专题04 矩形（期末真题汇编，江苏专用）八年级数学下学期

**基本信息** 江苏多地八年级下期末矩形专题真题汇编，涵盖性质应用、折叠问题、判定及综合四大考点，以地域真题为载体，梯度设计适配期末复习。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择|约15题|矩形旋转（宿迁）、对角线计算（镇江）|基础巩固，紧扣性质与判定核心| |填空|约10题|动点最小值（南通）、折叠线段范围（镇江）|能力提升，结合动态几何与最值| |解答|约10题|折叠与旋转综合（淮安）、等距四边形新定义（南京）|创新应用，融合探究与跨知识综合|

专题04 矩形 4大高频考点概览 考点01 利用矩形的性质求解 考点02 矩形的折叠问题 考点03 矩形的判定 考点04 矩形的性质与判定综合问题 ( 江苏江苏 考点0 5 考点01 利用矩形的性质求解 ) 1．（24-25八年级下·江苏南通·期末）如图，在矩形中，，，点为边上的一点，且满足，为射线上一动点，以，为邻边作平行四边形，连接，则的最小值是(　　) A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）如图，已知矩形中，，，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，点在线段上，与相交于点，则下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）如图，矩形的对角线、相交于点，，，则的长为（    ） A．11 B．10 C．9 D．8 4．（24-25八年级下·江苏南通·期末）如图，在矩形中，，，是对角线上两点，，过点，分别作的垂线，与边分别交于点，．若，，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）如图，矩形中，，点E是边上的动点，点F在边上，．连接，则的最小值为__． 6．（24-25八年级下·江苏南通·期末）如图，矩形的两条对角线交于点，且，，则矩形的对角线长为 ． 7．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）如图，出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一，如图，在矩形中，，，对角线与交于点O，点E为边上的一个动点，，，垂足分别为点F，G，则_______． 8．（24-25八年级下·江苏南通·期末）如图，矩形的四个顶点恰好落在正方形的四条边上，且与正方形的对角线平行，若，则矩形的周长等于______． 9．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）如图，矩形的两条对角线的夹角，较短边，则另一边的长为________． 10．（24-25八年级下·江苏无锡·期末）矩形中，，，动点从点出发，以的速度沿匀速运动；同时动点从点出发，以的速度沿向点匀速运动，当点运动至终点时，整个运动停止．设运动时间为．若动点所在的直线平分矩形的面积，则的值为______． 11．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）如图，在矩形中，点E在上，且平分．若，则_________． 12．（24-25八年级下·江苏常州·期末）将和按图1方式摆放，点与点重合，点与点重合，其中，，．现固定，将沿射线方向平移，连接，如图2．在平移过程中，当四边形是轴对称图形时，的长是__________． 13．（24-25八年级下·江苏南京·期末）如图，在矩形中，，，点在边上，且，为边上的一个动点，连接，以为边作等边，且点在矩形内，连接，则的最小值为______． 14．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）以矩形对角线上两点，为对角线作菱形，点，分别落在矩形边，上．若，，则的长为________． 15．（24-25八年级下·江苏连云港·期末）如图，矩形的对角线、相交于点．若，则四边形的周长为（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 ( 江苏 考点0 2 矩形的折叠问题 ) 1．（24-25八年级下·江苏连云港·期末）如图，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，将纸片展平，再次折叠纸片，使点落在上的点处，并使折痕经过点，得到折痕，再展平纸片，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）如图，在一张矩形纸片中，，，点E，F分别在，上，将沿直线折叠，点C落在上的点H处，点D落在点G处．设线段的长度为m，则m的取值范围是_________． 3．（24-25八年级下·江苏徐州·期末）如图，已知点、分别在矩形纸片的边、上，连接，将矩形纸片沿折叠，若点恰好落在点处，与相交于点，连接、． (1)判断四边形的形状，并证明你的结论； (2)若，，求折痕的长． 4．（24-25八年级下·江苏淮安·期末）综合与实践：数学老师带领学生探究矩形的旋转，同学们用矩形纸片操作实践并探索发现．如图1，四边形是一张矩形纸片，．先将边向上翻折，使与重合，折痕为（如图2），沿裁开得到两个矩形．矩形保持不动，将矩形绕点逆时针旋转，点的对应点为． （1）如图3，小聪将矩形的顶点旋转至边上，连接交于点． ①则的长为______； ②求证：． （2）如图4，小明继续旋转矩形，他发现，当点落在的延长线上时，点C、A、在同一条直线上，小明的发现正确吗？请说明理由； （3）如图5，小红在小明的基础上继续探究，连接交于点，延长交的延长线与点，小红说她可以计算出的长，则______． 5．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）综合与实践课中，小林同学以矩形中的对称性主题开展了研究性学习．已知在矩形中，点在对角线上，点在线段上，连接． 【问题探究】 当点、关于直线对称时． （1）如图1，当点落在线段上，且，则与满足的数量关系为______ （2）如图2，当点落在线段上． ①若，，且点恰好为的中点时，则______； ②当时，求证：四边形为菱形； （3）如图3，点落在延长线上时，平分，若，，则______； 【变式探究】 （4）小明同学也加入了此研究性学习，他将沿翻折得到，当点落在线段上时，若，则______ 6．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）如图，在矩形纸片中，，，点E，F分别在边上，且．将该纸片沿折叠，点A，B分别落在点G，H处，与边相交于点M，连接． (1)面积的最小值为______； (2)求证：； (3)若是以为腰的等腰三角形，求的长． 7．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）数学活动课上，同学们开展了以“矩形纸片折叠”为主题的探究活动．如图，四边形为矩形，将矩形沿着过点的直线翻折，交于点，点的对应点为点． (1)如图1，当点F正好落在对角线和的交点O处时，试探究与之间的数量关系，并说明理由； (2)如图2，若点是的中点，点落在矩形的内部时，延长交边于点．若，请探究之间的数量关系，并说明理由； (3)已知，，折痕与边交于点E，当是直角三角形时，求线段的长． ( 江苏 考点0 3 矩形的判定 ) 1．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）如图，四边形是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，则下列结论正确的是（　　） A．当时，它是矩形 B．当时，它是正方形 C．当时，它是矩形 D．当时，它是菱形 2．（24-25八年级下·江苏南京·期末）根据图中数据，下列选项中是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）已知四边形是平行四边形，下列结论中错误的是（   ） A．当时，平行四边形是菱形 B．当时，平行四边形是菱形 C．当时，平行四边形是矩形 D．当时，平行四边形是正方形 4．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）如图，已知是平行四边形的对角线，且于点C，延长至点E，使得，连接交于点O，连接．求证：四边形是矩形． 5．（24-25八年级下·江苏盐城·期末）在中，点E为中点，连接，． (1)如图1，当时，下列说法正确的是________．（填序号） ①；②；③平分 (2)如图2，当时，求证：是矩形； (3)如图3，当且时，求的长及的度数． 6．（24-25八年级下·江苏常州·期末）已知：如图，在四边形中，，是对角线的中点，过点的直线分别交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若__________，求证：_____．现有以下三个信息：①；②；③．从中选取两个信息，分别填入横线（填序号），并写出证明过程． 7．（24-25八年级下·江苏南通·期末）已知四边形为菱形，是射线上的一个动点，．连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，旋转角． (1)如图1，若点在线段上，连接，求证； (2)如图2，若，点恰好在边的延长线上，求的长（用含的式子表示）； (3)若，△为直角三角形，以△的两直角边为邻边构造矩形，矩形的另一个顶点为，连接，直接写出的值． ( 江苏 考点0 4 矩形的 性质与 判定 综合问题 ) 1．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）如图，点是矩形的对角线上一点，过点作分别交，于点、，连接，．若，，，则______． 2．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）如图，矩形中，，，点为对角线上一动点（不与、重合），于点，于点，则线段长的最小值为_________． 3．（24-25八年级下·江苏南通·期末）综合与实践： 矩形中，点E在射线上，连接，过点O作，交直线于点F，连接． 【特例探究】（1）如图1，当E是线段中点时，，，则的长为______； 【一般情形】（2）当点E在线段的延长线上时，依题意补全图2，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明； 【拓展运用】（3）如图（3），中，，点D在的延长线上，点E在的延长线上，连接，F是的中点，连接，若，且，求的最小值． 4．（24-25八年级下·江苏南京·期末）定义：如果四边形的一条对角线的中点到另外两个顶点的距离都等于这条对角线长的一半，那么我们称这样的四边形为“等距四边形”． (1)在下列图形中：①平行四边形、②矩形、③菱形，一定是“等距四边形”的是______；（填序号） (2)如图1，在菱形中，，，于点，点是菱形边上的一点，顺次连接、、、，若四边形为“等距四边形”，求线段的长； (3)如图2，在等边中，，点是内任意一点，在、、上是否分别存在点，使得这些点与点的连线将恰好分割成三个“等距四边形”，若存在，请直接写出这三个“等距四边形”的周长和，若不存在，请说明理由． 5．（24-25八年级下·江苏南京·期末）如图①，在四边形的四边上依次取点E，F，G，H（不与顶点重合），若四边形是正方形，则称正方形是四边形的内接正方形． (1)如图②，四边形是正方形，．求证：四边形是四边形的内接正方形． (2)如图③，四边形是平行四边形． （Ⅰ）求作的内接正方形； 要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． （Ⅱ）若，，，则内接正方形的边长为______． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 矩形 4大高频考点概览 考点01 利用矩形的性质求解 考点02 矩形的折叠问题 考点03 矩形的判定 考点04 矩形的性质与判定综合问题 ( 江苏江苏 考点0 5 考点01 利用矩形的性质求解 ) 1．（24-25八年级下·江苏南通·期末）如图，在矩形中，，，点为边上的一点，且满足，为射线上一动点，以，为邻边作平行四边形，连接，则的最小值是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、平行四边形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．延长到点， 使，作直线，得出四边形为平行四边形，则在平行的直线上运动，当时，最小，进而根据已知，结合含度角的直角三角形的性质，勾股定理，即可求解． 【详解】解：延长到点， 使，作直线，如图： 四边形为平行四边形， ， ∴， 四边形为平行四边形， 在平行于的直线上运动， 当时，最小， ， 四边形为平行四边形，， ， ， ， ， ， ， ∴的最小值是． 故选：D． 2．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）如图，已知矩形中，，，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，点在线段上，与相交于点，则下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查旋转的性质，矩形的判定与性质以及勾股定理，过点作于点，连接，根据勾股定理求得，根据旋转可得，进而根据三线合一以及勾股定理求得，进而求得即可判断A选项，在中，勾股定理求得，即可判断B选项，证明，进而证明，设，则，在中，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，连接， ∵矩形中，，， ∴，，， ∴ ∵旋转， ∴ ∵ ∴， ∵ ∴ 在中， ∴，故A正确 ∵， 在中， ∴，故B正确， ∵将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，点在线段上，与相交于点， ∴， ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 设，则 在中， ∴ 解得： ∴，则，故C正确，D错误 故选：D． 3．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）如图，矩形的对角线、相交于点，，，则的长为（    ） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】D 【分析】本题考查矩形的性质，等边三角形的判定和性质，先证是等边三角形，推出，再结合矩形的性质即可求解． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 故选：D． 4．（24-25八年级下·江苏南通·期末）如图，在矩形中，，，是对角线上两点，，过点，分别作的垂线，与边分别交于点，．若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质、勾股定理以及全等三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线是解决此题的关键．延长，交于点，过点作于点，得，，再根据全等三角形的判定与性质得，求出的长，最后由勾股定理可得结论． 【详解】解：延长，交于点，过点作于点， ， 四边形是矩形， ，， 四边形是矩形， ，， ∥， ， ，， ， ， 在和中， ， ，， ， ， ， ， 故选：B． 5．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）如图，矩形中，，点E是边上的动点，点F在边上，．连接，则的最小值为__． 【答案】 【分析】在上取点，使得，连接，过点作于点，作点关于的对称点，连接，首先证明，由全等三角形的性质可得，再由轴对称的性质可得，易知，当点三点共线时，取最小值，即取最小值，然后证明四边形为矩形，结合矩形的性质以及勾股定理解得的值，即可获得答案． 【详解】解：如下图，在上取点，使得，连接，过点作于点，作点关于的对称点，连接， ∵四边形为矩形，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点与点关于对称， ∴，， ∴， 当点三点共线时，取最小值，即取最小值， 此时∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴此时，即的最小值为． 6．（24-25八年级下·江苏南通·期末）如图，矩形的两条对角线交于点，且，，则矩形的对角线长为__． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，熟练运用矩形的性质解决问题是本题的关键． 根据矩形的性质可证△是等边三角形，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， ，， ， 且， △是等边三角形 ， ， ， ， ， 矩形的对角线长为， 故答案为：． 7．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）如图，出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一，如图，在矩形中，，，对角线与交于点O，点E为边上的一个动点，，，垂足分别为点F，G，则_______． 【答案】 【分析】此题考查了矩形的性质、勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 连接，根据矩形的性质得到，，，根据勾股定理得到，求得，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：连接， 四边形是矩形， ，，， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 8．（24-25八年级下·江苏南通·期末）如图，矩形的四个顶点恰好落在正方形的四条边上，且与正方形的对角线平行，若，则矩形的周长等于______． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形和矩形的性质，设，则，证明是等腰直角三角形得，，再证明是等腰直角三角形得，由此即可得出矩形的周长． 【详解】解：设， ∵四边形是正方形，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由勾股定理得：， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴矩形的周长为：． 故答案为：． 9．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）如图，矩形的两条对角线的夹角，较短边，则另一边的长为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质．根据矩形的性质，可得，再结合，可得是等边三角形，从而得到，再利用勾股定理解答即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 10．（24-25八年级下·江苏无锡·期末）矩形中，，，动点从点出发，以的速度沿匀速运动；同时动点从点出发，以的速度沿向点匀速运动，当点运动至终点时，整个运动停止．设运动时间为．若动点所在的直线平分矩形的面积，则的值为______． 【答案】或或 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，要使点所在的直线平分矩形的面积，则需所在的直线经过点，则分当在上时，当与重合时，当与重合，与重合时三种情况分析即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：要使点所在的直线平分矩形的面积，则需所在的直线经过点， 当在上时， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由题意得：，， ∴， ∴，解得：； 当与重合时，如图， ∵四边形是矩形， ∴，，，， 由勾股定理得：， ∴， ∴运动时间； 当与重合，与重合时，如图， ∵四边形是矩形， ∴，，， 由勾股定理得：， ∴运动时间； 综上可得：的值为或或， 故答案为：或或． 11．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）如图，在矩形中，点E在上，且平分．若，则_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理．根据矩形的性质以及角平分线的定义可得，从而得到，再证得是等腰直角三角形，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 12．（24-25八年级下·江苏常州·期末）将和按图1方式摆放，点与点重合，点与点重合，其中，，．现固定，将沿射线方向平移，连接，如图2．在平移过程中，当四边形是轴对称图形时，的长是__________． 【答案】6或 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，菱形的性质，平移的性质，矩形的性质，勾股定理，正确判断出当四边形是轴对称图形时，四边形是菱形或矩形是解题的关键． 根据题意判断出当四边形是轴对称图形时，四边形是菱形或矩形，再分类求解，即可解答． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 由平移的性质得，点A，F，C，D共线， ∴， ∴四边形始终是平行四边形， ∴当四边形是轴对称图形时，四边形是菱形或矩形． ①当四边形是菱形时，此时点重合，如图 ∴． ②当四边形是矩形时，如图 ∴， 设， ∵，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得． ∴ 故答案为：6或． 13．（24-25八年级下·江苏南京·期末）如图，在矩形中，，，点在边上，且，为边上的一个动点，连接，以为边作等边，且点在矩形内，连接，则的最小值为______． 【答案】 【分析】以为边作等边三角形，过点H作于N，于M，可证四边形是矩形，可证，由“”可证，可得，当时，有最小值，即有最小值，即可求解． 【详解】解：如图，以为边作等边三角形，过点H作于N，于M， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵是等边三角形，， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴当时，有最小值，即有最小值， ∴点F与点M重合时，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 14．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）以矩形对角线上两点，为对角线作菱形，点，分别落在矩形边，上．若，，则的长为________． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理，连接，交于点，连接，先证明，进而推出四边形为菱形，在中，勾股定理求出的长，在中，勾股定理求出的长，进而求出的长，在中，勾股定理求出的长，在中，勾股定理求出的长，再利用线段的和差关系求出的长即可． 【详解】解：连接，交于点，连接， ∵菱形， ∴，，，， ∴即： ∵矩形， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形， ∴，， ∵，， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 在中，， ∴， ∴； 故答案为：． 15．（24-25八年级下·江苏连云港·期末）如图，矩形的对角线、相交于点．若，则四边形的周长为（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，以及矩形的性质，证明四边形是菱形是解题的关键． 先证明四边形是平行四边形，再根据矩形的性质得出，然后证明四边形是菱形，即可求出周长． 【详解】解：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∴四边形的周长； 故选B． ( 江苏 考点0 2 矩形的折叠问题 ) 1．（24-25八年级下·江苏连云港·期末）如图，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，将纸片展平，再次折叠纸片，使点落在上的点处，并使折痕经过点，得到折痕，再展平纸片，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了翻折变换的性质以及矩形的性质，正确得出是解题的关键．直接利用翻折变换的性质以及直角三角形的性质得出，再利用矩形的性质得出，进而得出答案． 【详解】解：如图所示，令与的交点为， 由第二次折叠可得：，， 由第一次折叠可得：，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A 2．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）如图，在一张矩形纸片中，，，点E，F分别在，上，将沿直线折叠，点C落在上的点H处，点D落在点G处．设线段的长度为m，则m的取值范围是_________． 【答案】 【分析】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，正方形的性质，当点H与点A重合时，有最小值，由勾股定理可求的最小值，若点与点重合时，有最大值，由正方形的性质可求的最大值． 【详解】解：当点H与点A重合时，有最小值， ，则， 在中，， 即， 解得， ∴， 若点与点重合时，有最大值， ∴四边形是正方形， ∴， ∴最大值为4， ∴， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·江苏徐州·期末）如图，已知点、分别在矩形纸片的边、上，连接，将矩形纸片沿折叠，若点恰好落在点处，与相交于点，连接、． (1)判断四边形的形状，并证明你的结论； (2)若，，求折痕的长． 【答案】(1)四边形为菱形，证明见解析 (2) 【分析】（）利用折叠的和矩形的性质证明，推导出四边形是平行四边形，再根据即可求证； （）设，在中，由勾股定理求，在中，由勾股定理求出，再利用菱形面积求出即可． 【详解】（1）解：四边形为菱形． 证明：由折叠得，，， ∵四边形是矩形， ， ，， ， ， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形为菱形； （2）解：∵平行四边形为菱形， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得，， 在中，由勾股定理得，， 即， 解得， ∵， ∴， 解得， ∴折痕的长为． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，掌握折叠的性质、菱形的判定和性质是解题的关键． 4．（24-25八年级下·江苏淮安·期末）综合与实践：数学老师带领学生探究矩形的旋转，同学们用矩形纸片操作实践并探索发现．如图1，四边形是一张矩形纸片，．先将边向上翻折，使与重合，折痕为（如图2），沿裁开得到两个矩形．矩形保持不动，将矩形绕点逆时针旋转，点的对应点为． （1）如图3，小聪将矩形的顶点旋转至边上，连接交于点． ①则的长为______； ②求证：． （2）如图4，小明继续旋转矩形，他发现，当点落在的延长线上时，点C、A、在同一条直线上，小明的发现正确吗？请说明理由； （3）如图5，小红在小明的基础上继续探究，连接交于点，延长交的延长线与点，小红说她可以计算出的长，则______． 【答案】（1）①2；②见解析；（2）小明的发现正确，理由见解析；（3） 【分析】（1）①先由折叠得：，，由勾股定理得，可得的长； ②连接，过点F作于点G，利用面积法可得，证明，可得结论； （2）如图4，连接，由折叠得：四边形和四边形是全等的矩形，先证明，则，，再证明四边形是平行四边形，，即可解答； （3）如图5，连接，先证明，由面积法可得，设，根据勾股定理列方程即可解答． 【详解】（1）①解：∵四边形是矩形， ∴， 由图1和图2可得：，， ∴， ∴； 故答案为：2； ②证明：如图3，连接，过点F作于点G， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：小明的发现正确，理由如下： 如图4，连接， 由折叠得：四边形和四边形是全等的矩形， ∴，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴C，A，B三点共线； （3）解：如图5，连接， 由（2）知：C，A，B三点共线， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查四边形的综合应用，涉及了矩形的性质，折叠的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 5．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）综合与实践课中，小林同学以矩形中的对称性主题开展了研究性学习．已知在矩形中，点在对角线上，点在线段上，连接． 【问题探究】 当点、关于直线对称时． （1）如图1，当点落在线段上，且，则与满足的数量关系为______ （2）如图2，当点落在线段上． ①若，，且点恰好为的中点时，则______； ②当时，求证：四边形为菱形； （3）如图3，点落在延长线上时，平分，若，，则______； 【变式探究】 （4）小明同学也加入了此研究性学习，他将沿翻折得到，当点落在线段上时，若，则______ 【答案】（1）（2）①；②见解析；（3）；（4）． 【分析】（1）可得，由折叠知，得； （2）①由中点定义得,由折叠知，得，由，得，解得；②可得，得，可得，得,得四边形是平行四边形，由，得是菱形； （3）由折叠知，，可得，，得，得，由，得，可得，即得; （4）由，得，可得，得,设，得，由，得，解得，即得． 【详解】解（1）∵点落在线段上，且， ∴， 由折叠知， ∴， ∴， 故答案为：； （2）①∵，点恰好为的中点， ∴， 由折叠知，， ∵， ∴， ∵矩形中，， ∴， ∴， 解得； 故答案为：； ②当时，∵， ∴， ∴， 由折叠知，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是菱形； （3）由折叠知，， ∵平分， ∴， ∵矩形中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为： （4）∵矩形中，， ∴， 由折叠知，， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形折叠．熟练掌握矩形的性质，折叠的性质，等腰三角形的判定与性质，平行四边形的判定和性质，菱形判定，勾股定理，为解题的关键． 6．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）如图，在矩形纸片中，，，点E，F分别在边上，且．将该纸片沿折叠，点A，B分别落在点G，H处，与边相交于点M，连接． (1)面积的最小值为______； (2)求证：； (3)若是以为腰的等腰三角形，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3)的长为或． 【分析】本题考查了等腰三角形性质，矩形性质和判定，折叠的性质，解题的关键在于利用分类讨论的思想解决问题． （1）过点作于点，证明四边形为矩形，得到，利用折叠和等腰三角形性质得到，根据的面积，推出当最小时，即， 时，的面积最小，即可解题； （2）由（1）知，，，由折叠的性质可知，，结合线段的和差关系，即可解题； （3）根据是以为腰的等腰三角形，分两种情况①当时，，②当时，结合等腰三角形性质，矩形性质和判定求解，即可解题． 【详解】（1）解：过点作于点， ， 矩形纸片中，，，， 四边形为矩形，， ， ， 由折叠的性质可知，， ， ， 的面积， 当最小时，的面积最小， 即， 时，的面积最小值为； 故答案为：； （2）证明：由（1）知，，， 由折叠的性质可知，， ， 又，， ； （3）解：是以为腰的等腰三角形， ①当时，， 由（1）知，， 重合， 由折叠的性质可知，， 则， ， ， 重合， 设，则， ，， ， 解得； ②当时， 由折叠的性质可知，， ， 过点作于点， ， 四边形为矩形， ， ， ； 综上所述，的长为或． 7．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）数学活动课上，同学们开展了以“矩形纸片折叠”为主题的探究活动．如图，四边形为矩形，将矩形沿着过点的直线翻折，交于点，点的对应点为点． (1)如图1，当点F正好落在对角线和的交点O处时，试探究与之间的数量关系，并说明理由； (2)如图2，若点是的中点，点落在矩形的内部时，延长交边于点．若，请探究之间的数量关系，并说明理由； (3)已知，，折痕与边交于点E，当是直角三角形时，求线段的长． 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 (3) 【分析】本题是四边形综合题，考查矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据矩形的性质和折叠的性质证明是等边三角形，在中，设为a，则，利用勾股定理即可得解； （2）连接，证明得到，求出，设，则，求出，即可得解； （3）设，在中，利用勾股定理求解即可得出答案． 【详解】（1）解：，理由如下， 四边形是矩形， ，，，， ， 由折叠的性质可得：，，， ， 是等边三角形， ， ，， 在中，设OE为a，则， ， ， ， ∴； （2）解：如图，连接， ， ∵点是的中点， ∴， 由折叠的性质可得：，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 由折叠可得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴； （3）解：是直角三角形，如图， ， ∵四边形是矩形， ∴，，， 设，由折叠可得：，，， ∴，， ∴，， 在中，根据勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴． ( 江苏 考点0 3 矩形的判定 ) 1．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）如图，四边形是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，则下列结论正确的是（　　） A．当时，它是矩形 B．当时，它是正方形 C．当时，它是矩形 D．当时，它是菱形 【答案】A 【分析】本题考查了特殊四边形的判定方法，根据矩形、菱形、正方形的判定方法逐项分析即可． 【详解】解：A、∵四边形是平行四边形， ∴当时，平行四边形是矩形，故符合题意； B、∵四边形是平行四边形， ∴当时，平行四边形是矩形，故不符合题意； C、∵四边形是平行四边形， ∴当时，平行四边是菱形，故不符合题意； D、∵四边形是平行四边形， ∴当时，平行四边形是矩形，故不符合题意； 故选：A． 2．（24-25八年级下·江苏南京·期末）根据图中数据，下列选项中是平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是平行线的判定，平行线之间的距离的含义，平行四边形的判定，矩形的判定，根据平行四边形的判定方法逐一分析即可. 【详解】解：由一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，故A不符合题意； 如图， ∵，即，， ∴，且之间的距离为， ∴， ∴， ∴四边形是矩形，也是平行四边形，故B符合题意； 选项C不能判定四边形是平行四边形，故C不符合题意； 选项D也只有一组对边平行，不能判定四边形是平行四边形，故D不符合题意； 故选：B 3．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）已知四边形是平行四边形，下列结论中错误的是（   ） A．当时，平行四边形是菱形 B．当时，平行四边形是菱形 C．当时，平行四边形是矩形 D．当时，平行四边形是正方形 【答案】D 【分析】本题主要考查了菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定，熟练掌握各种特殊的平行四边形的判定方法是解题关键． 根据菱形、矩形、正方形的判定条件逐一分析选项即可． 【详解】解：如图，    A. 当时，平行四边形邻边相等，符合菱形的定义，即有一组邻边相等的平行四边形是菱形，此选项正确； B. 当时，平行四边形的对角线互相垂直，符合菱形的判定，即对角线垂直的平行四边形是菱形，此选项正确； C. 当时，平行四边形的对角线相等，符合矩形的判定，即对角线相等的平行四边形是矩形，此选项正确； D. 当时，平行四边形有一个角为直角，仅能判定为矩形，判定为正方形需同时满足邻边相等且一个角为直角，或对角线相等且垂直，此处条件不足，此选项错误，但符合题意． 故选：D． 4．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）如图，已知是平行四边形的对角线，且于点C，延长至点E，使得，连接交于点O，连接．求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行四边形的性质，矩形的判定，根据平行四边形的性质得到，，根据等量代换得到，，再根据，即可证明结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，， ∴四边形是平行四边形； 又∵， ∴， ∴四边形是矩形． 5．（24-25八年级下·江苏盐城·期末）在中，点E为中点，连接，． (1)如图1，当时，下列说法正确的是________．（填序号） ①；②；③平分 (2)如图2，当时，求证：是矩形； (3)如图3，当且时，求的长及的度数． 【答案】(1)①③ (2)见解析 (3)， 【分析】（1）取的中点，连接，证明四边形是菱形，，即可得到结论； （2）延长交于点F，证明，则．得到，则，再证明，即可得到结论； （3）延长交于点F，过点F作交延长线于点H，连接．证明，得到，则，求出，得到，得到°． 【详解】（1）解：取的中点，连接， 当时， ， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点E为中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形是菱形， ∴， ∴, ∴，即平分， 故①③正确； 无法证明；故②错误， 故答案为：①③ （2）延长交于点F， 在中，， ∴． ∵点E为中点， ∴． 在和中， ∴， ∴． 在中，， 即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴即， ∴是矩形． （3）延长交于点F，过点F作交延长线于点H，连接． 由（2）可得． ∵， ∴，， ∴． 在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 在中，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴°． 综上，． 【点睛】此题考查了菱形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、直角三角形的性质、矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关判定和性质是关键． 6．（24-25八年级下·江苏常州·期末）已知：如图，在四边形中，，是对角线的中点，过点的直线分别交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若__________，求证：_____．现有以下三个信息：①；②；③．从中选取两个信息，分别填入横线（填序号），并写出证明过程． 【答案】(1)证明见解析 (2)①，③或③，①，证明见解析 【分析】（）证明，得到，进而即可求证； （）根据矩形的判定和性质求证即可； 本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，矩形的判定和性质，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）证明： ∵， ∴，    ∵点是的中点， ∴ ， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：若①，求证：③．     证明：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形 ，                               ∴， 故答案为：①，③； 若③，求证：①． 证明：∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形 ，      ∴， ∴， 故答案为：③，①． 7．（24-25八年级下·江苏南通·期末）已知四边形为菱形，是射线上的一个动点，．连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，旋转角． (1)如图1，若点在线段上，连接，求证； (2)如图2，若，点恰好在边的延长线上，求的长（用含的式子表示）； (3)若，△为直角三角形，以△的两直角边为邻边构造矩形，矩形的另一个顶点为，连接，直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】（1）根据菱形的性质以及旋转的性质证明△和△全等即可； （2）根据（1）以及角直角三角形三边的关系求解即可； （3）根据直角的不同分类讨论，根据角三角形三边关系以及全等三角形，先求出和的数量关系，然后根据勾股定理求解，即可得到和的比值． 【详解】（1）证明：四边形为菱形， ，， ， ， ， 由旋转的性质可知，， 在△和△中， ， ， ； （2）解：如图： ，四边形为菱形， ，， ，， 又， ， ∴， ， 同理可得，， ，，， ，，； （3）解：①当时，如图： ，， ， ， ， ∴， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ； ②当时，如图： 同理可得，， ， ， 延长交于， ， △为等边三角形， ， ， ， 在线段上， ， △不存在， 故不符合题意； ③当时，连接延长交于，如图： 设， ， ， ， 在上截取， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 四边形为菱形， ，， 四边形为矩形， ， ， 四边形为矩形， ，，， ，， ， ； 综上所述，或． ( 江苏 考点0 4 矩形的 性质与 判定 综合问题 ) 1．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）如图，点是矩形的对角线上一点，过点作分别交，于点、，连接，．若，，，则______． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．过点作于，交于，得出四边形、四边形、四边形、四边形都是矩形，根据矩形的性质得出，，，推得，根据矩形的面积公式即可求解． 【详解】解：过点作于，交于，如图， 则四边形、四边形、四边形、四边形都是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵，，， 故， 解得， 故答案为：． 2．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）如图，矩形中，，，点为对角线上一动点（不与、重合），于点，于点，则线段长的最小值为_________． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短，连接，由矩形的性质和勾股定理得，再证四边形为矩形，得，当时，取得最小值，然后由面积法求出的长，即可得出结论． 【详解】解：连接，如图所示： 四边形是矩形， ， ， 于点，于点， ， 四边形为矩形， ， 当时，取得最小值，即此时取值最小值， ∴此时 ∴， 的最小值为， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·江苏南通·期末）综合与实践： 矩形中，点E在射线上，连接，过点O作，交直线于点F，连接． 【特例探究】（1）如图1，当E是线段中点时，，，则的长为______； 【一般情形】（2）当点E在线段的延长线上时，依题意补全图2，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明； 【拓展运用】（3）如图（3），中，，点D在的延长线上，点E在的延长线上，连接，F是的中点，连接，若，且，求的最小值． 【答案】（1）5；（2）；证明见解析；（3）的最小值为2 【分析】（1）根据矩形的性质得出，，根据等腰三角形的性质得出，，证明四边形为矩形，得出，根据等腰三角形的性质得出，最后根据勾股定理求出结果即可； （2）延长，交于点G，连接，根据矩形的性质得出，，，证明，得出，，证明，得出，根据勾股定理即可得出答案； （3）过点A作，过点B作，与交于点G，连接交于点O，连接，并延长交的延长线于点H，连接，，证明四边形为矩形，得出，，，，证明，得出，，证明，得出，求出，根据直角三角形性质得出，根据三角形三边关系可得，且当、A、F三点共线时，等号成立，求出，即可得出答案． 【详解】解：（1）∵四边形为矩形， ∴， ， ∵E是线段中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， 根据勾股定理得：； （2）；理由如下： 延长，交于点G，连接，如图所示： ∵四边形为矩形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴，， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴根据勾股定理得：， 即． （3）过点A作，过点B作，与交于点G，连接交于点O，连接，并延长交的延长线于点H，连接，，如图所示： 则， ∴四边形为矩形， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴根据勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点F为的中点， ∴， ∵，且当、A、F三点共线时，等号成立， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为2． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，三角形三边关系应用，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 4．（24-25八年级下·江苏南京·期末）定义：如果四边形的一条对角线的中点到另外两个顶点的距离都等于这条对角线长的一半，那么我们称这样的四边形为“等距四边形”． (1)在下列图形中：①平行四边形、②矩形、③菱形，一定是“等距四边形”的是______；（填序号） (2)如图1，在菱形中，，，于点，点是菱形边上的一点，顺次连接、、、，若四边形为“等距四边形”，求线段的长； (3)如图2，在等边中，，点是内任意一点，在、、上是否分别存在点，使得这些点与点的连线将恰好分割成三个“等距四边形”，若存在，请直接写出这三个“等距四边形”的周长和，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)② (2)或 (3)存在，周长和为 【分析】（1）根据等距四边形的定义即可得出结论； （2）根据等距四边形的定义，分两种情况，利用菱形的性质和含30度的直角三角形，即可得出结论； （3）先判断出四边形，四边形，四边形是等距四边形，再利用三角形的面积求出，即可得出结论． 【详解】（1）解：①平行四边形对角线互相平分，一条对角线的中点到另外两个顶点的距离不等于另一条对角线长的一半，不符合题意； ②矩形的对角线相等且互相平分，一条对角线的中点到另外两个顶点的距离等于这条对角线的一半，符合题意； ③菱形的对角线互相平分，对角线不一定相等，因此一条对角线的中点到另外两个顶点的距离不等于另一条对角线的一半，不符合题意； 故答案为：②； （2）解：根据等距四边形的定义， 当点在上且时，四边形是等距四边形，如图1， 取的中点，连接，，， ，， ， ， 四边形是等距四边形， 在菱形中，，，， ，， ， ， 根据菱形的对称性得，， 是等边三角形， 在中，， ， 根据勾股定理得，， ， 当点在上且时，四边形是等距四边形，如图2， 连接，，交于点， ，， ， ， ， ， 四边形是矩形， ，在菱形中，，， ， ； （3）解：存在； 过点分别作于，于，于，连接、、如图3， 同（2）的方法得，四边形，四边形，四边形是等距四边形，过点作于， 在中，，， ， ， 根据勾股定理得，， ， ， ， ， 四边形，四边形，四边形的周长的和为． 【点睛】本题考查了新定义，菱形判定和性质，矩形的判定和性质，等边三角形的判定的性质，三角形的面积公式，理解和运用新定义是解本题的关键． 5．（24-25八年级下·江苏南京·期末）如图①，在四边形的四边上依次取点E，F，G，H（不与顶点重合），若四边形是正方形，则称正方形是四边形的内接正方形． (1)如图②，四边形是正方形，．求证：四边形是四边形的内接正方形． (2)如图③，四边形是平行四边形． （Ⅰ）求作的内接正方形； 要求：①用直尺和圆规作图；②保留作图的痕迹，写出必要的文字说明． （Ⅱ）若，，，则内接正方形的边长为______． 【答案】(1)详见解析 (2)（Ⅰ）图见解析（答案不唯一）；（Ⅱ） 【分析】（1）利用正方形性质证明，同理，可得，推出四边形是菱形，再利用全等三角形性质推出，即可证明四边形是四边形的内接正方形． （2）（Ⅰ）利用正方形判定定理，以及全等三角形性质和判定作图即可； （Ⅱ）根据题意证明，得到，，设，连接，过点作于点，证明四边形为矩形，进而证明四边形为矩形，结合勾股定理，以及等腰三角形性质求出，进而得到，，再根据建立方程求出，最后结合勾股定理即可解题。 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，． ， ，即． ， ． 同理，可得， 四边形是菱形． ， ． 在中，， ， ， 菱形是正方形， 即四边形是四边形的内接正方形． （2）解：（Ⅰ）如图③，正方形即为所求． 方法一：                                            方法二：                  文字说明： 方法一：1．连接，交于点O；构造与共中心的正方形，顶点分别在直线，上，，分别与，交于点E，G； 2．在，上分别截取F，H，使，； 3．连接，，，即为正方形． 方法二：1．连接，交于点O； 2．过O作，垂足为P； 3．过O作，且； 4．过Q作，交于点E； 5．在上截取； 6．连接，并延长，分别交，于点G，F，连接，，，．（方法不唯一，也可在上适当位置取点P，作图依次按，，，确定点E，H后，作出正方形即可．） （Ⅱ）解：的内接正方形为， ，， ， ， ， ，， 由作图过程可知，， 设， 连接，过点作于点， ， 四边形为矩形， ， 四边形为矩形， ，，， ， 即， 解得， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，解得， 则正方形边长为． 故答案为：． 1 / 57 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $