专题03 图形变换（期末真题汇编，江苏专用）七年级数学下学期

**基本信息** 专题03图形变换汇编，涵盖平移、轴对称、旋转等7大高频考点，精选江苏多地七年级下期末真题，注重基础与综合应用结合。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|约30题|平移性质（楼梯地毯长度）、轴对称识别（AI图标）、中心对称判断（剪纸图案）|结合科技（AI大模型图标）、传统文化（剪纸）情境，基础题占比60%| |填空|约15题|折叠角度计算、旋转性质应用（三角板旋转）|动态问题（平移时间t值讨论）占比40%，强化空间观念| |解答|约10题|网格作图（平移+轴对称）、尺规作图（对称轴绘制）|综合题融合作图与证明（折叠性质证明），匹配期末命题趋势|

专题03 图形变换 7大高频考点概览 考点01 利用平移的性质求解问题 考点02 轴对称图形与中心对称图形的识别 考点03折叠问题 考点04 利用轴对称的性质求解问题 考点05 利用旋转的性质求解问题 考点06 图形变换的网格作图问题 考点07尺规作图问题 ( 江苏 考点01 利用平移的性质求解问题 ) 1．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）如图，将沿方向平移，得到．若，，则平移的距离为（    ） A．4 B．5 C．8 D．10 2．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）如图，在中，，将以每秒的速度沿射线向右平移，得到，设平移时间为t秒．若在B，E，C三个点中，一个点到另外两个点的距离存在2倍的关系，则t的值为（    ） A．2 B．2或3 C．2或3或4 D．2或3或4或5 3．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）如图，将沿方向平移得到，若，，则的长为（    ） A．3 B． C．4 D． 4．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）如图，楼梯的竖直高度为，水平宽度为．现要在台阶上铺设地毯，则地毯的长度至少为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）如图，将沿方向平移到的位置，量得，则间的距离是（） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·江苏镇江·期末）如图，在中，，，．将沿着与垂直的方向向上平移，得到，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）如图，两个形状、大小完全相同的和重叠在一起，固定不动，将向右平移，当点和点重合时，停止移动，设交于点．给出下列结论：①四边形的面积与四边形的面积相等；②，且；③若，那么向右平移了，其中正确的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 8．（24-25七年级下·江苏南京·期末）如图，若将图形平移至下方的空白处，则正确的平移方法是（　　） A．先向右平移4格，再向下平移5格 B．先向右平移3格，再向下平移4格 C．先向右平移4格，再向下平移3格 D．先向右平移3格，再向下平移5格 9．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）如图，沿所在直线向右平移得到，已知，则的长为______． 10．（24-25七年级下·江苏盐城·期末）如图，在中，，，，将沿平移个单位长度得到，交于点，若，则四边形的面积是________． 11．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）如图，把沿方向平移3个单位得到，若点是线段的中点，则___________． 12．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）如图，将沿方向平移至，已知，，则平移的距离是______． 13．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）如图，在中，，，，将沿方向平移个单位得（其中，，的对应点分别是，，），设交于点，若的面积比的大7，则代数式的值为__________． 14．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）如图，长方形的对角线，，，则图中五个小长方形的周长之和为______． 15．（24-25七年级下·江苏连云港·期末）如图，已知线段，点是线段外一点，连接，，将线段沿平移得到线段．点是线段上一动点，连接，． (1)依题意在图中补全图形，并证明：； (2)过点作直线，在直线上取点，使．当时，在备用图中画出图形，并求出与之间的数量关系． 16．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）如图，已知中，，将沿射线方向平移后，得到，连接． (1)若，求的长度； (2)若恰好平分，求的度数． ( 江苏 考点0 2 轴对称图形与中心对称图形的识别 ) 1．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）以下四款人工智能大模型图标，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·江苏徐州·期末）正方体的下列展开图为轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·江苏常州·期末）下列与消防相关的图标中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·江苏南京·期末）中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅图案分别代表“立春、立夏、芒种、大雪”，其中不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·江苏连云港·期末）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A．B． C． D． 7．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）全球亚马逊云科技中国峰会于月日在上海世博中心召开，下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）中国剪纸是中国最具代表性的民间艺术之一，于2009年入选联合国教科文组织“人类非物质文化遗产代表作名录”．下列剪纸作品中，是中心对称图形的是（   ） A．B．C． D． 9．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A．B． C． D． 11．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A．B． C． D． 12．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）窗，聪也；于内窥外，为聪明也．在窗棂的装饰中，图案大多是几何纹样，现从中选取以下四种窗棂图案，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（   ） A．B． C． D． 13．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）如图是我国四款人工智能大模型的图标，其中是中心对称图形的是（   ） A． B．C． D． 14．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ）． A．B． C． D． ( 江苏 考点0 3 折叠问题 ) 1．（24-25七年级下·江苏徐州·期末）如图，四边形为一张长方形纸片，点E、F分别为、边上一点，将这张纸片沿折叠，使点B、C分别落在点M、N的位置，的对应边与交于点G，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·江苏镇江·期末）如图，已知的两条边，，现将沿折叠，使点与点重合，则的周长是（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 3．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）如图，在四边形纸片中，，将纸片沿折叠，点、分别落在、处，且经过点，交于点，连接，平分．若，，则的度数是______． 4．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）如图，点在正方形纸片的边上，连接，，将纸片分别沿直线、翻折，点，的对应点，均在外部，若，设，则的值是________． 5．（24-25七年级下·江苏镇江·期末）如图，在四边形中，，点、分别为边、上的点，将边沿翻折，使点落在边上的点处，点落在点处．若，则__________． 6．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）数学实验：通过纸片的折叠，可以发现许多有趣的现象，这些现象可以用有关的数学原理进行分析、解释，所以纸片的折叠是一种有效的数学学习方式．如图，点在长方形纸片边上． (1)将长方形纸片沿着过点的一条直线折叠，使落在上．请你利用无刻度的直尺和圆规，在图1中画出折痕，其中，点在边上（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若点在边上，连接，将长方形纸片沿着一条直线折叠，使点与点重合．请你利用无刻度的直尺和圆规，在图2中作出折痕，其中点，分别在边，上（不写作法，保留作图痕迹）； (3)折叠长方形纸片，使得，分别落在边，上，请你利用无刻度的直尺和圆规，在图3中作出折痕，，其中点，分别在边，上（不写作法，保留作图痕迹）．判断，的位置关系，并说明理由； (4)折叠长方形纸片，使得落在直线上．请你利用无刻度直尺和圆规，在图4中作出折痕（不写作法，保留作图痕迹），其中点，分别在边，上． 7．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）综合与实践课上，同学们动手折叠一张长方形纸片，点在边上，点分别在边上，沿折叠，使顶点落在点处，其中题中所有角都是指小于的角． (1)如图，______（填“”“”或“”）； (2)如图，若沿折叠，使顶点落在点处，点，点，点恰好在一条直线上，请用无刻度直尺和圆规作图，作出折痕（在图上标注出点）； (3)如图，若，，求的度数（用含的代数式表示）； (4)连接，若，，且射线，射线，射线都与长方形的边相交，若射线是的角平分线，求出的度数．（用含的代数式表示） 8．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）如图，将一张长方形纸带沿直线折叠，为折痕，交于点E． (1)试说明：； (2)已知，求的度数． 9．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）若两个角之差的绝对值等于，则称这两个角互为“互优角”．即若，则称和互为“互优角”．（本题中所有角都是大于且小于的角） (1)若和互为“互优角”，当时，则______； (2)如图1，将一长方形纸片沿着折叠，（点在线段上，点在线段上），使点落在，若与互为“互优角”，求的度数； (3)再将纸片沿着折叠（点在线段或上），使点落在．若与互为“互优角”，则______． ( 江苏 考点0 4 利用轴对称的性质求解问题 ) 1．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）如图，在中，，点，关于对称，过点作，若，的面积等于2，则的面积为（   ） A．4 B．6 C．12 D．24 第1题 第2题 2．（24-25七年级下·江苏南京·期末）如图，点P关于，的对称点分别为C、D，连接，交于M，交于N，若的周长为，则的长为________． 3．（24-25七年级下·江苏南京·期末）如图，正三角形图与正三角形图完全相同．如果图经过一次轴对称变换后得到图，那么点A，B，C的对应点分别是______． 第3题 第4题 4．（24-25七年级下·江苏盐城·期末）如图，直线，交于点O，点P关于，的对称点分别为点，．若，，则的周长是________． 5．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）已知，在中，，D、E为边上的两个动点，点A关于直线的对称点为点、点C关于直线的对称点为点，若射线和恰好将三等分，则_______． ( 江苏 考点0 5 利用旋转的性质求解问题 ) 1．（24-25七年级下·江苏南京·期末）用9个大小相同的等边三角形组成如图所示的图形，其中，由阴影三角形经过一次轴对称变换能得到的白色三角形的个数为，由阴影三角形经过一次旋转变换能得到的白色三角形的个数为，则的值分别是（    ） A．5，6 B．5，8 C．6，6 D．6，8 第1题 第2题 2．（24-25七年级下·江苏徐州·期末）如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转后得，与相交于点当时，______ 3．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）如图，将绕点顺时针旋一定角度后，得到，此时点、、在同一条直线上，若，则旋转角的度数为______． 第3题 第4题 4．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）如图，在中，，，将绕点C逆时针旋转得到，当第一次平行于时，旋转角的度数为________． 5．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）如图，直线，一副直角三角板、中，，，，． (1)若如图1摆放，当平分时，证明：平分． (2)若，如图2摆放时，________°． (3)若图2中固定，将沿着方向平移，边与直线相交于点G，作和的角平分线、相交于点H（如图3），则________°． (4)若图2中固定，（如图4）将从图2位置绕点A顺时针旋转，速度为每秒，旋转至与直线首次重合的过程中，当线段与的一条边平行时，请直接写出旋转的时间． 6．（24-25七年级下·江苏徐州·期末）如图1，将一副三角尺拼在一起，使得与重合．在中，．在中，，如图2，将绕点A按逆时针方向以每秒的速度旋转，旋转时间为t秒． (1)在图1中，________； (2)随着的旋转，与之间的数量关系为________； (3)当t为何值时，直线与的一条边平行？ 7．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）【综合与实践】在初一数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动．把一副三角尺按照如图方式摆放： (1)如图1，两个三角尺的直角边摆放在同一直线上，把以O为中心顺时针旋转，至少旋转______°，才能使落在上； (2)如图2，如果把图1所示的以O为中心顺时针旋转得到，当时，为多少度？ (3)如图3，两个三角尺的直角边摆放在同一直线上，另一条直角边也在同一条直线上，如果把以O为中心顺时针旋转一周，直接写出旋转多少度时，所在直线与所在直线平行或垂直？ ( 江苏 考点0 6 图形变换的网格作图问题 ) 1．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）正方形网格中的每个小正方形的边长均为个单位长度，各顶点的位置如图所示．将平移，使点移到点，点分别是的对应点． (1)画出平移后的； (2)在整个平移的过程中，扫过的面积是______． 2．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，将平移得到，连接，． (1)根据题意，补全图形； (2)线段与线段之间的位置关系和数量关系是______； (3)在上画出一点P，使得． 3．（24-25七年级下·江苏·期末）网格作图：在如图所示的方格纸中，每个小方格的边长都为1个单位．已知，的三个顶点都在格点上（每个小方格的顶点叫格点），直线l在格线上． (1)请画出向上平移5个单位后的； (2)请画出，使它与关于直线对称； (3)请在直线l上画出一点P，使得线段的长度和最小． 4．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）如图，在每个小正方形的边长为个单位的网格中，的顶点均在格点（网格线的交点）上，直线经过小正方形的边． (1)画出线段的垂直平分线； (2)画出关于直线成轴对称的； (3)画出关于点成中心对称的． 5．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）如图，方格纸中每个小正方形的顶点叫做格点，三个顶点都在格点上，利用网格画图． (1)画出，使与关于直线对称； (2)画出，使与关于点对称； (3)画出将绕点按逆时针方向旋转后的图形． 6．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）仅使用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹． (1)如图1，已知点是长方形边的中点，过点作长方形的对称轴； (2)如图2，在方格纸上画出绕点按顺时针方向旋转后的图形． 7．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）如图，网格中每个小正方形边长为1，的顶点都在格点（网格线的交点）上，利用网格画图． (1)在图（1）中画出将先向上平移3格，再向左平移2格，得到的（点的对应点为，点的对应点为，点的对应点为），请在图上标出，并求出线段扫过图形的面积为__________； (2)通过旋转可以使其与重合，请用无刻度的直尺在图（2）中确定旋转中心（保留作图痕迹），并标出点． 8．（24-25七年级下·江苏盐城·期末）如图，方格纸中每个小正方形的边长为个单位长度． (1)画出线段关于直线对称的线段； (2)画出线段向右平移个单位长度再向下平移个单位长度后得到的线段； (3)线段可以看成由线段通过一次旋转变换得到，请画出旋转中心． 9．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）如图，在的网格图中，每个小正方形的顶点叫做格点． 的三个顶点和点O都在格点上，请用无刻度的直尺完成画图并回答相关问题． (1)画出关于点O对称的； (2)能否通过两次不同的图形变化得到（1）中所画的？若能，请结合作图来说明；若不能，请说明理由． 10．（24-25七年级下·江苏徐州·期末）如图，在的正方形网格中，点均为格点，直线m经过点．按下列步骤依次完成作图： (1)画出关于直线m对称的； (2)画出绕点P按逆时针方向旋转所得的； (3)与是否成轴对称？若是，画出对称轴l； (4)与是否成中心对称？若是，用无刻度的直尺作出对称中心O． 11．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． (1)在网格中画出绕点按逆时针方向旋转后得到的； (2)将线段向右平移7个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到线段，画出线段；（点与点对应，点与点对应） 12．（24-25七年级下·江苏南京·期末）已知点是正六边形的对称中心，仅用无刻度的直尺完成下列画图． (1)如图①，是正六边形边上一点，画出点关于点的对称点； (2)如图②，是正六边形内部一点，画出点关于点的对称点． 13．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）主题学习：探究平移、轴对称、旋转变换之间的联系． 如图，已知方格纸中每个小正方形的边长都是1． (1)在图①中画出三角形Ⅰ关于直线对称的三角形Ⅱ，再画出三角形Ⅱ关于直线对称的三角形Ⅲ，则三角形Ⅲ是否能够将三角形Ⅰ通过一次平移变换所得到？如果能，请写出平移的方法；如果不能，请说明理由； (2)在图②中画出三角形Ⅰ关于直线对称的三角形Ⅱ，再画出三角形Ⅱ关于直线对称的三角形Ⅲ，则三角形Ⅲ是否能够将三角形Ⅰ通过一次旋转变换所得到？如果能，请写出旋转的方法；如果不能，请说明理由． 14．（24-25七年级下·江苏南京·期末）如图，在边长为1个单位长度的正方形网格中，的三个顶点，，均在格点上. (1)将向上平移2个单位长度，再向右平移6个单位长度后得到，画出； (2)画出关于点对称的； (3)绕某点旋转可以得到，画出旋转中心的位置. ( 江苏 考点0 7 尺规作图问题 ) 1．（24-25七年级下·江苏南京·期末）如图，已知是轴对称图形，D是上一点．用直尺和圆规按下列要求作图（保留作图痕迹，可以写出必要的文字说明） (1)作的对称轴m； (2)过点D作一条直线n，与交于点E，使 2．（24-25七年级下·江苏连云港·期末）已知：在中，，．求作：点P，使点P在内部，且，．（尺规作图，不写作法，只留作图痕迹） 3．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）我们已经学习了平移，知道了平移的性质，请探索完成下列问题． 【知识激活】 （1）如图①，沿的方向平移，使点移动到点的位置，得到，分别连接．则与的关系为_________； 【知识应用】 （2）如图②，将沿方向向右平移得到，已知，若，，求四边形的面积； 【知识拓展】 （3）为切实保障居民用气安全，某地开展天然气设施改造工程．如图③所示，某小区（点）和天然气站（点），分别位于公路两侧，若公路的宽度是一定的（公路的两边），现要在地下通一条天然气管道接通两地，管道通过马路时，为了尽量少破坏马路，管道通过马路的部分与马路的一边互相垂直，求作管道的位置，使得从点到点的管道长度最短．（要求：用无刻度的直尺和圆规作图，保留作图痕迹，如有必要可写出文字说明，不写说明不扣分） 4．（24-25七年级下·江苏镇江·期末）图1是由两张大小相同的正方形纸片摆放成的一幅美丽的图案，它既是轴对称图形又是中心对称图形．请在图2中再画出一个正方形，使它们组成与图1形状相同的图案． 要求：仅用无刻度的直尺和圆规作图，保留作图痕迹，用铅笔或黑色水笔加黑加粗． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 图形变换 7大高频考点概览 考点01 利用平移的性质求解问题 考点02 轴对称图形与中心对称图形的识别 考点03折叠问题 考点04 利用轴对称的性质求解问题 考点05 利用旋转的性质求解问题 考点06 图形变换的网格作图问题 考点07尺规作图问题 ( 江苏 考点01 利用平移的性质求解问题 ) 1．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）如图，将沿方向平移，得到．若，，则平移的距离为（    ） A．4 B．5 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了平移的性质，掌握连接对应点的线段相等是解题关键．由平移的性质可知，，即可求解． 【详解】解：由平移的性质可知，， ，， ， ，即平移的距离为5， 故选：B． 2．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）如图，在中，，将以每秒的速度沿射线向右平移，得到，设平移时间为t秒．若在B，E，C三个点中，一个点到另外两个点的距离存在2倍的关系，则t的值为（    ） A．2 B．2或3 C．2或3或4 D．2或3或4或5 【答案】C 【分析】本题考查平移的性质：平移不改变图形的形状和大小；经过平移，对应点所连的线段平行（或共线）且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．先根据平移的性质得到，分三种情况讨论：当、、，列出方程，然后分别解方程即可． 【详解】解：∵以每秒的速度沿线段所在直线向右平移，所得图形对应为， ∴， 当，即，解得； 当，即，解得； 当，即，解得； 综上所述，t的值为2或3或4， 故答案为：2或3或4． 3．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）如图，将沿方向平移得到，若，，则的长为（    ） A．3 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质，正确的识别图形是解题的关键． 由平移的性质得到，即可求解． 【详解】解：∵将沿方向平移得到， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：C． 4．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）如图，楼梯的竖直高度为，水平宽度为．现要在台阶上铺设地毯，则地毯的长度至少为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了生活中的平移现象，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 利用平移可得地毯的水平长度等于的长，地毯的垂直长度等于的长，然后进行计算即可解答． 【详解】解：由题意可得： 地毯的水平长度米，地毯的垂直长度米， ∴地毯的长度至少需要：（米）， 故选：C． 5．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）如图，将沿方向平移到的位置，量得，则间的距离是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了图形的平移．根据题意可得，，先求出，再计算即可． 【详解】解：∵将沿方向平移到的位置， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴ 故选：D． 6．（24-25七年级下·江苏镇江·期末）如图，在中，，，．将沿着与垂直的方向向上平移，得到，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移的性质． 利用平移的性质得出平移前后图形的面积相等，根据阴影部分的面积为矩形的面积即可求解． 【详解】解：根据平移的性质可得，且平移的方向与垂直， ∴四边形为矩形， ∴， 故选：C． 7．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）如图，两个形状、大小完全相同的和重叠在一起，固定不动，将向右平移，当点和点重合时，停止移动，设交于点．给出下列结论：①四边形的面积与四边形的面积相等；②，且；③若，那么向右平移了，其中正确的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质，掌握平移的性质是关键；由平移的性质：面积相等，对应线段相等且平行或在同一直线上，即可求解． 【详解】解：由平移知，， ∴， ∴四边形的面积与四边形的面积相等； 故①正确； 由平移知，， ∴，但不一定相等， 故②错误； 由平移知，， ∴， 即向右平移了， 故③正确； 综上，正确的有2个； 故选：C． 8．（24-25七年级下·江苏南京·期末）如图，若将图形平移至下方的空白处，则正确的平移方法是（　　） A．先向右平移4格，再向下平移5格 B．先向右平移3格，再向下平移4格 C．先向右平移4格，再向下平移3格 D．先向右平移3格，再向下平移5格 【答案】A 【分析】本题考查了图形的平移，根据图形结合平移的性质即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图可得，将图形平移至下方的空白处，则正确的平移方法是先向右平移4格，再向下平移5格， 故选：A． 9．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）如图，沿所在直线向右平移得到，已知，则的长为______． 【答案】4.5 【分析】本题主要考查了平移的性质，根据平移得出，根据，，求出结果即可． 【详解】解：根据平移可知：， ∵， ∴． 故答案为：． 10．（24-25七年级下·江苏盐城·期末）如图，在中，，，，将沿平移个单位长度得到，交于点，若，则四边形的面积是________． 【答案】 【分析】本题考查了平移的性质，熟练运用平移的性质解决问题是本题的关键．根据平移的性质得出即可得到结论． 【详解】解：∵将沿平移个单位长度得到， ∴， ， ∵， ∴ ∵ ∴ 故答案为：． 11．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）如图，把沿方向平移3个单位得到，若点是线段的中点，则___________． 【答案】9 【分析】本题考查了平移的性质，熟知平移的性质是解题的关键． 根据图形平移的性质解题即可． 【详解】解：把沿方向平移3个单位得到， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， ∴． 故答案为：． 12．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）如图，将沿方向平移至，已知，，则平移的距离是______． 【答案】 【分析】本题考查了图形的平移，根据平移的性质，进行求解即可． 【详解】解：将沿方向平移至， ∴平移距离为的长， ∵，， ∴； 故答案为：． 13．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）如图，在中，，，，将沿方向平移个单位得（其中，，的对应点分别是，，），设交于点，若的面积比的大7，则代数式的值为__________． 【答案】 【分析】由平移的性质可得，然后根据已知条件可得，再根据长方形的面积公式和三角形的面积公式即可求出结论． 【详解】解：∵，，，将沿方向平移个单位得， ∴，， 的面积比的大7，即， ， ， ， ， ， ∴． 【点睛】此题考查的是平移的性质、代数式求值、长方形的面积公式和三角形的面积公式，根据得到是解决此题的关键． 14．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）如图，长方形的对角线，，，则图中五个小长方形的周长之和为______． 【答案】14 【分析】本题考查了平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 把图中五个小长方形的边长进行平移，可得到图中五个小长方形的周长之和等于矩形的周长． 【详解】解：图中五个小长方形的周长之和． 故答案为：． 15．（24-25七年级下·江苏连云港·期末）如图，已知线段，点是线段外一点，连接，，将线段沿平移得到线段．点是线段上一动点，连接，． (1)依题意在图中补全图形，并证明：； (2)过点作直线，在直线上取点，使．当时，在备用图中画出图形，并求出与之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)见解析，或 【分析】作，根据平移的性质得到，求得，根据平行线的性质得到，，求得； 分两种情况：点在直线的上方时，如图所示：当点在直线的下方时，如图，根据平移的性质和平行线的性质即可得到结论． 本题考查了作图平移变换，平移的性质，平行线的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：补全图形如图所示， 证明：作， 将线段沿平移得到线段， ， ， ，, ， 即； （2）解：点在直线的上方时，如图所示： 由平移的性质得：，， ， ， ， ， 整理，得； 当点在直线的下方时，如图， ， ， 整理，得； 综上所述，与之间的数量关系为或． 16．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）如图，已知中，，将沿射线方向平移后，得到，连接． (1)若，求的长度； (2)若恰好平分，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平移的性质，角平分线的定义，平行线的判定和性质. （1）根据平移的性质得出的长度与平移的长度相等，据此可解决问题； （2）根据平移的性质得出，可得，根据角平分线的定义可知，根据平行线的性质作答即可. 【详解】（1）解：由平移可知， ∴； （2）由平移可知，， ∴． ∵， ∴． 又∵恰好平分， ∴． ∵， ∴． ( 江苏 考点0 2 轴对称图形与中心对称图形的识别 ) 1．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）以下四款人工智能大模型图标，是轴对称图形的是（    ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，熟悉掌握轴对称的特点是解题的关键． 根据轴对称图形的特点逐一判断即可． 【详解】解：A，B，D中的图形不是轴对称图形，故A、B、D不符合题意；C图形是轴对称图形，故C符合题意； 故选：C． 2．（24-25七年级下·江苏徐州·期末）正方体的下列展开图为轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要是考查了轴对称图形的定义，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，那么这样的图形就叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义分别判断可得出结果． 【详解】解：由轴对称图形定义可知：A，B，D不能找到这样的一条直线使图形沿着这条直线对折后两部分完全重合，所以不是轴对称图形； C选项中的图形能找到这样的一条直线使图形沿着这条直线对折后两部分完全重合，是轴对称图形， 故选：C． 3．（24-25七年级下·江苏常州·期末）下列与消防相关的图标中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A，B，D选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形， C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：C． 4．（24-25七年级下·江苏南京·期末）中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅图案分别代表“立春、立夏、芒种、大雪”，其中不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查轴对称图形的识别，解题的关键是掌握轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．据此依次对各图形进行判断即可． 【详解】解：A．该图形不是轴对称图形，故此选项符合题意； B．该图形是轴对称图形，故此选项不符合题意； C．该图形是轴对称图形，故此选项不符合题意； D．该图形是轴对称图形，故此选项不符合题意． 故选：A． 5．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】、是中心对称图形，不是轴对称图形，该选项不合题意； 、是中心对称图形，不是轴对称图形，该选项不合题意； 、既是轴对称图形又是中心对称图形，该选项符合题意； 、是轴对称图形，不是中心对称图形，该选项不合题意； 故选：． 6．（24-25七年级下·江苏连云港·期末）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查中心对称图形，轴对称图形，熟知把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形是解题的关键．根据中心对称图形，轴对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：、图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意； B、图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意； C、图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； D、图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意， 故选：． 7．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）全球亚马逊云科技中国峰会于月日在上海世博中心召开，下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查轴对称图形，中心对称图形，熟练掌握其定义是解题的关键．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此进行判断即可． 【详解】解：A．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故符合题意； B．该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故不符合题意； C．该图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故不符合题意； D．该图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故不符合题意； 故选：A． 8．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）中国剪纸是中国最具代表性的民间艺术之一，于2009年入选联合国教科文组织“人类非物质文化遗产代表作名录”．下列剪纸作品中，是中心对称图形的是（   ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查中心对称图形， 根据在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形与原图形重合，则这个图形为中心对称图形判断即可． 【详解】解：A、选项中的图案是中心对称图形，故选项A符合题意； B、选项中的图案不是中心对称图形，故选项B不符合题意； C、选项中的图案不是中心对称图形，故选项C不符合题意； D、选项中的图案不是中心对称图形，故选项D不符合题意； 故选：A． 9．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的识别，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； 故选：D． 10．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：A． 11．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查中心对称图形，轴对称图形，熟练掌握其定义是解题的关键．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形；据此进行判断即可． 【详解】解：A不是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意， B是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意， C不是轴对称图形，但是中心对称图形，不符合题意， D是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意， 故选：B． 12．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）窗，聪也；于内窥外，为聪明也．在窗棂的装饰中，图案大多是几何纹样，现从中选取以下四种窗棂图案，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故符合题意； C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故不符合题意； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故不符合题意． 故选：B． 13．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）如图是我国四款人工智能大模型的图标，其中是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 根据中心对称图形的概念判断即可． 【详解】解：选项A、C、D中的图形都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形； 选项B中的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 故选：B． 14．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ）． A．B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形，中心对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据轴对称图形、中心对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：A选项图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； B选项图形既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； C选项图形不是轴对称图形也不是中心对称图形，不符合题意； D选项图形是轴对称图形但不是中心对称图形，不符合题意． 故选：B． ( 江苏 考点0 3 折叠问题 ) 1．（24-25七年级下·江苏徐州·期末）如图，四边形为一张长方形纸片，点E、F分别为、边上一点，将这张纸片沿折叠，使点B、C分别落在点M、N的位置，的对应边与交于点G，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质以及折叠的性质，延长，交于点P，根据平行线的性质以及折叠的性质解答即可． 【详解】解：延长，交于点P，如图所示： 由题意得，，，， ， ， ． 故选：D． 2．（24-25七年级下·江苏镇江·期末）如图，已知的两条边，，现将沿折叠，使点与点重合，则的周长是（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了折叠问题，解题的关键是明确折叠前后图形的边角大小不变． 运用折叠性可知，可推出的周长就是，依此即可求解． 【详解】解：根据折叠性可知，， 的周长是，即， ，， 的周长． 故选：B． 3．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）如图，在四边形纸片中，，将纸片沿折叠，点、分别落在、处，且经过点，交于点，连接，平分．若，，则的度数是______． 【答案】 【分析】此题重点考查平行线的性质、翻折变换的性质、角平分线的定义等知识，由平分，得，则，所以，由得，因为，所以，由得，求得，于是得到问题的答案，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由折叠得，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）如图，点在正方形纸片的边上，连接，，将纸片分别沿直线、翻折，点，的对应点，均在外部，若，设，则的值是________． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，角的计算，平角的定义，解一元一次方程，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．根据折叠的性质得出，，根据题意得出，结合平角的定义，得出，即可列出方程，解方程求出的值，即可． 【详解】解：根据折叠的性质可得，， ∵，， 故， 即， 整理得 ∵， 故； 即， 解得：． 故答案为：． 5．（24-25七年级下·江苏镇江·期末）如图，在四边形中，，点、分别为边、上的点，将边沿翻折，使点落在边上的点处，点落在点处．若，则__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，折叠的性质，由折叠的性质可得，，则可求出，则可证明，据此根据平行线的性质求出的度数即可得到答案． 【详解】解：由折叠的性质可得，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 故答案为：． 6．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）数学实验：通过纸片的折叠，可以发现许多有趣的现象，这些现象可以用有关的数学原理进行分析、解释，所以纸片的折叠是一种有效的数学学习方式．如图，点在长方形纸片边上． (1)将长方形纸片沿着过点的一条直线折叠，使落在上．请你利用无刻度的直尺和圆规，在图1中画出折痕，其中，点在边上（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若点在边上，连接，将长方形纸片沿着一条直线折叠，使点与点重合．请你利用无刻度的直尺和圆规，在图2中作出折痕，其中点，分别在边，上（不写作法，保留作图痕迹）； (3)折叠长方形纸片，使得，分别落在边，上，请你利用无刻度的直尺和圆规，在图3中作出折痕，，其中点，分别在边，上（不写作法，保留作图痕迹）．判断，的位置关系，并说明理由； (4)折叠长方形纸片，使得落在直线上．请你利用无刻度直尺和圆规，在图4中作出折痕（不写作法，保留作图痕迹），其中点，分别在边，上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)图见解析，平行，理由见解析 (4)见解析 【分析】本题考查作图﹣轴对称变换，解题的关键是理解题意，正确作出图形． （1）过点作于点，直线即为所求； （2）作线段的垂直平分线交于点，交于点，直线即为所求，利用同位角相等，两直线平行判断即可； （3）分别作，的角平分线，，分别交，于点，即可； （4）延长交的延长线于点，作的角平分线交于点，交于点，直线即为所求． 【详解】（1）解：如图1中，直线即为所求； （2）如图2中，直线即为所求； （3）如图3中，直线，即为所求； 结论：． 理由：∵四边形是长方形， ∴， ∵，分别平分，， ∴， ∴， ∴； （4）如图，直线即为所求． 7．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）综合与实践课上，同学们动手折叠一张长方形纸片，点在边上，点分别在边上，沿折叠，使顶点落在点处，其中题中所有角都是指小于的角． (1)如图，______（填“”“”或“”）； (2)如图，若沿折叠，使顶点落在点处，点，点，点恰好在一条直线上，请用无刻度直尺和圆规作图，作出折痕（在图上标注出点）； (3)如图，若，，求的度数（用含的代数式表示）； (4)连接，若，，且射线，射线，射线都与长方形的边相交，若射线是的角平分线，求出的度数．（用含的代数式表示） 【答案】(1) (2)作图见解析 (3)或 (4) 【分析】（）根据折叠的性质即可求解； （）作的角平分线交于，线段即为所求； （）分点在的右边和左边两种情况，分别画出图形，根据折叠的性质和平角的定义解答即可求解； （）当分点在的右边和点在的右侧，在的左侧两种情况，分别画出图形，根据折叠的性质和角平分线的定义解答即可求解； 本题考查了作角平分线，折叠的性质，角平分线的定义，掌握折叠的性质并利用分类讨论的思想解答是解题关键 【详解】（1）解：∵沿折叠，使顶点落在点处， ∴， 故答案为：； （2）解：如图所示，折痕即为所求； （3）解：如图，当点在的右边时， ∵沿折叠，使顶点落在点处， ∴， ∵， ∴， ∵沿折叠，使顶点落在点处， ∴， ∴； 当点在的左边时，如图， ∵沿折叠，使顶点落在点处， ∴， ∵， ∴， ∵沿折叠，使顶点落在点处， ∴， ∴； 综上，的度数为或； （4）解：如图，当点在的右边时， 由折叠可得， ∵， ∴， ∵射线是的角平分线， ∴， ∴， ∴由折叠得， ∴； 当点在的右侧，在的左侧时，如图， 由折叠可得，， ∴， ∵， ∴， ∵射线是的角平分线， ∴， ∴， ∴由折叠得，， ∴； 综上，的度数为． 8．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）如图，将一张长方形纸带沿直线折叠，为折痕，交于点E． (1)试说明：； (2)已知，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质得到，，即可得到结论； （2）由折叠知，，根据平行线的性质得到，即可得到结论． 【详解】（1）解： ， ， ， ， ； （2）解：，， ， 由折叠知，， ， ， ． 9．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）若两个角之差的绝对值等于，则称这两个角互为“互优角”．即若，则称和互为“互优角”．（本题中所有角都是大于且小于的角） (1)若和互为“互优角”，当时，则______； (2)如图1，将一长方形纸片沿着折叠，（点在线段上，点在线段上），使点落在，若与互为“互优角”，求的度数； (3)再将纸片沿着折叠（点在线段或上），使点落在．若与互为“互优角”，则______． 【答案】(1)或 (2)或 (3)或或 【分析】本题考查了通过翻折计算角的度数，“互优角”的定义等知识，注意翻折后两个角相等，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． （）利用“互优角”定义即可求解； （）由与互为互优角，分当；当时，两种情况即可； （3）分三种情况讨论，根据折叠的性质以及平角的性质即可求即可求解． 【详解】（1）解：∵和互为互优角， ∴当，， ∴或， 解得 或， 故答案为：或； （2）①∵与互为互优角，如图1 当时，， ∴， ∵翻折得， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． ②当时，如图 ， ∴， ∵翻折得， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． 综上所述，的值为或． （3）当点F在边上时，如图： 显然， ∵与互为“互优角”， ∴， 根据折叠的性质： 即； 当点F在边上，且当时，如图： 与互为“互优角”， ， 根据折叠的性质：， ∴， ∴， ， 解得：， 即； 当点F在边上，且当时，如图： 与互为“互优角”， ∴， 根据折叠的性质：， ∴， ∴， 又∵， ∴， 即． 故的度数为或或． ( 江苏 考点0 4 利用轴对称的性质求解问题 ) 1．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）如图，在中，，点，关于对称，过点作，若，的面积等于2，则的面积为（   ） A．4 B．6 C．12 D．24 【答案】C 【分析】连接交于点M，根据平行线的性质，轴对称性质，三角形面积公式解答即可． 本题考查了轴对称性质，平行线的性质，三角形面积公式，熟练掌握性质和公式是解题的关键． 【详解】解：连接交于点M， ∵点，关于对称， ∴，且，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 2．（24-25七年级下·江苏南京·期末）如图，点P关于，的对称点分别为C、D，连接，交于M，交于N，若的周长为，则的长为________． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质，由轴对称的性质可得，，结合的周长为，得出，即可得解，熟练掌握轴对称的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵点P关于，的对称点分别为C、D，连接，交于M，交于N， ∴，， ∵的周长为， ∴， ∴，即， 故答案为：． 3．（24-25七年级下·江苏南京·期末）如图，正三角形图与正三角形图完全相同．如果图经过一次轴对称变换后得到图，那么点A，B，C的对应点分别是______． 【答案】D，F，E 【分析】此题主要考查了轴对称的性质，关键是掌握轴对称图形的对称轴两边的图形能完全重合．轴对称的性质：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线，据此判断分析即可． 【详解】解：如图所示： 图经过一次轴对称变换后得到图，则点A，B，C的对应点分别是D，F， 故答案为：D，F， 4．（24-25七年级下·江苏盐城·期末）如图，直线，交于点O，点P关于，的对称点分别为点，．若，，则的周长是________． 【答案】30 【分析】本题考查的是轴对称的性质，熟知轴对称的性质是解答此题的关键． 根据对称的性质可知，，再根据即可求出周长． 【详解】∵点P关于，的对称点分别为点，， ∴， ∵， ∴的周长． 故答案为：30． 5．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）已知，在中，，D、E为边上的两个动点，点A关于直线的对称点为点、点C关于直线的对称点为点，若射线和恰好将三等分，则_______． 【答案】或 【分析】本题考查的是轴对称的性质，角的和差运算，先构建图形，再分两种情况求解即可. 【详解】解：如图，∵射线和恰好将三等分， ∴设， 由轴对称可得：，， ∵， ∴， 解得：， ∴， 如图， ∵射线和恰好将三等分， ∴设， 由轴对称可得：，， ∵， ∴， 解得：， ∴， 综上：为或. 故答案为：或 ( 江苏 考点0 5 利用旋转的性质求解问题 ) 1．（24-25七年级下·江苏南京·期末）用9个大小相同的等边三角形组成如图所示的图形，其中，由阴影三角形经过一次轴对称变换能得到的白色三角形的个数为，由阴影三角形经过一次旋转变换能得到的白色三角形的个数为，则的值分别是（    ） A．5，6 B．5，8 C．6，6 D．6，8 【答案】B 【分析】此题考查了轴对称变换和旋转变换，根据轴对称变换和旋转变换的性质求解即可． 【详解】如图所示，标1的三角形可以通过一次轴对称变换得到，图中标2的三角形可以通过旋转变换得到， ∴，． 故选：B． 2．（24-25七年级下·江苏徐州·期末）如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转后得，与相交于点当时，______ 【答案】或 【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了平行线的性质．先根据旋转的性质得到，，如图1，根据平行线的性质得到，然后计算即可；如图2，根据平行线的性质得到，然后利用平角的定义计算 【详解】解：如图1，绕点A按逆时针方向旋转后得， ，， ∵， ， ； 如图2， 绕点按逆时针方向旋转后得， ，， ∵， ， ； 综上所述，的度数为或． 故答案为：80或 3．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）如图，将绕点顺时针旋一定角度后，得到，此时点、、在同一条直线上，若，则旋转角的度数为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了图形旋转的性质，熟练地把握对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角是解题的关键．根据图形旋转的性质可知，用减去的度数再除以2即可求出旋转角的度数． 【详解】解：绕点顺时针旋转，得到， ， ， ， ． 故答案为：． 4．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）如图，在中，，，将绕点C逆时针旋转得到，当第一次平行于时，旋转角的度数为________． 【答案】55 【分析】本题考查旋转的性质，平行线的性质．根据平行线的性质，得到，进而求出的度数，再根据角的和差关系求出的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵将绕点C逆时针旋转得到， ∴旋转角的度数即为的度数，为； 故答案为：55． 5．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）如图，直线，一副直角三角板、中，，，，． (1)若如图1摆放，当平分时，证明：平分． (2)若，如图2摆放时，________°． (3)若图2中固定，将沿着方向平移，边与直线相交于点G，作和的角平分线、相交于点H（如图3），则________°． (4)若图2中固定，（如图4）将从图2位置绕点A顺时针旋转，速度为每秒，旋转至与直线首次重合的过程中，当线段与的一条边平行时，请直接写出旋转的时间． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) (4)或或． 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，旋转的性质. （1）利用角平分线定义及平行线性质即可证得结论； （2）过点作，利用平行线性质即可求得答案； （3）分别过点，作，，利用平行线性质和角平分线定义即可得出答案； （4）分三种情况：①，②，③，利用平行线的性质、角的和差求解即可得． 【详解】（1）证明：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：如图，过点作， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ 故答案为：； （3）解：如图，分别过点，作，， ∴，， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵和的角平分线、相交于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （4）解：分以下三种情况： ①如图，当时， ，即， ， ， 即此时旋转的角度为，旋转的时间为； ②如图，当时， ∴， ∴， 即此时旋转的角度为，旋转的时间为； ③如图，当时，过点作，延长交于，延长交于， ∵，， ∴， ， ， ， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 即此时旋转的角度为，旋转的时间为； 综上，当线段与的一条边平行时，旋转的时间或或． 6．（24-25七年级下·江苏徐州·期末）如图1，将一副三角尺拼在一起，使得与重合．在中，．在中，，如图2，将绕点A按逆时针方向以每秒的速度旋转，旋转时间为t秒． (1)在图1中，________； (2)随着的旋转，与之间的数量关系为________； (3)当t为何值时，直线与的一条边平行？ 【答案】(1)15 (2) (3)当秒或5秒或9秒时，直线与的一条边平行 【分析】本题主要考查平行线的判定及一元一次方程的应用，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键． （1）根据角的和差关系可进行求解； （2）根据题意可分当在△内部时和当在△外部时，进而分类求解即可； （3）由题意可知，然后可分当时，当时，当时，进而分类求解即可． 【详解】（1）解：如图①，，， ； 故答案为：15； （2）解：当在内部时，如图， ， ， 当在外部时，如图， ； 综上所述：与之间的数量关系为， 故答案为：； （3）解：由题意得：，， 当时，如图所示： ， 解得：； 当时，如图所示： ， ， 解得：；当时，如图所示： 、、三点在同一直线上， ， 解得：；综上所述：当与△的一边平行时，或5或9． 7．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）【综合与实践】在初一数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动．把一副三角尺按照如图方式摆放： (1)如图1，两个三角尺的直角边摆放在同一直线上，把以O为中心顺时针旋转，至少旋转______°，才能使落在上； (2)如图2，如果把图1所示的以O为中心顺时针旋转得到，当时，为多少度？ (3)如图3，两个三角尺的直角边摆放在同一直线上，另一条直角边也在同一条直线上，如果把以O为中心顺时针旋转一周，直接写出旋转多少度时，所在直线与所在直线平行或垂直？ 【答案】(1)75 (2) (3)平行：105度或285度；垂直：15度或195度 【分析】（1）由图可知，当以O为中心顺时针旋转过，即可得到与重合，利用三角板的性质和角度之间的关系计算即可； （2）设，分别表示出，然后根据列方程求解； （3）平行和垂直各分两种情况，画出图形求解即可． 【详解】（1）由图可知，当以O为中心顺时针旋转过，即可得到与重合， 由三角板的性质可知： ∵，， ∴， ∴至少旋转，与重合． 故答案为：75； （2）由旋转的性质得， 设， 则，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）当在点O的右侧时，如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 当在点O的左侧时，如图： ∵， ∴， ∴， ∴旋转的角度， 综上所述：旋转的角度为或时，所在直线与所在直线平行． 当在点O的上侧时，如图，延长交于点E， ∵， ∴， ∴， ∴． 当在点O的下侧时，如图，延长，相交于点E， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 综上所述：旋转的角度为或时，所在直线与所在直线垂直． ( 江苏 考点0 6 图形变换的网格作图问题 ) 1．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）正方形网格中的每个小正方形的边长均为个单位长度，各顶点的位置如图所示．将平移，使点移到点，点分别是的对应点． (1)画出平移后的； (2)在整个平移的过程中，扫过的面积是______． 【答案】(1)画图见解析； (2)． 【分析】本题主要考查了平移作图，掌握平移的性质是解题的关键． （）根据点和点的位置判断出平移方式为向右平移个单位长度，向下平移个单位长度，据此确定的位置，然后顺次连接即可； （）利用长方形面积减去四个直角三角形面积即可． 【详解】（1）解：如图，点和点的位置判断出平移方式为向右平移个单位长度，向下平移个单位长度，据此确定的位置，然后顺次连接； ∴即为所求； （2）解：如图，连接， 扫过的面积是 ， 故答案为：． 2．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，将平移得到，连接，． (1)根据题意，补全图形； (2)线段与线段之间的位置关系和数量关系是______； (3)在上画出一点P，使得． 【答案】(1)图见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题主要考查了平移（作图），平移的性质，平行线的性质等知识点，熟练掌握平移的性质是解题的关键． （1）根据的位置，确定平移规则，据此画出，再连接，即可； （2）根据平移的性质即可作答； （3）根据网格特点，过点 作，交于点P，则点P即为所求作． 【详解】（1）解：如图，，，即为所求作； （2）解：由平移的性质可知：， 故答案为：； （3）解：如图，根据网格特点，过点作，交于点P，则点P即为所求作， 理由如下： ∵， ∴， 由平移的性质可知：， ∴． 3．（24-25七年级下·江苏·期末）网格作图：在如图所示的方格纸中，每个小方格的边长都为1个单位．已知，的三个顶点都在格点上（每个小方格的顶点叫格点），直线l在格线上． (1)请画出向上平移5个单位后的； (2)请画出，使它与关于直线对称； (3)请在直线l上画出一点P，使得线段的长度和最小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了图形的平移、轴对称以及最短路径问题，解题的关键是熟练掌握这些图形变换的性质进行作图． （1）根据平移的性质，将的每个顶点向上平移5个单位，再连接各顶点得到平移后的三角形． （2）根据轴对称的性质，找到各顶点关于直线l的对称点，再连接各对称点得到对称后的三角形． （3）作点关于直线的对称点，连接，与直线的交点即为所求的点， 因为和关于直线对称，所以，则， 根据两点之间线段最短，的长度就是的最小值，与直线的交点即为所求． 【详解】（1）如图，即为所求； （2）如图，即为所求； （3）如图，连接，交直线于点，连接，此时，为最小值，则点即为所求． 4．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）如图，在每个小正方形的边长为个单位的网格中，的顶点均在格点（网格线的交点）上，直线经过小正方形的边． (1)画出线段的垂直平分线； (2)画出关于直线成轴对称的； (3)画出关于点成中心对称的． 【答案】(1)画图见解析； (2)画图见解析； (3)画图见解析． 【分析】本题考查作图——旋转变换、作图——轴对称变换、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质，中心对称的性质，轴对称的性质是解题的关键． （）结合线段垂直平分线的性质画图即可； （）根据轴对称的性质作图即可； （）根据中心对称的性质作图即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求；    （2）解：如图，即为所求；    （3）解：如图，即为所求．    5．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）如图，方格纸中每个小正方形的顶点叫做格点，三个顶点都在格点上，利用网格画图． (1)画出，使与关于直线对称； (2)画出，使与关于点对称； (3)画出将绕点按逆时针方向旋转后的图形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了轴对称图形，中心对称图形以及图形的旋转，熟练掌握轴对称图形，中心对称图形以及图形的旋转的概念是解决本题的关键． （1）根据轴对称图形的概念，即可画出使与关于直线对称的图形； （2）根据中心对称图形的概念，即可画出使与关于直线对称的图形； （3）根据图形的旋转的概念，即可画出将绕点按逆时针方向旋转后的图形． 【详解】（1）解：使与关于直线对称，如图， （2）解：使与关于点对称，如图， （3）解：将绕点按逆时针方向旋转后的图形，如图， 6．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）仅使用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹． (1)如图1，已知点是长方形边的中点，过点作长方形的对称轴； (2)如图2，在方格纸上画出绕点按顺时针方向旋转后的图形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图-旋转变换、矩形的性质、作图-轴对称变换，熟练掌握旋转的性质、矩形的性质、轴对称的性质是解答本题的关键． （1）连接、交于点，连接，过点与点，作直线，结合矩形的性质即可求解； （2）结合题意，根据旋转的性质进行作图，即可． 【详解】（1）解：如图，连接、交于点，过点与点，作直线．则直线即为所求． 作法：连接、交于点，过点与点，作直线． 证明：∵四边形是矩形， ∴， 即点在的垂直平分线上， ∵点是的中点， ∴点在的垂直平分线上， ∴是的垂直平分线， 即直线是长方形的一条对称轴． （2）解：如图，即为所求． 作法：连接、、，分别将、、绕点按顺时针方向旋转，得到、、；依次连接、、；即为所求． 7．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）如图，网格中每个小正方形边长为1，的顶点都在格点（网格线的交点）上，利用网格画图． (1)在图（1）中画出将先向上平移3格，再向左平移2格，得到的（点的对应点为，点的对应点为，点的对应点为），请在图上标出，并求出线段扫过图形的面积为__________； (2)通过旋转可以使其与重合，请用无刻度的直尺在图（2）中确定旋转中心（保留作图痕迹），并标出点． 【答案】(1)图形见解析，14 (2)图形见解析 【分析】本题考查作图-旋转变换、作图-平移变换； （1）根据平移的性质作图即可；利用割补法计算即可． （2）结合旋转的性质，连接，分别作线段的垂直平分线，相交于点，则点即为所求． 【详解】（1）解：如图（1），即为所求． 线段扫过图形的面积为． 故答案为：14． （2）解：如图（2），连接，分别作线段的垂直平分线，相交于点，则绕点逆时针旋转可以与重合， 则点即为所求． 8．（24-25七年级下·江苏盐城·期末）如图，方格纸中每个小正方形的边长为个单位长度． (1)画出线段关于直线对称的线段； (2)画出线段向右平移个单位长度再向下平移个单位长度后得到的线段； (3)线段可以看成由线段通过一次旋转变换得到，请画出旋转中心． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图-旋转变换、作图-轴对称变换、作图-平移变换、几何变换的类型，熟练掌握平移的性质、轴对称的性质、旋转的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可． （2）根据平移的性质作图即可． （3）连接，，分别作线段，的垂直平分线，相交于点，即可求解． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求作； （2）如图，线段即为所求作； （3）如图，点即为所求作. 9．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）如图，在的网格图中，每个小正方形的顶点叫做格点． 的三个顶点和点O都在格点上，请用无刻度的直尺完成画图并回答相关问题． (1)画出关于点O对称的； (2)能否通过两次不同的图形变化得到（1）中所画的？若能，请结合作图来说明；若不能，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)能，说明见解析 【分析】本题考查了作图-旋转变换，平移变换． （1）根据旋转变换的性质作图； （2）根据平移变换与旋转变换作图． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）先将向下平移7个单位长度，再绕点旋转即可得到． 10．（24-25七年级下·江苏徐州·期末）如图，在的正方形网格中，点均为格点，直线m经过点．按下列步骤依次完成作图： (1)画出关于直线m对称的； (2)画出绕点P按逆时针方向旋转所得的； (3)与是否成轴对称？若是，画出对称轴l； (4)与是否成中心对称？若是，用无刻度的直尺作出对称中心O． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)是，见解析 (4)是，见解析 【分析】本题考查了作图：轴对称变换及旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形． （1）利用关于直线m对称的点的坐标特征分别标出、、，然后顺次连接即可； （2）利用旋转的性质分别标出、、，然后顺次连接即可； （3）根据轴对称的性质进行判断即可； （4）根据轴对称的性质进行判断并求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所作； （2）解：如图，即为所作； （3）解：与成轴对称，对称轴l如图所示； （4）解：与成中心对称，对称中心O如图所示． 11．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． (1)在网格中画出绕点按逆时针方向旋转后得到的； (2)将线段向右平移7个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到线段，画出线段；（点与点对应，点与点对应） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了画旋转图形，平移作图，根据题意正确作图是解题的关键． （1）根据旋转的性质，分别找到的对应点，顺次连接，即可求解； （2）根据平移的性质画出图形，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求： （2）解：如图所示，线段即为所求： 12．（24-25七年级下·江苏南京·期末）已知点是正六边形的对称中心，仅用无刻度的直尺完成下列画图． (1)如图①，是正六边形边上一点，画出点关于点的对称点； (2)如图②，是正六边形内部一点，画出点关于点的对称点． 【答案】(1)画图见解析 (2)画图见解析 【分析】本题考查中心对称的性质，准确识别出正六边形的对称性是解题的关键，在作图过程做要善于利用正六边形对称中心点． （1）连接并延长，交正六边形的边于点，点即为所求； （2）取正六边形顶点，找到点关于点对称的顶点，连接并延长交正六边形的边于点，连接并延长交正六边形的边于点，连接，连接并延长交于点，点即为所求． 【详解】（1）解：如图，点即为所求． （2）如图，点即为所求． 13．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）主题学习：探究平移、轴对称、旋转变换之间的联系． 如图，已知方格纸中每个小正方形的边长都是1． (1)在图①中画出三角形Ⅰ关于直线对称的三角形Ⅱ，再画出三角形Ⅱ关于直线对称的三角形Ⅲ，则三角形Ⅲ是否能够将三角形Ⅰ通过一次平移变换所得到？如果能，请写出平移的方法；如果不能，请说明理由； (2)在图②中画出三角形Ⅰ关于直线对称的三角形Ⅱ，再画出三角形Ⅱ关于直线对称的三角形Ⅲ，则三角形Ⅲ是否能够将三角形Ⅰ通过一次旋转变换所得到？如果能，请写出旋转的方法；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)作图，见解析；三角形Ⅲ能够将三角形Ⅰ通过一次平移变换所得到， 且通过向右平移6个单位长度得到 (2)作图，见解析；三角形Ⅲ能将三角形Ⅰ通过一次旋转变换所得到， 且以点O为中心，逆时针旋转得到 【分析】（1）根据轴对称作图的基本原理垂直等距作图，再根据平移的定义判断解答即可； （2）根据轴对称作图的基本原理垂直等距作图，再根据旋转的定义判断解答即可； 本题考查了轴对称作图，平移，旋转，熟练掌握作图，定义是解题的关键． 【详解】（1）解：根据轴对称作图的基本原理垂直等距作图作图如下： 则三角形Ⅱ，三角形Ⅲ即为所求， 根据平移的定义，得三角形Ⅲ能够将三角形Ⅰ通过一次平移变换所得到， 且通过向右平移6个单位长度得到． （2）解：根据轴对称作图的基本原理垂直等距作图作图如下： 则三角形Ⅱ，三角形Ⅲ即为所求， 根据轴对称，得，，， 得到是等腰直角三角形， 且， 根据旋转的定义，得三角形Ⅲ能将三角形Ⅰ通过一次旋转变换所得到， 且以点O为中心，逆时针旋转得到． 14．（24-25七年级下·江苏南京·期末）如图，在边长为1个单位长度的正方形网格中，的三个顶点，，均在格点上. (1)将向上平移2个单位长度，再向右平移6个单位长度后得到，画出； (2)画出关于点对称的； (3)绕某点旋转可以得到，画出旋转中心的位置. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换． （1）利用网格特点和平移的性质画出点A，B，C的对应点分别是点即可； （2）利用网格特点和旋转的性质画出点的对应点分别是点即可． （3）连接相交于点，则点即为所作． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求． （3）解：如图所示，点即为所求． ( 江苏 考点0 7 尺规作图问题 ) 1．（24-25七年级下·江苏南京·期末）如图，已知是轴对称图形，D是上一点．用直尺和圆规按下列要求作图（保留作图痕迹，可以写出必要的文字说明） (1)作的对称轴m； (2)过点D作一条直线n，与交于点E，使 【答案】(1)见解答 (2)见解答 【分析】本题考查作图-轴对称变换、平行线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）作线段AC的垂直平分线m即可． （2）先作的平分线，再在的下方作交于点E，作所在的直线n即可． 【详解】（1）解：如图，作线段的垂直平分线m， 则直线m即为所求． （2）如图，先作的平分线，再在的下方作交于点E，作所在的直线n， 则直线n即为所求． 2．（24-25七年级下·江苏连云港·期末）已知：在中，，．求作：点P，使点P在内部，且，．（尺规作图，不写作法，只留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题考查尺规作图． 作线段的垂直平分线，再作的平分线，两线相交于点P，则点P即为所求． 【详解】解：如图，作线段的垂直平分线，再作的平分线，两线相交于点P， 此时，， 则点P即为所求． 3．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）我们已经学习了平移，知道了平移的性质，请探索完成下列问题． 【知识激活】 （1）如图①，沿的方向平移，使点移动到点的位置，得到，分别连接．则与的关系为_________； 【知识应用】 （2）如图②，将沿方向向右平移得到，已知，若，，求四边形的面积； 【知识拓展】 （3）为切实保障居民用气安全，某地开展天然气设施改造工程．如图③所示，某小区（点）和天然气站（点），分别位于公路两侧，若公路的宽度是一定的（公路的两边），现要在地下通一条天然气管道接通两地，管道通过马路时，为了尽量少破坏马路，管道通过马路的部分与马路的一边互相垂直，求作管道的位置，使得从点到点的管道长度最短．（要求：用无刻度的直尺和圆规作图，保留作图痕迹，如有必要可写出文字说明，不写说明不扣分） 【答案】（1）且；（2）；（3）见解析 【分析】本题考查了平移的性质、尺规作图，熟练掌握平移的性质和尺规作垂线的方法是解题的关键． （1）利用平移的性质即可得出答案； （2）利用平移的性质得到，，，，计算出梯形的面积，再根据面积的等量代换得到，即可求解； （3）过点作直线，交直线于点，交直线于点，在线段上截取，连接交直线于点，过点作交直线于点，利用平移的性质可得，再根据线段的性质，则管道的位置即为所求． 【详解】解：（1）由平移的性质得：，， ∴与的关系为且； 故答案为：且； （2）由平移的性质得：，，，， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴四边形的面积为； （3）解：过点作直线，交直线于点，交直线于点，在线段上截取，连接交直线于点，过点作交直线于点， 由作图可得，，， ∴线段可以通过平移线段得到， ∴， ∵公路的宽度是一定的， ∴的长度是一定的， ∴， ∴当三点共线时，有最小值， ∴如图所示，管道的位置即为所求． 4．（24-25七年级下·江苏镇江·期末）图1是由两张大小相同的正方形纸片摆放成的一幅美丽的图案，它既是轴对称图形又是中心对称图形．请在图2中再画出一个正方形，使它们组成与图1形状相同的图案． 要求：仅用无刻度的直尺和圆规作图，保留作图痕迹，用铅笔或黑色水笔加黑加粗． 【答案】见解析 【分析】本题考查了复杂作图——作垂直平分线和相等线段，理解题意是解题关键．先作出相邻两边的垂直平分线，再以两条垂直平分线的交点为圆心，对角线长度的一半作弧，与垂直平分线有四个交点，依次连接即可得到图形． 【详解】解：如图即为所求作图形． 1 / 70 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $