专题03 四边形（期末真题汇编，湖北专用）八年级数学下学期人教版

**基本信息** 湖北多地八年级下期期末四边形专题试题汇编，涵盖平行四边形、矩形、菱形、正方形性质与判定及三角形中位线，注重图形变换与综合应用，适配期末复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|12题|平行四边形性质（角度计算）、矩形判定|结合折叠（如平行四边形翻折）、坐标系情境| |填空|8题|菱形对角线、正方形动态最值|涉及图形变换与几何计算| |解答|10题|平行四边形判定证明、矩形折叠计算|分层设计，基础证明与综合探究（如动点问题）结合|

专题03 四边形 高频考点概览 考点01平行四边形的性质 考点02平行四边形的判定 考点03三角形的中位线 考点04 矩形的判定与性质 考点05 菱形的判定与性质 考点06 正方形的判定与性质 ( 考点0 1 平行四边形的性质 ) 1．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，点在边上，将沿翻折，使点的对应点落在边上，若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，中，，于点E，于点F，与交于点，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）如图，四边形是平行四边形，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·湖北咸宁·期末）如图，在平行四边形中，，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·湖北孝感·期末）如图，在平行四边形中，的平分线交于，，，则平行四边形周长为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·湖北黄冈·期末）在平面直角坐标系中，，，若四边形O、A、B、C四点组成的四边形是平行四边形，则C点坐标不可能是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级下·湖北十堰·期末）如图，将平行四边形的一边延长至点E，若，则度数为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，在中，，的角平分线交于点E，连接．若，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 9．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，中，为上一点，平分，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 10．（24-25八年级下·湖北鄂州·期末）如图，在平行四边形中，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 11．（24-25八年级下·湖北恩施·期末）如图，在中，，相交于点，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 12．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）已知在平行四边形中，，E是上一点，的周长是平行四边形周长的一半，且，连接，则的长为__________． 13．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）如图，将一张平行四边形纸片折叠，折痕为，折叠后，点的对应点为点，交于点．若，，，则的长为___________． 14．（24-25八年级下·湖北咸宁·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点B，C的坐标分别为，，则顶点A的坐标为_____． 15．（24-25八年级下·湖北孝感·期末）如图，在平行四边形中，的平分线分别与相交于点与相交于点． (1)求证：； (2)若，求的面积． ( 考点02 平行 四边形的判定 ) 1．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）四边形的对角线，相交于点，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）如图，四边形的对角线相交于点，且，添加下列条件仍不能证明四边形为平行四边形的条件是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·湖北荆州·期末）如图，在中，，，为的中点，为边上的一点，将沿翻折得到，与交于点，若的面积是的倍． （1） ______； （2）的长为______． 4．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，已知中，，，点为平面内一点，满足，分别以，为边作，连接，则的最小值为______． 5．（24-25八年级下·湖北十堰·期末）如图，已知点、分别为平行四边形的边的中点．证明：． 6．（24-25八年级下·湖北恩施·期末）如图，在中，于点，为上一点，连接．若，试判断四边形的形状，并说明理由． 7．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，在四边形中，，点在边上，_______________．请从①，②这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题： (1)求证：四边形为平行四边形； (2)在（1）的条件下，若，，，求线段的长． 8．（24-25八年级下·湖北·期末）如图，在中，点在上，点在上，若 ，则四边形为平行四边形．请从①；②；③，这三个选项中选择一个作为条件，使结论成立，并说明理由． ( 考点0 3 三角形的中位线 ) 1．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图所示，为的中位线，点在上，且平分，若，，则的长为（   ） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 2．（24-25八年级下·湖北十堰·期末）如图，在平行四边形中，，是上的一点，且是上的一动点，连接，取的中点，连接，则线段取得最小值是（  ） A．5 B． C． D． 3．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）如图，为测量位于一水塘旁的两点，间的距离，在地面上确定点，分别取，的中点，，知道等边周长为，则，之间的距离是（    ） A．6 B．12 C．18 D．24 4．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）如图，在一次数学实践活动中，同学们为测量被花坛隔开的，两点之间的距离，先在外取一点，然后测出，的中点，，并测出的长约为，由此估测，之间的距离约为（　　） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·湖北黄冈·期末）如图，在中，点D、点E分别是，的中点，点F是上一点，且，若，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．（24-25八年级下·湖北随州·期末）如图，为斜边上的中线，为的中点．若，，则　　 A．6 B．5 C．4 D．3 7．（24-25八年级下·湖北恩施·期末）如图，在中，，，分别为，，边的中点，于，，则等于(    ) A． B． C． D．无法确定 8．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，，，分别是的边，，的中点，连接，，，若的面积为2，则的面积为（    ） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 9．（24-25八年级下·湖北恩施·期末）如图，在直角三角形中，是中位线，是斜边上的中线，求证：． 10．（24-25八年级下·湖北十堰·期末）【综合与实践】 任务 如图1，测出水池A，B两点间的距离（水池有障碍物不能直接测量）． 测量工具 皮尺 皮尺的功能：直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度，长度单位：m）； 小明的测量及求解过程 测量过程 （1）如图2，在水池外选点C，用皮尺测得，； （2）分别在AC，BC上用皮尺测得，，测得． 求解过程 由测量可知： ∵，，，， ∴点M是AC的中点，点N是BC的中点， ∴MN是的_______． ∵， ∴_______m． (1)把小明的求解过程补充完整； (2)小明测出水池A，B两点间的距离的依据是_______． 11．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，的对角线相交于点O，点E、F、G、H分别是的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若四边形的周长为2，则的周长是______． ( 考点0 4 矩形的判定与性质 ) 1．（24-25八年级下·湖北十堰·期末）如图，在中，，，，P为边上一动点，于E，于F，M为的中点，则的最小值为（　　） A．2 B． C． D． 2．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）如图，在矩形中，，将其折叠，使边落在对角线上，得到折痕，则点E到点B的距离为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）如图，矩形的对角线交于点O，若，则的长为（   ） A．2 B．3 C． D．4 4．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）如图，的对角线，交于点，下列条件中，不能判定是矩形的条件是（   ） A． B． C． D．是等边三角形 5．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，的对角线相交于点是等边三角形，且的面积为，则对角线的长为（   ） A．4 B．8 C． D． 6．（24-25八年级下·湖北黄冈·期末）如图，在长方形纸片中，已知，．折叠纸片使边与对角线重合，点B落在点F处，折痕为，则的长为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 7．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，在矩形中，对角线，相交于点O．则下列结论不一定正确的是（    ）． A． B． C． D． 8．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）如图，在长方形中，，将沿所在直线折叠，使点A落在E处，则___________． 9．（24-25八年级下·湖北孝感·期末）如图，将矩形沿折叠，使顶点C恰好落在边的中点处，若，，则________． 10．（24-25八年级下·湖北黄冈·期末）在矩形中，点为边的中点，连接，将沿直线翻折，使得点与点重合，的延长线交线段于点，，若点为线段的中点，则线段的长为______． 11．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）如图，已知点是矩形边延长线上一点，，连接，点是矩形边上方一点，且． (1)请用无刻度直尺（不使用圆规）作于（只保留作图痕迹，不需要说明作图过程和证明）： (2)请在边上找一点，以、为边作矩形，使所作矩形的第四个顶点在矩形内部，并证明你所作四边形为矩形．（注：可以直接使用第（1）问中的结论） 12．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）如图，将矩形沿对角线折叠，点落在点处，交于点．若，，求点到的距离． ( 考点0 5 菱形的判定与性质 ) 1．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）已知中，、是对角线，则下列条件中不能判断是菱形的是（    ） A． B．平分 C． D． 2．（24-25八年级下·湖北黄冈·期末）如图，的对角线，交于点O，要使成为菱形，则可添加一个条件是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）如图，在菱形中，对角线相交于点．，，过点作的平行线交的延长线于点，则的面积为（　　） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）如图所示，两条笔直公路、相交于点，村庄的村民在公路的旁边建二个加工厂、，已知千米，村庄到公路的距离为12千米，则村庄到公路的距离是（    ） A．5千米 B．10千米 C．12千米 D．18千米 5．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴上，边在轴上，若点的坐标为，则菱形的对角线交点的坐标为（　　） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·湖北黄石·期末）如图，在菱形中，，，，为边和上的动点，，则的最小值 __________． 7．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，是的中线，点是中点，过作交的延长线于，连． (1)直接写出与的关系__________； (2)若，请判断四边形的形状，并说明理由． 8．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）如图，在中，．是边上的中线，是的中点．连接并延长到点，使．连接． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)求证：四边形是菱形． (3)若，求菱形的面积． 9．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）如图，在菱形中，点E，F分别在边和上，且．求证：． 10．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）如图，在中，平分，的垂直平分线分别交于点E，F，G，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长． ( 考点0 6 正方形的判定与性质 ) 1．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，已知正方形边长为8，E为中点，将沿翻折得到，P，Q分别为边，上一点，将沿翻折使点对应点落在边上，若，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·湖北咸宁·期末）如图，正方形的面积为18，点E在正方形内，是等边三角形，在对角线上有一点P，使的值最小，则这个最小值为（   ） A． B． C．9 D． 3．（24-25八年级下·湖北黄冈·期末）如图，四边形的两条对角线相交于点，且互相平分，添加下列条件，不能判定四边形为正方形的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，点为正方形边上一点，若，，则该正方形的对角线长为______． 5．（24-25八年级下·湖北黄冈·期末）如图，正方形的边长为4，G是对角线上一动点，于点E，于点F，连接，点G在运动过程中， （1）的值为__________； （2）线段的最小值为__________． 6．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）如图，在正方形的外侧，作等边，则的大小是___________． 7．（24-25八年级下·湖北省直辖县级单位·期末）如图，在正方形中，，E，F分别为边的中点，连接，点G，H分别为的中点，连接，则的长为__________． 8．（24-25八年级下·湖北十堰·期末）如图，在矩形中，平分，交于点，过点作于点，连接交于点，连接． (1)求证：四边形ABEF是正方形； (2)如果，求四边形的周长． 9．（24-25八年级下·湖北恩施·期末）正方形中，点G是边上任意一点，于E，交于F． (1)若点为的中点，，，求的长； (2)求证：． 10．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，正方形的边长为，点分别是边上的点，，连交于点G，过B点作垂线交于点．    (1)如图1，求证：四边形为平行四边形． (2)如图2，若，则求的长． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 四边形 高频考点概览 考点01平行四边形的性质 考点02平行四边形的判定 考点03三角形的中位线 考点04 矩形的判定与性质 考点05 菱形的判定与性质 考点06 正方形的判定与性质 ( 考点0 1 平行四边形的性质 ) 1．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，点在边上，将沿翻折，使点的对应点落在边上，若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由翻折得出，，求出，根据勾股定理求出，进而求出结论． 【详解】解：四边形是平行四边形，，， ，， 点在边上，将沿翻折，使点的对应点落在边上， ，， ， ， ， ． 2．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，中，，于点E，于点F，与交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行四边形的性质可得，由，可得，，由直角三角形两锐角互余可得，． 本题主要考查了平行四边形的性质和直角三角形的性质．熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 3．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）如图，四边形是平行四边形，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形对角相等是解题关键． 根据平行四边形对角相等得到，进而求解即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ∴ ∴． 故选：C． 4．（24-25八年级下·湖北咸宁·期末）如图，在平行四边形中，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形的对边平行，对角相等．由平行四边形的性质推出得到，求出，即可得到的度数． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， ， ， ． 故选：A． 5．（24-25八年级下·湖北孝感·期末）如图，在平行四边形中，的平分线交于，，，则平行四边形周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质、等角对等边和角平分线的定义是解题的关键． 先利用平行加角平分线求出平行四边形的一组邻边长，再求周长． 【详解】解：四边形是平行四边形， 与平行，，， ， 平分， ， ， ， ， 平行四边形的周长为， 故选：C． 6．（24-25八年级下·湖北黄冈·期末）在平面直角坐标系中，，，若四边形O、A、B、C四点组成的四边形是平行四边形，则C点坐标不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了坐标与图形，平行四边形的性质．设点C的坐标为，根据平行四边形的性质，分三种情况：若以为对角线；若以为对角线；若以为对角线，即可解答． 【详解】解：设点C的坐标为， 若以为对角线， ，解得：， 此时点C的坐标为； 若以为对角线， ，解得：， 此时点C的坐标为； 若以为对角线， ，解得：， 此时点C的坐标为； 综上所述，点C的坐标为或或， 即，点C的坐标为不可能为． 故选∶D 7．（24-25八年级下·湖北十堰·期末）如图，将平行四边形的一边延长至点E，若，则度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题重点考查平行四边形的性质，由点E在的延长线上，，求得，由平行四边形的性质得，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵点E在的延长线上，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， 故选：A． 8．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，在中，，的角平分线交于点E，连接．若，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，由平行四边形的对边相互平行和平行线的性质得到；然后由角平分线的性质求得；最后根据等腰三角形的性质解答． 【详解】解：如图，∵四边形是平行四边形， ∴，． ∴． ∵， ∴． ∵是的平分线， ∴． ∵， ∴． ∴． 故选：C． 9．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，中，为上一点，平分，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质和判定，由平行四边形的性质和角平分线的定义可得，即得，进而即可求解，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 10．（24-25八年级下·湖北鄂州·期末）如图，在平行四边形中，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形的性质得，，再根据两直线平行，同旁内角互补可得．解题的关键是掌握：平行四边形的对边互相平行，对角相等． 【详解】解：∵在平行四边形中，， ∴，， ∴， 即的度数为． 故选：D． 11．（24-25八年级下·湖北恩施·期末）如图，在中，，相交于点，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质． 根据平行四边形的性质逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴，，，故结论A、B正确； ∴，故结论C正确； 无法证明，故结论D错误； 故选：D． 12．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）已知在平行四边形中，，E是上一点，的周长是平行四边形周长的一半，且，连接，则的长为__________． 【答案】6 【分析】根据的周长是平行四边形周长的一半，可得，结合可得是线段的中垂线，推出，最后利用勾股定理即可求解． 本题考查平行四边形的性质，线段的垂直平分线的判定，勾股定理等，解题的关键是证明是线段的中垂线． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴、互相平分， ∴O是的中点． ∴， ∵的周长是平行四边形周长的一半， ∴的周长， ∴， ∵， ∴， ∴是线段的中垂线， ∴， ∴， ∴． 故答案为：6． 13．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）如图，将一张平行四边形纸片折叠，折痕为，折叠后，点的对应点为点，交于点．若，，，则的长为___________． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，勾股定理，等角对等边，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 作，交的延长线于点H，求出得，由勾股定理求出，由折叠的性质得，，，得出，设，根据求出，进而可求出的长． 【详解】如图，作，交的延长线于点H， ∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 由折叠的性质得，，， ∴，， ∴． 设， ∴， ∴． ∵， ∴， 解得， ∴． 故答案为：． 14．（24-25八年级下·湖北咸宁·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点B，C的坐标分别为，，则顶点A的坐标为_____． 【答案】 【分析】此题考查了平行四边形的性质、坐标系中点的平移等知识．根据题意得到点C到点B的平移方式和点O到点A的平移方式相同，据此进行解答即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴点C到点B的平移方式和点O到点A的平移方式相同， ∴顶点B，C的坐标分别为，， ∴点C到点B的平移方式是向右平移1个单位，向上平移2个单位， ∴向右平移1个单位，向上平移2个单位得到， 故答案为： 15．（24-25八年级下·湖北孝感·期末）如图，在平行四边形中，的平分线分别与相交于点与相交于点． (1)求证：； (2)若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)12 【分析】此题考查了平行四边形的性质，勾股定理，以及等腰三角形的判定与性质，添加辅助线，熟练掌握这些知识点是解题的关键． （1）根据平行四边形得到，则，再由角平分线得到，然后代入化简即可求解； （2）过点D作，垂足为，证明，再由三线合一得到．然后在直角中，由勾股定理求出，再由三角形面积公式求解． 【详解】（1）证明：平分平分， ． 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ． （2）解：过点D作，垂足为， 四边形是平行四边形， ， 平分， ， ， ，而 ． 在直角中， 的面积． ( 考点02 平行 四边形的判定 ) 1．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）四边形的对角线，相交于点，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．利用平行四边形的判定方法依次判断可求解． 【详解】解：A、∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，故选项A不符合题意； B、若，，由两组对边相等的四边形是平行四边形，可判断四边形是平行四边形，故选项B不符合题意； C、若，，不能判断四边形是平行四边形，故选项C符合题意； D、∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故选项D不符合题意． 故选：C． 2．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）如图，四边形的对角线相交于点，且，添加下列条件仍不能证明四边形为平行四边形的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．根据平行四边形的判定方法逐一判定即可． 【详解】解：A、∵，， ∴四边形是平行四边形，故A选项不符合题意； B、∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故B选项不符合题意； C、由，不能证明四边形是平行四边形，故C选项不符合题意； D、∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故D选项不符合题意； 故选：C． 3．（24-25八年级下·湖北荆州·期末）如图，在中，，，为的中点，为边上的一点，将沿翻折得到，与交于点，若的面积是的倍． （1） ______； （2）的长为______． 【答案】 【分析】本题考查直角三角形中的翻折问题，涉及平行四边形的判定与性质，勾股定理及应用，解题的关键是掌握翻折的性质，证明四边形是平行四边形． （1）由，得，根据三角形同高可得； （2）连接，，求出，，由，可得，即得，由翻折可知，，，可得，从而四边形是平行四边形，有，根据勾股定理得． 【详解】解：（1）， ， ， ， 故答案为： （2）连接，，如图： 在中，，，， 由勾股定理得：， 点是的中点， ， ， ， ， ， 由翻折可知，，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ； 故答案为：． 4．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，已知中，，，点为平面内一点，满足，分别以，为边作，连接，则的最小值为______． 【答案】 【分析】在延长线上截取，连接，，由平行四边形的判定和性质得出四边形是平行四边形，进而得出且，再证明是等腰直角三角形，由勾股定理得出，再由三角形三边关系得出，进而可求出的最小值． 【详解】解：在延长线上截取，连接，， 四边形是平行四边形，， ， ， 四边形是平行四边形， 且， ，，， 是等腰直角三角形， ， ， ， 的最小值为． 故答案为：． 5．（24-25八年级下·湖北十堰·期末）如图，已知点、分别为平行四边形的边的中点．证明：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的判定和性质是解题关键．由平行四边形的性质，推出，进而证明四边形为平行四边形，即可得证． 【详解】证明：∵四边形为平行四边形， ∴，． 又点E、F分别是平行四边形的边的中点， ∴． ∴四边形为平行四边形． ∴． 6．（24-25八年级下·湖北恩施·期末）如图，在中，于点，为上一点，连接．若，试判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】四边形是矩形，理由见解析 【分析】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识点，熟悉掌握全等三角形的判定与性质，矩形的判定定理是解题的关键．根据平行四边形的性质，利用证明，从而得到，可证得四边形为平行四边形，因为，所以证得四边形是矩形． 【详解】解：四边形是矩形，理由如下： 四边形为平行四边形， ∴，，，， 在与中 ，，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． 7．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，在四边形中，，点在边上，_______________．请从①，②这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题： (1)求证：四边形为平行四边形； (2)在（1）的条件下，若，，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质和判定，勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解决问题的关键． （1）选择①，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可证得结论．选择②，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证得结论； （2）由平行四边形的得到，根据勾股定理即可求出答案． 【详解】（1）解：选择①， ， ， ， ， 四边形为平行四边形． 选择②， ， ， 四边形为平行四边形． （2）由（1）知四边形为平行四边形， ， 在中，，， 8．（24-25八年级下·湖北·期末）如图，在中，点在上，点在上，若 ，则四边形为平行四边形．请从①；②；③，这三个选项中选择一个作为条件，使结论成立，并说明理由． 【答案】证明过程见详解 【分析】本题主要考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形的判定和性质是关键． 选择①，根据两组对边平行的四边形是平行四边形求证；选择②，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；选择③，过点作于点，过点作于点，证明，再证明，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；由此即可求解． 【详解】解：选择①， ∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∴四边形是平行四边形； 选择②， ∵四边形是平行四边形， ∴，，即， ∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形； 选择③， 如图所示，过点作于点，过点作于点， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． ( 考点0 3 三角形的中位线 ) 1．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图所示，为的中位线，点在上，且平分，若，，则的长为（   ） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【答案】C 【分析】根据三角形中位线的性质可得，，，结合平行线的性质和角平分线的定义可得，则可得，进而可得． 本题主要考查了三角形中位线的性质，平行线的性质和角平分线的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：∵为的中位线，且， ∴，， ∵D是的中点，且 ， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 2．（24-25八年级下·湖北十堰·期末）如图，在平行四边形中，，是上的一点，且是上的一动点，连接，取的中点，连接，则线段取得最小值是（  ） A．5 B． C． D． 【答案】B 【分析】过A作于H，在ED上截取，连接，由含30度角的直角三角形的性质得到，由勾股定理求出，由三角形中位线定理推出，由垂线段最短得到，即可得到线段的最小值． 【详解】解：过A作于H，在ED上截取，连接， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， 是AP的中点，E是的中点， 是的中位线， ， ， 线段取得最小值是 故选：B． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，垂线段最短，勾股定理，含30度角的直角三角形，三角形中位线定理，关键是通过作辅助线构造三角形的中位线． 3．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）如图，为测量位于一水塘旁的两点，间的距离，在地面上确定点，分别取，的中点，，知道等边周长为，则，之间的距离是（    ） A．6 B．12 C．18 D．24 【答案】B 【分析】本题考查了中位线，熟悉掌握中位线定理是解题的关键． 利用三角形周长求出的长，再由中位线定理求解即可． 【详解】解：∵等边周长为， ∴， ∵，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， 故选：B． 4．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）如图，在一次数学实践活动中，同学们为测量被花坛隔开的，两点之间的距离，先在外取一点，然后测出，的中点，，并测出的长约为，由此估测，之间的距离约为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的中位线的实际应用．由题意，易得为的中位线，根据三角形的中位线定理，即可得出结果． 【详解】解：∵点D，E，分别为的中点， ∴为的中位线， ∴； 故选：B． 5．（24-25八年级下·湖北黄冈·期末）如图，在中，点D、点E分别是，的中点，点F是上一点，且，若，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．根据三角形中位线定理求出，求解，根据直角三角形的性质可得到答案． 【详解】解：∵点D、点E分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， 在中，，点E是的中点， ∴， 故选：D． 6．（24-25八年级下·湖北随州·期末）如图，为斜边上的中线，为的中点．若，，则　　 A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】本题考查直角三角形斜边的中线，三角形中位线定理，勾股定理，由直角三角形斜边中线的性质求出长，由勾股定理求出长，由三角形中位线定理即可求出的长． 【详解】解：为斜边上的中线， ， ， ， ， ， 是中点，是中点， 是的中位线， ． 故选：D． 7．（24-25八年级下·湖北恩施·期末）如图，在中，，，分别为，，边的中点，于，，则等于(    ) A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据三角形中位线定理求出，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可． 【详解】解：，分别为，边的中点，， ， ，为边的中点， ， 故选：B． 8．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，，，分别是的边，，的中点，连接，，，若的面积为2，则的面积为（    ） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【答案】C 【分析】此题考查了三角形中位线的性质和判定，平行四边形的性质和判定， 首先证明出，是的中位线，得到，，然后证明出四边形是平行四边形，进而求解即可． 【详解】解：∵，，分别是的边，，的中点， ∴，是的中位线， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴． 故选：C． 9．（24-25八年级下·湖北恩施·期末）如图，在直角三角形中，是中位线，是斜边上的中线，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查直角三角形斜边中线定理以及中位线的性质，熟练掌握直角三角形斜边中线定理以及中位线定理是解题的关键；根据在中，是中位线，是斜边上的中线，得出，，即可得证． 【详解】证明：∵在中，是中位线，是斜边上的中线， ∴，， ∴. 10．（24-25八年级下·湖北十堰·期末）【综合与实践】 任务 如图1，测出水池A，B两点间的距离（水池有障碍物不能直接测量）． 测量工具 皮尺 皮尺的功能：直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度，长度单位：m）； 小明的测量及求解过程 测量过程 （1）如图2，在水池外选点C，用皮尺测得，； （2）分别在AC，BC上用皮尺测得，，测得． 求解过程 由测量可知： ∵，，，， ∴点M是AC的中点，点N是BC的中点， ∴MN是的_______． ∵， ∴_______m． (1)把小明的求解过程补充完整； (2)小明测出水池A，B两点间的距离的依据是_______． 【答案】(1)中位线， (2)三角形中位线定理 【分析】本题考查了三角形中位线定理的应用． （1）根据小明的求解过程补充即可； （2）根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】（1）由测量可知： ∵，，，， ∴点M是AC的中点，点N是BC的中点， ∴MN是的中位线． ∵， ∴． 故答案为：中位线，； （2）小明测出水池A，B两点间的距离的依据是三角形中位线定理． 故答案为：三角形中位线定理． 11．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，的对角线相交于点O，点E、F、G、H分别是的中点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若四边形的周长为2，则的周长是______． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题主要考查了三角形中点四边形、中位线定理、平行四边形的判定和性质等知识点，掌握三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得到，根据线段中点的概念得到、、、得到、，再根据平行四边形的判定定理即可证明结论； （2）根据三角形中位线定理求出、、、，再根据三角形的周长公式计算即可解答． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ， ∵E、F、G、H分别是的中点， ∴、、、， ∴、， ∴四边形是平行四边形． （2）解：分别是的中点， 是的中位线， ，即， 同理可得：、、， ∵四边形的周长为2， ∴， ∴的周长是． 故答案为：4． ( 考点0 4 矩形的判定与性质 ) 1．（24-25八年级下·湖北十堰·期末）如图，在中，，，，P为边上一动点，于E，于F，M为的中点，则的最小值为（　　） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】先求证四边形是矩形，再根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，利用三角形面积求得最短时的长，然后即可求出的最小值． 【详解】解：连接，如图所示： ∵，，， ∴， ∵于E，于F， ∴四边形是矩形， ∴，与互相平分， ∵M是的中点， ∴M为的中点， ∴， 根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短， 即时，最短，同样也最短， ∴当时，， ∴最短时，， ∴当最短时，． 2．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）如图，在矩形中，，将其折叠，使边落在对角线上，得到折痕，则点E到点B的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了折叠问题、勾股定理，矩形的性质． 在中利用勾股定理求长，由折叠可得，，得出，然后利用勾股定理可得答案． 【详解】解：∵是矩形， ∴， ∴， 由折叠可得，， ∴， 设则， ∵， ∴， 解得 ∴， 故选A． 3．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）如图，矩形的对角线交于点O，若，则的长为（   ） A．2 B．3 C． D．4 【答案】D 【分析】本题考查矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键，根据题意可得，，再由，即可求出的长． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， 故选：D． 4．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）如图，的对角线，交于点，下列条件中，不能判定是矩形的条件是（   ） A． B． C． D．是等边三角形 【答案】B 【分析】此题主要考查了矩形的判定，关键是熟练掌握矩形的判定定理． 根据矩形的判定定理：有一个角是直角的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形分别进行分析即可． 【详解】解：A、∵，∴，∴是矩形，故此选项不符合题意； B、∵，∴是菱形，不能判定是矩形，故此选项符合题意； C、∵，∴是矩形，故此选项不符合题意； D、∵是等边三角形，∴，∵，∴，，∴，∴是矩形，故此选项不符合题意； 故选：B． 5．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，的对角线相交于点是等边三角形，且的面积为，则对角线的长为（   ） A．4 B．8 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等边三角形的性质，矩形的判定和性质，含30度角的直角三角形，根据等边三角形的性质，推出，进而得到是矩形，根据含30度角的直角三角性质的性质，以及矩形的面积公式，求出的长，进而得到对角线的长即可． 【详解】解：∵的对角线相交于点是等边三角形， ∴， ∴， ∴是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴； 故选B． 6．（24-25八年级下·湖北黄冈·期末）如图，在长方形纸片中，已知，．折叠纸片使边与对角线重合，点B落在点F处，折痕为，则的长为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理等知识，，由折叠的性质得到，则，再根据三角形面积公式即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， 由折叠可知，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 7．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，在矩形中，对角线，相交于点O．则下列结论不一定正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查矩形的性质，根据矩形的四个角都是直角，对角线互相平分且相等，逐项判断即可． 【详解】解：在矩形中，对角线，相交于点O． ，，， 不能得出， 故选：D． 8．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）如图，在长方形中，，将沿所在直线折叠，使点A落在E处，则___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、图形的翻折变换等知识点，弄清楚图形折叠后是解题的关键． 由长方形的性质可得，易得的度数，再根据折叠方法可得，然后用即可解答． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴， ∵， ∴， 由折叠的方法可得：， ∴． 故答案为：． 9．（24-25八年级下·湖北孝感·期末）如图，将矩形沿折叠，使顶点C恰好落在边的中点处，若，，则________． 【答案】4 【分析】本题考查翻折变换，掌握矩形的性质，勾股定理是解题的关键．先结合矩形的性质得，再根据折叠的性质可知，，利用勾股定理求出即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ， ∵点是边的中点，且， ， 根据折叠的性质可知，， 设，则， ， ， 解得：， ， 故答案为： 4 ． 10．（24-25八年级下·湖北黄冈·期末）在矩形中，点为边的中点，连接，将沿直线翻折，使得点与点重合，的延长线交线段于点，，若点为线段的中点，则线段的长为______． 【答案】 【分析】本题是矩形的折叠问题，解题的关键是掌握矩形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识点． 连接，由翻折及矩形的性质，利用证明，由勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：连接， 在矩形中， ， 将沿直线翻折， ， 在和中， ， ， ， ， 在中， ， 故答案为：． 11．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）如图，已知点是矩形边延长线上一点，，连接，点是矩形边上方一点，且． (1)请用无刻度直尺（不使用圆规）作于（只保留作图痕迹，不需要说明作图过程和证明）： (2)请在边上找一点，以、为边作矩形，使所作矩形的第四个顶点在矩形内部，并证明你所作四边形为矩形．（注：可以直接使用第（1）问中的结论） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了矩形的判定和性质． （1）连接，与相交于点，连接交于点，此时； （2）延长交于点，在线段上取点，在上截取，此时四边形是所作的矩形；利用有一个角是直角的平行四边形是矩形即可证明． 【详解】（1）解：所作图形如图所示， ； （2）解：如图，四边形是所作的矩形； ∵矩形，， ∴，即， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． 12．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）如图，将矩形沿对角线折叠，点落在点处，交于点．若，，求点到的距离． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，矩形的性质以及折叠的性质，等腰三角形的判定． 根据矩形的性质以及折叠的性质可得，从而得到，进而得到，设，则，在中，根据勾股定理可得，，设点到的距离为h，根据，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴，，，， ∴， 由折叠的性质得：，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， 即，解得：， ∴，， 设点到的距离为h， ∴， ∴， ∴， 即点到的距离为． ( 考点0 5 菱形的判定与性质 ) 1．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）已知中，、是对角线，则下列条件中不能判断是菱形的是（    ） A． B．平分 C． D． 【答案】C 【分析】由菱形的判定定理逐项验证即可得到． 【详解】解：A、当时，由对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可以判定是菱形，选项不符合题意； B、当平分时，， 中， ， 则， ， 由一组邻边相等的平行四边形是菱形，可以判定是菱形，选项不符合题意； C、当时，由对角线相等的平行四边形是矩形，不能判定是菱形，选项符合题意； D 、当时，由一组邻边相等的平行四边形是菱形，可以判定是菱形，选项不符合题意． 2．（24-25八年级下·湖北黄冈·期末）如图，的对角线，交于点O，要使成为菱形，则可添加一个条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查菱形的判定，熟练掌握菱形的判定是解题的关键；因此此题可根据菱形的判定定理进行排除选项． 【详解】解：A、是的性质，不能作为菱形的判定条件，故不符合题意； B、当时，则是矩形，不能判定是菱形，故不符合题意； C、当时，则是菱形，故符合题意； D、当时，则是矩形，不能判定是菱形，故不符合题意； 故选C． 3．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）如图，在菱形中，对角线相交于点．，，过点作的平行线交的延长线于点，则的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理及菱形的性质，先判断出四边形是平行四边形，从而得出的长度，根据菱形的性质求出的长度，利用勾股定理的逆定理可得出是直角三角形，计算出面积即可． 【详解】解：，， 四边形是平行四边形， ， ∵四边形是菱形， ∴， 又∵， ∴， 是直角三角形， 在中，， ∴， 又， ． 故选：A． 4．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）如图所示，两条笔直公路、相交于点，村庄的村民在公路的旁边建二个加工厂、，已知千米，村庄到公路的距离为12千米，则村庄到公路的距离是（    ） A．5千米 B．10千米 C．12千米 D．18千米 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的判定，平行四边形的面积，熟悉掌握等面积法是解题的关键． 先判定出四边形为菱形，再利用等面积法求解即可． 【详解】解：∵， ∴四边形为菱形， 设到的距离为， ∵到公路的距离为12千米， ∴， ∴， 故选：C． 5．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴上，边在轴上，若点的坐标为，则菱形的对角线交点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查菱形的性质、勾股定理等知识，在中，利用勾股定理求出，然后根据中点坐标公式即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴对角线交点的坐标为． 故选：A． 6．（24-25八年级下·湖北黄石·期末）如图，在菱形中，，，，为边和上的动点，，则的最小值 __________． 【答案】6 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，轴对称的性质，含度角的直角三角形的性质，菱形的性质；作出合适的辅助线是解本题的关键. 如图，连接，交与，作关于的对称点，连接，证明，可得，，为菱形对角线的交点，，连接，证明三点共线，可得，，再进一步求解即可； 【详解】解：如图，连接，交于，作关于的对称点，连接， ∵四边形是菱形，，， ∴，，， ∴， 由轴对称的性质可得：， ∵，，， ∴，，， ∴， ∴，，为菱形对角线的交点； ∴， 连接， 由轴对称的性质可得：，， ∴三点共线， ∴，， ∵，， ∴， ∴的最小值为； 故答案为：6 7．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，是的中线，点是中点，过作交的延长线于，连． (1)直接写出与的关系__________； (2)若，请判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)且 (2)四边形是菱形，理由见详解 【分析】（1）证明，得到，再利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形” 可得四边形为平行四边形，进而可得且； （2）由，是边上的中线，可得，然后结合四边形是平行四边形，可得四边形是菱形． 【详解】（1）∵点E是中点， ∴， ∵， ∴， 在和中 ∵， ∴． ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∴且． 故答案为：且． （2）解：四边形是菱形，理由如下： ∵， ∴， 又∵是的中线， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴四边形为菱形． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 8．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）如图，在中，．是边上的中线，是的中点．连接并延长到点，使．连接． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)求证：四边形是菱形． (3)若，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)菱形的面积为24． 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理等，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据三角形中线性质可得，再由已知条件可证得四边形是平行四边形； （2）根据直角三角形斜边中线性质得，再由（1）结论可证，进而可求解； （3）通过四边形是平行四边形，求得，利用勾股定理求得的长，再利用菱形的面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：F是的中点， ， ， ∴四边形是平行四边形； （2）证明：，是中线， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （3）解：∵四边形是平行四边形， ∴， 是直角中线， ， ， ，， 四边形是菱形， ∴菱形的面积为． 9．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）如图，在菱形中，点E，F分别在边和上，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了菱形的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是利用菱形的性质得出角相等，再通过全等三角形的判定证明两个三角形全等，进而得到对应角相等． 利用菱形对角线平分一组对角的性质，得到；再利用“边角边”定理证明两三角形全等，从而得到其对应角相等． 【详解】证明：连接， ∵四边形是菱形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 10．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）如图，在中，平分，的垂直平分线分别交于点E，F，G，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的判定和性质、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质等知识点，熟练运用菱形的判定和性质是本题的关键． （1）由角平分线的性质和垂直平分线的性质可证、可得，由菱形的判定定理即可证明结论； （2）如图：过点D作于点H，由菱形的性质可得，由直角三角形的性质可得，最后根据线段的和差即可解答． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形． （2）解：如图：过点D作于点H， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴． ( 考点0 6 正方形的判定与性质 ) 1．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，已知正方形边长为8，E为中点，将沿翻折得到，P，Q分别为边，上一点，将沿翻折使点对应点落在边上，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，作．由正方形的性质可得， ， 由折叠的性质可得， ， ， 进而可得，，，从而可得四边形是矩形．设，则，，根据勾股定理列方程求出x的值即可得解． 本题主要考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，折叠的性质以及勾股定理，熟练掌握以上知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，作． ∵四边形是正方形， ∴， ， ∵E为中点， ∴ ∵将沿翻折得到， ∴， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ， ∴四边形是矩形， ∴， ， 设，则 ∵将沿翻折使点对应点落在边上， ∴， 在中， ， ∴， 解得， ∴． 故选：A． 2．（24-25八年级下·湖北咸宁·期末）如图，正方形的面积为18，点E在正方形内，是等边三角形，在对角线上有一点P，使的值最小，则这个最小值为（   ） A． B． C．9 D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质、轴对称最短路线问题以及等边三角形的性质，关键在于利用正方形的对称性将转化为，再根据两点之间线段最短求解．利用正方形的对称性，将进行转化，再根据两点之间线段最短求出的最小值． 【详解】解：连接，如图 四边形是正方形，所以点D关于对角线的对称点是点B， ， ， 根据两点之间线段最短，当、、三点共线时，的值最小，即的长度就是的最小值， 是等边三角形， ， 又正方形的面积为， ， ． 故选：D． 3．（24-25八年级下·湖北黄冈·期末）如图，四边形的两条对角线相交于点，且互相平分，添加下列条件，不能判定四边形为正方形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查矩形、正方形的判定定理，全等三角形性质和判定，熟练掌握相关判定定理是解题的关键； 根据矩形、正方形的判定定理，全等三角形性质和判定，逐项分析判断，即可解题． 【详解】解：四边形的两条对角线相交于点，且互相平分， 四边形为矩形， A. 当时，四边形为正方形，不符合题意； B. 当时，四边形为正方形，不符合题意； C. 当时，推不出四边形为正方形，符合题意； D. 当时， ， ， ， 则四边形为正方形，不符合题意； 故选：C． 4．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，点为正方形边上一点，若，，则该正方形的对角线长为______． 【答案】 【分析】在中，利用勾股定理求出的长度，再在中，利用勾股定理求出对角线的长度． 【详解】解：连接，如图所示： 四边形是正方形， ，， 在中，，， 由勾股定理得：， 在中，， 由勾股定理得：， 该正方形的对角线长为． 5．（24-25八年级下·湖北黄冈·期末）如图，正方形的边长为4，G是对角线上一动点，于点E，于点F，连接，点G在运动过程中， （1）的值为__________； （2）线段的最小值为__________． 【答案】 4 【分析】本题考查正方形的性质，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的性质，是解题的关键： （1）证明为等腰直角三角形，得到，证明四边形为矩形，得到，进而得到，即可得出结果； （2）连接，根据矩形的性质得到，进而得到当时，最小，此时最小，进行求解即可． 【详解】解：（1）∵正方形的边长为4， ∴，， ∵，， ∴为等腰直角三角形，四边形为矩形， ∴，， ∴； 故答案为：4； （2）连接， 由（1）知：四边形为矩形， ∴， ∵G是对角线上一动点， ∴当时，最小，此时最小， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴的最小值为； 故答案为：． 6．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）如图，在正方形的外侧，作等边，则的大小是___________． 【答案】/75度 【分析】根据正方形的性质得出，根据等边三角形的性质得出，推出，，根据等腰三角形的性质得出，最后根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：四边形是正方形， ， 是等边三角形， ， ，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的外角性质、正方形的性质、等边三角形的性质和等腰三角形的性质，灵活运用相关知识是解题的关键． 7．（24-25八年级下·湖北省直辖县级单位·期末）如图，在正方形中，，E，F分别为边的中点，连接，点G，H分别为的中点，连接，则的长为__________． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，三角形中位线定理，正确作出辅助线是解决本题的关键． 连接并延长交于点，连接，根据正方形的性质得到，，，推出，，可证明，得到，求出，由点分别为、的中点得到是的中位线，推出． 【详解】解：如图，连接并延长交于点，连接， 四边形是正方形， ，，， ，， 分别为边、的中点， ， 是的中点， ， ， ， ， ， 点分别为、的中点， 是的中位线， ， 故答案为：． 8．（24-25八年级下·湖北十堰·期末）如图，在矩形中，平分，交于点，过点作于点，连接交于点，连接． (1)求证：四边形ABEF是正方形； (2)如果，求四边形的周长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（1）根据矩形的性质及得，由此判定四边形是矩形，再根据角平分线性质得，据此即可得出结论； （2）过点作于点，根据正方形性质得是等腰直角三角形，由勾股定理得，进而得，在中，由勾股定理得，则，再证明四边形是矩形，然后根据矩形的周长公式即可得出四边形的周长． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ， ， ， 四边形是矩形， 平分，，， ， 矩形是正方形； （2）解：过点作于点，如图所示： 四边形是正方形，， ，，， 是等腰直角三角形， 于点， ， 在中，由勾股定理得：， ，， 在中，， 由勾股定理得：， ， ， 四边形是矩形， ∴， 四边形的周长为：． 【点睛】此题主要考查了正方形的判定与性质，角平分线的性质，矩形的判定和性质，理解熟练角平分线的性质，掌握正方形的判定与性质，矩形的判定和性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键． 9．（24-25八年级下·湖北恩施·期末）正方形中，点G是边上任意一点，于E，交于F． (1)若点为的中点，，，求的长； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理． （1）证明，推出，由勾股定理求得，，根据求解即可； （2）证明，从而得到，便得到了． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 又∵为的中点，，， ∴，，， ∴； （2）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴． 10．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，正方形的边长为，点分别是边上的点，，连交于点G，过B点作垂线交于点．    (1)如图1，求证：四边形为平行四边形． (2)如图2，若，则求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明，得到，得到，又由得到，又由即可证明结论成立； （2）证明，，由勾股定理即可求出的长． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形． （2）∵四边形是正方形，边长为， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∵ ∴， 由勾股定理可得，， ∵，， ∴, ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 【点睛】此题考查了正方形的性质、平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，证明四边形为平行四边形是解题的关键． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $