精品解析：湖南岳阳市岳阳楼区通海路中学教育集团2025-2026学年下学期八年级期中检测试卷 数学

2026年上学期通海路中学教育集团八年级期中检测试卷 数学 温馨提示： 1.本试卷共三道大题，24道小题，满分120分，考试时量120分钟； 2.本试卷分试题卷和答题卡卷两部分，所有答案都必须填涂或填写在答题卡上规定的答题区域内． 一、单选题（共10小题，每小题3分，合计30分） 1. 习近平主席在贺词中提到“人不负青山，青山定不负人”，一语道出“人与自然和谐共生”的至简大道．下列有关环保的四个图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在中，点D，E分别为的中点，若，则的长度为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 4 3. 茂名市电白区博贺渔港是全国十大渔港之一，如题图所示，A，B是两个海上观测站的位置，A在博贺渔港O北偏东方向上，，则B在博贺渔港O的（ ）． A. 南偏东方向 B. 南偏东方向 C. 南偏西方向 D. 北偏西方向 4. 学校后勤处计划在校园中央修建一个造型美观的多边形景观花坛．要求这个花坛的内角和为，则这个花坛应设计成（ ） A. 七边形 B. 八边形 C. 九边形 D. 十边形 5. 每逢节假日，岳阳南湖后浪公园的大型无人机光影秀惊艳夜空、人气爆棚．在无人机表演中，无人机群由初始位置整体平移至新位置．若点平移后的对应点为，则点平移后的对应点的坐标是（ ）． A. B. C. D. 6. 如图，若四边形是平行四边形，则下列结论中错误的是（ ） A. 当时，它是菱形 B. 当时，它是矩形 C. 当时，它是矩形 D. 当时，它是正方形 7. 如图，在中，，．以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，射线交的延长线于点，则的长是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 8. 如图，在正方形中，点E是对角线上一点，连接、，的延长线交于点F．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，中，E，F分别是，的中点，点D在上，延长交于N，，，，则（　　） A. 2 B. C. 1 D. 10. 如图，在边长为4的菱形中，，点、分别为、边上的动点，连接、、．若，则以下结论正确的是（ ） ①；②是等边三角形；③四边形的面积是；④面积有最大值为． A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 二、填空题（共6小题，每小题3分，合计18分） 11. 一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，这个多边形是______边形． 12. 顺次连接一个四边形各边中点得到的四边形是_________________． 13. 如图是蜡烛平面镜成像原理图，若以镜面为轴，镜面侧面为（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系，若某时刻火焰顶点点的坐标是，此时对应的虚像的坐标是，则＝_______． 14. 如图，在平面直角坐标系中，有一个，已知，，，，则点的坐标为 _________ ． 15. 中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．如图，晓进家有一个菱形中国结装饰，对角线，相交于点O，测得，，过点A作于点H，则的长为__________． 16. 如图1是某种简易房屋，它由顶角为的等腰三角形和矩形组成，在整体运输时需用钢丝绳进行加固，示意图如图2所示．MN是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳，点M在EC上，点N在上，在调整钢丝绳端点位置时，其长度也随之改变，但需始终保持．若米， ①＝______．　　 ②钢丝绳长度的最小值为______米． 嗨，你好！我是小数，对于此题，我是这样思考的：通过构造，把转化为，从而把双动点问题转化为单动点问题，这样就很容易解决问题了．你试试看！ 三、解答题（共8题，合计72分） 17. 在平面直角坐标系中，已知点． （1）若点在轴上，求的值； （2）若点在第一、三象限的角平分线上，求的值． 18. 如图，在四边形中，，点E在边上， ．请从“①；②，”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题： （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，，，求线段的长． 19. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，．将经过平移后得到，已知点． （1）画出平移后的； （2）点的坐标是______； （3）求的面积． 20. 如图所示，矩形的对角线、相交于点O，，垂足为E，，． （1）求的度数； （2）求的周长． 21. 如图，正方形的边长为4，点为对角线的中点，点为边上的动点，点在边上，连接，，． （1）求证：； （2）当点在边上运动时，四边形的面积是否会发生变化？若不变，请求出其面积； 22. 如图，在平行四边形中，对角线的垂直平分线与相交于点E，与相交于点F，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若四边形的周长是40，两条对角线的和是28，求四边形的面积． 23. 一中在向你招手，加油！在平面直角坐标系中，我们将点P关于x轴的对称点记作点，再将点关于y轴的对称点记作点则称点为点P关于x轴和y轴的“一中对称点”．例如：点关于x轴的对称点为点，点关于y轴的对称点为点，所以点关于x轴和y轴的“一中对称点”为点 （1）点关于x轴和y轴的“一中对称点”的坐标是______； （2）点关于x轴和y轴的“一中对称点”的坐标是，求a和b的值； （3）点关于x轴和y轴的“一中对称点”满足点到y轴的距离等于点F到x轴距离，直接写出x的值； （4）若点关于x轴和y轴的“一中对称点”在第三象限，且满足条件的x的整数解恰有两个，求m的取值范围； 24. 结合范仲淹《岳阳楼记》中“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的家国情怀，我们定义：若一个凸四边形沿一条对角线对折后能完全重合，则称其为“忧乐四边形”，这条对角线为它的“忧乐轴”．如图1，凸四边形沿对角线对折后完全重合，四边形是以直线为对称轴的”忧乐四边形”． （1）岳阳楼文创馆推出四款印有《岳阳楼记》名句的四边形书签，其中一定是“忧乐四边形”的有______（填序号）： ①印“衔远山，吞长江”的平行四边形书签　　②印“朝晖夕阴，气象万千”的菱形书签 ③印“岸芷汀兰，郁郁青青”的矩形书签　　　④印“先天下之忧而忧”的正方形书签 （2）如图2，岳阳楼景区的矩形文化廊道（模拟岳阳楼檐下回廊），是边的中点（廊道转角节点）．已知四边形是以为“忧乐轴”的“忧乐四边形”（M在廊道内部），连接并延长交于N．求证：四边形是“忧乐四边形”； （3）如图3，洞庭湖岸的平行四边形观景台（对应《岳阳楼记》“衔远山，吞长江”的湖面布局），，，，，E是边的中点（观景台入口）．四边形是以为“忧乐轴”的“忧乐四边形”（M在观景台内部），连接并延长交于．当是直角三角形时，求线段的长； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年上学期通海路中学教育集团八年级期中检测试卷 数学 温馨提示： 1.本试卷共三道大题，24道小题，满分120分，考试时量120分钟； 2.本试卷分试题卷和答题卡卷两部分，所有答案都必须填涂或填写在答题卡上规定的答题区域内． 一、单选题（共10小题，每小题3分，合计30分） 1. 习近平主席在贺词中提到“人不负青山，青山定不负人”，一语道出“人与自然和谐共生”的至简大道．下列有关环保的四个图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意， C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟知二者的定义是解题的关键． 2. 如图，在中，点D，E分别为的中点，若，则的长度为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理计算即可． 【详解】解：∵D、E分别为边的中点，， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理的应用，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 3. 茂名市电白区博贺渔港是全国十大渔港之一，如题图所示，A，B是两个海上观测站的位置，A在博贺渔港O北偏东方向上，，则B在博贺渔港O的（ ）． A. 南偏东方向 B. 南偏东方向 C. 南偏西方向 D. 北偏西方向 【答案】A 【解析】 【分析】设正南方向与的夹角为，根据题意，得，根据方向角的意义解答即可． 本题考查了方向角的应用，熟练掌握方向角的意义是解题的关键． 【详解】解：设正南方向与的夹角为，根据题意，得， 故B在博贺渔港O的南偏东方向， 故选：A． 4. 学校后勤处计划在校园中央修建一个造型美观的多边形景观花坛．要求这个花坛的内角和为，则这个花坛应设计成（ ） A. 七边形 B. 八边形 C. 九边形 D. 十边形 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形内角和公式，根据多边形内角和公式可得出，解出n即可得出答案． 【详解】解：设这个多边形的边数为n， 根据题意可知：， 解得：， 则这个花坛应设计成七边形， 故选：A 5. 每逢节假日，岳阳南湖后浪公园的大型无人机光影秀惊艳夜空、人气爆棚．在无人机表演中，无人机群由初始位置整体平移至新位置．若点平移后的对应点为，则点平移后的对应点的坐标是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】理解平移的概念是解题的关键． 【详解】解：点平移后的对应点为， 点A先向左平移了三个单位，再向下平移了四个单位， 又，， 点先向左平移了三个单位，再向下平移了四个单位后的对应点为． 6. 如图，若四边形是平行四边形，则下列结论中错误的是（ ） A. 当时，它是菱形 B. 当时，它是矩形 C. 当时，它是矩形 D. 当时，它是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定可得出答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， 当，平行四边形是菱形，故选项A正确，不符合题意； 当，平行四边形是矩形，故选项B正确，不符合题意； 当，平行四边形是矩形，故选项C正确，不符合题意； 当，平行四边形是菱形，但不一定是正方形，故选项D错误，符合题意； 故选：D 【点睛】本题考查矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定，解答本题的关键是明确它们各自的判定方法． 7. 如图，在中，，．以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，射线交的延长线于点，则的长是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是作图基本作图，涉及到平行四边形的性质，等腰三角形的性质，熟知角平分线的作法是解答此题的关键． 根据题干中的作图过程得出是，再利用平行四边形的性质得到，从而证明即可解决问题. 【详解】解：由题意可知是的平分线， ． 四边形是平行四边形， ∴， ， ， ， ， ， 故选：A． 8. 如图，在正方形中，点E是对角线上一点，连接、，的延长线交于点F．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用正方形的性质证明，得到；再结合得到等腰三角形的等角关系，设，通过三角形内角和与直角三角形的角度关系列方程求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，． ∵在和中， ， ∴（）． ∴． 设，则． ∵， ∴． ∵在中，， ∴． ∵， ∴． ∵在中，， ∴． ∴， ∴，即． 9. 如图，中，E，F分别是，的中点，点D在上，延长交于N，，，，则（　　） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形中位线的性质得到，然后根据直角三角形的性质得到，进而根据求解即可． 【详解】解： E，F分别是，的中点，， ， ，， ， ． 10. 如图，在边长为4的菱形中，，点、分别为、边上的动点，连接、、．若，则以下结论正确的是（ ） ①；②是等边三角形；③四边形的面积是；④面积有最大值为． A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】①连接，根据菱形的性质及，可以得到为等边三角形，结合，可得，可利用判定，从而得到；②根据，，即可得到为等边三角形；③根据及，可以得到，再求等边三角形面积即可；④当时，最短， 等边的面积最小，由，可以得到的面积最大值为； 【详解】解：①连接， ∵四边形为菱形， ， ∴，， ∴、均为等边三角形，， 又∵， 即：， ∴， 在和中， ∴ ∴，故①正确； ②∵，， ∴为等边三角形，故②正确； ③如图，过作于， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵ ，故③正确； ④∵为等边三角形， 当时，最短，的面积最小， 此时， ∴， 同理可得：此时， ∵， ∴ ， 当的面积最小，的面积最大，最大值为，故④错误； ∴正确的结论为：①②③． 故选B 【点睛】本题考查菱形性质，全等三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，勾股定理的应用，化为最简二次根式，面积最值问题，作出正确的辅助线及熟练掌握图形判定性质是解决本题的关键． 二、填空题（共6小题，每小题3分，合计18分） 11. 一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，这个多边形是______边形． 【答案】六 【解析】 【分析】n边形的内角和为 ，多边形的外角和为． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 由题意得： ， 解得 即这个多边形是六边形． 12. 顺次连接一个四边形各边中点得到的四边形是_________________． 【答案】平行四边形 【解析】 【分析】根据中点四边形的性质判断即可； 【详解】解：如图所示， 四边形ABCD，E，F，G，H是四边形的中点， ∴，，，， ∴，， ∴四边形EFGH是平行四边形； 故答案为：平行四边形． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与三角形中位线定理，准确判断是解题的关键． 13. 如图是蜡烛平面镜成像原理图，若以镜面为轴，镜面侧面为（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系，若某时刻火焰顶点点的坐标是，此时对应的虚像的坐标是，则＝_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平面镜成像原理，点与关于轴对称，根据对称的性质可列方程求出，的数值，代入计算即可求解． 【详解】解：点与关于轴对称，，， ，， ， ． 14. 如图，在平面直角坐标系中，有一个，已知，，，，则点的坐标为 _________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，坐标与图形．过点作轴于点，证明，根据全等三角形的性质，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作轴于点， ∵，轴， ∴， 又，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴点的坐标为． 故答案为：． 15. 中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．如图，晓进家有一个菱形中国结装饰，对角线，相交于点O，测得，，过点A作于点H，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形的性质得出，，，，根据勾股定理求出，然后根据等面积法求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴，，，， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴． 16. 如图1是某种简易房屋，它由顶角为的等腰三角形和矩形组成，在整体运输时需用钢丝绳进行加固，示意图如图2所示．MN是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳，点M在EC上，点N在上，在调整钢丝绳端点位置时，其长度也随之改变，但需始终保持．若米， ①＝______．　　 ②钢丝绳长度的最小值为______米． 嗨，你好！我是小数，对于此题，我是这样思考的：通过构造，把转化为，从而把双动点问题转化为单动点问题，这样就很容易解决问题了．你试试看！ 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理求解即可；过作，过作，作，可得四边形是平行四边形，得到，，，进而推出点在以为顶点，的角的一边上运动，当时，最小，再求得，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：根据题意可知：是顶角为的等腰三角形， ， 四边形为矩形， ，， 如图，过作，过作，作， 四边形是平行四边形，， ，，， ， ， ， 点在以为顶点，的角的一边上运动； 当时，最小，此时最小； ，米，， ，， ， 在中，， ∴（米），（米）， ∴（米）， ，， （米）， 故钢丝绳长度的最小值为米． 三、解答题（共8题，合计72分） 17. 在平面直角坐标系中，已知点． （1）若点在轴上，求的值； （2）若点在第一、三象限的角平分线上，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据轴上点的纵坐标为，列关于的方程并求解即可； （2）根据第一、三象限的角平分线上点横纵坐标相等，列关于的方程并求解即可． 【小问1详解】 解：点在轴上，， ，解得． 【小问2详解】 解：点在第一、三象限的角平分线上， ，解得． 18. 如图，在四边形中，，点E在边上， ．请从“①；②，”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题： （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，，，求线段的长． 【答案】（1）①或②，证明见解析； （2）6 【解析】 【分析】题目主要考查平行四边形的判定和性质，勾股定理解三角形，理解题意，熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题关键． （1）选择①或②，利用平行四边形的判定证明即可； （2）根据平行四边形的性质得出，再由勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：选择①， 证明：∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形； 选择②， 证明：∵，， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形； 【小问2详解】 解：由（1）得， ∵，， ∴． 19. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，．将经过平移后得到，已知点． （1）画出平移后的； （2）点的坐标是______； （3）求的面积． 【答案】（1）图见解析 （2）为； （3）3． 【解析】 【分析】本题主要考查了平移作图，求三角形的面积 （1）将三角形的三个顶点向右平移4个单位长度，向下平移1个单位长度再依次连接， （2）根据平移的规律并写出坐标； （3）根据长方形的面积减去三个三角形的面积可得答案. 【小问1详解】 解：平移后的如图所示： 【小问2详解】 由图可知：为； 【小问3详解】 解：的面积为． 20. 如图所示，矩形的对角线、相交于点O，，垂足为E，，． （1）求的度数； （2）求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先根据矩形的性质得到，然后证明出，得到，然后证明出是等边三角形，求出，进而求解即可； （2）根据矩形的性质得到，然后利用等边三角形的判定和性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴， 由（1）得， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴的周长． 21. 如图，正方形的边长为4，点为对角线的中点，点为边上的动点，点在边上，连接，，． （1）求证：； （2）当点在边上运动时，四边形的面积是否会发生变化？若不变，请求出其面积； 【答案】（1）见解析 （2）不会发生变化，面积为4 【解析】 【分析】（1）过点作于点于点，根据正方形的性质证明四边形是正方形，再证明，即可得证； （2）根据可知，根据即可得解． 【小问1详解】 证明：过点作于点于点，如图所示： ， 四边形是正方形，且边长为4， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， 矩形是正方形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； 【小问2详解】 解：当点在边上运动时，四边形的面积不会发生变化，始终等于4，理由如下： 连接，如图所示： 四边形是正方形，点为对角线的中点， ， 是等腰直角三角形， ， ，则． 由（1）得， ，， 由（1）得，矩形是正方形， 则． 22. 如图，在平行四边形中，对角线的垂直平分线与相交于点E，与相交于点F，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若四边形的周长是40，两条对角线的和是28，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2）96 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质可证，根据垂直平分线的性质可证，，利用可证，根据全等三角形的性质可证，根据对角线互相平分的四边形是菱形可证结论成立； （2）根据菱形的性质可知，设、，根据勾股定理可得，利用完全平方公式可以求出，根据菱形的面积公式求出结果即可． 【小问1详解】 证明：是的垂直平分线， ，； ∵四边形是平行四边形， ， ， 在和中， ， （）， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ， ∵四边形的周长是40， ∴， 设、， 则有，，， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， 整理可得：， ∴． 23. 一中在向你招手，加油！在平面直角坐标系中，我们将点P关于x轴的对称点记作点，再将点关于y轴的对称点记作点则称点为点P关于x轴和y轴的“一中对称点”．例如：点关于x轴的对称点为点，点关于y轴的对称点为点，所以点关于x轴和y轴的“一中对称点”为点 （1）点关于x轴和y轴的“一中对称点”的坐标是______； （2）点关于x轴和y轴的“一中对称点”的坐标是，求a和b的值； （3）点关于x轴和y轴的“一中对称点”满足点到y轴的距离等于点F到x轴距离，直接写出x的值； （4）若点关于x轴和y轴的“一中对称点”在第三象限，且满足条件的x的整数解恰有两个，求m的取值范围； 【答案】（1） （2） （3）或 （4） 【解析】 【分析】（1）根据“一中对称点”的定义求解即可； （2）根据“一中对称点”的定义得到的坐标，进而根据要求列方程组求解即可； （3）根据“一中对称点”的定义得到的坐标，进而根据要求列方程求解即可； （4）根据“一中对称点”的定义得到的坐标，进而根据要求不等式组求解，最后根据“满足条件的x的整数解恰有两个”确定m的取值范围即可． 【小问1详解】 解：点关于x轴对称的点的坐标为， 点关于y轴对称的点的坐标为， ∴点关于x轴和y轴的“一中对称点”的坐标是； 【小问2详解】 解：点关于x轴对称的点的坐标为， 点关于y轴对称的点的坐标为， ∴点关于x轴和y轴的“一中对称点”的坐标是， 又∵的坐标是， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：点关于x轴对称的点的坐标为， 点关于y轴对称的点的坐标为， ∴点关于x轴和y轴的“一中对称点”的坐标是， ∵点到y轴的距离等于点F到x轴距离， ∴， 解得：或； 【小问4详解】 解：点关于x轴对称的点的坐标为， 点关于y轴对称的点的坐标为， ∴点关于x轴和y轴的“一中对称点”的坐标是， ∵在第三象限， ∴， 解得：， ∴， ∵满足条件的x的整数解恰有两个， ∴， 解得：． 24. 结合范仲淹《岳阳楼记》中“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的家国情怀，我们定义：若一个凸四边形沿一条对角线对折后能完全重合，则称其为“忧乐四边形”，这条对角线为它的“忧乐轴”．如图1，凸四边形沿对角线对折后完全重合，四边形是以直线为对称轴的”忧乐四边形”． （1）岳阳楼文创馆推出四款印有《岳阳楼记》名句的四边形书签，其中一定是“忧乐四边形”的有______（填序号）： ①印“衔远山，吞长江”的平行四边形书签　　②印“朝晖夕阴，气象万千”的菱形书签 ③印“岸芷汀兰，郁郁青青”的矩形书签　　　④印“先天下之忧而忧”的正方形书签 （2）如图2，岳阳楼景区的矩形文化廊道（模拟岳阳楼檐下回廊），是边的中点（廊道转角节点）．已知四边形是以为“忧乐轴”的“忧乐四边形”（M在廊道内部），连接并延长交于N．求证：四边形是“忧乐四边形”； （3）如图3，洞庭湖岸的平行四边形观景台（对应《岳阳楼记》“衔远山，吞长江”的湖面布局），，，，，E是边的中点（观景台入口）．四边形是以为“忧乐轴”的“忧乐四边形”（M在观景台内部），连接并延长交于．当是直角三角形时，求线段的长； 【答案】（1）②④ （2）见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据“忧乐四边形”的定义对几个四边形进行逐一判定即可解决问题； （2）连接，证明，得出四边形沿折叠完全重合，则可得出结论； （3）分两种情况，由折叠的性质，直角三角形的性质，勾股定理可得出答案． 【小问1详解】 根据忧乐四边形”定义判断答案为②④． 【小问2详解】 证明：如图2，连接， 四边形是矩形， ， 是的中点， ， 将沿折叠后得到， ，， ， ， ， 四边形沿折叠完全重合， 四边形是“忧乐四边形”； 【小问3详解】 当是直角三角形时，分三种情况①②③时与题目条件不符，所以舍去 ①若，连接，则四边形是矩形， ，由（2）知，， 设，则， ， ， ， ． ②若，连接，过点作于点，，交的延长线于点，如图，由（2）知， ， ，， ， ， ， ， ， ， （AAS）， ， 设， ， （负值舍）， ． 综上所述，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $