2025-2026学年浙教版八年级下册期末复习专题：正方形中线段垂直问题研究

同类型题型 2025学年八年级第二学期期末复习专题： 正方形中线段垂直问题 1.如图，在正方形ABCD中，点E是AB边上一个动点（不与点A，点B重合），连结CE，作BF⊥CE交AD于点F，垂足为点G，连结CF，记△BEG，△CDF，△CFG，△BCG，四边形AEGF的面积分别为S1，S2，S3，S4，S5，方方通过探究，得到以下两个结论：①S1+S2＝S3，②S4＝S5．则下列选项中，正确的是（　　） A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确②错误 D．①错误②正确 2.如图，正方形ABCD中，点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点，CE、DF交于G，连接AG、HG．下列结论：①CE⊥DF；②AG＝AD；③∠CHG＝∠DAG；④HG＝AD．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3.如图，正方形ABCD中，点E、F分别在边BC和DC上，连接AE、BF，AE⊥BF，点M、N分别在边AB、DC上，连接MN，若MN∥BC，FN＝1，BE＝2，则BM＝　 　． 4.如图，已知正方形ABCD，P是对角线AC上任意一点，PM⊥AD，PN⊥AB，垂足分别为点M和N，PE⊥PB交AD于点E． （1）求证：四边形MANP是正方形； （2）求证：EM＝BN． 版权所有 5.如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，AE，BF交于点O，∠AOF=90°．求证：BE=CF． 6.如图，在正方形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC的延长线上，且CF＝AE，连接EF交边CD于点N，过点D作DH⊥EF，垂足为H，交BC于点M． （1）求∠DEF的度数； （2）当BE＝4，CN＝1时，求CM的长； （3）若点M是BC的中点，求证：DN﹣NC＝BE． 7.如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AB和BC的延长线上（点E不与点A，点B重合），且CF＝AE，连接DE，DF，EF．过点D作DH⊥EF于H，连接CH． （1）求证：点H是线段EF的中点． （2）若AB＝3，CF＝1，求CH． （3）求证：点H始终在正方形ABCD的对角线AC上． 8.如图1，在正方形ABCD中，点P在AB上，连结CP，过点B作BE⊥CP于点E，过点D作DF⊥CP于点F． （1）求证：△CBE≌△DCF． （2）如图2，延长CP至点G，使EG＝EB，连结BG，DG． ①探究线段BG，CG，DG之间的数量关系，并说明理由． ②连结AG，若，AD＝3，求DG的长． 9.如图，在正方形ABCD中，点E，H，F分别在AB，BC，CD边上，EF交对角线BD于点G，AH⊥EF于点M，且点M是AH的中点，连接AG，GH，CG． （1）求证：∠AEM＝∠AHB； （2）求证：AG⊥GH； （3）若AG＝GE，求AE：EB的值． 10.如图1，正方形ABCD与矩形AEFG的顶点重合于点A，且D为FG边上的一点，B，E，F三点共线． （1）求证：矩形AEFG为正方形； （2）如图2，连接CF，BD，若O，P，Q分别是BD，DF，CF的中点，连接OP，OQ，求证：∠POQ＝45°； （3）在（2）的条件下，已知CF＝1，AD＝5，求DF的长度． 11..正方形ABCD中，点E是BD上一点，过点E作EF⊥AE交射线CB于点F，连结CE． （1）已知点F在线段BC上 ①若AB＝BE，求∠DAE度数； ②求证：CE＝EF （2）已知正方形边长为2，且BC＝2BF，请直接写出线段DE的长． 12.已知正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O． （1）如图1，E，G分别是OB，OC上的点，CE与DG的延长线相交于点F．若DF⊥CE，求证：OE=OG； （2）如图2，H是BC上的点，过点H作EH⊥BC，交线段OB于点E，连结DH交CE于点F，交OC于点G．若OE=OG， ①求证：∠ODG=∠OCE； ②当AB=1时，求HC的长． 13.已知：如图，在正方形ABCD中，点E为边AB的中点，联结DE，点F在DE上CF＝CD，过点F作FG⊥FC交AD于点G． （1）求证：GF＝GD； （2）联结AF，求证：AF⊥DE． 14.如图①，在正方形ABCD中，E为CD上一动点，连接AE交对角线BD于点F，过点F作FG⊥AE交BC于点G． （1）求证：AF＝FG； （2）如图②，连接EG，当BG＝3，DE＝2时，求EG的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $同类型题型 2025学年八年级第二学期期末复习专题： 正方形中线段垂直问题 1.如图，在正方形ABCD中，点E是AB边上一个动点（不与点A，点B重合），连结CE，作BF⊥CE交AD于点F，垂足为点G，连结CF，记△BEG，△CDF，△CFG，△BCG，四边形AEGF的面积分别为S1，S2，S3，S4，S5，方方通过探究，得到以下两个结论：①S1+S2＝S3，②S4＝S5．则下列选项中，正确的是（　　） A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确②错误 D．①错误②正确 【解答】解：由正方形ABCD，BF⊥CE， 得△ABF≌△BCE（ASA）， 得S1+S5＝S1+S4， 得S4＝S5， 由S1+S2+S5＝S3+S4， 得S1+S2＝S3． 故选：A． 2.如图，正方形ABCD中，点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点，CE、DF交于G，连接AG、HG．下列结论：①CE⊥DF；②AG＝AD；③∠CHG＝∠DAG；④HG＝AD．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠BCD＝90°， ∵点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点， ∴BE＝CF， 在△BCE与△CDF中， ∴△BCE≌△CDF，（SAS）， ∴∠ECB＝∠CDF， ∵∠BCE+∠ECD＝90°， ∴∠ECD+∠CDF＝90°， ∴∠CGD＝90°， ∴CE⊥DF，故①正确； 在Rt△CGD中，H是CD边的中点， ∴HG＝CD＝AD，故④正确； 连接AH， 同理可得：AH⊥DF， ∵HG＝HD＝CD， ∴DK＝GK， ∴AH垂直平分DG， ∴AG＝AD，故②正确； ∴∠DAG＝2∠DAH， 同理：△ADH≌△DCF， ∴∠DAH＝∠CDF， ∵GH＝DH， ∴∠HDG＝∠HGD， ∴∠GHC＝∠HDG+∠HGD＝2∠CDF， ∴∠CHG＝∠DAG．故③正确． 故选：D． 3.如图，正方形ABCD中，点E、F分别在边BC和DC上，连接AE、BF，AE⊥BF，点M、N分别在边AB、DC上，连接MN，若MN∥BC，FN＝1，BE＝2，则BM＝　1或3　． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC＝∠C＝90°，AB＝BC． ∵AE⊥BF， ∴∠AOB＝∠BAO+∠ABO＝90°， ∵∠ABO+∠CBF＝90°， ∴∠BAO＝∠CBF． 在△ABE和△BCF中， ， ∴△ABE≌△BCF（ASA）， ∴BE＝CF＝2， ∵MN∥BC，AB∥CD， ∴四边形MBCN是平行四边形， ∴BM＝CN， ①当N在F的上方时，如图1， ∴BM＝CN＝CF+FN＝2+1＝3， ②当N在F的下方时，如图2， ∴BM＝CN＝CF﹣FN＝2﹣1＝1， ∴BM的长为1或3， 故答案为：1或3． 4.如图，已知正方形ABCD，P是对角线AC上任意一点，PM⊥AD，PN⊥AB，垂足分别为点M和N，PE⊥PB交AD于点E． （1）求证：四边形MANP是正方形； （2）求证：EM＝BN． 版权所有 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DAB＝90°，AC平分∠DAB， ∵PM⊥AD，PN⊥AB， ∴∠PMA＝∠PNA＝90°， ∴四边形MANP是矩形， ∵AC平分∠DAB，PM⊥AD，PN⊥AB， ∴PM＝PN， ∴四边形MANP是正方形； （2）∵四边形ABCD是正方形， ∴PM＝PN，∠MPN＝90°， ∵∠EPB＝90°， ∴∠MPE+∠EPN＝∠NPB+∠EPN＝90°， ∴∠MPE＝∠NPB， 在△EPM和△BPN中， ∵， ∴△EPM≌△BPN（ASA）， ∴EM＝BN． 5.如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，AE，BF交于点O，∠AOF=90°．求证：BE=CF． 【答案】 6.如图，在正方形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC的延长线上，且CF＝AE，连接EF交边CD于点N，过点D作DH⊥EF，垂足为H，交BC于点M． （1）求∠DEF的度数； （2）当BE＝4，CN＝1时，求CM的长； （3）若点M是BC的中点，求证：DN﹣NC＝BE． 【解答】（1）解：连接DF， 在正方形ABCD中，AD＝CD，∠A＝∠BCD＝∠ADC＝90°， ∴∠DCF＝90°， ∴∠A＝∠DCF， 在△ADE和△CDF中， ， ∴△ADE≌△CDF（SAS）， ∴DE＝DF，∠ADE＝∠CDF， ∵∠ADE+∠EDC＝90°， ∴∠CDF+∠EDC＝∠EDF＝90°， ∴∠DEF＝45°； （2）解：∵△DEF为等腰直角三角形，DH⊥EF， ∴DH＝FH，∠DHN＝∠FHM＝90°， ∴∠FMH+∠MFH＝90°， ∵∠DCF＝90°，∠DNH＝∠CNF， ∴∠MFH+∠CNF＝∠MFH+∠DNH＝90°， ∴∠FMH＝∠DNH． 在△FMH和△DNH中． ， ∴△FMH≌△DNH（AAS）， ∴FM＝DN， ∵BE＝4，CN＝1， ∴CM＝FM﹣CF＝DN﹣AE＝CD﹣CN﹣AE＝BE﹣CN＝4﹣1＝3； （3）证明：∵M是BC的中点， ∴BC＝2CM＝2BM， 设BM＝CM＝a，AE＝CF＝b，则AB＝CD＝BC＝2a，BE＝2a﹣b，FM＝a+b， ∵CM＝BE﹣NC， ∴NC＝BE﹣CM＝2a﹣b﹣a＝a﹣b， ∴DN＝CD﹣NC＝2a﹣（a﹣b）＝a+b， ∴DN﹣NC＝（a+b）﹣（a﹣b）＝2b， 连接EM， ∵DH垂直平分EF， ∴EM＝FM＝a+b， ∵BM2+BE2＝EM2， ∴a2+（2a﹣b）2＝（a+b）2， ∴2a＝3b， ∴BE＝2a﹣b＝2b， ∴DN﹣NC＝BE． 7.如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AB和BC的延长线上（点E不与点A，点B重合），且CF＝AE，连接DE，DF，EF．过点D作DH⊥EF于H，连接CH． （1）求证：点H是线段EF的中点． （2）若AB＝3，CF＝1，求CH． （3）求证：点H始终在正方形ABCD的对角线AC上． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴DC＝DA，∠DAB＝∠DCB＝∠B＝90°， ∴∠DCF＝∠DAB＝90°， 在△DCF和△DAE中， ， ∴△DCF≌△DAE（SAS）， ∴DF＝DE， ∵DH⊥EF于H， ∴EH＝FH， 即点H是线段EF的中点； （2）解：过点H向BC作HK⊥BF于K，如图1所示： ∵AB＝3，CF＝1， ∴BC＝AB＝3，AE＝CF＝1， ∴BF＝BC+CF＝4，BE＝AB﹣AE＝2， ∵HK⊥BF于K，∠B＝90°， ∴HK∥AB， ∵点H是线段EF的中点， ∴HK是△BEF的中位线， ∴HKBE＝1，BK＝FKBF＝2， ∴CK＝FK﹣CF＝2﹣1＝1， 在Rt△HKC中，由勾股定理得：CH； （3）法一 证明：连接AH，过点H作HK⊥BC于K，HT⊥AB于T，如图2所示： 则四边形BKHT为矩形， ∴BK＝HT，HK＝BT，HK∥AB，∠KHT＝∠BTH＝90°， 设CF＝a，HK＝b，则AE＝CF＝a，HK＝BT＝b， ∵点H是线段EF的中点，HK∥AB， ∴HK是△BEF的中位线， ∴BE＝2HK＝2b，BK＝FKBF， ∴BC＝AB＝AE+BE＝a+2b， ∴BF＝BC+CF＝a+2b+a＝2a+2b， ∴FK＝BKBF＝a+b， ∴FK＝CF+CK＝a+CK＝a+b， ∴CK＝b， ∴HK＝CK＝b， ∴△CHK为等腰直角三角形， ∴∠CHK＝45°， ∵HT＝BK＝a+b，AT＝AB﹣BT＝AB﹣HK＝a+2b﹣b＝a+b， ∴△AHT为等腰直角三角形， ∴∠AHT＝45°， ∴∠AHC＝∠AHT+∠KHT+∠CHK＝45°+90°+45°＝180°， ∴A，H，C在同一条直线上， ∴点H始终在正方形ABCD的对角线AC上． 法二：连接AH，过点H作HM⊥AD于K，HN⊥AB于T，如图3所示： 由（1）知△DCF≌△DAE、DE＝DF ∴∠ADE＝∠CDF ∴∠ADE+∠EDC＝90° ∴∠CDF+∠EDC＝90° ∴∠EDF＝90° ∴△EDF为等腰直角三角形 ∵由（1）知EH＝FH ∴DH＝EH、∠EHD＝90° ∵HN⊥AB、HM⊥AD ∴∠ANH＝∠AMH＝90° ∵∠A＝90° ∴四边形ANHM为矩形 ∴∠NHM＝90° ∴∠NHE+∠EHM＝90° ∵∠MHD+∠EHM＝90° ∴∠NHE＝∠MHD ∴Rt△NHE≌Rt△MHD（AAS） ∴HN＝HM ∵HN⊥AB、HM⊥AD ∴点H在∠BAD的角平分线上 即点H始终在正方形ABCD的对角线AC上 8.如图1，在正方形ABCD中，点P在AB上，连结CP，过点B作BE⊥CP于点E，过点D作DF⊥CP于点F． （1）求证：△CBE≌△DCF． （2）如图2，延长CP至点G，使EG＝EB，连结BG，DG． ①探究线段BG，CG，DG之间的数量关系，并说明理由． ②连结AG，若，AD＝3，求DG的长． 【解答】（1）证明：∵正方形ABCD， ∴BC＝CD，∠BCD＝90°， ∵BE⊥CP，DF⊥CP， ∴∠BEC＝∠CFD＝90°， ∴∠BCE+∠CBE＝90°， ∵∠BCE+∠DCF＝90°， ∴∠CBE＝∠DCF， 在△CBE和△DCF中， ， ∴△CBE≌△DCF（AAS）； （2）解：①∵△CBE≌△DCF， ∴CE＝DF，BE＝CF， ∴BE＝CF＝EG， ∵GF＝EG+EF＝CF+EF＝CE＝DF， ∴△DGF是等腰直角三角形， ∵CG＝CE+EG＝GF+EG， ∴； ②过点B作BH⊥BG交CG于H，过点A作AQ⊥GD交GD于点Q， ∴∠GBH＝∠PBC＝90°，GB＝BH， ∴∠GBA＝∠HBC， ∵AB＝BC， ∴△ABG≌△CBH（SAS）， ∴∠GAB＝∠HCB＝∠CDF， ∵∠CDF+∠ADG＝45°， ∴∠GAB+∠ADG＝45°， ∴∠AGD＝45°， ∵AG， ∴AQ＝GQ＝1， ∴DQ， ∴DG＝GQ+DQ＝1． 9.如图，在正方形ABCD中，点E，H，F分别在AB，BC，CD边上，EF交对角线BD于点G，AH⊥EF于点M，且点M是AH的中点，连接AG，GH，CG． （1）求证：∠AEM＝∠AHB； （2）求证：AG⊥GH； （3）若AG＝GE，求AE：EB的值． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABH＝90°， ∵AH⊥EF于点M， ∴∠AME＝90°， ∵∠AEM+∠AME+∠EAM＝∠AHB+∠ABH+∠EAM＝180°， ∴∠AEM＝∠AHB． （2）证明：连接BM， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABH＝90°，∠ABD＝∠CBD＝45°， ∵点M是AH的中点， ∴BM＝AM＝MH， ∴∠1＝∠2， 设∠1＝∠2＝x， ∴∠3＝∠ABG﹣∠2＝45°﹣x，∠AMB＝180°﹣2x， ∵∠AME＝90°， ∴∠4＝90°﹣2x， ∴∠5＝∠4﹣∠3＝90°﹣2x﹣（45°﹣x）＝45°﹣x， ∴∠5＝∠3， ∴BM＝MG＝AM＝MH， ∵∠AMG＝∠HMG＝90°， ∴∠MAG＝∠MGA＝∠MGH＝∠MHG＝45°， ∴∠AGH＝90°， ∴AG⊥GH． （3）解：∵AH⊥EF于点M，且点M是AH的中 点， ∴EF是AH的线段垂直平分线， ∴AG＝GH，AE＝EH， ∵AG＝GE， ∴EG＝GH， ∵AG＝EG， ∴， ∴∠BEG＝112.5°， ∴∠BGE＝180°﹣45°﹣112.5°＝22.5°， ∴∠BGE＝∠BGH＝22.5°， ∵BG＝BG，EG＝GH，∠BGE＝∠BGH， ∴△GEB≌△GHB（SAS）， ∴BE＝BH，连接EH， 则△BEH是等腰直角三角形，BE2+BH2＝EH2 ∴ ∴． 10.如图1，正方形ABCD与矩形AEFG的顶点重合于点A，且D为FG边上的一点，B，E，F三点共线． （1）求证：矩形AEFG为正方形； （2）如图2，连接CF，BD，若O，P，Q分别是BD，DF，CF的中点，连接OP，OQ，求证：∠POQ＝45°； （3）在（2）的条件下，已知CF＝1，AD＝5，求DF的长度． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴∠BAD＝90°，AB＝AD， ∵四边形AEFG为矩形， ∴∠AEB＝∠EAG＝∠G＝90°， ∴∠BAD＝∠EAG＝90°， ∴∠BAE＝∠DAG． 在△BAE和△DAG中， ， ∴△BAE≌△DAG（AAS）， ∴AE＝AG， ∴矩形AEFG为正方形； （2）证明：连接AC，OF，如图， ∵四边形ABCD为正方形， ∴AC，BD互相平分， ∴AC经过BD的中点O， ∴OA＝OC＝OB＝OD，AC⊥BD， ∵四边形AEFG为矩形， ∴∠BFD＝90°， ∵O为BD的中点， ∴OF＝OB＝ODBD， ∴OC＝OF＝OD， ∵P，Q分别是DF，CF的中点， ∴OP平分∠DOF，OQ平分∠COF， 即∠POFDOF，∠FOQFOC， ∵∠DOC＝90°， ∴∠POQ＝∠POF+∠FOQ（∠DOF+∠COF）90°， ∴∠POQ＝45°； （3）解：延长OQ，DF交于点H，如图， 由（2）知：∠POQ＝45°，OD＝OF， ∵DP＝PF， ∴OP⊥DF， ∴△OPH为等腰直角三角形， ∴OP＝PHOH，∠H＝45°． ∵OF＝OC，QC＝QF， ∴OQ⊥CF， ∴△FQH为等腰直角三角形， ∴QH＝QF， ∴FHQH． ∵四边形ABCD为正方形，AD＝5， ∴AC＝BD＝5， ∴OC＝OD＝OF， ∴OQ， ∴OH＝OQ+QH＝4， ∴OP＝PHOH＝2， ∴PF＝PH﹣FH， ∴DF＝2PF＝3． 11..正方形ABCD中，点E是BD上一点，过点E作EF⊥AE交射线CB于点F，连结CE． （1）已知点F在线段BC上 ①若AB＝BE，求∠DAE度数； ②求证：CE＝EF （2）已知正方形边长为2，且BC＝2BF，请直接写出线段DE的长． 【解答】解：（1）①∵ABCD为正方形， ∴∠ABE＝45°． 又∵AB＝BE， ∴∠BAE＝×（180°﹣45°）＝67.5°． ∴∠DAE＝90°﹣67.5°＝22.5° ②证明：∵正方形ABCD关于BD对称， ∴△ABE≌△CBE， ∴∠BAE＝∠BCE． 又∵∠ABC＝∠AEF＝90°， ∴∠BAE＝∠EFC， ∴∠BCE＝∠EFC， ∴CE＝EF． （2）如下图所示：过点E作MN⊥BC，垂直为N，交AD于M． ∵CE＝EF， ∴N是CF的中点． ∵BC＝2BF， ∴＝． 又∵四边形CDMN是矩形，△DME为等腰直角三角形， ∴CN＝DM＝ME， ∴ED＝DM＝CN＝． 如下图所示：过点E作MN⊥BC，垂直为N，交AD于M． ∵正方形ABCD关于BD对称， ∴△ABE≌△CBE， ∴∠BAE＝∠BCE． 又∵∠ABF＝∠AEF＝90°， ∴∠BAE＝∠EFC， ∴∠BCE＝∠EFC， ∴CE＝EF． ∴FN＝CN． 又∵BC＝2BF， ∴FC＝3， ∴CN＝， ∴EN＝BN＝， ∴DE＝． 综上所述，ED的长为或 12.已知正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O． （1）如图1，E，G分别是OB，OC上的点，CE与DG的延长线相交于点F．若DF⊥CE，求证：OE=OG； （2）如图2，H是BC上的点，过点H作EH⊥BC，交线段OB于点E，连结DH交CE于点F，交OC于点G．若OE=OG， ①求证：∠ODG=∠OCE； ②当AB=1时，求HC的长． 【解答】（1）证明：如图1中，∵四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD，OD=OC， ∴∠DOG=∠COE=90°， ∴∠OEC+∠OCE=90°， ∵DF⊥CE， ∴∠OEC+∠ODG=90°， ∴∠ODG=∠OCE， ∴△DOG≌△COE（ASA）， ∴OE=OG． （2）①证明：如图2中，∵OG=OE，∠DOG=∠COE=90°OD=OC， ∴△ODG≌△OCE， ∴∠ODG=∠OCE． ②解：设CH=x， ∵四边形ABCD是正方形，AB=1， ∴BH=1﹣x，∠DBC=∠BDC=∠ACB=45°， ∵EH⊥BC， ∴∠BEH=∠EBH=45°， ∴EH=BH=1﹣x， ∵∠ODG=∠OCE， ∴∠BDC﹣∠ODG=∠ACB﹣∠OCE， ∴∠HDC=∠ECH， ∵EH⊥BC， ∴∠EHC=∠HCD=90°， ∴△CHE∽△DCH， ∴=， ∴HC2=EH•CD， ∴x2=（1﹣x）•1， 解得x=或（舍弃）， ∴HC=． 13.已知：如图，在正方形ABCD中，点E为边AB的中点，联结DE，点F在DE上CF＝CD，过点F作FG⊥FC交AD于点G． （1）求证：GF＝GD； （2）联结AF，求证：AF⊥DE． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ADC＝90°， ∵FG⊥FC， ∴∠GFC＝90°， ∵CF＝CD， ∴∠CDF＝∠CFD， ∴∠GFC﹣∠CFD＝∠ADC﹣∠CDE，即∠GFD＝∠GDF， ∴GF＝GD． （2）联结CG． ∵CF＝CD，GF＝GD， ∴点G、C在线段FD的中垂线上， ∴GC⊥DE，∴∠CDF+∠DCG＝90°， ∵∠CDF+∠ADE＝90°， ∴∠DCG＝∠ADE． ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝DC，∠DAE＝∠CDG＝90°， ∴△DAE≌△CDG， ∴AE＝DG， ∵点E是边AB的中点， ∴点G是边AD的中点， ∴AG＝GD＝GF， ∴∠DAF＝∠AFG，∠GDF＝∠GFD， ∵∠DAF+∠AFG+∠GFD+∠GDF＝180°， ∴2∠AFG+2∠GFD＝180°， ∴∠AFD＝90°，即AF⊥DE． 证法2：（1）联结CG交ED于点H． ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ADC＝90°， ∵FG⊥FC， ∴∠GFC＝90°， 在Rt△CFG与Rt△CDG中， ， ∴Rt△CFG≌Rt△CDG， ∴GF＝GD． （2）∵CF＝CD，GF＝GD， ∴点G、C在线段FD的中垂线上， ∴FH＝HD，GC⊥DE， ∴∠EDC+∠DCH＝90°， ∵∠ADE+∠EDC＝90°， ∴∠ADE＝∠DCH， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝DC＝AB，∠DAE＝∠CDG＝90°， ∵∠ADE＝∠DCH，AD＝DC，∠EAD＝∠GDC． ∴△ADE≌△DCG， ∴AE＝DG， ∵点E是边AB的中点， ∴点G是边AD的中点， ∵点H是边FD的中点， ∴GH是△AFD的中位线， ∴GH∥AF， ∴∠AFD＝∠GHD， ∵GH⊥FD， ∴∠GHD＝90°， ∴∠AFD＝90°，即AF⊥DE． 14.如图①，在正方形ABCD中，E为CD上一动点，连接AE交对角线BD于点F，过点F作FG⊥AE交BC于点G． （1）求证：AF＝FG； （2）如图②，连接EG，当BG＝3，DE＝2时，求EG的长． 【解答】（1）证明：如图①，连接CF， 在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABF＝∠CBF＝45°， 在△ABF和△CBF中，， ∴△ABF≌△CBF（SAS）， ∴AF＝CF，∠BAF＝∠BCF， ∵FG⊥AE， ∴在四边形ABGF中，∠BAF+∠BGF＝360°﹣90°﹣90°＝180°， 又∵∠BGF+∠CGF＝180°， ∴∠BAF＝∠CGF， ∴∠CGF＝∠BCF， ∴CF＝FG， ∴AF＝FG； （2）如图②，把△ADE顺时针旋转90°得到△ABH，则AH＝AE，BH＝DE，∠BAH＝∠DAE， ∵AF＝FG，FG⊥AE， ∴△AFG是等腰直角三角形， ∴∠EAG＝45°， ∴∠HAG＝∠BAG+∠DAE＝90°﹣45°＝45°， ∴∠EAG＝∠HAG， 在△AHG和△AEG中，， ∴△AHG≌△AEG（SAS）， ∴HG＝EG， ∵HG＝BH+BG＝DE+BG＝2+3＝5， ∴EG＝5． 1 学科网（北京）股份有限公司 $