微专题08一次函数与四边形的综合问题（专项训练）数学新教材人教版八年级下册

**基本信息** 聚焦一次函数与四边形综合，以题型为纲构建“性质-坐标法-分类讨论-验证”的递进式方法体系，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |一次函数与平行四边形|6题|性质应用、坐标法、顶点分类讨论|从平行四边形对边/对角线性质到动点坐标方程构建| |一次函数与矩形|6题|垂直条件（k1k2=-1）、距离公式|结合矩形直角特性，通过斜率与勾股定理列方程| |一次函数与菱形|6题|邻边相等、对角线垂直|利用距离公式与斜率乘积构建边长及垂直关系方程| |一次函数与正方形|6题|四边相等+邻边垂直、旋转变换|融合菱形与矩形方法，强化等腰直角坐标变换| |综合问题|6题|模型拆解、坐标公式应用|整合四边形性质，提升复杂问题拆解与方程求解能力|

微专题08 一次函数与四边形的综合问题 题型一 一次函数与平行四边形问题 1.利用平行四边形性质：对边平行且相等、对角线互相平分。 2.坐标法：设动点坐标，用中点公式或平移法列等式。 3.分三种顶点情况讨论：固定两点为边 / 对角线。 4.列方程求解，舍去不符合题意的点。 1．（25-26八年级下·上海普陀·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线过点，，交y轴于点C，点在点C上方，连接． (1)求直线的解析式； (2)当的面积是2时，求n的值； (3)在（2）的条件下，以点B、C、D、E为顶点组成的四边形为平行四边形，直接写出点E的坐标． 【答案】(1) (2)2 (3)或或 【分析】（1）由待定系数法求解即可； （2）先求点坐标，然后由建立方程求解； （3）先画出图形，再根据平行四边形的性质以及平移的性质即可求解． 【详解】（1）解：设直线的解析式为：， 把点，代入得， ， 解得：， ∴直线的解析式为：． （2）解：对于，当时， ∴， ， ∵ ∴， ∴ ， ； （3）解：如图， 当时，，，则； 当时，同理可求； 当时，则, ∵，，， ∴点向点的平移方式与点向点的平移方式一样， ∵点向点的平移方式为向左平移2个单位，向上平移2个单位， ∴点向左平移2个单位，向上平移2个单位得到 综上，点的坐标为或或． 2．（25-26八年级下·江苏连云港·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别相交于、两点，点在线段上，将线段绕着点顺时针旋转得到，此时点恰好落在直线上，过点作轴于点． (1)求证：； (2)若点在轴上，点在直线上，是否存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)存在，或 【分析】（1）利用旋转的性质，和证明即可； （2）先求出点坐标，利用全等三角形的性质，求出点D的坐标，然后分别以为对角线，为对角线，为对角线，三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵将线段绕着点C顺时针旋转得到， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， 又， ∴； （2）解：存在， ∵直线与x轴、y轴分别交于A、B两点， 当时，， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点在直线上， ∴， ∴， ∴，， 设，， 以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形有以下三种情况： ①当为对角线时：， ∴， ∴点P的坐标为； ②当为对角线时：， ∴， ∴点P的坐标为； ③当为对角线时：， ∴， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或． 3．（25-26八年级下·山东济南·期中）如图，在平面直角坐标系中，点B、C都在x轴上，，，，点C是线段的中点，直线交线段于点F，交x轴于点E． (1)写出点D的坐标________，点E的坐标________； (2)求直线的表达式； (3)平面内是否存在一点G，使以A、D、F、G为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)或或 【分析】（1）结合四边形是平行四边形，，，，可得，，求解，可得． （2）设直线的关系式为：，再利用待定系数法可得直线的关系式：； （3）求解直线为，，分三种情况讨论：①如图所示，当为平行四边形的对角线时，②如图所示，当为平行四边形的对角线时，当为平行四边形的对角线时，进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，，，， ∴，，， ∴，， ∵点C是线段的中点， ∴， ∴． （2）解：设直线的关系式为：， ∵直线经过点A，点E， ∴， 解得，， ∴直线的关系式：； （3）解：∵，设直线为， ∴， 解得：，即直线为， ∴，解得：， ∴， ①如图所示，当为平行四边形的对角线时， ，， ∴结合平移的性质可得：， ②如图所示，当为平行四边形的对角线时， 则，轴， 即点的坐标为：， ③当为平行四边形的对角线时， 同理可得：． 综上，点G的坐标为：或或． 4．（25-26八年级下·重庆·期中）如图，直线：与轴交于点D，直线：经过定点且与轴交于点A．直线，交于点 (1)求直线的解析式； (2)在轴上是否存在一点E，使与的面积的相等？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由； (3)平面内是否存在点Q，使得以A、B、D、Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点Q的坐标（并请写出求出其中一个点Q的过程）． 【答案】(1)； (2)存在，点E的坐标为或； (3)存在，点的坐标为或或． 【分析】（1）先求出直线的解析式为，再求出点，利用待定系数法即可求解； （2）求出点的坐标，得到，设点，得到，再根据，求解即可； （3）分两种情况：当为平行四边形的边，当为平行四边形的对角线，分别求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得：， ∴， ∴直线的解析式为：， 把点代入，得：， ∴点， 把点代入，得：， ∴， ∴直线的解析式为：； （2）解：存在，理由如下： 如图： 当时，， ∴， ∴点， 当时，， ∴， ∴点， ∴， 设点， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 解得：或， ∴点E的坐标为或； （3）解：存在，理由如下： 如图： 当为平行四边形的边时，， ∴点的横坐标为或，纵坐标为， ∴点的坐标为或， 当为平行四边形的对角线时，， ∵，， ∴点向右平移5个单位，向下平移5个单位到点，则点向右平移5个单位，向下平移5个单位到点， ∴点的坐标为，即， 综上，点的坐标为或或． 5．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）综合与探究 如图，直线分别交轴，轴于点，过点A作直线分别交轴，轴于点，．    (1)求直线的解析式． (2)在轴左侧作直线轴，分别交直线，于点．当时，过点作直线 轴，交轴于点．能否在直线上找一点，使的值最小，求出点的坐标． (3)为直线上一点，在（2）的条件下，轴上是否存在点使得以为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点的坐标为 (3)存在，点的坐标为或或 【分析】（1）直接运用待定系数法即可解答； （2）先说明，设，则．再根据对称性求得、、，再求得直线的解析式，再令代入即可解答； （3）分平行四边形为、、三种情况，分别画出图形结合平行四边形的判定和点与坐标的关系即可解答． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， 将，代入中， 得，解得， ∴直线的解析式为． （2）解：与轴交于，与轴交于， ∴． ∵， 设，则． 将代入中，解得，即，． 设关于直线的对称点为，连接，则． 设直线的解析式为，将，代入， 得，解得， ∴的解析式为． 令，得， ∴点的坐标为． （3）解：存在，点的坐标为或或． ①如图1，当，时，四边形是平行四边形； 由（2）得， ∴， ∴， ∴．    ②如图2，当，时，四边形是平行四边形； ∵， ∴．    ③如图3，当，时，四边形是平行四边形； 过点作轴，垂足为， 过点作轴，垂足为． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． 又∵，， ∴， ∴，， ∴点的纵坐标为． 将代入中，解得， ∴．    综上所述，的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式、轴对称的性质、一次函数的性质、平行四边形的判定等知识点，掌握数形结合思想是解答本题的关键． 6．（25-26八年级下·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，直线：经过点和点，直线：与交于点，且与轴交于点． (1)求直线的解析式； (2)若点的横坐标为，连接，点为平面内一点，若，，，为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，过点作直线交直线于点，若直线与直线相交形成的钝角等于的两倍，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 或． (3)或 【分析】（1）直接运用待定系数法求解即可； （2）先求得，设．再分、、为对角线三种情况，分别利用平行四边形的性质求解即可； （3）如图：过点A作直线，使得，易得，过D作交于点E，易得，则直线与直线相交形成的钝角等于的两倍，即点E的坐标就是点P的坐标．再利用平行线的性质、等角对等边可得，设点，然后利用两点间距离列方程求得a的值，可确定点E的坐标，即可确定点P的坐标；先说明可得，如图：在直线上取一点F，使得，即，连接并延长至G，易得直线与直线相交形成的钝角等于的两倍，即点F坐标就是点P的坐标， 设点，然后利用两点间距离列方程求得b的值，可确定点F的坐标，即可确定点P的坐标． 【详解】（1）解：设直线的解析式为． 将点和点代入解析式，得： ，解得： ， ∴直线的解析式为． （2）解：当时，，即． 将 代入得： ，解得． ∴直线的解析式为． 令，得，解得，即． 已知，设． 根据平行四边形的性质，分三种情况讨论： ① 如图：当为对角线时，中点为，则中点也为． ，解得，即． ② 当为对角线时，中点为，则中点也为． ，解得，即． ③ 当为对角线时，中点为，则中点也为． ，解得，即． 综上，点E的坐标为或 或． （3）解：如图：过点A作直线，使得，过D作交于点E， ∴， ∴， ∴直线与直线相交形成的钝角等于的两倍，即点E的坐标就是点P的坐标． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设点，则， ∵， ∴，解得：， ∴，即． 如图：∵， ∴，， ∴， ∴， 如图：在直线上取一点F，使得，即，连接并延长至G， ， ∴， ∴直线与直线相交形成的钝角等于的两倍，即点F坐标就是点P的坐标． 设点，则， ∵，， ∴，解得：， ∴，即． 综上，点的坐标或． 题型二 一次函数与矩形问题 1.矩形性质：四个角为直角、对角线相等且平分、邻边垂直。 2.垂直条件：斜率乘积k1 ·k2 = -1；或邻边向量垂直。 3.设动点坐标，用距离公式、勾股定理、中点公式列方程。 4.求解并验证，排除共线、重合点。 1．（24-25八年级下·全国·暑假作业）如图，在平面直角坐标系中，直线l与直线平行，且直线l与x轴、y轴分别交于点A，B，点A的坐标为，点在直线l上． (1)求直线l对应的函数表达式以及点C的坐标； (2)点P在y轴的正半轴上，Q是平面直角坐标系内一点，若四边形为矩形，求点P，Q的坐标． 【答案】(1)， (2)点P的坐标为，点Q的坐标为 【分析】（1）由题意设直线l对应的函数表达式为，然后将代入得到，然后将代入求解即可； （2）首先求出点B的坐标为，证明出，得到，进而求解即可． 【详解】（1）直线l与直线平行， 设直线l对应的函数表达式为． 直线l经过点， ， 解得． 直线l对应的函数表达式为． 点在直线l上， ． 点C的坐标为． （2）如图，四边形是矩形， 与是矩形的对角线． 直线l对应的函数表达式为， 令，得， 点B的坐标为． 点A的坐标为，点C的坐标为， ， ． ． 是对角线与的交点． 点P在y轴的正半轴上， 点Q在y轴上． ． 点P的坐标为，点Q的坐标为． 【点睛】本题考查了一次函数和几何综合，待定系数法求一次函数解析式，矩形的性质和判定，勾股定理，灵活运用所学知识是解题的关键． 2．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C分别在x轴和y轴的正半轴上，点B的坐标为，且m，n满足：． (1)直接写出点B的坐标为________． (2)如图1，点D在第二象限，，，，求线段的长度． (3)如图2，点E在边上，，F为y轴上一点，与相交于点G，且，求线段的长度． 【答案】(1) (2) (3)或30 【分析】对于（1）：因为二次根式有意义的条件是被开方数非负，所以可得且，由此确定的值，进而求出的值，得到点的坐标． 对于（2）设第二象限内，得，，化简得，解得​，得．得． 对于（3）：以为斜边构造等腰直角三角形，再构造全等三角形，点F在y轴正半轴或点F在y轴负半轴，分类讨论，求出直线的解析式，即可解决问题． 【详解】（1）解：根据二次根式有意义的条件（被开方数非负）：， 解得， 代入， 得， 因此B点坐标为：； （2）解：由矩形性质得：，， 设第二象限内， 根据题意：，， 两式相减消去， 化简得， 解得​， 代入得​， 结合得． 由两点间距离公式：， ​因此长度为：． （3）解：设， 过点E作， 过点O作于点H， 过点H作轴于点I，交于点J， 则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当点F在y轴正半轴上时， ， ，， ，， 解得， ∴， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴； 设直线的解析式为， 代入， 得， 解得， ∴， 当时，， ∴， ∴． 当点F在y轴负半轴上时， ， ，， ，， 解得， ∴， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴； 设直线的解析式为， 代入， 得， 解得， ∴， 当时，， ∴， ∴． 综上，的长度为或30． 3．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）一次函数的图象分别交x轴和y轴于点A和点B． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，在x轴上有一点，点E在线段上，直线交y轴于点D，，求经过C、E两点的一次函数的解析式； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，点P在直线上，Q是平面内一点，当以O、E、P、Q为顶点的四边形为矩形时，请直接写出点Q的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）先求出点的坐标，得到，再根据，利用三角形内角和定理即可求解； （2）设，根据，可得点是点中点，由点D的横坐标为，求出e的值，可得点E的坐标，再利用待定系数法即可求解； （3）由（2）可求出，易得，求出，则，由（1）知，求出，分当为以 O、E、P、Q为顶点构成的矩形的边时，当为以 O、E、P、Q为顶点构成的矩形的对角线时，两种情况讨论，根据矩形的性质即可求解． 【详解】（1）解：将代入，则， 令，解得：， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：设， ∵，， ∴点是点中点， ∵点D在y轴上，即点D的横坐标为， ∴， 解得：，则， ∴， 设直线的解析式为， 则， 解得：， ∴直线的解析式为； （3）解：由（2）知直线的解析式为， 将代入，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， 如图，当为以 O、E、P、Q为顶点构成的矩形的对角线时，则点Q在直线上， 设， 由（2）知， ∴， 解得：， 则， ∴； 如图，当为以 O、E、P、Q为顶点构成的矩形的边时， 设， 在中，， ∴，即， ∴，则， ∴， ， 解得：， ∴； 综上，点Q的坐标为或． 【点睛】此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，一次函数与坐标轴的交点问题，矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是得出的函数关系式． 4．（24-25八年级下·湖北宜昌·期中）如图，将矩形纸片放在平面直角坐标系中，点分别在轴和轴的正半轴上，顶点的坐标为，点是边上的一动点，将沿折叠压平，使点落在点． (1)若满足． ①求点的坐标； ②连接，当以点为顶点的三角形是直角三角形时，求点的坐标； (2)若正比例函数的图象经过点，直线与矩形的边相交于点，当时，求直线的函数解析式． 【答案】(1)（1）①；②或； (2)或 【分析】（1）①根据算术平方根和绝对值的非负性得到，，然后求解即可； ②首先求出，然后分两种情况讨论：当和当，分别根据相似三角形的性质和折叠性质求解即可； （2）设，得到，，设直线的函数解析式为，然后根据题意分两种情况讨论：当点M在上和当点M在上，分别解直角三角形和勾股定理求解即可． 【详解】（1）①∵ ∴， ∴， ∴顶点的坐标为； ②∵四边形是矩形 ∴，， ∴ 如图所示，当时，过点Q作于点Q 由折叠得，， ∵ ∴点O，Q，C三点共线 ∵， ∴ ∴，即 ∴，； ∴； 如图所示，当时， ∵ ∴四边形是矩形 由折叠得，， ∴点O，Q，A三点共线 ∴ ∴； 综上所述，点的坐标为或； （2）∵正比例函数的图象经过点， ∴设 ∴， 设直线的函数解析式为 如图所示，当点M在上时， ∴将代入得， ∴ ∴ ∴， 由折叠得，， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴解得 ∴直线的函数解析式为； 如图所示，当点M在上时， 由折叠得，， ∴设 ∴， ∴在中， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴将代入得， 解得 ∴直线的函数解析式为； 综上所述，直线的函数解析式为或． 【点睛】此题考查了坐标与图形综合，一次函数的和几何综合，勾股定理，解直角三角形，折叠问题等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 5．（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）定义：两个一次函数和(其中k、b为常数，，)互为“守望一次函数”，“守望一次函数”图象的交点称为“守望点”．如图，在平面直角坐标系中，直线的图象与坐标轴的交点分别为点A和点B． (1)求函数的“守望一次函数”和“守望点”C的坐标； (2)动点P从“守望点”C出发，以每秒个单位长度的速度沿折线方向运动，当点P到达O处时，停止运动．设的面积为S，运动时间为秒，请直接写出S关于的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围； (3)在（2）条件下，当时，点N在坐标轴上，坐标平面内是否存在点M，使得以A、P、N、M为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)或或 【分析】（1）原一次函数中 ，根据“守望一次函数”定义求出， 代入解析式即可；联立原函数与“守望一次函数”求出“守望点”C的坐标； （2）分两种情况讨论，当在上运动，当在上运动，分别用含有的代数式表示 的底与高，进而表示出面积； （3）在（2）条件下，当时，在点处，根据矩形性质，以A、P、N、M为顶点的四边形是矩形，即以A、P、N为顶点的三角形是直角三角形，分三种情况进行讨论，当时，当时，当时分别求解即可． 【详解】（1）解： 其中 ，其“守望一次函数”为： 代入 得： ∴的 “守望一次函数”为 ； 联立原函数与“守望一次函数”求交点C： 解得 ， 故C点坐标为 ； （2）解：， 令，求得， 令，求得， ∴，， 作， 由勾股定理得，， ∵， 即， ， 的运动速度每秒个单位长度， 当在上运动，即时，， ； 当在上运动，即时，， ； 综上，函数解析式为： ； （3）解：在（2）条件下，当时，在点处，点N在坐标轴上， 根据矩形性质，以A、P、N、M为顶点的四边形是矩形，即以A、P、N为顶点的三角形是直角三角形， 当时，如图，在原点处， 此时； 当时，如图， 设， ∴， ， ， ， ， 设，由矩形性质可知对角线的中点重合， 由中点公式得： ， 解得， ； 当时，如图， 设， ∴， ∵， ， 解得：， ， 设，由矩形性质可知对角线的中点重合， 由中点公式得： ， 解得， ； 综上所述，或或． 【点睛】本题考查一次函数，矩形的性质和判定，勾股定理，三角形面积，掌握相关知识是解决问题的关键． 6．（25-26八年级下·北京海淀·期中）在平面直角坐标系中，为矩形内（不包括边界）一点，过点分别作轴和轴的平行线，这两条平行线分矩形为四个小矩形，若这四个小矩形中有一个矩形的周长等于，则称为矩形的矩宽点． 例如：下图中的为矩形的一个矩宽点． (1)在点中，矩形的矩宽点是_____； (2)若为矩形的矩宽点，求的值； (3)已知点的坐标为，点的坐标为．若直线上存在矩形的矩宽点，直接写出的取值范围_____． 【答案】(1)D、F； (2)或； (3)或 【分析】（1）根据矩宽点的定义即可判断； （2）根据矩宽点的定义分四种情况构建方程，再解方程，即可解决问题； （3）由题意先求解矩形的矩宽点满足的方程及函数解析式，可得矩形的矩宽点只能在线段，，，上（不包括端点），其中，，，，，，分别求出直线经过D、E、Q、R、K时的n的值即可解决问题． 【详解】（1）解：∵， ∴点D是矩宽点， 如图，显然不是矩宽点， 如图， ∴， ∴点F是矩宽点； （2）解：如图， ∵为矩形ABCO的矩宽点， ∴或或或， 解得或或或， 经检验不符合题意，舍去，不符合题意，舍去， ∴或； （3）解：如图中由题意可知，矩形的矩宽点满足的方程为： 或或或 整理得： 所以矩形的矩宽点只能在线段，，，上（不包括端点），其中，，，，，， 观察图象可知当直线与线段、、、有交点时，直线上存在矩形的矩宽点， 设直线解析式为， 则， 解得， ∴， 当直线经过点E时，，解得， 当直线经过点Q时，，解得， 当直线经过点K时，，解得， 当直线经过点R时，，解得， 当直线经过点D时，，解得， 综上所述，满足条件的n的值为或． 题型三 一次函数与菱形问题 1.菱形性质：四边相等、对角线垂直平分、对边平行。 2.关键条件：邻边相等（距离公式）、对角线垂直（斜率乘积为 - 1）。 3.设点坐标，结合中点、垂直、边长相等列方程组。 4.解方程，检验边长与垂直关系。 1．（24-25八年级下·全国·暑假作业）如图所示，在平面直角坐标系中，矩形的边，边，直线l：与矩形的边和都有交点，交点分别是点D与点E． (1)请用含b的代数式分别表示点D和点E的坐标：D ，E ； (2)当四边形为平行四边形时，求b的值； (3)若要使在平面内存在点F，使以点C、D、E、F这四点为顶点的四边形为菱形，是否存在满足条件的b的值？若存在，求出b的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)存在，或0或 【分析】（1）直线，令，则，当时，，即可求解； （2）四边形为平行四边形时，，即可求解； （3）分当是菱形的边、是菱形的对角线两种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解： ∵，边，则点、、的坐标分别为：、、， 直线，令，则，当时，， 故点、的坐标分别为：；； （2）解： 由（1）知点、的坐标分别为：；； 点、的坐标分别为：、； 则，， 四边形为平行四边形时，则，即， 解得：； （3）①当是菱形的边时， 点对应的点为：或， 在菱形中，，即， 解得：， 当时，点，不在边上，故该值舍去， 故； 当四边形为菱形时； 同理可得：； ②当是菱形的对角线时， 则，即， 解得：， 综上：或0或． 【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到菱形的性质、平行四边形的性质、勾股定理的运用等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线经过菱形的顶点 和顶点B． (1)求b的值以及顶点C的坐标； (2)将该菱形向下平移，其中顶点C的对应点是． ①当点恰好落在对角线上时，求该菱形平移的距离； ②当点在x轴上时，原菱形边上一点P平移后的对应点是Q，如果，求点Q的坐标． 【答案】(1) (2)①菱形的平移距离为：； ② 【分析】（1）把顶点代入求解b即可，记直线与y轴的交点为S，则过作于 证明 结合菱形的性质可得答案； （2）①由 可得 再求为：结合平移可得： 从而可得答案；②如图，当在x轴上，且 证明为等边三角形，再证明为的中点，从而可得答案． 【详解】（1）解：∵直线经过菱形的顶点， ∴ 解得： ∴直线为： 记直线与y轴的交点为S，则 过作于 ∴ ∴ ∵菱形 ∴ ∴ ∴ ∴ （2）①如图，由 ∴ ∴ 解得 ∴ 设为： 则 解得： ∴为： ∵由平移可得： ∴ ∴ ∴菱形的平移距离为： ②如图，当在x轴上，且 ∴是的垂直平分线， ∴ ∴为等边三角形， ∴ ∴ ∴为的中点， 由平移可得： 则 ∴ 【点睛】本题考查的是一次函数的几何应用，菱形的性质，锐角三角函数的应用，平移的性质，等边三角形的判定与性质，理解题意，画出符合题意的图形，利用数形结合的方法解题是关键． 3．（25-26八年级下·山东济南·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与直线交于点． (1)点坐标为___________，点坐标为___________． (2)将直线向下平移1个单位长度，交直线于，交轴于，求四边形的面积． (3)若点为线段上一动点，在平面内是否存在点，使得以为顶点，且以为一边的四边形是菱形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，或 【分析】（1）令，求解即得到直线与x轴交点A的坐标；联立两个一次函数解析式即可得到其交点P的坐标； （2）先求出平移后的直线表达式，再求出交点的坐标以及的坐标，最后根据四边形的面积求解即可； （3）分两种情况讨论，将菱形的存在性问题转化为等腰三角形的存在性问题，结合菱形的性质以及中点坐标公式即可求解． 【详解】（1）解：直线与x轴交于点A， 令，则， 解得， 点的坐标为， 直线与直线交于点P 令， 解得， ， 点的坐标为； （2）解：如图， 由题意得，直线 当时，，解得 联立直线和直线表达式得，， 解得， ∴， ∵四边形的面积 ∴四边形的面积 （3）解：存在，设点C的坐标为，设D点坐标为   当时，连接，对角线、交于点G， 四边形为菱形， 、互相垂直平分， 为、的中点， ， ， ， 整理得，， 则 解得或（舍）， ， 点G坐标为，即 中点坐标为， ， ， D点的坐标为； 当时，连接对角线、交于点H， 四边形为菱形， 、互相垂直平分， 为、的中点， ， ， ， 整理得， 解得或， （舍去）或， ∴的中点 中点坐标为， ， ， 点的坐标为， 综上可知，D点坐标为或． 4．如图，在平面直角坐标系中，直线 BC：y=-x+3 交 x 轴于点 B，交 y 轴于点C，直线AD 与直线 BC 互相垂直，垂足为点 E，且 CD=1， (1)求直线 AD 解析式． (2)点 P 从点 B 出发沿线段 BO 方向以 1 个单位/秒的速度向终点 O 运动，设△AEP 的面积为 S，运动时间为 t，求 S 与 t 的函数关系式，并直接写出自变量 t 的取值范围． (3)在(2)的条件下，点 P 运动的同时点 Q 从 C 点出发沿射线 CO 方向以 3 个单位/秒的速度运动， 当点 P 到达终点时，点 Q 也停止运动，过点 P 作 x 轴垂线交 BC 于点 F，连接 FQ 和 EQ，平面内是否存在一点 M，使得以点 E，Q，F，M 为顶点且以 EQ 为边的四边形是菱形?若存在，求出此时 t 值和 M 点坐标；若不存在，说明理由．    【答案】（1）；（2）；（3），；，． 【分析】（1）求出点D的坐标，根据两直线垂直K的乘积为-1即可解决问题； （2）根据题意画出图形，易得出点E的坐标，最后根据三角形面积公式即可得出答案； （3）易知，，，①当时，使得以点E、Q、F、M为顶点且以EQ为边的四边形是菱形；②当时，使得以点E、Q、F、M为顶点且以EQ为边的四边形是菱形． 【详解】（1）∵直线BC：y=-x+3 交 x 轴于点 B，交 y 轴于点C， ∴，， ∵CD=1， ∴OD=4，， ∵， ∴直线AD的解析式为． （2）如图所示，    由y=-x+3和可得点E的坐标为， ∵，，△AEP的高是， ∴． （3）如图所示，    易知，，， 当时，使得以点E、Q、F、M为顶点且以EQ为边的四边形是菱形； ∴， 解得：或（舍去）， ∴，，，设， 则有，解得， ∴． 当时，使得以点E、Q、F、M为顶点且以EQ为边的四边形是菱形， ， 解得：或（舍去）， 同法可得点M的坐标为， 综上所述，，；，． 【点睛】本题主要考查了一次函数的综合，根据题意画出准确图形是解题的关键． 5．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在平面直角坐标中，点O为坐标原点，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在直线上，且点C的纵坐标为2．    (1)求直线的解析式； (2)点P是射线上一点，连接，设点P的横坐标为t，的面积为S，求S与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）； (3)在（2）的条件下，在坐标平面内是否存在点Q，使以O，B，P，Q为顶点的四边形是以为一边的菱形?若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）先求出点C坐标，再运用待定系数法求出直线的解析式即可； （2）求出，设，由三角形面积公式可得结论； （3）分为边长或对角线两种情况画出图形，根据菱形的性质即可得出Q点的坐标． 【详解】（1）对于，点C在直线上，且点C的纵坐标为2．即， ∴ 解得，， ∴, 设直线的解析式为， 把代入得， 解得，， ∴直线的解析式为； （2）点P是射线上一点，点P的横坐标为t，    ∴， 对于，当时，；当时，，解得，， ∴ ∴； （3）①若为边，为对角线时，如图1，    ∵ ∴， ∵四边形是菱形， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴ ∵点与点关于轴对称， ∴； ②若为边，为边时，如图1，过点P作轴于点E，如图2，    则有： ∴， 在中，, ∴ 解得，或（舍去）， ∴, 把点向下平移5个单位得点， ∴， 综上，点Q的坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数，熟练运用待定系数法、菱形的判定是解题的关键． 6．（24-25八年级下·广东珠海·期末）在平面直角坐标系中，直线交轴正半轴于点，交轴负半轴于，，作线段的垂直平分线交轴于点，交轴于点，交于点． (1)如图1，求点坐标； (2)如图1，点是轴上的一个动点，是平面内任意一点，以，，，为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点的坐标； (3)如图2，过点作轴的平行线，连接并延长交直线于点，，分别是直线和直线上的动点，求周长的最小值． 【答案】(1) (2)点H的坐标为或或或 (3) 【分析】（1）由所对的直角边是斜边的一半得到，在中利用勾股定理求出，，进而得到，再利用特殊直角三角形求解即可； （2）先得到E的坐标，再分类讨论画出每种情况很容易求得点H的坐标； （3）要求周长和最小值，很明显是轴对称最短路径问题，只有F是定点，所以作点F关于的对称点C，作点F关于的对称点D，连接分别交直线和直线于P，Q，这样周长最小值就转移到求的长，再利用条件求解即可． 【详解】（1）解：（1）∵，， ∴，， ∴， 解得：， ∴， ∵垂直平分， ∴，， ∴， ∴．即． （2）过E作于S，则，如图， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）知， ①当是菱形的对角线时，点E和H关于y轴对称，此时点H的坐标为， ②当是菱形的边时，点H的坐标为或； 如图1，此时， ∴H坐标为， 如图2，此时， ∴H坐标为， 如图3，∵，， ∴， ∴， ∴H的坐标为， 综上：点H的坐标为或或或． （3）作点F关于的对称点C，作点F关于的对称点D，连接分别交直线和直线于P，Q，如图， ∴，，，，，， ∴， 由，得直线的解析式为： ， 当时，， ∴， ∵，，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 同理，连接，也为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴周长的最小值即为． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象与性质、菱形的性质、直角三角形的性质、勾股定理、轴对称最短路线问题等内容，熟练掌握相关知识和分类讨论思想是解题的关键． 题型四 一次函数与正方形问题 1.正方形性质：四边相等、四角为直角、对角线垂直平分且相等。 2.同时满足：邻边相等 + 邻边垂直（等腰直角特征）。 3.构造方法：用90° 旋转坐标变换或平移 + 垂直。 4.列等式：边长相等、斜率垂直，求解并验证。 1．如图矩形的顶点，分别在轴、轴的正半轴上，，，且，满足，一次函数的图象与边，分别交于，两点． (1)求点的坐标； (2)直线与一次函数交于点，求点的坐标； (3)点在线段上运动，过点作，垂足分别为点，．是否存在这样的点，使以，，，为顶点的四边形是正方形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点的坐标为 (2)点的坐标为 (3)存在，的坐标为 【分析】（1）利用非负数的性质求出a、b的值，即可得到B点坐标； （2）用待定系数法求出直线OB的解析式，再联立两一次函数解析式即可求出交点的坐标； （3）先证明四边形是矩形，可得当时，四边形是正方形，设点的坐标为，求出，，然后根据列方程求出a的值即可得到G点坐标． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴，AB⊥x轴， ∴点的坐标为； （2）设直线解析式为， 把点代入得：， 解得：， ∴直线解析式为：， 联立，解得， ∴点的坐标为； （3）存在， ∵四边形是矩形， ∴， 又∵，， ∴四边形是矩形， ∴当时，四边形是正方形， ∵是线段上的点，设点的坐标为， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴点的坐标为． 【点睛】本题考查非负数的性质，坐标与图形的性质，矩形的判定和性质，待定系数法，一次函数图象的交点求法，正方形的判定等知识，熟练掌握一次函数的图象及性质是解题的关键． 2．已知边长为的正方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点，，，分别在边，，，上，与交于点，，． （1）求的长． （2）当时，求直线的解析式； （3）如图2，其他条件不变，若是正方形对角线的交点时，求的长． 【答案】（1）；（2）直线的解析式；（3）． 【分析】（1）过点，分别作，，垂足分别为，，先证明四边形与四边形是矩形，从而得到，再证明即可得到答案； （2）先利用勾股定定理求出H的坐标，设直线的解析式为，然后求出其解析式即可； （3）只需要证明即可求解. 【详解】解：（1）过点，分别作，，垂足分别为，． 在正方形中，，90°， 又∵，， 90°， 四边形与四边形是矩形， ，， ． 又∵，， 90°，90°， ， 又∵90°， ， ， ， ； （2）由（1）可知四边形是矩形，， ，， 中， 点的坐标为 又∵点的坐标为 设直线的解析式为把点，代入得，解得 直线的解析式 （3）设，连接作于， 由（1）可知， ∵O是正方形对角线交点， 又∵在正方形中，， ，， ， ， 由（2）可知， 即，解得，即． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，求一次函数解析式，全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 3．如图，已知一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点B、A，以为边在第一象限内作正方形．过点C作轴于点E，点是线段上的动点，过点G作轴分别交于点F、H，连接． (1)求点C的坐标． (2)当时，判断四边形的形状，并说明理由． (3)当时，请直接写出点H的坐标． 【答案】(1) (2)矩形；理由见解析 (3) 【分析】（1）先求出、，可得OA=4，OB=2，再证明，可得BE=OA，CE=OB，即可求解； （2）根据题意可得当时，，从而得到，可得到，即可求解； （3）过点D作DM⊥y轴于点M，先求出点D（2，6），可求出子项AD的解析式，然后设点，则点，根据，可得到关于m的方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴、， ∴OA=4，OB=2， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC，∠ABC=90°， ∴∠ABO+∠CBE=90°， ∵∠AOB=∠CEB=90°， ∴∠ABO+∠OAB=90°， ∴∠OAB=∠CBE， ∴， ∴BE=OA=4，CE=OB=2， ∴， ∴； （2）解：当时，四边形是矩形．理由如下： 当时，， ∴点F的横坐标为1 当时，， ∴， ∵， ∴， 又，轴，轴， ∴， ∴当时，四边形是矩形； （3）解：如图，过点D作DM⊥y轴于点M， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD，∠DAC=90°， ∴∠BAO+∠DAM=90°， ∵∠AOB=∠AMD=90°， ∴∠ABO+∠OAB=90°， ∴∠OAB=∠ADM， ∴， ∴DM=OA=4，AM=OB=2， ∴OM=OA+AM=6， ∴点D（2，6）， 设直线AD的解析式为， ∴，解得：， ∴直线AD的解析式为， ∴可设点，则点， ∵FG=FH， ∴， 解得：， ∴点． 【点睛】本题属于一次函数综合题，考查了矩形的性质，待定系数法，一次函数的性质，正方形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 4．如图，在平面直角坐标系中，四边形OBCD是边长为4的正方形，B、D分别在y轴负半轴、x轴正半轴上，点E是x轴的一个动点，连接CE，以CE为边，在直线CE的右侧作正方形CEFG． （1）如图1，当点E与点O重合时，请直接写出点F的坐标为　 　，点G的坐标为　 　． （2）如图2，若点E在线段OD上，且OE＝1，求正方形CEFG的面积． （3）当点E在x轴上移动时，点F是否在某条直线上运动？如果是，请求出相应直线的表达式；如果不是，请说明理由． 【分析】（1）利用四边形OBCD是边长为4的正方形，以及正方形CEFG的性质可得答案； （2）利用勾股定理求出CE，再根据正方形的面积公式可得答案； （3）当点E在x轴上移动时，E点的位置分两种情况进行讨论：①点E在D的左边；②点E在D的右边．都是利用正方形与全等三角形的性质，求出F点的坐标，根据坐标可得答案． 【详解】解：（1）如图1，当点E与点O重合时， ∵四边形OBCD是边长为4的正方形， ∴OB＝BC＝CD＝DE＝4，∠CDE＝90°， ∵四边形CEFG是正方形， ∴CF⊥EG，又CD⊥EG， ∴C、D、F三点共线，且C、F关于x轴（EG）对称， ∵C（4，﹣4）， ∴F（4，4），G（8，0）． 故答案为（4，4），（8，0）； （2）如图2，若点E在线段OD上，且OE＝1， ∵OD＝CD＝4， ∴DE＝OD﹣OE＝4﹣1＝3， ∴CE5， ∴正方形CEFG的面积＝52＝25； （3）当点E在x轴上移动时，E点的位置分两种情况： ①如图3①，点E在D的左边时，作FH⊥x轴于H，则∠FEH＝∠ECD＝90°﹣∠CED． 在△FEH与△ECD中， ， ∴△FEH≌△ECD（AAS）， ∴EH＝CD＝4，FH＝ED． 设OE＝m，F（x，y）， ∴OH＝EH+OE＝4+m，FH＝ED＝OD﹣OE＝4﹣m， ∴F（4+m，4﹣m）， ∴x+y＝4+m+4﹣m＝8， ∴y＝﹣x+8， ∴F在直线y＝﹣x+8上； ②如图3②，点E在D的右边时，同理可得，F在直线y＝﹣x+8上． 综上，当点E在x轴上移动时，点F是在直线y＝﹣x+8上运动． 【点睛】本题是一次函数综合题，其中涉及到正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识．利用数形结合、分类讨论是解题的关键． 5．已知如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点分别落在轴、轴上，点在边上，点在边上，且，已知点，点．    (1)求点的坐标； (2)若动点同时从点出发，点以每秒1个单位的速度向点运动，点以每秒2个单位的速度沿射线方向运动，当点运动到点停止，点也同时停止运动．设的面积为，点的运动时间为，用含的代数式表示； (3)在（2）的条件下，点是射线上的一点，点为平面内一点，当四边形是正方形时，请求出此时的值与点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)当时，；当时，；当时， 【分析】（1）结合点，点，四边形为矩形，可得，，；设，则，在中，由勾股定理可得，代入求解可知，即可求得点的坐标； （2）分两种情况讨论：当点在点右侧和点在点左侧时，利用三角形面积公式即可获得答案； （3）若四边形是正方形时，则点三点围成的三角形为等腰直角三角形，分情况讨论即可获得答案． 【详解】（1）解：∵点，点，四边形为矩形， ∴，，，， 设，则， ∴在中，由勾股定理可得， 即，解得， ∴， ∴点的坐标为； （2）①如下图，当点在点右侧时，    根据题意，， ， ∴， ∴； ②如下图，当点在点左侧时，    根据题意，， ， ∴， ∴． 综上所述，； （3）若四边形是正方形时，则点三点围成的三角形为等腰直角三角形， 可分情况讨论： ①如下图，    ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如下图，过点作于点，    易知四边形、均为矩形， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，即， ∵， 解得； ③如下图，    ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上所述，若满足四边形是正方形，当时，；当时，；当时，． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形、勾股定理、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、矩形的性质等知识，综合性强，难度较大，运用数形结合和分类讨论的思想分析问题是解题关键． 6．（24-25八年级上·江苏淮安·月考）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为6，两边在坐标轴上，D为线段上一点，且，连接． (1)点D的坐标为______； (2)若点M从点C出发以每秒2个单位的速度沿折线的方向运动，当与点A重合时运动停止设点M的运动时间为t秒，连接AM，t为何值时？ (3)在（2）的条件下，当为等腰三角形时，请直接写出点M的坐标______． (4)过A，C两点的直线沿着y轴向上平移过程中，直线上是否存在点P满足为等腰直角三角形，请求出直线的表达式． 【答案】(1) (2)或 (3) (4)平移后的直线解析式为或或 【分析】（1）根据正方形的边长为 6 ，得到，结合，得到，结合点在轴的正半轴，计算坐标即可． （2）根据题意，得，分点在上运动和在上运动，两种情况解答即可． （3）根据题意，分三种情况解答即可． （4）先求出直线的解析式，设沿着y轴向上平移了c个单位，则平移后的直线解析式为，分为当时，当时，当时，分别画图，根据全等三角形的性质和判定求解． 【详解】（1）解：∵正方形的边长为 6 ， ， ， ， ∵点在轴的正半轴， ． （2）解：根据题意，得， ， 当点在上运动时，， 则，解得：； 当点在上运动时，， 则，解得：； 综上，或． （3）解：∵正方形的边长为 6 ， ， ， ， ， ， ， 当时，点一定在上，此时点记作，此时， 根据勾股定理，得， ， 故； 当时，点一定在上，此时点记作， 设，则， 根据勾股定理，得， ， ， ， 解得， 此时； 当时，点可能在上，也可能在上，当点在上记作，当点在上记作，过点作于点， 则， ∴四边形是矩形， ， ， 此时； 根据题意，得， 此时； 综上所述，符合题意的的坐标为． （4）解：∵， 设直线的解析式为， 则，解得， 则直线的解析式为， 设沿着y轴向上平移了c个单位，则平移后的直线解析式为， 当时， 如图，过点作轴， 则， ∴， ∴， ∴， ∴， 将代入得，解得：， 则平移后的直线解析式为； 当时， 如图，过点作轴， 则， ∴， ∴， ∴， ∴， 将代入得，解得：， 则平移后的直线解析式为； 当时， 如图，过点作轴，， 则， ∴， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 将代入得，解得：， 则平移后的直线解析式为； 综上，平移后的直线解析式为或或． 【点睛】本题考查了正方形的性质，图形与坐标，一次函数几何综合，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，矩形的判定和性质，等腰三角形的分类计算，勾股定理的应用，直角三角形的性质，化为最简二次根式，熟练掌握相关知识是解题的关键． 题型五 一次函数与四边形的综合问题 1.先求：所有已知点坐标、直线解析式、交点坐标。 2.拆模型：拆成平行四边形 / 矩形 / 菱形 / 正方形基本模型。 3.设动点坐标，用性质 + 坐标公式列方程。 4.解方程，检验、舍去不合题意的点。 5.结合图像验证，写出最终答案。 1．直线与轴交于点，与轴交于点，菱形如图放置在平面直角坐标系中，其中点在轴负半轴上，直线经过点，交轴于点． (1)请直接写出点，点的坐标，并求出的值； (2)点是线段上的一个动点（点不与、重合），经过点且平行于轴的直线交于，交于当四边形是平行四边形时，求点的坐标； (3)点是轴正半轴上的一个动点，是平面内任意一点，为何值时，以点、、、为顶点的四边形是菱形？ 【答案】(1)，， (2) (3)或或 【分析】（1）首先求出点、的坐标，再利用勾股定理求出的长，再根据菱形的性质可得答案； （2）表示出设，，得，根据，可得答案； （3）若点、、、为顶点的四边形是菱形，则是等腰三角形，分或或三种情形，分别求出的值． 【详解】（1）与轴交于点，与轴交于点， 当时，， 当时，， ，， 由勾股定理得，， 四边形是菱形， ， ， ，， 将代入得，， ； （2）， ， ， 点， 设，， ， 四边形是平行四边形， ， ， 解得， ； （3）点、、、为顶点的四边形是菱形， 是等腰三角形， 当时，， ， ， 当时，则点与重合， ； 当时，则， 解得， 综上：或或时，以点、、、为顶点的四边形是菱形． 【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了直线上点的坐标的特征，平行四边形的性质，菱形的性质，等腰三角形的性质等知识，将菱形的存在性问题转化为等腰三角形的存在性问题是解题的关键． 2．如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC=12，∠ACO=30°. （1）求B、C两点的坐标； （2）过点G（0,-6）作GF⊥AC，垂足为F，直线GF分别交AB、OC于点E、D，求直线DE的解析式； （3）在（2）的条件下，若点M在直线DE上，平面内是否存在点P，使以O、F、M、P为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) C的坐标是：（6，0），B的坐标是（6，6）；(2) y=x-6；(3) （3，-3）或（3，3）或（-3，-3）或（，3）． 【分析】（1）利用三角函数求得OA以及OC的长度，则C、B的坐标即可得到； （2）先求出直线DE的斜率，设直线DE的解析式是y=x+b，再把点G代入求出b的值即可； （3）分当FM是菱形的边和当OF是对角线两种情况进行讨论．利用三角函数即可求得P的坐标． 【详解】解：（1）在直角△OAC中， ∵∠ACO=30° ∴tan∠ACO=， ∴设OA=x，则OC=3x， 根据勾股定理得：（3x）2+（x）2=AC2， 即9x2+3x2=144， 解得：x=2． 故C的坐标是：（6，0），B的坐标是（6，6）； （2）∵直线AC的斜率是：-， ∴直线DE的斜率是：． ∴设直线DE的解析式是y=x+b， ∵G（0，-6）， ∴b=-6， ∴直线DE的解析式是：y=x-6； （3）∵C的坐标是：（6，0），B的坐标是（6，6）； ∴A（0，6）， ∴设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0）， ∴， 解得． ∴直线AC的解析式为y=-x+6． ∵直线DE的解析式为y=x-6， ∴， 解得． ∴F是线段AC的中点， ∴OF=AC=6， ∵直线DE的斜率是：． ∴DE与x轴夹角是60°， 当FM是菱形的边时（如图1），ON∥FM， 则∠POC=60°或120°． 当∠POC=60°时，过N作NG⊥y轴，则PG=OP•sin30°=6×=3， OG=OP•cos30°=6×=3，则P的坐标是（3，3）； 当∠NOC=120°时，与当∠POC=60°时关于原点对称，则坐标是（-3，-3）； 当OF是对角线时（如图2），MP关于OF对称． ∵F的坐标是（3，3）， ∴∠FOD=∠POF=30°， 在直角△OPH中，OH=OF=3，OP==2． 作PL⊥y轴于点L． 在直角△OPL中，∠POL=30°， 则PL=OP=， OL=OP•cos30°=2×=3． 故P的坐标是（，3）． 当DE与y轴的交点时G，这个时候P在第四象限， 此时点的坐标为：（3，-3）． 则P的坐标是：（3，-3）或（3，3）或（-3，-3）或（，3）． 3．（25-26八年级上·山东济南·期末）在平面直角坐标系中，如图，长方形的顶点分别在轴和轴上，为坐标原点，为上一点，且为长方形边上一动点（不与点重合），作点关于直线的对称点，已知． (1)直接写出点的坐标为___________；点的坐标为___________； (2)当时，求直线的表达式； (3)是否存在点，使是直角三角形．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）由，长方形性质，得，由，得； （2）连接，求出，得，由，得点在x轴上，分当点在点A的左边时，当点在点A的右边时，两种情况，结合 垂直平分解答． （3）过点作轴于点F，得，由轴对称性质和是直角三角形性质证明，得，分当点在x轴下方时，当点在x轴上方时，两种情况解答，可得点的坐标为或． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∵四边形是长方形， ∴轴，轴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：连接， ∵， ∴， 由轴对称知，，直线垂直平分， ∵轴，且， ∴点在x轴上， 当点在点A的左边时，， ∴， ∵， ∴中点坐标为， 设所在直线解析式为， ∵， ∴， 解得， ∴； 当点在点A的右边时，， ∴， ∴中点坐标为， ∴， 解得， ∴． ∴直线的表达式为或． （3）解：过点作轴于点F， 则， ∴， 由轴对称知，， ∵是直角三角形， ∴， ∴ ，∵， ∴， ∴， ∴， 当点在x轴下方时， ∴， ∴， ∵， ∴的中点坐标为， 设直线的解析式为， ∵， ∴， 解得， ∴； 此时点E在上， ∴时，， ∴； 当点在x轴上方时，， ∴， ∴中点坐标为， ∴， 解得， ∴， ∵此时点E在上， ∴时，， 解得， ∴． ∴点的坐标为或． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，长方形性质，等腰直角三角形性质，勾股定理，坐标与图形，待定系数法求一次函数解析式，全等三角形的判定和性质，分类讨论，熟练掌握以上知识，是解题的关键． 4．如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点A、B，且点A的坐标为(8，0)，四边形ABCD是正方形． (1)求b的值和点D的坐标； (2)点M是线段AB上的一个动点（点A、B除外）． ①如图2，将△BMC沿CM折叠，点B的对应点是点E，连接ME并延长交AD边于点F，问△AMF的周长是否发生变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由； ②点P是x轴上一个动点，Q是坐标平面内一点，探索是否存在一个点P，使得以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出点Q的坐标． 【答案】(1)b的值为6，点D的坐标为(14，8) (2)①△AMF的周长不变，△AMF的周长为20；②存在，点Q的坐标为或或或 【分析】（1）将点A(8，0)代入，即可求出b的值，从而即得出直线AB的解析式为，进而即得出A(0，6)．过点D作轴于点H，由正方形的性质结合题意利用“AAS”易证，得出，，即得出D(14，8)； （2）①由折叠和正方形的性质可知BM=EM，CD=CE=4，，即易证(HL)，得出．再由△AMF的周长，结合勾股定理即可求出答案；②分类讨论ⅰ当AP为菱形的对角线时，ⅱ当AQ为菱形的对角线时和ⅲ当AB为菱形的对角线时，根据菱形的性质结合图形即可求出答案． 【详解】（1）解：将点A(8，0)代入，得， 解得：， ∴直线AB的解析式为， 当x=0，时， ∴A(0，6)， ∴OB=6，OA=8． 如图，过点D作轴于点H， ∵四边形ABCD为正方形， ∴AB=AD，， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴(AAS)， ∴，， ∴， ∴D(14，8)； （2）解：①由折叠的性质可知BM=EM，BC=CE=4，， ∴CD=CE=4，， 又∵CF=CF， ∴(HL) ∴． ∵△AMF的周长，， ∴△AMF的周长． ∵OB=6，OA=8， ∴， ∴△AMF的周长， 故△AMF的周长不变，且为20； ②存在以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形，理由如下： 设P(t，0)，Q(x，y)． 分类讨论：ⅰ当AP为菱形的对角线时，如图菱形，此时． ∵， 即， 解得：（舍），； 即此时Q(0，-6)； ⅱ当AQ为菱形的对角线时，如图菱形和，此时和． 同理可得：， 解得：，； 即此时Q(-10，6)或(10，6)； ⅲ当AB为菱形的对角线时，如图菱形，此时． 同理可得， 解得：； 即此时Q(，6)； 综上可知点Q的坐标为或或或时，以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形． 【点睛】本题考查正方形的性质，三角形全等的判定和性质，折叠的性质，勾股定理以及菱形的判定和性质等知识．正确的作出辅助线并利用数形结合的思想是解题关键． 5．（25-26八年级下·江苏常州·期中）在矩形纸片中，，． (1)将矩形纸片沿折叠，点落在点处，如图（1），连接．设与相交于点，证明； (2)图（1）中的四边形是怎样的四边形？请说明理由； (3)将矩形纸片折叠，如图（2），使点与点重合，折痕为，则：________，________； (4)将图（2）中的矩形放在平面直角坐标系中，如图（3）所示，点与原点重合，落在轴上，落在轴上，点在直线上，在直线上存在点，使以点为顶点的四边形是平行四边形．请直接写出点的坐标： ． 【答案】(1)证明见解析 (2)等腰梯形，理由见解析 (3)； (4)或或 【分析】（1）由矩形的性质可得，，则，由折叠的性质可得，因此，命题得证； （2）结合矩形的性质和折叠的性质可得，，．由（1）可知，，则，由结合等腰三角形的性质可得，则，由图可知，与不平行，因此四边形是等腰梯形； （3）连接交于点，设，由折叠的性质可得，，，，则．在中，利用勾股定理构造方程，解得，因此．使用勾股定理可计算出，，容易证明，则，因此； （4）先根据题意列出各点的坐标，再利用待定系数法求出直线与的解析式．设点， ，分三类讨论，当为平行四边形的对角线时，根据平行四边形的性质和中点公式可得，求解即可；同理，当或为平行四边形的对角线时，调整一下方程并求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质可得，， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，， 由折叠的性质可得，，， ∴，， 由（1）可知，，， ∴，即， ∴， ∵，， 又∵， ∴， ∴， ∵，且与不平行， ∴四边形是等腰梯形； （3）解：如图，连接交于点，设， 由折叠的性质可得，，，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，， 在中，， ∴， 解得， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （4）解：如图，设与的交点为， 根据题意，点的坐标为，点的坐标为， 由（2）可知，， ∴， ∴点的坐标为，点的坐标为， 设直线的解析式为， 将点，代入，得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 同理，直线的解析式为， 设点的坐标为，点的坐标为， ①当为平行四边形的对角线时， ∴与互相平分，即中点重合， 根据中点公式，可列方程：， 解得， ∴点的坐标为； ②当为平行四边形的对角线时， 同理， 解得， ∴点的坐标为； ③当为平行四边形的对角线时， 同理， 解得， 点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或或． 6．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）如图，矩形的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点B的坐标为，一次函数的图象与边分别交于点D、E，并且满足，点M是线段上的一个动点． (1)①用含b的代数式表示线段的长度：________；________； ②直接写出b的值________； (2)连接，若的面积与四边形的面积之比为，求点M的坐标； (3)设点N是x轴上方平面内的一点，以A、M、E、N为顶点的四边形为菱形时，请求出点N的坐标． 【答案】(1)①，；②2 (2) (3)点的坐标为或 【分析】（1）①先求出直线与轴交点，即可得到；②根据，可得点，将代入解析式，即可求解； （2）由（1）知一次函数的解析式为，，，根据的面积与四边形的面积之比为，可得，，设点的横坐标为，则，即可求解； （3）分两种情况：若以为对角线，得到菱形；若以为对角线，得到菱形讨论，结合图形，利用菱形的性质即可求解． 【详解】（1）解：①四边形是矩形， 轴，轴， 一次函数的图象与边、分别交于点、，并且满足， 当时，， ， ②点的坐标为， ，点的横坐标为， ， 点， 将点代入得：， 解得：； （2）解：如图： 由（1）知：一次函数的解析式为：，，， 的面积与四边形的面积之比为， ， ， ， 设点的横坐标为，则， 即， 解得：， 将代入，得：， ； （3）如图所示，若以为对角线，得到菱形， 则垂直平分，和关于轴对称， ， 点和的纵坐标均是， 将代入得：， 解得：， 点， ， ， 点； 如图所示，若以为对角线，得到菱形，则，线段与线段的中点重合，延长交轴于点，由轴得，轴， 设点的横坐标为，则纵坐标为， ，，， ，即 解得：（不能构成菱形，舍去）或， 将代入得：， 点， 菱形， ， 点， 综上所述，以、、、为顶点的四边形为菱形时，点的坐标为或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题08 一次函数与四边形的综合问题 题型一 一次函数与平行四边形问题 1.利用平行四边形性质：对边平行且相等、对角线互相平分。 2.坐标法：设动点坐标，用中点公式或平移法列等式。 3.分三种顶点情况讨论：固定两点为边 / 对角线。 4.列方程求解，舍去不符合题意的点。 1．（25-26八年级下·上海普陀·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线过点，，交y轴于点C，点在点C上方，连接． (1)求直线的解析式； (2)当的面积是2时，求n的值； (3)在（2）的条件下，以点B、C、D、E为顶点组成的四边形为平行四边形，直接写出点E的坐标． 2．（25-26八年级下·江苏连云港·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别相交于、两点，点在线段上，将线段绕着点顺时针旋转得到，此时点恰好落在直线上，过点作轴于点． (1)求证：； (2)若点在轴上，点在直线上，是否存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，说明理由． 3．（25-26八年级下·山东济南·期中）如图，在平面直角坐标系中，点B、C都在x轴上，，，，点C是线段的中点，直线交线段于点F，交x轴于点E． (1)写出点D的坐标________，点E的坐标________； (2)求直线的表达式； (3)平面内是否存在一点G，使以A、D、F、G为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（25-26八年级下·重庆·期中）如图，直线：与轴交于点D，直线：经过定点且与轴交于点A．直线，交于点 (1)求直线的解析式； (2)在轴上是否存在一点E，使与的面积的相等？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由； (3)平面内是否存在点Q，使得以A、B、D、Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点Q的坐标（并请写出求出其中一个点Q的过程）． 5．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）综合与探究 如图，直线分别交轴，轴于点，过点A作直线分别交轴，轴于点，．    (1)求直线的解析式． (2)在轴左侧作直线轴，分别交直线，于点．当时，过点作直线 轴，交轴于点．能否在直线上找一点，使的值最小，求出点的坐标． (3)为直线上一点，在（2）的条件下，轴上是否存在点使得以为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 6．（25-26八年级下·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，直线：经过点和点，直线：与交于点，且与轴交于点． (1)求直线的解析式； (2)若点的横坐标为，连接，点为平面内一点，若，，，为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，过点作直线交直线于点，若直线与直线相交形成的钝角等于的两倍，求点的坐标． 题型二 一次函数与矩形问题 1.矩形性质：四个角为直角、对角线相等且平分、邻边垂直。 2.垂直条件：斜率乘积k1 ·k2 = -1；或邻边向量垂直。 3.设动点坐标，用距离公式、勾股定理、中点公式列方程。 4.求解并验证，排除共线、重合点。 1．（24-25八年级下·全国·暑假作业）如图，在平面直角坐标系中，直线l与直线平行，且直线l与x轴、y轴分别交于点A，B，点A的坐标为，点在直线l上． (1)求直线l对应的函数表达式以及点C的坐标； (2)点P在y轴的正半轴上，Q是平面直角坐标系内一点，若四边形为矩形，求点P，Q的坐标． 2．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C分别在x轴和y轴的正半轴上，点B的坐标为，且m，n满足：． (1)直接写出点B的坐标为________． (2)如图1，点D在第二象限，，，，求线段的长度． (3)如图2，点E在边上，，F为y轴上一点，与相交于点G，且，求线段的长度． 3．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）一次函数的图象分别交x轴和y轴于点A和点B． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，在x轴上有一点，点E在线段上，直线交y轴于点D，，求经过C、E两点的一次函数的解析式； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，点P在直线上，Q是平面内一点，当以O、E、P、Q为顶点的四边形为矩形时，请直接写出点Q的坐标． 4．（24-25八年级下·湖北宜昌·期中）如图，将矩形纸片放在平面直角坐标系中，点分别在轴和轴的正半轴上，顶点的坐标为，点是边上的一动点，将沿折叠压平，使点落在点． (1)若满足． ①求点的坐标； ②连接，当以点为顶点的三角形是直角三角形时，求点的坐标； (2)若正比例函数的图象经过点，直线与矩形的边相交于点，当时，求直线的函数解析式． 5．（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）定义：两个一次函数和(其中k、b为常数，，)互为“守望一次函数”，“守望一次函数”图象的交点称为“守望点”．如图，在平面直角坐标系中，直线的图象与坐标轴的交点分别为点A和点B． (1)求函数的“守望一次函数”和“守望点”C的坐标； (2)动点P从“守望点”C出发，以每秒个单位长度的速度沿折线方向运动，当点P到达O处时，停止运动．设的面积为S，运动时间为秒，请直接写出S关于的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围； (3)在（2）条件下，当时，点N在坐标轴上，坐标平面内是否存在点M，使得以A、P、N、M为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由． 6．（25-26八年级下·北京海淀·期中）在平面直角坐标系中，为矩形内（不包括边界）一点，过点分别作轴和轴的平行线，这两条平行线分矩形为四个小矩形，若这四个小矩形中有一个矩形的周长等于，则称为矩形的矩宽点． 例如：下图中的为矩形的一个矩宽点． (1)在点中，矩形的矩宽点是_____； (2)若为矩形的矩宽点，求的值； (3)已知点的坐标为，点的坐标为．若直线上存在矩形的矩宽点，直接写出的取值范围_____． 题型三 一次函数与菱形问题 1.菱形性质：四边相等、对角线垂直平分、对边平行。 2.关键条件：邻边相等（距离公式）、对角线垂直（斜率乘积为 - 1）。 3.设点坐标，结合中点、垂直、边长相等列方程组。 4.解方程，检验边长与垂直关系。 1．（24-25八年级下·全国·暑假作业）如图所示，在平面直角坐标系中，矩形的边，边，直线l：与矩形的边和都有交点，交点分别是点D与点E． (1)请用含b的代数式分别表示点D和点E的坐标：D ，E ； (2)当四边形为平行四边形时，求b的值； (3)若要使在平面内存在点F，使以点C、D、E、F这四点为顶点的四边形为菱形，是否存在满足条件的b的值？若存在，求出b的值；若不存在，请说明理由． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线经过菱形的顶点 和顶点B． (1)求b的值以及顶点C的坐标； (2)将该菱形向下平移，其中顶点C的对应点是． ①当点恰好落在对角线上时，求该菱形平移的距离； ②当点在x轴上时，原菱形边上一点P平移后的对应点是Q，如果，求点Q的坐标． 3．（25-26八年级下·山东济南·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与直线交于点． (1)点坐标为___________，点坐标为___________． (2)将直线向下平移1个单位长度，交直线于，交轴于，求四边形的面积． (3)若点为线段上一动点，在平面内是否存在点，使得以为顶点，且以为一边的四边形是菱形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 4．如图，在平面直角坐标系中，直线 BC：y=-x+3 交 x 轴于点 B，交 y 轴于点C，直线AD 与直线 BC 互相垂直，垂足为点 E，且 CD=1， (1)求直线 AD 解析式． (2)点 P 从点 B 出发沿线段 BO 方向以 1 个单位/秒的速度向终点 O 运动，设△AEP 的面积为 S，运动时间为 t，求 S 与 t 的函数关系式，并直接写出自变量 t 的取值范围． (3)在(2)的条件下，点 P 运动的同时点 Q 从 C 点出发沿射线 CO 方向以 3 个单位/秒的速度运动， 当点 P 到达终点时，点 Q 也停止运动，过点 P 作 x 轴垂线交 BC 于点 F，连接 FQ 和 EQ，平面内是否存在一点 M，使得以点 E，Q，F，M 为顶点且以 EQ 为边的四边形是菱形?若存在，求出此时 t 值和 M 点坐标；若不存在，说明理由．    5．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在平面直角坐标中，点O为坐标原点，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在直线上，且点C的纵坐标为2．    (1)求直线的解析式； (2)点P是射线上一点，连接，设点P的横坐标为t，的面积为S，求S与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）； (3)在（2）的条件下，在坐标平面内是否存在点Q，使以O，B，P，Q为顶点的四边形是以为一边的菱形?若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 6．（24-25八年级下·广东珠海·期末）在平面直角坐标系中，直线交轴正半轴于点，交轴负半轴于，，作线段的垂直平分线交轴于点，交轴于点，交于点． (1)如图1，求点坐标； (2)如图1，点是轴上的一个动点，是平面内任意一点，以，，，为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点的坐标； (3)如图2，过点作轴的平行线，连接并延长交直线于点，，分别是直线和直线上的动点，求周长的最小值． 题型四 一次函数与正方形问题 1.正方形性质：四边相等、四角为直角、对角线垂直平分且相等。 2.同时满足：邻边相等 + 邻边垂直（等腰直角特征）。 3.构造方法：用90° 旋转坐标变换或平移 + 垂直。 4.列等式：边长相等、斜率垂直，求解并验证。 1．如图矩形的顶点，分别在轴、轴的正半轴上，，，且，满足，一次函数的图象与边，分别交于，两点． (1)求点的坐标； (2)直线与一次函数交于点，求点的坐标； (3)点在线段上运动，过点作，垂足分别为点，．是否存在这样的点，使以，，，为顶点的四边形是正方形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．已知边长为的正方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点，，，分别在边，，，上，与交于点，，． （1）求的长． （2）当时，求直线的解析式； （3）如图2，其他条件不变，若是正方形对角线的交点时，求的长． 3．如图，已知一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点B、A，以为边在第一象限内作正方形．过点C作轴于点E，点是线段上的动点，过点G作轴分别交于点F、H，连接． (1)求点C的坐标． (2)当时，判断四边形的形状，并说明理由． (3)当时，请直接写出点H的坐标． 4．如图，在平面直角坐标系中，四边形OBCD是边长为4的正方形，B、D分别在y轴负半轴、x轴正半轴上，点E是x轴的一个动点，连接CE，以CE为边，在直线CE的右侧作正方形CEFG． （1）如图1，当点E与点O重合时，请直接写出点F的坐标为　 　，点G的坐标为　 　． （2）如图2，若点E在线段OD上，且OE＝1，求正方形CEFG的面积． （3）当点E在x轴上移动时，点F是否在某条直线上运动？如果是，请求出相应直线的表达式；如果不是，请说明理由． 5．已知如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点分别落在轴、轴上，点在边上，点在边上，且，已知点，点．    (1)求点的坐标； (2)若动点同时从点出发，点以每秒1个单位的速度向点运动，点以每秒2个单位的速度沿射线方向运动，当点运动到点停止，点也同时停止运动．设的面积为，点的运动时间为，用含的代数式表示； (3)在（2）的条件下，点是射线上的一点，点为平面内一点，当四边形是正方形时，请求出此时的值与点的坐标． 6．（24-25八年级上·江苏淮安·月考）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为6，两边在坐标轴上，D为线段上一点，且，连接． (1)点D的坐标为______； (2)若点M从点C出发以每秒2个单位的速度沿折线的方向运动，当与点A重合时运动停止设点M的运动时间为t秒，连接AM，t为何值时？ (3)在（2）的条件下，当为等腰三角形时，请直接写出点M的坐标______． (4)过A，C两点的直线沿着y轴向上平移过程中，直线上是否存在点P满足为等腰直角三角形，请求出直线的表达式． 题型五 一次函数与四边形的综合问题 1.先求：所有已知点坐标、直线解析式、交点坐标。 2.拆模型：拆成平行四边形 / 矩形 / 菱形 / 正方形基本模型。 3.设动点坐标，用性质 + 坐标公式列方程。 4.解方程，检验、舍去不合题意的点。 5.结合图像验证，写出最终答案。 1．直线与轴交于点，与轴交于点，菱形如图放置在平面直角坐标系中，其中点在轴负半轴上，直线经过点，交轴于点． (1)请直接写出点，点的坐标，并求出的值； (2)点是线段上的一个动点（点不与、重合），经过点且平行于轴的直线交于，交于当四边形是平行四边形时，求点的坐标； (3)点是轴正半轴上的一个动点，是平面内任意一点，为何值时，以点、、、为顶点的四边形是菱形？ 2．如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC=12，∠ACO=30°. （1）求B、C两点的坐标； （2）过点G（0,-6）作GF⊥AC，垂足为F，直线GF分别交AB、OC于点E、D，求直线DE的解析式； （3）在（2）的条件下，若点M在直线DE上，平面内是否存在点P，使以O、F、M、P为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（25-26八年级上·山东济南·期末）在平面直角坐标系中，如图，长方形的顶点分别在轴和轴上，为坐标原点，为上一点，且为长方形边上一动点（不与点重合），作点关于直线的对称点，已知． (1)直接写出点的坐标为___________；点的坐标为___________； (2)当时，求直线的表达式； (3)是否存在点，使是直角三角形．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点A、B，且点A的坐标为(8，0)，四边形ABCD是正方形． (1)求b的值和点D的坐标； (2)点M是线段AB上的一个动点（点A、B除外）． ①如图2，将△BMC沿CM折叠，点B的对应点是点E，连接ME并延长交AD边于点F，问△AMF的周长是否发生变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由； ②点P是x轴上一个动点，Q是坐标平面内一点，探索是否存在一个点P，使得以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出点Q的坐标． 5．（25-26八年级下·江苏常州·期中）在矩形纸片中，，． (1)将矩形纸片沿折叠，点落在点处，如图（1），连接．设与相交于点，证明； (2)图（1）中的四边形是怎样的四边形？请说明理由； (3)将矩形纸片折叠，如图（2），使点与点重合，折痕为，则：________，________； (4)将图（2）中的矩形放在平面直角坐标系中，如图（3）所示，点与原点重合，落在轴上，落在轴上，点在直线上，在直线上存在点，使以点为顶点的四边形是平行四边形．请直接写出点的坐标： ． 6．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）如图，矩形的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点B的坐标为，一次函数的图象与边分别交于点D、E，并且满足，点M是线段上的一个动点． (1)①用含b的代数式表示线段的长度：________；________； ②直接写出b的值________； (2)连接，若的面积与四边形的面积之比为，求点M的坐标； (3)设点N是x轴上方平面内的一点，以A、M、E、N为顶点的四边形为菱形时，请求出点N的坐标． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $