专题07菱形易错必刷题型专项训练(16大题型共计48道题)2025-2026学年浙教版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦菱形性质与判定，通过16类易错题型系统梳理角度、线段、面积计算及综合应用，提炼解题技巧与避错要点，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |性质应用|题型1-4|利用对角线垂直平分、等腰三角形性质，规避对角线夹角误判等易错点|从菱形基本性质到边角计算与证明，形成性质应用逻辑链| |判定应用|题型7-8|先证平行四边形，再用邻边相等或对角线垂直判定，避免直接判定错误|从平行四边形判定到菱形特殊条件，构建判定推理体系| |综合应用|题型5-6、9-16|折叠对应关系、动点范围分析、坐标系坐标转化，结合中位线、最值模型|性质与判定结合其他几何知识，拓展空间观念与综合解题能力|

专题07菱形易错必刷题型专项训练 本专题汇总菱形全章考试高频、易失分、易混淆经典题型，梳理对应易错扣分关键点，针对性刷题练习，扫清考试易错盲区 题型01.由菱形性质求角度 题型02.由菱形性质求线段长 题型03.由菱形性质求面积 题型04.菱形的性质证明 题型05.菱形与坐标系综合 题型06.菱形与折叠问题 题型07.证明四边形是菱形 题型08.添条件使四边形是菱形 题型09.由菱形性质与判定求角度 题型10.由菱形性质与判定求线段长 题型11.由菱形性质与判定求面积 题型12.菱形与动点问题 题型13.菱形最值问题 题型14.菱形与对角线综合 题型15.菱形与中位线综合 题型16.菱形拼接综合题 易错必刷题型01.由菱形性质求角度 题型特征：给出菱形边长、内角或对角线，结合等腰三角形、平行线知识计算各类未知角度。 易错点：①不会利用对角线平分内角解题②误将对角线夹角当作菱形内角度数。 1．如图，菱形中，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在菱形的外侧，作等边三角形，若，则______． 3．在菱形中，，是直线上一动点，以为边向右侧作等边（，，按逆时针排列），点的位置随点的位置变化而变化． (1)如图，当点在线段上，且点在菱形内部或边上时，连接，则与的数量关系是______，与的位置关系是______； (2)如图，当点在线段上，且点在菱形外部时，（）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由； (3)当点在直线上时，其他条件不变，连接，若，，求的长． 易错必刷题型02.由菱形性质求线段长 题型特征：已知边长、对角线长，借助勾股定理求解相关线段与对角线长度。 易错点：①忽略对角线互相垂直平分性质②混淆半段对角线与整条对角线长度。 4．如图，在菱形中，对角线、交于点，若，，则边上的高为______． 5．如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成的，根据实际需要可以调节，间的距离．若，间的距离调节到，菱形的边长，则的度数是（    ） A． B． C． D． 6．如图，平行四边形的对角线，相交于点，，，，过点作于． (1)求证四边形是菱形； (2)线段_________． 易错必刷题型03.由菱形性质求面积 题型特征：已知底高或对角线长度，计算菱形整体面积与内部分割图形面积。 易错点：①记错菱形面积公式漏乘二分之一②混用矩形面积公式计算菱形面积。 7．如图，菱形的对角线与相交于点，若，则菱形的面积是（    ） A． B． C． D． 8．如图，菱形的对角线，相交于点O，若，，则菱形的面积为________． 9．在菱形中，对角线与相交于点． (1)如图1，若，求菱形的面积． (2)如图2，在上取点，连接，将沿折叠，点的对应点为．若点落在的延长线上，求证：． (3)如图3，将沿折叠，点的对应点落在上，连接，若，求的长． 易错必刷题型04.菱形的性质证明 题型特征：解答证明题型，求证线段相等、角相等、三角形全等及直线平行关系。 易错点：①证明缺少平行四边形前置判定步骤②全等判定条件搜集不齐全。 10．如图，菱形的对角线与相交于O点，，过点A作交的延长线于点E，连接，则线段的长度是________． 11．如图，在菱形中，对角线与交于点O，点E为中点．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 12．如图，四边形是菱形，，是对角线所在直线上的两点，且，连接，，，．求证：四边形是菱形． 易错必刷题型05.菱形与坐标系综合 题型特征：平面直角坐标系内结合菱形性质，求解顶点坐标、线段长度与面积相关问题。 易错点：①横纵坐标书写颠倒②依据边长推导坐标数值出现偏差。 13．如图，在平面直角坐标系中，若菱形的顶点的坐标分别为，点在轴上，则点的坐标为___________． 14．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点B在x轴正半轴上，顶点A在直线上，若点A的纵坐标是3，则点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 15．在平面直角坐标系中，点为坐标原点，四边形为菱形，点，，连接、交于点，交轴于． (1)如图，求直线的解析式； (2)如图，点从点出发沿着向终点运动，速度为个单位长度秒，连接，设点的运动时间为秒，的面积为，求出与的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； (3)在（）的条件下，点在线段上，延长交于点，若，求的值． 易错必刷题型06.菱形与折叠问题 题型特征：菱形沿直线折叠，利用折叠等量关系计算边长、角度与面积。 易错点：①忽视折叠前后对应边角相等②列勾股方程混淆直角边与斜边。 16．如图，在菱形中，点E、F分别在边、上，将沿翻折后，点B的对应点G恰好落在边上，如果，，，那么的长为______． 17．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴正半轴上，为边上一点，连接．将菱形沿折叠，点落在点处，于点．若点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 18．在平行四边形纸片上，E为边上一点，将沿折叠，点D的对应点为． (1)如图1，当点恰好落在边上时，求证：四边形是平行四边形； (2)如图2，当E，F为边的三等分点时，连接并延长，交边于点G．试判断线段与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，当，时，连接并延长，交边于点H．若平行四边形的面积为24，，直接写出线段的长． 易错必刷题型07.证明四边形是菱形 题型特征：根据题干边角、对角线条件，完整推理证明四边形为菱形。 易错点：①未先证明平行四边形直接判定菱形②仅凭单一条件草率下定结论。 19．如图，的两条对角线，相交于点．若，，，则四边形是____________．判定的依据是____________________________． 20．如图，四边形的对角线，相交于O，且互相平分，添加下列条件，能判定四边形为菱形的是（   ） A． B． C． D． 21．如图，在平行四边形中，，垂足为点，，垂足为点，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的度数． 易错必刷题型08.添条件使四边形是菱形 题型特征：已知平行四边形，补充有效条件使其转化为菱形。 易错点：①添加原本具备的无效条件②混淆菱形与矩形判定条件类型。 22．如图，的对角线，相交于点．请你添加一个条件：____________（写出一种情况即可），使四边形是菱形． 23．在四边形中，，，则添加下列条件，能使四边形为菱形的是（    ） A． B． C． D． 24．如图，在中，点在上，，交于点，连接．请你从以下三个选项：①；②；③平分中选择一个合适的选项作为补充条件，使得四边形是菱形． (1)你选择的补充条件是______（填序号）； (2)根据你选择的补充条件，写出四边形是菱形的证明过程． 易错必刷题型09.由菱形性质与判定求角度 题型特征：先判定图形为菱形，再运用性质推导未知内角度数。 易错点：①判定失误导致后续计算全部错误②不会结合等腰三角形换算角度。 25．如图，在中，，分别以C、B为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点D，连接、、．若，则______°． 26．如图，将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 27．已知：如图，平行四边形中，对角线，相交于点，延长至，使，连接交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 易错必刷题型10.由菱形性质与判定求线段长 题型特征：判定为菱形后，利用几何关系求解内部各类线段长度。 易错点：①错用矩形相关性质计算菱形数据②勾股定理边长对应关系查找错误。 28．如图，四边形为平行四边形，且平分，作，垂足为．若， ，则______． 29．如图，中，，，分别以点和点为圆心，长为半径作弧，两弧交于点，连接，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，连接，则的长为（    ） A．5 B． C．6 D． 30．如图，在矩形中，，，点O是对角线的中点，过点O的直线分别交，边于点E，F． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当时，求的长． 易错必刷题型11.由菱形性质与判定求面积 题型特征：判定菱形身份后，选用对应公式计算图形整体与局部面积。 易错点：①误将普通平行四边形当作菱形计算②对角线数值代入运算出错。 31．如图，四边形是边长为的菱形，其中对角线长．则菱形的面积为________．    32．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，在重叠部分构成的四边形中，若，，则四边形面积为_____． 33．如图，矩形的对角线与相交于点O，，直线是线段的垂直平分线，分别交，于点F，G，连接． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)当时，求四边形的面积． 易错必刷题型12.菱形与动点问题 题型特征：在菱形边或对角线上设置动点，探究线段、面积变化及特殊位置情况。 易错点：①忽略动点运动范围造成漏解多解②含参线段表达式书写错误。 34．如图，四边形是菱形，连接，交于点．G为边上的一动点（不与点A， D重合），于点E，于点F，若，，则的最小值为_____． 35．如图，菱形的边长为，，点E和点P分别为边和对角线上的动点，当的取值最小时，的周长为（   ） A．3 B．4 C． D． 36．如图1，在菱形中，，过点作的垂线，垂足为，交对角线于，连接． (1)求的长； (2)如图2，动点从点出发，沿折线方向以2个单位/秒的速度向终点匀速运动，设的面积为，点的运动时间为秒，求与之间的函数表达式； (3)在（2）的条件下，当点在边上运动时，是否存在这样的值，使与互余，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 易错必刷题型13.菱形最值问题 题型特征：依托菱形轴对称特性，求解最短路径、最小周长等几何最值题型。 易错点：①选取对称点位置错误②混淆线段和与线段差两类解题模型。 37．如图，在菱形中，，点E是边的中点，点P是对角线上的动点，连接、，则的最小值为___________． 38．如图，在边长为的菱形中，点，为边，上的动点，且，连接，，若菱形面积为，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 39．如图，已知矩形的对角线的垂直平分线分别交，于点E，F，连接，． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，P为线段上一动点，连接，，求的最小值． 易错必刷题型14.菱形与对角线综合 题型特征：以对角线为核心考点，综合计算边长、角度与图形面积。 易错点：①遗忘对角线互相垂直平分核心特征②对角线相关计算步骤杂乱易出错。 40．如图，菱形的对角线，相交于点，且，，过点作，垂足为，则点到边的距离____． 41．如图，菱形的对角线相交于点，于点，若，菱形的面积为，则的长度为（    ） A．4 B． C． D．8 42．如图所示，点是菱形对角线的交点，，连接，交于． (1)求证：四边形是矩形； (2)已知菱形的面积为12，且，求的长． 易错必刷题型15.菱形与中位线综合 题型特征：结合三角形中位线定理，求解菱形内部连线线段长度。 易错点：①记错中位线长度比例关系②无法准确对应中位线所属第三边。 43．如图，O为菱形的对角线，的交点，M，N 分别为边，的中点，连接，若，，则菱形的周长为______． 44．如图，在菱形中，，分别为，的中点，连接，交于点．若，，则的长为（   ） A． B．2 C． D． 45．已知：如图，在中，D、、分别是、、的中点，连接、、． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求四边形的周长． 易错必刷题型16.菱形拼接综合题 题型特征：菱形与其他几何图形拼合嵌套，计算组合图形周长、边长与总面积。 易错点：①重复核算拼接重合边长度②拆分组合面积时计算逻辑混乱。 46．如图，在线段上取一点，分别以，为边，在的同侧作菱形和菱形，使点在边上，连接，是的中点，． （1）________． （2）线段的长度为________． 47．如图，已知，P为线段上的一个动点，分别以，为边在的同侧作菱形和菱形，点，，在一条直线上，，，分别是对角线，的中点．当点在线段上移动时，点之间的距离最短为（　　） A．2 B． C．4 D． 48．如图，四边形和四边形均为菱形，且菱形的面积为落在边上，若的面积为，则的面积是___________． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07菱形易错必刷题型专项训练 本专题汇总菱形全章考试高频、易失分、易混淆经典题型，梳理对应易错扣分关键点，针对性刷题练习，扫清考试易错盲区 题型01.由菱形性质求角度 题型02.由菱形性质求线段长 题型03.由菱形性质求面积 题型04.菱形的性质证明 题型05.菱形与坐标系综合 题型06.菱形与折叠问题 题型07.证明四边形是菱形 题型08.添条件使四边形是菱形 题型09.由菱形性质与判定求角度 题型10.由菱形性质与判定求线段长 题型11.由菱形性质与判定求面积 题型12.菱形与动点问题 题型13.菱形最值问题 题型14.菱形与对角线综合 题型15.菱形与中位线综合 题型16.菱形拼接综合题 易错必刷题型01.由菱形性质求角度 题型特征：给出菱形边长、内角或对角线，结合等腰三角形、平行线知识计算各类未知角度。 易错点：①不会利用对角线平分内角解题②误将对角线夹角当作菱形内角度数。 1．如图，菱形中，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据菱形的性质可得，，从而得到，，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴，， ∴． 2．如图，在菱形的外侧，作等边三角形，若，则______． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质、等边三角形的性质及等腰三角形的判定与性质．首先根据菱形和等边三角形的性质求出，然后由等腰三角形的性质求出，进而求解即可． 【详解】解： 四边形是菱形， ， ，，． 是等边三角形， ，， ， ，，，， ， ． 3．在菱形中，，是直线上一动点，以为边向右侧作等边（，，按逆时针排列），点的位置随点的位置变化而变化． (1)如图，当点在线段上，且点在菱形内部或边上时，连接，则与的数量关系是______，与的位置关系是______； (2)如图，当点在线段上，且点在菱形外部时，（）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由； (3)当点在直线上时，其他条件不变，连接，若，，求的长． 【答案】(1)，； (2)仍然成立，理由见解析； (3)或． 【分析】（）连接，延长交于点，根据菱形的性质证明是等边三角形，由等边三角形的性质证明，，从而可证明，最后根据全等三角形的性质，菱形的性质，角度和差即可求解； （）（）中的结论成立，用（）中的方法证明即可； （）分两种情形：当点在点左侧时，当点在点右侧时，连接交于点，由勾股定理得：，则，由（）得，，再根据勾股定理求出的长即得到的长，最后由线段和差即可求解； 本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）如图，连接，延长交于点， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为:，； （2）（）中的结：，，仍然成立，理由如下： 如图，连接，设与交于， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴和都是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴（）中结论，仍然成立； （3）如图，当点在点左侧时，连接交于点， ∵四边形是菱形， ∴，平分， ∵，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 由（）可知：，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴； 如图，当点在点右侧时，连接交于点， ∵四边形是菱形， ∴，平分， ∵，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 由（）可知：，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， 综上可知：的长为或． 易错必刷题型02.由菱形性质求线段长 题型特征：已知边长、对角线长，借助勾股定理求解相关线段与对角线长度。 易错点：①忽略对角线互相垂直平分性质②混淆半段对角线与整条对角线长度。 4．如图，在菱形中，对角线、交于点，若，，则边上的高为______． 【答案】 【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分求出、的长，利用勾股定理求出菱形的边长，再利用菱形的面积等于对角线乘积的一半也等于底乘以高，即可求出边上的高． 【详解】解：设边上的高为， 四边形是菱形，， ，， 在中， 菱形的面积 ． 5．如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成的，根据实际需要可以调节，间的距离．若，间的距离调节到，菱形的边长，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图所示，连接，根据菱形的性质可得，可得是等边三角形，可算出，根据，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵衣帽架是由三个全等的菱形构成的，间的距离调节到， ∴， ∵菱形的边长， ∴， ∴是等边三角形，则， ∵四边形是菱形， ∴． 6．如图，平行四边形的对角线，相交于点，，，，过点作于． (1)求证四边形是菱形； (2)线段_________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形的对角线互相平分结合勾股定理逆定理，得到，即可证明四边形为菱形； （2）利用等积法求出的长即可． 【详解】（1）解：∵平行四边形，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为菱形； （2）解：∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴菱形的面积，即， ∴． 易错必刷题型03.由菱形性质求面积 题型特征：已知底高或对角线长度，计算菱形整体面积与内部分割图形面积。 易错点：①记错菱形面积公式漏乘二分之一②混用矩形面积公式计算菱形面积。 7．如图，菱形的对角线与相交于点，若，则菱形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， ， 菱形中， ，选项符合题意． 8．如图，菱形的对角线，相交于点O，若，，则菱形的面积为________． 【答案】 【分析】由菱形的性质得到，，，，进而得到，从而是等边三角形，因此，，再由勾股定理求出，得到，再由菱形面积的计算方法求解即可． 【详解】解：四边形是菱形，， ∴，，， ， ∵在菱形中，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∴． 9．在菱形中，对角线与相交于点． (1)如图1，若，求菱形的面积． (2)如图2，在上取点，连接，将沿折叠，点的对应点为．若点落在的延长线上，求证：． (3)如图3，将沿折叠，点的对应点落在上，连接，若，求的长． 【答案】(1)； (2)见解析； (3) 【分析】（1）根据菱形的性质可知，，，，利用勾股定理得到，再结合菱形的面积等于对角线乘积的一半求解即可； （2）由菱形的性质得出，由折叠的性质可知，，从而得到，再根据等角与等边求解即可； （3）过点作于点，过点作于点，由已知条件可得，，根据菱形和折叠的性质得到，再结合等腰三角形三线合一的性质，求出，进而得出，证明四边形是矩形，得到，，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：在菱形中，，， ，，， ， ， 菱形的面积； （2）证明：四边形是菱形， ，， ， 由折叠的性质可知，， ， ， ， ； （3）解：如图，过点作于点，过点作于点， ， ， ， ， 四边形是菱形， ，， 由折叠的性质可知，， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ． 易错必刷题型04.菱形的性质证明 题型特征：解答证明题型，求证线段相等、角相等、三角形全等及直线平行关系。 易错点：①证明缺少平行四边形前置判定步骤②全等判定条件搜集不齐全。 10．如图，菱形的对角线与相交于O点，，过点A作交的延长线于点E，连接，则线段的长度是________． 【答案】3 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，熟掌握以上性质是解题的关键；根据菱形的性质可得，再根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：四边形是菱形， ， ， ， ， 故答案为：3． 11．如图，在菱形中，对角线与交于点O，点E为中点．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据菱形的性质求出的度数，利用菱形对角线平分对角的性质求出的度数，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，利用等边对等角即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，， ∴， ∵菱形的对角线平分， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵点E为中点， ∴是斜边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴． 12．如图，四边形是菱形，，是对角线所在直线上的两点，且，连接，，，．求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【分析】由菱形的性质，可得，，，结合已知可得四边形是平行四边形，即可证得结论． 【详解】证明：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形． 易错必刷题型05.菱形与坐标系综合 题型特征：平面直角坐标系内结合菱形性质，求解顶点坐标、线段长度与面积相关问题。 易错点：①横纵坐标书写颠倒②依据边长推导坐标数值出现偏差。 13．如图，在平面直角坐标系中，若菱形的顶点的坐标分别为，点在轴上，则点的坐标为___________． 【答案】 【分析】可求出，，利用菱形的性质得到，，则可得到，轴，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴，轴， ∴． 14．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点B在x轴正半轴上，顶点A在直线上，若点A的纵坐标是3，则点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出，由勾股定理求得，再由菱形的性质得到，即可求解． 【详解】解：∵点A在直线上，若点A的纵坐标是3， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴点． 15．在平面直角坐标系中，点为坐标原点，四边形为菱形，点，，连接、交于点，交轴于． (1)如图，求直线的解析式； (2)如图，点从点出发沿着向终点运动，速度为个单位长度秒，连接，设点的运动时间为秒，的面积为，求出与的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； (3)在（）的条件下，点在线段上，延长交于点，若，求的值． 【答案】(1)直线的解析式为； (2)与的函数关系式； (3)的值为． 【分析】（）过作轴于点，由菱形的性质可得，，证明，所以，，可得，然后通过勾股定理求得，则点，然后通过待定系数法即可求解； （）过作轴于点，过作轴于点，由（）得，，，直线的解析式为，根据题意可得，设，则，由勾股定理得，即，则，即有，所以，然后通过即可求解； （）过作轴于点，则，由四边形是菱形，则，，，，所以，，通过，，得，所以，设，，则，，，可得，所以，设，则，，求得，利用待定系数法求出直线解析式为，从而得，然后通过即可求解． 【详解】（1）解：如图，过作轴于点， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵点，， ∴，， ∴，， ∴， ∴点， 设直线的解析式为， ∴，解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：如图，过作轴于点，过作轴于点， 由（）得，，，直线的解析式为， ∵点的速度为个单位长度秒，运动时间为秒， ∴， 设，则， ∵， ∴， 整理得：， ∵， ∴，则， ∴， ∴ ， ∴与的函数关系式； （3）解：如图，过作轴于点，则， ∵四边形是菱形， ∴，，，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， 设，， 则，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，为中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 整理得：， ∵， ∴， ∴， 设直线解析式为， ∴，解得：， ∴直线解析式为， 当时，， 解得：， ∴， ∴， ∴的值为． 易错必刷题型06.菱形与折叠问题 题型特征：菱形沿直线折叠，利用折叠等量关系计算边长、角度与面积。 易错点：①忽视折叠前后对应边角相等②列勾股方程混淆直角边与斜边。 16．如图，在菱形中，点E、F分别在边、上，将沿翻折后，点B的对应点G恰好落在边上，如果，，，那么的长为______． 【答案】 【分析】作交的延长线于点H，由得，由四边形是菱形，得，则四边形是平行四边形，所以，由折叠得，则，所以，由勾股定理得，求得，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：作交的延长线于点H，则， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 由折叠得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 17．如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴正半轴上，为边上一点，连接．将菱形沿折叠，点落在点处，于点．若点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由点的坐标得，求出点，运用待定系数法求出直线的解析式为，求得，设，则，由两点间距离公式得，解得，进而可得点D的坐标． 【详解】解：∵四边形为菱形，边在轴正半轴上， ∴轴， ∵于点，且点的坐标为， ∴轴， ∴，， ∴， 过点作轴于点，则， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把代入得， ∴， ∴直线的解析式为， 由折叠可得，， ∴， 设，则 ∴， ∴， 解得， ∴， ∴． 18．在平行四边形纸片上，E为边上一点，将沿折叠，点D的对应点为． (1)如图1，当点恰好落在边上时，求证：四边形是平行四边形； (2)如图2，当E，F为边的三等分点时，连接并延长，交边于点G．试判断线段与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，当，时，连接并延长，交边于点H．若平行四边形的面积为24，，直接写出线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3) 【分析】（1）利用平行四边形的性质及折叠的性质可得，，可得四边形是菱形，可知，继而可知，即可求解； （2）利用折叠的性质可得，，结合三等分点可知，进而可得，利用三角形外角性质可得，进而可知，可得四边形是平行四边形，再结合平行四边形的性质即可得与的 数量关系； （3）首先，由四边形是平行四边形，得，再由，，得，由折叠可知：，易知为等腰直角三角形，延长交于M，可知 ，由平行四边形的性质可得，，，进而可知，由平行四边形的面积为24，，得，求得，可得，再利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，则， 由折叠可知：，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：，理由如下： ∵ 四边形是平行四边形， ∴，， 又∵为边的三等分点， ∴， 由折叠可知，，则， ∴， 由三角形外角性质可知，， ∴， ∴ ， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴，则 ， ∴ ； （3）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， 由折叠可知， ∴ ， ∴为等腰直角三角形， ∴， 如图，延长交于，则， ∵四边形是平行四边形， ∴， ，，即， ∴， ∵平行四边形的面积为24，，即， ∴ ，则， ∴． 易错必刷题型07.证明四边形是菱形 题型特征：根据题干边角、对角线条件，完整推理证明四边形为菱形。 易错点：①未先证明平行四边形直接判定菱形②仅凭单一条件草率下定结论。 19．如图，的两条对角线，相交于点．若，，，则四边形是____________．判定的依据是____________________________． 【答案】 菱形 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 【分析】本题考查了勾股逆定理和平行四边形的性质以及菱形的判定，掌握上述知识点是解题的关键． 根据中三边的长度，利用勾股逆定理证明，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得答案． 【详解】解：∵在中，，，， ， 又∵， ∴, ，即， 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）． 故答案为：菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 20．如图，四边形的对角线，相交于O，且互相平分，添加下列条件，能判定四边形为菱形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：四边形的对角线，相交于O，且互相平分， 四边形是平行四边形． A、是平行四边形的性质，不能判定四边形为菱形，故A不符合题意； B、四边形是平行四边形，，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，能判定四边形为菱形，故B符合题意； C、四边形是平行四边形，，根据对角线相等的平行四边形是矩形，不能判定四边形为菱形，故C不符合题意； D、四边形是平行四边形， ． ， ． 四边形是矩形． 不能判定四边形为菱形，故D不符合题意． 21．如图，在平行四边形中，，垂足为点，，垂足为点，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，证明，得到，可知平行四边形是菱形； （2）根据平行四边形的性质得到，根据垂线的定义得到，求出四边形内角和，即可求出的度数． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， 在四边形中，内角和为， ∴． 易错必刷题型08.添条件使四边形是菱形 题型特征：已知平行四边形，补充有效条件使其转化为菱形。 易错点：①添加原本具备的无效条件②混淆菱形与矩形判定条件类型。 22．如图，的对角线，相交于点．请你添加一个条件：____________（写出一种情况即可），使四边形是菱形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了菱形的判定知识点，掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形或对角线互相垂直的平行四边形是菱形是解题的关键． 根据菱形的判定定理，在平行四边形的基础上，添加一组邻边相等或对角线互相垂直的条件即可判定为菱形． 【详解】解：添加条件： ∵四边形是平行四边形， ∴ ∵ ∴ ∴四边形是菱形 故答案为：（答案不唯一） ． 23．在四边形中，，，则添加下列条件，能使四边形为菱形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件判定四边形是平行四边形，再结合菱形的判定定理判断选项即可． 【详解】解：∵在四边形中，，，四边形内角和为， ∴，即， 可得，同理可得， ∴四边形是平行四边形， 对各选项分析如下： 选项A：若，平行四边形是矩形，不能判定为菱形； 选项B： ，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故平行四边形是菱形，符合要求； 选项C：若，对角线相等的平行四边形是矩形，不能判定为菱形； 选项D：平行四边形对边本来相等，是平行四边形的固有性质，无法判定为菱形． 24．如图，在中，点在上，，交于点，连接．请你从以下三个选项：①；②；③平分中选择一个合适的选项作为补充条件，使得四边形是菱形． (1)你选择的补充条件是______（填序号）； (2)根据你选择的补充条件，写出四边形是菱形的证明过程． 【答案】(1)①（或③） (2)见解析 【分析】本题考查了菱形的判定． （1）根据题意选择条件即可求解； （2）选①或③，根据邻边相等的平行四边形是菱形，即可得证． 【详解】（1）解：①（或③） （2）解：选①，证明如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 选③，证明如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 易错必刷题型09.由菱形性质与判定求角度 题型特征：先判定图形为菱形，再运用性质推导未知内角度数。 易错点：①判定失误导致后续计算全部错误②不会结合等腰三角形换算角度。 25．如图，在中，，分别以C、B为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点D，连接、、．若，则______°． 【答案】25 【分析】根据作图，得到，得到菱形，根据菱形的性质解得即可． 本题考查了基本作图，菱形的判定和性质，熟练掌握菱形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：根据作图，得到， 故四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：25． 26．如图，将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定是解题的关键，根据题意得出四边形为菱形，由菱形的性质可得，得到的度数，再由,即可得到的度数，从而得到答案． 【详解】解：由题可得：在四边形中，， ∴四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 27．已知：如图，平行四边形中，对角线，相交于点，延长至，使，连接交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（）先证明四边形是平行四边形，再利用平行四边形对角线互相平分可证出结论； （）首先证明四边形是菱形，再用菱形的性质可得到，再根据两直线平行，同位角相等得到 此题主要考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴； （2）解：∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， 由（）得：四边形是平行四边形， ∴， ∴． 易错必刷题型10.由菱形性质与判定求线段长 题型特征：判定为菱形后，利用几何关系求解内部各类线段长度。 易错点：①错用矩形相关性质计算菱形数据②勾股定理边长对应关系查找错误。 28．如图，四边形为平行四边形，且平分，作，垂足为．若， ，则______． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，平行四边形的性质，勾股定理，等角对等边等等，先证明四边形是菱形，得出，根据， ，得出，根据勾股定理得出，根据，求出结果即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 29．如图，中，，，分别以点和点为圆心，长为半径作弧，两弧交于点，连接，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，连接，则的长为（    ） A．5 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】先由作图得，结合，可推出四边形是菱形，根据菱形的性质得，，则，再由勾股定理分别求出、即可． 【详解】解：如图，连接交于点， 由作图得， 又∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴． 30．如图，在矩形中，，，点O是对角线的中点，过点O的直线分别交，边于点E，F． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用矩形的性质证明，得到，进而即可求证； （2）由得四边形是菱形，即得，再利用矩形的性质和勾股定理求出即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，点是对角线的中点， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴当时，四边形是菱形， ∴， ∵四边形是矩形，点是对角线的中点， ∴， ∵，， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴． 易错必刷题型11.由菱形性质与判定求面积 题型特征：判定菱形身份后，选用对应公式计算图形整体与局部面积。 易错点：①误将普通平行四边形当作菱形计算②对角线数值代入运算出错。 31．如图，四边形是边长为的菱形，其中对角线长．则菱形的面积为________．    【答案】 【分析】首先根据菱形的性质可得，，，然后再根据勾股定理计算出长，进而得到答案． 【详解】解：四边形是菱形，   ，，， ， ， ， ， ． ． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了菱形的性质，解题的关键是掌握菱形的两条对角线互相垂直且平分． 32．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，在重叠部分构成的四边形中，若，，则四边形面积为_____． 【答案】24 【分析】过点A作于点E，过点A作于点F，设交于点，证明四边形为菱形，利用菱形的性质和勾股定理求出的长，等积法求出的长即可． 【详解】解：过点A作于点E，过点A作于点F，设交于点， 由题意，得：，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形为菱形， ∴． 33．如图，矩形的对角线与相交于点O，，直线是线段的垂直平分线，分别交，于点F，G，连接． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)当时，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、等边三角形的判定与性质及勾股定理，解题关键是利用矩形对角线性质、垂直平分线性质推出四边形的边的关系，结合特殊三角形性质与勾股定理计算进而求出面积． （1）由矩形性质得，结合、是的垂直平分线，证得，再由垂直平分线性质得、，推出，判定四边形是菱形． （2）由矩形及垂直平分线性质得是等边三角形，推出，结合，用勾股定理求出；再由菱形性质得，结合中角的性质求出，最后用菱形面积公式计算面积． 【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下： ， ， 是线段的垂直平分线， ， 在和中， ， ， ， 又， ， 四边形是菱形． （2）解：四边形为矩形， ， 是线段的垂直平分线， ， ， 为等边三角形， ， ， ， 在中，， 由勾股定理得：， 即 ， 解得 ， ， 四边形是菱形， ， 在中， ， ， ． 易错必刷题型12.菱形与动点问题 题型特征：在菱形边或对角线上设置动点，探究线段、面积变化及特殊位置情况。 易错点：①忽略动点运动范围造成漏解多解②含参线段表达式书写错误。 34．如图，四边形是菱形，连接，交于点．G为边上的一动点（不与点A， D重合），于点E，于点F，若，，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】连接，根据菱形的性质得出直角以及相关线段的长度，利用勾股定理求出的长度，证明四边形为矩形，得出当时，的值最小，即的值最小， 最后利用等面积法求解． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， 当时，的值最小，即的值最小， 由等面积得， 即的最小值为． 35．如图，菱形的边长为，，点E和点P分别为边和对角线上的动点，当的取值最小时，的周长为（   ） A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】利用菱形的对称性可知点与点关于直线对称，则，故，当三点共线且时，的值最小，此时的周长即为的长，求出和的长即可． 【详解】∵四边形是菱形， ∴关于对称， ∴ ∴， ∵点在上，点在上， ∴当三点共线且时，最小， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长． 36．如图1，在菱形中，，过点作的垂线，垂足为，交对角线于，连接． (1)求的长； (2)如图2，动点从点出发，沿折线方向以2个单位/秒的速度向终点匀速运动，设的面积为，点的运动时间为秒，求与之间的函数表达式； (3)在（2）的条件下，当点在边上运动时，是否存在这样的值，使与互余，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当点P在上时， 当点P在上时， (3)存在， 【分析】（1）连接，交于点，根据菱形的性质可得，再根据勾股定理求出，然后根据勾股定理得，则此题可解； （2）根据菱形的性质得，再根据“边边边”证明，可得，然后分两种情况：当点在边上时，由（1），根据的面积得出关系式；当点在边上时，由（1），再根据的面积得出答案； （3）连接，根据“等边对等角”得，进而得，再根据“同角的余角相等”得，可得，然后根据可得，最后求出，则此题可解． 【详解】（1）解：连接，交于点． ∵四边形是菱形， ． ． ， 在中，由， 得， 解得； （2）解：∵四边形是菱形，， ． 又， ． ． ①当点在边上时，由（1），且， 的面积； ②当点在边上时，由（1），且， 的面积； （3）解：存在． 连接， ， ． ． 在中，， 又， ． 当时，． ． 又∵， ． ． ． 易错必刷题型13.菱形最值问题 题型特征：依托菱形轴对称特性，求解最短路径、最小周长等几何最值题型。 易错点：①选取对称点位置错误②混淆线段和与线段差两类解题模型。 37．如图，在菱形中，，点E是边的中点，点P是对角线上的动点，连接、，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】如图，连接PB，BE，，交于点，证明，，即当点与点重合时，的值最小，最小值为的长，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，连接PB，BE，，BE交于点， 点与点关于菱形的对角线对称， ， ，即当点与点重合时，的值最小，最小值为的长． 在菱形中，，，， ∴， 是等边三角形． 是的中点， ． ， ， ， 的最小值为． 38．如图，在边长为的菱形中，点，为边，上的动点，且，连接，，若菱形面积为，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作点关于的对称点，连接交于点，连接，则，可得，根据菱形的面积和边长可得，可得，由勾股定理可得，根据菱形性质，结合已知证明，可得，可得，即可得的最小值． 【详解】解：作点关于的对称点，连接交于点，连接，则，，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵菱形中，，，且， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 39．如图，已知矩形的对角线的垂直平分线分别交，于点E，F，连接，． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，P为线段上一动点，连接，，求的最小值． 【答案】(1)四边形是菱形，理由见解析 (2) 【分析】（1）先证明，可得四边形是平行四边形，再由，即可证明结论； （2）由四边形是菱形，可得，，则的最小值为线段的长，设，在中利用勾股定理列方程可得，在中即可求得的长，即可得的最小值． 【详解】（1）解：四边形是菱形，理由如下： ∵在矩形中，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴四边形是菱形． （2）解：如图，连接，连接交于点G，连接， 由（1）得四边形是菱形， ∴点E，F关于直线对称，，， ∴， ∴当点P与点G重合时，取得最小值，最小值为线段的长， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∵在矩形中，， ∴在中，， ∴的最小值为．                易错必刷题型14.菱形与对角线综合 题型特征：以对角线为核心考点，综合计算边长、角度与图形面积。 易错点：①遗忘对角线互相垂直平分核心特征②对角线相关计算步骤杂乱易出错。 40．如图，菱形的对角线，相交于点，且，，过点作，垂足为，则点到边的距离____． 【答案】 【分析】由菱形的性质得，再由勾股定理得，然后由三角形面积求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ， ， ， ， ， ． 41．如图，菱形的对角线相交于点，于点，若，菱形的面积为，则的长度为（    ） A．4 B． C． D．8 【答案】D 【分析】先由菱形性质得到对角线相互垂直平分，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出，再由菱形面积公式列式求出，最后在中由勾股定理求解即可． 【详解】解：在菱形中，，，， ，， 在中，，则， 菱形的面积为， ，即，解得， 在中，，则由勾股定理可得． 42．如图所示，点是菱形对角线的交点，，连接，交于． (1)求证：四边形是矩形； (2)已知菱形的面积为12，且，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，根据菱形的性质得到，即可证明四边形是矩形； （2）根据菱形的性质得到，，进而得到，，根据勾股定理得到，根据完全平方公式求出，根据矩形的性质即可求出的长． 【详解】（1）证明：∵， ∴四边形是平行四边形 ∵四边形是菱形， ∴，即 ∴平行四边形是矩形； （2）解：∵菱形的面积为12， ∴，， ∴，， ∵， ∴在中，由勾股定理得， ∵四边形是矩形 ∴ 易错必刷题型15.菱形与中位线综合 题型特征：结合三角形中位线定理，求解菱形内部连线线段长度。 易错点：①记错中位线长度比例关系②无法准确对应中位线所属第三边。 43．如图，O为菱形的对角线，的交点，M，N 分别为边，的中点，连接，若，，则菱形的周长为______． 【答案】 【分析】根据三角形中位线定理得到，根据菱形的性质得到，，，再根据勾股定理求出的长，最后利用菱形的周长公式即可求解． 【详解】解：∵M，N 分别为边，的中点， ∴是的中位线， ∴． ∵四边形是菱形， ∴，，． 在中，根据勾股定理，得 ， ∴菱形的周长为． 44．如图，在菱形中，，分别为，的中点，连接，交于点．若，，则的长为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】由菱形的性质可得，，，再利用勾股定理可得，即；然后利用三角形中位线的性质即可解答． 【详解】解：∵在菱形中，， ∴，， ∴， ∴， ∵，分别为，的中点， ∴． 45．已知：如图，在中，D、、分别是、、的中点，连接、、． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用中位线可证，，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形来证明即可； （2）由，得，再根据菱形的判定定理证得四边形是菱形，进而求得答案． 【详解】（1）证明：，，分别是，，的中点， ，是的中位线， ，， 四边形是平行四边形； （2）解：，，分别是，，的中点，， ， 又， ∴， ， 由（1）得：四边形是平行四边形， 四边形是菱形， ， 四边形的周长． 易错必刷题型16.菱形拼接综合题 题型特征：菱形与其他几何图形拼合嵌套，计算组合图形周长、边长与总面积。 易错点：①重复核算拼接重合边长度②拆分组合面积时计算逻辑混乱。 46．如图，在线段上取一点，分别以，为边，在的同侧作菱形和菱形，使点在边上，连接，是的中点，． （1）________． （2）线段的长度为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的性质、直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握菱形的边与角的性质及直角三角形斜边中线等于斜边的一半是解题的关键． （1）利用菱形的性质，结合平行线的性质推导的度数； （2）先证为直角三角形，再利用直角三角形斜边中线的性质求的长度． 【详解】解：（1）∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴． ∴， ∴， 故答案为： （2）连接，， ∵四边形是菱形，， ∴． ∵四边形是菱形， ∴． ∵， ∴． ∵是的中点， ∴． 故答案为： 47．如图，已知，P为线段上的一个动点，分别以，为边在的同侧作菱形和菱形，点，，在一条直线上，，，分别是对角线，的中点．当点在线段上移动时，点之间的距离最短为（　　） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】连接，,通过给出的条件得出直角三角形，假设出未知量，通过勾股定理列出二次函数，求出最值即可． 【详解】解：如图，连接，， 四边形，四边形是菱形，， ，， ，分别是对角线，的中点， ，， ， 设，则，，，由勾股定理得， ， 时，有最小值，最小值为． 48．如图，四边形和四边形均为菱形，且菱形的面积为落在边上，若的面积为，则的面积是___________． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形面积，掌握菱形的性质是解题关键．连接，根据菱形的性质，推出，得到，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 四边形和四边形都是菱形， ，，，， ，， ， ， ， ， 和同底等高， ， 菱形的面积为，的面积为， ， ， 故答案为：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $