河南南阳市方城县第一高级中学2026年普通高等学校招生全国统一考试临考预测卷（三）数学

方城县第一高级中学2026年普通高等学校招生全国统一考试临考预测卷（三）数学 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．已知复数，则（    ） A．5 B． C． D． 3．某市为了鼓励市民节约用水，计划实施阶梯水价政策.现随机抽取1000户居民，统计其月用水量（单位：吨），并绘制出如图所示的频率分布直方图.若用这1000户居民的月用水量的80%分位数作为月用水量的临界值（精确到0.1），使得月用水量不超过该值的用户不受水价上调的影响，则该市月用水量的临界值为（   ） A．26.8吨 B．27.7吨 C．28.3吨 D．29.2吨 4．已知平面向量，若，则（   ） A． B． C． D． 5．已知等比数列的首项为，且构成递增的等差数列，则数列的前项和（ ） A． B． C． D． 6．在正三棱锥中，，，若半径为的球与三棱锥的六条棱均相切，则（    ） A． B． C． D． 7．已知椭圆 的左焦点为F，直线l过坐标原点 O 且与椭圆交于第一象限内的一点A，若 则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边落在直线上，则（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．的展开式中（    ） A．前三项系数之和为112 B．二项式系数最大的项是第3项 C．常数项为240 D．所有项的系数之和为1 10．已知在中，，，，若，，且直线过中点，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．的取值范围为 11．已知双曲线的左右顶点分别为 ，双曲线的右焦点为 ，点 是双曲线 上在第一象限内的点，直线 交双曲线 右支于点 ，交 轴于点 ， 且 . 设直线的倾斜角分别为 ，则（   ） A．点 到双曲线的两条渐近线的距离之积为 B．设 ，则 的最小值为 C． 为定值 D．当 取最小值时， 的面积为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知为等腰三角形，点D为腰AC上靠近顶点A的三等分点，BD长为2，则该三角形面积的最大值为______． 13．在四棱锥中，，，，，，且平面，过点A的平面与侧棱PB，PC，PD分别交于点E，F，G，若四边形为菱形，则______． 14．若函数在定义域内有零点，则实数a的取值范围为________. 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15．已知向量． (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值． 16．设. (1)若不等式对于一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式. 17．如图，在四棱锥中，平面，是的中点． (1)求证：平面； (2)若， （i）求平面与平面夹角的正弦值； （ii）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为1？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 18．某中学举办“科技知识竞赛”决赛，决赛采用“团队闯关”形式.其中高二（1）班代表队共20名队员参与答题，比赛规则如下：第一轮，从20名队员中随机抽取10人进行“科技知识快问快答”，每人答1题，答对得1分，答错得0分.第二轮，根据第一轮答错人数决定是否启动“全员补答”，即若第一轮答错人数小于或等于2人，则剩余10人无需答题，团队最终得分为第一轮得分；若第一轮答错人数大于2人，则剩余10人需全部答题，每人答1题，答对得1分，答错得0分，最终得分为20人总答对题数对应的分数.已知每名队员答错科技知识题的概率均为，且各队员答题结果相互独立. (1)记第一轮10名队员中恰有3人答错的概率为，求的极大值点. (2)已知每名队员参与答题的“时间成本”为2分钟（无论答对答错），若团队最终得分低于15分，则团队所有成员需同时额外参加60分钟的“科技知识培训”.记团队总时间成本（答题时间+可能的培训时间）为分钟. （i）若第一轮10名队员中恰有2人答错，则不需启动“全员补答”，求； （ii）若第一轮10名队员中恰有3人答错，以（1）中确定的作为的值，求，并比较（i）与（ii）中谁的总时间成本的期望更小. 参考数据：. 19．已知函数 (1)当 时，求的极值. (2)已知. （i）证明: ； （ii）若 在 上恒成立，求实数t的取值范围. 试卷第4页，共5页 试卷第5页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 《方城县第一高级中学2026年普通高等学校招生全国统一考试临考预测卷（三）数学》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C C A D D A C ACD ACD 题号 11 答案 BCD 1．D 【详解】解：． 2．C 【分析】根据复数的运算法则求得，再求复数的模即可. 【详解】由    ， 所以. 故选：C. 3．C 【分析】根据频率分布直方图百分位数计算方法计算求解. 【详解】由频率分布直方图可知，前五组的频率之和为，前六组的频率之和为， 设该市月用水量的临界值为吨， 则，由，得， 故该市月用水量的临界值为28.3吨. 4．A 【分析】先根据向量的数乘和加法运算求出与的坐标，再利用向量数量积的坐标运算公式计算它们的数量积，最后通过化简得到与的关系式． 【详解】，即． 故选：A. 5．D 【分析】先利用等差中项计算出等比数列的公比，再用等比数列的求和公式计算即可. 【详解】设等比数列的公比为. 由题可得，代入得， 化简得，解得或； 因为等差数列递增， 所以当时，，不满足递增，舍去； 当时，，符合题意，故. 因此. 故选： 6．D 【分析】取的中心，连接，即可得到平面，且与棱均相切的球的球心在上，连接并延长交于，连接，过作，交于点，设球的半径为，则，设，再利用勾股定理得到方程求出，即可得解. 【详解】取的中心，连接，则平面，且与棱均相切的球的球心在上. 连接并延长交于，则为的中点，，连接， 因为平面，平面，所以，又，平面， 所以平面， 又平面，所以， 过作，交于点，设球的半径为， 则，因为，，所以，，， 由勾股定理得， 在中，，所以， 设，则， 因为，从而， 所以（负值已舍去），所以； 故选：D. 【点睛】关键点点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径 7．A 【分析】利用三角恒等变换解得，进而得，在中，由正弦定理得，过点作轴于点，进而得点的坐标，代入椭圆方程求解即可. 【详解】由题意得：， 又， 所以，， 所以， 所以， 又，所以， 在中，由正弦定理有：， 所以， 过点作轴于点， 所以， 所以， ， 所以， 所以，所以， 化简整理得：，即， 解得，又，所以. 8．C 【分析】根据二倍角的正弦公式，结合正弦和余弦的定义分类讨论进行求解即可. 【详解】当角的终边落在第二象限时，取一点， 则， 所以； 当角的终边落在第四象限时，取一点， 则， 所以， 综上所述：. 9．ACD 【分析】求出二项展开式的通项，根据选项要求逐一分析计算即得. 【详解】的展开式的通项为，， 对于A，由通项可得，前三项系数之和为，故A正确； 对于B，因二项展开式有7项，故二项式系数最大的项是最中间项，即第4项，故B错误； 对于C，在通项中，使，解得，故常数项为，故C正确； 对于D，在中，令，即得所有项的系数之和为1，故D正确. 故选：ACD. 10．ACD 【分析】根据题意结合余弦定理即可判断A，根据平面向量的数量积以及三角形三边的关系即可判断B，根据平面向量基本定理以及基本不等式即可判断C，通过将原问题转化为圆与直线的交点的几何问题即可判断D. 【详解】设，，，则根据题意有， 对于A，由余弦定理：， 所以，故A正确； 对于B，如图所示： 由以及平面向量基本定理可知， 又因为是线段的中点，因此， 则，， 因此，代入以及，化简得， 由三角形的三边关系：，即，又， 取，则，故B错误； 对于C，由三点共线，则存在实数使得，代入以及， 可得，则有，消去可得 则，当，即时取最小值，此时，，满足的条件，故C正确； 对于D，由三角形的三边关系：，即，又， 因此原问题转化为已知点在圆的第一象限的圆弧上运动，满足且，求的取值范围， 如图所示，当直线与圆相切时，切点为，取最大值， 此时原点到直线的距离为，即， 因此的最大值为，此时，由于，满足三角形三边的条件，因此的最大值可以取到， 当直线与圆相交于点时，取最小值，此时，由于，不满足三角形三边的条件， 因此的最小值取不到，即的取值范围是，故D正确. 【点睛】这是一道关于平面向量的综合题目，考察了平面向量的基本定理、数量积、线性运算、三点共线以及基本不等式等知识点. 11．BCD 【分析】由点到直线的距离公式代入计算，即可判断A，结合双曲线的定义代入计算即可判断B，联立直线与双曲线的方程然后由向量关系表示出代入计算，即可判断C，结合基本不等式即可得到取最小值时点的坐标，从而判断D. 【详解】    由题意可得，设， 对于A，由可得双曲线的渐近线方程为， 由点到直线的距离公式可得， 点到双曲线的两条渐近线的距离之积为， 将代入双曲线方程可得，则， 代入上式可得，故A错误； 对于B，设双曲线的左焦点为， 由双曲线的定义可得， 则，当三点共线时，最小， 且， 故的最小值为，故B正确； 对于C，设直线方程为，联立直线与双曲线方程消去可得， ，由韦达定理可得， 由直线方程，令，则，即， 则，，，， 由可得，则， 由可得，则， 则 为定值，故C正确； 对于D，由条件可得， 则 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 此时，则，故D正确； 故选：BCD 12．// 【分析】设，利用得出，即可求出，进而求一元二次函数的最值即可. 【详解】设，则， 在中利用余弦定理得，， 在中利用余弦定理得，， 因， 则， 则， 因等腰底边上的高为， 则， 故当，即，时，取最大值. 故答案为： 13． 【分析】过作AP的平行线为轴，BC,BA分别为x,y轴，建立空间直角坐标系，求出，，利用求解即可. 【详解】过作AP的平行线为轴，BC,BA分别为x,y轴，如图建系 令，则，，，，， E,F,G分别在PB,PC,PD上，令，， ，， ， ，， ，，， ，， 即. 故答案为： 14． 【分析】根据函数的解析式形式，利用同构函数法，结合函数的零点定义、导数的性质进行求解即可. 【详解】函数的定义域为. 令 ， 令，于是有， 设函数，因此函数是实数集上的增函数， 所以由， 由， 当时，由， 设， 当时，单调递增，当时，单调递减， 因此，且，当时，，当时，， 函数在定义域内有零点， 转化为函数在时，与直线有交点，如下图所示： 根据数形结合思想可知：当时，函数在时，总与直线有交点， 所以实数a的取值范围为. 故答案为： 15．(1) (2) 【分析】（1）将分别用坐标表示出来，后用向量平行的条件即得到答案. （2）将用坐标表示出来，后用向量垂直的条件即可得到答案. 【详解】（1）由题意得，, ∵，∴， 解得． （2）由题意得，， ∵，∴， 解得. 16．(1) (2)答案见解析 【分析】（1）分、两种情况，结合一元二次函数的性质可求； （2）因式分解，根据、、以及根的大小进行分类，结合一元二次函数图象求. 【详解】（1）不等式对于一切实数恒成立等价于对于一切实数恒成立， 当时，不等式可化为，不满足题意； 当时，，解得； 综上，实数的取值范围为. （2）不等式等价于，即， 当时，不等式可化为，所以不等式的解集为； 当时，不等式可化为，此时， 所以不等式的解集为； 当时，不等式可化为， ①当时，，不等式的解集为； ②当时，，不等式的解集为或； ③当时，，不等式的解集为. 综上可得：当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为或， 当时，不等式的解集为. 17．(1)证明见解析 (2)（i）（ii）存在， 【分析】（1）取中点，连接，根据线线平行证明线面平行； （2）（i）建立空间直角坐标系，利用坐标法可求得平面的法向量，利用向量法可得面面角余弦值，再由同角三角函数的基本关系求正弦值； （ii）设，利用向量法表示点到平面的距离，列方程，解方程即可. 【详解】（1）取中点，连接， 因为为中点，所以，且， 又，所以， 所以四边形为平行四边形，即， 又平面，平面，所以平面； （2）（i）因为平面，且， 以点为原点，建立如图所示空间直角坐标系： 则， 所以， 因为平面，平面， 所以平面平面， 又因为平面平面平面， 所以平面，所以平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，则 不妨取，则，则， 所以平面与平面夹角的正弦值为； （ii）存在点满足题意， 易知， 假设存在点满足题意，设， 所以， 设平面的法向量为，则， 令，则， 所以点到平面的距离，化简可得， 解得或（舍去），即. 18．(1) (2)（i）80；（ii）分钟，（ii）中的总时间成本的期望更小. 【分析】（1）根据二项分布可求，结合导数可求其极大值点； （2）（i）根据团队得分为分可得；（ii）设剩余10人答对的题数为，根据二项分布可求，从而可求对应的，两者比较后可得正确的结论. 【详解】（1）由题意可得， 因此. 令，且，得， 当时，，当时，， 所以的极大值点. （2）（i）若不需启动“全员补答”， 则团队最终得分为8分（低于15分），需额外参加60分钟培训. 答题时间为分钟，培训时间为60分钟（因得分）， 总时间成本分钟（确定值），故. （ii）若启动“全员补答”， 则剩余10人全部答题，每人答错题的概率，答对题的概率为0.7. 设剩余10人答对的题数为，则. 设团队的最终得分为，则， 若，则， 而 ， 答题时间为分钟， 培训时间：以概率0.615发生，额外参加60分钟培训. 总时间成本的数学期望分钟. 因为不启动全员补答时，分钟，启动全员补答时，分钟， 所以（ii）中的总时间成本的期望更小. 19．(1)极大值，极小值 (2)（i）证明见解析；（ii） 【分析】（1）先对函数求导得到，通过导数的正负判断单调性，进而确定极值点并计算极值； （2）（i）通过构造辅助函数并分析导数符号证明不等式； （ii）分离参数后构造函数，利用导数分析单调性求最值，从而确定参数范围. 【详解】（1）时，，， 令，得，解得， 当时，，，单调递增； 当时，，，单调递减； 所以当时，取得极大值， 当时，取得极小值. （2）时，. （i）要证，，即证， 令，则， 令，则，即化为， 因为，所以，所以，即，在单调递增， 又，所以，即. （ii）由得， 当时，显然成立； 当时，不等式可化为，令，则 则， 令， 当时，，由得，又， 所以，所以，在单调递增，所以对，； 下面证明当时，，即，也即证： 令，则， 因为，所以，所以，所以， 所以在单调递增，所以，即， 所以. 综上，时，，所以，即实数的取值范围为. 答案第8页，共16页 答案第9页，共16页 学科网（北京）股份有限公司 $