微专题04一次函数与方程、不等式（专项训练）数学新教材人教版八年级下册

微专题04 一次函数与方程、不等式 题型一 利用一次函数解一元一次方程 解关于x 的一元一次方程ax+b＝0（a，b为常数，a≠0），从“数”的角度来看,相当于当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值；从“形”的角度来看，相当于已知直线y＝ax+b确定它与x轴交点的横坐标值． 1．（24-25八年级下·广西南宁·期中）如图，一次函数（a，b为常数且）与正比例函数（k为常数且）的图象交于点，则关于x的方程的解是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·贵州·模拟预测）如图，一次函数的图象经过点和，则关于x的方程的解是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·北京·期中）已知一次函数（k、b是常数，且），x与y的部分对应值如下表所示，那么方程的解是（    ） 2 3 A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知一次函数（是常数），与的部分对应值如下表，则关于的方程的解是____________． 0 1 2 0 2 4 6 5．（25-26八年级上·广西梧州·期末）如图，已知一次函数的图象分别与、轴交于、两点，已知，，则关于的方程的解为____________． 6．（25-26八年级上·宁夏银川·期中）直线上有一点的坐标是，则关于的方程的解是_______． 题型二 利用解一元一次方程确定一次函数与坐标轴交点坐标 交点法：求一次函数的图象与坐标轴的交点，令y=0，解方程即得与x轴的交点； 令x=0，解方程即得与y轴的交点 . 1．（25-26八年级下·云南昆明·阶段检测）若关于的方程的解是，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·广西·期中）若关于x的方程的解为，则直线一定经过点（   ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·广东广州·期末）若是方程的解， 则直线的图象与x轴交点的坐标为 （   ） A． B． C． D． 4．（2024春·四川绵阳·八年级校联考期末）已知关于x的方程ax﹣b＝1的解为x＝﹣2，则一次函数y＝ax﹣b﹣1的图象与x轴交点的坐标为 ． 5．（25-26八年级下·福建福州·期中）已知直线经过点，． (1)求该直线的函数解析式； (2)求该直线与x轴交点C的坐标； (3)关于x的不等式的解集是________． 5．（2025春•甘井子区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+4的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，请根据函数图象回答下列问题： （1）与x轴交点A的坐标是 　 　，与y轴交点B的坐标是 　 　； （2）由函数图象可知，当﹣2x+4＝0时，x的值是 　 　，当﹣2x+4＞0时，x的取值范围是　 　； （3）当y＝﹣1时，求x的值． 题型三 利用一次函数的图象解二元一次方程（组） 用图象法解二元一次方程组的基本方法：（1）将方程组的两个方程转化为一次函数y＝kx+b 的形式；（2）在同一直角坐标系中画出两函数的图象；（3）利用图象直接确定交点坐标；（4）得出方程组的解. 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，一次函数（，为常数，且）与正比例函数（为常数，且）的图象如图所示，则关于的方程的解为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·陕西安康·一模）已知直线与直线相交于点，则方程组，的解为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·山东烟台·期中）在平面直角坐标系中，一次函数和相交于点，若直线也经过点A，则关于x，y的方程组的解是______． 4．（25-26七年级下·山东东营·期中）如图，在平面直角坐标系中直线与交于点A，则关于x，y的方程组的解是______．    5．（25-26八年级上·全国·寒假作业）（1）请在如图的直角坐标系中作出，的图象； （2）利用你所画的图象，直接写出方程组的解． 6．（25-26八年级上·山西运城·期末）学习一次函数时，我们从“数”和“形”两个方面研究一次函数的性质．请运用积累的经验和方法对函数的图象与性质进行探究，并解决相关问题． 【初步感知】 x … 0 1 2 … … 6 m 2 n 2 4 6 … (1)表格中m的值为________，n的值为________； (2)在平面直角坐标系中画出函数的图象． (3)【探究性质】观察函数的图象，判断下面关于该函数图象性质的命题： ①该函数图象是轴对称图形； ②当时，y的值随x值的增大而增大； ③当时，该函数存在最小值，最小值为0； ④当时，． 其中的正确的是_________．（请填写正确命题的序号） (4)在同一坐标系中画出一次函数的图象，并根据图象直接写出方程组的解_________． 题型四 方程组与两直线的交点坐标问题 利用二元一次方程组的解可以确定两个一次函数图象的交点坐标，反之，根据两个一次函数图象的交点坐标，可以确定二元一次方程组的解. 1．已知二元一次方程组的解为，则在同一平面直角坐标系中，直线：与直线：的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 2．已知方程组的解为，则函数与函数的图象交点坐标为 ． 3．（2024秋•麻栗坡县期末）已知方程组的解是，则直线y＝x﹣3与y＝2x+2的交点坐标为　 　． 4．（2024春•潼关县期末）已知k、m为常数，且km≠0，若关于x、y的二元一次方程组的解为，则y关于x的一次函数y＝kx+2、y＝mx﹣4的交点坐标为 　 　． 5．（25-26八年级下·河北唐山·期中）如图，已知直线经过点，，直线与轴交于点，与交于点． (1)求直线的解析式，并判断点是否在直线行； (2)①直接写出点的坐标为______________；②求的面积． 5．（2024春•北京期末）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数的图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．小腾根据学习函数的经验，对函数y1＝2x与y2＝﹣x+6进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整： （1）绘制函数图象 ①列表：下表是x与y1，y2的几组对应值； x … 0 1 … y1 … 0 2 … y2 … b 5 … 其中，b＝　 ； ②描点、连线：在同一平面直角坐标系xOy中，描出上表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1，y2的图象； （2）结合函数图象，探究函数性质； ①函数y1，y2的图象的交点坐标为 　 ，则关于x，y的二元一次方程组的解是 　； ②过点M（m，0）作垂直于x轴的直线与函数y1，y2的图象分别交于点P，Q，当点P位于点Q下方时，m的取值范围是 　 　． 题型五 用一次函数的图象解一元一次不等式 1、代数法：将题中信息转化为解不等式，可求出不等式的解集； 2、图象法：先找出直线与坐标轴的交点，画出函数的图象，再观察图象，确定两直线的交点坐标，最后观察图象交点两侧直线的位置，直接得出不等式的解集. 1．（25-26八年级下·福建福州·期中）如图为一次函数的图象，关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·浙江金华·二模）一次函数与的图象交于点，点的纵坐标为，则满足的的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·甘肃白银·期中）直线在平面直角坐标系中的位置如图所示，则不等式的解集是________． 4．（25-26八年级下·广东揭阳·期中）如图，直线与交于点，则不等式的解集是_____． 5．（25-26八年级下·江苏南通·期中）解决下列问题： (1)在平面直角坐标系中，画出一次函数的图象； (2)利用图象回答： ①方程的解是________； ②当x取什么值时，函数值小于0？ 6．（25-26八年级下·内蒙古包头·期中）如图，根据图中信息解答下列问题： (1)关于的方程的解是 ； (2)关于的不等式的解集是 ； (3)当为何值时，？ (4)直接写出关于的不等式组的解集． 题型六 比较一次函数值的大小 确定在自变量的某个取值范围内两个函数值的大小时，往往将问题转化到不等式中进行解决. 1．（25-26八年级下·福建福州·期中）如图，已知直线与直线相交于点，则不等式的解集是（  ） A． B． C． D． 2．函数y1＝2x+4，y2＝5x﹣10，使y1＜y2的x的范围是 　 ． 3.已知函数，y1＝﹣2x+3，y2＝3x+4，则当y1＞y2时，则x的取值范围是 　 　． 4．已知一次函数y1＝x和y2，当y1＞y2时，x的取值范围是 　 　． 5．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线：交于点． (1)求直线的解析式； (2)当取何值时，． 6．（25-26八年级下·河北石家庄·期中）已知：如图一次函数与的图象相交于点． (1)求点的坐标． (2)若一次函数与的图象与轴分别相交于点、，求的面积． (3)结合图象，直接写出时的取值范围． 题型七 两直线相交求面积问题 1、本题运用一次函数与方程（组）的关系求出三角形三个顶点的坐标，然后利用坐标求出三角形的面积. 2、运用一次函数与方程（组）的关系是求点的坐标常用的方法. 1．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线交于点，则这两条直线与y轴所围成的三角形面积为（    ） A．1 B．2 C． D． 2．已知某一次函数的图象经过点，且与正比例函数的图象相交于点，求： (1)的值； (2)一次函数y与x的函数解析式； (3)这两个函数图象与轴所围成的三角形的面积． 3．如图，过点A（﹣2，0）的直线l1：y＝kx+b与直线l2：y＝﹣x+1交于P（﹣1，a）． （1）求直线l1对应的表达式； （2）直接写出方程组的解； （3）求三角形ABP的面积． 4．如图，函数y＝﹣2x+3与的图象交于点P（n，﹣2）． （1）求出m，n的值． （2）直接写出的解集． （3）求出△ABP的面积． 5．（25-26八年级下·河北石家庄·期中）如图，直线的解析式为，与轴交于点，直线经过点，与直线交于点，且与轴交于点； (1)求点的坐标及直线的解析式； (2)求的面积； (3)已知点在直线上，若的面积是面积的，直接写出点的坐标． 6．（25-26八年级下·宁夏银川·期中）如图所示，在同一坐标系中一次函数和的图象，分别与x轴交于点A、B，两直线交于点C，已知点A坐标为，点B坐标为，观察图象并回答下列问题： (1)关于x的方程的解是 ，关于x的不等式的解集是 ． (2)若点C坐标为，关于x的不等式的解集是 ． (3)在（2）的条件下，求四边形的面积． 题型八 用一次函数与一元一次不等式的实际应用 本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及一次函数与一元一次不等式关系的知识，充分利用图象中数据信息，正确应用待定系数法求解析式以及构造不等式是解题关键． 1．在日常生活中，打印已经成为社区居民必不可少的事项，为了满足居民需求，给辖区居民带来更多优质服务，很多社区推出了共享打印机自助服务．以下是某社区推出的两种打印机收费方式： 方案A：； 方案B：． 其中，x代表打印的张数（张），y代表打印总费用（元）． (1)如果你是该社区的居民，请你通过计算说明选择哪种方案更省钱？ (2)一居民使用打印总费用为多少元时，选择方案B比方案A多打印了20张． 2．（25-26八年级下·山东青岛·期中）某公司计划购买一种文创纪念品（至少购买件），现从甲、乙两家商店了解到该纪念品每件标价均为元．各商店的优惠条件见下表： 商店 优惠条件 甲商店 前件按原价销售，其余每件享受七折优惠 乙商店 每件均享受九折优惠 (1)该公司选择哪个商店购买纪念品更合算？ (2)该公司准备购买件纪念品，到乙商店购买更合算吗？ 3．（25-26八年级下·甘肃白银·期中）暑假期间，两位家长计划带领若干名学生到白银旅游，探访黄河石林和火焰山矿山公园，并体验当地非遗文化．他们咨询了两家旅行社，报价均为每人500元（含景区门票及特色活动）． 甲旅行社：两位家长全额收费，学生享受七折优惠． 乙旅行社：全体成员（含家长）均享八折优惠． 请解答以下问题： (1)设学生数为人，甲旅行社收费为元，则函数关系式______； 设学生数为人，乙旅行社收费为元，则函数关系式______． (2)若家长希望学生深入了解白银的生态保护与非遗传承，应如何根据学生人数选择旅行社？通过计算说明理由． 4．（25-26八年级下·山西太原·期中）活动背景：为响应山西省新能源汽车推广政策，落实绿色出行要求，太原市某小区计划为业主安装新能源汽车家用充电桩，提升小区便民服务水平．该小区共有12栋居民楼，预计有名业主申请安装充电桩，且每名业主申请安装1个充电桩，物业拟定了两个安装方案如下： 项目 方案一（第三方合作安装） 方案二（物业自主安装） 费用明细 1．每栋楼统一收取勘测、布线费500元/栋 2．充电桩安装费：50元/个 3．免费提供3年质保服务 1．每栋楼无基础服务费 2．充电桩安装费：35元/个 3．充电桩辅材采购费：20元/个 4．质保服务费：1000元/年（可选，若选择则按年收取，默认签订2年合同） 若小区默认签订2年质保合同，结合上表信息分析，该小区选择哪个方案进行充电桩安装，所需总费用较少？ 5．（25-26八年级下·山西太原·期中）项目式学习 项目主题 绿植养护营养土购买方案选择 项目背景 学校后勤部门为提升校园绿植养护效果，计划采购一批营养土．优质的营养土能有效促进植物生长，是校园绿化的重要保障．综合实践活动小组以“探究绿植养护营养土购买方案”为主题开展项目学习． 研究步骤 a．收集校园周边“绿园”“植享”两家园艺店的营养土销售信息． b．整理信息并建立付款金额与购买量的函数关系式． c．通过数据分析，确定最优采购方案． 信息收集 1．“绿园”店营养土的售价为18元/袋，无论购买多少均不打折． 2．“植享”店营养土的售价如下表： 购买量/袋 售价/（元/袋） 3袋以内（含3袋） 20元/袋 超过3袋 超过3袋的部分打八折 设学校后勤部门购买x袋营养土（，且为正整数），在“绿园”店购买营养土的费用为元，在“植享”店购买营养土的费用为元． (1)请分别写出，与x之间的函数关系式． (2)通过计算说明选择哪家店购买更划算． 6．（25-26八年级下·河南南阳·期中）某单位准备印制一批证书，现有两个印刷厂可供选择，甲厂费用分为制版费和印刷费两部分，先收取固定的制版费，再按印刷数量收取印刷费：乙厂直接按印刷数量收取印刷费．甲厂的总费用（千元）、乙厂的总费用（千元）与印制证书数量（千个）的函数关系图分别如图中甲、乙所示． (1)甲厂的制版费为___________千元，印刷费为平均每个___________元，甲厂的费用与证书数量之间的函数关系式为___________； (2)当印制证书数量不超过千个时，乙厂的印刷费为平均每个___________元；当印制证书数量超过千个时，乙厂的总费用与证书数量之间的函数关系式为___________； (3)印制证书多少千个时，两厂实际收费相同？ (4)若该单位需印制证书数量为千个，该单位应选择哪个厂更节省费用？请说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题04 一次函数与方程、不等式 题型一 利用一次函数解一元一次方程 解关于x 的一元一次方程ax+b＝0（a，b为常数，a≠0），从“数”的角度来看,相当于当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值；从“形”的角度来看，相当于已知直线y＝ax+b确定它与x轴交点的横坐标值． 1．（24-25八年级下·广西南宁·期中）如图，一次函数（a，b为常数且）与正比例函数（k为常数且）的图象交于点，则关于x的方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由的函数图象与的函数图象可得交点坐标横坐标为，从而可得到方程的解． 【详解】解：∵从图象可看出的函数图象与的函数图象的交点坐标横坐标为， ∴方程的解是． 2．（2026·贵州·模拟预测）如图，一次函数的图象经过点和，则关于x的方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用待定系数法求解解析式为，再进一步求解即可． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点和， ∴，解得：， ∴一次函数为， ∵即， 解得：， ∴方程的解是． 3．（25-26八年级下·北京·期中）已知一次函数（k、b是常数，且），x与y的部分对应值如下表所示，那么方程的解是（    ） 2 3 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将所求方程变形，得到其对应一次函数的函数值为，再从表格中找到时对应的的值，即可得到方程的解． 【详解】解：方程可变形为， 从表格可知，当时，， ∴方程的解为． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知一次函数（是常数），与的部分对应值如下表，则关于的方程的解是____________． 0 1 2 0 2 4 6 【答案】 【分析】方程的解为一次函数中时对应的的值，只需从表格中查找对应数据即可求解． 【详解】解：观察表格可知，当时，对应的的值为， 即当时，成立， 因此方程的解是． 5．（25-26八年级上·广西梧州·期末）如图，已知一次函数的图象分别与、轴交于、两点，已知，，则关于的方程的解为____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程之间的关系，一次函数与x轴的交点的横坐标是一次函数的函数值为0时所得方程的解，据此可得答案． 【详解】解：∵一次函数的图象与轴交于点， ∴则关于的方程的解为， 故答案为：． 6．（25-26八年级上·宁夏银川·期中）直线上有一点的坐标是，则关于的方程的解是_______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，根据一次函数与一元一次方程的关系即可求解，熟练掌握两者之间的关系是解题的关键． 【详解】解：∵直线上有一点的坐标是， ∴当时，， ∴方程的解是， 故答案为：． 题型二 利用解一元一次方程确定一次函数与坐标轴交点坐标 交点法：求一次函数的图象与坐标轴的交点，令y=0，解方程即得与x轴的交点； 令x=0，解方程即得与y轴的交点 . 1．（25-26八年级下·云南昆明·阶段检测）若关于的方程的解是，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数与一元一次方程的关系，一元一次方程的解，对应直线中时的值，据此可确定直线经过的点． 【详解】解：方程的解是， 当时，， 直线一定经过点． 2．（24-25八年级上·广西·期中）若关于x的方程的解为，则直线一定经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系，掌握一次函数与一元一次方程的关系式解题的关键．根据方程可知时，，即直线过点． 【详解】解：∵关于的方程的解为， ∴直线一定经过某点的坐标为， 故选A． 3．（23-24八年级下·广东广州·期末）若是方程的解， 则直线的图象与x轴交点的坐标为 （   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是掌握方程的解就是一次函数与轴交点的横坐标值．根据一次函数与一元一次方程的关系：由于任何一元一次方程都可以转化为（，为常数，）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为时，求相应的自变量的值，从图象上看，这相当于已知直线确定它与轴交点的横坐标即可得答案． 【详解】解：一元一次方程的解是， 当时，， 故直线的图像与x轴的交点坐标是． 故选：A． 4．（2024春·四川绵阳·八年级校联考期末）已知关于x的方程ax﹣b＝1的解为x＝﹣2，则一次函数y＝ax﹣b﹣1的图象与x轴交点的坐标为 ． 【答案】（−2，0） 【分析】当y＝0时，ax−b−1＝0，可得ax−b＝1，根据题意可得图象与x轴的交点坐标． 【详解】解：当y＝0时，ax−b−1＝0， ∴ax−b＝1， ∵关于x的方程ax−b＝1的解为x＝−2， ∴一次函数的图象与x轴的交点坐标为（−2，0）， 故答案为：（−2，0）． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 5．（25-26八年级下·福建福州·期中）已知直线经过点，． (1)求该直线的函数解析式； (2)求该直线与x轴交点C的坐标； (3)关于x的不等式的解集是________． 【答案】(1)直线的解析式为：； (2)点； (3)不等式的解集为：． 【分析】（1）利用待定系数法把点A，点B代入可得关于k、b得方程组，再解方程组即可； （2）令中，即可求出x的值得到点C的坐标； （3）根据C点坐标可直接得到答案． 【详解】（1）直线经过点，， ， 解得， 直线的解析式为：； （2）令中， 得 解得 点； （3）根据图象可得不等式的解集为：． 5．（2025春•甘井子区期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+4的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，请根据函数图象回答下列问题： （1）与x轴交点A的坐标是 　 　，与y轴交点B的坐标是 　 　； （2）由函数图象可知，当﹣2x+4＝0时，x的值是 　 　，当﹣2x+4＞0时，x的取值范围是　 　； （3）当y＝﹣1时，求x的值． 【分析】（1）令y＝0，可解得A的坐标；令x＝0，可解得B的坐标； （2）﹣2x+4＝0，即y＝0，所以x的值就是A坐标的数值；﹣2x+4＞0，即y＞0，即函数图象在x轴上方时x的取值范围； （3）令y＝﹣1，可解得x的值． 【详解】解：（1）令y＝0， 即﹣2x+4＝0， 解得：x＝2， 即与x轴交点A的坐标是（2，0）； 令x＝0， 此时y＝4， 即与y轴交点B的坐标是（0，4）； （2）由（1）可知，当﹣2x+4＝0时，x的值是2； 由图象可知，结合函数图象与x轴的交点为（2，0）， 当﹣2x+4＞0时，x的取值范围是x＜2； （3）当y＝﹣1时， 即﹣2x+4＝﹣1， 解得：x． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与一次函数的简单性质，熟练掌握一次函数的相关知识是解题的关键． 题型三 利用一次函数的图象解二元一次方程（组） 用图象法解二元一次方程组的基本方法：（1）将方程组的两个方程转化为一次函数y＝kx+b 的形式；（2）在同一直角坐标系中画出两函数的图象；（3）利用图象直接确定交点坐标；（4）得出方程组的解. 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，一次函数（，为常数，且）与正比例函数（为常数，且）的图象如图所示，则关于的方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系．两个一次函数图象的交点的横坐标是相应方程的解是解题的关键． 根据函数图象交点的横坐标是关于x的方程的解可得答案． 【详解】解：由图象可知，当时，， 即， 关于的方程的解为． 故选：A． 2．（2026·陕西安康·一模）已知直线与直线相交于点，则方程组，的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，解题的关键是理解两个一次函数图象的交点坐标就是对应二元一次方程组的解． 先将点代入直线的解析式求出的值，再根据一次函数与二元一次方程组的关系，直接得到方程组的解． 【详解】解： 点在直线上， 把，代入，得 解得 直线与的交点为 直线可化为，直线可化为， 方程组的解就是两直线交点的坐标，即 3．（25-26七年级下·山东烟台·期中）在平面直角坐标系中，一次函数和相交于点，若直线也经过点A，则关于x，y的方程组的解是______． 【答案】 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组的关系，方程组的解就是两个对应一次函数图象的交点坐标，先根据点在直线上求出点的坐标，再利用一次函数与二元一次方程组的关系得到方程组的解. 【详解】解： 点在直线上， 将代入得 ， 即点的坐标为， 方程组可变形为， 又一次函数和相交于点， 该方程组的解为两个一次函数图象交点的坐标，即. 4．（25-26七年级下·山东东营·期中）如图，在平面直角坐标系中直线与交于点A，则关于x，y的方程组的解是______．    【答案】 【分析】根据一次函数的性质，求出点的坐标，再根据变形为，，变形为，可得点即为方程组的解． 【详解】解：∵直线与交于点，由函数图象可得，点的横坐标为， ∴点， ∵变形为，变形为， ∴直线与的交点，就是方程组的解， ∴方程组的解为：． 5．（25-26八年级上·全国·寒假作业）（1）请在如图的直角坐标系中作出，的图象； （2）利用你所画的图象，直接写出方程组的解． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】本题主要考查了一次函数的图象，考查了函数图象的画法：列表、描点、连线． （1）根据函数图象的画法：描点、连线分别画出两个一次函数的图象． （2）观察图象，两直线的交点坐标即为对应方程组的解． 【详解】解：（1）函数，当时，；当时，； 则函数图象经过点，； 函数，当时，； 则图象经过点，． 作图如下： （2）根据图象可得：两直线交点为， 则方程组的解为． 6．（25-26八年级上·山西运城·期末）学习一次函数时，我们从“数”和“形”两个方面研究一次函数的性质．请运用积累的经验和方法对函数的图象与性质进行探究，并解决相关问题． 【初步感知】 x … 0 1 2 … … 6 m 2 n 2 4 6 … (1)表格中m的值为________，n的值为________； (2)在平面直角坐标系中画出函数的图象． (3)【探究性质】观察函数的图象，判断下面关于该函数图象性质的命题： ①该函数图象是轴对称图形； ②当时，y的值随x值的增大而增大； ③当时，该函数存在最小值，最小值为0； ④当时，． 其中的正确的是_________．（请填写正确命题的序号） (4)在同一坐标系中画出一次函数的图象，并根据图象直接写出方程组的解_________． 【答案】(1)m的值为4，n的值为0 (2)作图见解析 (3)①②③ (4)作图见解析；， 【分析】（1）分别将和代入求解即可； （2）利用描点法作图即可； （3）根据画出的函数图象分析即可； （4）方程组的解就是两个函数图象的交点坐标，求出交点坐标即可． 【详解】（1）解：把代入， 得， 故； 把代入， 得， 故； （2）解：作图如图： （3）解：由图可知 函数图象关于直线对称，是轴对称图形，故①正确； 由图可知 当时，，随的增大而增大，故②正确； 由图可知当时，取得最小值，故③正确； 当时，，解得或，并非只有，故④错误； 综上，正确的是①②③； （4）解：作图如图： 当时，，解得， 当时，，解得， 方程组的解就是两个函数图象的交点坐标， 因此方程组的解为： 和 ． 题型四 方程组与两直线的交点坐标问题 利用二元一次方程组的解可以确定两个一次函数图象的交点坐标，反之，根据两个一次函数图象的交点坐标，可以确定二元一次方程组的解. 1．已知二元一次方程组的解为，则在同一平面直角坐标系中，直线：与直线：的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解解答即可． 【详解】解：∵二元一次方程组的解为， ∴直线l1：y=x+5与直线l2：y=−x-1的交点坐标为（-4，1）． 故选：D． 【点睛】本题考查的是一次函数与二元一次方程组的关系，方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标 2．已知方程组的解为，则函数与函数的图象交点坐标为 ． 【答案】 【分析】根据一次函数与二元一次方程组的关系进行解答即可． 【详解】解：方程组的解为， 函数与函数的图象交点坐标相当于函数与函数的图象交点向下平移2个单位长度， 函数与函数的图象交点坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是一次函数与二元一次方程组的关系，方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标 3．（2024秋•麻栗坡县期末）已知方程组的解是，则直线y＝x﹣3与y＝2x+2的交点坐标为　 　． 【答案】（﹣5，﹣8）． 【分析】二元一次方程可以化为一次函数，两个二元一次方程组的解就是两个函数的交点坐标． 【详解】解：∵方程组的解是， ∴直线y＝x﹣3与y＝2x+2的交点坐标为（﹣5，﹣8）． 故答案为（﹣5，﹣8）． 【点睛】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组，函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解． 4．（2024春•潼关县期末）已知k、m为常数，且km≠0，若关于x、y的二元一次方程组的解为，则y关于x的一次函数y＝kx+2、y＝mx﹣4的交点坐标为 　 　． 【答案】（2，4）． 【分析】根据二元一次方程组与两直线交点的关系进行解答即可． 【详解】解：∵关于x、y的二元一次方程组的解为， ∴y关于x的一次函数y＝kx+2，y＝mx﹣4的交点坐标为（2，4）， 故答案为：（2，4）． 【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组，熟练掌握一次函数的交点坐标与二元一次方程组的解的关系是解题的关键． 5．（25-26八年级下·河北唐山·期中）如图，已知直线经过点，，直线与轴交于点，与交于点． (1)求直线的解析式，并判断点是否在直线行； (2)①直接写出点的坐标为______________；②求的面积． 【答案】(1)；点在直线上 (2)①；② 【分析】（1）设直线的表达式为，将点，代入，即可求得表达式，将代入表达式进行判断即可； （2）①联立，解方程，求出点坐标即可； ②先求出点C的坐标，然后根据三角形面积公式求出结果即可． 【详解】（1）解：设直线的表达式为， 将点，代入得： ， 解得 直线的表达式为， 当时，， 点在直线上； （2）解：①联立， 解得：， ∴点P的坐标为； ②把代入得：， ∴点C的坐标为， ∴， ∴． 5．（2024春•北京期末）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数的图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．小腾根据学习函数的经验，对函数y1＝2x与y2＝﹣x+6进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整： （1）绘制函数图象 ①列表：下表是x与y1，y2的几组对应值； x … 0 1 … y1 … 0 2 … y2 … b 5 … 其中，b＝　 ； ②描点、连线：在同一平面直角坐标系xOy中，描出上表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1，y2的图象； （2）结合函数图象，探究函数性质； ①函数y1，y2的图象的交点坐标为 　 ，则关于x，y的二元一次方程组的解是 　； ②过点M（m，0）作垂直于x轴的直线与函数y1，y2的图象分别交于点P，Q，当点P位于点Q下方时，m的取值范围是 　 　． 【分析】（1）①依据题意，通过解析式代入可以得解；②依据题意，结合①可以得解；（2）①借助图象可得交点坐标，再结合方程组的解即对应交点坐标，进而得解；②依据题意画出图象分析即可得解． 【详解】解：（1）①当x＝0时，y2＝6＝b． 故答案为：6． ②如图1： （2）①由图象1得：函数y1，y2的图象的交点坐标为（2，4）， 则方程组的解为：， 故答案为：（2，4）；． ②画出函数y1，y2的图象如图2； 如图2，显然当PQ在A左侧时P在Q的下方， 又A（2，4）， ∴m＜2． 故答案为：m＜2． 【点睛】本题主要考查了一次函数的性质及一次函数与二元一次方程，解题时要熟练掌握并理解． 题型五 用一次函数的图象解一元一次不等式 1、代数法：将题中信息转化为解不等式，可求出不等式的解集； 2、图象法：先找出直线与坐标轴的交点，画出函数的图象，再观察图象，确定两直线的交点坐标，最后观察图象交点两侧直线的位置，直接得出不等式的解集. 1．（25-26八年级下·福建福州·期中）如图为一次函数的图象，关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数图象确定的解集，再利用整体思想求解即可． 【详解】解：由图象可知，一次函数的图象与轴交于点，且随的增大而增大， 当时，，即不等式的解集为． 要求不等式的解集， 将看作整体，可得， 解得． 2．（2026·浙江金华·二模）一次函数与的图象交于点，点的纵坐标为，则满足的的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据与交点坐标的纵坐标，求出点的坐标，代入中，求出的解析式，再根据，列不等式方程组，即可求解． 【详解】∵与的图象交于点，点的纵坐标为， ∴将点的纵坐标为代入，解得：， ∴， 将代入，解得：， ∴， ∵， ∴，即 解得：， ∴当时，的取值范围是． 3．（25-26八年级下·甘肃白银·期中）直线在平面直角坐标系中的位置如图所示，则不等式的解集是________． 【答案】 【分析】确定图象在直线的下方时的取值范围即可． 【详解】解：由图象可得：不等式的解集是． 4．（25-26八年级下·广东揭阳·期中）如图，直线与交于点，则不等式的解集是_____． 【答案】 【分析】先求出点A的横坐标，然后根据函数图象写出答案即可． 【详解】解：由函数图象得点A的纵坐标为， 把代入，得， ∴， 由函数图象得，当时，直线的图象在直线图象的上方， ∴不等式的解集是． 5．（25-26八年级下·江苏南通·期中）解决下列问题： (1)在平面直角坐标系中，画出一次函数的图象； (2)利用图象回答： ①方程的解是________； ②当x取什么值时，函数值小于0？ 【答案】(1)见详解 (2)①；② 【分析】（1）用两点法画直线； （2）①直线与轴交点的横坐标即是方程的解；②直线在轴下方对应的值即为所求的解． 【详解】（1）解：把代入，得， 把代入，得， 过点画直线即为一次函数的图象； （2）解：①如图，方程的解为； ②函数值小于0时，对应的函数图象在轴的下方， 当时，函数值小于0． 6．（25-26八年级下·内蒙古包头·期中）如图，根据图中信息解答下列问题： (1)关于的方程的解是 ； (2)关于的不等式的解集是 ； (3)当为何值时，？ (4)直接写出关于的不等式组的解集． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）直线与x轴的交点的横坐标即为关于的方程的解，据此可得答案； （2）根据函数图象找到一次函数的函数值小于1时自变量的取值范围即可得到答案； （3）找到一次函数的函数图象在一次函数的图象下方或二者的交点处时自变量的取值范围即可得到答案； （4）根据函数图象分别求出不等式和的解集即可得到答案． 【详解】（1）解：由函数图象可知，直线与x轴交于点， ∴关于的方程的解是； （2）解：由函数图象可知，关于的不等式的解集是； （3）解：由函数图象可知，当，； （4）解：由函数图象可知，关于的不等式的解集为， 关于的不等式的解集为， ∴关于的不等式组的解集为． 题型六 比较一次函数值的大小 确定在自变量的某个取值范围内两个函数值的大小时，往往将问题转化到不等式中进行解决. 1．（25-26八年级下·福建福州·期中）如图，已知直线与直线相交于点，则不等式的解集是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】只需要找到直线在直线上方即二者的交点处时自变量的取值范围即可． 【详解】解：由函数图象可知，不等式的解集是． 2．函数y1＝2x+4，y2＝5x﹣10，使y1＜y2的x的范围是 　 ． 【答案】x． 【分析】先根据题意得出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． 【详解】解：y1＝2x+4，y2＝5x﹣10， 当y1＜y2时，2x+4＜5x﹣10， 解得x， 所以使y1＜y2的x的范围是x． 故答案为：x． 【点睛】本题考查的是一次函数与一元一次不等式的知识，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键． 3.已知函数，y1＝﹣2x+3，y2＝3x+4，则当y1＞y2时，则x的取值范围是 　 　． 【答案】x． 【分析】由已知可得不等式﹣2x+3＞3x+4，解不等式即可求解． 【详解】解：∵y1＝﹣2x+3，y2＝3x+4，y1＞y2， ∴﹣2x+3＞3x+4， ∴x， 故答案为x． 【点睛】本题考查一次函数与一元一次不等式的关系，理解一次函数与一元一次不等式之间的联系是解题的关键． 4．已知一次函数y1＝x和y2，当y1＞y2时，x的取值范围是 　 　． 【答案】﹣1＜x＜2． 【分析】分别解不等式组，以及，进而得出x的取值范围． 【详解】解：解不等式组，得﹣1＜x＜0； 解不等式组，得0≤x＜2， 综上可得，﹣1＜x＜2． 故答案为：﹣1＜x＜2． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一元一次不等式组的解法，难度适中．此题还可以利用图象法求解． 5．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线：交于点． (1)求直线的解析式； (2)当取何值时，． 【答案】(1) (2)当时， 【分析】（1）将点、点的坐标代入，解方程组求出、的值，即可求出函数解析式； （2）把代入，求出的值，根据图像即可得出答案． 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点，与轴交于点， ∴， 解得， ∴直线的解析式为． （2）解：∵直线过点， ∴， 解得：， ∴由图象可知，当时，． 6．（25-26八年级下·河北石家庄·期中）已知：如图一次函数与的图象相交于点． (1)求点的坐标． (2)若一次函数与的图象与轴分别相交于点、，求的面积． (3)结合图象，直接写出时的取值范围． 【答案】(1) (2)9 (3) 【分析】（1）将两个函数表达式联立得到方程组，解此方程组即可求出点A的坐标； （2）先根据两个函数表达式求出点B、C的坐标，从而得到的长，再利用三角形的面积公式可得结果； （3）根据函数图象和点A的坐标即可得到结果． 【详解】（1）解：由题意可得： ，解得， 所以点A坐标为． （2）解：当时，，即，则B点坐标为； 当时，，即，则C点坐标为； ， 的面积为：． （3）解：根据图象可知，时，x的取值范围是． 题型七 两直线相交求面积问题 1、本题运用一次函数与方程（组）的关系求出三角形三个顶点的坐标，然后利用坐标求出三角形的面积. 2、运用一次函数与方程（组）的关系是求点的坐标常用的方法. 1．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线交于点，则这两条直线与y轴所围成的三角形面积为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】点在两条直线上，即可得关于k、m的二元一次方程，解方程即可得直线与y轴的交点纵坐标，再根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵直线与直线交于点， ∴， 解得， ∴直线，直线， ∴直线与y轴的交点纵坐标为2， ∴两条直线与y轴所围成的三角形面积为． 2．已知某一次函数的图象经过点，且与正比例函数的图象相交于点，求： (1)的值； (2)一次函数y与x的函数解析式； (3)这两个函数图象与轴所围成的三角形的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把交点坐标代入正比例函数解析式中求出a的值； （2）将两点的坐标代入中，利用待定系数法求出一次函数解析式； （3）先求得与x轴的交点A的坐标，再根据三角形面积公式进行计算． 【详解】（1）解：∵点在正比例函数的图象上， ∴； （2）解：设一次函数的解析式为， ∵经过点，点， ∴， 解得， ∴一次函数的解析式为； （3）解：∵时，， ∴， ∴与x轴的交点A为， ∵， ∴． 【点睛】本题主要是考查了待定系数法求解一次函数表达式以及求解与坐标轴的面积，正确利用待定系数法求出一次函数表达式，合理确定坐标轴围成的三角形的底和高，这是解决本题的关键． 3．如图，过点A（﹣2，0）的直线l1：y＝kx+b与直线l2：y＝﹣x+1交于P（﹣1，a）． （1）求直线l1对应的表达式； （2）直接写出方程组的解； （3）求三角形ABP的面积． 【分析】（1）先把P（﹣1，a）代入y＝﹣x+1求出a得到P点坐标为（﹣1，2），然后把点A（﹣2，0），P（﹣1，2）代入y＝kx+b得到关于k、b的方程组，然后解方程组求出k、b的值即可得到直线l1的表达式； （2）根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解可直接得到答案； （3）根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：（1）把P（﹣1，a）代入y＝﹣x+1得a＝2， 则P点坐标为（﹣1，2）； 把A（﹣2，0），P（﹣1，2）代入y＝kx+b得，解得， 所以直线l1的表达式为y＝2x+4； （2）因为直线l1：y＝kx+b（k≠0）与直线l2：y＝﹣x+1交于点P（﹣1，2）， 所以方程组的解为； （3）∵y＝﹣x+1交x轴于B，交y轴于C， ∴B（1，0），C（0，1）， ∴三角形ABP的面积的面积3． 【点睛】本题主要考查了一次函数与二元一次方程（组）：函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解． 4．如图，函数y＝﹣2x+3与的图象交于点P（n，﹣2）． （1）求出m，n的值． （2）直接写出的解集． （3）求出△ABP的面积． 【分析】（1）根据凡是函数图象经过的点必能满足解析式把P点坐标代入y＝﹣2x+3可得n的值，进而可得P点坐标，再把P点坐标代入yx+m可得m的值； （2）根据函数图象可直接得到答案； （3）首先求出A、B两点坐标，进而可得△ABP的面积． 【详解】解：（1）∵y＝﹣2x+3过P（n，﹣2）． ∴﹣2＝﹣2n+3， 解得：n， ∴P（，﹣2）， ∵yx+m的图象过P（，﹣2）． ∴﹣2m， 解得：m； （2）不等式x+m≤﹣2x+3的解集为x； （3）∵当y＝﹣2x+3中，x＝0时，y＝3， ∴A（0，3）， ∵当yx中，x＝0时，y， ∴B（0，）， ∴AB＝3； ∴△ABP的面积：AB． 【点睛】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式． 5．（25-26八年级下·河北石家庄·期中）如图，直线的解析式为，与轴交于点，直线经过点，与直线交于点，且与轴交于点； (1)求点的坐标及直线的解析式； (2)求的面积； (3)已知点在直线上，若的面积是面积的，直接写出点的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)或 【分析】（1）先将点代入直线的解析式求出的值，得到点的坐标；再利用待定系数法，将点和点的坐标代入直线的一般式，求出直线的解析式． （2）先求出直线、与轴的交点、的坐标，得到的长度；再以为底，点到轴的距离为高，利用三角形面积公式计算的面积． （3）根据与的面积关系，先求出的面积；设点的坐标，结合直线的解析式表示出点的横纵坐标关系，再利用三角形面积公式列方程求解点的坐标． 【详解】（1）解：点在直线上， 当时，， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 直线经过点和， ， 解得， 直线的解析式为； （2）解：直线与轴交于点， 当时，则， 解得， 点的坐标为， 直线与轴交于点， 当时，则， 解得， 点的坐标为， ， 点到轴的距离为， ； （3）解：的面积是面积的， ， 设点的坐标为， 直线与轴交于点， （或）， ∴，即， ∴， 当时，解得， 此时 当时，解得， 此时 点的坐标为或． 6．（25-26八年级下·宁夏银川·期中）如图所示，在同一坐标系中一次函数和的图象，分别与x轴交于点A、B，两直线交于点C，已知点A坐标为，点B坐标为，观察图象并回答下列问题： (1)关于x的方程的解是 ，关于x的不等式的解集是 ． (2)若点C坐标为，关于x的不等式的解集是 ． (3)在（2）的条件下，求四边形的面积． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）利用一次函数上的点，其纵坐标为值，横坐标为值得到答案． （2）根据一次函数图象的所求图象在某点的左侧，则小于该点的横坐标，在某点的右侧，则大于该点的横坐标得到答案． （3）根据点的左边，得出对应线段的长度，用割补法求出答案． 【详解】（1）解：∵一次函数过点， ∴当时，； ∵一次函数过点， ∴当时，， 根据图象可知，当时，一次函数的图象在点的右侧， ∴． （2）解：由图象可知当时，一次函数在点的右侧， ∴， ∵点时一次函数和的交点， ∴当时，两个一次函数的函数值相等， 当时，图象在点的左侧， ∴， 综上所述，． （3）解：∵一次函数过点和点， ∴将两点代入到一次函数中， ， 解得，一次函数表达式为：， 令，解得，即点， 如图所示，过点作垂直于轴交轴于点， 由题意知：， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式的综合问题，解题关键是能将点的坐标与一次函数的关系理清楚． 题型八 用一次函数与一元一次不等式的实际应用 本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及一次函数与一元一次不等式关系的知识，充分利用图象中数据信息，正确应用待定系数法求解析式以及构造不等式是解题关键． 1．在日常生活中，打印已经成为社区居民必不可少的事项，为了满足居民需求，给辖区居民带来更多优质服务，很多社区推出了共享打印机自助服务．以下是某社区推出的两种打印机收费方式： 方案A：； 方案B：． 其中，x代表打印的张数（张），y代表打印总费用（元）． (1)如果你是该社区的居民，请你通过计算说明选择哪种方案更省钱？ (2)一居民使用打印总费用为多少元时，选择方案B比方案A多打印了20张． 【答案】(1)当时，方案B更省钱；当时，两种方案费用相同；当时，方案A更省钱 (2)60元 【分析】（1）通过比较两种方案费用的大小关系，分三种情况讨论，得到不同打印张数下更省钱的方案； （2）根据“选择方案B比方案A多打印了20张”列方程求解． 【详解】（1）解：∵， ∴当时， 解得； 当时， 解得； 当时， 解得； 综上所述，当时，方案B更省钱；当时，两种方案费用相同；当时，方案A更省钱； （2）解：设打印总费用为y元， 根据题意得， 解得 ∴使用打印总费用为60元时，选择方案B比方案A多打印了20张． 2．（25-26八年级下·山东青岛·期中）某公司计划购买一种文创纪念品（至少购买件），现从甲、乙两家商店了解到该纪念品每件标价均为元．各商店的优惠条件见下表： 商店 优惠条件 甲商店 前件按原价销售，其余每件享受七折优惠 乙商店 每件均享受九折优惠 (1)该公司选择哪个商店购买纪念品更合算？ (2)该公司准备购买件纪念品，到乙商店购买更合算吗？ 【答案】(1)当时，甲乙两商店一样合算，当时，选择乙商店更合算，当时，选择甲商店更合算 (2)选择甲商店更合算，即到乙商店购买不合算 【分析】（1）分别求出该公司购买纪念品的件数是件时，、与之间的函数关系式，然后根据购买的件数分情况讨论； （2）分别求出在甲、乙两个商店购买件纪念品所需费用，通过比较选择确定哪个商店更合算． 【详解】（1）解：设该公司购买纪念品的件数是件，选择甲商店时所需的费用为元，选择乙商店时，所需的费用为元， 根据题意得：，， 由得：， 解得：； 由得：， 解得：； 由得：， 解得：； 当时，甲乙两商店一样合算， 当时，选择乙商店更合算， 当时，选择甲商店更合算； （2）解：当时， 可得：，， ， 到甲商店购买件纪念品更合算，到乙商店购买件纪念品不合算． 3．（25-26八年级下·甘肃白银·期中）暑假期间，两位家长计划带领若干名学生到白银旅游，探访黄河石林和火焰山矿山公园，并体验当地非遗文化．他们咨询了两家旅行社，报价均为每人500元（含景区门票及特色活动）． 甲旅行社：两位家长全额收费，学生享受七折优惠． 乙旅行社：全体成员（含家长）均享八折优惠． 请解答以下问题： (1)设学生数为人，甲旅行社收费为元，则函数关系式______； 设学生数为人，乙旅行社收费为元，则函数关系式______． (2)若家长希望学生深入了解白银的生态保护与非遗传承，应如何根据学生人数选择旅行社？通过计算说明理由． 【答案】(1)； (2)学生数人时，两家旅行社均可；学生数人时，选甲旅行社；学生数人时，选乙旅行社，理由见解析 【分析】（1）根据甲旅行社的收费两名家长的全额费用学生的七折费用，可得到与x的函数关系式；再根据乙旅行社的收费两名家长的八折费用学生的八折费用，可得到与x的函数关系式； （2）首先分三种情况讨论：①，②，③，针对每一种情况，分别求出对应的x的取值范围，然后比较哪种情况下选谁更合适，即可判断选择哪家旅行社． 【详解】（1）解：学生数为人，甲旅行社收费为元，则， 即； 学生数为人，乙旅行社收费为元，则，即． 故答案为：；； （2）解：分三种情况比较费用： 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得． 综上所述，学生数人时，两家旅行社均可；学生数人时，选甲旅行社；学生数人时，选乙旅行社． 4．（25-26八年级下·山西太原·期中）活动背景：为响应山西省新能源汽车推广政策，落实绿色出行要求，太原市某小区计划为业主安装新能源汽车家用充电桩，提升小区便民服务水平．该小区共有12栋居民楼，预计有名业主申请安装充电桩，且每名业主申请安装1个充电桩，物业拟定了两个安装方案如下： 项目 方案一（第三方合作安装） 方案二（物业自主安装） 费用明细 1．每栋楼统一收取勘测、布线费500元/栋 2．充电桩安装费：50元/个 3．免费提供3年质保服务 1．每栋楼无基础服务费 2．充电桩安装费：35元/个 3．充电桩辅材采购费：20元/个 4．质保服务费：1000元/年（可选，若选择则按年收取，默认签订2年合同） 若小区默认签订2年质保合同，结合上表信息分析，该小区选择哪个方案进行充电桩安装，所需总费用较少？ 【答案】当时，选方案一费用较少；当时，选方案一和方案二费用一样多；当时，选方案二费用较少 【分析】设方案一的费用为元，方案二的费用为元，根据方案一和方案二分别列出所需的费用，然后求出，和时对应x的取值范围，进而可求解． 【详解】解：设方案一的费用为元，方案二的费用为元， ， ， 若，则解得：， 若，则解得：， 若，则解得：， 所以， 当时，选方案一费用较少； 当时，选方案一和方案二费用一样多； 当时，选方案二费用较少． 5．（25-26八年级下·山西太原·期中）项目式学习 项目主题 绿植养护营养土购买方案选择 项目背景 学校后勤部门为提升校园绿植养护效果，计划采购一批营养土．优质的营养土能有效促进植物生长，是校园绿化的重要保障．综合实践活动小组以“探究绿植养护营养土购买方案”为主题开展项目学习． 研究步骤 a．收集校园周边“绿园”“植享”两家园艺店的营养土销售信息． b．整理信息并建立付款金额与购买量的函数关系式． c．通过数据分析，确定最优采购方案． 信息收集 1．“绿园”店营养土的售价为18元/袋，无论购买多少均不打折． 2．“植享”店营养土的售价如下表： 购买量/袋 售价/（元/袋） 3袋以内（含3袋） 20元/袋 超过3袋 超过3袋的部分打八折 设学校后勤部门购买x袋营养土（，且为正整数），在“绿园”店购买营养土的费用为元，在“植享”店购买营养土的费用为元． (1)请分别写出，与x之间的函数关系式． (2)通过计算说明选择哪家店购买更划算． 【答案】(1)， (2)当购买营养土的袋数为6袋时，在两家店购买营养土的费用一样．当购买营养土的袋数超过6袋时，在“植享”店购买更划算．当购买营养土的袋数大于3袋小于6袋时，在“绿园”店购买更划算 【分析】（1）根据题意分别找出与x，与x的等量关系，从而求得与x，与x之间的函数关系式； （2）由求得x的临界值，从而分情况进行讨论得出结果． 【详解】（1）解：由题意得： 在“绿园”店购买的费用与x的关系式为：， 在“植享”店购买的费用与x的关系式为：． （2）解：当时，，解得， 当时，，解得， 当时，，解得， ， ， 当购买营养土的袋数为6袋时，在两家店购买营养土的费用一样， 当购买营养土的袋数超过6袋时，在“植享”店购买更划算， 当购买营养土的袋数大于3袋小于6袋时，在“绿园”店购买更划算． 6．（25-26八年级下·河南南阳·期中）某单位准备印制一批证书，现有两个印刷厂可供选择，甲厂费用分为制版费和印刷费两部分，先收取固定的制版费，再按印刷数量收取印刷费：乙厂直接按印刷数量收取印刷费．甲厂的总费用（千元）、乙厂的总费用（千元）与印制证书数量（千个）的函数关系图分别如图中甲、乙所示． (1)甲厂的制版费为___________千元，印刷费为平均每个___________元，甲厂的费用与证书数量之间的函数关系式为___________； (2)当印制证书数量不超过千个时，乙厂的印刷费为平均每个___________元；当印制证书数量超过千个时，乙厂的总费用与证书数量之间的函数关系式为___________； (3)印制证书多少千个时，两厂实际收费相同？ (4)若该单位需印制证书数量为千个，该单位应选择哪个厂更节省费用？请说明理由． 【答案】(1)，，； (2)，； (3)印制证书千个或千个时，两厂实际收费相同； (4)选择乙厂更节省费用，见解析． 【分析】（）结合图象可看出是关于的一次函数，从图中可以观察出甲厂的制版费为千元，一次函数的为即为证书印刷费的单价； （）用到千个时的费用除以证件个数计算即可得解，然后利用用待定系数法即可求出乙厂的总费用与证书数量之间的函数关系式； （）相等时，分两种情况列出方程，然后解方程即可； （）将分别代入两个函数，求出费用，然后比较即可． 【详解】（1）解：设甲厂的费用与证书数量之间的函数关系式为，则，解得：， ∴， 当时，，则甲厂的制版费为千元， 印刷费为平均每个（元）； （2）解：当印制证书数量不超过千个时，乙厂的印刷费为平均每个（元）， 当印制证书数量超过千个时，设乙厂的总费用与证书数量之间的函数关系式为， 由图可知，当时，，当时，， ∴函数图象经过点和， 代入得，解得：， ∴； （3）解：当印制证书数量超过千个时，由图可知，， 解得：时， 当印制证书数量不超过千个时，由上可得，， ∴， 解得； ∴印制证书千个或千个时，两厂实际收费相同； （4）解：选择乙厂更节省费用，理由如下， 当时，（千元），（元）， ∵， ∴当印制千个证书时，该单位选择乙厂更节省费用． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 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