△BCN中，NC＝3，BC＝4， 由勾股定理得：NB5， ∵MN是AB的垂直平分线， ∴NA＝NB＝5， ∴AC＝NA+NC＝5+3＝8， 故选：B． 【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 7．【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质． 【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力． 【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质可证△EBD是等腰三角形，从而可得EB＝ED，然后利用三角形的周长公式以及等量代换进行计算即可解答． 【解答】解：∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠DBC， ∵DE∥BC， ∴∠EDB＝∠DBC， ∴∠ABD＝∠EDB， ∴EB＝ED， ∵AB＝3，AD＝1， ∴△AED的周长＝AE+DE+AD＝AE+BE+AD＝AB+AD＝3+1＝4， 故选：C． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 8．【考点】坐标与图形变化﹣旋转；等边三角形的性质． 【专题】平移、旋转与对称；推理能力． 【分析】先求出点B1的坐标，再根据旋转4次所得三角形中的点B4与点B1关于坐标原点成中心对称即可解决问题． 【解答】解：令A1B1与y轴的交点为M， 由旋转可知， ∠OA1B1＝∠OAB＝60°，B1A1＝OA1＝OB1＝2， 又因为∠MOA1＝90°﹣60°＝30°， 所以∠A1MO＝90°， 则1 在Rt△OMB1中， OM， 所以点B1的坐标为（﹣1，）． 按此方式再继续旋转3次， 则点B4在B1O的延长线上，且OB4＝OB1， 即点B4与点B1关于坐标原点对称， 所以点B4的坐标为（1，）． 故选：D． 【点评】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，能根据所给旋转方式发现点B4与点B1关于坐标原点对称是解题的关键． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 9．【考点】提公因式法与公式法的综合运用． 【专题】计算题；因式分解． 【分析】首先提取公因式m，再利用平方差进行分解即可． 【解答】解：原式＝m（m2﹣9） ＝m（m+3）（m﹣3）． 故答案为：m（m+3）（m﹣3）． 【点评】此题主要考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 10．【考点】多边形内角与外角． 【专题】多边形与平行四边形；几何直观；运算能力． 【分析】根据多边形每个内角与其相邻的外角互补，则正n边形的每个外角的度数＝180°﹣140°＝40°，然后根据多边形的外角和为360°即可得到n的值． 【解答】解：∵正n边形的每个内角都是140°， ∴正n边形的每个外角的度数＝180°﹣144°＝36°， ∴n＝360°÷36°＝10． 故答案为：10． 【点评】本题考查了多边形内角与外角的关系及多边形的外角和定理，用到的知识点：多边形每个内角与其相邻的外角互补；多边形的外角和为360°． 11．【考点】一次函数与一元一次不等式． 【专题】一次函数及其应用；运算能力． 【分析】结合函数图象，写出直线y＝3x在直线y＝kx-b（k≠0）上方所对应的自变量的范围即可． 【解答】解：∵两条直线相交于点M（t，3）， 将M（t，3）代入y＝3x中得t=1 ∴当x＞1时，3x＞kx-b， 即关于3x＞kx-b的不等式的解集为x＞1． 故答案为：x＞1． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式及一次函数图象的交点问题，解答本题的关键是熟练掌握图象在上方的部分对应的函数值大，图象在下方的部分对应的函数值小． 12．【考点】分式方程的增根． 【专题】分式方程及应用；运算能力． 【分析】先将分式方程化为整式方程求解，再根据分式方程有增根得出x＝3，即可求出m的值． 【解答】解：， 方程可化为， 方程两边同乘x﹣3，得m＝﹣5+x﹣3， 解得x＝m+8， ∵关于x的分式方程有增根， ∴x＝3， ∴m+8＝3， ∴m＝﹣5， 故答案为：﹣5． 【点评】本题考查了分式方程的增根，理解增根的定义是解题的关键． 13．【考点】中心对称；平行四边形的性质． 【专题】多边形与平行四边形；平移、旋转与对称；推理能力． 【分析】根据平行四边形的对角线互相平分可得OA＝OC，由等底等高的两个三角形面积相等可得△AOD的面积与△COD的面积相等，由▱ABCD的面积为16，可得△ACD的面积为8，所以△AOD的面积与△COD的面积均为4，根据△AOF与△DOF的面积的比等于它们的底边的比可得△AOF的面积为1，再把△AOF的面积与△COD的面积相加即可． 【解答】解：∵▱ABCD的面积为16，OA＝OC， ∴S△AOD＝S△COD4， ∵DF＝3AF， ∴S△AOD＝1， ∴图中阴影部分的面积为：S△AOF+S△COD＝1+4＝5． 故答案为：5． 【点评】本题主要考查了中心对称的性质以及平行四边形的性质，关于中心对称的两个图形能够完全重合；关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分． 三．解答题（共13小题，满分81分） 14．【考点】解一元一次不等式． 【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力． 【分析】按照去分母、去括号、移项、合并同类项的步骤求出不等式的解集即可． 【解答】解：， 去分母，得3x≤2（x﹣1）， 去括号，得3x≤2x﹣2， 移项，得3x﹣2x≤﹣2， 合并同类项，得x≤﹣2． 【点评】本题考查了解一元一次不等式，解题的关键是掌握不等式的解法． 15．【考点】解分式方程． 【专题】分式方程及应用；运算能力． 【分析】利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可． 【解答】解：原方程去分母得：1﹣x+2（x﹣2）＝1， 整理得：x﹣3＝1， 解得：x＝4， 检验：当x＝4时，x﹣2≠0， 故原方程的解为x＝4． 【点评】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． 16．【考点】分式的化简求值；一元一次不等式组的整数解． 【专题】分式；运算能力． 【分析】先通分括号内的式子，同时将括号外的除法转化为乘法，然后约分，再从﹣2≤x≤2中选一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子计算即可． 【解答】解： • ， ∵﹣2≤x≤2，x+1≠0，（x+2）（x﹣2）≠0， ∴x≠﹣1、±2，x可以为0或1， 当x＝0时，原式； 当x＝1时，原式． 【点评】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 17．【考点】作图—复杂作图；平行四边形的性质． 【专题】多边形与平行四边形；推理能力． 【分析】作∠BAE＝∠B，可得EA＝EB． 【解答】解：如图，点E即为所求． 【点评】本题考查作图—复杂作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 18．【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集． 【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力． 【分析】先分别解不等式组中的两个不等式，求出各自的解集，再取它们的公共部分得到不等式组的解集，最后在数轴上表示出来． 【解答】解：解不等式①得：x＞﹣1， 解不等式②得x≤5， ∴不等式组的解集为﹣1＜x≤5． 【点评】本题考查解一元一次不等式组及在数轴上表示解集，解题的关键是分别求解不等式组中的两个不等式，再确定公共解集． 19．【考点】全等三角形的判定与性质． 【专题】三角形；图形的全等；几何直观；推理能力． 【分析】根据BE⊥AC，DF⊥AC得△ABE和△CDF都是直角三角形，再根据AF＝CE得AE＝CF，进而可依据“HL”判定Rt△ABE和Rt△CDF全等，然后根据全等三角形的性质即可得出结论． 【解答】证明：∵BE⊥AC，DF⊥AC， ∴∠AEB＝∠CFD＝90°， ∴△ABE和△CDF都是直角三角形， ∵AF＝CE， ∴AF﹣EF＝CE﹣EF， 即AE＝CF， 在Rt△ABE和Rt△CDF中， ， ∴Rt△ABE≌Rt△CDF（HL）， ∴BE＝DF． 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 20．【考点】作图﹣旋转变换；作图﹣平移变换． 【专题】作图题；几何直观． 【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可； （2）利用中心对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可． 【解答】解：（1）如图，△A1B1C1 为所作； （2）如图，△A2B2C2 为所作，点A的对应点A2 的坐标为（﹣2，1）． 【点评】本题考查作图﹣旋转变换，平移变换，解题的关键是掌握旋转变换，平移变换的性质． 21．【考点】线段垂直平分线的性质；平行线的性质． 【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力． 【分析】由平行线的性质得出∠CDE＝∠DCF，由角平分线的定义得出∠CDF＝∠CDE，等量代换可得出∠CDF＝∠DCF，由等角对等边可得出DF＝CF，即可得出点F在线段CD的垂直平分线上，再由AD＝AC即可得出AF垂直平分CD． 【解答】证明：∵DE∥BC（已知）， ∴∠CDE＝∠DCF（两直线平行，内错角相等）， ∵DC平分∠EDF， ∴∠CDF＝∠CDE∠EDF， ∴∠CDF＝∠DCF（等量代换）， ∴DF＝CF（等角对等边）， ∴点F在线段CD的垂直平分线上， ∵AD＝AC， ∴点A在线段CD的垂直平分线上， ∴AF垂直平分CD． 【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，平行线的性质，关键是相关性质的熟练掌握． 22．【考点】一元一次方程的应用；一元一次不等式的应用． 【专题】一次方程（组）及应用；一元一次不等式（组）及应用；运算能力． 【分析】设学校需要购买x套厨具，选择甲厨具店所需的费用为y1元，选择乙厨具店所需的费用为y2元，由题意，得y1＝375x+125，y2＝400x，即可求解． 【解答】解：设学校需要购买x套厨具，选择甲厨具店所需的费用为y1元，选择乙厨具店所需的费用为y2元，由题意，得： y1＝500+（1﹣25%）×500（x﹣1）＝375x+125， y2＝（1﹣20%）×500x＝400x， 由y1＝y2，得375x+125＝400x， 整理得，25x＝125， 解得x＝5； 由y1＜y2，得375x+125＜400x， 整理得，25x＞125， 解得x＞5； 由y1＞y2，得375x+125＞400x， 整理得，25x＜125， 解得x＜5． 答：当学校购买的厨具少于5套时，在乙厨具店购买所需的总费用较少；当学校购买的厨具为5套时，在甲、乙两家厨具店购买所需的总费用相同；当学校购买的厨具多于5套时，在甲厨具店购买所需的总费用较少． 【点评】本题考查了一元一次方程以及一元一次不等式的应用，掌握相关知识是解题的关键． 23．【考点】旋转的性质；等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形；平行四边形的性质． 【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；几何直观；运算能力；推理能力． 【分析】（1）由旋转的性质得△ABC≌△ADE，则AB＝AC＝AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，由此得∠BAD＝∠CAE，进而可依据“SAS”判定△BAD和△CAE全等，然后根据全等三角形的性质可得出结论； （2）过A作AH⊥CE于H，由由（1）可知AC＝AE＝AB＝2，则CE＝2CH，根据四边形ABFE是平行四边形得EF∥AB，EF＝AB＝2，则∠ACH＝∠BAC＝30°，再根据含有30°角的直角三角形性质得AH＝1，由勾股定理得CH，则CE＝2CH，然后根据CF＝CE﹣EF即可得出答案． 【解答】（1）证明：在等腰△ABC中，AB＝AC， 由旋转的性质得：△ABC≌△ADE， ∴AB＝AC＝AD＝AE，∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD， 即∠BAD＝∠CAE， 在△BAD和△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴BD＝CE； （2）解：过A作AH⊥CE于H，如图所示： 在等腰△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝30°， 由（1）可知：AC＝AE， ∴CH＝EHCE， ∴CE＝2CH， ∵四边形ABFE是平行四边形， ∴EF∥AB，EF＝AB＝2， ∴∠ACH＝∠BAC＝30°， 在Rt△ACH中，AHAC＝1， 由勾股定理得：CH， ∴CE＝2CH， ∴CF＝CE﹣EF． 【点评】此题主要考查了图形的旋转变换及其性质，等腰三角形的性质，平行四边形的性质，含30度角的直角三角形，理解图形的旋转变换及其性质，等腰三角形的性质，熟练掌握平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用含30度角的直角三角形及勾股定理进行计算是解决问题的关键． 24．【考点】因式分解的意义；因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣分组分解法；非负数的性质：偶次方． 【专题】整式；运算能力． 【分析】（1）根据分组分解法求解即可； （2）根据分组分解法求解即可； （3）根据分组分解法求解即可． 【解答】解：（1）原式＝x2（x﹣2）+2（x﹣2） ＝（x2+2）（x﹣2）； （2）原式＝（x2﹣6xy+9y2）﹣1 ＝（x﹣3y）2﹣1； ＝（x﹣3y+1）（x﹣3y﹣1）； （3）原式＝（4a2﹣12ab+9b2）﹣（4a﹣6b）+1 ＝（2a﹣3b）2﹣2（2a﹣3b）+1 ＝（2a﹣3b﹣1）2． 【点评】本题主要考查因式分解，掌握分组分解法是关键． 25．【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用． 【专题】分式方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；应用意识． 【分析】（1）设每件乙种商品的价格为x元，每件甲种商品的价格为（x+8）元，利用数量＝总价÷单价，结合用2400元购买甲种商品的件数恰好与用2000元购买乙种商品的件数相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出每件乙种商品的价格，再将其代入（x+8）中即可求出每件甲种商品的价格； （2）设购买m件甲种商品，则购买（80﹣m）件乙种商品，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过3600元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论． 【解答】解：（1）设每件乙种商品的价格为x元，每件甲种商品的价格为（x+8）元， 依题意得：， 解得：x＝40， 经检验，x＝40是原方程的解，且符合题意， ∴x+8＝40+8＝48． 答：每件甲种商品的价格为48元，每件乙种商品的价格为40元． （2）设购买m件甲种商品，则购买（80﹣m）件乙种商品， 依题意得：48m+40（80﹣m）≤3600， 解得：m≤50， ∴m的最大值为50． 答：最多可购买50件甲种商品． 【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 26．【考点】平行四边形的性质；线段垂直平分线的性质． 【专题】推理能力． 【分析】（1）由平行四边形的性质得到AB＝CD，AD＝BC，OB＝OD，然后求出BC+CD＝14，得到DE＝BE，进而求解即可； （2）如图所示，过点B作BH∥AE交DE于点H，连接PH，CH，AH，证明出△ADE是等边三角形，△DBH是等边三角形，得到BH＝BD＝DH，然后证明出四边形ABHC是平行四边形，得到AH，BC互相平分，证明出△ADH≌△EDB（SAS），得到BE＝AH，进而求解即可． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AD＝BC，OB＝OD， ∵平行四边形ABCD的周长＝2（BC+CD）＝28， ∴BC+CD＝14， ∵OE⊥BD， ∴OE垂直平分BD， ∴DE＝BE， ∵△BCE的周长＝BC+CE+BE＝BC+CE+CE+CD＝BC+CD+2CE＝18， ∴CE＝2． （2）BE＝2AP（形式不唯一，正确即可），理由如下： 如图所示，过点B作BH∥AE交DE于点H，连接PH，CH，AH， ∵∠BAC＝60°， ∴∠DBH＝∠BAC＝60°， ∵AB＝CE，AC＝BD， ∴AB+BD＝AC+CE，即AD＝AE， ∴△ADE是等边三角形， ∴∠D＝60°，DE＝DA， ∴△DBH是等边三角形， ∴BH＝BD＝DH， ∴BH＝AC， ∵BH∥AC， ∴四边形ABHC是平行四边形， ∴AH，BC互相平分， ∵点P为BC的中点， ∴A、P、H三点共线， ∴AH＝2AP， ∴△ADH≌△EDB（SAS）， ∴BE＝AH， ∴BE＝2AP． 【点评】此题考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，等边三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 考点卡片 1．非负数的性质：偶次方 偶次方具有非负性． 任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0． 2．因式分解的意义 1、分解因式的定义： 把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式． 2、因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．例如： 3、因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验． 3．因式分解-提公因式法 1、提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． 2、具体方法： （1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的． 　（2）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“﹣”号，使括号内的第一项的系数成为正数． 提出“﹣”号时，多项式的各项都要变号． 3、口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶． 4、提公因式法基本步骤： （1）找出公因式； （2）提公因式并确定另一个因式： ①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母； ②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式； ③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同． 4．提公因式法与公式法的综合运用 先提取公因式，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解即可． 5．因式分解-分组分解法 1、分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式，二是分组后能应用公式． 2、对于常见的四项式，一般的分组分解有两种形式：①二二分法，②三一分法． 例如：①ax+ay+bx+by ＝x（a+b）+y（a+b） ＝（a+b）（x+y） ②2xy﹣x2+1﹣y2 ＝﹣（x2﹣2xy+y2）+1 ＝1﹣（x﹣y）2 ＝（1+x﹣y）（1﹣x+y） 6．分式有意义的条件 （1）分式有意义的条件是分母不等于零． （2）分式无意义的条件是分母等于零． （3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号． （4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号． 7．分式的化简求值 ‌分式的化简求值是通过约分、通分、因式分解等方法将分式化为最简形式，再代入特定值计算的过程‌．常用方法包括整体代入法、比例系数法等． 先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值． 在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． 【规律方法】分式化简求值时需注意的问题 1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”． 2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0． 8．一元一次方程的应用 （一）一元一次方程解应用题的类型有： （1）探索规律型问题； （2）数字问题； （3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率100%）；（4）工程问题（①工作量＝人均效率×人数×时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量）； （5）行程问题（路程＝速度×时间）； （6）等值变换问题； （7）和，差，倍，分问题； （8）分配问题； （9）比赛积分问题； （10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）． （二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答． 列一元一次方程解应用题的五个步骤 1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系． 2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数． 3．列：根据等量关系列出方程． 4．解：解方程，求得未知数的值． 5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句． 9．解分式方程 （1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论． （2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验： ①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解． ②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解． 所以解分式方程时，一定要检验． 10．分式方程的增根 （1）增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根． （2）增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件．当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根． （3）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根． 11．分式方程的应用 1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答． 必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等． 2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时间 等等． 列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力． 12．在数轴上表示不等式的解集 用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”： 一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点； 二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”． 【规律方法】不等式解集的验证方法 某不等式求得的解集为x＞a，其验证方法可以先将a代入原不等式，则两边相等，其次在x＞a的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立． 13．解一元一次不等式 根据不等式的性质解一元一次不等式 基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1． 以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向． 注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式． 14．一元一次不等式的应用 （1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案． （2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． （3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤： ①弄清题中数量关系，用字母表示未知数． ②根据题中的不等关系列出不等式． ③解不等式，求出解集． ④写出符合题意的解． 15．解一元一次不等式组 （1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集． （2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组． （3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集． 方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分． 解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 16．一元一次不等式组的整数解 （1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）． 解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解． （2）已知解集（整数解）求字母的取值． 一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案． 17．一次函数与一元一次不等式 （1）一次函数与一元一次不等式的关系 从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围； 从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． （2）用画函数图象的方法解不等式kx+b＞0（或＜0） 对应一次函数y＝kx+b，它与x轴交点为（，0）． 当k＞0时，不等式kx+b＞0的解为：x，不等式kx+b＜0的解为：x； 当k＜0，不等式kx+b＞0的解为：x，不等式kx+b＜0的解为：x． 18．平行线的性质 1、平行线性质定理 定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等． 定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补． 定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等． 2、两条平行线之间的距离处处相等． 19．全等三角形的判定与性质 （1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． （2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． 20．线段垂直平分线的性质 （1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”． （2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．　　 　　②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　　 　　③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等． 21．等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的概念 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． （2）等腰三角形的性质 ①等腰三角形的两腰相等 ②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】 ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】 （3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论． 22．等腰三角形的判定与性质 1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段． 2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析． 3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决． 23．等边三角形的性质 （1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形． ①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法； ②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的． （2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°． 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴． 24．含30度角的直角三角形 （1）含30度角的直角三角形的性质： 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半． （2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数． （3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用； ②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边． 25．多边形内角与外角 （1）多边形内角和定理：（n﹣2）•180° （n≥3且n为整数） 此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法． （2）多边形的外角和等于360°． ①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°． ②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n﹣（n﹣2）•180°＝360°． 26．平行四边形的性质 （1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． （2）平行四边形的性质： ①边：平行四边形的对边相等． ②角：平行四边形的对角相等． ③对角线：平行四边形的对角线互相平分． （3）平行线间的距离处处相等． （4）平行四边形的面积： ①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积． ②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等． 27．作图—复杂作图 复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法． 解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 28．作图-平移变换 （1）确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离． （2）作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形． 29．旋转的性质 （1）旋转的性质： 　　 　　①对应点到旋转中心的距离相等．　　 　　②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．　　 　　③旋转前、后的图形全等．　　 （2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度．　　 　　注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样． 30．中心对称 （1）中心对称的定义 把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．． （2）中心对称的性质 ①关于中心对称的两个图形能够完全重合； ②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分． 31．中心对称图形 （1）定义 把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心． 注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同． （2）常见的中心对称图形 平行四边形、圆形、正方形、长方形等等． 32．坐标与图形变化-旋转 （1）关于原点对称的点的坐标 P（x，y）⇒P（﹣x，﹣y） （2）旋转图形的坐标 图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°． 33．作图-旋转变换 （1）旋转图形的作法： 根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形． （2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 陕西省咸阳市八年级数学下学期期末测试 考试范围：第1-6章；考试时间：120分钟； 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项： 1． 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1．（3分）下列常用APP的图标中，是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．(原创)（3分）已知当x＝6时，分式无意义，则的值为（　　） A．﹣6 B．6 C．0 D．2 3．（3分）一元一次不等式3x+5＞2（x+1）的解集在数轴上表示为（　　） A． B． C． D． 4．（3分）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　） A．4m﹣8n+4＝4（m﹣2n） B．x2﹣2x+1＝x（x﹣2）+1 C．﹣x2+2x﹣1＝﹣（x﹣1）2 D．3ab（b﹣4）＝3ab2﹣12ab 5．(原创)（3分）不等式组的最大整数解为（　　） A．1 B．2 C．3 D．5 6．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点M、N，若NC＝3，BC＝4，则AC的长为（　　） A．9 B．8 C．7 D．6 7．（3分）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE∥BC交AB于点E，已知AB＝3，AD＝1，则△AED的周长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，将边长为2的等边三角形OAB绕点O逆时针旋转60°后得到△OA1B1，依此方式，绕点O连续旋转4次得到△OA4B4，那么B4的坐标为（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 9．(原创)（3分）分解因式：m3﹣9m＝　 　 ． 10．(原创)（3分）若一个正n边形的一个内角是144°，那么它的边数n＝　 　 ． 11．(原创)（3分）如图，直线y＝3x与直线y＝kx-b（k≠0）相交于点M（t，3），则关于x的不等式3x＞kx-b的解集是 　 　 ． 12．（3分）若关于x的分式方程有增根，则m的值为　 　 ． 13．（3分）如图，点O为▱ABCD的对称中心，点F为边AD上一点，连接AO，CO，DO，FO，若▱ABCD的面积为16，DF＝3AF，则图中阴影部分的面积为　 　 ． 三．解答题（共13小题，满分81分） 14．（5分）解不等式：． 15． （5分）解方程． 16． （5分）先化简：，再从﹣2≤x≤2中选一个适合的整数代入求值． 17．（5分）如图，在▱ABCD中，请利用尺规作图法在BC边上求作点E，连接AE，使得AE＝BE．（保留作图痕迹，不写作法） 18.（5分）解不等式组并把不等式组的解集在数轴上表示出来． 19．（5分）如图，在四边形ABCD中，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为E，F，AF＝CE，AB＝CD．求证：BE＝DF． 20．（5分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上，且三个顶点的坐标分别为A（2，﹣1）、B（1，﹣2）、C（3，﹣3）． （1）将△ABC向上平移4个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1； （2）请画出与△ABC关于原点O成中心对称的△A2B2C2，并写出点A的对应点A2的坐标． 21．（6分）如图所示，在△ABC中，D是边AB上一点，AD＝AC，过点D作DE∥BC交AC于点E，点F是BC上一点，连接DF，CD，AF，且DC平分∠EDF，求证：AF垂直平分CD． 22．（7分）健康中国，营养先行．育才中学为培养学生基本的生活自理能力，让学生享受更健康、美味、经济实惠的饮食、准备开设“烹饪与营养”的兴趣班．学校计划购买若干套烹饪工具，现从两家厨具店了解到同样的烹饪工具每套报价均为500元．并且多买都有一定的优惠，两家店的优惠条件如表所示： 厨具店 优惠条件 甲厨具店 第一套按原价收费，其余每套优惠25% 乙厨具店 每套优惠20% 如果只能选择在一家厨具店购买，学校选择哪家厨具店购买所需的总费用较少？ 23．（7分）如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，连接CE、BD交于点F． （1）求证：BD＝CE； （2）当四边形ABFE是平行四边形，且AB＝2，∠BAC＝30°时，求CF的长． 24．（8分）【阅读材料】某校“数学社团”成员研究发现常用的分解因式的方法有提取公因式法，公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解．例如a2﹣ab+5a﹣5b和x2+2xy+y2﹣9．社团成员经过讨论交流后发现可以将这样的式子先分组，再分解．方法如下a2﹣ab+5a﹣5b＝a（a﹣b）+5（a﹣b）＝（a+5）（a﹣b）；x2+2xy+y2﹣9＝（x+y）2﹣32＝（x+y+3）（x+y﹣3）．请在这种方法的启发下，解决下列问题： 【问题解决】 （1）因式分解：x3﹣2x2+2x﹣4； （2）因式分解：x2﹣6xy+9y2﹣1； 【方法延伸】 （3） 因式分解：4a2﹣12ab+9b2﹣4a+6b+1． 25．（8分）某商店购进甲、乙两种商品，已知每件甲种商品的价格比每件乙种商品的价格贵8元，用2400元购买甲种商品的件数恰好与用2000元购买乙种商品的件数相同． （1）求甲、乙两种商品每件的价格各是多少元？ （2）计划购买这两种商品共80件，且投入的经费不超过3600元，那么最多可购买多少件甲种商品？ 26．（10分）【课本再现】 在学习了平行四边形的概念后，进一步得到平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分． 【性质应用】 （1）如图1，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OE⊥BD交DC的延长线于点E，连接BE，若▱ABCD的周长为28，△BCE的周长为18，求CE的长度； 【拓展提升】 （2）如图2，有一个三角形景观花园ABC，现市政府为进一步提升城市绿化景观品质，决定对这个三角形花园进行创意性扩建．规划方案为：延长AB边到点D，使得BD＝AC，同时延长AC边到点E，使得CE＝AB，最后连接DE，打造出全新的三角形景观区域ADE．在原三角形花园ABC里，点P是BC边的中点，从A到P有一条贯穿的小径AP，现需要把BC、AP、BE这三条路线打造为空中观景步道，方便市民从空中俯瞰花园美景．已知∠BAC＝60°，请探究线段BE与线段AP之间存在怎样的数量关系，并说明理由． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $