精品解析：河南南阳市方城县第一高级中学2026届高三普通高等学校招生全国统一考试模拟信息卷数学试题(三)

河南南阳市方城县第一高级中学2026届高三普通高等学校招生全国统一考试模拟信息卷数学试题（三） 本试卷总分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在复平面内，复数对应的点的坐标为，则（ ） A B. C. D. 2. 一组样本数据：1，2，6，11，5，12，4，15，9的上四分位数为（ ） A 6 B. 8.5 C. 11 D. 11.5 3. 已知抛物线的焦点为圆的圆心，则（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 4. 记两个等比数列的前项和分别为，公比分别为，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 6. 记等差数列的公差为，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知的重心为，延长DG交AB于点，则（ ） A. B. C. D. 8. 在三棱锥中，，其余棱长均为2，若三棱锥的所有顶点都在球的球面上，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知为全集，集合M，N，P均为非空集合，，则（ ） A. B. C. D. 10. 在物理学中，声音的强弱叫做响度，单位为宋（sone），响度级为响度的相对量，它反映了人耳依据声压和频率对声音做出的主观响度感受，单位为方（phon），实验发现，响度级LN与响度的关系式为，则（ ）（参考数据：） A. 响度级每增加10方，响度约增加一倍 B. 响度级为40方，响度为1宋 C. 当响度2宋时，响度级约为45方 D. 当响度为8宋时，响度级约为70方 11. 已知斜率为的直线与双曲线相切于点，过点且与垂直的直线与两坐标轴分别交于A，B两点，则下列说法正确的有（ ） A. B. 点在直线上 C. 若原点到直线的距离为3，则 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设，若直线与函数图象的相邻两个交点的距离为，则的值为__________． 13. 若对，关于的不等式恒成立，则实数的最小值为__________ 14. 勒让德猜想是数论中最著名的猜想之一，内容如下：对于任意正整数，存在质数，满足，我们把区间称为正整数的质数分布区间．现从集合中任取两个元素，则它们在其质数分布区间上的质数个数之和为5的选取方案有_________种．（用数字作答） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角A，B，C所对的边分别为，且的面积为. （1）求； （2）若的外接圆半径为为AB的中点，求CD的长. 16. 如图，在四棱柱中，底面ABCD是正方形，AC，BD交于点O，P为的中点，. （1）证明：平面平面； （2）若为等边三角形，求平面PCD与平面夹角的余弦值. 17. 社团课上，甲、乙、丙三位同学进行五子棋比赛，约定：第1局甲、乙比，甲先手（每局中先走第一颗棋），丙轮空；此后每局的胜者与轮空者进行下一局比赛，并且轮空者先手．假设甲、乙、丙三位同学先手时胜对方的概率均为，每局比赛没有平局且结果相互独立. （1）若. （i）求前3局中甲、乙、丙三位同学均参与两局概率； （ii）求第2局和第4局参与的同学完全相同的概率； （2）若前4局中甲参与的平均次数不小于，求的取值范围. 18. 已知椭圆的焦距为，点在上，直线交于两点. （1）求的方程； （2）为坐标原点，，求的取值范围； （3）若直线的斜率之积为，证明：直线过定点. 19. 已知函数，其中. （1）若在上单调递增，求的取值范围； （2）在数学上，我们把在平面直角坐标系中横、纵坐标均为整数的点称为格点，若曲线与轴相切，且切点为格点． （i）求的值； （ii）若，且，证明： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南南阳市方城县第一高级中学2026届高三普通高等学校招生全国统一考试模拟信息卷数学试题（三） 本试卷总分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在复平面内，复数对应的点的坐标为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出复数，再利用复数乘法求解即得. 【详解】在复平面内，复数对应的点的坐标为，则， 所以. 故选：D 2. 一组样本数据：1，2，6，11，5，12，4，15，9的上四分位数为（ ） A. 6 B. 8.5 C. 11 D. 11.5 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用上四分位数的定义求解即可. 【详解】样本数据由小到大排列：1，2，4，5，6，9，11，12，15， 由，得这组数据的上四分位数为11. 故选：C 3. 已知抛物线的焦点为圆的圆心，则（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，求出圆心及抛物线的焦点坐标即可. 【详解】抛物线的焦点坐标为，而圆的圆心为， 依题意，，所以. 故选：A 4. 记两个等比数列的前项和分别为，公比分别为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列前项和公式计算即可. 【详解】因为两个等比数列的前项和分别为，公比分别为， 所以，化简得. 解得或，因为等比数列的公比不为0，所以. 故选：B. 5. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据角的终边上的点和二倍角正弦公式计算，然后得到关于的一元二次方程，进而求得结果. 【详解】因为角的终边经过点， 所以，所以， 即，解得. 所以或（舍去） 故选：B. 6. 记等差数列的公差为，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列通项公式，结合已知等式及不等式，列出关于的一元二次不等式求解即可. 【详解】在等差数列中，由，得， 整理得，由，得，因此， 解得，所以的取值范围是. 故选：C 7. 已知的重心为，延长DG交AB于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用三角形重心的向量表示，结合向量线性运算，利用共线向量定理的推论列式求解. 【详解】由是的重心，得，令， 由，得，则， 又点共线，即，解得，即，所以. 故选：A 8. 在三棱锥中，，其余棱长均为2，若三棱锥的所有顶点都在球的球面上，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，确定球心的位置，利用球的截面圆性质求出球半径，进而求出球的表面积. 【详解】在三棱锥中，都是边长为2的正三角形，取中点，连接， 则，，是二面角的平面角， 又，则，即，而， 平面，因此平面，令的外心分别为， 则平面，，同理，四边形是矩形， ，而，则， 所以球的表面积为. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知为全集，集合M，N，P均为非空集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据给定条件，利用韦恩图，结合集合运算逐一判断即可. 【详解】全集为，集合M，N，P均为非空集合，由作出如图所示的韦恩图： 由，得，而， 结合韦恩图，得不是的子集，，，不是的子集， 因此选项AD错误，选项BC正确. 故选：BC 10. 在物理学中，声音的强弱叫做响度，单位为宋（sone），响度级为响度的相对量，它反映了人耳依据声压和频率对声音做出的主观响度感受，单位为方（phon），实验发现，响度级LN与响度的关系式为，则（ ）（参考数据：） A. 响度级每增加10方，响度约增加一倍 B. 响度级40方，响度为1宋 C. 当响度为2宋时，响度级约为45方 D. 当响度为8宋时，响度级约为70方 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定的函数模型，结合对数运算性质逐项求解判断. 【详解】对于A，响度级增加10方对应的响度为，则， 因此，即，则响度级每增加10方，响度约增加一倍，A正确； 对于B，当时，，则，B正确； 对于C，当时，，解得，C错误； 对于D，当时，，解得，D正确. 故选：ABD 11. 已知斜率为的直线与双曲线相切于点，过点且与垂直的直线与两坐标轴分别交于A，B两点，则下列说法正确的有（ ） A. B. 点在直线上 C. 若原点到直线的距离为3，则 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】设出直线的方程，与双曲线方程联立，利用可得及点的坐标，进而分析判断AB；求出直线的方程及点坐标，利用点到直线的距离公式及两点间距离公式求解判断CD. 【详解】设直线的方程为，由，得， 由直线与双曲线相切于点，得， 解得，点， 对于A，由，得，，A正确； 对于B，由点，得， 则点在直线上，B正确； 对于C，直线：，即， 由原点到直线距离为3，得，而， 则，整理得，解得，C错误； 对于D，由选项C得， 所以，D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设，若直线与函数图象的相邻两个交点的距离为，则的值为__________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据正切函数的周期计算即可. 【详解】因为直线与函数图象的相邻两个交点的距离为， 所以，解得. 故答案为：3. 13. 若对，关于的不等式恒成立，则实数的最小值为__________ 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，分离参数并构造函数，再利用导数求出函数的最大值即可. 【详解】，不等式恒成立， 令函数，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，， 因此，所以实数的最小值为. 故答案为： 14. 勒让德猜想是数论中最著名的猜想之一，内容如下：对于任意正整数，存在质数，满足，我们把区间称为正整数的质数分布区间．现从集合中任取两个元素，则它们在其质数分布区间上的质数个数之和为5的选取方案有_________种．（用数字作答） 【答案】4 【解析】 【分析】根据给定条件，求出给定集合中各数的质数分布区间内质数个数，再利用列举法求出方案种数. 【详解】依题意，1的质数分布区间内的质数有两个；2的质数分布区间内的质数有两个； 3的质数分布区间内的质数有两个；4的质数分布区间内的质数有三个； 5的质数分布区间内的质数有两个；6的质数分布区间内的质数有四个， 因此从中任取两个元素，则它们在其质数分布区间上的质数个数之和为5的选取方案 有、、、，共4种方案. 故答案为：4 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角A，B，C所对的边分别为，且的面积为. （1）求； （2）若的外接圆半径为为AB的中点，求CD的长. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用三角形面积公式及余弦定理求解. （2）根据给定条件，利用正弦定理求出，再利用向量数量积的运算律求解. 【小问1详解】 在中，由的面积为，得，即， 由及余弦定理得，即， 因此，而，所以. 【小问2详解】 由的外接圆半径为，得，则， 由（1）知，由为AB的中点，得, 则， 所以CD的长为. 16. 如图，在四棱柱中，底面ABCD是正方形，AC，BD交于点O，P为的中点，. （1）证明：平面平面； （2）若为等边三角形，求平面PCD与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的判定、面面垂直的判定推理得证. （2）取中点，以点为原点建立空间直角坐标系，求出平面PCD与平面，利用面面角的向量法求解. 【小问1详解】 在四棱柱中，由正方形，得，而， 平面，则平面，而平面， 所以平面平面. 【小问2详解】 取中点，连接，由为等边三角形，得，而， 则，又平面平面，平面平面， 平面，则平面，直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 由，P为的中点，得，， 则， ， 设平面的法向量，则，令，得， 设平面的法向量，则，令，得， 所以平面PCD与平面夹角的余弦值为. 17. 社团课上，甲、乙、丙三位同学进行五子棋比赛，约定：第1局甲、乙比，甲先手（每局中先走第一颗棋），丙轮空；此后每局的胜者与轮空者进行下一局比赛，并且轮空者先手．假设甲、乙、丙三位同学先手时胜对方的概率均为，每局比赛没有平局且结果相互独立. （1）若. （i）求前3局中甲、乙、丙三位同学均参与两局的概率； （ii）求第2局和第4局参与的同学完全相同的概率； （2）若前4局中甲参与的平均次数不小于，求的取值范围. 【答案】（1）（i）；（ii）； （2） 【解析】 【分析】（1）（i）先明确三人各参与两局对应每人恰好轮空一次的比赛顺序，再分第 1 局甲胜或乙胜两种情况，计算每种情况下第 2 局负者轮空、第 3 局再由前一轮轮空者先手获胜的概率，最后将两种情况的概率相加；（ii）先确定第 2 局的参与者为第 1 局胜者与丙，再分第 1 局甲胜或乙胜两种大情况，枚举第 2、3 局的胜负结果，筛选出第 4 局参与者与第 2 局完全相同的路径，将所有符合条件的路径概率相加； （2）确定甲出场次数的所有可能取值并计算对应概率，再求出甲参与次数的期望，最后解不等式 得到的取值范围. 【小问1详解】 （i）要使三人都参与两局，则每人恰好轮空一次，这要求第1局的胜者在第2局必须输掉， 若第1局甲胜乙，则第2局丙必须胜甲，概率为；若第1局乙胜甲，则第2局丙必须胜乙，概率为， 所以前3局中甲、乙、丙三位同学均参与两局的概率为； （ii）若第1局甲胜乙，则第2局参与的同学是甲和丙，若第4局和第2局参与的同学完全相同，则有两种情形： ①第2局甲胜丙，第3局甲胜乙；②第2局丙胜甲，第3局丙胜乙. 第①种情形概率为；第②种情形为. 若第1局乙胜甲，则第2局参与的同学是乙和丙，若第4局和第2局参与的同学完全相同，则有两种情形： ①第2局乙胜丙，第3局乙胜甲；②第2局丙胜乙，第3局丙胜甲. 第①种情形概率为；第②种情形为. 所以第2局和第4局参与的同学完全相同的概率为 ； 【小问2详解】 设甲在前4局的参与次数为随机变量，则， ， ， ， 所以 由得， 令，则，整理得， 解得，所以，又， 所以的取值范围为. 18. 已知椭圆的焦距为，点在上，直线交于两点. （1）求的方程； （2）为坐标原点，，求的取值范围； （3）若直线的斜率之积为，证明：直线过定点. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题意可得，写出焦点坐标，根据椭圆的定义求得，由，求出，即可得到椭圆方程； （2）设点 ，，利用三角变换将转化成关于的函数，求出其取值范围，即可得到的取值范围. （3）分斜率存在与不存在两种情况讨论，当直线斜率不存在时，直线方程为，并根据题意求出的值；当直线斜率存在时，直线方程为，联立椭圆方程，利用韦达定理，用表示出直线的斜率之积，从而得到的关系，带回直线方程检验，可求得直线所过定点. 【小问1详解】 设椭圆的焦距为，则，，所以焦点坐标为. 由椭圆的定义知， . 所以，，所以. 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 设 ，由点在椭圆上，得， 所以 因为，所以. 由，可得， 由点在椭圆上，得， 所以 因为， 所以. ​​所以. 因为 ， 所以. 因为，所以. 所以的取值范围是. 【小问3详解】 设. 当直线斜率不存在时，直线方程为，. 由点椭圆上，得. 直线的斜率之积为，所以， 即，所以，所以或. 此时直线方程为. 当直线斜率存在时，直线方程为. 由，得. ，得. . 直线的斜率之积为， 所以. 因为 ； . 所以， 所以， 所以， 所以， 所以或. 当时，直线恒过定点； 当时，直线，恒过定点与点重合，所以三点共线，不符合题意，舍去. 直线也过点. 综上所述，直线恒过定点. 19. 已知函数，其中. （1）若在上单调递增，求的取值范围； （2）在数学上，我们把在平面直角坐标系中横、纵坐标均为整数的点称为格点，若曲线与轴相切，且切点为格点． （i）求的值； （ii）若，且，证明：. 【答案】（1） （2）（i），（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由恒成立，分参配方即可求解； （2）（i）由题意列出方程组，消去得，求导分析的整数零点，即可求； （ii）求导分析单调性，得出，构造函数证明，构造函数证明，由不等式性质即可证明. 【小问1详解】 ， 由题意恒成立，则， 则. 【小问2详解】 （i）由题意，存在使得， 消去得， 设， 则 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 极大值，当时， 极小值， ， 则在存在1个零点， 综上的整数零点只有0， 则. （ii）， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 则， 设， 则， 由基本不等式，则，单调递增， 则时，， 则， 由于，在单调递增， 则， 设， 则 则，单调递增， 当时，， 则， 即， 由于，在单调递增， 则， 由，可得， 则， 即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $