专题02 勾股定理（期末真题汇编，湖北专用）八年级数学下学期人教版

**基本信息** 本试卷为勾股定理专题期末试题汇编，精选湖北各地期末真题，覆盖勾股定理理解、勾股数、直角三角形判断、逆定理应用及实际应用五大考点，突出知识应用与生活情境结合。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空|多题|用勾股定理求坐标系中点坐标（考点01第1题）、赵爽弦图面积计算（考点02第4题）|结合无人机、单摆等科技生活情境（考点01第3题、考点05第2题）| |解答题|综合题|蚂蚁爬行最短路径（考点05第4题）、四边形面积求解（考点04第4题）|从基础计算到综合应用，适配期末能力考查（如判断直角三角形到实际问题解决）|

专题02 勾股定理 高频考点概览 考点01用勾股定理理解三角形 考点02 勾股数与弦图 考点03判断直角三角形 考点04 使用勾股定理逆定理求解 考点05 勾股定理的应用 ( 考点0 1 用勾股定理理解三角形 ) 1．（24-25八年级下·湖北恩施·期末）如图，在平面直角坐标系中，，以点为圆心，长为半径画弧交轴负半轴于点，则点的横坐标在（   ） A．与之间 B．与之间 C．与之间 D．与之间 2．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）在中，，，的对边分别为，，．若，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）如图，地面上，在同一水平面上，，当无人机从封处竖直上升时，无人机到处的距离为（　　） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）在中，，，，则的长是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）A，B，C三地的两两之间距离如图所示，B地在A地的正西方向，那么B地在C地的（    ） A．正东方向 B．西南方向 C．正南方向 D．正北方向 6．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）如图，在中，．以点O为圆心，长为半径画弧交数轴正半轴于点P，则点P所表示的数是（    ） A．1 B．2 C． D． 7．（24-25八年级下·湖北随州·期末）一个直角三角形的两边长分别是1和，则第三边长为（   ） A．2 B．4 C． D．2或 8．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）两人从同一地点同时出发，一人以30米/分的速度向北直行，另一人以40米/分的速度向东直行．1分钟后，他们相距（    ）米． A．60 B．50 C．40 D．30 9．（24-25八年级下·湖北随州·期末）如图所示，在中，，，，根据尺规作图的痕迹，可知长为______． 10．（24-25八年级下·湖北随州·期末）如图所示， ， ，以点为圆心，长为半径画弧交轴负半轴于点，则点的横坐标是 _____． 11．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）如图，单摆绕点左右摆动，摆绳长度为．处于水平位置，为单摆停止运动后的静止位置．摆动过程中为某一瞬时状态，此时，求点相对于点升高的长度． 12．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）如图，在中，，是高．若，，求的长． ( 考点02 勾股数与弦图 ) 1．（24-25八年级下·湖北孝感·期末）勾股数，又名毕达哥拉斯三元数，是指能够成为直角三角形三条边长的三个正整数．下列各组数中是勾股数的是（   ） A．0.3，0.4，0.5 B．2，3，5 C． D．5，12，13 2．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）下列各组数为勾股数的是（   ） A．7，12，13 B．3，3，4 C．0.1，0.2，0.3 D．9，12，15 3．（25-26八年级上·湖北十堰·期末）下列各组数中，是勾股数的一组为（   ） A． B．6，8，10 C．1，，2 D．2，2，3 4．（24-25八年级下·湖北鄂州·期末）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，．若小正方形面积为5，，则大正方形面积为（    ） A．8 B．13 C．15 D．15.5 5．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）我国汉代数学家赵爽用“弦图”证明了勾股定理．如图是宛宛同学把四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．若直角三角形较短的直角边，斜边，则小正方形的边长为______． 6．（24-25八年级下·湖北孝感·期末）定义：为正整数，若，则称为“完美勾股数”，为的“伴侣勾股数”．如，则13是“完美勾股数”，5，12是13的“伴侣勾股数”． (1)判断填空：数__________“完美勾股数”（填“是”或“不是”）； ( 考点0 3 判断直角三角形 ) 1．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）下列各组数分别为一个三角形三边的长，其中能构成直角三角形的一组是（   ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．5，12，13 D．4，5，6 2．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）下列各组数能构成直角三角形三边长的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．5，12，13 3．（24-25八年级下·湖北恩施·期末）的三边分别为，，，下列条件：①；②；③．其中能判断是直角三角形的条件有（） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）以下列长度的线段为边，不能组成直角三角形的是（   ） A．3、4、5 B．1、2、2 C．1、、 D．8、15、17 5．（24-25八年级下·湖北鄂州·期末）在中，，，的对边分别记为a，b，c，下列条件中，能判定是直角三角形的是（   ） A．，， B． C． D． 6．（24-25八年级下·湖北孝感·期末）下列条件不能判定为直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级下·湖北黄冈·期末）下列各组数据中的三个数分别作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（   ） A．2，3，4 B．3，4，5 C．6，7，8 D．，， 8．（24-25八年级下·湖北孝感·期末）以长度分别为下列各组数的线段为边，可以组成直角三角形的是（   ） A．1，2，3 B．5，12，13 C． D．9，16，25 9．（24-25八年级下·湖北十堰·期末）下列各组线段中，能够组成直角三角形的是（    ） A．8，15，17 B．5，6，7 C．，， D．6，7，8 10．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（    ）． A．13，14，15 B．2，3，4 C．1，， D．，2， 11．（24-25八年级下·湖北荆州·期末）下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（   ） A．2，3，4 B．3，4，6 C．3，4，5 D．4，6，7 12．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）以下列各组数据为三角形的三边长，能构成直角三角形的是（   ） A．2、3、4 B．1、1、 C．5、12、13 D．9、12、20 13．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）线段a、b、c组成的三角形不是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 14．（24-25八年级下·湖北荆州·期中）由线段a，b，c组成的三角形中，不是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 15．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1． (1)分别求出线段，的长度（图中，，，均为网格线交点）； (2)在图中画线段，使得的长为；判断以，，三条线段是否构成直角三角形，并说明理由． ( 考点0 4 使用勾股定理逆定理求解 ) 1．（24-25八年级下·湖南长沙·期中）为增长学生自然科学知识，培养学生的劳动技能与责任感，学校分给各班级一块地，让学生学习种菜．八年级三班分得一块三角形菜地，测得三角形菜地的三边长分别为，，，则三角形菜地的面积是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）如图，有一块铁皮（图中阴影部分），测得，，，，，则阴影部分的面积为__________． 3．（24-25八年级下·湖北黄石·期末）若三角形三边长之比为：：，则这个三角形中的最大角的度数是 ___ 4．（24-25八年级下·湖北黄冈·期末）在春天来临之际，八（1）班的学生计划在学校劳动实践基地种植蔬菜．他们班的劳动实践基地正好是一块四边形的土地．如图，，，，，，求该四边形土地的面积． 5．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）某小区内有一块如图所示的四边形空地，米，米，米，且，计划将这块空地建成一个花园，以美化小区环境，求花园的面积． 6．（24-25八年级下·广东广州·期中）学校内有一块如图所示的三角形空地，计划开辟为生物园，测得米，米，米．如果沿修一条水渠且点在边上，水渠的造价为元米，当水渠的造价最低时，的长为多少米？最低造价是多少元？ ( 考点0 5 勾股定理的应用 ) 1．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）一架长5米的梯子斜立在一竖直的墙上，这时梯足距墙底端3米，如果梯子的顶端沿墙下滑1米，那么梯足将滑（   ） A．0.5米 B．0.75米 C．1米 D．2米 2．（24-25八年级下·湖北十堰·期末）如图，一根竹子在离地面4尺处折断，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，竹子折断之前的高度是（    ） A．4尺 B．5尺 C．8尺 D．9尺 3．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭（）生其中，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深几何”（丈、尺都是长度单位，1丈尺．）其大意为：有一个水池，水面是一个边长为12尺的正方形，在水池中央有一根芦苇，它高出水面2尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度是多少？则水深为（   ） A．6尺 B．7尺 C．8尺 D．9尺 4．（24-25八年级下·湖北十堰·期末）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点A处，则该蚂蚁要吃到饭粒需爬行的最短路径长是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·湖北恩施·期末）如图，已知长方体的长为、宽为、高为，一只蚂蚁如果沿长方体的表面从点爬到点，最短的路程是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·湖北荆州·期末）如图，一个圆柱形食品盒，它的高等于，底面周长为，在盒外下底面的点处有一只蚂蚁，想沿盒壁爬行吃到正对面中部点处的食物，那么它至少需要爬行_____．（蚂蚁的大小忽略不计） 7．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）八（3）班小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得下图风筝的高度，他们进行了如下操作： （1）测得的长度为15米；（注：） （2）根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米； （3）牵线放风筝的小明身高米．求风筝的高度．（结果保留一位小数） 8．（24-25八年级下·湖北黄冈·期末）某数学兴趣小组在校园内开展综合与实践活动，记录如下： 活动项目 测量风筝放飞的垂直高度 测量示意图 测量数据 记录长度 ①测得水平距离的长为15米． ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米． ③小明牵线放风筝的手到地面的垂直距离为1.8米． 解决问题 任务一 如上图，求风筝离地面的垂直高度． 任务二 如果小明想要风筝沿方向再上升12米，长度不变，则他应该再放出多少米的线？ 9．（24-25八年级下·湖北黄石·期末）“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市道路上直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：） 10．（24-25八年级下·湖北恩施·期末）行车不超速，安全又幸福．已知某路段限速，小明尝试用自己所学的知识检测经过该路段的汽车是否超速．如图，他所在的观测点到该路段的距离（的长）为40米，测得一辆汽车从处匀速行驶到处用时3秒，．试通过计算判断此车是否超速？（） 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 勾股定理 高频考点概览 考点01用勾股定理理解三角形 考点02 勾股数与弦图 考点03判断直角三角形 考点04 使用勾股定理逆定理求解 考点05 勾股定理的应用 ( 考点0 1 用勾股定理理解三角形 ) 1．（24-25八年级下·湖北恩施·期末）如图，在平面直角坐标系中，，以点为圆心，长为半径画弧交轴负半轴于点，则点的横坐标在（   ） A．与之间 B．与之间 C．与之间 D．与之间 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用以及无理数的估算，实数与数轴，解题的关键是通过构造直角三角形，利用勾股定理求出线段的长度确定圆的半径，再结合点的坐标求出点C的横坐标并进行估算． 构造直角三角形，利用勾股定理计算 的长度，得到圆的半径；根据点A的坐标和半径，确定点C的横坐标表达式；估算无理数的大小，判断横坐标所在的范围． 【详解】∵是直角三角形， ∴， ∴，即． ∴， 因点C在x轴的负半轴上，则点C的横坐标为， ∵，即， ∴， ∴，即， 故选：A． 2．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）在中，，，的对边分别为，，．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理，熟悉掌握勾股定理是解题的关键． 在直角三角形中，若某角的对边为斜边，则该角为直角，根据题目给出的等式，结合勾股定理判断直角的位置． 【详解】∵ ， ∴， ∴在中，三角形的斜边为，， A：，代入可得：不成立，故A错误； B：，代入可得：不成立，故B错误； C：，，则不成立，故C错误； D：，说法成立，故D正确； 故选：D． 3．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）如图，地面上，在同一水平面上，，当无人机从封处竖直上升时，无人机到处的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，理解题意得，，运用勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：如图所示： 依题意，米，， ∴， 故选：C． 4．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）在中，，，，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形角的性质以及勾股定理，熟知直角三角形所对的直角边是斜边的一半是解题的关键．根据所对的直角边等于斜边的一半，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，在中，，， ， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， 故选：A． 5．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）A，B，C三地的两两之间距离如图所示，B地在A地的正西方向，那么B地在C地的（    ） A．正东方向 B．西南方向 C．正南方向 D．正北方向 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用， 先逆用勾股定理求出，再根据方位角得出答案． 【详解】解：∵， ∴是直角三角形，且， ∴B地在C地的正南方向． 故选：C． 6．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）如图，在中，．以点O为圆心，长为半径画弧交数轴正半轴于点P，则点P所表示的数是（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理，数轴上的无理数， 先根据勾股定理求出，再根据得出答案． 【详解】解：根据勾股定理，得， 即， 解得， 根据题意，得， 所以点P所表示的数是， 故选：C． 7．（24-25八年级下·湖北随州·期末）一个直角三角形的两边长分别是1和，则第三边长为（   ） A．2 B．4 C． D．2或 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．根据勾股定理，分两种情况讨论已知两边为直角边或其中一边为斜边，分别计算第三边的长度，即可作答． 【详解】解：已知直角三角形两边长分别为1和，需分两种情况求解第三边： 当1和均为直角边，则第三边为斜边， 由勾股定理得：斜边， 当为斜边，则第三边为另一条直角边， 由勾股定理得：直角边， 综上，第三边长为1或， 故选：D． 8．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）两人从同一地点同时出发，一人以30米/分的速度向北直行，另一人以40米/分的速度向东直行．1分钟后，他们相距（    ）米． A．60 B．50 C．40 D．30 【答案】B 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意判断直角三角形是解答此题的关键． 两人分别向北和东行进，形成直角三角形的两条直角边，利用勾股定理计算斜边（即两人距离）． 【详解】解：向北行走的人速度为30米/分，1分钟路程为：米， 向东行走的人速度为40米/分，1分钟路程为：米， ∵两人位置构成直角三角形的两条直角边， ∴1分钟后，他们相距（米）． 故选：B． 9．（24-25八年级下·湖北随州·期末）如图所示，在中，，，，根据尺规作图的痕迹，可知长为______． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，基本作图—作线段的垂直平分线，根据勾股定理得，根据尺规作图的痕迹知是的垂直平分线，再根据垂直平分线的定义即可得出答案．解题的关键是掌握基本作图． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴点是的中点， ∴， 即长为． 故答案为：． 10．（24-25八年级下·湖北随州·期末）如图所示， ， ，以点为圆心，长为半径画弧交轴负半轴于点，则点的横坐标是 _____． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理，实数的大小比较，坐标与图形性质的应用，解此题的关键是求出的长．求出、，根据勾股定理求出，即可得出，求出长即可． 【详解】解：∵， ， ∴， ∴在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴点C的横坐标是， 故答案为：． 11．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）如图，单摆绕点左右摆动，摆绳长度为．处于水平位置，为单摆停止运动后的静止位置．摆动过程中为某一瞬时状态，此时，求点相对于点升高的长度． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，30度角所对的直角边是斜边的一半，先过点作于点，得出，运用勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：过点作于点， ∵， 在中，，， 则， 由勾股定理可知：， 则， ∴点相对于点升高的长度为 12．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）如图，在中，，是高．若，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了利用勾股定理解三角形；先证明是等腰直角三角形，求出，再在中利用勾股定理即可求出. 【详解】解：， ． 是的高， ， ． 在中，． ． ． ． 在中，． ． ( 考点02 勾股数与弦图 ) 1．（24-25八年级下·湖北孝感·期末）勾股数，又名毕达哥拉斯三元数，是指能够成为直角三角形三条边长的三个正整数．下列各组数中是勾股数的是（   ） A．0.3，0.4，0.5 B．2，3，5 C． D．5，12，13 【答案】D 【分析】本题考查了勾股数，掌握勾股数的定义是解题关键．根据勾股数的定义：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数．再逐项判断即可． 【详解】解：A．，，，三个数均为小数，不是正整数，不符合勾股数定义． B．，不满足勾股定理． C．，不满足勾股定理． D．，满足勾股定理且均为正整数． 故选：D． 2．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）下列各组数为勾股数的是（   ） A．7，12，13 B．3，3，4 C．0.1，0.2，0.3 D．9，12，15 【答案】D 【分析】本题考查了勾股数，如果三个正整数满足，那么这三个正整数就是勾股数，解决本题的关键是根据勾股数的定义进行判断． 【详解】解：A、， 7，12，13不是勾股数，故该选项不符合题意； B、， 3，3，4不是勾股数，故该选项不符合题意； C、0.1，0.2，0.3不是正整数， 0.1，0.2，0.3不是勾股数，故该选项不符合题意； D、， 9，12，15是勾股数，故该选项符合题意； 故选：D． 3．（25-26八年级上·湖北十堰·期末）下列各组数中，是勾股数的一组为（   ） A． B．6，8，10 C．1，，2 D．2，2，3 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股数的定义，熟练掌握能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数是解题的关键，根据能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数，即可求解， 【详解】解：、不是正整数，故不是勾股数，不符合题意； ，故是勾股数，符合题意； 不是正整数，故不是勾股数，不符合题意； 、，故不是勾股数，不符合题意； 故选：． 4．（24-25八年级下·湖北鄂州·期末）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，．若小正方形面积为5，，则大正方形面积为（    ） A．8 B．13 C．15 D．15.5 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，完全平方公式在几何图形中得到应用，熟练掌握勾股定理和完全平方公式是解题关键．设直角三角形的两条直角边长分别为m，，则大正方形的面积为，由小正方形的面积可得，再结合，利用完全平方公式的结构特征求出的值，即可得解． 【详解】解：设直角三角形的两条直角边长分别为m，． 大正方形的边长直角三角形的斜边长， 大正方形的面积为， 小正方形面积为5， ， ， ， ， ， 即大正方形面积为， 故选：B． 5．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）我国汉代数学家赵爽用“弦图”证明了勾股定理．如图是宛宛同学把四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．若直角三角形较短的直角边，斜边，则小正方形的边长为______． 【答案】7 【分析】本题考查了勾股定理的证明、勾股定理、正方形的面积，根据题意和勾股定理，可以求得直角三角形的另一条直角边，再根据小正方形的面积大正方形的面积四个直角三角形的面积，代入数据计算即可． 【详解】解：∵直角三角形较短的直角边，斜边， ∴另一条直角边为， ∵小正方形的面积大正方形的面积四个直角三角形的面积， ∴小正方形的面积为：， ∴小正方形的边长为7， 故答案为：7． 6．（24-25八年级下·湖北孝感·期末）定义：为正整数，若，则称为“完美勾股数”，为的“伴侣勾股数”．如，则13是“完美勾股数”，5，12是13的“伴侣勾股数”． (1)判断填空：数__________“完美勾股数”（填“是”或“不是”）； (2)已知的三边满足．求证：是“完美勾股数”． 【答案】(1)是 (2)见解析 【分析】本题考查了勾股数，完全平方公式． （1）根据“完美勾股数”的定义判断即可； （2）根据完全平方公式求出的值，再根据“完美勾股数”的定义判断即可． 【详解】（1）解：∵， ∴数是“完美勾股数” 故答案为：是 （2）证明： 是“完美勾股数” ( 考点0 3 判断直角三角形 ) 1．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）下列各组数分别为一个三角形三边的长，其中能构成直角三角形的一组是（   ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．5，12，13 D．4，5，6 【答案】C 【分析】本题考查构成直角三角形的条件．根据勾股定理的逆定理，若三角形三边满足两较小边的平方和等于最大边的平方，则该三角形为直角三角形，同时需验证三边能否构成三角形． 【详解】解：A．∵ ，∴不能构成三角形，不合题意； B．∵ ，∴不能构成直角三角形，不合题意； C．∵ ，∴能构成直角三角形，符合题意； D．∵，∴不能构成直角三角形，不合题意； 故选：C． 2．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）下列各组数能构成直角三角形三边长的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．5，12，13 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．根据勾股定理的逆定理，若三角形三边满足（其中为最长边），则该三角形为直角三角形，逐一验证各选项即可． 【详解】解：A.∵，∴不能构成直角三角形，故选项不符合题意； B. ∵，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； C. ∵，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； D. ∵，∴能构成直角三角形，故本选项符合题意． 故选：D． 3．（24-25八年级下·湖北恩施·期末）的三边分别为，，，下列条件：①；②；③．其中能判断是直角三角形的条件有（） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理以及三角形三边的关系等知识，根据三角形内角和定理及勾股定理逆定理以及三角形三边的关系，逐一分析三个条件是否成立即可. 【详解】①∵，且， 代入得：，即， ∴，故为直角三角形，条件①成立； ②∵， 整理得：， 由勾股定理逆定理，是以为直角的直角三角形，条件②成立； ③设，，， 则：，不满足三角形三边不等式（两边之和需严格大于第三边）， 故无法构成三角形，条件③不成立， 综上，满足条件的个数为2个， 故选：C. 4．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）以下列长度的线段为边，不能组成直角三角形的是（   ） A．3、4、5 B．1、2、2 C．1、、 D．8、15、17 【答案】B 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，根据勾股定理逆定理，若三角形三边满足（为最长边），则为直角三角形。需逐一验证各选项是否满足该条件，同时检查是否能构成三角形． 【详解】选项A：最长边为5，验证，与相等，满足勾股定理，能组成直角三角形； 选项B：最长边为2，验证，与不相等，不满足勾股定理。虽然三边满足三角形存在条件（如），但无法构成直角三角形； 选项C：最长边为，验证，与相等，满足勾股定理，能组成直角三角形； 选项D：最长边为17，验证，与相等，满足勾股定理，能组成直角三角形； 综上，选项B的三边不能组成直角三角形． 故选：B． 5．（24-25八年级下·湖北鄂州·期末）在中，，，的对边分别记为a，b，c，下列条件中，能判定是直角三角形的是（   ） A．，， B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形的判定，根据勾股定理逆定理和三角形内角和定理的应用等逐项判段即可． 【详解】解∶A．由，，，得，不满足三角形三边关系（任意两边之和大于第三边），无法构成三角形，故排除； B．由展开得，即．根据勾股定理逆定理，若两边的平方和等于第三边的平方，则此三角形为直角三角形，且为斜边，对应，符合条件． C．说明为等腰三角形，但无法确定是否存在直角，不一定是直角三角形，故排除． D．，总份数为，各角分别为，，，均为锐角，无直角，故排除． 故选∶B． 6．（24-25八年级下·湖北孝感·期末）下列条件不能判定为直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形的判定，涉及角度关系和勾股定理逆定理的应用． 根据三角形内角和求出，即可判断A；设，，，则，解得，所以最大角为，则是锐角三角形，可判定B；设的三边为k、、，则，所以最大角为，则为直角三角形，可判断C．由得，所以a边所对角为直角，可判断D． 【详解】解：A、∵， ∴， 化简得， ∴， ∴为直角三角形． 故此选项不符合题意； B、设，，，则， 解得， ∴最大角为， ∴是锐角三角形，不能判定为直角三角形． 故此选项符合题意； C、设的三边为k、、，则，， ∴ ∴最大角为， ∴为直角三角形． 故此选项不符合题意； D、∵ ∴， ∴a边所对角为直角，能判定为直角三角形． 故此选项不符合题意； 故选：B． 7．（24-25八年级下·湖北黄冈·期末）下列各组数据中的三个数分别作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（   ） A．2，3，4 B．3，4，5 C．6，7，8 D．，， 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形关系的应用，勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理，若三角形三边满足最长边的平方等于另两边的平方和，则为直角三角形．需先验证三边能否构成三角形，再判断是否满足直角三角形的条件． 【详解】解：选项A：验证三角形：，可构成三角形． 判断直角三角形：最长边为4，计算得，不符合题意． 选项B：验证三角形：，可构成三角形． 判断直角三角形：最长边为5，计算得，是直角三角形，符合题意． 选项C：验证三角形：．可构成三角形． 判断直角三角形：最长边为8，计算得，不符合题意． 选项D：化简为，验证三角形：，，，可构成三角形． 判断直角三角形：最长边为，计算得，不符合题意． 故选：B 8．（24-25八年级下·湖北孝感·期末）以长度分别为下列各组数的线段为边，可以组成直角三角形的是（   ） A．1，2，3 B．5，12，13 C． D．9，16，25 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理：“如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，则该三角形为直角三角形”，逐一判断即可，掌握逆定理是解题关键．根据勾股定理的逆定理判断即可． 【详解】A选项：，所以不能构成直角三角形，不符合题意； B选项：，所以能构成直角三角形，符合题意； C选项：，所以不能构成直角三角形，不符合题意； D选项：，所以不能构成直角三角形，不符合题意． 故选：B． 9．（24-25八年级下·湖北十堰·期末）下列各组线段中，能够组成直角三角形的是（    ） A．8，15，17 B．5，6，7 C．，， D．6，7，8 【答案】A 【分析】此题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握相关知识是解题的关键； 根据勾股定理的逆定理，若三角形三边满足“两短边的平方和等于最长边的平方”，则该三角形为直角三角形．依次验证各选项即可． 【详解】解：A．由于，故能构成直角三角形，符合题意； B．由于，故不能构成直角三角形，不符合题意； C．由于，故不能构成直角三角形，不符合题意； D．由于，故不能构成直角三角形，不符合题意． 故选：A． 10．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（    ）． A．13，14，15 B．2，3，4 C．1，， D．，2， 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，若三角形三边长、、（为最大边）满足，则该三角形为直角三角形．逐一验证各选项是否符合条件． 【详解】解：选项A：13，14，15，最大边为15，计算： ， ， ，故A不符合． 选项B：2，3，4，最大边为4，计算： ， ， ，故B不符合． 选项C：1，，，最大边为，计算： ， ， ，满足勾股定理，故C符合． 选项D：，2，，最大边为，计算： ， ， ，故D不符合． 故选C． 11．（24-25八年级下·湖北荆州·期末）下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（   ） A．2，3，4 B．3，4，6 C．3，4，5 D．4，6，7 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形，据此先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可． 【详解】解：A、∵， ∴2，3，4不可以作为直角三角形的三边长，故此选项不符合题意； B、∵， ∴3，4，6不可以作为直角三角形的三边长，故此选项不符合题意； C、∵， ∴3，4，5可以作为直角三角形的三边长，故此选项符合题意； D、∵， ∴4，6，7不可以作为直角三角形的三边长，故此选项不符合题意； 故选：C． 12．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）以下列各组数据为三角形的三边长，能构成直角三角形的是（   ） A．2、3、4 B．1、1、 C．5、12、13 D．9、12、20 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边a、b、c满足，那么这个三角形就是直角三角形，据此对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A、， 不能构成直角三角形，不符合题意； B、， 不能构成直角三角形，不符合题意； C、， 能构成直角三角形，符合题意； D、， 不能构成直角三角形，不符合题意， 故选：C． 13．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）线段a、b、c组成的三角形不是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理的应用，根据勾股定理逆定理，判断各组线段是否满足两短边的平方和等于最长边的平方，若满足则为直角三角形，否则不是． 【详解】解：选项A：，，， 最长边，计算，与相等，是直角三角形； 选项B：，，， 最长边，计算，与相等，是直角三角形； 选项C：，，， 最长边，计算，与相等，是直角三角形； 选项D：，，， 最长边，计算，与不相等，不满足勾股定理，故不是直角三角形； 故选：D． 14．（24-25八年级下·湖北荆州·期中）由线段a，b，c组成的三角形中，不是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，解题关键是熟记勾股定理逆定理，准确进行计算． 【详解】解：A．因为，所以是直角三角形，不符合题意； B．因为，所以是直角三角形，不符合题意； C．因为，所以不是直角三角形，符合题意； D．因为，所以是直角三角形，不符合题意； 故选：C． 15．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1． (1)分别求出线段，的长度（图中，，，均为网格线交点）； (2)在图中画线段，使得的长为；判断以，，三条线段是否构成直角三角形，并说明理由． 【答案】(1)， (2)见解析；以，，三条线段能构成直角三角形，理由见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，熟知勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）利用勾股定理求解即可； （2）利用勾股定理可得是一个两直角边长都为2的直角三角形的斜边，据此作图即可；可证明，据此可得结论． 【详解】（1）解：由题意得，，； （2）解：如图所示，即为所求； 以，，三条线段能构成直角三角形，理由如下： ∵，，， ∴，， ∴， ∴以，，三条线段能构成直角三角形． ( 考点0 4 使用勾股定理逆定理求解 ) 1．（24-25八年级下·湖南长沙·期中）为增长学生自然科学知识，培养学生的劳动技能与责任感，学校分给各班级一块地，让学生学习种菜．八年级三班分得一块三角形菜地，测得三角形菜地的三边长分别为，，，则三角形菜地的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握，如果一个三角形的三条边a、b、c满足，那么这个三角形为直角三角形．先根据勾股定理的逆定理证明三角形菜地为直角三角形，然后根据三角形面积公式进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴三角形菜地为直角三角形， ∴三角形菜地的面积为． 故选：A． 2．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）如图，有一块铁皮（图中阴影部分），测得，，，，，则阴影部分的面积为__________． 【答案】24 【分析】本题考查的是勾股定理及勾股定理的逆定理，三角形的面积等知识，判断出是直角三角形是解答此题的关键． 先根据勾股定理求出的长，再由勾股定理的逆定理判断出是直角三角形，进而可得出结论． 【详解】解：如图，连接， ，，， ， ，， ， 是直角三角形， ， 即阴影部分的面积为24， 故答案为：24． 3．（24-25八年级下·湖北黄石·期末）若三角形三边长之比为：：，则这个三角形中的最大角的度数是 ___ 【答案】/度 【分析】此题主要考查了勾股定理的逆定理，正确把握直角三角的判定方法是解题关键．直接利用勾股定理的逆定理，若一个三角形的三条边长分别为，且满足(其 中为最长边)，则这个三角形是直角三角 形，得出三角形的形状进而得出答案． 【详解】解：∵三角形三边长之比为：：，可设三边长分别为，，， ∵， 又∵， ∴， ∴此三角形是直角三角形， ∴这个三角形中最大角的度数是． 故答案为：． 4．（24-25八年级下·湖北黄冈·期末）在春天来临之际，八（1）班的学生计划在学校劳动实践基地种植蔬菜．他们班的劳动实践基地正好是一块四边形的土地．如图，，，，，，求该四边形土地的面积． 【答案】该四边形土地的面积为 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理． 根据勾股定理得到，进而可得是直角三角形，根据四边形的面积的面积的面积计算即可． 【详解】解：连接， ，，， 在中，由勾股定理得， ，， ∴， 是直角三角形， 四边形的面积的面积的面积 该四边形土地的面积为． 5．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）某小区内有一块如图所示的四边形空地，米，米，米，且，计划将这块空地建成一个花园，以美化小区环境，求花园的面积． 【答案】花园的面积为平方米． 【分析】本题考查了勾股定理，以及勾股定理逆定理，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 连接，利用勾股定理求出，再结合勾股定理逆定理推出，最后结合三角形面积公式求解，即可解题． 【详解】解：连接， 米，， 米， 米，米， 且， ， 花园的面积（平方米）， 答：花园的面积为平方米． 6．（24-25八年级下·广东广州·期中）学校内有一块如图所示的三角形空地，计划开辟为生物园，测得米，米，米．如果沿修一条水渠且点在边上，水渠的造价为元米，当水渠的造价最低时，的长为多少米？最低造价是多少元？ 【答案】当水渠的造价最低时，的长为米，最低造价是元 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理．熟练掌握勾股定理的逆定理是解决问题的关键．当时，水渠的造价最低．由勾股定理的逆定理推知，所以结合面积法来求的长度，然后求其造价即可． 【详解】解：米，米，米． ， ， ， 当时，水渠的造价最低． 米 (元) 答：当水渠的造价最低时，的长为米，最低造价是元． ( 考点0 5 勾股定理的应用 ) 1．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）一架长5米的梯子斜立在一竖直的墙上，这时梯足距墙底端3米，如果梯子的顶端沿墙下滑1米，那么梯足将滑（   ） A．0.5米 B．0.75米 C．1米 D．2米 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，先在中，利用勾股定理得到，再求出，接着利用勾股定理求出，进而得到，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，在中，，且， ∴， ∴， ∵， ∴在中，由勾股定理得， ∴， ∴梯足将滑1米， 故选：C． 2．（24-25八年级下·湖北十堰·期末）如图，一根竹子在离地面4尺处折断，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，竹子折断之前的高度是（    ） A．4尺 B．5尺 C．8尺 D．9尺 【答案】D 【分析】本题可将竹子折断的部分与地面构成直角三角形，利用勾股定理求出折断部分的长度，再加上未折断部分离地面的高度，从而得到竹子折断前的高度．本题主要考查了勾股定理在实际生活中的应用，熟练掌握勾股定理（直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 ）是解题的关键． 【详解】解：设竹子折断处离地面尺的部分为直角边，顶端落地点离竹子底端尺为另一直角边，折断部分为斜边． 根据勾股定理 则竹子折断之前的高度为（尺） 故选：D． 3．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭（）生其中，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深几何”（丈、尺都是长度单位，1丈尺．）其大意为：有一个水池，水面是一个边长为12尺的正方形，在水池中央有一根芦苇，它高出水面2尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度是多少？则水深为（   ） A．6尺 B．7尺 C．8尺 D．9尺 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，设水深为x尺，则这根芦苇的长为尺，由勾股定理可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：设水深为x尺，则这根芦苇的长为尺， 由题意得，， 解得， ∴水深为8尺， 故选：C． 4．（24-25八年级下·湖北十堰·期末）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点A处，则该蚂蚁要吃到饭粒需爬行的最短路径长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查立体图形平面展开的最短路径问题．了解“两点之间线段最短”并结合轴对称和勾股定理进行求解是解题的关键．将容器侧面展开，作A点关于EF的对称点，根据两点之间线段最短即可知的长度即为最短距离．利用勾股定理求出即可． 【详解】解：如图：将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离， ∵高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒， 此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿与饭粒相对的点A处， ∴，，， ∴． 故选：C． 5．（24-25八年级下·湖北恩施·期末）如图，已知长方体的长为、宽为、高为，一只蚂蚁如果沿长方体的表面从点爬到点，最短的路程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查最短路径问题，将长方体从不同角度展开，是解决此类问题的关键，注意不要漏解．要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体展开，然后利用两点之间线段最短解答． 【详解】解：根据题意，如图所示，最短路径有以下三种情况： （1）沿，，，剪开，得图 ； （2）沿，，，，，剪开，得图 ； （3）沿，，，，，剪开，得图 ； 综上所述，最短路径应为（1）所示，所以，即． 故选：B． 6．（24-25八年级下·湖北荆州·期末）如图，一个圆柱形食品盒，它的高等于，底面周长为，在盒外下底面的点处有一只蚂蚁，想沿盒壁爬行吃到正对面中部点处的食物，那么它至少需要爬行_____．（蚂蚁的大小忽略不计） 【答案】26 【分析】本题考查的是平面展开-最短路径问题，解答此题的关键是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决． 要求圆柱体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将正方体展开，作出B关于边的对称点D，然后利用勾股定理求出的长，再算出时间． 【详解】解：如图所示： 作B关于边的对称点D，连接，蚂蚁走的最短路径是， ∵底面周长为， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：26． 7．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）八（3）班小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得下图风筝的高度，他们进行了如下操作： （1）测得的长度为15米；（注：） （2）根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米； （3）牵线放风筝的小明身高米．求风筝的高度．（结果保留一位小数） 【答案】米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键． 利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度． 【详解】解：由题意可知，在中，米，米， 由勾股定理得，米， 由题意可知米， 米， 答：风筝的高度为米． 8．（24-25八年级下·湖北黄冈·期末）某数学兴趣小组在校园内开展综合与实践活动，记录如下： 活动项目 测量风筝放飞的垂直高度 测量示意图 测量数据 记录长度 ①测得水平距离的长为15米． ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米． ③小明牵线放风筝的手到地面的垂直距离为1.8米． 解决问题 任务一 如上图，求风筝离地面的垂直高度． 任务二 如果小明想要风筝沿方向再上升12米，长度不变，则他应该再放出多少米的线？ 【答案】任务一：米，任务二：8米． 【分析】本题考查了勾股定理的应用．熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键． （1）由勾股定理得，，根据，计算求解即可； （2）风筝沿方向再上升12米，则，由勾股定理得，，则他应该再放出米线，计算求解即可． 【详解】解：任务一：由勾股定理得，， ∴（米）， ∴线段的长为米． 任务二：风筝沿方向再上升12米，则， 由勾股定理得，， ∵， ∴他应该再放出8米线． 9．（24-25八年级下·湖北黄石·期末）“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市道路上直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：） 【答案】这辆小汽车超速了． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理可得，求出小汽车的速度为，然后比较即可，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：在中，，， 根据勾股定理可得：， ∴小汽车的速度为； ∵， ∴这辆小汽车超速行驶， 答：这辆小汽车超速了． 10．（24-25八年级下·湖北恩施·期末）行车不超速，安全又幸福．已知某路段限速，小明尝试用自己所学的知识检测经过该路段的汽车是否超速．如图，他所在的观测点到该路段的距离（的长）为40米，测得一辆汽车从处匀速行驶到处用时3秒，．试通过计算判断此车是否超速？（） 【答案】未超速，理由见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理、含30度角直角三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握勾股定理，含30度角直角三角形的性质是解题的关键． 先求出，，则，可求出，继而求出．可得此车的速度为，即可解答． 【详解】解：在中，， ∴是等腰直角三角形， ， 在中，， ， ， ， ． 此车的速度为． ，， 此车未超速． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $