专题04 一次函数（期末真题汇编，湖北专用）八年级数学下学期人教版

**基本信息** 湖北多地八年级下期期末一次函数专题试题汇编，覆盖图像性质、方程不等式、最大利润、几何综合四大考点，基础题与综合题梯度分布，结合科技（神舟十九号）、文化（哪吒电影）等真实情境，适配期末复习与能力提升。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |解答题|50题|一次函数解析式求解、图像平移（考点01）；与方程不等式结合求解集（考点02）；利润最大化（考点03）；面积计算、等腰直角三角形存在性（考点04）|情境具时代性（如神舟模型销售），问题分层（基础求解析式到综合几何证明），突出数学建模与几何直观|

专题04 一次函数 高频考点概览 考点01一次函数的图像与性质 考点02 一次函数与方程（组）、不等式 考点03一次函数与最大利润问题 考点04 一次函数与几何综合 ( 考点0 1 一次函数的图像与性质 ) 1．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）如图，直线l分别交x轴和y轴于点和点B，求直线的解析式． 2．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）已知直线经过点． (1)求直线的解析式； (2)若将直线向左平移个单位长度，直接写出平移后直线的解析式． 3．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）根据下列条件分别确定函数的解析式： (1)y与x成正比例，当时，； (2)直线经过点和点． 4．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图1，直线与x轴、y轴分别交于点、． (1)点A的坐标是______，点B的坐标是______，的面积是_______； (2)如图2，直线分别与y轴、AB交于点C、D，若，求k的值； (3)如图3，平移直线，平移后的直线与x轴交于点M，与y轴交于点N，分别延长、交于点Q，试说明点Q在一条定直线上运动． 5．（24-25八年级下·湖北鄂州·期末）一次函数图象经过和两点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)当时，求y的值． 6．（24-25八年级下·湖北黄石·期末）已知y是x的一次函数，且当时，；当时，． (1)求这个一次函数的表达式； (2)当时，求y的值． 7．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）已知直线和的图象交于点． (1)求出的值； (2)若直线、与x轴分别交于点、，求的面积． 8．（24-25八年级下·湖北·期末）已知一次函数，它的图象经过点和． (1)求y与x之间的函数表达式； (2)一次函数的图象不经过第 象限，y随x的增大而 ； (3)当时，直接写出自变量x的取值范围． ( 考点02 一次函数与方程（组）、不等式 ) 1．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点直线与轴交于点，与轴交于点，且与一次函数的图象交于点． (1)直接写出的值______； (2)求一次函数的解析式； (3)已知点是线段上一点，且，求的坐标． 2．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）若直线经过点． (1)求的值； (2)若，直接写出的取值范围是__________． 3．（24-25八年级下·湖北荆州·期末）如图在平面直角坐标系中，点在直线：上，直线：经过点，且与轴交于点． (1)先求的值，再求出直线的表达式； (2)直接写出时，的取值范围． 4．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）如图所示，一次函数的图象经过点A，与函数的图象交于点B，点B的横坐标为1． (1)方程组的解是 ， ， ； (2)求代数式的值． 5．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）如图，直线与轴交于点，与直线的交点纵坐标为2． (1)求，的值； (2)直接写出关于的不等式的解集． 6．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）如图，已知直线经过点，，并与x轴交于点C，与直线相交于点D． (1)求直线的函数表达式； (2)求不等式的解集； (3)直线与y轴交于点E，在直线上是否存在点P，使得，若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，说明理由． 7．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）如图，已知直线与x轴，y轴分别交于点A和点B，另一直线经过点，且把分成两部分． (1)若被分成的两部分面积相等，求k和b的值； (2)当时，，直接写出k的取值范围． 8．（24-25八年级下·湖北孝感·期末）已知一次函数的图象经过点， (1)求的值； (2)在给出的平面直角坐标系中画出该一次函数的图象； (3)当时，根据函数图象，求的取值范围． 9．（24-25八年级下·湖北黄冈·期末）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象和一次函数的图象相交于点，且一次函数的图象与轴交于点． (1)求，的值． (2)求的面积． 10．（24-25八年级下·湖北荆州·期末）已知平面直角坐标系如图所示： (1)画出函数的图象； (2)当时，求相应的的取值范围； (3)已知函数的值满足，求相应的的取值范围． 11．（24-25八年级下·湖北孝感·期末）如图，一次函数的图象交x轴于点A，的图象交x轴于点B，且两条直线相交于点． (1)则_________， _________； (2)求的面积； (3)结合图象，直接写出不等式的解集． 12．（24-25八年级下·湖北随州·期末）已知一次函数的图象不经过第二象限，且m为正整数． (1)求m的值． (2)在给出的平面直角坐标系中画出该一次函数的图象． (3)当时，根据函数图象，直接写出x的取值范围． ( 考点0 3 一次函数与最大利润问题 ) 1．年月日时分，神舟十九号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，标志着神舟十九号载人飞行任务取得圆满成功航模店看准商机，在模型厂购进“神舟”和“天宫”模型出售该店先花费元购进了个“神舟”模型和个“天宫”模型，很快销售一空；后又花费元以同样的价格购进了个“神舟”模型和个“天宫”模型已知每个“神舟”模型的售价为元，每个“天宫”模型的售价为元． (1)求每个“神舟”模型和“天宫”模型的进价； (2)该店计划继续购进这两种模型共个，其中购进“天宫”模型数量不超过“神舟”模型的倍，且航模店购进总金额不超过元设购进“神舟”模型个，销售这批模型的利润为元当购进这两种模型各多少个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润是多少？ (3)实际进货时，模型厂家对“神舟”模型出厂价下调了元，且限定航模店最多购“神舟”模型个．在（2）的条件下，为让航模店最终获得的最大利润是元，直接写出的值为______． 2．武汉洪湖养殖场，每年秋季都有大量螃蟹上市，为进一步拓宽市场，产区组织20辆同规格的冷藏车装运A，B两种螃蟹运往外地销售．每辆冷藏车满载装运同一种产品，每辆汽车的运载量（吨）及每吨螃蟹的利润（万元）如表所示： 每辆汽车运载量/吨 2 3 每吨螃蟹利润万元 0.5 0.4 根据表格中提供的信息，解答以下问题： (1)设安排辆冷藏车装运种螃蟹，20辆车运送的螃蟹总利润为y元，直接写出关于的函数关系式； (2)若规定装运每种螃蟹的冷藏车都不少于6辆，求自变量的取值范围； (3)在（2）的前提下，若要使此次销售获利最大，应如何安排车辆？并求出最大利润． 3．年月，某次大型羽毛球比赛在荆州圆满落幕，荆州作为“羽毛球之乡”已培养出谌龙、王祉怡等多位世界冠军，各中小学也在大力发展羽毛球运动，某体育用品商店抓住商机，计划购进，两种型号羽毛球拍共副进行销售，其中购进型号球拍不超过副，它们的进价和售价如表所示．已知购进副型球拍和副型球拍共需花费元，购进副型球拍和副型球拍共需花费元． 商品 进价 售价 型球拍元副 型球拍元副 (1)求，的值； (2)该商店根据以往的销售经验，决定购进型球拍数不少于型球拍数的一半．设购进型球拍副，售完这批体育用品共获利元． 求关于的函数解析式，并写出的取值范围； 如何购货才能使这批体育用品全部售完时，获利最大？试求出最大利润． 4．电影《哪吒之魔童闹海》以传统神话故事为蓝本，在哪吒这一角色身上，淋漓尽致地展现了中国人勇敢无畏的精神力量，这也是中国传统文化旺盛生命力的缩影．同时，该影片还带动了周边文创商品的热销，某商家现购进哪吒、敖丙两种摆件用于销售，已知购进一个哪吒摆件比购进一个敖丙摆件多5元，购进3个哪吒摆件和2个敖丙摆件共需90元． (1)求这两种摆件购进时的单价分别为多少元？ (2)由于销售火爆，商家计划购进这两种摆件共100个，设哪吒摆件购进x个，购进两种摆件共花费y元，求y与x之间的函数关系式． (3)在（2）的条件下，若哪吒摆件的售价为30元/个，敖丙摆件的售价为20元/个，该商家计划购进这两种摆件所花的总费用不超过1900元，且敖丙摆件购进的个数不超过哪吒摆件个数的，要使这两种摆件全部售完时商家能获得最大利润，请你帮助商家设计购进方案，并求出最大利润． 5．某商店准备购进一批电冰箱和空调，每台电冰箱的进价比每台空调的进价多400元，购买3台空调和2台电冰箱共需8800元． (1)求每台电冰箱与空调的进价分别是多少？ (2)已知电冰箱的销售价为每台2100元，空调的销售价为每台1750元．若商店准备购进这两种家电共100台，其中购进电冰箱台，则该商店要获得最大利润应如何进货？ 6．某环保品牌主营有机棉T恤（T恤）和再生涤纶短裤（短裤），短裤利润每条60元，T恤利润每件58元，利润售价成本． (1)若一次性购进这两种商品共800件/条，设购进T恤件，且．总利润元需不低于20000元． ①写出与函数关系式； ②写出获利最大的方案； (2)因局部变革，在这两种商品售价维持稳定不变、短裤成本价维持稳定不变的情况下，T恤成本价每件下降元（），若准备一次性购进这两种商品共600件/条（其中购进T恤件数不少于300件不多于500件），总利润最小值不低于35600元，求值． 7．某商店销售一种产品，该产品成本价为8元/件，售价为10元/件，销售人员对该产品一个月（30天）销售情况记录绘成图象．图中的折线表示日销量y（件）与销售时间x（天）之间的函数关系，若线段表示的函数关系中，时间每增加1天，日销量减少5件． (1)第26天的日销量是______件，这天销售利润是______元； (2)求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围； (3)销售期间日销售最大利润是多少元？日销售利润不低于660元的天数共有多少天？ 8．综合与实践 在一次综合与实践活动中，兴趣小组对某公司销售的，两种型号的电脑的销售情况进行了调研，获得了以下素材． 素材一：型电脑每台利润为400元，型电脑每台利润为500元． 素材二：公司计划一次性购进这两种型号的电脑共100台，其中型电脑的进货量不超过型电脑的2倍． 设购进型电脑台，这100台电脑的销售总利润为元，请根据以上素材，解决下列问题 (1)求与的函数解析式； (2)该公司购进型、型电脑各多少台，才能使销售总利润最大，最大利润是多少？ (3)公司实际进货时，厂家对型电脑出厂价下调元，该公司保持这两种型号电脑的售价不变，若无论该公司如何进货这100台电脑的销售利润不变，求的值． 9．某商店销售12台A型和5台B型空调的利润为1950元，销售8台A型和10台B型空调的利润为2300元． (1)求每台A型空调和B型空调的销售利润； (2)该商店计划一次购进两种型号的空调共100台，其中B型空调的进货量不超过A型电脑空调的2倍，设购进A型空调x台，这100台空调的销售总利润为y元，求该商店购进A型、B型空调各多少台，才能使销售总利润最大，销售总利润最大为多少元？ 10．某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元． (1)求每台A型电脑和B型电脑的销售利润； (2)该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元． ①求y关于x的函数关系式； ②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？最大利润是多少？ 11．某出租车公司决定购买A，B两种品牌车共20台．A品牌车比B品牌车的单价多2万元，若购买4台A品牌车比购买3台B品牌车多花18万元． (1)求A，B两种品牌车的单价是多少万元； (2)已知每台A，B两种品牌车的月运营收益分别为3.6万元，3万元．该出租车公司计划购买这两种品牌的车的总费用不超过220万元，并要求月运营总收益不低于64万元．设购买A品牌车x（台），月运营总收益为y（万元）， ①求y与x的函数关系式以及自变量x可以取哪几个值； ②请设计一种月运营总收益最大的购车方案，并求出月运营总收益的最大值是多少万元． 12．2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆，任务取得圆满成功．某航模店在取得官方授权后，推出了“神舟”和“天宫”两种模型．已知每个“天宫”模型的成本是“神舟”模型成本的，同样花费320元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多4个． (1)求每个“神舟”和“天宫”模型的成本分别是多少元？ (2)该航模店计划购买两种模型其100个，且每个“神舟”模型的售价为34元，“天宫”模型的售价为26元．设购买“神舟”模型m个，销售这批模型的利润为w元． ①求w关于m的函数关系式（不要求写出m的取值范围）； ②若购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的一半，则购进“神舟”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？ 13．某商场有大、小两种规格的书包，每个大书包的进价为元，售价为元，每个小书包的进价为元，售价为元．现大、小书包共购进了个，其中大书包的数量不少于个，设购进大书包个（为整数），大、小书包全部售完后获得的利润为元． (1)求与之间的函数关系式； (2)若购进个书包的总费用不超过元，求最大利润为多少元？ (3)在（2）的条件下，该商场现对大书包每个优惠元进行促销活动，小书包每个进价减少元，售价不变，若最大利润为元，则的值是______． 14．某商店销售12台A型和5台B型空调的利润为1950元，销售8台A型和10台B型空调的利润为2300元． (1)求每台A型空调和B型空调的销售利润； (2)该商店计划一次购进两种型号的空调共99台，其中B型空调的进货量不超过A型空调的2倍，设购进A型空调x台，这99台空调的销售总利润为y元，求该商店购进A型、B型空调各多少台，销售总利润最大为多少元？ (3)实际进货时，厂家对A型空调出厂价下调元，且限定商店最多可购进A型空调66台，若商店保持同种空调的售价不变，请你根据以上信息及（2）中条件，设计出使这99台空调销售总利润最大的进货方案． 15．根据以下素材分别完成后面的任务： 主题 确定哪吒玩偶购进方案 素材1 《哪吒2魔童闹海》热映，带来哪吒玩偶热销．小明在网上开设A，B两款哪吒玩偶专卖店，其进价分别为15元/只、20元/只，售价分别为18元/只、26元/只． 素材2 小明准备花费2600元购进A，B两款哪吒玩偶若干只，且A款的数量至少比B款多20只． 任务1 若小明购进A款玩偶96只，求全部销售完获得的总利润是多少元？ 任务2 设购进A款玩偶x只，全部销售完获得的总利润为y元，试求出y（元）关于x（只）的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）． 任务3 根据计算说明，如何进货使得全部销售完获得总利润最高？最高为多少？ ( 考点0 4 一次函数与几何综合 ) 1．（24-25八年级下·湖北鄂州·期末）如图1，已知函数与轴交于点，与轴交于点，点与点关于轴对称． (1)求直线的函数解析式； (2)设点是轴上的一个动点，过点作轴的平行线，交直线于点，交直线于点． ①若的面积为，求点的坐标； ②连接，如图2，若，求点的坐标． 2．（24-25八年级下·湖北十堰·期末）如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点 (1)______，______； (2)点，点分别是直线和直线上的动点． ①当的值最小时，求P点坐标； ②是否存在点，使得是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（24-25八年级下·湖北十堰·期末）已知直线与x轴、y轴分别交于点A，B． (1)请在图中直接画出直线的图象； (2)判断点是否在直线上，若在，请说明理由；若不在，请求出的面积． 4．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）如图，已知直线与轴轴分别交于点和点，与直线关于轴对称．直线与轴交于点． (1)求直线的解析式． (2)是线段上一动点．当的面积为6时，求点的坐标． 5．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）已知直线与轴交于点，与轴交于点，点的坐标为，，为垂足． (1)求两点的坐标； (2)直线，与直线相交点． ①若直线夹角为，求交点的坐标； ②若，求取值范围． 6．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）如图1，直线交y轴于A点，交x轴于C点，以点O，A，C为顶点作矩形OABC，在x轴、y轴的正半轴上分别取点D、E，使，，直线AC交直线DE于点F．      (1)求直线DF的解析式； (2)求证：FO平分； (3)在直线OF上是否存在一点G，使是等腰直角三角形？若存在，求点G的坐标；若不存在，请说明理由． 7．（24-25八年级下·湖北恩施·期末）在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，直线交轴于点，交轴于点． (1)如图1，连接，求的面积． (2)如图2，在直线上存在点，使得，求点的坐标． 8．（24-25八年级下·湖北黄冈·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，直线m、n分别与x轴交于点B、C． (1)求a，b的值； (2)求； (3)若x轴上存在一点P，使得是等腰三角形，求点P的坐标； (4)直线与y轴相交于点D，在平面直角坐标系中找一点Q，使得以点A，B，D，Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点Q的坐标． 9．（24-25八年级下·湖北黄冈·期末）如图，在平面直角坐标系中，一条直线与轴相交于点，与正比例函数（，且为常数）的图象相交于点． (1)求的值； (2)求的面积； (3)点为y轴上一点，若的面积为，求点的坐标． 10．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于A，与y轴交于B，与直线交于点P．直线与y轴交于点C． (1)如图1，若点P的坐标为，直接写出不等式的解集为______； (2)如图2，平移线段至，点B与点C对应，点A与点D对应，求直线的解析式； (3)在（2）的条件下，若的面积是平行四边形面积的，请直接写出P点的坐标． 11．（24-25八年级下·湖北随州·期末）已知，，直线与轴，轴分别交于点，． (1)求直线的解析式； (2)求的面积． 12．（24-25八年级下·湖北黄冈·期末）如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，直线与y轴相交于点，与直线相交于点D． (1)求点D的坐标和直线的解析式； (2)结合图形直接写出的解集； (3)求出四边形的面积． 13．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，直线与直线交于点A． (1)直接写出点A的坐标是_______； (2)为x轴上一动点，过点T作x轴的垂线分别交，于点C、D，当时，求t的值． 14．（24-25八年级下·湖北恩施·期末）如图，直线与轴交于点，直线与轴、轴分别交于、两点，并与直线相交于点，若． (1)求点的坐标； (2)直线交y轴于点P，求的面积． 15．（24-25八年级下·湖北随州·期末）如图，在直角坐标系中，一次函数的图象与x，y轴分别交于点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)若是线段上一点，且的面积为，求点的坐标； (3)已知正比例函数经过点，请直接写出当一次函数的值大于正比例函数的值时的取值范围． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 一次函数 高频考点概览 考点01一次函数的图像与性质 考点02 一次函数与方程（组）、不等式 考点03一次函数与最大利润问题 考点04 一次函数与几何综合 ( 考点0 1 一次函数的图像与性质 ) 1．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）如图，直线l分别交x轴和y轴于点和点B，求直线的解析式． 【答案】 【分析】先利用勾股定理计算出的长得到B点坐标，然后利用待定系数法求直线解析式． 本题考查了待定系数法求一次函数解析式，求一次函数，则需要两组x，y的值．也考查了勾股定理． 【详解】解： ， ， ， 设直线解析式为， 把A、B两点坐标分别代入得， 解得， 直线的解析式为． 2．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）已知直线经过点． (1)求直线的解析式； (2)若将直线向左平移个单位长度，直接写出平移后直线的解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一次函数的待定系数法求解析式以及图象平移规律图象平移规律“左加右减、上加下减”要准确理解和运用，这里左右平移改变自变量，上下平移改变函数值． （1）利用待定系数法，将已知点代入函数表达式求解； （2）依据一次函数图象平移规律“左加右减、上加下减”来计算平移后的解析式． 【详解】（1）解：把点代入， ， ，， 直线的解析式为； （2）将直线向左平移个单位长度， 直线的解析式为， 直线的解析式为． 3．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）根据下列条件分别确定函数的解析式： (1)y与x成正比例，当时，； (2)直线经过点和点． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是求解一次函数的解析式； （1）把，代入，进一步求解即可； （2）由直线经过点和点，再建立方程组求解即可． 【详解】（1）解：∵y与x成正比例， ∴， 把，代入得：， 解得， ∴函数解析式为． （2）解：∵直线经过点和点， ∴ 解得 ∴函数解析式为． 4．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图1，直线与x轴、y轴分别交于点、． (1)点A的坐标是______，点B的坐标是______，的面积是_______； (2)如图2，直线分别与y轴、AB交于点C、D，若，求k的值； (3)如图3，平移直线，平移后的直线与x轴交于点M，与y轴交于点N，分别延长、交于点Q，试说明点Q在一条定直线上运动． 【答案】(1)，，4 (2) (3)见解析 【分析】本题考查了一次函数的图像及性质，等腰三角形的性质，待定系数法求解析式．熟练掌握一次函数的图像及性质，等腰三角形的性质，待定系数法求解析式是解题的关键． （1）根据直线上点与坐标轴的交点，分别求出、点坐标，从而得出，的长度去求的面积； （2）由题意可知是等腰三角形，求出，将点代入，即可求； （3）设平移后的直线解析式为．则，，分别求出直线的解析式为，直线的解析式为，从而求出，即可得到点在直线上． 【详解】（1）解：当时，， ． 当当时，， ． ，， 的面积． 故答案为：，，4． （2）解：直线与轴交点， 已知， ， 是等腰三角形， 作轴， ，则， 点纵坐标为， 当时，解得， ， 将点代入，得到， 解得：． （3）解：设平移后的直线解析式为， ，， 设直线的解析式为，直线的解析式为， 将，代入， 解得：，， 将，代入， 解得：，， 直线的解析式为，直线的解析式为， 当时， 解得， ， 点在直线上． 5．（24-25八年级下·湖北鄂州·期末）一次函数图象经过和两点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)当时，求y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数解析式的求解以及给定自变量求解函数值，设出一次函数解析式由待定系数法求解函数解析式是解决本题的关键． （1）设出一次函数解析式为，将点代入由待定系数法求解即可 （2）将代入函数解析式求解即可． 【详解】（1）解：设这个一次函数的解析式为， 因为一次函数图象经过和两点， 由条件可得：，解得， 则这个一次函数的解析式为． （2）解：当时，． 6．（24-25八年级下·湖北黄石·期末）已知y是x的一次函数，且当时，；当时，． (1)求这个一次函数的表达式； (2)当时，求y的值． 【答案】(1) (2)31.5 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，求函数值，正确掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）设这个一次函数的表达式为，利用待定系数法求解； （2）将代入计算即可． 【详解】（1）解：设此一次函数的表达式， 将，；，分别代入此表达式， 即， 解得：， ∴此一次函数的表达式为； （2）解: 由（1）知，； 则当时， 7．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）已知直线和的图象交于点． (1)求出的值； (2)若直线、与x轴分别交于点、，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数的图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，三角形面积，数形结合是解题的关键． （1）把点代入即可求得a的值； （2）先求得、的坐标，然后利用三角形面积公式求得即可． 【详解】（1）解：把点代入， 得， 解得：； （2）当时，则，解得， 当时，则，解得， ，， ， ． 8．（24-25八年级下·湖北·期末）已知一次函数，它的图象经过点和． (1)求y与x之间的函数表达式； (2)一次函数的图象不经过第 象限，y随x的增大而 ； (3)当时，直接写出自变量x的取值范围． 【答案】(1)y与x之间的函数表达式为： (2)四，增大 (3)自变量x的取值范围为 【分析】本题主要考查一次函数图形的性质，掌握待定系数法，函数增减性，函数值或自变量值的计算是关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）根据一次函数解析式得到函数图象即可求解； （3）根据函数值的范围求自变量的取值范围． 【详解】（1）解：一次函数，它的图象经过点和， ∴， 解得，， ∴y与x之间的函数表达式为：； （2）解：一次函数解析式为， ∵， ∴一次函数图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，y随x的增大而增大， 故答案为：四，增大； （3）解：当时，，则，当时，，则， ∴当时，自变量x的取值范围为． ( 考点02 一次函数与方程（组）、不等式 ) 1．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点直线与轴交于点，与轴交于点，且与一次函数的图象交于点． (1)直接写出的值______； (2)求一次函数的解析式； (3)已知点是线段上一点，且，求的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把点P的横坐标代入，即可求出n． （2）利用待定系数法求一次函数解析式即可． （3）先求出点A和点C的坐标，，求出，设，最后根据代入求解出x，进而可求出点H的坐标． 【详解】（1）解：点在直线上， ， 故答案为：； （2）解：由（1）可知， 把点和点的坐标代入得， 解得， 一次函数的解析式为； （3）解：令，则，解得， ，解得， ，， ， ， 设， 则， ， ， 2．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）若直线经过点． (1)求的值； (2)若，直接写出的取值范围是__________． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是求解一次函数的解析式，一次函数与不等式的关系： （1）将代入即可求解； （2）先计算出时x的值，再根据一次函数图象的增减性求解． 【详解】（1）解：直线经过点， ， 解得； （2）解：由（1）得， 令，得， 解得， ， y随x的增大而减小， 当时，， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·湖北荆州·期末）如图在平面直角坐标系中，点在直线：上，直线：经过点，且与轴交于点． (1)先求的值，再求出直线的表达式； (2)直接写出时，的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了两条直线平行或相交问题，解题的关键是灵活应用待定系数法，学会利用图象根据条件确定自变量取值范围． （1）先求出点坐标，再利用待定系数法即可解决问题； （2）由图象可知直线在直线上方即可，由此即可写出的范围． 【详解】（1）解：由题意，点在直线：上， ， ， 直线：经过点，且与轴交于点， ， ， 直线的解析式为； （2）解：由题意得，不等式的解集是一次函数在的图象上方的部分对应的自变量的取值范围， 又一次函数与的图象交于， 结合图象可得，不等式的解集是． 4．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）如图所示，一次函数的图象经过点A，与函数的图象交于点B，点B的横坐标为1． (1)方程组的解是 ， ， ； (2)求代数式的值． 【答案】(1)，2，3； (2) 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． （1）先利用直线确定B点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解；利用待定系数法求出直线即可； （2）先利用二次根式的乘法法则运算，然后把m、n的值代入计算即可． 【详解】（1）解：当时，，则B点坐标为， 所以方程组组的解是， 把，代入得， 解得； 故答案为：，2，3； （2）解： ， 当，时，原式． 5．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）如图，直线与轴交于点，与直线的交点纵坐标为2． (1)求，的值； (2)直接写出关于的不等式的解集． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与一元一次不等式的关系，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先由直线求出交点，再由待定系数法求解即可； （2）由函数图象即可求解． 【详解】（1）解：由题意得将代入， 则， 解得：， ∴交点为， 将，代入， 则， 解得：； （2）解：由函数图象可得，当时，直线在直线的上方， ∴的解集为． 6．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）如图，已知直线经过点，，并与x轴交于点C，与直线相交于点D． (1)求直线的函数表达式； (2)求不等式的解集； (3)直线与y轴交于点E，在直线上是否存在点P，使得，若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点P的坐标为或 【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，三角形的面积的计算，一次函数与不等式，正确地求得函数解析式是解题的关键． （1）把点，代入得到方程组，解方程组即可得到结论； （2）解方程得到，于是得到不等式的解集为； （3）解方程组得到，设，根据题意列方程即可得到结论． 【详解】（1）解：把点，代入得 ， 解得：， 直线的函数表达式为； （2）解：在中，令，则， ， 不等式的解集为； （3）解：联立， 解得：， ， 设， 直线与轴交于点， ， ， ， ， ， ， 或． 7．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）如图，已知直线与x轴，y轴分别交于点A和点B，另一直线经过点，且把分成两部分． (1)若被分成的两部分面积相等，求k和b的值； (2)当时，，直接写出k的取值范围． 【答案】(1)和2 (2)或 【分析】（1）先确定，根据被分成的两部分面积相等， 点，判定直线一定是过点C的的中线所在直线，故必过点B，解答即可； （2）利用数形结合思想，解答即可． 本题考查了待定系数法，一次函数的性质，一次函数与不等式，熟练掌握性质，待定系数法是解题的关键． 【详解】（1）解：∵直线与x轴，y轴分别交于点A和点B， ∴， ∵点， 被分成的两部分面积相等， ∴点C是的中点， ∴直线一定是过点C的的中线所在直线， ∴也必过点B， ∴， 解得， 故k和b的值分别为和2； （2）解：根据题意，得过点， 故， 解得， ， 当时， 时，，， ， 解得：， ， 当时， ， 解得：， 当时，， ， 此时，一定成立， ； 综上所述：或． 8．（24-25八年级下·湖北孝感·期末）已知一次函数的图象经过点， (1)求的值； (2)在给出的平面直角坐标系中画出该一次函数的图象； (3)当时，根据函数图象，求的取值范围． 【答案】(1)1 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象以及一次函数的性质． （1）利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出，解之即可得出k的值； （2）利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出一次函数图象与两坐标轴的交点坐标，描点、连线，即可画出函数图象； （3）求出当，时，x的值，结合函数图象，即可得出结论． 【详解】（1）解： 一次函数的图象经过点， ， 解得，即的值为1； （2）解：由（1）知，， ， 当时，，当时，， 该一次函数的图象如图所示； （3）解：当时，，得， 当时，，得， 由图象可得，当时，的取值范围是． 9．（24-25八年级下·湖北黄冈·期末）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象和一次函数的图象相交于点，且一次函数的图象与轴交于点． (1)求，的值． (2)求的面积． 【答案】，； ． 【分析】本题主要考查了一次函数与几何的综合、一次函数与坐标轴的较点． 把点的坐标代入正比例函数，得到关于的一元一次方程，解方程求出；从而可知点的坐标为，把点的坐标代入一次函数，得到关于的一元一次方程，解方程求出的值即可； 由可知一次函数的解析式为，当时，可得：，解方程求出的值，即可得到点的坐标为，从而可知，因为点的坐标为，可知边上的高为，根据三角形的面积公式即可求出的面积． 【详解】（1）解：把点的坐标代入正比例函数， 可得：， 解得：， 点的坐标为， 把点的坐标代入一次函数， 可得：， 解得：； （2）解：由可知一次函数的解析式为， 当时，可得：， 解得：， 点的坐标为， ， 点的坐标为， 中边上的高为， ． 10．（24-25八年级下·湖北荆州·期末）已知平面直角坐标系如图所示： (1)画出函数的图象； (2)当时，求相应的的取值范围； (3)已知函数的值满足，求相应的的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查一次函数的图像与性质，一次函数与一元一次不等式（组），掌握知识点是解题的关键． （1）当时，；当时，，画出图象即可； （2）根据一次函数的图像，即可解答； （3）根据一次函数的图像，即可解答． 【详解】（1）解∶ 当时，，当时，，解得， ∴直线与y轴交于，与x轴交于， 画图如下： ； （2）解：由图像可知，当时，， （3）解：当时，，解得， 当时，，解得， 由图像可知，当时，． 11．（24-25八年级下·湖北孝感·期末）如图，一次函数的图象交x轴于点A，的图象交x轴于点B，且两条直线相交于点． (1)则_________， _________； (2)求的面积； (3)结合图象，直接写出不等式的解集． 【答案】(1)2，1 (2)27 (3) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，两条一次函数图像的交点问题，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先把代入，即可求出m，然后把点C的坐标，即可求出k； （2）求出与x轴的交点，即可面积； （3）根据图象即可确定不等式的解集． 【详解】（1）解：将代入得，， 解得，， ∴ 将代入得，， 解得， ∴， 故答案为：2，1； （2）解：对于，当时，， 解得：， 对于，当时，， 解得：， ∴， ∴； （3）解：由（1）知：， ∵， 即一次函数的图象在的图象下方时对应交点的横坐标的取值范围， ∴， ∴的解集是． 12．（24-25八年级下·湖北随州·期末）已知一次函数的图象不经过第二象限，且m为正整数． (1)求m的值． (2)在给出的平面直角坐标系中画出该一次函数的图象． (3)当时，根据函数图象，直接写出x的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查一次函数的性质、画一次函数图象以及根据函数值范围求自变量范围，解题的关键是根据其不经过第三象限确定的值； （1）根据一次函数的图象不经过第二象限确定的不等式组，从而确定的值； （2）确定的值后利用两点法作图即可； （3）根据图象确定自变量的取值范围即可． 【详解】（1）∵一次函数 的图象不经过第二象限， ∴， 得， ∵ 为正整数， ∴， （2）由（1）知，， ∴， 当 时，，当 时，， 该函数的图象如图所示； （3）∵， ∴当时， ( 考点0 3 一次函数与最大利润问题 ) 1．年月日时分，神舟十九号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，标志着神舟十九号载人飞行任务取得圆满成功航模店看准商机，在模型厂购进“神舟”和“天宫”模型出售该店先花费元购进了个“神舟”模型和个“天宫”模型，很快销售一空；后又花费元以同样的价格购进了个“神舟”模型和个“天宫”模型已知每个“神舟”模型的售价为元，每个“天宫”模型的售价为元． (1)求每个“神舟”模型和“天宫”模型的进价； (2)该店计划继续购进这两种模型共个，其中购进“天宫”模型数量不超过“神舟”模型的倍，且航模店购进总金额不超过元设购进“神舟”模型个，销售这批模型的利润为元当购进这两种模型各多少个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润是多少？ (3)实际进货时，模型厂家对“神舟”模型出厂价下调了元，且限定航模店最多购“神舟”模型个．在（2）的条件下，为让航模店最终获得的最大利润是元，直接写出的值为______． 【答案】(1)元，元 (2)购进“神舟”模型个、“天宫”模型个，利润最大，最大利润元； (3) 【分析】（1）设每个“神舟”模型的进价为元，每个“天宫”模型的进价为元，列二元一次方程组求解即可； （2）设购进“神舟”模型个，则购进“天宫”模型个，列不等式组求出的取值范围，再根据利润单个利润模型数量，可得关于的一次函数，利用一次函数的性质求出最大利润； （3）根据利润单个利润模型数量，可得，根据一次函数的性质求出． 【详解】（1）解：设每个“神舟”模型的进价为元，每个“天宫”模型的进价为元， 根据题意，得， 解得， 答：每个“神舟”模型的进价为元，每个“天宫”模型的进价为元． （2）解：设购进“神舟”模型个，则购进“天宫”模型个， 根据题意得：， 解得：， ， ， 随的减小而增大， ， 当时值最大，， （个）， 答：购进“神舟”模型个、“天宫”模型个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润是元； （3）解：， ， 若，则，即， 随的增大而增大， 当时值最大，得， 解得：， 为让航模店最终获得的最大利润是元，的值为． 2．武汉洪湖养殖场，每年秋季都有大量螃蟹上市，为进一步拓宽市场，产区组织20辆同规格的冷藏车装运A，B两种螃蟹运往外地销售．每辆冷藏车满载装运同一种产品，每辆汽车的运载量（吨）及每吨螃蟹的利润（万元）如表所示： 每辆汽车运载量/吨 2 3 每吨螃蟹利润万元 0.5 0.4 根据表格中提供的信息，解答以下问题： (1)设安排辆冷藏车装运种螃蟹，20辆车运送的螃蟹总利润为y元，直接写出关于的函数关系式； (2)若规定装运每种螃蟹的冷藏车都不少于6辆，求自变量的取值范围； (3)在（2）的前提下，若要使此次销售获利最大，应如何安排车辆？并求出最大利润． 【答案】(1) (2)的取值范围为，且为整数 (3)安排6辆车装运A种螃蟹，14辆车装运B种螃蟹，最大利润为228000元 【分析】本题考查一次函数的实际应用： （1）设安排x辆冷藏车装运A种螃蟹，则装运B种螃蟹的车为 辆，则y等于A种螃蟹总利润与B种螃蟹总利润之和； （2）根据装运每种螃蟹的冷藏车都不少于6辆，列不等式组，即可求解； （3）根据可得随的增大而减小，当取最小值6时，取最大值． 【详解】（1）解：设安排x辆冷藏车装运A种螃蟹，则装运B种螃蟹的车为 辆， 由题意知：， 即关于的函数关系式为，其中，且为整数； （2）解：由题意得， 解得， 故自变量的取值范围为，且为整数； （3）解：由（1）知，， ， 随的增大而减小， 当取最小值6时，取最大值， 最大值为：（元）， 综上可知，安排6辆车装运A种螃蟹，14辆车装运B种螃蟹，最大利润为228000元． 3．年月，某次大型羽毛球比赛在荆州圆满落幕，荆州作为“羽毛球之乡”已培养出谌龙、王祉怡等多位世界冠军，各中小学也在大力发展羽毛球运动，某体育用品商店抓住商机，计划购进，两种型号羽毛球拍共副进行销售，其中购进型号球拍不超过副，它们的进价和售价如表所示．已知购进副型球拍和副型球拍共需花费元，购进副型球拍和副型球拍共需花费元． 商品 进价 售价 型球拍元副 型球拍元副 (1)求，的值； (2)该商店根据以往的销售经验，决定购进型球拍数不少于型球拍数的一半．设购进型球拍副，售完这批体育用品共获利元． 求关于的函数解析式，并写出的取值范围； 如何购货才能使这批体育用品全部售完时，获利最大？试求出最大利润． 【答案】(1)50；65 (2)①取整数；②购进型球拍副、型球拍副时，获利最大，最大利润元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用，正确列出二元一次方程组、求出一次函数解析式是解此题的关键． （1）根据“购进副型球拍和副型球拍共需花费元，购进副型球拍和副型球拍共需花费元”列出二元一次方程组，解方程组即可得出答案； （2）①由题意即可得出关于的函数关系式，根据“购进型球拍数不少于型球拍数的一半”列出不等式，求出的取值范围即可； ②根据一次函数的性质求解即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得， ，； （2）解：①由题意得， 整理得：， 由条件可知， 购进型球拍数不少于型球拍数的一半， ， 解得：， 则的取值范围为：， 关于的函数关系式为 取整数； ②由中，，可得随的增大而减小， ，取整数， 当时，， 答：购进型球拍副、型球拍副时，获利最大，最大利润元． 4．电影《哪吒之魔童闹海》以传统神话故事为蓝本，在哪吒这一角色身上，淋漓尽致地展现了中国人勇敢无畏的精神力量，这也是中国传统文化旺盛生命力的缩影．同时，该影片还带动了周边文创商品的热销，某商家现购进哪吒、敖丙两种摆件用于销售，已知购进一个哪吒摆件比购进一个敖丙摆件多5元，购进3个哪吒摆件和2个敖丙摆件共需90元． (1)求这两种摆件购进时的单价分别为多少元？ (2)由于销售火爆，商家计划购进这两种摆件共100个，设哪吒摆件购进x个，购进两种摆件共花费y元，求y与x之间的函数关系式． (3)在（2）的条件下，若哪吒摆件的售价为30元/个，敖丙摆件的售价为20元/个，该商家计划购进这两种摆件所花的总费用不超过1900元，且敖丙摆件购进的个数不超过哪吒摆件个数的，要使这两种摆件全部售完时商家能获得最大利润，请你帮助商家设计购进方案，并求出最大利润． 【答案】(1)哪吒摆件的单价为20元，敖丙摆件的单价为15元； (2)； (3)商家购进哪吒摆件80个，敖丙摆件20个时，所获利润最大，最大利润为900元． 【分析】本题考查一次函数的应用和二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组和函数关系式． （1）设哪吒摆件的单价为m元，敖丙摆件的单价为n元，根据购进一个哪吒摆件比购进一个敖丙摆件多5元，购进3个哪吒摆件和2个敖丙摆件共需90元得：，即可解得哪吒摆件的单价为20元，敖丙摆件的单价为15元； （2）由购进哪吒摆件x个，知购进敖丙摆件个，故； （3）设销售两种摆件获得的利润为w元，可得：，又购进这两种摆件所花的总费用不超过1900元，且敖丙摆件购进的个数不超过哪吒摆件个数的，可得，解得：，再根据一次函数性质可得答案． 【详解】（1）设哪吒摆件的单价为m元，敖丙摆件的单价为n元， 根据题意得：， 解得：， 哪吒摆件的单价为20元，敖丙摆件的单价为15元； （2）根据题意得：， ； （3）设销售两种摆件获得的利润为w元， 由题意得， 解得：， 根据题意得， ， 随x的增大而增大， 当时，w取得最大值，最大值为元， 商家购进哪吒摆件80个，敖丙摆件20个时，所获利润最大，最大利润为900元． 5．某商店准备购进一批电冰箱和空调，每台电冰箱的进价比每台空调的进价多400元，购买3台空调和2台电冰箱共需8800元． (1)求每台电冰箱与空调的进价分别是多少？ (2)已知电冰箱的销售价为每台2100元，空调的销售价为每台1750元．若商店准备购进这两种家电共100台，其中购进电冰箱台，则该商店要获得最大利润应如何进货？ 【答案】(1)每台冰箱进价为2000元；每台空调进价为1600元 (2)购进电冰箱33台，空调67台 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，一次函数的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，列出一次函数解析式． （1）设每台空调的进价为元，则每台电冰箱的进价为元，根据购买3台空调和2台电冰箱共需8800元，列出方程，解方程即可； （2）设购进电冰箱台，则购进空调台，利润为元．得出一次函数解析式，然后根据一次函数增减性进行解答即可． 【详解】（1）解：设每台空调的进价为元，则每台电冰箱的进价为元， ， 解得：， （元）， 每台空调进价1600元，每台电冰箱进价为2000元． （2）解：设购进电冰箱台，则购进空调台，利润为元． ， ， 随的增大而减小， ， 当时，有最大值， 即购进电冰箱33台，空调67台时，利润最大． 6．某环保品牌主营有机棉T恤（T恤）和再生涤纶短裤（短裤），短裤利润每条60元，T恤利润每件58元，利润售价成本． (1)若一次性购进这两种商品共800件/条，设购进T恤件，且．总利润元需不低于20000元． ①写出与函数关系式； ②写出获利最大的方案； (2)因局部变革，在这两种商品售价维持稳定不变、短裤成本价维持稳定不变的情况下，T恤成本价每件下降元（），若准备一次性购进这两种商品共600件/条（其中购进T恤件数不少于300件不多于500件），总利润最小值不低于35600元，求值． 【答案】(1)①；②T恤数量为0，短裤数量为800条时，获利最多，获利最大值为48000 (2) 【分析】本题考查了一次函数的应用，不等式的应用，掌握一次函数的性质是解题关键． （1）①设购进T恤件，则购进短裤条，根据题意求函数关系式即可； ②利用一次函数的增减性求解即可； （2）设购进T恤件，则购进短裤条，根据题意得出，分三种情况讨论，利用一次函数的增减性以及不等式求解，得出，即可得到值． 【详解】（1）解：①设购进T恤件，则购进短裤条， 则， 总利润元需不低于20000元， ， ， ； ②， 随的增大而减小， ， 当时，有最大值， 即T恤数量为0，短裤数量为800条时，获利最多，获利最大值为48000． （2）解：设购进T恤件，则购进短裤条， 依题意得：， 当，即时，y随x的增大而增大， ， 当时，y有最小值为； 当，即时，； 当，即时，y随x的增大而减小， 当时，y有最小值为， 解得：， ， ， ． 7．某商店销售一种产品，该产品成本价为8元/件，售价为10元/件，销售人员对该产品一个月（30天）销售情况记录绘成图象．图中的折线表示日销量y（件）与销售时间x（天）之间的函数关系，若线段表示的函数关系中，时间每增加1天，日销量减少5件． (1)第26天的日销量是______件，这天销售利润是______元； (2)求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围； (3)销售期间日销售最大利润是多少元？日销售利润不低于660元的天数共有多少天？ 【答案】(1)320；640 (2) (3)720元；8天 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用． （1）根据题意“线段表示的函数关系中，时间每增加1天，日销量减少5件”，已知第22天的销售量，可求第26天的销售量；再根据日利润单件利润 日销售量，求出当天总利润即可； （2）根据点的坐标，利用待定系数法可求出直线、的函数关系式，进而可以判断得解； （3）由函数的图象可得，当时，可求出最高销售量，即可求最大利润；根据日销售量日销售利润每件的利润，可求出日销售量，将其分别代入、的函数关系式中求出x值，将其相减加1即可求出日销售利润不低于660元的天数． 【详解】（1）解：由题意，∵时间每增加1天，日销量减少5件，且第22天的销售量为340件， ∴第26天的日销售是（件）， ∴这天销售利润是（元）， 故答案为：320，640； （2）解：设直线的函数关系式为，将代入， ∴， ∴， ∴直线的函数关系式为； 当，； 当，， ∴过，， 设直线的函数关系式为， ∴， ∴， ∴直线的函数关系式为， 令， 解得， ∴直线和直线的交点坐标为， 综上，y与x的函数关系式； （3）解：由函数的图象可得，当时，日销售为， 此时日销售利润最大为：（元）； 又∵每件利润为：（元）， ∴当销售利润为660元时，销售量为330件， ∴令，则有或， ∴或， ∴日销售利润不低于660元的天数在17到24之间， ∴（天）， ∴日销售利润不低于660元的天数共有8天． 8．综合与实践 在一次综合与实践活动中，兴趣小组对某公司销售的，两种型号的电脑的销售情况进行了调研，获得了以下素材． 素材一：型电脑每台利润为400元，型电脑每台利润为500元． 素材二：公司计划一次性购进这两种型号的电脑共100台，其中型电脑的进货量不超过型电脑的2倍． 设购进型电脑台，这100台电脑的销售总利润为元，请根据以上素材，解决下列问题 (1)求与的函数解析式； (2)该公司购进型、型电脑各多少台，才能使销售总利润最大，最大利润是多少？ (3)公司实际进货时，厂家对型电脑出厂价下调元，该公司保持这两种型号电脑的售价不变，若无论该公司如何进货这100台电脑的销售利润不变，求的值． 【答案】(1) (2)公司购进A型电脑34台、B型电脑66台，才能使销售总利润最大，最大利润是46600元． (3)100 【分析】本题考查了一次函数的应用及一元一次不等式的应用． （1）根据总利润等于A、B两种型号电脑的利润之和，即可求出函数解析式； （2）根据“B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍”列出不等式，即可求出自变量的取值范围，根据一次函数的性质即可求出答案； （3）根据题意列出y关于x的函数关系式，可得当时，恒成立，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可知，． 所以与的函数解析式为． （2）解：根据题意，得． 解得． 因为为自然数，所以34． 因为，， 所以随的增大而减小． 所以当时，的值最大， 此时，． 答：公司购进A型电脑34台、B型电脑66台，才能使销售总利润最大，最大利润是46600元． （3）解：根据题意可知， 因为的值与的取值无关， 所以． 解得100． 9．某商店销售12台A型和5台B型空调的利润为1950元，销售8台A型和10台B型空调的利润为2300元． (1)求每台A型空调和B型空调的销售利润； (2)该商店计划一次购进两种型号的空调共100台，其中B型空调的进货量不超过A型电脑空调的2倍，设购进A型空调x台，这100台空调的销售总利润为y元，求该商店购进A型、B型空调各多少台，才能使销售总利润最大，销售总利润最大为多少元？ 【答案】(1)每台A型空调的销售利润是100元，每台B型空调的销售利润是150元 (2)购进34台A型空调和66台B型空调，才能使销售总利润最大，销售总利润最大为13300元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，理解题意是解题关键． （1）设每台A型空调的销售利润是n元，每台B型空调的销售利润是t元，根据“销售12台A型和5台B型空调的利润为1950元，销售8台A型和10台B型空调的利润为2300元”列二元一次方程组求解即可； （2）设购进A型空调x台，这100台空调的销售总利润为y元，根据“B型空调的进货量不超过A型电脑的2倍”列一元一次不等式，求出的取值范围，再得出关于的函数关系式，利用一次函数的增减性求最值即可． 【详解】（1）解：设每台A型空调的销售利润是n元，每台B型空调的销售利润是t元， ∴． ∴． 答：每台A型空调的销售利润是100元，每台B型空调的销售利润是150元． （2）解：设购进A型空调x台，这100台空调的销售总利润为y元， 则， 解得：， ∵ ∴y随x的增大而减小， ∵x为正整数， ∴当时，y取最大值，此时， 答：商店购进34台A型空调和66台B型空调，才能使销售总利润最大，销售总利润最大为13300元． 10．某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元． (1)求每台A型电脑和B型电脑的销售利润； (2)该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元． ①求y关于x的函数关系式； ②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)每台A型电脑的销售利润为100元，每台B型电脑的销售利润为150元 (2)①（，且x为正整数）；②该商店购进34台A型电脑、66台B型电脑时，销售利润最大，，最大利润是13300元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，以及一次函数的应用． （1）设每台A型电脑的销售利润为m元，每台B型电脑的销售利润为n元，根据“销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元”，可列出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）①利用总利润=每台A型电脑的销售利润×购进A型电脑的数量+每台B型电脑的销售利润×购进B型电脑的数量，可找出y与x的关系式，由B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍得出，再结合0且x为正整数，即可得出自变量x的取值范围； ②由，利用一次函数的性质，可得出y随x的增大而减小，再结合x的取值范围，即可得出结论． 【详解】（1）解：设每台A型电脑的销售利润为m元，每台B型电脑的销售利润为n元， 根据题意得：， 解得：． 答：每台A型电脑的销售利润为100元，每台B型电脑的销售利润为150元； （2）①根据题意得：， ∵B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍， ∴， 解得：， ∵，且x为正整数， ∴， ∴y与x的关系式为（，且x为正整数），； ②∵， ∴y随x的增大而减小， ∴当时，y取得最大值，最大值为，此时（台）． 答：该商店购进34台A型电脑、66台B型电脑时，销售利润最大，最大利润是13300元． 11．某出租车公司决定购买A，B两种品牌车共20台．A品牌车比B品牌车的单价多2万元，若购买4台A品牌车比购买3台B品牌车多花18万元． (1)求A，B两种品牌车的单价是多少万元； (2)已知每台A，B两种品牌车的月运营收益分别为3.6万元，3万元．该出租车公司计划购买这两种品牌的车的总费用不超过220万元，并要求月运营总收益不低于64万元．设购买A品牌车x（台），月运营总收益为y（万元）， ①求y与x的函数关系式以及自变量x可以取哪几个值； ②请设计一种月运营总收益最大的购车方案，并求出月运营总收益的最大值是多少万元． 【答案】(1)A品牌的新能源小轿车每台需要12万元，B品牌的新能源小轿车每台需要10万元 (2)①，，8，9，10；②当购买10辆A品牌车，10辆B品牌车时，月运营总收益最大，最大值是66万元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的应用，熟练掌握购买问题，列二元一次方程组，列一元一次不等式组，列一次函数的解析式，一次函数的增减性质，是解题的关键． （1）设A品牌的新能源小轿车每台需要a万元，B品牌的新能源小轿车每台需要b万元，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）①可得，根据，得，得正整数x可以取7，8，9，10；②根据一次函数中，得当时，y有最大值66，得购买A品牌车10辆，B品牌车10辆． 【详解】（1）解：设A品牌的新能源小轿车每台需要a万元，B品牌的新能源小轿车每台需要b万元， 由题意得， 解得， 答：A品牌的新能源小轿车每台需要12万元，B品牌的新能源小轿车每台需要10万元． （2）解：①由题意得，， ∵， ∴， ∵x为正整数， ∴，8，9，10； 故自变量x可以取7，8，9，10； ②由①知，， ∵，x可以取7，8，9，10， ∴当，y有最大值， 最大值为． 此时（辆）． 故当购买10辆A品牌车，10辆B品牌车时，月运营总收益最大，最大收益是66万元． 12．2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆，任务取得圆满成功．某航模店在取得官方授权后，推出了“神舟”和“天宫”两种模型．已知每个“天宫”模型的成本是“神舟”模型成本的，同样花费320元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多4个． (1)求每个“神舟”和“天宫”模型的成本分别是多少元？ (2)该航模店计划购买两种模型其100个，且每个“神舟”模型的售价为34元，“天宫”模型的售价为26元．设购买“神舟”模型m个，销售这批模型的利润为w元． ①求w关于m的函数关系式（不要求写出m的取值范围）； ②若购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的一半，则购进“神舟”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】(1)“神舟”模型成本为每个20元，“天宫”模型成本为每个16元 (2)①；②购进“神舟”模型33个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润是1132元 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用和分式方程的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式和方程． （1）设“神舟”模型成本为每个x元，则“天宫”模型成本为每个元，根据同样花费320元，购进“天官”模型的数量比“神舟”模型多4个．列出方程，解方程即可，注意验根； （2）①根据总利润等于两种模型利润之和列出函数解析式； ②再根据购进“神舟”模型的数量不超过“天官”模型数量的一半求出m的取值范围，由函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：设“神舟”模型成本为每个x元，则“天宫”模型成本为每个元，根据题意得： ， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合实际意义， ∴（元）， 答：“神舟”模型成本为每个20元，“天宫”模型成本为每个16元． （2）解：①购买“神舟”模型m个，则购买“天宫”模型个， 则销售这批模型的利润． ②∵购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的一半， ∴， 解得， ∵m是正整数， ∴， ∵在函数中，w随着m的增大而增大， ∴当时，w最大，最大值为， 答：购进“神舟”模型33个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润是1132元． 13．某商场有大、小两种规格的书包，每个大书包的进价为元，售价为元，每个小书包的进价为元，售价为元．现大、小书包共购进了个，其中大书包的数量不少于个，设购进大书包个（为整数），大、小书包全部售完后获得的利润为元． (1)求与之间的函数关系式； (2)若购进个书包的总费用不超过元，求最大利润为多少元？ (3)在（2）的条件下，该商场现对大书包每个优惠元进行促销活动，小书包每个进价减少元，售价不变，若最大利润为元，则的值是______． 【答案】(1)（为整数） (2)元 (3) 【分析】本题考查一次函数的应用， （1）根据“利润=（售价－进价）×数量”，分别表示出大、小书包全部售完后的利润再相加即各； （2）根据“购进个书包的总费用不超过元”得可得，继而得到，根据（1）的结论，结合一次函数的性质，从而可以判断得解； （3）依据题意，优惠后大书包的利润为元，小书包的利润为元，可得，进而分：①当时；②当时；③当时，分别进行分析判断可以得解； 熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得， ， ∴与之间的函数关系式为（为整数）； （2）∵购进个书包的总费用不超过元， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵在中，， ∴随的增大而增大， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴最大利润为元； （3）由题意，优惠后大书包的利润为元，小书包的利润为元， ∴， ①当时，即，此时随的增大而增大， ∴当时，取最大值：， ∴，不合题意； ②当时，即， 此时，不合题意； ③当时，即，此时随的增大而减小， ∴当时，取最大值：， ∴． 故答案为：． 14．某商店销售12台A型和5台B型空调的利润为1950元，销售8台A型和10台B型空调的利润为2300元． (1)求每台A型空调和B型空调的销售利润； (2)该商店计划一次购进两种型号的空调共99台，其中B型空调的进货量不超过A型空调的2倍，设购进A型空调x台，这99台空调的销售总利润为y元，求该商店购进A型、B型空调各多少台，销售总利润最大为多少元？ (3)实际进货时，厂家对A型空调出厂价下调元，且限定商店最多可购进A型空调66台，若商店保持同种空调的售价不变，请你根据以上信息及（2）中条件，设计出使这99台空调销售总利润最大的进货方案． 【答案】(1)每台型空调的销售利润是100元，每台型空调的销售利润是150元 (2)商店购进33台型空调和66台型空调，才能使销售总利润最大，最大利润为13200元 (3)进货方案为购进66台型空调和33台型空调的销售利润最大 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用及一元一次不等式的应用，弄清题意，找出题中的数量关系列出函数关系式、找出不等关系列出不等式是解题的关键． （1）设每台型空调的销售利润为元，每台型空调的销售利润为元，根据“销售12台型和5台型空调的利润为1950元，销售8台型和10台型电脑的利润为2300元”列二元一次方程求解即可； （2）设购进型空调台，则购进型空调台，根据“型空调的进货量不超过型电脑的2倍”；列一元一次不等式，求出的取值范围，设销售总利润为元，得出关于的函数解析式，再结合一次函数的增减性求最值即可； （3）由题意可得，，即，再根据的取值范围，确定一次函数增减性，即可求解． 【详解】（1）解：设每台型空调的销售利润为元，每台型空调的销售利润为元， 由题意得：， 解得：， 答：每台型空调的销售利润为元，每台型空调的销售利润为元； （2）解：设购进型空调台，则购进型空调台， 由题意得：， ， 设销售总利润为元， 则， ， 随的增大而减小， 为正整数， 当时，有最大值，最大值为元， 此时台， 即该商店购进型空调33台，型空调66台时，销售总利润最大为13200元； （3）解： 由（2）可知，， ， 根据题意得，，即， ， ， 随的增大而增大， 时，有最大值， 即商店购进66台型空调和33台型空调的销售利润最大． 15．根据以下素材分别完成后面的任务： 主题 确定哪吒玩偶购进方案 素材1 《哪吒2魔童闹海》热映，带来哪吒玩偶热销．小明在网上开设A，B两款哪吒玩偶专卖店，其进价分别为15元/只、20元/只，售价分别为18元/只、26元/只． 素材2 小明准备花费2600元购进A，B两款哪吒玩偶若干只，且A款的数量至少比B款多20只． 任务1 若小明购进A款玩偶96只，求全部销售完获得的总利润是多少元？ 任务2 设购进A款玩偶x只，全部销售完获得的总利润为y元，试求出y（元）关于x（只）的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）． 任务3 根据计算说明，如何进货使得全部销售完获得总利润最高？最高为多少？ 【答案】任务1：636元；任务2：；任务3：当购进A款玩偶88只时，B款玩偶64只时，获得的总利润最高，最高为648元 【分析】本题考查的是一次函数的应用，一元一次不等式的应用； 任务一：先计算购进的B款玩偶数量为：，再列式计算总利润即可； 任务二：购进A款玩偶x只时，购进B款玩偶的数量为：，再根据总利润的计算方法列函数关系式即可； 任务三：根据题意得，求解的范围，再进一步利用一次函数的性质求解即可. 【详解】解：任务1：根据题意，购进的B款玩偶数量为： （只） 全部销售完获得的总利润为： （元）， 任务2：购进A款玩偶x只时，购进B款玩偶的数量为： ， ∴， 任务3：依题意得， 解得， ∵x和均为正整数， ∴x为被4整除的整数， ∵随的增大而减小， ∴当时，最大为（元），此时， ∴当购进A款玩偶88只时，B款玩偶64只时，获得的总利润最高，最高为648元. ( 考点0 4 一次函数与几何综合 ) 1．（24-25八年级下·湖北鄂州·期末）如图1，已知函数与轴交于点，与轴交于点，点与点关于轴对称． (1)求直线的函数解析式； (2)设点是轴上的一个动点，过点作轴的平行线，交直线于点，交直线于点． ①若的面积为，求点的坐标； ②连接，如图2，若，求点的坐标． 【答案】(1) (2)①或；②或 【分析】本题考查一次函数的综合应用． （1）先由求得，．由点与点A关于轴对称可得，再利用待定系数法求出直线的函数解析式即可． （2）①设，则：、，过点B作于点D，利用，进行求解即可； ②分点M在y轴的左侧和点M在y轴的右侧，两种情况进行讨论求解即可． 正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 【详解】（1）解：对于， 由得：， 由得：， 解得， ∴，， ∵点与点A关于轴对称， ∴ ， 设直线的函数解析式为， 则， 解得． ∴直线的函数解析式为； （2）解：①设， 则、， 如图1，过点作于点， ∴，， ∴， 解得， ∴，或；        ②如图，当点在轴的左侧时，∵点与点A关于轴对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ，，， ， 解得． ． 当点在轴的右侧时，如图3， 同理可得， 综上，点的坐标为或． 2．（24-25八年级下·湖北十堰·期末）如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点 (1)______，______； (2)点，点分别是直线和直线上的动点． ①当的值最小时，求P点坐标； ②是否存在点，使得是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，3 (2)①；② 【分析】本题考查一次函数与几何综合，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）把A、B的坐标代入，得出关于k、b 的方程组，解之即可； （2）①作A关于的对称点C，连接交于P，根据轴对称的性质得出，则，故当B、P、C三点共线时，的值最小，最小值为，然后根据待定系数法求出直线的解析式，最后把代入，即可求解； ②分直角顶点为Q；直角顶点为P两种情况讨论，根据全等三角形的判定与性质求解即可． 【详解】（1）解：∵直线与x轴交于点，与y轴交于点， ∴， 解得， 故答案为：，3； （2）解：①作A关于的对称点C，连接交于P，此时，， ∴ 当B、P、C三点共线时，的值最小，最小值为， 设直线解析式为， 则，解得， ∴， 当时，， 解得， ∴， 即当的值最小时，P点坐标为； ②由（1）知：直线解析式为， 设， 当直角顶点为Q时，，，如图，过Q作于M，交直线于N， 则， ∴， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴， 解得， ∴Q和B重合， ∴； 当直角顶点为P时，，，如图，过A作直线于M，过Q作直线于N， 则，， ∴， ∴，， ∴， 解得， ∴ ∴， 综上，点P的坐标为． 3．（24-25八年级下·湖北十堰·期末）已知直线与x轴、y轴分别交于点A，B． (1)请在图中直接画出直线的图象； (2)判断点是否在直线上，若在，请说明理由；若不在，请求出的面积． 【答案】(1)图见解析 (2)不在直线上；的面积为8． 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象、一次函数的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键． （1）依据题意，由直线与轴、轴分别交于点，．可得，，进而可以作图得解； （2）依据题意，由直线为，故当时，，则可得不在直线上，又结合图象可得，进而计算可以得解． 【详解】（1）由题意，∵直线与轴、轴分别交于点，． ∴，． ∴作图如图1． （2）∵直线为， ∴当时，． ∴不在直线上． 如图2， 4．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）如图，已知直线与轴轴分别交于点和点，与直线关于轴对称．直线与轴交于点． (1)求直线的解析式． (2)是线段上一动点．当的面积为6时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为 【分析】本题考查了一次函数图象坐标点的特征，待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握一次函数的图象性质是解题的关键． （1）由求出点和点的坐标，由对称性得到点的坐标，把和的坐标分别代入运算即可； （2）结合三角形面积公式运算求解即可． 【详解】（1）解：令，则， ∴， 令，解得， ∴， ∵直线与直线关于轴对称， ∴由题可得点， 把点，代入得， 解得； ∴直线的解析式为， （2）设点的横坐标为，则， 由题可得，， ，， ∵是线段上一动点．则点在轴上方， ∴， ∴， ∴此时点． 5．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）已知直线与轴交于点，与轴交于点，点的坐标为，，为垂足． (1)求两点的坐标； (2)直线，与直线相交点． ①若直线夹角为，求交点的坐标； ②若，求取值范围． 【答案】(1)， (2)①或；②或． 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，数形结合是解题的关键． （1）把和把分别代入，即可求出答案； （2）①分两种情况求出答案即可；②分情况进行解答即可． 【详解】（1）解：把代入，得， ∴， ∴， 把代入，得， ∴； （2）①如图，直线过定点， 当在左上方，过点作交于点，则为等腰直角三角形， 设，则， 过点C作轴，过点P作交于点，过点Q作交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 此点代入中得：p＝， ∴； 此时点即为第二种情况下的点， ∴； 综上，或； ②连接，作于点D， 由题意可得，,， ∵， ∴， 解得, ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， a．如图2，当点在上方时， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴； b．当点在下方时，如图3， 由面积关系得：点在第一象限， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上，的取值范围为或． 6．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）如图1，直线交y轴于A点，交x轴于C点，以点O，A，C为顶点作矩形OABC，在x轴、y轴的正半轴上分别取点D、E，使，，直线AC交直线DE于点F．      (1)求直线DF的解析式； (2)求证：FO平分； (3)在直线OF上是否存在一点G，使是等腰直角三角形？若存在，求点G的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)存在，点G的坐标为或 【分析】（1）根据直线的解析式找出点A、C的坐标，再由旋转的特性找出点D、F的坐标，结合点D、F的坐标利用待定系数法即可求出直线DF的解析式； （2）过点O作于点P，作于点Q，利用全等直角三角形的判定定理HL证出，结合面积法即可得出，从而证出平分； （3）根据旋转的性质可得出，结合（2）的结论即可得出，联立直线的解析式成方程组，解方程组可得出点G的坐标，根据等腰直角三角形的性质可分两种情况寻找点M的位置，再通过勾股定理解方程等即可得出结论． 【详解】（1）解：∵直线交y轴于A点，交x轴于C点， ∴当时，， 当时，，解得，， ∴，， ∴，， ∵，，点D在x轴正半轴上，点E在y轴正半轴上， ∴，， 设直线的解析式是， ∴， 解得，， ∴直线的解析式是：． （2）解：如图，过点O作于点P，作于点Q， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴平分． （3）存在，理由如下： 联立，解得，， ∴， 设直线的解析式， 则， ∴直线的解析式为， 设点G的坐标为， 由（2）知：，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴． ∵是等腰直角三角形， ∴①当时，， 过点G作轴，过点F作于M，过点D作于N， 则，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ②当时，，同理可得，． 综上，当是等腰三角形时，点G的坐标为或． 【点睛】本题考查了旋转的性质、待定系数法求函数解析式、全等三角形的判定及性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理，解题的关键是：（1）利用待定系数法求函数解析式；（2）证出；（3）分情况讨论点M的情况．解决该题型题目时，根据旋转的性质找出点的坐标，再利用待定系数法求出函数解析式是关键． 7．（24-25八年级下·湖北恩施·期末）在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，直线交轴于点，交轴于点． (1)如图1，连接，求的面积． (2)如图2，在直线上存在点，使得，求点的坐标． 【答案】(1)11 (2) 【分析】本题考查的是一次函数综合运用，涉及一次函数与坐标轴的交点问题，全等三角形的判定与性质等知识点． （1）对于直线，令x=0，则，故点，同理可得点、，的面积，即可求解； （2）证明，则，即可求解． 【详解】（1）解：对于直线，令，则， 故点； 对于，令，则，令，即， 解得：， 故点、， 则，， 所以，的面积； （2）解：由题意，，观察图象可知，点E只能在直线的右侧，过点E作的垂线交于点R，过点E作y轴的平行线交过点R与x轴的平行线于点G，交过点B与x轴的平行线于点H，如图2， 设点，点， ∵，故， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即，， 解得，， 故点． 8．（24-25八年级下·湖北黄冈·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，直线m、n分别与x轴交于点B、C． (1)求a，b的值； (2)求； (3)若x轴上存在一点P，使得是等腰三角形，求点P的坐标； (4)直线与y轴相交于点D，在平面直角坐标系中找一点Q，使得以点A，B，D，Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点Q的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)，，， (4)或或 【分析】（1）待定系数法求出直线m和直线n的函数解析式，即可得出，； （2）求出点B和点C坐标，进一步即可求出的面积即可； （3）分三种情况：当时，当时，当时，分别列出方程进行求解即可； （4）设点Q的坐标为，分三种情况：当，为对角线时，当，为对角线时，当，为对角线时，分别根据中点坐标公式进行求解即可． 【详解】（1）解：将点代入直线， 得， 解得， 直线， 将点代入直线， 得， 解得； （2）解：∵， ∴直线， 当时，， 点坐标为， 当时，， 点坐标为， ， 的面积为； （3）解：设点P的坐标为， ∵，， ∴， ， ， ∴， 当时，点P的坐标为或， 当时，， ∴， 解得：， ∴此时点P的坐标为； 当时，， ∴， 解得：或（舍去）， ∴此时点P的坐标为； 综上分析可知：点P的坐标为，，，； （4）解：把代入得：， ∴， 设点Q的坐标为， ，， 当，为对角线时，， 解得：， ∴此时点Q坐标为； 当，为对角线时，， 解得：， ∴此时点Q坐标为； 当，为对角线时，， 解得：， ∴此时点Q坐标为； 综上分析可知：点Q的坐标为：或或． 【点睛】本题考查了一次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，三角形的面积，平行四边形的性质，等腰三角形的定义，中点坐标公式等，本题综合性较强，难度较大． 9．（24-25八年级下·湖北黄冈·期末）如图，在平面直角坐标系中，一条直线与轴相交于点，与正比例函数（，且为常数）的图象相交于点． (1)求的值； (2)求的面积； (3)点为y轴上一点，若的面积为，求点的坐标． 【答案】(1)1 (2) (3)或者 【分析】本题主要考查一次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式，几何图形面积的计算方法是关键． （1）把点代入正比例函数解析式中计算即可； （2）根据题意得到，根据几何图形的面积计算即可； （3）根据题意，分类讨论：当点在点上方；当点在线段上时；点在轴下方；结合图形，面积的计算方法列式求解即可． 【详解】（1）解：把点代入正比例函数中得，； （2）解：∵， ∴， ∴； （3）解：设， 如图所示，，当点在点上方，    ∴， ， 解得，， ∴； 如图所示，当点在线段上时，则，    ∴， ， 解得，，不符合题意， ∴点在线段上的情况不存在； 如图所示，点在轴下方，    ∴， 解得，， ∴； 综上所述，点的坐标为或． 10．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于A，与y轴交于B，与直线交于点P．直线与y轴交于点C． (1)如图1，若点P的坐标为，直接写出不等式的解集为______； (2)如图2，平移线段至，点B与点C对应，点A与点D对应，求直线的解析式； (3)在（2）的条件下，若的面积是平行四边形面积的，请直接写出P点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）根据点P的坐标为，得到其横坐标为4，利用数形结合思想，写出不等式的解集为； （2）利用平移的思想解答即可； （3）根据，四边形是平行四边形，得四边形的面积为，根据的面积是平行四边形面积的，得的面积是，根据点P在直线上，设，故， 解答即可． 本题考查了根据交点坐标求不等式的解集，平移确定解析式，面积的计算，熟练掌握平移和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得点P的坐标为，得到其横坐标为4， 则不等式的解集为； 故答案为：． （2）解：直线与x轴交于A，与y轴交于B， 则，； 直线与y轴交于点C． 则， 根据平移线段至，点B与点C对应，点A与点D对应， 故， 设直线的解析式为， 把代入得， 故直线的解析式为． （3）解：根据题意，直线与x轴交于A，与y轴交于B， 则，； 直线与y轴交于点C． 则， 根据平移线段至，点B与点C对应，点A与点D对应， 则，四边形是平行四边形， 故四边形的面积为， 根据的面积是平行四边形面积的， 得的面积是， 根据点P在直线上， 设， 故， 故或， 故或． 11．（24-25八年级下·湖北随州·期末）已知，，直线与轴，轴分别交于点，． (1)求直线的解析式； (2)求的面积． 【答案】(1)直线的解析式为； (2)的面积为． 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，待定系数法求解析式，掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． （）利用待定系数法即可求解； （）先求出，则，然后利用即可求解． 【详解】（1）解：设直线的解析式为，把，代入得∶ ， 解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：当时，， ∴ ∴， ∴，， ∴． 12．（24-25八年级下·湖北黄冈·期末）如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，直线与y轴相交于点，与直线相交于点D． (1)求点D的坐标和直线的解析式； (2)结合图形直接写出的解集； (3)求出四边形的面积． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数图象的角度看，通过比较两函数图象的高低，即比较两个函数值的大小得到对应的自变量的范围，从而确定不等式的解集．也考查了一次函数的性质和待定系数法求一次函数解析式． （1）对于，计算自变量为1对应的函数值得到D点坐标，然后利用待定系数法求的解析式； （2）结合函数图象，写出直线在直线的上方所对应的自变量的范围即可； （3）根据三角形的面积公式，利用四边形的面积进行计算即可． 【详解】（1）解：当时，， ， 把分别代入， 得， 解得：， ∴直线的解析式为； （2）当时，， 的解集为； （3）当时，， 解得， ， 当时，， ， 四边形的面积． 13．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，直线与直线交于点A． (1)直接写出点A的坐标是_______； (2)为x轴上一动点，过点T作x轴的垂线分别交，于点C、D，当时，求t的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了了两条直线交点的求法、两点间的距离、一次函数的图象上点的坐标特征等知识点，掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． （1）联立两直线解析式得到解方程组求解即可求出点A的坐标； （2）设，根据，然后解绝对值方程即可解答． 【详解】（1）解：联立两直线解析式可得： ，解得：， ∴点A的坐标是． 故答案为：． （2）解：设， ∵， ∴，解得：或1． 14．（24-25八年级下·湖北恩施·期末）如图，直线与轴交于点，直线与轴、轴分别交于、两点，并与直线相交于点，若． (1)求点的坐标； (2)直线交y轴于点P，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一次函数与几何图形的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）求出点坐标，待定系数法求出两条直线的解析式，联立求出点的坐标即可； （2）连接，平行结合待定系数法求出的解析式，进而求出点的坐标，平行等积转化求出的面积即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 把代入，得：， 解得：， ∴， 把代入，得：， ∴， ∴， 联立， 解得：， ∴； （2）解：∵， ∴设直线的解析式为：， 把代入，得：， ∴， ∴， ∴当时，， ∴， 连接， ∵， ∴． 15．（24-25八年级下·湖北随州·期末）如图，在直角坐标系中，一次函数的图象与x，y轴分别交于点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)若是线段上一点，且的面积为，求点的坐标； (3)已知正比例函数经过点，请直接写出当一次函数的值大于正比例函数的值时的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质、待定系数法求一次函数解析式等知识，熟练掌握待定系数法是关键． （1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）设点C的坐标为，根据的面积为得到，即可得到答案； （3）求出正比例函数解析式，根据题意列不等式，解不等式即可得到答案． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与x，y轴分别交于点． ∴ ∴ （2）设点C的坐标为， ∵，的面积为， ∴， 解得， 当时， ∴点C的坐标为 （3）∵正比例函数经过点， ∴ 解得， ∴正比例函数 由题意可得，， 解得． 即当一次函数的值大于正比例函数的值时的取值范围为． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $