专题02 整式乘法（期末真题汇编，江苏专用）七年级数学下学期

**基本信息** 江苏多地七年级下期期末真题汇编，聚焦整式乘法8大高频考点，涵盖计算、参数求解、几何综合等核心题型。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|含考点02等|多项式乘法求参数|结合江苏各地期末真题，注重基础概念辨析| |填空题|含考点01、04等|整式乘法计算、代数式求值|设置直接计算与规律探究题，梯度分明| |解答题|含考点03、08等|几何图形面积与整式综合、乘法公式变形|以“小菜园”“校园地块”为情境，融合数形结合思想，如长方形面积计算与完全平方公式应用|

专题02 整式乘法 8大高频考点概览 考点01 整式乘法计算 考点02根据多项式乘法求参数的值 考点03多项式乘法与几何图形综合 考点04 利用多项式乘法求代数式的值 考点05 乘法公式或变形求值 考点06 整式的化简 考点07 整式的化简求值 考点08 乘法公式与几何综合解答 ( 江苏 考点01 整式乘法 计算 ) 1．（24-25七年级下·江苏盐城·期末）计算：_______． 2．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）已知，，则______． 3．（24-25七年级下·江苏常州·期末）计算：__________． 4．（24-25七年级下·江苏常州·期末）计算： (1)； (2)． 5．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）计算： (1)； (2)． ( 江苏 考点0 2 根据多项式乘法求参数的值 ) 1．（24-25七年级下·江苏镇江·期末）要使的计算结果中不含的一次项，则，之间的关系为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·江苏南京·期末）已知，若都是整数，则的值不可能是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）计算结果中不含的一次项，则______． 4．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）已知的展开式中不含项，则常数的值为______． 5．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）的乘积中不含的二次项，则的值_____． 6．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）小明在计算时，小亮告诉他结果中的一次项系数为5，则的值为__________． 7．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）若与的乘积中，不含x的一次项，则常数k的值是______． ( 江苏 考点0 3 多项式乘法与几何图形综合 ) 1．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）若长方形的两条边长分别是和，则此长方形的面积是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·江苏·期末）如图，小正方形和大正方形相邻，且B、C、G三点在同一条直线上，C、D、E三点在同一条直线上，连接，，．若阴影部分的面积为12，则大正方形的面积与小正方形的面积之差为（    ） A．12 B．18 C．24 D．30 3．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题：“代数式的值与的取值无关，求的值”．通常的解题方法是：把，看作字母，看作系数合并同类项，因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，即原式，所以，则． (1)如果关于的多项式的值与的取值无关，那么的值为__________． (2)已知，，且的值与的取值无关，求的值． (3)有7张如图1的小长方形，长为，宽为，按照如图2的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分(图中阴影部分)，设右上角的面积为，左下角的面积为，设，当变化时，的值始终保持不变，求与之间的数量关系． 4．（24-25七年级下·江苏·期末）“小菜园”是淮阴中学开明分校设立的特色劳动课课程之一． 如图，初一（8）班的同学们在一块长为米，宽为米的长方形菜园里种植当季蔬菜，在阴影部分的区域内种植青椒，在中间边长为米的正方形区域内种植茄子． (1)求种植青椒区域的面积是多少平方米（用含a，b的代数式表示）； (2)当，时，种植青椒区域的面积为 平方米． 5．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）如图，某中学校园内有一块长为米，宽为米的长方形地块，学校计划在中间留下一个“”型的图形（阴影部分）修建一个文化广场． (1)用含，的式子表示“”型图形的面积并化简； (2)若，，预计修建文化广场每平方米的费用为50元，求修建文化广场所需要的费用． ( 江苏 考点0 4 利用多项式乘法求代数式的值 ) 1．（24-25七年级下·江苏南京·期末）若，则的值是_____________ 2．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）已知，，则的值等于______． 3．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）已知，则______． 4．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）观察下列各式： ；； ； 根据规律计算：的值是______． 5．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）当时，代数式的值为________． 6．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）先化简，再求值：，其中，． ( 江苏 考点0 5 乘法公式或变形求值 ) 1．（24-25七年级下·江苏镇江·期末）若a、b满足，则代数式的最小值为（   ） A．4 B． C． D． 2．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）已知，则代数式的值（ ） A．4 B．8 C． D． 3．（24-25七年级下·江苏南京·期末）若，，则______（用含有m，n的式子表示，结果需化简） 4．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）若，则的值为________． 5．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）若，则的值为________． 6．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）已知，，则______． 7．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）若，则___________． 8．（24-25七年级下·江苏镇江·期末）已知，，则__________． 9．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）若，，则______． ( 江苏 考点0 6 整式的化简 ) 1．（24-25七年级下·江苏盐城·期末）计算： (1)； (2)． 2．（24-25七年级下·江苏镇江·期末）计算 (1)； (2)． 3．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）计算： (1)； (2)． 4．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）计算： (1) (2) 5．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）计算： (1)； (2)． 6．（24-25七年级下·江苏徐州·期末）计算： (1) (2) 7．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）计算： (1) (2) 8．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）计算或化简： (1) (2) 9．（24-25七年级下·江苏连云港·期末）计算： (1)； (2)． 10．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）计算： (1)； (2)． 11．（24-25七年级下·江苏南京·期末）计算： (1)； (2)． 12．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）计算： (1) (2) 13．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）计算： (1)； (2)． ( 江苏 考点0 7 整式的化简求值 ) 1．（24-25七年级下·江苏南京·期末）先化简，再求值：，其中，． 2．（24-25七年级下·江苏南京·期末）先化简，再求值：，其中． 3．（24-25七年级下·江苏南京·期末）先化简，再求值：，其中，． 4．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）先化简，再求值：，其中，． 5．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）先化简，再求值，其中 6．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）求代数式的值，其中． 7．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）先化简，再求值：，其中． 8．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）先化简，再求值：，其中． 9．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）先化简，再求值：，其中． 10．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）先化简，再求值：，其中． 11．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）求代数式的值：，其中，． 12．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）先化简，再求值：，其中，． ( 江苏 考点0 8 乘法公式与几何综合解答 ) 1．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）将完全平方公式：进行适当的变形解决下列问题： (1)若，，求的值； (2)填空①若，则______； ②若，则______． (3)如图，在长方形中，，，、分别是、上的点，且，分别以、为边在长方形外侧作正方形和正方形，在长方形内侧作长方形，若长方形的面积为，求图中阴影部分的面积和． 2．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）在学习《整式乘法》时，我们借助图形的面积可以直观说明整式的乘法公式，了解公式的几何背景，经历了“以数解形”“以形助数”的思想方法——数形结合，某数学学习小组在研究完全平方公式时，把公式变形成，然后通过计算如图1阴影部分的面积说明了变形后的公式： (1)根据上面的信息回答：若，，则的值为_____ (2)如图，长方形周长为，以长方形的相邻两边为边长分别向外作正方形、正方形，若正方形、正方形的面积和为，直线与直线交于点，求长方形的面积； (3)如图，长方形面积为，将正方形叠放在长方形上，在线段上，在线段上，直线与直线交于点，若四边形和四边形都是正方形，，，求正方形的边长 (4)如图，四边形是正方形，，分别是上的点，且，，分别以为边长作正方形和正方形，若长方形的面积为，则阴影部分的面积为_____ 3．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）现有长与宽分别为的小长方形若干个，用两个相同的小长方形拼成图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： (1)根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于的关系式；（用含的代数式表示出来）； 图1表示：________；图2表示：________． (2)根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： ①若，求的值； ②如果，求的值． 4．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）【知识生成】已知通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图可以得到代数恒等式是______，基于此，请解决以下问题： 【直接应用】若，求的值； 【类比应用】若，求的值． 5．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．例如，在学习《整式乘法》时，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学恒等式． 【课本回顾】如图1，验证的是多项式乘以多项式的法则，当把法则中的字母特殊化，使得时，如图2，得到公式__________； 【自主探究】如图3，4个完全相同的长方形围成一个正方形．用两种不同代数式表示图3中阴影部分面积，代数式1：__________，代数式2：__________；根据代数式1、2，你能得到怎样的等式？试用乘法公式说明这个等式成立的理由． 【知识运用】若，运用你所得到的关系式，计算的值； 【知识延伸】已知，求的值． 6．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）已知线段，在上取一点O，将线段绕着点O顺时针旋转，得到线段，连接、、、，得到四边形． (1)当为多少时，四边形的面积最大？请直接写出的值； (2)当四边形的面积最大时，作点关于点O的对称点，连接、，若此时的面积为8，请求与的面积的和． 7．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）阅读下列材料并解答问题： 已知，求的值，可直接代入得：；若，求的值．如何解答?可令，则，代入得：．像这样把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，从而使问题得到简化的方法叫做换元法． (1)已知，令，则的值为_________； (2)若满足，求的值； (3)如图，在长方形中，，，点，分别是，上的点，且，分别以为边在长方形外侧作正方形和正方形，连接．若的面积为50，设正方形的面积为，正方形的面积为，求的值． 8．（24-25七年级下·江苏徐州·期末）如图1，用不同的方法表示阴影部分的面积，可以得到完全平方公式． (1)如图2，用不同的方法表示阴影部分的面积，可得公式________． (2)利用完全平方公式，解决下列问题： ①若，则的值为________； ②如图3，在线段上取一点D，分别以为边作正方形，连接．若图中两个阴影部分的面积之和为6，且的面积为4，求的长． 9．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式． （1）如图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线等分成4块小长方形．将4块小长方形拼成一个如图2的“回形”正方形．用两种不同的方法表示空白部分面积，可以验证恒等式________． （2）利用(1)中的恒等式解决问题： 【直接应用】①若，则________； 【类比应用】②若满足，求的值． 【知识迁移】 （3）已知和均为等腰直角三角形，分别是上的点，其中的面积是，求梯形的面积． 10．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）【发现问题】 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑．在该书的第2卷“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论． 【提出问题】 （1）观察下列图形，找出可以推出的代数公式．（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号） 公式①：； 公式②：． 图1对应公式___________；图2对应公式___________． 【解决问题】 （2）利用《几何原本》中记载的图形所表示的乘法公式，能解决下面的问题吗？ ①，求的值； ②，求． 【迁移运用】 （3）如图3，在六边形中，对角线和相交于点G，当四边形和四边形都为正方形且对角线时，若，阴影部分的面积和为35，请求出正方形和正方形的面积和．（提示：正方形的四条边都相等，四个角都是） 【拓展提升】 （4）如图4，是由四个等腰直角三角形拼成的一个图形，其中空白部分是一个长方形．记与的面积之和为与的面积之和为． ①当是边的中点时，则的值为___________； ②当不是边的中点时，①中的结论是否仍成立？若成立，写出说理过程；若不成立，请说明理由． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题02 整式乘法 ☆8大高频考点概览 考点01整式乘法计算 考点02根据多项式柔法求参数的值 考点03多项式乘法与几何图形综合 考点04利用多项式乘法求代数式的值 考点05乘法公式或变形求值 考点06整式的化简 考点07整式的化简求值 考点08乘法公式与几何综合解答 目目 考点01 整式乘法计算 1.(24-25七年级下江苏盐城期末)计算：3x2y-2y)= 【答案】-6x2y2 【分析】本题考查单项式乘以单项式，根据单项式乘以单项式的运算法则进行计算即可求解， 【详解】解：3x2y(-2y)=-6x2y2, 故答案为：-6x2y2. 2.(24-25七年级下·江苏苏州期末)已知A=2ab,B=a-b,则A·B= 【答案】2a2b-2ab 【分析】此题主要考查整式的乘法，解题的关键是熟知单项式乘多项式的运算法则。 根据单项式乘多项式的运算法则即可求解， 【详解】：A=2ab,B=a-b .'A.B=2ab(a-b)=2a2b-2ab2 故填：2a2b-2ab2. 3.(24-25七年级下江苏常州期末)计算：（2x-1)(x+2)= 【答案】2x2+3x-2 【分析】本题考查多项式乘以多项式，掌握算理是解决问题的关键，应用多项式乘法法则计算即可 【详解】解：（2x-1)(x+2), =2x2-x+4x-2, =2x2+3x-2 1/49 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 故答案为：2x2+3x-2. 4.(24-25七年级下·江苏常州期末)计算： (1)3°+31： (2)(a+3)a-2). 【答案10)3 4 2)a2+a-6. 【分析】本题主要考查了O指数幂与负整指数幂的运算、多项式乘以多项式 ()根据0指数幂与负整指数幂的运算法则，可得：原式=1+了再根据有理数的加法法则进行计算即可： (2)根据多项式乘以多项式的法则可得：原式=a2+3a-2a-6,再根据合并同类项的法则合并同类项即可. 【详解】(1)解：3°+31 *3 (2)解：(a+3)a-2 =a2+3a-2a-6 =a2+a-6. 5.（24-25七年级下·江苏无锡期末)计算： (2)2xx-3)-(x-2)x+1). 【答案】(1)1： (2)x2-5x+2. 【分析】本题考查了实数的混合运算，整式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键. (1)先依次计算有理数的乘方，零指数幂，负整数指数幂，再合并即可得出答案； (2)先利用单项式乘以多项式，多项式乘以多项式法则进行运算，再计算整式的加减即可得出答案。 【详解】1)解：(-2-”+ =4-1+(-2) 2/49 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 =1; (2)解：2x(x-3-(x-2)(x+1 =2x2-6x-(x2-x-2 =2x2-6x-x2+x+2 =x2-5x+2. 目目 考点02 根据多项式乘法求参数的值 1.(24-25七年级下.江苏镇江期末)要使(x-2m)(x-3n的计算结果中不含x的一次项，则m,n之间的 关系为() A.2m+3n=0 B.mn=0 C.2m-3n=0 D.m+n=-2 【答案】A 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的无关型问题，根据多项式乘以多项式的计算法则求出 (x-2m)(x-3n)的结果，再根据不含x的一次项，即含x的一次项的系数为O进行求解即可，掌握知识点的 应用是解题的关键 【详解】解：(x-2m(x-3n) =x2-3nx-2mx+6mn =x2-2m+3nx+6mn, ,计算结果中不含x的一次项， .-(2m+3n=0, .2m+3n=0, 故选：A· 2.(24-25七年级下·江苏南京·期末)已知(x+a)(x+b)=x2+mx-8,若，b都是整数，则m的值不可能 是() A.7 B.-7 C.9 D.-2 【答案】C 【分析】此题考查了多项式乘多项式，进行分类讨论是解题的关键. 根据多项式乘多项式的乘法法则，得到a+b=m,ab=-8,再根据a和b为整数，进行分类讨论计算即可. 3/49 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【详解】解：(x+a(x+b=x2+(a+b)x+ab=x2+mx-8, ..a+b=m,ab=-8, :a,b都是整数，， a=-1「a=-2「a=-4「a=-8 6=8或6=4，或6=2或6=1： a=-1 b=8时，m=a+6=7: a=-2 =4时m=a+b=2； 当 6=2时，m=a+6=-2: 当 a=-4 a=-8 b=1 时，m=a+b=-7; 综上所述，m的值为±2或7， 故m的值不可能是9， 故选：C. 3.(24-25七年级下·江苏宿迁·期末)（x+a)(x-3)计算结果中不含x的一次项，则a= 【答案】3 【分析】本题考查了多项式与多项式的乘法，要知道多项式中的每个单项式叫做多项式的项，题目设计精 巧，有利于培养学生灵活运用知识的能力，先根据多项式与多项式的乘法法则计算，然后令x的一次项系数 等于0，再解方程即可得到答案 【详解】解：：（x+a(x-3)=x2+(a-3)x-3a,且(x+a)(x-3的计算结果中不含x的一次项， .a-3=0, 解得a=3, 故答案为：3. 4.(24-25七年级下·江苏扬州期末)已知x-a)(-4x+1)的展开式中不含x项，则常数a的值为 【省】 【分析】本题考查了多项式乘积不含某项求字母的值的问题. 4/49 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 先根据多项式的乘法展开原式，再根据不含x项计算即可. 【详解】解：(x-aj(-4x+1=-4x2+x+4ax-a=-4x2+(1+4ax-a, ,(x-a)-4x+1)的展开式中不含x项， .1+4a=0, 1 即a=- 4 1 故答案为： 4 5.(24-25七年级下.江苏无锡期末)x2-mx+1x-2)的乘积中不含x的二次项，则m的值 【答案】-2 【分析】本题考查了多项式乘多项式，先根据多项式的乘法法则展开，再合并同类项，由乘积中不含x的二 次项，则x之的系数为0，由此求解即可. 【详解】解：x2-mx+1x-2 =x3-2x2-mx2+2mx+x-2 =x3-2+m)）x2+(2m+1x-2, “乘积中不含x的二次项， 2+m=0, 即m=-2, 故答案为：-2. 6.(24-25七年级下·江苏苏州期末)小明在计算(x-2)(x+n)时，小亮告诉他结果中的一次项系数为5， 则的值为 【答案】7 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式的计算，根据多项式乘以多项式的计算法则求出(x-2)(x+)的 结果，根据结果中的一次项系数为5即可得到答案。 【详解】解：(x-2)x+n =x2-2x+x-2n =x2+(n-2)x-2n, 结果中的一次项系数为5， 5/49 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .n-2=5, .n=7, 故答案为；7. 7.(24-25七年级下·江苏无锡期末)若(x-1)与1-kx)的乘积中，不含x的一次项，则常数k的值是 【答案】-1 【分析】本题考查多项式乘多项式不含某一项.熟练掌握多项式乘多项式的法则，正确的计算是解题的关 键 先进行多项式乘多项式的运算，使结果中x的一次项的系数为O,进行求解即可， 【详解】解：x-11-kx=-kx2+k+1)x-1, ,乘积中，不含x的一次项， .k+1=0, .k=-1 故答案为：-1 目目 考点03 多项式乘法与几何图形综合 1.(24-25七年级下·江苏宿迁期末)若长方形的两条边长分别是2n和3n-1,，则此长方形的面积是() A.6n2-1 B.6n2-2n C.10n-2 D.5n2-2n 【答案】B 【分析】此题考查了单项式乘以多项式的应用， 根据长方形的面积公式，面积等于长乘以宽列式求解即可. 【详解】，长方形的两条边长分别是2n和3n-1, .此长方形的面积是2n×3n-1=6n2-2n. 故选：B. 2.(24-25七年级下·江苏·期末)如图，小正方形ABCD和大正方形CEFG相邻，且B、C、G三点在同一 条直线上，C、D、E三点在同一条直线上，连接AE,DG,EG,若阴影部分的面积为12，则大正方形 CEFG的面积与小正方形ABCD的面积之差为() 6/49 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E F D C G A.12 B.18 C.24 D.30 【答案】C 【分析】本题考查了单项式乘以多项式的应用，设大正方形CEFG的边长为a,小正方形ABCD的边长为b, 则大正方形CEFG的面积为？，小正方形ABCD的面积为b2，,表示出阴影部分的面积，计算即可得解，熟 练掌握运算法则是解此题的关键， 【详解】解：设大正方形CEFG的边长为a,小正方形ABCD的边长为b,则大正方形CEFG的面积为， 小正方形ABCD的面积为b2, 阴影高分的面积为时a-创a+a-6=女2-b+分0=12. 2 .a2-b2=24, 故大正方形CEFG的面积与小正方形ABCD的面积之差为24， 故选：C 3.(24-25七年级下·江苏苏州期末)七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题：“代数式 ax-y+6+3x-5y-1的值与x的取值无关，求a的值”.通常的解题方法是：把x,y看作字母，a看作系 数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式=a+3)x-6y+5,所以 ,则a=-3. B S2 图1 图2 (1)如果关于x的多项式2m2+(3x-2)m-x的值与x的取值无关，那么m的值为 (2)已知A=3x2+x+2n,B=x2-2x+x,且A-3B的值与x的取值无关，求n的值. (3)有7张如图1的小长方形，长为a,宽为b,按照如图2的方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方 7149 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为S,左下角的面积为S2,设AB=x,当x变化 时，5S,-3S2的值始终保持不变，求a与b之间的数量关系. 【答案】() o号 (3)5a=6b 【分析】本题主要考查了整式加减运算和单项式乘以多项式的应用，解题关键是熟练掌握单项式乘以多项 式法则. (1)先把多项式化简，根据多项式的值与x的取值无关可知：化简后的多项式含有x的项的系数为O,列 出方程解答即可； (2)计算A-3B=(7n-3)x+2n,令7n-3=0,再根据多项式的值与x的取值无关可知：化简后的多项式 含有x的项的系数为O,列出方程解答即可； (3)观察图形，求出S,S2的长与宽，求出它们的面积，进而求出5S-3S2的差，进行判断即可. 【详解】(1)解：关于x的多项式2m2+(3x-2)m-x=(3m-1)x+2m2-2m, :关于x的多项式2m2+3x-2)m-x的值与x的取值无关， 3m-1=0, 即m二3 1 故答案为：3 1 (2):A=3x2+x+2n,B=x2-2nx+x, ·A-3B=(3x2+x+2n)-3(x2-2nx+x) =3x2+x+2n-3x2+6nx-3x =7n-3x+2n, 又：A-3B的值与x的取值无关， 7n-3=0, 即n=7 3 (3)由题意得，阴影部分的面积S,=ax-3b),S2=2bx-2a 8/49 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 5S-3S2=5×ax-3b)-3×2b(x-2a =5ax-15ab-6bx+12ab =(5a-6bx-3ab, :当x变化时，5S,-3S2的值始终保持不变， 5a-6b=0, 即5a=6b. 4.(24-25七年级下·江苏期末)“小菜园”是淮阴中学开明分校设立的特色劳动课课程之一.如图，初一 (8)班的同学们在一块长为3a+b)米，宽为2a+b)米的长方形菜园里种植当季蔬菜，在阴影部分的区域 内种植青椒，在中间边长为a+b)米的正方形区域内种植茄子. a-b 2a+b →a+b← 3a+b (1)求种植青椒区域的面积是多少平方米（用含α，b的代数式表示）： (2)当a=1,b=2时，种植青椒区域的面积为_平方米. 【答案】(1)5a2+3ab (2)11 【分析】本题考查整式的乘法的实际应用，代数式求值。 (1)种植青椒区域的面积等于长方形菜园面积减去正方形区域的面积，运用整式的乘法进行计算即可； (2)把a,b的值代入求值即可. 【详解】(1)解：种植青椒区域的面积为(3a+b)(2a+b)-(a+b) =(6a2+5ab+b2）-a2+2ab+b2） =6a2+5ab+b2-a2-2ab-b2 =5a2+3ab(平方米) 故答案为：5a2+3ab (2)解：当a=1,b=2时， 5a2+3ab=5×12+3×1×2=5+6=11, 9/49 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .种植青椒区域的面积为11平方米. 故答案为：11. 5.(24-25七年级下·江苏苏州期末)如图，某中学校园内有一块长为x+2y)米，宽为2x+y)米的长方形 地块，学校计划在中间留下一个“T”型的图形（阴影部分）修建一个文化广场. ()用含x,y的式子表示“T”型图形的面积并化简： (②)若x=2,y=5,预计修建文化广场每平方米的费用为50元，求修建文化广场所需要的费用. 【答案】(1)2x2+5xy)平方米 (2)2900元 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式与图形面积： (1)用大长方形面积减去两个空白部分的面积即可得到阴影部分面积： (2)由(1)可知绿化部分的面积为(2x2+5y)平方米，然后把x=2,y=5代入求解面积，进而求出对应 的费用即可. 【详解】(1)解：“T”型图形的面积为2x(x+2y)+xy=(2x2+5y)平方米， (2)解：当x=2,y=5时，原式=2×22+5×2×5=58平方米， ∴.修建文化广场所需要的费用为58×50=2900元. 目目 考点04 利用多项式乘法求代数式的值 1. (24-25七年级下·江苏南京期末)若2a2-2a-5=0,则3-aa+2)的值是 【答案】2 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先求出a-a=,再根据多项式柔以多项式的计算法则求出 (3-a(a+2)=-a2-a+6,然后整体代值计算即可. 【详解】解：，2a2-2a-5=0, 10/49 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 a2-a=2' .3-aja+2) =3a-a2+6-2a =a-a2+6 =-a2-a+6 5 =-二+6 2 2' 故答案为：2 7 2.(24-25七年级下·江苏淮安期末)已知m+n=5,mn=3,则(m-1(n-1)的值等于 【答案】-1 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，代数式求值，利用多项式乘以多项式的运算法则把代数式展开， 再把已知代入计算即可求解，掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键。 【详解】解：，m+n=5,mn=3, ∴.m-1(n-1=mn-m-n+1=mn-（m+n)+1=3-5+1=-1, 故答案为：-1， 3.(24-25七年级下江苏无锡期末)已知x+y=3,y=1,则(x+1(y+1)= 【答案】5 【分析】此题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键 利用多项式乘以多项式法则计算，变形后将已知代数式的值代入计算，即可解答. 【详解】解：，x+y=3,y=1, .(x+1(y+1)=y+x+y+1=1+3+1=5. 故答案为：5. 4.(24-25七年级下.江苏扬州期末)观察下列各式： (x-1(x+1)=x2-1;（x-1x2+x+1=x3-1: (x-1x3+x2+x+1=x4-1;… 根据规律计算：-22025+22024-22023+22022-…+24-23+22-2+1的值是 11/49 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】 -2206-1 3 【分析】本题考查多项式乘以多项式中的规律探究问题，将-22025+22024-2223+22022-…+24-23+22-2+1 变形为-×-2-×-2+20-2+20-+2*-2+2-2+，利用规律进行求解即可。 【详解】解：由题意：(x-1)(x+x-+x-2.…x2+x+1=x-1, 根据题干规律，令x=-2, -22025+22024-22023+22022-…+24-23+22-2+1 =2-小-242-242042-242-24 22026-1 =- 3 故答案为： 22026-1 3 5. (24-25七年级下.江苏扬州期末)当m2+2m-1=0时，代数式(m+3)(2m-1)-m的值为 【答案】-1 【分析】本题主要考查了整式的整体代入求值，先把要求的式子变成已知式子的形式，再整体代入求出答 案即可； 【详解】解：(m+3)(2m-1-m =2m2-m+6m-3-m, =2m2+4m-3, =2m2+2m-3, m2+2m-1=0, .m2+2m=1, .原式=2×1-3=-1， 故答案为：-1 6。(24-25七年级下江苏苏州期末)先化简，再求值：aa-2)+2a-ba+)-2a-b,其中 s、3 ’6=-1. 【答案】2-：- 4 【分析】本题主要考查了整式化简求值，熟练掌握整式混合运算法则，是解题的关键.先根据整式乘法混 合运算法则，平方差公式和完全平方公式进行化简，然后再代入数据求值即可。 12/49 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【详解】解：a(a-2b)+2(a-ba+)-2a-b =d2-2ab+2a2-b)-4a2-4ab+b) =a2-2ab+2a2-2b2-2a2+2ab 1b2 把a三二，b=-1代入得 2 目目 考点05 乘法公式或变形求值 1. (24-25七年级下.江苏镇江期末)若a、b满足a2+b2=2+ab,则代数式10-7ab的最小值为() 16 A.4 B. C.-2 D.-4 【答案】D 【分析】本题考查的是非负数的性质，不等式的解法，由(a-b)≥0可得a2+b2≥2ab,结合题干可得 2ab≤ab+2,即可得ab≤2，进一步可得答案 【详解】解：，a2+b2=2+ab,a2+b2≥2ab, .2ab≤ab+2, .ab≤2， 当ab取最大值2时， ∴.10-7ab的最小值为10-7×2=10-14=-4； 故选：D 2.(24-25七年级下.江苏宿迁期末)已知(2a+2b+1)(2a+2b-1)=63,则代数式a+b的值() A.4 B.8 C.±4 D.±8 【答案】C 【分析】本题主要考查平方差公式、代数式求值、完全平方公式，对原式的左边进行变形是解题的关键，先 对原式的左边进行变形，进而得出答案， 【详解】解：：(2a+2b+1(2a+2b-1 13/49 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 =(2a+2b)2-1 =4(a+b)2-1, 4(a+b)2-1=63, 则a+b=±4， 故选：C 3.(24-25七年级下·江苏南京·期末)若x+y=m,x-y=n,则y= （用含有m,n的式子表示， 结果需化简) 【答案】m2-2 4 【分析】本题考查完全平方公式，熟练掌握该公式是解题的关键.将：+y=m,x-y=n两边分别乘方并利 用完全平方公式展开，然后将两式相减求得的值即可. 【详解】解：：x+y=m,x-y=n, .(x+y)2=m2,(x-y)2=n2, x2+2xy+y2=m2①，x2-2xy+y2=n2②， ①-②得：4xy=m2-n2, 则y=m2-n2 1 4 故答案为：m-2 41 4.(24-25七年级下江苏泰州期末)若(x-3+(x-7)=30,则(x-5)的值为 【答案】11 【分析】本题考查了完全平方公式，求代数式的值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键，利用完全平方 公式将已知条件展开后计算可得x2-10x=-14,然后将(x-5)展开后代入数值计算即可. 【详解】解：(x-3)2+(x-7)2=30, .x2-6x+9+x2-14x+49=30, ∴.2x2-20x=-28, 则x2-10x=-14, :(x-5)=x2-10x+25 14/49 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 故将x2-10x=-14代入，可得-14+25=11. 故答案为：11. 5.(24-25七年级下·江苏泰州期末)若(x+3)2=x2+mx+9,则m的值为 【答案】6 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键.利用完全平方公式将(x+3)展 开，即可求得答案。 【详解】解：(x+3=x2+6x+9=x2+mx+9, 故m=6. 故答案为：6. 6.(24-25七年级下·江苏苏州期末)已知a2+b2=7,a+b=3,则ab= 【答案】1 【分析】此题主要考查了完全平方公式，把“a+b=3”两边同时平方，然后根据完全平方公式展开，再把 2+b2=7代入进行计算即可得解，掌握完全平方公式是解题的关键. 【详解】解：：a+b=3, .(a+b)=32,即a2+2ab+b2=9, a2+b2=7, ∴.7+2ab=9, 解得ab=1, 故答案为：1. 7.(24-25七年级下·江苏宿迁期末)若a+b=3,ab=-4,则a2+b2= 【答案】17 【分析】本题考查对完全平方公式的变形求值，熟记完全平方公式并灵活运用是解答的关键.根据完全平 方公式及整体代入求解即可. 【详解】解：a+b=3,ab=-4, .a2+b =(a+b)2-2ab =32-2×(-4 =9+8 15/49 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 =17, 故答案为：17. 8.(24-25七年级下江苏镇江期末)已知a2+ab+b2=7,a2-ab+b2=5,则(a+b)2 【答案】8 【分析】本题考查了代数式求值，完全平方公式，掌握(a±b)2=a2±2ab+b2是解题关键.将已知等作差， 得到ab=1,再结合完全平方公式计算求值即可. 【详解】解：a2+ab+b2=7,a2-ab+b2=5, a2+ab+b2-a2-ab+b2)=7-5, .2ab=2, ab=1, ∴(a+b)2=a2+2ab+b2=a2+ab+b2+ab=7+1=8, 故答案为：8 9.（24-25七年级下·江苏无锡期末)若(x+y)=6,灯y=2,则x2+y2= 【答案】2 【分析】本题主要考查完全平方公式的运用，由(x+y)2=6,可得x2+2xy+y2=6,然后把y=2代入即可 求解，熟练掌握完全平方公式是解题的关键。 【详解】解：(x+)=6, .x2+2xy+y2=6, xy=2, .x2+y2=2, 故答案为：2. 目目 考点06 整式的化简 1. (24-25七年级下·江苏盐城期末)计算： (1)(x+2)(x-4+xx+2): (2)(2x-y)2-(3x+2y)(3x-2y). 【答案】(1)2x2-8 (2)-5x2-4xy+5y2 16/49 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【分析】本题主要考查了整式的混合计算，熟知整式的相关计算法则是解题的关键 (1)先根据多项式乘以多项式和单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可； (2)先根据乘法公式去括号，然后合并同类项即可. 【详解】(1)解：（x+2)(x-4)+x(x+2) =x2+2x-4x-8+x2+2x =2x2-8: (2)解：(2x-y)2-(3x+2y)(3x-2y) =4x2-4xy+y2-(9x2-4y2） =4x2-4xy+y2-9x2+4y2 =-5x2-4xy+5y2. 2.(24-25七年级下·江苏镇江期末)计算 ()-3x2x+-2x; (2)(x-3(x+2-(x-1)2. 【答案】()x6 (2)x-7 【分析】本题考查的是单项式乘以单项式，积的乘方运算，多项式的乘法运算； (1)先计算单项式乘以单项式，积的乘方运算，再合并同类项即可： (2)先计算多项式乘以多项式，利用完全平方公式计算乘法，再合并即可， 【详解】(1)解：-3x2x+-2x2)月 =-3x6+4x6 =x6: (2)解：（x-3(x+2-(x-12 =x2+2x-3x-6-x2-2x+1 =x2-x-6-x2+2x-1 =x-7 3.(24-25七年级下·江苏宿迁期末)计算： -+-+9: (2)a3.a5-(3a2+a÷-a2） 17/49 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】(1)8 (2)-9a 【分析】(1)先根据有理数的乘方、零指数幂、负整数指数幂的运算法则计算，再根据有理数加减法则计 算即可； (2)先根据同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法法则计算，再合并同类项即可. 【详解】D解：(-+-3+ =-1+1+8 =8; (2)解：a3.a5-(3a+a÷-a2） =a8-9a+(-a） =-9a8. 【点晴】本题考查了有理数的混合运算，整式的混合运算，涉及(-)”、零指数幂、负整数指数幂、同底数 幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法运算等知识，熟练掌握相关运算法则是解题的关键， 4.（24-25七年级下·江苏无锡期末)计算： (1)）-12026+元-3.14 (2)(3m-n-m(m-n 3 【答案】(1)3 (2)8m2-5n+n2 【分析】此题考查了有理数的乘方，零指数幂和负整数指数幂，完全平方公式，解题的关键是掌握以上运 算法则. (1)首先计算有理数的乘方，零指数幂和负整数指数幂，然后计算加减： (2)首先计算完全平方公式，单项式乘多项式，然后计算加减： 【详解】(1)解：-1226+（π-3.14）°+ 3 =-1+1+3 =3; (2)解：(3m-n)-m(m-n 18/49 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 =9m2-6mn+n2-m2+mn =8m2-5mn+n2. 5.(24-25七年级下·江苏泰州期末)计算： (①)4x2(3xy2-7x); (2)4a+2)2-7(a+3)(a-3). 【答案】（①）12x2y2-28x (2)-3a2+16a+79 【分析】本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键. (1)根据乘法分配律计算即可； (2)根据完全平方公式和平方差公式将题目中的式子展开，然后合并同类项即可. 【详解】(1)4x2(3xy2-7x)=12x3y2-28x3; (2)4(a+22-7(a+3)(a-3) =4a2+4a+4)-7a2-9 =4a2+16a+16-7a2+63 =-3a2+16a+79. 6.(24-25七年级下·江苏徐州期末)计算： (1)(y+2(y-2)-(y-1(y-3). (2)(3x+2y)2-(x+2y)(7x-2y) 【答案】①)4y-7 (2)2x2+8y2 【分析】本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键。 (1)根据平方差公式和多项式乘多项式的运算法则将题目中的式子展开，然后合并同类项即可： (2)根据完全平方公式和多项式乘多项式的运算法则将题目中的式子展开，然后合并同类项即可 【详解】(1)解：(y+2)(y-2)-(y-1)(y-3) =y2-4-y2+4y-3 =4y-7: (2)(3x+2y)2-x+2y)(7x-2y =9x2+12xy+4y2-7x2-12xy+4y2 19/49 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 =2x2+8y2 7.(24-25七年级下·江苏宿迁期末)计算： ()5a2(-6ab (2(5-3p)2 【答案】(1)-2ab (2)25-30p+9p2 【分析】本题考查单项式乘以单项式，完全平方公式，正确计算是解题的关键： (1)根据单项式乘以单项式法则计算即可； (2)根据完全平方公式计算即可。 【详解】(1)解：子a2(-6ab)=-2ab (2)解：(5-3p)=5×5-5×2×3p+9p2=25-30p+9p2. 8.(24-25七年级下·江苏泰州期末)计算或化简： (1)(a+3)2+(a+1)(a-1 (2)2a+b-3)(2a-b+3) 【答案】(1)2a2+6a+8 (2)4a2-b2+6b-9 【分析】本题考查整式的混合运算，完全平方公式，平方差公式， (1)先根据完全平方公式，平方差公式进行计算，再合并同类项即可： (2)添括号后运用平方差公式，完全平方公式进行计算即可. 【详解】(1)解：(a+3)2+(a+1)(a-1) =a2+6a+9+a2-1 =2a2+6a+8; (2)解：(2a+b-3)(2a-b+3) =[2a+(b-3)][2a-(b-3] =4a2-(b-3)2 =4a2-b2+6b-9. 9.(24-25七年级下·江苏连云港期末)计算： 20/49 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1)2 ④-1+（π-3.14+ (2(a-22-(a+3(a-3). 【答案】(1)4 (2)-4a+13 【分析】此题考查了有理数的乘方，零指数幂和负整数指数幂，完全平方公式和平方差公式，解题的关键 是掌握以上运算法则 (1)首先计算有理数的乘方，零指数幂和负整数指数幂，然后计算加减： (2)首先计算完全平方公式和平方差公式，然后计算加减. 【详解】0--4-份 =-1+1+4 =4; (2)(a-2)-(a+3)(a-3) =a2-4a+4-(a2-9 =a2-4a+4-a2+9 =-4a+13. 10.(24-25七年级下江苏扬州期末)计算： a2--(--列 (2x+y(x-2y)-(3x-y)2. 【答案】(1)0 (2)-8x2-3y2+5xy 【分析】(1)先根据零指数幂、负整数指数幂、乘方的意义化简，再算除法，后算加减： (2)先根据多项式与多项式的乘法法则和乘法公式计算，再去括号合并同类项。 【详解】1)解：(2--（习-(+-到 =1-（-8)-(-27)÷(-3) =1+8-9 =0: 21/49 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)解：(x+y(x-2y)-(3x-y) =x2-2xy+xy-2y2-(9x2-6xy+y2） =x2-2xy+xy-2y2-9x2+6xy-y2 =-8x2+5xy-3y2. 【点晴】本题考查了有理数的混合运算，零指数幂和负整数指数幂的意义，多项式与多项式的乘法，乘法 公式，熟练掌握运算法则和乘法公式是解答本题的关键，· 11.（24-25七年级下·江苏南京期末)计算： 04-+ +(-3)÷(-3): (2)x-3y)(x+3y-(x-2y)2. 【答案】(1)-17 2)-13y2+4xy 【分析】本题考查了零次幂、负整数指数幂，乘方，完全平方公式，平方差公式，正确掌握相关性质内容 是解题的关键 (1)先化简零次幂，负整数指数幂，乘方，再运算除法，最后运算加法，即可作答 (2)先根据完全平方公式，平方差公式进行展开，再合并同类项，即可作答 2 【详解】①D解：(4标-°+》 +(-3)4÷-3) =1+9+81÷(-3 =1+9+(-27) =-17； (2)解：(x-3y)(x+3y)-（x-2y) =x2-9y2-(x2-4y+4y2） =x2-9y2-x2+4xy-4y2 =-13y2+4xy. 12.(24-25七年级下江苏宿迁·期末)计算： 22/49 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (①)2x2(x2-3x-2 -(3.14-π° 【答案】(1)2x4-6x3-4x2 (2)4 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，正确掌握运算法则是解题关键. (1)先算单项式乘多项式即去括号即可； (2)直接利用零指数幂的性质和负整数指数幂的性质以及有理数乘方运算法则化简进而得出答案， 【详解】(1)解：2x2(x2-3x-2 =2x4-6x3-4x2; 2解+-34- =1+4-1 =4 13.(24-25七年级下·江苏苏州期末)计算： (0(a2+(a2）3-aa3; (2)2(x+3)(x-3)-(2x-1)(x-2). 【答案】(1)a (2)5x-20 【分析】本题考查了整式乘法的混合运算、平方差公式，熟练掌握相关知识点是解题的关键. (1)利用幂的乘方、同底数幂的乘法运算法则化简，再合并即可； (2)利用平方差公式、多项式乘多项式的运算法则化简，再合并即可， 【详解】(1)解：(a2+(a2)'-aa =a6+a5-a5 =a; (2)解：2(x+3)x-3)-(2x-1)(x-2) =2(x2-9-(2x2-4x-x+2 =2x2-18-2x2+4x+x-2 =5x-20. 23/49 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 目目 考点07 整式的化简求值 1. (24-25七年级下.江苏南京·期末)先化简，再求值：(a+2b)(a-2b)-(a+2b)2,其中a=-2,b=1. 【答案】-4ab-8b2,0 【分析】本题考查了整式的混合运算和求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键.先根 据乘法公式算乘法，再合并同类项，最后代入求出即可. 【详解】解：(a+2b)(a-2b)-(a+2b)2 =a2-4b2-a2+4ab+4b2 =a2-4b2-a2-4ab-4b2 =-4ab-8b2 当a=-2,b=1时，原式=-4×-2)×1-8×12=0. 2.(24-25七年级下·江苏南京·期末)先化简，再求值：2(x-2)(x+2)-2(x-1)2，其中x=-3. 【答案】4x-10；-22 【分析】本题考查平方差公式，完全平方公式，整式的混合运算.先根据平方差公式与完全平方公式进行 计算，再合并同类项即可化简，最后代入求值. 【详解】解：2(x-2)(x+2)-2(x-1)2 =2(x2-4）-2x2-2x+1 =2x2-8-2x2+4x-2 =4x-10. 当x=-3时， 原式=4×(-3)-10=-22 3.(24-25七年级下·江苏南京期末)先化简，再求值：(a-b)(a-3b)-(2a-b),其中a=1,b=-1. 【答案】-3a2+2b2,-1 【分析】原式利用多项式乘多项式法则，以及完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，把α与b的 值代入计算即可求出值， 此题考查了整式的混合运算化简求值，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键 【详解】解：原式=a2-3ab-ab+3b2-4a2-4ab+b2） 24/49 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 =a2-4ab+3b2-4a2+4ab-b2 =-3a2+2b2 当a=1,b=-1时， 原式=-3×1P+2×(-1)2 =-1. 4.(24-25七年级下·江苏无锡期末)先化简，再求值：2(x+1)(x-)+(y-2x)y-(x-y),其中x=-1, 【答案】x2-2,-1 【分析】此题考查了整式的混合运算和乘法公式、代数式求值，先利用乘法公式和单项式乘以多项式法则 展开，再合并同类项得到化简结果，再把字母的值代入计算即可， 【详解】解：2(x+1)(x-1)+(y-2x)y-(x-y)2 =2(x2-1+y2-2xy-（x2-2xy+y2） =2x2-2+y2-2xy-x2+2xy-y2 =x2-2, 将x=-1代入得，原式=(-12-2=-1. 5.(24-25七年级下江苏淮安期末)先化简，再求值(m+2)(2-m)+3m(m-1,其中m= 【答案】2m2-3m+4,3 【分析】本题考查了整式的混合运算-化简求值，先根据整式的乘法公式和运算法则进行化简，再把的值 代入到化简后的结果中计算即可求解，掌握整式的乘法公式和运算法则是解题的关键， 【详解】解：原式=(2+m(2-m)+3m(m-l) =4-m2+3m2-3m =2m2-3m+4, 当m=。时， 2 原式=2× 1) -3x1+4 2 2 13 +4 22 25/49 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 =-1+4 =3. 6.(24-25七年级下-江苏苏州期末)求代数式(2a+1(a-1-2(a-)2-3a+1(a-1的值，其中a=; 3 【答】 【分析】本题考查了整式的化简求值，先利用整式的乘法、完全平方公式和平方差公式进行运算，再合并 同类项，然后将a-代入化简后的式子计第，即可求出原式的答案 【详解】解：(2a+1(a-1)-2(a-1)2-3(a+1(a-1 =2a2-a-1-2(a2-2a+1-3a2-l =2a2-a-1-2a2+4a-2-3a2+3 =3a-3a2, 7.（24-25七年级下·江苏扬州期末)先化简，再求值：（2a+b)+(b-a)(b+a-3aa-b),其中 1 0=3b=3. 【答案】2b2+7ab,25 【分析】此题考查了整式的化简求值，先利用乘法公式和单项式乘以多项式计算得到化简结果，再把字母 的值代入计算即可 【详解】解：原式=4a2+4ab+b2+b2-a2-3a2+3ab =2b2+7ab 号=3时 原式=2×32+7×二×3=25 8.(24-25七年级下江苏扬州期末)先化简，再求值：(x+1)2-(3+x)3-x)+x(7+2x),其中4x2+9x=6. 【答案】4x2+9x-8,-2 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，解题关键是熟练掌握完全平方公式、平方差公式、合并同类项 法则和单项式乘多项式法则， 先根据完全平方公式、平方差公式、合并同类项法则和单项式乘多项式法则进行化简，再把4x2+9x=6代 26/49 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 入化简后的式子进行计算即可. 【详解】解：(x+1)2-(3+x)3-x)+x(7+2x) =x2+2x+1-9+x2+7x+2x2 =x2+x2+2x2+2x+7x+1-9 =4x2+9x-8 当4x2+9x=6时 原式=6-8=-2. 9.2425七年级下江苏苏州期末)先化简，再求值：(3+4+3-4x3+4,其中x=号 【答案】24x+18,12. 【分析】本题主要考查了整式的化简求值 先根据完全平方公式和平方差将括号去掉，再合并同类项，最后将x的值代入进行计算即可. 【详解】解：(3+4x)+3-4x)(3+4x =9+24x+16x2+9-16x2 =24x+18, 当x=-时， 4 原式=24× 18=-6+18=12 4 10. (24-25七年级下·江苏淮安期末)先化简，再求值：（x+y)-2x(2x-y),其中x=-1,y=-2 【答案】3x24xyy2:9 【分析】本题主要考查了整式化简求值，熟练掌握完全平方公式和整式乘法运算法则，是解题的关键.根 据完全平方公式和单项式乘多项式运算法则进行计算，然后再代入数据求值即可. 【详解】解：(x+y)2-2x(2x-y) x2 2xy y2 4x2 2xy 3x2 4xy y2, 把x=-1,y=-2代入得： 原式31241222 384 27/49 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 =9 11.(24-25七年级下·江苏泰州期末)求代数式的值：(x-y)+(x+y)(x-y)-2x(x+y),其中x=-1, 3 【答案】4xy,6 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，解题关键是熟练掌握完全平方公式、平方差公式、单项式乘多 项式法则和合并同类项法则，先根据完全平方公式、平方差公式、单项式乘多项式法则和合并同类项法则 进行化简，再把x,y的值代入化简后的式子进行计算即可. 【详解】解：(x-y)+(x+y)(x-y)-2x(x+y) =x2-2y+y2+x2-y2）-(2x2+2y =x2-2xy+y2+x2-y2-2x2-2xy =4xy; 当=-1，：原武=4-06 12.(24-25七年级下江苏无锡期末)先化简，再求值：(a+b)(a-b)-（a-b),其中a=-1,b=2. 【答案】2ab-2b2,-12 【分析】本题主要考查整式的化简求值，掌握平方差和完全平方公式，合并同类项是解题的关键， 先利用平方差和完全平方公式化简，再代入求值，即可求解 【详解】解：(a+b)(a-b)-(a-b)2=a2-b2-(a2-2ab+b2) =a2-b2-a2+2ab-b2=2ab-2b2. 当a=-1,b=2时，原式=2×(-1)×2-2×22=-4-8=-12. 目目 考点08 乘法公式与几何综合解答 1. (24-25七年级下·江苏宿迁·期末)将完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2进行适当的变形解决下列问 题： (1)若x+y=8,x2+y2=40,求y的值； 28/49 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)填空①若x4-x=3,则x2+(x-4)2=; ②若4-x)(5-x=8,则(4-x)2+(5-x)2= (3)如图，在长方形ABCD中，AB=25,BC=15,E、F分别是BC、CD上的点，且BE=DF=x,分别以 FC、CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和正方形CEMN,在长方形ABCD内侧作长方形CEPF, 若长方形CEPF的面积为150，求图中阴影部分的面积和. G H C E M 【答案】(1)12 (2)①10：②17 (3)400 【分析】(1)将x+y=8两边同时平方并利用完全平方公式展开，再将已知数值代入计算即可； (2)①设4-x=a,则xa=3,x+a=4,利用完全平方公式求得x2+a的值即可；②设4-x=m, 5-x=n,则mn=8,m-n=-1,利用完全平方公式求得m2+n2的值即可： (3)由题意易得CF=25-x,CE=15-x,则(25-x)15-x)=150,设25-x=p,15-x=9,那么 p9=150,p-9=10,利用完全平方公式求得p2+g2的值即可. 本题主要考查了完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2的灵活应用，熟练掌握完全平方公式的变形（如 a2+b2=(a+b)2-2ab、(a-b)2=(a+b)2-4ab等)，并能结合题目条件准确代入计算是解题的关键。 【详解】(1)解：x+y=8, (x+y)2=64, .x2+2xy+y2=64, x2+y2=40, .40+2xy=64, .y=12; (2)解：①设4-x=a,则xa=3,x+a=4, 29/49 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .(x+a)2=16, .x2+2xa+a2=16, x2+6+a2=16, .x2+a2=10, 即x2+(x-4)2=10, 故答案为：10： ②设4-x=m,5-x=n,则mn=8,m-n=-1, .(m-n)2=1, ∴.m2-2mn+n2=1, m2-16+n2=1, .m2+n2=17, 即(4-x)2+(5-x)2=17, 故答案为：17； (3)解：：AB=25,BC=15,BE=DF=x, .CF=25-x,CE=15-x, (25-x(15-x=150, 设CF=25-x=p,CE=15-x=9, 那么p9=150,p-9=10, .(p-q)2=100, .p2-2pq+q2=100, p2-300+g2=100, p2+g2=400, 即图中阴影部分的面积和为400 2.(24-25七年级下·江苏准安期末)在学习《整式乘法》时，我们借助图形的面积可以直观说明整式的乘 法公式，了解公式的几何背景，经历了“以数解形“以形助数”的思想方法一数形结合，某数学学习小组在 研究完全平方公式时，把公式(a+b)2=a2+2ab+b2变形成a2+b2=(a+b)2-2ab,然后通过计算如图1阴 30/49 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 影部分的面积说明了变形后的公式：a2+b2=(a+b)2-2ab H GI R H G a D D H 图1 图2 图3 图4 (1)根据上面的信息回答：若a+b=10,ab=19,则a2+b2的值为 (②)如图2，长方形ABCD周长为20，以长方形ABCD的相邻两边AD、CD为边长分别向外作正方形ADGH、 正方形CEFD,若正方形ADGH、正方形CEFD的面积和为80，直线HG与直线EF交于点I,求长方形 DFIG的面积； (3)如图3，长方形ABCD面积为32，将正方形MNPD叠放在长方形ABCD上，A在线段MD上，C在线段 DP上，直线HG与直线EF交于点I,若四边形ADGH和四边形CEFD都是正方形，AM=2,CP=6,求 正方形HBEI的边长 (④如图4，四边形ABCD是正方形，E,F分别是AD、DC上的点，且AE=1,CF=3,分别以MF、DF为 边长作正方形MFRN和正方形DFGH,若长方形EMFD的面积为24，则阴影部分的面积为 【答案】(1)62 (2)10 (3)12 (4)20 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，算术平方根的应用，解决本题的关键是利用完全平方公式的 两个形式之间的相互转化求解 (1)把a+b=10,ab=19整体代入a2+b2=(a+b2-2ab求值即可； (2)设长方形ABCD的长为AD=BC=x,宽为AB=DC=y,则有大正方形BEIH的边长为x+y=10,根据 正方形ADGH、正方形CEFD的面积和为80，可得x2+y2=80,根据(x+y)2=x2+y2+2xy可得 102=80+2xy,从而可得xy=10,即长方形DF1G的面积为10： (3)设长方形ABCD长为AD=BC=m,宽为AB=DC=n,因为长方形ABCD面积为32，则mn=32,根 据四边形ADGH和四边形CEFD都是正方形，可得BE=BH=m+n,因为四边形MNPD是正方形，所以 31/49 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 m+2=n+6,从而可得m-n=4,根据(m+n)2=(m-n)2+4mn,可得(m+n)2=144,两边同时开方可以 求出正方形HBEI的边长为12： (4)设长方形EMFD的长为ED=MF=p,宽为EM=DF=q,根据AE=1,CF=3,可得p-q=2,根 据长方形EMFD的面积为24，可得p9=24，根据(p+q)=(p-q)+4Pq,可得p+9=10,因为阴影部分 的面积为p2-g2=(p+q)(p-q),把p-9=2和p+9=10整体代入计算即可求出阴影部分的面积. 【详解】(1)解：：a+b=10,ab=19, a2+b2 =(a+b)2-2ab =102-2×19 =100-38 =62, 故答案为：62： (2)解：设长方形ABCD的长为AD=BC=x,宽为AB=DC=y, 则有大正方形BEIH的边长为x+y=10, 正方形ADGH的面积为x、正方形CEFD的面积为y,长方形DFIG和长方形ABCD的面积均为， :正方形ADGH、正方形CEFD的面积和为80， .x2+y2=80, (x+y)2=x2+y2+2xy, .102=80+2xy, 解得：xy=10, :长方形DF1G的面积为10； (3)解：设长方形ABCD长为AD=BC=m,宽为AB=DC=n, :长方形ABCD面积为32， mn=32, “四边形ADGH和四边形CEFD都是正方形， :BE BH m+n 四边形MNPD是正方形， 32/49 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :AD+AM =DC+PC, .m+2=n+6, .m-n=4, (m+n)2 =m2+2mn+n2 =m2-2mn+n2+4mn =(m-n+4mn =42+4×32 =144, :m+n=12或m+n=-12(负值舍去)， :正方形HBEI的边长为12； (4)解：设长方形EMFD的长为ED=MF=p,宽为EM=DF=q, :四边形ABCD是正方形， :AE ED CF DF ·AE=1,CF=3, .1+p=3+9, …p-9=2, :四边形DFGH是正方形， :GF=DF=q, ..MG=MF-GF=p-g=2, :长方形EMFD的面积为24， …p9=24, ∴.(p+q)=(p-q)+4p9=4+4×24=100, 解得：p+q=10或p+q=-10(负值舍去)， :阴影面积=p2-g1 =(p+q)(p-q) =10×2 =20 33/49 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 故答案为：20. 3.(24-25七年级下·江苏淮安期末)现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用两个相同的小长方形 拼成图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题： b 图1 图2 (I)根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于a、b的关系式；（用含α、b的代数式表示出来）； 图1表示： ；图2表示： (②)根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： ①若x+y=4,x2+y2=13,求y的值； ②如果2m+3n=5,mn=1,求4m2-9n2的值， 【答案】(1)川a+b)2=a2+2ab+b2;（a+b)2=(a-b)2+4ab a0号@5 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景及完全平方公式的变形应用，平方差公式，解题的关键是熟 练掌握完全平方公式和平方差公式： (1)图1中由两个长与宽分别为、b的小长方形与一大一小两个正方形构成一个大的正方形，利用边长 为(a+b)正方形的面积等于两个长方形的面积加边长分别为α，b的正方形的面积可得：图2中利用大正方 形的面积等于4个长方形的面积加小正方形的面积可得： (2)①将根据完全平方公式用含有x+y,x2+y2的式子表示出来，然后代入求值即可. ②利用完全平方公式先求出2m-3n=±1，再根据平方差公式求解即可. 【详解】(1)解：图1表示a+b)=a2+2ab+b2; 图2表示(a+b)2=(a-b)2+4ab; 故答案为：(a+b)2=a2+2ab+b2;(a+b)2=(a-b)2+4ab; (2)解：①.x+y=4, .(x+y=x2+2xy+y2=16, 34/49 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ,x2+y2=13, .2y=16-13=3, 即w ②，2m+3n=5,mn=1, ∴.(2m-3n2=(2m+3n)2-4×2m×3n =(2m+3n)2-24mn 5224 =1, .2m-3n=±1， 当2m-3n=1时，4m2-9n2=(2m+3n(2m-3nm=5×1=5; 当2m-3n=-1时，4m2-9n2=(2m+3n(2m-3n)=5×(-1）=-5: 综上分析可知：4m2-9n2=±5. 4.(24-25七年级下·江苏扬州期末)【知识生成】已知通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式. 例如图可以得到代数恒等式是，基于此，请解决以下问题： 【直接应用】若x+y=3,x2+y2=5,求y的值； 【类比应用】若(2023-m)(2024-m)=6,求(2023-m2+(2024-m)2的值. 【答案】【知识生成】(a+b)2=a2+2ab+b2 【直接应用】2 【类比应用】13 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，熟知完全平方公式是解题的关键. 【知识生成】：根据图形面积的两种表示方法，即可求解； 【直接应用】：根据完全平方式，先将x+y=3,两边同时平方再展开，即可求解： 35/49 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【类比应用】：设x=2023-m,y=2024-m,则(2023-m)2+(2024-m2=x2+y2,再通过 x-y)}2=x2-2y+y2,即可求解。 【知识生成】解：根据正方形面积可知，S=(a+b), 又面积还可以表示为：S=a2+b2+ab+ab=a2+b2+2ab, 所以根据面积相等，得(a+b)2=a2+2ab+b2. 【直接应用】x+y=3,x2+y2=5, .由x+y=x2+2xy+y2得32=5+2y, .y=2. 【类比应用】设x=2023-m,y=2024-m, 则由(2023-m)(2024-m)=6,得y=6, 则(2023-m+(2024-m2=x2+y2, 又(x-y)=x2-2xy+y2,x-y=(2023-m)-(2024-m)=-1, .x2+y2=(x-y+2xy=(-102+2×6, .x2+y2=13. 5.(24-25七年级下·江苏泰州期末)我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先 生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”.例如，在学习《整式乘法》时，对于一个图形，通过不同 的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学恒等式. b b a 6 a a 6 图1 图2 图3 【课本回顾】如图l,验证的是多项式乘以多项式的法则(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd,当把法则中的字 母特殊化，使得b=d时，如图2，得到公式(a+d)(c+d)= 【自主探究】如图3,4个完全相同的长方形围成一个正方形.用两种不同代数式表示图3中阴影部分面积， 36/49 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 代数式1： 代数式2： ;根据代数式1、2，你能得到怎样的等式？试用乘法公式说 明这个等式成立的理由. 【知识运用】若2x-3y=5,y=1,运用你所得到的关系式，计算(2x+3y)的值； 【知识延伸】已知(x-2023)2+(x-2025)2=10,求(x-2024)2的值. 【答案】课本回顾：ac+ad+cd+dP;自主探究：4ab;(a+b)-(a-b);(a+b)2-(a-b)=4ab,理由 见解析；知识运用：49；知识延伸：4 【分析】本题考查了乘法公式和完全平方公式的几何背景。 课本回顾：根据大矩形的面积可以表示为4个小矩形的面积相加，可得公式： 自主探究：阴影部分面积可以表示为4个长方形的面积的和，也可表示为大正方形的面积减去小正方形的 面积，分别表示出来即可得出结论，再用乘法公式展开、合并同类项即可证明； 知识运用：由(2x+3y)=(2x-3y)+4·2x3y,再代入数值进行计算即可； 知识延伸：设a=-2023,6=-2025,可得a-6=2,a+)=-2024,再求解06=3， (a+b)2=a2+2ab+b2=16,从而可得答案。 【详解】解：课本回顾：由图可知，大矩形的面积为：(a+d)(c+d)=ac+ad+cd+d2, 故答案为：ac+ad+cd+d; 自主探究：用两种不同代数式表示图3中阴影部分面积， 代数式1：4ab, 代数式2：（a+b)2-(a-b)2; .得到的等式为：（a+b)2-(a-b)2=4ab, 理由：(a+b)2-(a-b) =(a+b)(a+b)-a-b)(a-b) =(a2+ab+ab+b2)-(a2-ab-ab+b2) =a2+ab+ab+b2-a2+ab+ab-b2 =4ab, .(a+b)2-(a-b)=4ab: 37/49 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 故答案为：4ab;(a+b)2-(a-b)2; 知识运用：(2x+3y)}2 =(2x-3y)2+4.2x3y =(2x-3y)2+24y, 2x-3y=5,xy=1, .原式=52+24=49； 知识延伸：设a=x-2023,b=x-2025, 0-6=2.a+=x-2024 .(a-b2=a2-2ab+b2=4, (x-2023)2+(x-2025)2=10, .a2+b2=10,10-2ab=4, .ab=3, .(a+b2=a2+2ab+b2=16, x-2024=a+b3=4, 6.(24-25七年级下·江苏无锡期末)已知线段AB=10,在AB上取一点O,将线段AB绕着点O顺时针旋 转a(O<a<I80),得到线段AB,连接AA'、A'B、BB'、BA,得到四边形AB'BA. (I)当α为多少时，四边形AB'BA'的面积最大？请直接写出α的值； (②)当四边形AB'BA的面积最大时，作点A关于点O的对称点A”,连接AA”、BA”,若此时AOB'的面积 为8，请求△B'AA”与△B'BA"的面积的和， 【答案】(1)a=90时，四边形AB'BA'的面积最大 (2)30 【分析】本题考查旋转的性质，几何面积的最值，以及对称点的应用，完全平方公式的几何应用，解答的 关键在于理解旋转后四边形的面积变化规律，并利用对称性进行面积计算. (1)根据题意画出图形，由图可知，当AB⊥AB时，点A到AB的距离最大，点B到AB的距离最大，此 时四边形AB'BA'的面积最大，进而可得a=90; (2)设0A=0A'=a,0B=0B'=b,则a+b=10,分当a<b时和当a>b时两种情况，画出对应图形，利 38/49 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 用完全平方公式求解求解即可， 【详解】(1)解：如图， A B 由图可知，当AB⊥AB时，点A到AB的距离最大，点B到AB的距离最大， 此时四边形A884的面积=Sa+5w=号A801+0)=4BB-50最大， .当a=90时，四边形AB'BA的面积最大； 2)解：设0A=0A'=a,0B=0B'=b,则a+b=10, 当a<b时，如图，点A关于点O的对称点A在OB'上，且OA”=OA'=a, A B' 由A0B'的面积为8得)ab=8,即ab=16, SE边形ABBr=50=S40r+SB08+S,B0r+S.A0B :5a2+2+ab+ab=50,则a+6=68, 1 1 2 2 .(b-a2=a2+b2-2ab=68-2×16=36, ∴.b-a=6, SA+S8r三)APB.OA+ABOB =AB(OA+OB例 =l(b-a)(a+b) =30: 39/49 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 当a>b时，如图，点A关于点O的对称点在OB'的延长线上，且OA"=OA'=a, B 同理可求得a-b=6, Ssr+5aar=8-01+51g.OB 2 2 =2(a-b)(a+b) =30, 综上，△B'AA”与△B'BA”的面积的和为30. 7.(24-25七年级下·江苏苏州期末)阅读下列材料并解答问题： 已知a2+b2=13,(a+b2=25,求ab的值，可直接代入(a+b)2=a2+b2+2ab得：ab=6;若 (12-c2+(c-4)2=6,求(12-c(c-4)的值.如何解答？可令12-c=a,c-4=b,则a+b=8,a2+b2=6,代 入(a+b)=a2+b2+2ab得：ab=29.像这样把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，从而使问 题得到简化的方法叫做换元法， M D K (1)已知(m-n)2=7,令a=(n-m,则a的值为 (2)若c满足(c-2026)2+(c-2025)2=2024,求(2026-c(c-2025)的值； (3)如图，在长方形ABCD中，AB=15,AD=10,点E,K分别是BC,CD上的点，且BE=DK,分别 以EC,CK为边在长方形ABCD外侧作正方形EFGC和正方形CMWK,连接EK.若△CEK的面积为5O,设 正方形EFGC的面积为S,正方形CMWK的面积为S,,求S+S的值. 40/49 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】(1)7 ②- 023 2 3)225 【分析】本题考查了完全平方公式的应用、换元法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键. (1)根据题意即可求解； (2)令a=2026-c,b=c-2025,则a+b=1,由题意得a2+b2=2024,再利用(a+b)2=a2+b2+2ab, 求出ab的值，即可解答； (3)由题意得，CD=AB=15,BC=AD=10,设BE=DK=x,则CE=BC-BE=10-x, CK=CD-DK=15-x,根据图形的面积公式可得10-x)15-x)=100,S,+S,=(10-x)+(15-x),令 a=10-x,b=15-x,则a-b=-5,ab=100,利用(a-b)2=a2+b2-2ab求出a2+b2的值，即可解答 【详解】(1)解：：(m-n2=7, ∴.(n-m)=(m-n2=7, ∴.令a=(n-m2,则a的值为7； 故答案为：7； (2)解：令a=2026-c,b=c-2025,则a+b=1, (c-2026+(c-2025)=2024, .(2026-c+(c-2025)2=2024,即a2+b2=2024, (a+b)2=a2+b2+2ab, .12=2024+2ab, ab=-2023 2, (2026-cc-2025)=ab=_2023 ； (3)解：由题意得，CD=AB=15,BC=AD=10, 设BE=DK=x,则CE=BC-BE=10-x,CK=CD-DK=15-x, ,△CEK的面积为50， ÷0-15-到=50， 41/49 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .(10-x)(15-x=100, ,正方形EFGC的面积为S,正方形CMNK的面积为S2, .S+S2=CE2+CK2=(10-x2+(15-x)2, 令a=10-x,b=15-x,则a-b=-5,ab=100, (a-b)2=a2+b2-2ab, .(-5)2=a2+b2-2x100, .a2+b2=-225, ∴.S,+S2=(10-x)2+(15-x)=a2+b2=225. 8.(24-25七年级下·江苏徐州期末)如图1，用不同的方法表示阴影部分的面积，可以得到完全平方公式 (a+b)2=a2+2ab+b2. Q B G a (图1) (图2) (图3) (1)如图2，用不同的方法表示阴影部分的面积，可得公式 (②)利用完全平方公式，解决下列问题： ①若(x-2025)2+(x-2026)2=2031,则(x-2025)x-2026)的值为 ②如图3，在线段CE上取一点D,分别以CD,DE为边作正方形ABCD,DEFG,连接BG,CG,EG.若图中 两个阴影部分的面积之和为6，且△CDG的面积为4，求CE的长. 【答案】(1)(a-b)2=a2-2ab+b2 (2)①1015；②CE=6 【分析】本题考查了几何图形与完全平方公式，完全平方公式的变形应用等知识，正确而灵活地应用是解 题的关键 (1)一方面，阴影部分面积直接由边长为α-b的正方形面积计算求得；另一方面，阴影部分面积可用边长 为a的大正方形面积减去两个长宽分别为a与b的长方形面积，这样多减去了一个边长为b的正方形面积， 42/49 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 于是再加上边长为b的正方形面积；由此可得公式(a-b)2=a2-2ab+b2; (2)①设x-2025=a,x-2026=b,由题意得a2+b2=2031,由所设得a-b=1,利用完全平方公式变形 即可求得b,从而求得结果； ②设CD=x,DE=y;由Scc=4,得y=8.根据阴暗部分面积和为6，求得x2+y2=20,直接利用完全 平方公式即可求解。 【详解】(1)解：一方面，阴影部分面积为(a-b); 另一方面，阴影部分面积为a2-2ab+b2, .(a-b)2=a2-2ab+b2: 故答案为：(a-b)2=a2-2ab+b2; (2)解：①设x-2025=a,x-2026=b, (x-2025)2+(x-2026)2=2031, .a2+b2=2031: 由所设得a-b=x-2025-(x-2026)=1, (a-b)2=a2-2ab+b2, .1=2031-2ab, ∴.ab=1015; 故答案为：1015： ②设CD=x,DE=y, 由题意，得5eCD-GD-=4, .y=8, 又Sc= 484G=-外sFGr 2 2 Se=S+56o=-功+3少2= 2y=x2+ 1 y2-4=6. 2 2 2 整理，得x2+y2=20. (x+y)2=x2+y2+2xy=20+2×8=36. ∴.x+y=6或-6（舍去）. 故CE=CD+DE=6. 43/49 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 9.(24-25七年级下·江苏扬州期末)通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式. (1)如图1是一个长为2a,宽为2b的长方形，沿图中虚线等分成4块小长方形.将4块小长方形拼成一 个如图2的“回形”正方形.用两种不同的方法表示空白部分面积，可以验证恒等式 6 图1 图2 (2)利用(1)中的恒等式解决问题： 【直接应用】①若y=4,x+y=6,则(x-y)= 【类比应用】②若x满足x-2)(5-x=2,求(2x-7)的值， 【知识迁移】 (3)已知ABC和ADE均为等腰直角三角形，E,D分别是AB,AC上的点，其中 ∠MC=90心1D=90,B=24D8的面积是空求稀形E8CD的面积 E D 【答案】(1)(a+b)2-(a-b)2=4ab;(2)①20；②1；(3)8 【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，以及灵活变形的应用，解决此题的关键是熟 练掌握变形： (1)根据题意用两种方式表达空白部分的面积，即可得到恒等式： (2)①根据(1)得到的恒等式直接代入求值即可； ②次小问题需要先运用整体思想，把x-2,5-x看着一个整体，得到完全平方公式变形的形式即可求解： (3)此小问是对公式变形的应用，需要自己根据题意得到各个部分的值，最后根据变形求出答案即可； 【详解】解：(1)由题意和图可知，整个正方形的面积为(a+b)2,阴影部分的面积为(a-b)2,所以空白 44/49 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 部分的面积为(a+b)2-(a-b)2,空白部分的面积还可以表示为4ab,则恒等式为(a+b)2-(a-b)2=4ab, 故答案为：(a+b)2-(a-b)2=4ab; (2),xy=4,x+y=6, .(x-y)2=(x+y)2-4xy=36-16=20, 故答案为：20： ②令a=x-2,b=5-x, 由题意可知a+b=3, a-b=x-2)-(5-x)=2x-7, ∴.(a-b)2=(2x-7)2 (a+b)2-(a-b)=4ab .9-（a-b)=8, .(a-b)=1, .(2x-7)2=1, 故答案为：1 (3)AE=ED=m,AB=BC=n, 1 15 由题意可知n-m=2,二mn= 2 .mn=15 (m+n)-(m-n)=4mn ∴.(m+n)2-4=60, .(m+n2=64, ∴.m+n=8(负值已舍去)， 六梯形的面积为：2m+n(n-m=8, 答：梯形EBCD的面积为8。 10.(24-25七年级下江苏淮安期末)【发现问题】 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑.在该书的第2卷“几 45/49 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论. 【提出问题】 (1)观察下列图形，找出可以推出的代数公式.（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公 式的序号) 公式①：(a-b2=a2-2ab+b2: 公式②：（a+b2=a2+2ab+b2. 图1对应公式 图2对应公式 a a a 图1 图2 【解决问题】 (2)利用《几何原本》中记载的图形所表示的乘法公式，能解决下面的问题吗？ 0a+1=4,求a-1 1 的值； a ②16-x)x-3)=20,求(16-x2+(x-3)2. 【迁移运用】 (3)如图3，在六边形ABCDEF中，对角线BE和CF相交于点G,当四边形ABGF和四边形CDEG都 为正方形且对角线BE⊥CF时，若BE=10,阴影部分的面积和为35，请求出正方形ABGF和正方形 GCDE的面积和.（提示：正方形的四条边都相等，四个角都是90°） E b B 图3 图4 【拓展提升】 (4)如图4，是由四个等腰直角三角形拼成的一个图形，其中空白部分是一个长方形.记ABC与△CDE的 46/49 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 面积之和为S△AHF与△DGF的面积之和为S,. ①当D是边EF的中点时，则。的值为 ②当D不是边EF的中点时，①中的结论是否仍成立？若成立，写出说理过程；若不成立，请说明理由. 【答案】(1)②；①；(2)①12；②129；(3)30；(4)①2：②成立，过程见详解 【分析】本题考查了完全平方公式的变形应用，正确理解题意，熟练掌握完全平方公式是解题的关键： (1)根据图形即可得出图1对应公式是a+b)2=a2+2ab+b2;图2对应公式是(a-b)2=a2-2ab+b2: 2)0先求出-6，利曲。+214，再根据口- 1)2 a =a2+1-2即可得出答案彩 ②设m=16-x,n=x-3,得出mn=20,m+n=16-x+x-3=13,根据完全平方公式变形求出 m2+n2=(m+n-2mn=132-2×20=129,即可得出答案； (3)设正方形ABGF的边长为a,正方形CDEG的边长为b,则根据题意，得a+b=10,得出 S+b=b=35,限锯完全平方公式变形求出心+公即可： 1 (4)①根据点D为EF的中点，得出此时四边形DGHC为正方形，设DG=DC=GH=HC=a,则 CE=GF=a,FH=AH=2a,AC=BC=3a,求出S=5a',S,=a,即可得出答案； ②设DG=CH=a,CD=GH=b,则DG=GF=a,CD=CE=b,AH=FH=a+b,CA=CB=2a+b, 求出S=2a2+2ab+b2,S,=a2+ab+号b,即可得出答案 【详解】(1)解：图1对应公式是a+b)2=a2+2ab+b2;图2对应公式是(a-b)2=a2-2ab+b2, 故答案为：②；①： (2)①a+=4, a 。,12 a+二=16， a 1 a++2=16, a+原=4 。12 a-=a2+1-2=14-2=12 a ②设m=16-x，n=x-3, 47/49 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .mn=20,m+n=16-x+x-3=13, .m2+n2=(m+n2-2mn=132-2×20=129, (16-x)2+(x-3)2=129. (3)设正方形ABGF的边长为a,正方形CDEG的边长为b, 则根据题意，得a+b=10, BE⊥CF, :∠EGF=∠BGC=90°， Iab+lab=ab, 2 .ab=35, (a+b2=a2+2ab+b, .a2+b2=(a+b)-2ab=102-2×35=30 .正方形ABGF和正方形GCDE的面积和为30. (4)①根据题意可得：ABC、△CDE、△AHF、△DGF都是等腰直角三角形， 点D为EF的中点， ∴.DF=DE, ∴，此时四边形DGHC为正方形， 设DG=DC=GH=HC=a,则CE=GF=a, FH=AH 2a,AC=BC=3a, 1 .1 S=S.wwc+S.oce=7x3ax3a+xaxa=5a. 1 1 S.-S.m+S.o-x2ax2a+ >>zx—22 ②结论成立；理由如下： 根据题意可得：ABC、△CDE、△AHF、△DGF都是等腰直角三角形， ,四边形CDGH为长方形， .设DG=CH=a,CD=GH=b, 则DG=GF=a,CD=CE=b, AH FH=a+b,CA=CB=2a+b, 48/49 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .S=S.ABC +S.DCE 2a++ =4如+4ab+b)+ =2+2ab+分+ =2a2+2ab+b2, S2=S.AFH +S.DFG, =a++ =女+2a++女 1 )a2+ab+b+24 2 =a+ab+Ib, S2a'+2ab+b =2 S:a+ab+b 2 49/49