第九章 解三角形 单元测试-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第四册

第九章　解三角形　单元测试卷　　　　　　　　　　　　　　 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.　　　　　　　　　　　　 1.在△ABC中,A=60°,a=,则= (　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　 A.2 B. C. D. 2.在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,A=,a=,b=1,则c= (　　) A.1 B.2 C.-1 D. 3.已知锐角三角形ABC的面积为3,BC=4,CA=3,则角C的大小为 (　　) A.75° B.60° C.45° D.30° 4.设在△ABC中,三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcos C+ccos B=asin A, 则△ABC的形状为 (　　) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定 5.在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若B=60°,b=6,sin A-2sin C=0,则a = (　　) A.3 B.2 C.4 D.12 6.在锐角三角形ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c,若sin A=,a=2,S△ABC=,则b的值为 (　　) A. B. C.2 D.2 7.在△ABC中,已知角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若9b2+6bccos A=11c2,则角B的最大值为 (　　) A. B. C. D. 8.“5G+光网”双千兆对推动数字经济发展、打造数字经济产业、拓展经济发展空间具有重大意义,某市以此为契机,加快推进“5G+光网”双千兆城市建设.如图1,某县区域地面有四个5G基站A,B,C,D.已知C,D两个基站建在江的南岸,距离为10 km;基站A,B在江的北岸,测得∠ACB=75°,∠ACD=120°,∠ADC=30°,∠ADB=45°,则A,B两个基站的距离为 (　　) 图1 A.10 km B.10 km C.10 km D.10 km 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.在△ABC中,根据下列条件解三角形,其中有一解的是 (　　) A.b=7,c=3,C=30° B.b=5,c=4,B=45° C.a=6,b=3,B=60° D.a=20,b=30,A=30° 10.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(a+b):(a+c):(b+c)=9:10:11,则下列结论正确的是 (　　) A.sin A:sin B:sin C=4:5:6 B.△ABC是钝角三角形 C.△ABC的最大内角是最小内角的2倍 D.若c=6,则△ABC外接圆的半径为 11.图2(1)是我国古代数学家赵爽创制的一幅“勾股圆方图”(又称“赵爽弦图”),它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形.受其启发,某同学设计了一个图形,该图形是由三个全等的钝角三角形与中间的一个小正三角形拼成的一个大正三角形,如图2(2)所示,若AB=7,DE=2,则 (　　) A.BD=3 B.AD=5 C.cos∠ABD= D.△ABD的面积为 图2 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.在△ABC中,已知a=,b=2,B=45°,则A=　　　　.  13.小王想在某市一住宅小区买套新房,据了解,该小区有若干栋互相平行的平顶楼房,每栋楼房有15层,每层楼高为3米,顶楼有1米高的隔热层,两楼之间相距60米.小王不想买最前面和最后面的楼房,但希望所买楼层全年每天正午都能晒到太阳,为此,小王查找了有关地理资料,获得如下一些信息:①该市的纬度(地面一点所在球半径与赤道平面所成的角)为北纬36°34';②正午的太阳直射北回归线(太阳光线与赤道平面所成的角为23°26')时,物体的影子最短,直射南回归线(太阳光线与赤道平面所成的角为23°26')时,物体的影子最长.那么小王买房的最低楼层应为层(参考数据:≈1.732). 14.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若c2=(a-b)2+6,C=,则△ABC的面积是　　　　,周长最小为　　　　.(本题第一空2分,第二空3分)  四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)在锐角△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,且a=2csin A. (1)求C的大小; (2)若c=,且△ABC的面积为,求a+b的值. 16.(15分)如图3,在△ABC中,E,F分别为线段BC,AC上的点,EF∥AB,AB=3,EF=2,AE=2,∠BAC=. (1)求∠EAC; (2)求BC的长度. 图3 17.(15分)在条件①2cos A(bcos C+ccos B)=a,②csin=asin C,③(sin B-sin C)2=sin2A-sin Bsin C中任选一个,补充到下面问题中,并给出解答. 已知△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且a=,b-c=2,　　　　.求BC边上的高.  注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分. 18.(17分)某自然村计划在村边一块废弃的五边形荒地上设置一个绿化区,如图4所示,边界AB,BC,CD,DE,AE以及对角线BE均为绿化区小路(不考虑宽度),∠BCD=∠CDE=∠BAE=120°,BC=CD=100 m,DE=400 m. (1)求四边形BCDE的面积; (2)求绿化区所有小路长度之和的最大值. 图4 19.(17分)已知△ABC的内角A,B,C满足= . (1)求角A; (2)若△ABC外接圆的半径为1,求△ABC的面积S的最大值. 第九章　解三角形　单元测试卷　参考答案  1.A　由正弦定理可知===2.故选A. 2.B　∵cos A== =,∴c=2.故选B. 3.B　由面积S= BC×CA×sin C=×4×3×sin C=3,可知sin C=,又△ABC为锐角三角形,所以C=60°. 4.B　方法一　因为bcos C+ccos B=asin A,所以由正弦定理可得sin Bcos C+sin Ccos B=sin2A,即sin(B+C)=sin2A, 所以sin A=sin2A,所以sin A=1,又0<A<π,所以A=,所以△ABC是直角三角形. 方法二　结合图形(图略)可得bcos C+ccos B=a,所以a=asin A,所以sin A=1,又0<A<π,所以A=,所以△ABC是直角三角形. 5.C　∵sin A-2sin C=0,∴由正弦定理可得c=a,∵B=60°,b=6,∴由余弦定理可得b2=a2+(a)2-2a··=62,整理可得a=4. 6.A　由S△ABC=bcsin A=bc×=,解得bc=3.因为A为锐角,sin A=,所以cos A=.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A,代入数据解得b2+c2=6,则(b+c)2=12,即b+c=2,所以b=c=. 7.C　由余弦定理cos A=,代入9b2+6bccos A=11c2,得9b2+3(b2+c2-a2)=11c2,整理得b2=(3a2+8c2), 则cos B===≥=,当仅当9a2=4c2时取等号,又B∈(0,π),所以0<B≤,即角B的最大值为.故选C. 8. D　在△ACD中,∠ADC=30°,∠ACD=120°,所以∠CAD=30°,即∠CAD=∠ADC,所以AC=CD=10.在△BDC中,∠CBD=180°-(∠BCD+∠BDC)=180°-(45°+75°)=60°,由正弦定理得=,解得BC==5(+),在△ABC中,由余弦定理得,AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos ∠ACB=(10)2+25(+)2-2×10×5(+)×cos 75°=500, 解得AB=10,即A,B两个基站的距离为10 km. 9. BC　对于A,∵b=7,c=3,C=30°,∴由正弦定理可得sin B===>1,无解; 对于B,∵b=5,c=4,B=45°,∴由正弦定理可得sin C===<1,又c<b,∴有一解; 对于C,∵a=6,b=3,B=60°,∴由正弦定理可得sin A===1,则A=90°,此时C=30°,有一解; 对于D,∵a=20,b=30,A=30°,∴由正弦定理可得sin B===<1,又b>a,∴B可能有两个取值,故有两解. 10. ACD　因为(a+b):(a+c):(b+c)=9:10:11,所以可设a+b=9t,a+c=10t,b+c=11t,t>0,解得a=4t,b=5t,c=6t.由正弦定理易知sin A:sin B:sin C=a:b:c=4:5:6,故A正确; 由余弦定理易知cos C===>0,所以C为锐角,又c为最大边,所以△ABC为锐角三角形,故B错误; 由余弦定理易知cos A===,所以cos 2A=2cos2A-1=2×-1==cos C,又2A,C∈(0,π),所以2A=C,故C正确; 设△ABC外接圆半径为R,由c=6,可得2R===,所以△ABC外接圆的半径为,故D正确. 11. ABD　设BD=x,则AD=2+x.在△ABD中,∠ADB=180°-60°=120°,由余弦定理可得AB2=AD2+BD2-2AD·BD·cos∠ADB,即49=(2+x)2+x2-2(2+x)x·(-),整理得x2+2x-15=0,解得x=3,所以BD=3,AD=5.则cos∠ABD===,所以sin∠ABD==, 所以△ABD的面积S=AB×BD·sin∠ABD=×7×3×=. 12.30°　由正弦定理=得sin A===,又a<b,所以A<45°,因此A=30°. 13.5　如图D 1(1)所示,α=36°34',β=23°26',γ=36°34'+23°26'=60°,则太阳光与地面的夹角为θ=90°-60°=30°. 　　 (1) (2) 图D 1 根据题意,每栋楼从地面到楼顶的高度为46米. 在图D 1(2)中,设AB=46 米,BD=60 米,∠AEB=30°, 则在Rt△ABE中,BE==46 米, 在Rt△CDE中,DE=BE-BD=(46 -60)米, 所以CD=DEtan 30°=46-20≈11.36(米), 所以中间的楼房距离地面约11.36米的部分,有些天正午不能晒到太阳. 所以小王买房的最低楼层应为5层. 14. 　3　由c2=(a-b)2+6,可得c2=a2+b2-2ab+6,由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2-ab,所以a2+b2-2ab+6=a2+b2-ab,所以ab=6, 所以S△ABC=absin C=×6×=.因为a+b≥2=2,当且仅当a=b=时等号成立,此时c=,所以周长最小为3. 15.(1)∵a=2csin A,∴=. 由正弦定理=得,=,∴sin C=. ∵△ABC是锐角三角形,∴C=. (2)∵c=,C=,由面积公式得absin =,即ab=6, 由余弦定理得a2+b2-2abcos=7, ∴a2+b2-ab=7,即(a+b)2-3ab=7, ∴(a+b)2=25,∴a+b=5. 16.(1)在△ABC中,因为EF∥AB,所以∠AFE=, 在△AFE中,由正弦定理知,=, 所以sin∠EAF==, 又∠AFE=为钝角,所以∠EAF为锐角,所以∠EAF=,即∠EAC=. (2)因为∠AFE=,∠EAF=, 所以∠AEF=, AF=EF=2. 因为EF∥AB,AB=3,所以==,所以=2,所以AC=6. 在△ABC中,由余弦定理知,BC2=AB2+AC2-2×AB×AC×cos∠BAC=32+62-2×3×6×cos =27, 故BC=3. 17. (1)选①.由题设及正弦定理可得2cos A(sin Bcos C+sin Ccos B)=sin A, 即2cos Asin(B+C)=sin A,而sin(B+C)=sin A,所以cos A=.因为A∈(0,π),所以A=. 由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos A,结合b-c=2,a=,解得c=1,b=3. 设BC边上的高为h,由面积公式可得bcsin A=ah,所以h=. (2)选②.由题设及正弦定理得sin Csin =sin Asin C,因为sin C≠0,所以sin=sin A,而A+B+C=π, 所以sin=cos ,所以cos =2sin cos , 因为cos ≠0,所以sin =,所以A=. 下面求法同(1). (3)选③.由已知得(sin B-sin C)2=sin2A-sin Bsin C,可得sin2B+sin2C-sin2A=sin Bsin C, 由正弦定理可得b2+c2-a2=bc,由余弦定理可得cos A==,因为A∈(0,π),所以A=. 下面求法同(1). 18.(1)连接BD,则S△BCD=BC·CD·sin∠BCD=7 500 m2. 在△BCD中,由余弦定理得BD2=BC2+CD2-2BC·CD·cos∠BCD=90 000,∴BD=300 m. 又∠CDE=120°,∴∠BDE=90°, ∴S△BDE=BD·DE=60 000 m2. ∴四边形BCDE的面积S=(60 000+7 500)m2. (2)由已知及(1)可知,BC=CD=100m,DE=400 m, BE==500 m, 要使绿化区所有小路长度之和最大,应使AB+AE最大, 在△BAE中,由余弦定理得BE2=AB2+AE2-2AB·AE·cos∠BAE, 即250 000=AB2+AE2+AB·AE=(AB+AE)2-AB·AE≥(AB+AE)2-(AB+AE)2=(AB+AE)2. ∴AB+AE≤,当且仅当AB=AE=时取等号. 故绿化区所有小路长度之和的最大值为(900+)m. 19.(1)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则由正弦定理可得=,化简得b2+c2-a2=bc, 由余弦定理得cos A=,∴cos A==. 又0<A<π,∴A=. (2)方法一　记△ABC外接圆的半径为R,由正弦定理得=2R,得a=2Rsin A=2sin =, 由余弦定理得3=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc, 即bc≤3(当且仅当b=c=时取等号),∴S=bcsin A≤×3×=(当且仅当b=c=时取等号). 故△ABC的面积S的最大值为. 方法二　记△ABC外接圆的半径为R,由正弦定理得==2R=2,得b=2sin B,c=2sin C, ∴S=bcsin A=×2sin B×2sin C×sin =sin Bsin C. ∵A+B+C=π, ∴sin B=sin(A+C)=sin(C+)=sin C+cos C, ∴S=sin Ccos C+sin2C=sin 2C+(1-cos 2C)=(sin 2C×-cos 2C×)+=sin(2C-)+. ∵0<C<,∴当2C-=,即C=时,S取得最大值,为. ∴△ABC的面积S的最大值为. 学科网（北京）股份有限公司 $