精品解析：湖南衡阳市衡山县2025-2026学年八年级下学期5月期中数学试题

2026年上学期八年级数学期中检测卷 注意：考试时量为120分钟 总分120分 一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 下列式子中是分式的是（ ） A. B. C. D. 2. 分式有意义，则x满足的条件是（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，点P（﹣3，4）关于y轴对称点的坐标为（　　） A. （﹣3，4） B. （3，4） C. （3，﹣4） D. （﹣3，﹣4） 4. 若把分式中的a和b同时扩大为原来的3倍，则分式的值(　　) A. 扩大3倍 B. 缩小6倍 C. 缩小3倍 D. 保持不变 5. 下列分式是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 6. 一次函数的图像不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7. 直线过点，则k的值是（ ） A. 4 B. C. D. 8 8. 下列关于反比例函数的描述中，不正确的是（ ） A. 图象在第一、三象限 B. 点在反比例函数的图象上 C. 随的增大而减小 D. 当时，必有 9. 如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，过点，交于点，交于点．若，，，则图中阴影部分的面积是（       ）         A. 1.5 B. 3 C. 6 D. 4 10. 如图，在直角坐标系中，直线与坐标轴交于、两点，与双曲线交于点，连接，过点作轴，垂足为点，且．则下列结论正确的个数是（ ） ①； ②当时，随的增大而减小，随的增大而增大； ③方程只有一个解为； ④当时，． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 当x＝_____时，分式的值为零． 12. 将直线向下平移3个单位所得的直线解析式是_____________． 13. 用科学记数法表示：______． 14. 已知点，在反比例函数的图象上，则a______b（填“”、“”或“”）． 15. 若方程有增根，则__________． 16. 反比例函数在第一象限内的图象如图，点是图像上一点，垂直轴于点，如果的面积为，那么的值是__________． 三、解答题（共8小题，小计72分） 17. 计算：． 18. 解方程：． 19. 已知是的反比例函数，且函数图象过点． （1）求与的函数关系式； （2）当取何值时，． 20. 先化简，再求值计算：，其中x＝3． 21. 公园有一片绿地，它的形状是平行四边形，在绿地上要修几条笔直的小路，如图，，，．求： （1）小路，，的长； （2）计算出绿地的面积（含小路）； （3），之间的距离． 22. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点、点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量的取值范围． 23. 年，在国家实行报废补贴、以旧换新利好政策的推动下，小明的爸爸准备换车，看中了两款价格相同的国产车．请帮小明父子解决以下问题： 燃油车 新能源车 油箱容积：升 电池容量：千瓦时 油价：元/升 电价：元千瓦时 续航里程：千米 续航里程：千米 每千米行驶费用：元 每千米行驶费用： 元 （1）用含a的式子表示新能源车的每千米行驶费用 元（结果为最简）． （2）若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元． 分别求出这两款车的每千米行驶费用． 若燃油车和新能源车每年的其他费用分别为元和元．每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用＝年行驶费用＋年其他费用） 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，，点在轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处． （1）点的坐标是________，的长为________； （2）求直线的解析式； （3）点是轴上一动点，若，请求出点的坐标； （4）在第一象限内是否存在点，使为等腰直角三角形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年上学期八年级数学期中检测卷 注意：考试时量为120分钟 总分120分 一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 下列式子中是分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式的定义，解题的关键是正确理解分式的定义，本题属于基础题型．一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．根据分式的概念求解即可． 【详解】解： A、是单项式，故不符合题意； B、是单项式，故不符合题意； C、是多项式，故不符合题意 D、是分式，故符合题意； 故选：D． 2. 分式有意义，则x满足的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件（分母不能为零）可得，，求解即可． 【详解】解：由题意可得：，解得， 故选：D 【点睛】此题考查了分式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握这一知识． 3. 在平面直角坐标系中，点P（﹣3，4）关于y轴对称点的坐标为（　　） A. （﹣3，4） B. （3，4） C. （3，﹣4） D. （﹣3，﹣4） 【答案】B 【解析】 【分析】根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答． 【详解】解：点P（﹣3，4）关于y轴对称点的坐标为（3，4）． 故选B． 【点睛】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律： （1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数； （2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数； （3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 4. 若把分式中的a和b同时扩大为原来的3倍，则分式的值(　　) A. 扩大3倍 B. 缩小6倍 C. 缩小3倍 D. 保持不变 【答案】D 【解析】 【分析】若把分式中的a和b同时扩大为原来的3倍，则分式的分母、分子同时扩大为原来的3倍，根据分式的基本性质，可得：分式的值保持不变． 【详解】把分式中的a和b同时扩大为原来的3倍， 分母变为3(a+b)，分子变为3a， 所以分式的分母、分子同时扩大为原来的3倍， 所以分式的值保持不变． 故选D． 【点睛】考查了分式的基本性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变． 5. 下列分式是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用最简分式定义：分子分母没有公因式的分式，判断即可． 【详解】解：A．该分式符合最简分式的定义，符合题意； B．该分式的分子、分母中含有公因式3，不是最简分式，不符合题意； C．该分式的分子、分母中含有公因式x，不是最简分式，不符合题意； D．该分式的分子、分母中含有公因式(x-1)，不是最简分式，不符合题意； 故选：A． 【点睛】此题考查了最简分式，熟练掌握最简分式的定义是解本题的关键． 6. 一次函数的图像不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】由已知得，，，根据一次函数图象及性质即可求解． 【详解】解：∵一次函数中，， ∴一次函数图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质是解题的关键． 7. 直线过点，则k的值是（ ） A. 4 B. C. D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】将点代入，求出k的值． 【详解】解：∵直线过点， ∴， 解得，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了用待定系数法求解析式，是基础知识要熟练掌握，解题的关键是熟练掌握待定系数法． 8. 下列关于反比例函数的描述中，不正确的是（ ） A. 图象在第一、三象限 B. 点在反比例函数的图象上 C. 随的增大而减小 D. 当时，必有 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，熟练的掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．（1）反比例函数的图象是双曲线；（2）当时，函数图象位于一三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；（3）当时，函数图象位于一三象限，在每一象限内y随x的增大而增大；（4）反比例函数图象与坐标轴没有交点． 根据反比例函数图象上点的坐标特征对D进行判断；根据反比例函数的性质对A、B、C进行判断． 【详解】解：反比例函数，， A、函数图象分别位于第一、三象限，正确，不符合题意； B、点在反比例函数的图象上，正确，不符合题意； C、在图象的每一支上，y随x的增大而减小，故原说法错误，符合题意； D、当时，必有，正确，不符合题意； 故选：C． 9. 如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，过点，交于点，交于点．若，，，则图中阴影部分的面积是（       ）         A. 1.5 B. 3 C. 6 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、平行四边形的性质、三角形全等的判定与性质等知识点，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键． 先利用勾股定理的逆定理求出是直角三角形，再利用定理证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得阴影部分的面积等于，然后根据平行四边形的性质求解即可得． 【详解】解：四边形是平行四边形，且， ， ， ，， ， 是直角三角形，且， ， ， 又， ， 在和中，， ， ， 则图中阴影部分的面积是， 故选：B． 10. 如图，在直角坐标系中，直线与坐标轴交于、两点，与双曲线交于点，连接，过点作轴，垂足为点，且．则下列结论正确的个数是（ ） ①； ②当时，随的增大而减小，随的增大而增大； ③方程只有一个解为； ④当时，． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，掌握图形的性质，图形交点的计算，根据交点求不等式的解集的方法是解题的关键． 根据直线与坐标轴的交点可得，，，，，可判定①；根据图象的性质，增减性可判定②；先算出反比例函数解析式，再联立方程组求解可判定③；根据图示的交点可判定④；由此即可求解． 【详解】解：直线与坐标轴交于、两点， 令时，，令，， ∴， ∴，， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴，，， ∴， ∴，故①正确； 由图可知，当时，随的增大而减小，随的增大而增大，故②正确； ∵， ∴反比例函数解析式为， ∴， 解得，或， ∴方程的解为，故③错误； 由图可知，当时，，故④错误； 综上所述，正确的有①②，共2个， 故选：B ． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 当x＝_____时，分式的值为零． 【答案】2 【解析】 【详解】由题意得： ，解得：x=2. 故答案为2 12. 将直线向下平移3个单位所得的直线解析式是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一次函数图象平移的“上加下减”规律求解即可． 【详解】解：直线向下平移个单位长度后，所得直线的解析式为：． 13. 用科学记数法表示：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法求解即可．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值． 【详解】． 故答案为：． 14. 已知点，在反比例函数的图象上，则a______b（填“”、“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握和运用反比例函数的性质是解决本题的关键． 【详解】∵， ∴图象位于第一象限，或第三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小， ∵， ∴， 故答案为：． 15. 若方程有增根，则__________． 【答案】-2 【解析】 【分析】根据分式方程的增根求出x的值，然后去分母代入求解即可. 【详解】∵方程有增根， ∴， 解得， 原方程去分母得， 化简得， ∴． 故答案是． 【点睛】本题主要考查了分式方程的增根应用，准确计算是解题的关键． 16. 反比例函数在第一象限内的图象如图，点是图像上一点，垂直轴于点，如果的面积为，那么的值是__________． 【答案】6 【解析】 【分析】过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积是个定值，即． 【详解】解：由题意得：，， 又函数图象在一象限， ． 故答案是：6． 【点睛】本题主要考查了反比例函数中的几何意义，即过双曲线上任意一点引轴、轴垂线，所得三角形面积为，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解的几何意义． 三、解答题（共8小题，小计72分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 18. 解方程：． 【答案】 【解析】 【详解】解：方程两边乘以，得， 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的解． 19. 已知是的反比例函数，且函数图象过点． （1）求与的函数关系式； （2）当取何值时，． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设该反比例函数的表达式为：，将点A代入表达式即可求解； （2）将代入（1）所求表达式即可求解； 【小问1详解】 解：设该反比例函数的表达式为：； 将代入得， ，解得： ∴． 【小问2详解】 将代入中， ，解得：． 【点睛】本题主要考查反比例函数，掌握反比例函数相关知识并正确计算是解题的关键． 20. 先化简，再求值计算：，其中x＝3． 【答案】， 【解析】 【分析】先根据分式四则混合运算的性质化简，然后将x=3代入求值即可． 【详解】解： = = ， 当x＝3时，原式． 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，掌握式的四则混合运算法则是解答本题的关键． 21. 公园有一片绿地，它的形状是平行四边形，在绿地上要修几条笔直的小路，如图，，，．求： （1）小路，，的长； （2）计算出绿地的面积（含小路）； （3），之间的距离． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，再根据勾股定理求出，即可得； （2）根据平行四边形的面积公式解答； （3）根据面积相等可得答案． 【小问1详解】 解：∵四边形是平行四边形， ，，． ， ， ； 【小问2详解】 解：绿地的面积为； 【小问3详解】 解：设，之间的距离为． ∵绿地的面积为， ， 解得． 即，之间的距离为． 22. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点、点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量的取值范围． 【答案】（1），；（2）；（3）或 【解析】 【分析】（1）把A的坐标代入反比例函数解析式求出A的坐标，把A的坐标代入一次函数解析式求出即可； （2）求出直线AB与x轴的交点C的坐标，分别求出△ACO和△BOC的面积，然后相加即可； （3）根据A、B的坐标结合图象即可得出答案． 【详解】解：把点分别代入反比例函数，一次函数， 得，， 解得，， 所以反比例函数的解析式是，一次函数解析式是； 如图，设直线与轴的交点为， 当时，， ， 当时，， ， ； ，， 根据图象可知：当或时，一次函数值大于反比例函数值． 【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，用待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积，一次函数的图象等知识点，解题关键是熟练运用待定系数法求出函数解析式，能够利用数形结合思想求不等式的解集． 23. 年，在国家实行报废补贴、以旧换新利好政策的推动下，小明的爸爸准备换车，看中了两款价格相同的国产车．请帮小明父子解决以下问题： 燃油车 新能源车 油箱容积：升 电池容量：千瓦时 油价：元/升 电价：元千瓦时 续航里程：千米 续航里程：千米 每千米行驶费用：元 每千米行驶费用： 元 （1）用含a的式子表示新能源车的每千米行驶费用 元（结果为最简）． （2）若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元． 分别求出这两款车的每千米行驶费用． 若燃油车和新能源车每年的其他费用分别为元和元．每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用＝年行驶费用＋年其他费用） 【答案】（1）； （2）燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元；当每年行驶里程大于千米时，买新能源车的年费用更低． 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，列代数式，解题关键是明确题意，列出相应方程与不等式． （1）用总电量乘以电的单价，再除以总里程，列出代数式，再化简即可； （2）根据燃油车每千米的行驶费用比新能源车多元，列出分式方程，求解即可； 设每年行驶里程为千米时，根据新能源车的年费用更低，列出不等式，求解即可． 【小问1详解】 解：， 即新能源车的每千米行驶费用为元， 故答案为：； 【小问2详解】 解：燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元， ， 解得， 经检验，是原分式方程的解， ，， 答：燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元； 设每年行驶里程为千米， 由题意，得， 解得， 答：当每年行驶里程大于千米时，买新能源车的年费用更低． 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，，点在轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处． （1）点的坐标是________，的长为________； （2）求直线的解析式； （3）点是轴上一动点，若，请求出点的坐标； （4）在第一象限内是否存在点，使为等腰直角三角形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；5 （2） （3）或 （4）或或 【解析】 【分析】（1）直接利用直线求得点A和点B的坐标，则可得到的长，然后依据勾股定理可求得的长； （2）由折叠的性质可得到，，可得D的坐标，设，则，然后在中，依据勾股定理即可求解； （3）设点M的坐标为，则，根据，建立方程求解即可； （4）分三种情况：若；若，；若，，分别利用全等三角形的判定及性质求解即可． 【小问1详解】 解：对于， 当时，， ∴点B的坐标为； 即， 当时，， 解得：， ∴点A的坐标为， 即， ∴； 故答案为：；5 【小问2详解】 解：由折叠的性质得：，， ∴， ∴点D的坐标为， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴点C的坐标为， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为； 【小问3详解】 解：设点M的坐标为，则， ∴， ∵，， ∴， 解得：或16， ∴点M的坐标为或； 【小问4详解】 解：存在，理由如下： 若，如图，过点P作轴于点G， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 此时点P的坐标为； 若，，如图，过点P作于点H， 同理， ∴， 此时点P的坐标为； 若，，如图，过点P作轴于点M，轴于点N， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设点P的坐标为， ∴， 解得：， 此时点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或． 【点睛】本题考查了一次函数的综合应用，解答本题主要应用了翻折的性质、勾股定理、待定系数法求函数解析式、三角形的面积公式，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，数形结合是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $