命题大赛 第九章 解三角形单元测试-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第四册

**基本信息** 覆盖解三角形全章核心知识，原创题与实际情境结合，适配单元复习，难度适中（0.65），考查数学眼光、思维与语言。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|正弦定理、余弦定理、三角形形状判断（如12题）|原创题（5题）、多选型（9-11题）考查推理能力| |填空题|3题/15分|解的个数（13题原创）、周长最值（14题）|基础与能力结合，体现模型意识| |解答题|5题/77分|实际应用（18题巡逻艇追击）、综合应用（17题四边形）|分层设计，16题原创考查面积与周长范围，培养数学语言表达|

第九章 解三角形单元测试卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版第四册 第九章解三角形。 5．难度系数：0.65 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在中，已知，则（   ） A．120° B．或 C．60° D．或 【答案】D 【难度】0.82 【知识点】正弦定理解三角形 【详解】由正弦定理， 所以， 又，所以 所以或． 2．在中，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.88 【知识点】余弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形 【分析】由余弦定理结合题意可得结果. 【详解】由余弦定理得. ∵，∴. 3．如图，海平面上的甲船位于中心的南偏西且与相距7海里的处，现甲船以13海里/小时的速度沿直线去营救位于中心正东方向8海里的处的乙船，则甲船到达处需要的时间为（    ） A．小时 B．1小时 C．小时 D．2小时 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】余弦定理解三角形、距离测量问题 【详解】由题意可知：， 由余弦定理可得， 所以甲船到达处需要的时间为小时. 4．在△ABC中，若，则最大角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】余弦定理解三角形 【详解】在中，大边对大角，最大，故角为最大角. 由余弦定理得. 代入,,，. 5．（原创）在△ABC中，内角A, B, C的对边分别是a, b, c, 若 ，且 ，则B =（） A. B. C. D. 【答案】B 【难度】0.7 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用 【详解】因为 ,由正弦定理可得 , 又因为 ，所以 , 则 , 整理可得 ，即 , 变形为 ，也就是 ， 同时 可化为 ，已知 ，则 ，所以 。 因为 ，所以 ，那么 或 。 又因为 ， ，所以， 当 时，联立 ，两式相加得 ， ， ， 当 时，联立 ，两式相加得 ， ，此时B = 0，不满足三角形内角和定理，舍去，所以 . 6．在△ABC中，若，且满足，则△ABC的面积等于（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理边角互化的应用、用定义求向量的数量积 【分析】先根据正弦定理及余弦定理求出，从而得到，再根据数量积的定义得到，进而根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】由， 则由正弦定理有，即 则由余弦定理有， 又在△ABC中，，则， 又，即， 所以△ABC的面积为． 7．在中，角A，B，C所对的边分别为，且，若的面积为，则的值为（   ） A．10 B．5 C． D． 【答案】D 【难度】0.6 【知识点】二倍角的正弦公式、三角形面积公式及其应用、诱导公式二、三、四 【分析】利用二倍角正弦公式得，从而得或，结合分析得，故，最后利用三角形面积公式、诱导公式列方程求边长. 【详解】由，结合二倍角正弦公式得， 又，且，则或， 所以或， 当，则，此时，且，显然不存在， 当，则，且且，则， 由， 又， 所以，则，故（负值舍去）. 8．已知锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，若，，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.42 【知识点】求三角形中的边长或周长的最值或范围、正弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用 【分析】由正弦定理边化角得到，再结合正弦定理得到，进而可求解. 【详解】因为三角形中， 所以由，可得， 即， 所以， 即， 又在锐角三角形中，， 则或，即或（舍去）. 因为. 由正弦定理可得， 则 因为是锐角三角形，所以， 所以，所以， 则. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．在中，，，，则（    ） A． B．边上的中线长 C．边上的角平分线长 D．外接圆的面积为 【答案】BC 【难度】0.65 【知识点】余弦定理解三角形、数量积的运算律、正弦定理求外接圆半径、用定义求向量的数量积 【分析】对于A：根据向量的数量积求解即可；对于B：根据向量加法的平行四边形法则、向量数量积的运算律及向量的模求解即可；对于C：根据三角形面积关系及三角形面积公式求解即可；对于D：根据正余弦定理求解即可. 【详解】选项A：向量与的夹角为， 所以，A错误. 选项B：设中点为，则，则 ， 故边上的中线长，B正确. 选项C：设角的角平分线交于，利用面积关系， 即， 也即，解得，C正确. 选项D：由余弦定理得，即， 设外接圆半径为，由正弦定理，则. 所以外接圆的面积，D错误. 10．如图，在圆的内接四边形中，，，，则（   ） A． B． C． D．的面积为 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】几何图形中的计算、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】根据余弦定理以及三角形面积公式依次判断即可. 【详解】对于AB，由于，，， 在中，，即， 在中，，即， 联立两式解得，由于，所以，，故A正确，B错误． 对于C，，故C正确． 对于D，的面积，故D正确． 11．在中，角所对的边分别为，下列命题中正确的是（   ） A．若，则 B．若为锐角三角形，则 C．若，则为等腰三角形 D．若，则有两解 【答案】AD 【难度】0.62 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数、正弦定理边角互化的应用、利用正弦型函数的单调性求函数值或值域 【分析】结合正弦定理、三角函数单调性与诱导公式、三角形解的个数判断等知识点，对各选项逐一分析即可． 【详解】选项A：在中，由大角对大边知，若，则， 由正弦定理得，故本选项正确； 选项B：若为锐角三角形，则，， 所以，即， 由于，正弦函数在上单调递增， 因此，故本选项错误； 选项C：若，由得，则有两种情况： ①即，为等腰三角形； ②即，为直角三角形， 因此可能为等腰三角形或直角三角形，故本选项错误； 选项D：由正弦定理得， 又，故，可为锐角或钝角， 当为钝角时，，所以，满足，因此有两解，故本选项正确． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知的内角所对的边分别为，若，则的形状为__________. 【答案】等腰三角形 【难度】0.82 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用 【分析】由正弦定理边角互化，以及两角和差正弦公式，化简可得结果. 【详解】因为，由正弦定理可得， 则，即， 所以，即， 又因为，则，即, 所以是等腰三角形. 13．（原创）已知△ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c, A=60°, b=4, a=5, 则△ABC解的个数为________． 【答案】1 【难度】0.65 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数 【分析】根据题意，利用正弦定理求出 的值，再结合a与b的大小关系，判断 解的个数，进而确定 解的个数，即可得到答案. 【详解】在 中，因为 ，b=4，a=5， 由正弦定理 ，可得 ， 因为 ， ，所以， 又因为 a > b，大边对大角，所以B为锐角且只有一个解，所以解的个数为 1 个. 14．△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则△ABC周长的最大值为__________. 【答案】6 【难度】0.55 【知识点】余弦定理解三角形、基本不等式求积的最大值、用和、差角的正切公式化简、求值 【详解】由三角形内角和得，故. 由正切和角公式， 代入得：，整理得. 结合题设，联立得. 因，故. 已知，由余弦定理， 代入得：. 由基本不等式，得， 即，当且仅当时取等号. 因为，所以. 故，当且仅当时取等号. 因此周长，即周长最大值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）在中，角所对的边分别为，已知，． (1)求角的大小； (2)求边的长度； (3)求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.86 【知识点】余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、正弦定理解三角形 【分析】（1）由正弦定理可求得，可求角的大小； （2）利用勾股定理可求边的长度； （3）由三角形是直角三角形可求的面积． 【详解】（1）在中，由正弦定理得，又因为，， 所以，所以，（2分） 又因为，所以，所以；（5分） （2）由（1）可得，又，所以，（8分） 所以由勾股定理可得，所以.（10分） （3）由（2）知是直角三角形，且，所以.（13分） 16．（原创）（15分）在△ABC中，角A, B, C的对边分别为a, b, c，已知 。 (1)求角B的大小; (2)若a=3， ，求 的面积； (3)若 ，求 周长的取值范围. 【答案】(1) (2)6 (3) 【难度】0.65 【知识点】余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）利用正弦定理实现边角互化，结合三角形内角的取值范围求解角B. （2）借助余弦定理求出边c的长度，代入三角形面积公式计算即可. （3）利用余弦定理结合基本不等式求的取值上界，结合三角形三边关系确定取值下界，最终得到周长的取值范围. 【详解】（1）在 中，由正弦定理得（R为外接圆半径）， 所以a=2RsinA, b=2RsinB，代入 得（2分） 因为 ，所以 ，等式两边同时除以 ，得到 ，即 . 又因为 ，所以 .（4分） （2）已知a=3, , ，由余弦定理可得 整理为 ，因式分解得 ， 解得或 ，边长不能为负舍去，（7分） 根据三角形面积公式 ，可得 .（9分） （3）已知 ， ，由余弦定理可得 根据基本不等式 ，当且仅当a = c时取等号，（11分） 则有 即 ，所以 ， 又因为三角形三边关系 ，所以 ，（13分） 那么三角形周长 ，即 所以周长的取值范围是.（15分） 【点睛】方法归纳：本题考查解三角形的综合应用，涉及正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、基本不等式求范围，解题核心是合理进行边角互化，求取值范围时注意结合几何性质限定边界. 17．（15分）如图，在四边形中，. (1)若，求边的长； (2)求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【难度】0.61 【知识点】几何图形中的计算、求三角形面积的最值或范围、正弦定理解三角形、余弦定理解三角形 【分析】（1）在 中利用余弦定理求出，进而求出 ，最后在中利用正弦定理求解 （2）设 ，利用正弦定理将表示为 的函数，进而将面积表示为 的三角函数，结合 的取值范围求值域 【详解】（1）在 中，，，由余弦定理， 因为 ，所以，（2分） 因为，所以，所以 ，（4分） 在中，由正弦定理得， 即 所以边的长为.（6分） （2）设 ，因为，所以， 在中，，所以， 由三角形内角和定理，得，解得，（8分） 在中，， 由正弦定理得， 所以面积 .（12分） 因为，所以，则， 所以，即面积的取值范围为.（15分） 18．（17分）如图所示，某巡逻艇在处发现北偏东相距 3 海里的处有一艘走私船，正沿东南方向以 2 海里/小时的速度向我海岸行驶， 巡逻艇立即以 3 海里/小时的速度沿着正东方向直线追去，1 小时后，巡逻艇到达处，走私船到达处，此时走私船才发现了巡逻艇，立即改变航向，以 3 海里/小时的速度向正东方向逃窜，巡逻艇立即加速以 4 海里/小时的速度沿着直线追击． (1)当走私船发现了巡逻艇时，两船相距多少海里？(结果精确到 0.1 海里） (2)问巡逻艇应该沿什么方向去追，才能最快追上走私船？(结果精确到 ) 【答案】(1)海里 (2)巡逻艇应该沿北偏东的方向去追 【难度】0.53 【知识点】角度测量问题、距离测量问题 【分析】（1）利用余弦定理即可求解； （2）设经过小时巡逻艇追上走私船，利用正弦定理列式进行求解. 【详解】（1）根据题意得：，， 所以为等边三角形，所以，（2分） 又，所以， ，（4分） 在中，由余弦定理得：， 所以，（6分） 解得（海里）；（8分） （2）因为，所以， 根据正弦定理可得，即，（10分） 解得，即， ，（12分） 因为，所以， 设经过小时巡逻艇追上走私船，所以， 根据正弦定理可得，即， 解得，即，（15分） ，该方向与正东方向夹角为， 因此北偏东，即巡逻艇应该沿北偏东的方向去追，才能最快追上走私船.（17分） 19．（17分）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 (1)求角B； (2)若，D是AC上的点，BD平分，求BD长； (3)求边AC上的中线BE的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.5 【知识点】三角恒等变换的化简问题、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】（1）运用余弦定理将角化为边，化简后再用余弦定理求出，得出B即可． （2）先用余弦定理得出a，c关系式，再将三角形面积进行转化，用等面积法，运用面积公式求解即可． （3）先用中线的向量表达式，，两边平方，将中线长转化为求ac的范围，后将ac又转化为三角函数求值域问题，最终求得中线长范围． 【详解】（1）已知，由余弦定理可得， 因为，代入中，得，化简得，（2分） 则，因为，所以．（4分） （2），，由余弦定理得， 即，又因为，所以，（6分） 由面积关系可得， ，（7分） 所以，即.（9分） （3）因为E是AC的中点，所以， 则，（11分） 由正弦定理得，， 即， 因为，所以， 所以，所以，（14分） 所以，所以， 所以，即边AC上的中线BE的取值范围为．（17分） 2 / 14 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $Sheet1 数学试卷明细表 题号 题型 分值 知识点 预估难度 档次 系数 1 单选题 5 正弦定理解三角形 较易 0.82 2 单选题 5 余弦定理边角互化的应用,余弦定理解三角形 较易 0.88 3 单选题 5 余弦定理解三角形 较易 0.85 4 单选题 5 用和、差角的正弦公式化简、求值,正弦定理边角互化的应用 较易 0.85 5 单选题 5 等差数列的实际应用 适中 0.70 6 单选题 5 余弦定理边角互化的应用,正弦定理边角互化的应用,三角形面积公式及其应用,用定义求向量的数量积 适中 0.65 7 单选题 5 诱导公式二、三、四,三角形面积公式及其应用,二倍角的正弦公式 适中 0.60 8 单选题 5 求三角形中的边长或周长的最值或范围,正弦定理解三角形,正弦定理边角互化的应用 较难 0.42 9 多选题 6 数量积的运算律,正弦定理求外接圆半径,余弦定理解三角形,用定义求向量的数量积 适中 0.65 10 多选题 6 几何图形中的计算,三角形面积公式及其应用,余弦定理解三角形 适中 0.65 11 多选题 6 正弦定理判定三角形解的个数,正弦定理边角互化的应用,利用正弦型函数的单调性求函数值或值域 适中 0.62 12 填空题 5 用和、差角的正弦公式化简、求值,正弦定理边角互化的应用 较易 0.82 13 填空题 5 正弦定理判定三角形解的个数,正弦定理边角互化的应用,利用正弦型函数的单调性求函数值或值域 适中 0.65 14 填空题 5 用和、差角的正切公式化简、求值,基本不等式求积的最大值,余弦定理解三角形 适中 0.55 15 解答题 13 正弦定理解三角形,三角形面积公式及其应用,余弦定理解三角形 较易 0.86 16 解答题 15 求三角形中的边长或周长的最值或范围,正弦定理边角互化的应用,三角形面积公式及其应用,余弦定理解三角形 适中 0.65 17 解答题 15 几何图形中的计算,正弦定理解三角形,求三角形面积的最值或范围,余弦定理解三角形 适中 0.61 18 解答题 17 距离测量问题,角度测量问题 适中 0.53 19 解答题 17 求三角形中的边长或周长的最值或范围,三角恒等变换的化简问题,三角形面积公式及其应用,余弦定理解三角形 适中 0.50 ·1 · $ 第九章 解三角形单元测试卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教B版第四册 第九章解三角形。 5．难度系数：0.65 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在中，已知，则（   ） A．120° B．或 C．60° D．或 2．在中，若，则（ ） A． B． C． D． 3．如图，海平面上的甲船位于中心的南偏西且与相距7海里的处，现甲船以13海里/小时的速度沿直线去营救位于中心正东方向8海里的处的乙船，则甲船到达处需要的时间为（    ） A．小时 B．1小时 C．小时 D．2小时 4．在△ABC中，若，则最大角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 5．（原创）在△ABC中，内角A, B, C的对边分别是a, b, c, 若 ，且 ，则B =（） A. B. C. D. 6．在△ABC中，若，且满足，则△ABC的面积等于（    ） A． B．2 C． D．1 7．在中，角A，B，C所对的边分别为，且，若的面积为，则的值为（   ） A．10 B．5 C． D． 8．已知锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，若，，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．在中，，，，则（    ） A． B．边上的中线长 C．边上的角平分线长 D．外接圆的面积为 10．如图，在圆的内接四边形中，，，，则（   ） A． B． C． D．的面积为 11．在中，角所对的边分别为，下列命题中正确的是（   ） A．若，则 B．若为锐角三角形，则 C．若，则为等腰三角形 D．若，则有两解 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知的内角所对的边分别为，若，则的形状为__________. 13．（原创）已知△ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c, A=60°, b=4, a=5, 则△ABC解的个数为________． 14．△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则△ABC周长的最大值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）在中，角所对的边分别为，已知，． (1)求角的大小； (2)求边的长度； (3)求的面积． 16．（原创）（15分）在△ABC中，角A, B, C的对边分别为a, b, c，已知 。 (1)求角B的大小; (2)若a=3， ，求 的面积； (3)若 ，求 周长的取值范围. 17．（15分）如图，在四边形中，. (1)若，求边的长； (2)求面积的取值范围． 18．（17分）如图所示，某巡逻艇在处发现北偏东相距 3 海里的处有一艘走私船，正沿东南方向以 2 海里/小时的速度向我海岸行驶， 巡逻艇立即以 3 海里/小时的速度沿着正东方向直线追去，1 小时后，巡逻艇到达处，走私船到达处，此时走私船才发现了巡逻艇，立即改变航向，以 3 海里/小时的速度向正东方向逃窜，巡逻艇立即加速以 4 海里/小时的速度沿着直线追击． (1)当走私船发现了巡逻艇时，两船相距多少海里？(结果精确到 0.1 海里） (2)问巡逻艇应该沿什么方向去追，才能最快追上走私船？(结果精确到 ) 19．（17分）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 (1)求角B； (2)若，D是AC上的点，BD平分，求BD长； (3)求边AC上的中线BE的取值范围． 2 / 14 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $