23.3 一次函数与方程（组）、不等式（分层作业）数学新教材人教版八年级下册

23.3 一次函数与方程（组）、不等式 知识点一 利用图象法解一元一次方程 1．（24-25八年级下·广西南宁·期中）如图，一次函数（为常数，且）与正比例函数（k为常数，且）的图象交于点，则关于的方程的解是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·甘肃天水·期中）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数与一次函数的图象交于点，则关于的方程的解是（　　） A． B． C． D． 3．（2025·甘肃兰州·一模）如图，已知直线经过点，则关于x的方程的解是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·河南南阳·期中）数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题可迎刃而解，且解法简洁．如图，已知一次函数和的图象交于点，根据图象可得，关于x的方程的解为（    ） A． B． C． D． 知识点二 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 1．（23-24八年级下·广东广州·期末）若是方程的解， 则直线的图象与x轴交点的坐标为 （   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·河南南阳·月考）若关于x的方程的解为，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 3．（2024·陕西·一模）已知关于的方程的解是，则一次函数（、为常数，且）的图象可能是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·广西崇左·月考）若是关于x的方程的解，则一次函数的图象与轴的交点坐标是(　　) A． B． C． D． 知识点三 已知直线与坐标轴交点求方程的解 1．（24-25八年级下·江苏南通·期中）已知直线过点和点，则关于x的方程的解为______． 2．（24-25八年级下·云南昆明·期中）如图，已知直线，则关于的方程的解是_____． 3．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，若一次函数的图象经过两点，则关于x的方程的解为________． 4．（23-24八年级下·辽宁沈阳·开学考试）如图，直线分别与x的负半轴和y的正半轴交于点A和点B，若，，则关于x的方程的解为_______．    知识点四 两直线的交点与二元一次方程组的解 1．（24-25八年级下·重庆·期中）直线与直线相交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解为______． 2．（25-26八年级下·甘肃兰州·开学考试）如图，函数和的图象交于点，则方程组的解是_____． 3．（25-26八年级下·山东青岛·开学考试）如图，已知关于x，y的二元一次方程组的解为，则一次函数和图象交点M的坐标为______． 4．（22-23八年级下·陕西汉中·期末）如图，已知一次函数和的图象交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解是_____． 知识点一 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 1．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）若直线经过点． (1)求的值； (2)若，直接写出的取值范围是__________． 2．（22-23八年级下·河北石家庄·期中）已知一次函数的图像与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)求A、B两点的坐标； (2)画出该函数图像； (3)当时，x的取值范围是______． 3．（24-25八年级下·江西吉安·月考）如图，一次函数的图象分别与轴、轴相交于点，，且与一次函数的图象交于点，一次函数的图象与轴交于点．已知点的坐标为，点与点关于轴对称． (1)结合图象，不等式的解集为______，不等式的解集为______； (2)若点的横坐标为，求，的值． 4．（24-25八年级下·广东惠州·月考）如图，直线分别交x轴、y轴于A，B两点． (1)求A，B两点的坐标； (2)根据图象：当时，写出x的取值范围． 知识点二 根据两条直线的交点求不等式的解集 1．（23-24八年级下·山东滨州·期中）已知直线：与直线：相交于点，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与y轴交于点D． (1)求A，C两点的坐标； (2)若，则x的取值范围是 _______； (3)根据图象，直接写出关于x的不等式的解集． 2．（22-23八年级下·陕西渭南·期末）如图，一次函数的图象与轴交于点，一次函数的图象与轴交于点，且经过点，两函数图象交于点． (1)求的值和一次函数的解析式； (2)根据图象，直接写出关于的不等式的解集． 3．（22-23八年级下·贵州六盘水·期末）已知，一次函数的图象过点． (1)求一次函数的表达式； (2)如图，若正比例函数的图象与一次函数的图象相交于点，请直接写出当时的取值范围； (3)对于正比例函数和一次函数，如果在时总有，请直接写出的取值范围． 4．（24-25八年级下·四川南充·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点和点． (1)求这个一次函数的解析式，并在图中画出这个函数图象； (2)若该一次函数的图象与正比例函数的图象交于点 计算b； 观察图象，直接写出关于x的不等式的解集 知识点三 求直线围成的图形面积 1．（25-26八年级下·黑龙江绥化·开学考试）已知，直线与直线． (1)求两直线与y轴交点A，B的坐标； (2)求两直线交点C的坐标； (3)求的面积． (4)根据图象，写出关于x的不等式的解集 2．（25-26八年级下·吉林长春·开学考试）如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，一次函数图象经过点，与轴的交点为，与轴的交点为． (1)求一次函数表达式； (2)求的面积； (3)不解关于的方程，直接写出方程的解． 3．（22-23八年级下·陕西安康·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象向上平移得到，且经过点，与直线相交于点．直线和直线分别与轴交于点，． (1)求这个一次函数的解析式及交点的坐标； (2)求的面积． 4．（24-25八年级下·四川南充·期末）如图，已知一次函数的图象交正比例函数于，交y轴于点，交x轴于点A． (1)求该一次函数解析式； (2)求的面积． 1．（24-25八年级下·重庆·期中）如图1，在矩形中，，．点从点出发沿运动，先以每秒个单位长度的速度运动，当到达点时速度变为每秒个单位长度；点从点出发沿运动，先以每秒个单位长度的速度运动，当点到达点时速度变为每秒个单位长度，它们同时从点出发后，首次相遇时都停止运动整个运动过程中不考虑的情形．设点、点运动时间为秒，线段的长度为，请解答下列问题： (1)直接写出关于的函数表达式并注明对应的取值范围； (2)在图2的平面直角坐标系中画出函数的图象，并根据图象写出函数的一条性质； (3)若的函数图象与直线有两个交点，则的取值范围是 ． 2．（25-26八年级下·北京·单元测试）小明根据学习函数的经验，探究了函数的图象与性质，请将小明的探究过程补充完整，并解决相关问题． (1)下表是y与x的几组对应值： x … 0 1 2 3 … y … 0 2 m 2 0 … 写出表中m的值：______． (2)如图，在平面直角坐标系中，画出该函数的图象． (3)小明结合该函数图象，解决了以下问题： ①对于函数，当时，的取值范围是______； ②方程有______个解； ③直接写出不等式的解集为______． 3．（24-25八年级下·甘肃兰州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，且，的长满足． (1)求点，点的坐标； (2)若直线与线段交于点，与轴，轴分别交于，两点，且点，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿射线方向运动，设点的运动时间为秒，连接，设的面积为，求与的函数关系式（请直接写出自变量的取值范围）； (3)在（2）的条件下，在坐标平面内是否存在点，使以A，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）如图，直线交轴于点，交轴于点，直线经过点，交轴于点． (1)请求出B点坐标和直线的函数解析式； (2)将直线向下平移个单位，且经过点；将直线向下平移个单位，且经过点，平移后的两直线交于点；请求出点的坐标； (3)如图，将直线向右平移得到直线，点是与直线的交点，点，分别在射线，上，且轴，分别过点，作轴的垂线，垂足分别为，． 设四边形的周长为，设点的横坐标为，求出与的函数关系式； 当四边形为正方形时，直接写出的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 23.3 一次函数与方程（组）、不等式 知识点一 利用图象法解一元一次方程 1．（24-25八年级下·广西南宁·期中）如图，一次函数（为常数，且）与正比例函数（k为常数，且）的图象交于点，则关于的方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查一次函数与一元一次方程的关系，掌握数形结合思想是解题的关键． 由的函数图象与函数的图象相交交点坐标横坐标为，从而可得到方程的解． 【详解】解：∵从图象可看出的函数图象与函数的图象相交的交点坐标横坐标为， ∴方程的解是． 故选：A． 2．（24-25八年级下·甘肃天水·期中）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数与一次函数的图象交于点，则关于的方程的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了两直线的交点问题，根据一次函数的图像即可知两直线交点的横坐标即方程的解． 【详解】解：∵一次函数与一次函数的图象交于点， ∴关于的方程的解是， 故选：C 3．（2025·甘肃兰州·一模）如图，已知直线经过点，则关于x的方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查根据图像法解一元一次方程．根据题意利用图像即可得到本题答案． 【详解】解：∵直线经过点， ∴关于x的方程的解为， 故选：B． 4．（24-25八年级下·河南南阳·期中）数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题可迎刃而解，且解法简洁．如图，已知一次函数和的图象交于点，根据图象可得，关于x的方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了利用图象法解一元一次方程，根据一次函数和的图象交于点即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵一次函数和的图象交于点， ∴根据图象可得，关于x的方程的解为， 故选：A． 知识点二 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 1．（23-24八年级下·广东广州·期末）若是方程的解， 则直线的图象与x轴交点的坐标为 （   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是掌握方程的解就是一次函数与轴交点的横坐标值．根据一次函数与一元一次方程的关系：由于任何一元一次方程都可以转化为（，为常数，）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为时，求相应的自变量的值，从图象上看，这相当于已知直线确定它与轴交点的横坐标即可得答案． 【详解】解：一元一次方程的解是， 当时，， 故直线的图像与x轴的交点坐标是． 故选：A． 2．（23-24八年级下·河南南阳·月考）若关于x的方程的解为，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程解的定义，一次函数的性质，先把代入方程中得到，进而得到当时，，据此可得答案． 【详解】解：∵关于x的方程的解是， ∴， ∴， ∴直线解析式为， ∴当时，，即直线一定经过点， 故选：A． 3．（2024·陕西·一模）已知关于的方程的解是，则一次函数（、为常数，且）的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数与一次方程的关系，关键是根据方程的解其实就是当时一次函数与x轴的交点横坐标解答．根据交点坐标的含义可得答案. 【详解】解：∵关于的方程的解是， ∴一次函数的图象与x轴的交点坐标是． ∴只有选项B的图象符合题意， 故选：B 4．（25-26八年级上·广西崇左·月考）若是关于x的方程的解，则一次函数的图象与轴的交点坐标是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系．任何一元一次方程都可以转化为 (a，b为常数，的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线确定它与轴的交点的横坐标的值． 由方程的解可得与的关系，再令一次函数求解，即可得交点坐标． 【详解】解：∵是方程的解， ∴，即． 令，即， 代入，得， ∴， ∵， ∴，解得． ∴交点坐标为． 故选：D． 知识点三 已知直线与坐标轴交点求方程的解 1．（24-25八年级下·江苏南通·期中）已知直线过点和点，则关于x的方程的解为______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系：一次函数与x轴交点的横坐标即为一元一次方程的解． 根据一次函数与一元一次方程的关系求解即可． 【详解】解：∵直线与x轴的交点坐标是点， ∴关于x的方程的解是． 故答案为：． 2．（24-25八年级下·云南昆明·期中）如图，已知直线，则关于的方程的解是_____． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，熟练掌握函数图象法是解题关键．根据一次函数的图象可得当时，，由此即可得． 【详解】解：由一次函数的图象可知，当时，， 则关于的方程的解为， 故答案为：． 3．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，若一次函数的图象经过两点，则关于x的方程的解为________． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键；由图象可知一次函数与x轴的交点坐标为，进而问题可求解． 【详解】解：由图象可知一次函数与x轴的交点坐标为， ∴关于x的方程的解为； 故答案为． 4．（23-24八年级下·辽宁沈阳·开学考试）如图，直线分别与x的负半轴和y的正半轴交于点A和点B，若，，则关于x的方程的解为_______．    【答案】 【分析】本题考查一次函数的图象，一次函数与一元一次方程的关系，勾股定理，先根据勾股定理求出，根据直线与x轴的交点的横坐标，即为关于x的方程的解，然后数形结合求解作答即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴方程的解是一次函数与x轴的交点的横坐标， ∴关于x的方程的解为． 故答案为：． 知识点四 两直线的交点与二元一次方程组的解 1．（24-25八年级下·重庆·期中）直线与直线相交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解为______． 【答案】 【分析】先根据点P在已知直线上求出交点P的坐标，再根据两直线交点坐标即为对应二元一次方程组的解求解即可． 【详解】解：∵点在直线上， ∴， ∴交点的坐标为， ∵直线与直线的交点坐标就是对应二元一次方程组的解， ∴关于，的二元一次方程组的解为． 2．（25-26八年级下·甘肃兰州·开学考试）如图，函数和的图象交于点，则方程组的解是_____． 【答案】 【分析】根据两条直线的交点坐标即为由两条直线的解析式组成的二元一次方程组的解，即可得出结果． 【详解】解：由图象可知：方程组，即的解是． 3．（25-26八年级下·山东青岛·开学考试）如图，已知关于x，y的二元一次方程组的解为，则一次函数和图象交点M的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 根据两函数的交点坐标即为方程组的解即可得出答案． 【详解】解：∵关于x，y的二元一次方程组的解为， ∴一次函数和图象交点M的坐标为． 故答案为： 4．（22-23八年级下·陕西汉中·期末）如图，已知一次函数和的图象交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解是_____． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组），利用“方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标”解决问题． 【详解】解：∵点为函数与函数的图象的交点， ∴方程组的解为， 故答案为：． 知识点一 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 1．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）若直线经过点． (1)求的值； (2)若，直接写出的取值范围是__________． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是求解一次函数的解析式，一次函数与不等式的关系： （1）将代入即可求解； （2）先计算出时x的值，再根据一次函数图象的增减性求解． 【详解】（1）解：直线经过点， ， 解得； （2）解：由（1）得， 令，得， 解得， ， y随x的增大而减小， 当时，， 故答案为：． 2．（22-23八年级下·河北石家庄·期中）已知一次函数的图像与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)求A、B两点的坐标； (2)画出该函数图像； (3)当时，x的取值范围是______． 【答案】(1)点A坐标为，点B坐标为 (2)见解析 (3) 【分析】（1）当时，，当时，，解方程解答即可； （2）两点确定一条直线，根据A，B两点的坐标画图即可； （3）利用数形结合思想，结合图像与x轴交点的横坐标，解答即可． 本题考查了一次函数的图像画法，与坐标轴的交点求法，一次函数与不等式，熟练掌握解法和不等式解集确定的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，， 故点B的坐标为， 当时，， 解得， 故点A的坐标为． （2）解：根据两点确定一条直线，且，，画图如下： （3）解：由于直线与x轴交于点， 故当时，； ∵， ∴y随x的增大而减小， ∴当时，， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·江西吉安·月考）如图，一次函数的图象分别与轴、轴相交于点，，且与一次函数的图象交于点，一次函数的图象与轴交于点．已知点的坐标为，点与点关于轴对称． (1)结合图象，不等式的解集为______，不等式的解集为______； (2)若点的横坐标为，求，的值． 【答案】(1)，或 (2)的值为，的值． 【分析】本题考查了一次函数的性质，轴对称的性质，一次函数与一元一次不等式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由一次函数的图象过点，得，从而可得点，又点与点关于轴对称，故有点，然后结合图象即可求解； （）求出点，然后通过待定系数法即可求解． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象过点， ∴， ∴直线解析式为， 当时，，解得：， ∴点， ∵点与点关于轴对称， ∴点， ∴结合图象得不等式的解集为，不等式的解集为或， 故答案为：，或； （2）解：由（）得，直线解析式为，点， ∵点的横坐标为， ∴， ∴点， ∴，解得：， ∴的值为，的值． 4．（24-25八年级下·广东惠州·月考）如图，直线分别交x轴、y轴于A，B两点． (1)求A，B两点的坐标； (2)根据图象：当时，写出x的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查一次函数的性质，求函数值， （1）令得；令得，即可得到A，B两点的坐标； （2）根据一次函数的性质解答． 【详解】（1）解：令中，则，解得； 令得， ∴； （2）由图象得当时，． 知识点二 根据两条直线的交点求不等式的解集 1．（23-24八年级下·山东滨州·期中）已知直线：与直线：相交于点，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与y轴交于点D． (1)求A，C两点的坐标； (2)若，则x的取值范围是 _______； (3)根据图象，直接写出关于x的不等式的解集． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了求一元一次不等式的解集，一次函数图象与坐标轴的交点问题，求一次函数解析式，根据两条直线的交点求不等式的解集，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）先把代入，求出，再将点坐标代入求得即可； （2）根据，也就是，结合图象可得结论； （3）根据图象，可以得出不等式的解集． 【详解】（1）解：∵直线：与直线：相交于点， ∴把代入， 得， 解得：， 把代入， 得， 解得：， ∴直线：， 当时，则 ， 解出， ∴； （2）∵直线：，， ∴当时，x的取值范围是； （3）， 即， 根据图象，此时的不等式的解集为． 2．（22-23八年级下·陕西渭南·期末）如图，一次函数的图象与轴交于点，一次函数的图象与轴交于点，且经过点，两函数图象交于点． (1)求的值和一次函数的解析式； (2)根据图象，直接写出关于的不等式的解集． 【答案】(1)，一次函数的解析式是 (2) 【分析】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与一元一次不等式，掌握一次函数的图象和性质解此题的关键． （1）把点C的纵坐标代入，求出m，再把B、C的坐标代入得出方程组，再求出k、b即可； （2）根据函数的图象得出不等式的解集即可． 【详解】（1）解：两函数图象交于点， 把点的纵坐标代入得：， 解得：， 即， 函数经过点，点， ， 解得， 一次函数的解析式是； （2）解：由图象可知关于的不等式的解集是． 3．（22-23八年级下·贵州六盘水·期末）已知，一次函数的图象过点． (1)求一次函数的表达式； (2)如图，若正比例函数的图象与一次函数的图象相交于点，请直接写出当时的取值范围； (3)对于正比例函数和一次函数，如果在时总有，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，待定系数法求一次函数的解析式，两条直线相交或平行问题，数形结合是解题的关键； （1）利用待定系数法即可求解； （2）根据图象即可求解； （3）先求得直线过点，把点代入，求得，观察图象即可求得在时总有，. 【详解】（1）解：将代入， 得， 解得， ∴. （2）解：由图像可知，当时，正比例函数的图象在一次函数图象的下方， ∴的解集为. （3）解：把代入得， ∴直线过点， 把点代入得， 解得， ∵在时总有， 观察图象可知，. 4．（24-25八年级下·四川南充·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点和点． (1)求这个一次函数的解析式，并在图中画出这个函数图象； (2)若该一次函数的图象与正比例函数的图象交于点 计算b； 观察图象，直接写出关于x的不等式的解集 【答案】(1)一次函数的解析式为，图象见解析 (2)①2② 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的图象和性质，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与一元一次不等式，数形结合是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求得一次函数的解析式，然后画出函数的图象即可； （2）①把点代入一次函数的解析式即可求得； ②根据A点的坐标，结合图象即可求得． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过点和点， ∴， 解得， ∴这个一次函数的解析式为， 画出这个函数图象如图： （2）解：①一次函数的图象与正比例函数的图象交于点， ∴； ②观察图象，关于x的不等式的解集是． 知识点三 求直线围成的图形面积 1．（25-26八年级下·黑龙江绥化·开学考试）已知，直线与直线． (1)求两直线与y轴交点A，B的坐标； (2)求两直线交点C的坐标； (3)求的面积． (4)根据图象，写出关于x的不等式的解集 【答案】(1)， (2) (3)2 (4) 【分析】（1）根据坐标轴上点的特征，代入求解即可； （2）根据一次函数图象与二元一次方程组的关系，联立方程组，求解即可； （3）根据点的坐标，可求线段，再根据点到y轴的距离是横坐标的绝对值，可求出三角形的高，计算即可； （4）根据一次函数与不等式的关系，结合图象可得，当时，． 【详解】（1）解：由图可知，直线与直线分别交y轴于点A、B， 当时，，即； 当时，，即； （2）解：直线与直线交于点C， ，解得， 则； （3）解：，，， ， 则的面积为2； （4）解：如图，当时，． 2．（25-26八年级下·吉林长春·开学考试）如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，一次函数图象经过点，与轴的交点为，与轴的交点为． (1)求一次函数表达式； (2)求的面积； (3)不解关于的方程，直接写出方程的解． 【答案】(1) (2)3 (3) 【分析】（1）将点代入，求出m，得到，把P、B两点的坐标代入，利用待定系数法即可求出一次函数解析式； （2）根据一次函数的解析式即可求出C点的坐标；根据三角形的面积公式列式即可求出的面积； （3）两函数图象的交点横坐标即为两函数解析式联立得到的一元一次方程的解． 【详解】（1）解：∵正比例函数的图象与一次函数的图象交于点， ∴，∴， ∴ ∵一次函数图象经过点， ∴’ 解得， ∴一次函数解析式是． （2）解：由（1）知一次函数解析式是， 令，得，解得， ∴， ∴， ∵, ∴的面积为：． （3）解：由图象可知，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点， ∴方程的解为， 即方程的解为． 3．（22-23八年级下·陕西安康·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象向上平移得到，且经过点，与直线相交于点．直线和直线分别与轴交于点，． (1)求这个一次函数的解析式及交点的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1)， (2)3 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，求一次函数解析式，一次函数图象的平移问题，求两个一次函数的交点坐标，熟知一次函数的相关知识是解题的关键． （1）根据题意可得，再利用待定系数法可求出对应的函数解析式，再联立两函数解析式可求出点P的坐标； （2）求出A、B的坐标，再根据三角形面积计算公式求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象由函数的图象向上平移得到， ∴； 点在直线上， ， 解得， 一次函数的解析式为； 联立，解得， 的坐标为． （2）解：在中，令得， ， 在中，令得， ， ， 的面积为． 4．（24-25八年级下·四川南充·期末）如图，已知一次函数的图象交正比例函数于，交y轴于点，交x轴于点A． (1)求该一次函数解析式； (2)求的面积． 【答案】(1)； (2)4 【分析】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式； （1）先求得，把，代入，再建立方程组求解即可； （2）先求得点坐标为，结合三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：把代入得，， 解得， ∴， 把，代入得， 解得， 所以一次函数解析式为； （2）解：把代入得， ∴点坐标为， ∴的面积． 1．（24-25八年级下·重庆·期中）如图1，在矩形中，，．点从点出发沿运动，先以每秒个单位长度的速度运动，当到达点时速度变为每秒个单位长度；点从点出发沿运动，先以每秒个单位长度的速度运动，当点到达点时速度变为每秒个单位长度，它们同时从点出发后，首次相遇时都停止运动整个运动过程中不考虑的情形．设点、点运动时间为秒，线段的长度为，请解答下列问题： (1)直接写出关于的函数表达式并注明对应的取值范围； (2)在图2的平面直角坐标系中画出函数的图象，并根据图象写出函数的一条性质； (3)若的函数图象与直线有两个交点，则的取值范围是 ． 【答案】(1) (2)图见解析，性质见解析 (3) 【分析】（1）分类讨论，利用勾股定理求解，当时，根据在上，用的长减去，即可； （2）依据题意画出图象即可得解； （3）找出临界值，结合函数图象，进而求解即可． 【详解】（1）解：在中， ， 点从到需要：秒，点从点到需要：秒， 相遇时为秒， 当时， ， 即； 当时，， 即； 综上，； （2）函数的图象如图， 性质：关于直线对称； 当时，随x增大而增大，当时，随x增大而减小； （3）如图， 当经过时，两个函数有一个交点， ∴ 解得：， 直线向下平移，此时与的函数图象开始有两个交点， 当经过时，两个函数有一个交点， 解得：， 综上，当的函数图象与直线有两个交点时，． 故答案为： 2．（25-26八年级下·北京·单元测试）小明根据学习函数的经验，探究了函数的图象与性质，请将小明的探究过程补充完整，并解决相关问题． (1)下表是y与x的几组对应值： x … 0 1 2 3 … y … 0 2 m 2 0 … 写出表中m的值：______． (2)如图，在平面直角坐标系中，画出该函数的图象． (3)小明结合该函数图象，解决了以下问题： ①对于函数，当时，的取值范围是______； ②方程有______个解； ③直接写出不等式的解集为______． 【答案】(1)4； (2)函数的图象见详解 (3)①；②两；③或． 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，熟练掌握该知识点是关键． （1）将代入即可求出值； （2）画出函数图象即可； （3）①根据函数图象，写出的取值范围即可； ②根据函数图象看两个函数的交点个数即可； ③画出一次函数图象，根据图象直接写出不等式的解集即可． 【详解】（1）解：当时，， 故答案为：4 ； （2）解：函数的图象如图所示： （3）解：①由函数图象可知：当时，； 故答案为：； ②由图象可知：函数与直线有两个交点； 则方程有两个解； 故答案为：两； ③如图，画出的图象， 由图象可知不等式的解集为：或． 故答案为：或． 3．（24-25八年级下·甘肃兰州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，且，的长满足． (1)求点，点的坐标； (2)若直线与线段交于点，与轴，轴分别交于，两点，且点，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿射线方向运动，设点的运动时间为秒，连接，设的面积为，求与的函数关系式（请直接写出自变量的取值范围）； (3)在（2）的条件下，在坐标平面内是否存在点，使以A，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，或或 【分析】（1）根据非负数的性质求出，的长，再根据点A在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，即可得出点的坐标； （2）分两种情况：当时 ， 当时，根据三角形的面积公式求解即可； （3）分两种情况：①当为边时，②当为对角线时，分别利用平行四边形的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴，， ∴，， ∵点A在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上， ∴，． （2）解：∵， ∴， 当时 ， ， 当时， ， 综上，． （3）解：如图，连接， 由（1）知，，， 由（2）知，， ， 以、、、为顶点的四边形是平行四边形， ①当为边时，，， 或； ②当为对角线时，点向下平移4个单位，再向右平移2个单位， 点向下平移4个单位，再向右平移2个单位得到点的坐标， ， 即：点的坐标为或或． 【点睛】本题考查非负数的性质，坐标与图形，求一次函数解析式，三角形的面积，平行四边形的性质，平移的坐标变换．熟练掌握绝对值与二次根式的非负性，根据三角形的列一次函数解析式，平行四边形的性质是解题的关键．注意分类讨论． 4．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）如图，直线交轴于点，交轴于点，直线经过点，交轴于点． (1)请求出B点坐标和直线的函数解析式； (2)将直线向下平移个单位，且经过点；将直线向下平移个单位，且经过点，平移后的两直线交于点；请求出点的坐标； (3)如图，将直线向右平移得到直线，点是与直线的交点，点，分别在射线，上，且轴，分别过点，作轴的垂线，垂足分别为，． 设四边形的周长为，设点的横坐标为，求出与的函数关系式； 当四边形为正方形时，直接写出的值． 【答案】(1)， (2) (3)①；②或 【分析】（1）先求出点B的坐标，再利用待定系数法求解； （2）先求出两条直线平移后的解析式，再将两个解析式联立，解二元一次方程组即可； （3）先求出点E的坐标，设，，分和两种情况，用含m的式子表示出和，即可求解；当四边形为正方形时，，分和两种情况，分别求出m的值即可． 【详解】（1）解：对于直线， 当时，， ， 将，代入，得： ， 解得， 直线的函数解析式为； （2）解：对于， 当时，， ， 将直线向下平移个单位，所得直线的解析式为：， 将代入，得：， 解得， 直线平移后所得直线的解析式为：； 将直线向下平移个单位，所得直线的解析式为：， 将代入，得：， 解得， 直线平移后所得直线的解析式为：， 将两条平移后直线的解析式联立，得：， 解得， 点的坐标为； （3）解：直线向右平移得到直线， 直线的解析式为：， 将直线与直线的解析式联立，得：， 解得， 点的坐标为． 点的横坐标为，轴， ，， 当时，，， ； 当时，，， ， 综上可知，与的函数关系式为：； 当四边形为正方形时，， 当时，， 解得； 当时，， 解得； 综上所述，m的值为或． 【点睛】本题考查两条直线的交点问题，一次函数图象的平移，求一次函数解析式，正方形的性质等，注意分情况讨论是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 23.3 一次函数与方程（组）、不等式 知识点一 利用图象法解一元一次方程 1． 【答案】A 【分析】本题主要考查一次函数与一元一次方程的关系，掌握数形结合思想是解题的关键． 由的函数图象与函数的图象相交交点坐标横坐标为，从而可得到方程的解． 【详解】解：∵从图象可看出的函数图象与函数的图象相交的交点坐标横坐标为， ∴方程的解是． 故选：A． 2． 【答案】C 【分析】本题主要考查了两直线的交点问题，根据一次函数的图像即可知两直线交点的横坐标即方程的解． 【详解】解：∵一次函数与一次函数的图象交于点， ∴关于的方程的解是， 故选：C 3． 【答案】B 【分析】本题考查根据图像法解一元一次方程．根据题意利用图像即可得到本题答案． 【详解】解：∵直线经过点， ∴关于x的方程的解为， 故选：B． 4． 【答案】A 【分析】本题考查了利用图象法解一元一次方程，根据一次函数和的图象交于点即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵一次函数和的图象交于点， ∴根据图象可得，关于x的方程的解为， 故选：A． 知识点二 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 1． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是掌握方程的解就是一次函数与轴交点的横坐标值．根据一次函数与一元一次方程的关系：由于任何一元一次方程都可以转化为（，为常数，）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为时，求相应的自变量的值，从图象上看，这相当于已知直线确定它与轴交点的横坐标即可得答案． 【详解】解：一元一次方程的解是， 当时，， 故直线的图像与x轴的交点坐标是． 故选：A． 2． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程解的定义，一次函数的性质，先把代入方程中得到，进而得到当时，，据此可得答案． 【详解】解：∵关于x的方程的解是， ∴， ∴， ∴直线解析式为， ∴当时，，即直线一定经过点， 故选：A． 3． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数与一次方程的关系，关键是根据方程的解其实就是当时一次函数与x轴的交点横坐标解答．根据交点坐标的含义可得答案. 【详解】解：∵关于的方程的解是， ∴一次函数的图象与x轴的交点坐标是． ∴只有选项B的图象符合题意， 故选：B 4． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系．任何一元一次方程都可以转化为 (a，b为常数，的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线确定它与轴的交点的横坐标的值． 由方程的解可得与的关系，再令一次函数求解，即可得交点坐标． 【详解】解：∵是方程的解， ∴，即． 令，即， 代入，得， ∴， ∵， ∴，解得． ∴交点坐标为． 故选：D． 知识点三 已知直线与坐标轴交点求方程的解 1． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系：一次函数与x轴交点的横坐标即为一元一次方程的解． 根据一次函数与一元一次方程的关系求解即可． 【详解】解：∵直线与x轴的交点坐标是点， ∴关于x的方程的解是． 故答案为：． 2． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，熟练掌握函数图象法是解题关键．根据一次函数的图象可得当时，，由此即可得． 【详解】解：由一次函数的图象可知，当时，， 则关于的方程的解为， 故答案为：． 3． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键；由图象可知一次函数与x轴的交点坐标为，进而问题可求解． 【详解】解：由图象可知一次函数与x轴的交点坐标为， ∴关于x的方程的解为； 故答案为． 4． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的图象，一次函数与一元一次方程的关系，勾股定理，先根据勾股定理求出，根据直线与x轴的交点的横坐标，即为关于x的方程的解，然后数形结合求解作答即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴方程的解是一次函数与x轴的交点的横坐标， ∴关于x的方程的解为． 故答案为：． 知识点四 两直线的交点与二元一次方程组的解 1． 【答案】 【分析】先根据点P在已知直线上求出交点P的坐标，再根据两直线交点坐标即为对应二元一次方程组的解求解即可． 【详解】解：∵点在直线上， ∴， ∴交点的坐标为， ∵直线与直线的交点坐标就是对应二元一次方程组的解， ∴关于，的二元一次方程组的解为． 2． 【答案】 【分析】根据两条直线的交点坐标即为由两条直线的解析式组成的二元一次方程组的解，即可得出结果． 【详解】解：由图象可知：方程组，即的解是． 3． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 根据两函数的交点坐标即为方程组的解即可得出答案． 【详解】解：∵关于x，y的二元一次方程组的解为， ∴一次函数和图象交点M的坐标为． 故答案为： 4． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组），利用“方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标”解决问题． 【详解】解：∵点为函数与函数的图象的交点， ∴方程组的解为， 故答案为：． 知识点一 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 1． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是求解一次函数的解析式，一次函数与不等式的关系： （1）将代入即可求解； （2）先计算出时x的值，再根据一次函数图象的增减性求解． 【详解】（1）解：直线经过点， ， 解得； （2）解：由（1）得， 令，得， 解得， ， y随x的增大而减小， 当时，， 故答案为：． 2． 【答案】(1)点A坐标为，点B坐标为 (2)见解析 (3) 【分析】（1）当时，，当时，，解方程解答即可； （2）两点确定一条直线，根据A，B两点的坐标画图即可； （3）利用数形结合思想，结合图像与x轴交点的横坐标，解答即可． 本题考查了一次函数的图像画法，与坐标轴的交点求法，一次函数与不等式，熟练掌握解法和不等式解集确定的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，， 故点B的坐标为， 当时，， 解得， 故点A的坐标为． （2）解：根据两点确定一条直线，且，，画图如下： （3）解：由于直线与x轴交于点， 故当时，； ∵， ∴y随x的增大而减小， ∴当时，， 故答案为：． 3． 【答案】(1)，或 (2)的值为，的值． 【分析】本题考查了一次函数的性质，轴对称的性质，一次函数与一元一次不等式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由一次函数的图象过点，得，从而可得点，又点与点关于轴对称，故有点，然后结合图象即可求解； （）求出点，然后通过待定系数法即可求解． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象过点， ∴， ∴直线解析式为， 当时，，解得：， ∴点， ∵点与点关于轴对称， ∴点， ∴结合图象得不等式的解集为，不等式的解集为或， 故答案为：，或； （2）解：由（）得，直线解析式为，点， ∵点的横坐标为， ∴， ∴点， ∴，解得：， ∴的值为，的值． 4． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查一次函数的性质，求函数值， （1）令得；令得，即可得到A，B两点的坐标； （2）根据一次函数的性质解答． 【详解】（1）解：令中，则，解得； 令得， ∴； （2）由图象得当时，． 知识点二 根据两条直线的交点求不等式的解集 1．（ 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了求一元一次不等式的解集，一次函数图象与坐标轴的交点问题，求一次函数解析式，根据两条直线的交点求不等式的解集，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）先把代入，求出，再将点坐标代入求得即可； （2）根据，也就是，结合图象可得结论； （3）根据图象，可以得出不等式的解集． 【详解】（1）解：∵直线：与直线：相交于点， ∴把代入， 得， 解得：， 把代入， 得， 解得：， ∴直线：， 当时，则 ， 解出， ∴； （2）∵直线：，， ∴当时，x的取值范围是； （3）， 即， 根据图象，此时的不等式的解集为． 2． 【答案】(1)，一次函数的解析式是 (2) 【分析】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与一元一次不等式，掌握一次函数的图象和性质解此题的关键． （1）把点C的纵坐标代入，求出m，再把B、C的坐标代入得出方程组，再求出k、b即可； （2）根据函数的图象得出不等式的解集即可． 【详解】（1）解：两函数图象交于点， 把点的纵坐标代入得：， 解得：， 即， 函数经过点，点， ， 解得， 一次函数的解析式是； （2）解：由图象可知关于的不等式的解集是． 3． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，待定系数法求一次函数的解析式，两条直线相交或平行问题，数形结合是解题的关键； （1）利用待定系数法即可求解； （2）根据图象即可求解； （3）先求得直线过点，把点代入，求得，观察图象即可求得在时总有，. 【详解】（1）解：将代入， 得， 解得， ∴. （2）解：由图像可知，当时，正比例函数的图象在一次函数图象的下方， ∴的解集为. （3）解：把代入得， ∴直线过点， 把点代入得， 解得， ∵在时总有， 观察图象可知，. 4． 【答案】(1)一次函数的解析式为，图象见解析 (2)①2② 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的图象和性质，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与一元一次不等式，数形结合是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求得一次函数的解析式，然后画出函数的图象即可； （2）①把点代入一次函数的解析式即可求得； ②根据A点的坐标，结合图象即可求得． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过点和点， ∴， 解得， ∴这个一次函数的解析式为， 画出这个函数图象如图： （2）解：①一次函数的图象与正比例函数的图象交于点， ∴； ②观察图象，关于x的不等式的解集是． 知识点三 求直线围成的图形面积 1． 【答案】(1)， (2) (3)2 (4) 【分析】（1）根据坐标轴上点的特征，代入求解即可； （2）根据一次函数图象与二元一次方程组的关系，联立方程组，求解即可； （3）根据点的坐标，可求线段，再根据点到y轴的距离是横坐标的绝对值，可求出三角形的高，计算即可； （4）根据一次函数与不等式的关系，结合图象可得，当时，． 【详解】（1）解：由图可知，直线与直线分别交y轴于点A、B， 当时，，即； 当时，，即； （2）解：直线与直线交于点C， ，解得， 则； （3）解：，，， ， 则的面积为2； （4）解：如图，当时，． 2． 【答案】(1) (2)3 (3) 【分析】（1）将点代入，求出m，得到，把P、B两点的坐标代入，利用待定系数法即可求出一次函数解析式； （2）根据一次函数的解析式即可求出C点的坐标；根据三角形的面积公式列式即可求出的面积； （3）两函数图象的交点横坐标即为两函数解析式联立得到的一元一次方程的解． 【详解】（1）解：∵正比例函数的图象与一次函数的图象交于点， ∴，∴， ∴ ∵一次函数图象经过点， ∴’ 解得， ∴一次函数解析式是． （2）解：由（1）知一次函数解析式是， 令，得，解得， ∴， ∴， ∵, ∴的面积为：． （3）解：由图象可知，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点， ∴方程的解为， 即方程的解为． 3． 【答案】(1)， (2)3 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，求一次函数解析式，一次函数图象的平移问题，求两个一次函数的交点坐标，熟知一次函数的相关知识是解题的关键． （1）根据题意可得，再利用待定系数法可求出对应的函数解析式，再联立两函数解析式可求出点P的坐标； （2）求出A、B的坐标，再根据三角形面积计算公式求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象由函数的图象向上平移得到， ∴； 点在直线上， ， 解得， 一次函数的解析式为； 联立，解得， 的坐标为． （2）解：在中，令得， ， 在中，令得， ， ， 的面积为． 4． 【答案】(1)； (2)4 【分析】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式； （1）先求得，把，代入，再建立方程组求解即可； （2）先求得点坐标为，结合三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：把代入得，， 解得， ∴， 把，代入得， 解得， 所以一次函数解析式为； （2）解：把代入得， ∴点坐标为， ∴的面积． 1． 【答案】(1) (2)图见解析，性质见解析 (3) 【分析】（1）分类讨论，利用勾股定理求解，当时，根据在上，用的长减去，即可； （2）依据题意画出图象即可得解； （3）找出临界值，结合函数图象，进而求解即可． 【详解】（1）解：在中， ， 点从到需要：秒，点从点到需要：秒， 相遇时为秒， 当时， ， 即； 当时，， 即； 综上，； （2）函数的图象如图， 性质：关于直线对称； 当时，随x增大而增大，当时，随x增大而减小； （3）如图， 当经过时，两个函数有一个交点， ∴ 解得：， 直线向下平移，此时与的函数图象开始有两个交点， 当经过时，两个函数有一个交点， 解得：， 综上，当的函数图象与直线有两个交点时，． 故答案为： 2． 【答案】(1)4； (2)函数的图象见详解 (3)①；②两；③或． 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，熟练掌握该知识点是关键． （1）将代入即可求出值； （2）画出函数图象即可； （3）①根据函数图象，写出的取值范围即可； ②根据函数图象看两个函数的交点个数即可； ③画出一次函数图象，根据图象直接写出不等式的解集即可． 【详解】（1）解：当时，， 故答案为：4 ； （2）解：函数的图象如图所示： （3）解：①由函数图象可知：当时，； 故答案为：； ②由图象可知：函数与直线有两个交点； 则方程有两个解； 故答案为：两； ③如图，画出的图象， 由图象可知不等式的解集为：或． 故答案为：或． 3． 【答案】(1)， (2) (3)存在，或或 【分析】（1）根据非负数的性质求出，的长，再根据点A在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，即可得出点的坐标； （2）分两种情况：当时 ， 当时，根据三角形的面积公式求解即可； （3）分两种情况：①当为边时，②当为对角线时，分别利用平行四边形的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴，， ∴，， ∵点A在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上， ∴，． （2）解：∵， ∴， 当时 ， ， 当时， ， 综上，． （3）解：如图，连接， 由（1）知，，， 由（2）知，， ， 以、、、为顶点的四边形是平行四边形， ①当为边时，，， 或； ②当为对角线时，点向下平移4个单位，再向右平移2个单位， 点向下平移4个单位，再向右平移2个单位得到点的坐标， ， 即：点的坐标为或或． 【点睛】本题考查非负数的性质，坐标与图形，求一次函数解析式，三角形的面积，平行四边形的性质，平移的坐标变换．熟练掌握绝对值与二次根式的非负性，根据三角形的列一次函数解析式，平行四边形的性质是解题的关键．注意分类讨论． 4． 【答案】(1)， (2) (3)①；②或 【分析】（1）先求出点B的坐标，再利用待定系数法求解； （2）先求出两条直线平移后的解析式，再将两个解析式联立，解二元一次方程组即可； （3）先求出点E的坐标，设，，分和两种情况，用含m的式子表示出和，即可求解；当四边形为正方形时，，分和两种情况，分别求出m的值即可． 【详解】（1）解：对于直线， 当时，， ， 将，代入，得： ， 解得， 直线的函数解析式为； （2）解：对于， 当时，， ， 将直线向下平移个单位，所得直线的解析式为：， 将代入，得：， 解得， 直线平移后所得直线的解析式为：； 将直线向下平移个单位，所得直线的解析式为：， 将代入，得：， 解得， 直线平移后所得直线的解析式为：， 将两条平移后直线的解析式联立，得：， 解得， 点的坐标为； （3）解：直线向右平移得到直线， 直线的解析式为：， 将直线与直线的解析式联立，得：， 解得， 点的坐标为． 点的横坐标为，轴， ，， 当时，，， ； 当时，，， ， 综上可知，与的函数关系式为：； 当四边形为正方形时，， 当时，， 解得； 当时，， 解得； 综上所述，m的值为或． 【点睛】本题考查两条直线的交点问题，一次函数图象的平移，求一次函数解析式，正方形的性质等，注意分情况讨论是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $