精品解析：陕西省渭南市部分学校2025 ～ 2026学年度第二学期期末阶段作业 八年级数学

2025~2026学年度第二学期期末阶段作业 八年级数学 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名、班级和准考证号． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列图案中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在一个不透明的口袋中装有10个除颜色外其他均相同的小球，每次摸球前先将袋中的小球摇匀，随机摸出一个小球记下颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到黑球的频率稳定在，则估计袋中黑球有（ ） A. 1个 B. 3个 C. 5个 D. 6个 3. 计算的结果为（ ） A. 3 B. 3a C. a＋1 D. 4. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在平行四边形中，，点E为边上一点，连接，点M、N分别是的中点，连接，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 6. 如图，直线和直线相交于，则不等式解集为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在矩形中，对角线相交于点O，，点E在上，连接，垂直平分，则的长为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 8. 如图，中，，点D，E分别在，上，F是的中点．若，，则的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 因式分解：＝______． 10. 写出不等式的一个负整数解：______．（只写一个） 11. 如图，在五边形中，若，则的度数为___________． 12. 某公园有A、B、C三个入口，甲、乙两名游客各自随机选择一个入口进入，甲、乙两人选择每一个入口的可能性都相同，那么甲、乙两人恰好都从同一入口进入的概率是______． 13. 若关于的方程有增根，则的值为_______． 14. 如图，在正方形中，，点E、F分别在、上，连接、、、，当，时，的长为______． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 请用因式分解计算：． 16. 解不等式组： 17. 解方程：． 18. 如图，在中，，请用尺规作图法在内部找一点，连接、，使得是等腰三角形，且．（保留作图痕迹，不写作法） 19. 如图，在中，点在边上，，连接并延长交的延长线于点，求证：． 20. 中国航天事业取得了举世瞩目的成就，某校科技节选取了最新的四项航天任务：A．天舟十号货运补给；B．神舟二十三号载人飞行；C．神舟二十四号载人飞行；D．梦舟一号无人试验，供学生对其进行深入了解，将四项任务分别写在四张大小、质地相同的不透明卡片正面上，将四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上，李明随机抽取一张后，张华再从剩余的三张卡片中随机抽取一张，两人均按照所抽取的卡片上的任务进行深入了解． （1）李明抽到的卡片是“A．天舟十号货运补给”的概率是______； （2）请用列表或画树状图的方法，求两人抽到的卡片恰好都是载人飞行的概率． 21. 如图，在中，延长至点E，延长至点F，且．求证：是矩形． 22. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为点，，． （1）画出将先向下平移个单位；再向左平移个单位后所得的；（点、、的对应点分别为点、、） （2）画出将绕着原点顺时针旋转后所得的，并写出点的坐标．（点、的对应点分别为点、） 23. 某学校体育社团利用周末时间去某滑雪场滑雪，滑雪场全天畅滑单人票为元．由于该体育社团人数较多，滑雪场负责人提供了两种优惠方案．方案一：所有人一律九折；方案二：人数超过人，超出部分打七五折．（体育社团人数为人，其中） （1）分别写出方案一所需费用元、方案二所需费用元与社团人数之间的函数关系式； （2）当社团人数在什么范围时，选择方案一所需费用小于选择方案二所需费用． 24. 如图，在中，，，点是外一点，连接、，，过点作分别交、于点、． （1）求证：是等边三角形； （2）连接交于点，若，，求的长． 25. 生肖文化是中华传统文化的重要组成部分，承载着吉祥祈福、辞旧迎新的美好寓意．某文创商家为传承和弘扬生肖文化，计划购进甲、乙两种生肖主题纪念币进行销售，已知每枚乙种纪念币的进价是每枚甲种纪念币的进价的1.5倍，用300元购进甲种纪念币的数量比用540元购进乙种纪念币的数量少2枚． （1）求每枚甲、乙两种纪念币的进价各为多少元？ （2）商家发现销售效果较好，在甲、乙两种纪念币的进价保持不变的前提下，再次购进甲、乙两种纪念币共200枚，且购进的总费用不超过8250元，则该商家最少购进多少枚甲种纪念币？ 26. 【问题探究】 （1）如图1，在菱形中，，点为的中点，点为的中点，连接，点为线段上的一点，连接、．为探究的最小值，我们可以作点关于的对称点，由菱形的对称性可知，点是的中点．请你求出的最小值； 【问题解决】 （2）如图2，有一座菱形公园，，，点、为公园的两个出入口，为连通出入口的道路，现要在边、上分别开设两个新的出入口、，使，并在上取一点，连接、，沿、铺设新的道路，为节约成本，要使最小，则当最小时，的长为多少？（出入口的大小与道路的宽度均忽略不计） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $6学科网 命组卷网 20252026学年度第二学期期末阶段作业 八年级数学 注意事项： 1.本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）.全卷共6页，总分120分.考 试时间120分钟. 2.领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名、 班级和准考证号. 3.请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效. 4.作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑 5.考试结束，本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分.每小题只有一个选项是符合题意的） 1.下列图案中是中心对称图形的是（) 人入 D 【答案】D 【解析】 【分析】把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫 做中心对称图形，据此逐一判断即可. 第1页/共25页 命学科网命组卷网 【详解】解：由中心对称图形的定义可知，四个选项中只有D选项中的图形是中心对称图形 2.在一个不透明的口袋中装有0个除颜色外其他均相同的小球，每次摸球前先将袋中的小球摇匀，随机 摸出一个小球记下颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到黑球的频率稳定在03，则估计 袋中黑球有() A.1个 B.3个 C.5个 D.6个 【答案】B 【解析】 【分析】大量重复试验中，随机事件发生的频率会稳定在事件发生的概率附近，据此得到摸到黑球的概率， 再计算黑球的估计个数即可. 【详解】·通过大量重复摸球试验后，摸到黑球的频率稳定在0.3， ∴估计摸到黑球的概率为03， 口袋中共有10个小球， ∴袋中黑球约为10×0.3=3（个）. 3 3a 3.计算a+1a+1的结果为() 6a A.3 B.3a C.a+1 D.a+1 【答案】A 【解析】 3 3a 【详解】解：a+1a+1 =3+3a a+1 3(a+1) a+1 第2页/共25页 6学科网6组卷网 =3 4.下列因式分解正确的是() A.x2+2x-1=x(x+2)-1 B(x2+3)x=x2+3x C.ax-bx+cx=x(a-b+c) D.-+y2=(-x+y)(-x-y) 【答案】C 【解析】 【分析】把一个多项式写成几个整式的乘积形式叫做因式分解，先根据因式分解的定义排除不符合要求的 选项，再结合提取公因式法、平方差公式判断剩余选项即可， 【详解1解：A、女+2x-1=x(+2)-1中，等式右边不是乘积形式，不是因式分解，故此选项不符合 题意； B、(x+3x=r+3x中，等式右边不是乘积形式，不是因式分解，故此选项不符合题意： C、x-bx+cx=x(a-b+c)是因式分解，且分解正确，符合题意： D、-r+y=少-？=(+x(y-),原式因式分解错误，不符合题意. 5.如图，在平行四边形ABCD中，AD=8,点E为边AD上一点，连接BE、CE,点MN分别是 BE、CE 的中点，连接N.则MW的长为《) E A D M B A.4 B.5 C.6 D.8 【答案】A 【解析】 【分析】由平行四边形的性质得到BC=AD=8，再由三角形中位线定理可得答案. 第3页/共25页 学科网 命组卷网 【详解】解：，四边形ABCD是平行四边形， .BC=AD=8, :点M、N分别是BE、CE的中点， .MN为△EBC的中位线， :MN-18C-4 2 6.如图，直线：y=x+l和直线：y=mrx+n相交于P(a,2),则不等式x+1≥mx+n解集为() x≤1 A. B.t≥2 c≥1 D.t≤2 【答案】C 【解析】 【分析】首先把点P的坐标代入人，即可求得点P的坐标，再根据两函数的图象即可求得 【详解】解：把点P的坐标代入：)=+1，得2=a+1, 解得：a=1, 故点P的坐标为(，2)】 故由两函数图象可得关于x的不等式x+l之mx+n的解集为x≥1. 7.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,AB=2,点E在OB上，连接AE,AE垂 第4页/共25页 6学科网命组卷网 直平分OB,则BC的长为() A.2 B.4 C25 D.2V5 【答案】D 【解析】 04-0B-1AC 【分析】由矩形的性质得到 2 ,∠ABC=90°，由垂直平分线的性质得到AB=OA,则 可证明△AOB是等边三角形，得到OA=AB=2,据此利用勾股定理求解即可. 【详解】解：：在矩形ABCD中，对角线ACBD相交于点O, 04=0B=1 AC 2 ,∠ABC=90°， :AE垂直平分OB .AB=OA. .'AB=OA=OB, .△AOB是等边三角形， .OA=AB=2. .AC=4. .BC=AC2-AB2 =23 第5页/共25页 学科网命组卷网 8.如图，△ABC中，AC=8,点D,E分别在BC,AC上，F是BD的中点.若AB=AD,EF=EC, 则EF的长是() A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的性质，添加辅助线是解题的关 键.先连接AF,根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得AF⊥BD,再利用等角的余角相等，证明 ∠EAF=∠EFA,从而得EA=EF,即可解答. 【详解】解：如图，连接AF, :AB=AD,F是BD的中点， .AF⊥BD, .∠AFD=90°， :.∠EAF+∠C=90°，∠AFE+∠EFC=90° .EF=EC, ∴.∠EFC=∠C、 、∠EAF=∠AFE, .'EA=EF, .EF-EA=EC=1AC-4 第6页/共25页 学科网 命组卷网 故选：B 第二部分（非选择题共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9.因式分解： 2a2-4a2+2a_ 【答案】2a(a-1)2 【解析】 【详解1解：2a-4r2+2a=2a(a2-2a+l)=2a(a- 10.写出不等式2-x≤5的一个负整数解：一·（只写一个） 【答案】-1（答案不唯一，-1，-2，-3任意一个即可） 【解析】 【详解】解：2-x≤5 移项得-x≤5-2， 合并同类项得一x≤3， 系数化为1得x≥-3， ∴.不等式2-x≤5的一个负整数解可以为-1. 11.如图，在五边形ABCDE中，若∠A=120°，则∠B+∠C+∠D+∠E的度数为 B 【答案】420 第7页/共25页 6学科网组卷网 【解析】 【分析】n边形≥3)的内角和为180°，(n-2）,据此求出五边形的内角和即可得到答案 ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°×(5-2)=540° 【详解】解：由题意得， .∠A=120°， .∠B+∠C+∠D+∠E=420° 12.某公园有A、B、C三个入口，甲、乙两名游客各自随机选择一个入口进入，甲、乙两人选择每一个入 口的可能性都相同，那么甲、乙两人恰好都从同一入口进入的概率是一· 1 【答案】3 【解析】 【分析】先确定所有等可能的结果数，再找出满足条件的结果数，代入概率公式计算即可. 【详解】列表如下： A B C A (A,A) (A,B) (A,C) B (B,A) (B,B) (B,C) C (C,A) (C,B) (C,C) 由表可知，一共有9种等可能的结果，其中甲、乙两人恰好都从同一入口进入的结果有3种， 31 ∴.P(甲、乙两人恰好都从同一入口进入)=93. 21k 13.若关于x的方程x+2x-24-x2有增根，则k的值为 【答案】4或8 第8页/共25页 可学科网命组卷网 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，理解分式方程的增根意义是解答的关键. 先确定分式方程的增根为使分母为零的x值，即x=2或x=-2;然后去分母得到整式方程，代入增根求 解k的值 【详解】解：去分母，两边同乘（x-2x+2）,得2(x-2)-(x+2)=-k 化简得x-6=-k,即x=6-k, :方程的分母为x+2,x-2,4-x,其中4 4-x2=-(x-2)(x+2) 故分母为零时，x=2或x=-2,即为可能增根， 若增根为x=2,则2=6-k,解得k=4; 若增根为x=-2,则-2=6-k,解得k=8, 故k的值为4或8， 故答案为：4或8. 14.如图，在正方形ABCD中，AB=6,点E、F分别在AB、BC上，连接CE、DE、DF、EF, 当∠EDF=45°，CF=2时，CE的长为 D 【答案】3V5 【解析】 【分析】延长BC至G使CG=AE,连接DG.由正方形性质得AD=CD,∠EAD=∠GCD=90°， 第9页/共25页 6学科网命组卷网 先证△EAD≌aGCD,得DE=DG,∠ADE=∠CDG.由∠EDF=45°得∠GDF=45°，再证 aDBF2aDGF,有EBF=FG=FC+CG.设ME=K,则CG=x,BE=6-x,BF=2+x,在 △EBF中由勾股定理列方程(2+=(6-+4，解得x=3,在△CBE中由勾股定理得CE=35 【详解】解：如图，延长BC至G,令CG=AE,连接DG, D E :四边形ABCD是正方形， ∴.AD=CD=AB=BC,∠EAD=∠GCD=∠B=∠ADC=90° 在△EAD和△GCD中， AE=CG ∠EAD=∠GCD=90° AD=CD :.△EAD≌aGCD(SAS) .DE=DG,∠ADE=∠CDG .:∠EDF=45° ∴∠CDG+∠CDF=∠ADE+∠CDF=∠ADC-∠EDF=90-4S=4S,即∠GDF=459 在ADEF和△DGF中， 第10页/供25页 6学科网命组卷网 DE=DG ∠EDF=∠GDF DF=DF :.aDEF≌aDGF(SAS) ∴.EF=FG .·AD=6CF=2 .BF=BC-CF=AD-CF=6-2=4 AE=x,CG=x,BE=AB-AE=6-x,EF=FG=FC+CG=2+x, 在RtAEBF中，EF2=BE2+BF2,即(2+'=(6-+4， 解得x=3, .BE=6-3=3, 在R1aCBE中，CE=VBC2+BE2=V62+32-V45=3√5. 三、解答题（共12小题，计78分.解答应写出过程） 15.请用因式分解计算：101-101x190+952 【答案】36 【解析】 1012-101×190+952 【详解】解： =1012-2×101×95+952 =(101-95)2 第11页/共25页 命学科网 命组卷网 =62 =36 4x+5>x-1 16.解不等式组： 3x-1<x 2 【答案】-2<x<1 【解析】 4x+5>x-1① 【详解】解： 3x-1<x② 2 解不等式①，得x>-2: 解不等式②，得x<1: ∴原不等式组的解集为一2<x<1 x=1-,2 17.解方程：2x-11-2x. 【答案】x=-1 【解析】 -1-2 【详解】解：2x-11-2x 方程两边同时乘以2x-1得x=2x-1+2, 移项，合并同类项得一x=1, 系数化为1得x=-1, 第12页/供25页 6学科网 命组卷网 检验：当x=-1时，2x-1=2×(-)-1=-3≠0 .x=一1是原方程的解. 18.如图，在△ABC中，∠B=60°，请用尺规作图法在△ABC内部找一点P,连接AP、BP,使得 △ABP是等腰三角形，且∠APB=120°.（保留作图痕迹，不写作法） B 【答案】如图，△ABP是所求作等腰三角形，∠APB即为所求 D 【解析】 【详解】解：分别作∠ABC的角平分线BF和线段AB的垂直平分线MN,两者交于点P,连AP, ∠APB即为所求. :∠B=60°，BF平分∠ABC, .∠ABP=30°」 :MN垂直平分线线段AB, .AP=BP, :.△ABP是等腰三角形， .∠BAP=∠ABP=30°. .∠APB=120° 第13页/共25页 学科网组卷网 19.如图，在口ABCD中，点E在边CD上，DE=CE,连接AE并延长交BC的延长线于点F,，求证： AE=FE. E B 【答案】证明：四边形ABCD是平行四边形， AD/BC,即ADI BE .∠D=∠ECF∠DAE=∠F 在△ADE和△FCE ， ∠DAE=∠F ∠D=∠ECF DE=CE :∴△ADE2aFCE(AAS) .AE=FE」 【解析】 【分析】利用平行四边形的性质推导两组内错角相等，结合已知DE=CE,通过AAS证明两个三角形全 等，即可推导结论 【详解】略 20.中国航天事业取得了举世瞩目的成就，某校科技节选取了最新的四项航天任务：A.天舟十号货运补 给：B.神舟二十三号载人飞行；C.神舟二十四号载人飞行：D.梦舟一号无人试验，供学生对其进行深 入了解，将四项任务分别写在四张大小、质地相同的不透明卡片正面上，将四张卡片背面朝上洗匀后放在 桌面上，李明随机抽取一张后，张华再从剩余的三张卡片中随机抽取一张，两人均按照所抽取的卡片上的 任务进行深入了解. 第14页/供25页 命学科网命组卷网 (1)李明抽到的卡片是“A.天舟十号货运补给”的概率是一： (2)请用列表或画树状图的方法，求两人抽到的卡片恰好都是载人飞行的概率. 1 【答案】(1)4 1 (2)6 【解析】 【分析】(1)直接根据概率公式计算，总共有4种等可能结果，符合条件的结果为1种，即可得到概率； (2)通过列表法列出所有等可能结果，找出两人都抽到载人飞行任务的结果数，再根据概率公式计算即 可得到结果。 【小问1详解】 共有4张大小质地相同的卡片，抽到每张卡片的可能性相等，抽到A的结果共1种， 因此李明抽到A的概率为4· 【小问2详解】 根据题意，列表表示所有等可能的结果如下： 李明 张华 B c D Y (A,B) (A,C) (A,D) B (B,A) (B,C) (B,D) (C,4) (C,B) (C,D) D (D,A) (D,B) (D,C) 所有等可能的结果共12种，由题意可知，B,C是载人飞行任务，其中两人抽到的卡片恰好都是载人飞行 21 的结果有(B,C),(C,B)共2种，因此所求概率为126. 第15页/共25页 学科网命组卷网 2L.如图，在1CD中，延长CD至点B,延长DC至点R,且l DE=CF,BE=AF ·求证：BABCD 是 矩形. 【答案】 证明：，四边形ABCD是平行四边形， BCI AD,BC=AD .DE=CF, .DE+DC=CF+DC. .EC=FD, 在△BEC和△AFD中， BE=AF BC=AD EC=FD △BEC≌AAFD(SSS) .∠BCE=∠ADF, .BC∥AD .∠BCE+∠ADF=180°. .∠ADF+∠ADF=180°， .∠ADF=90°， .ABCD是矩形. 【解析】 【分析】此题重点考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、矩形的判定等知识， 第16页/供25页 命学科网 组卷网 证明△BEC≌△AFD是解题的关键. 由平行四边形的性质得BC=AD,由DE=CF,推导出EC=FD,而BE=AF,可根据“SSS”证明 △BEC≌AAFD∠BCE=∠ADF ∠BCE+∠ADF=180° ∠ADF=90° ,得 ,因为 ,所以 即可证明 口ABCD是矩形 【详解】略 22如图，在平面直角坐标系中，△0AB的顶点坐标分别为点O(0,0),A(3,4),B(2,0) 3 2 B -5-4-3-2-1O12345x 2 (1)面出将41B0先向下平移2个单位：再向左平移子个单位后所得的△4B0,《点A、B、0的对 应点分别为点4、B、0) (2)画出将△AB0绕着原点0顺时针旋转90°后所得的 4B,0,并写出点的坐标.（点A、B的 对应点分别为点4、B) 第17页/供25页 6学科网 命组卷网 5 为 3 A A 【答案】(1) B (2) 345x -5-4-3 -5-4-3-2 (4,-3) 【解析】 【分析】()利用平移的性质得出对应点4，B, ,再顺次连接 △AB,O即可： (2)确定A,B 点0按顺时针方向旋转90°的对应点，B,再顺次连接得△ a△A,B,0,直接写出坐标即 可 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略。点的坐标4-3列 23.某学校体育社团利用周末时间去某滑雪场滑雪，滑雪场全天畅滑单人票为200元，由于该体育社团人 数较多，滑雪场负责人提供了两种优惠方案.方案一：所有人一律九折；方案二：人数超过15人，超出部 分打七五折.（体育社团人数为x人，其中x>15) (1)分别写出方案一所需费用片元、方案二所需费用”元与社团人数”之间的函数关系式： (2)当社团人数在什么范围时，选择方案一所需费用小于选择方案二所需费用. 【答案】(4)片=180x(x>15,且x为整数)，为=150x+750(x>15,且x为整数) 第18页/共25页 6学科网 组卷网 (2)当社团人数满足15<x<25(x为整数)，即人数多于15人且少于25人时，方案一费用小于方案 二费用 【解析】 【分析】(1)根据收费方案分别列出函数关系式即可； (2)根据片<乃得到不等式求解即可。 【小问1详解】 解：由题意得， 片=200x0.9x=180x则片=180x(x>15,且*为整数)： 为=15×200+(x-15)×200x0.,75=150x+750,则=150x+750(x>15,且x为整数)： 【小问2详解】 解：由题意得，180x<150x+750 解得x<25, 而x>15 .15<x<25(x为整数)， 故当社团人数满足15<x<25(x为整数)，即人数多于15人且少于25人时，方案一费用小于方案二费 用 24.如图，在△ABC中，BA=BC,∠ABC=60°，点D是△ABC外一点，连接AD、CD, DA=DC ,DDE∥BC AB AC E F ,过点作 °分别交 、 于点 第19页/共25页 命学科网命组卷网 (I)求证：△AEF是等边三角形： (2)连接BD交AC于点G,若AB=15,DE=10,求AE的长. 【答案】(1)证明：在△ABC中，BA=BC,∠ABC=60°， .4BC 是等边三角形， ∠BAC=∠BCA=60° DEI∥BC .∠AFE=∠BCA=60°∠AEF=∠ABC=60° ·△AEF是等边三角形： (2)5 【解析】 【分析】(1)可证得△ABC是等边三角形，由DE∥BC,得到∠AFE=60°，∠AEF=60°，即可证 得△AEF是等边三角形： (2)由等边三角形、线段垂直平分线、等腰三角形的性质可求得BE,由AE=AB-BE即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：BA=BC,DA=DC, ∴.BD是线段AC的垂直平分线， .BG⊥AC, .BA=BC,∠ABC=60°」 第20页/供25页 命学科网命组卷网 ∠ABG=∠CBG=∠ABC=30° .DE∥BC. .∠BDE=∠CBG=30° .∠BDE=∠ABG=30°， .BE=DE=10. .AE=AB-BE=15-10=5」 25.生肖文化是中华传统文化的重要组成部分，承载着吉祥祈福、辞旧迎新的美好寓意.某文创商家为传 承和弘扬生肖文化，计划购进甲、乙两种生肖主题纪念币进行销售，已知每枚乙种纪念币的进价是每枚甲 种纪念币的进价的1.5倍，用300元购进甲种纪念币的数量比用540元购进乙种纪念币的数量少2枚. (1)求每枚甲、乙两种纪念币的进价各为多少元？ (2)商家发现销售效果较好，在甲、乙两种纪念币的进价保持不变的前提下，再次购进甲、乙两种纪念 币共200枚，且购进的总费用不超过8250元，则该商家最少购进多少枚甲种纪念币？ 【答案】(1)每枚甲种纪念币的进价为30元，每枚乙种纪念币的进价为45元 (2)该商家最少购进50枚甲种纪念币 【解析】 【分析】(1)设每枚甲种纪念币的进价为x元，每枚乙种纪念币的进价为1.5x元.根据用300元购进甲 种纪念币的数量比用540元购进乙种纪念币的数量少2枚列出分式方程求解即可得出答案. (2)设商家购进甲种纪念币y枚，则购进乙种纪念币(200-)枚.根据购进甲、乙两种纪念币共200枚， 且购进的总费用不超过8250元列出不等式求解即可得出答案。 【小问1详解】 解：设每枚甲种纪念币的进价为x元，每枚乙种纪念币的进价为1.5x元. 300_540-2 根据题意得x1.5x 第21页/供25页 命学科网命组卷网 解得：x=30 经检验x=30是原方程的根， 1.5x=45 答：每枚甲种纪念币的进价为30元，每枚乙种纪念币的进价为45元 【小问2详解】 解：设商家购进甲种纪念币y枚，则购进乙种纪念币(200-)枚。 0y+45(200-y)≤8250 根据题意得 y≥50 解得： 该商家最少购进50枚甲种纪念币. 26.【问题探究】 D D 图1 图2 (1)如图1，在菱形ABCD中，AB=4,点P为AD的中点，点为CD的中点，连接AC,点R为 线段1C上的一点，连接PR、R.为探究 PR+OR 的最小值，我们可以作点P关于1C的对称点P, 由菱形的对称性可知，点P'是4B的中点。请你求出 PR+OR 的最小值： 【问题解决】 (2)如图2，有一座菱形公园ABCD,AB=400m,∠ABC=60°，点A、C为公园的两个出入口， AC 为连通出入口的道路，现要在边1D、CD上分别开设丙个新的出入口P、0.使 第22页/供25页 命学科网命组卷网 AP+D9=400 m,并在4C上取点R,莲接PR、OR,沿PR、OR 铺设新的道路，为节约成本， PR+OR PR+OR 要使 最小，则当 最小时，M的长为多少？（出入口的大小与道路的宽度均忽略不 计) 【答案】(1)4 PR+OR (2)当 最小时，AP的长为10m 【解析】 【分析】(1)由轴对称的性质可知，作点P关于AC的对称点P',当P',R,三点共线时， PR+OR PO BPOC PO 最小，最小值为 ,可证得四边形 是平行四边形，即可得到的长： (②)由轴对称的性质可知，作点P关于4 的对称点P,PR+OR=PR+QR≥P ,利用在两条平 P'Q⊥CD.P' 行线之间的所有线段中，垂直于这两条线的垂线段长度最短，可证得当 时， 之取得最小值， 利用勾股定理和矩形的性质即可求解此时AP的长. 【小问1详解】 解：：在菱形ABCD中，点P为AD的中点，点P关于AC的对称点为P',连接P'R, 图1 .PP'AC 被 垂直平分，AP=AP、PR=PR :PR+OR=PR+OR,当PR,e=点共线时， PR+OR PO 最小，最小值为 在菱形ABCD中，AB=4,点P为AD的中点，点Q为CD的中点， 第23页/供25页 6学科网命组卷网 4P-4P-14D-34B-2 2 2 BP'=2,CO=OD=2,ABII CD, Bp'=co BPOC 四边形 是平行四边形， :PO=BC=4 【小问2详解】 解：作点P关于AC的对称点P',则有AP=AP',连接PR, .AP+DO=400m CQ+DO=CD AD=CD=400m .AP=co .AP'=cO 又：四边形ABCD是菱形， AP'ICO APCO 四边形 是平行四边形，AC,P' 2交于点0， .在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AD=CD, :.∠ADC=60°，△ACD是等边三角形， 第24页/供25页 6学科网6组卷网 .∠DAC=60° PR+QR=P'R+OR≥PQ 根据轴对称的性质， PQ⊥CD.P' 当 时， 取得最小值，此时P巴等于等边三角形△4CD+CD边上的高， 过点A作AH⊥CD, ,DAH-ZDAC=30°，∠AD=99,4D=400CH=DH=5ADE 2 在Rt△AHD中，AH=VAD2-DH=V4002-202=2005 AH⊥CDP'O⊥CD ABIICD ∠AHQ=90°∠P'QH=90°∠P'AH=180°-90°=90° APOH 四边形 是矩形， .AP'=OH .AP=co 、C0=H,即P是CH的中点， P-OH-CQ-CH-CD-100 .AP=AP'=100. 当PR+OR最小时，4P的长为 100m 第25页/供25页