精品解析：2026年辽宁省铁岭市部分学校中考二模九年级数学试卷

数学试卷 （本试卷共23小题 满分120分 考试时长120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. “方斗杯”是古时候品茗的器具之一．如图所示的方斗杯，以箭头所指方向为主视方向，不考虑杯体厚度，则它的俯视图为（ ） A. B. C. D. 2. 2026年1月辽宁省政府工作报告指出，“兴辽英才计划”深入实施，引进高层次人才4456人，新增技能人才19.6万人．数据196000人用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 为促进民营经济发展，辽宁省出台一系列政策措施，共同构建起省级层面“”政策体系，以下四个是辽宁省百强企业的品牌图标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 4. 乒乓球选手赛前需挑选符合标准弹性的比赛用球，将球从高度自由下落，反弹高度在范围内为达标，则下列乒乓球反弹高度中，符合该弹性标准的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图为小帆在试鞋镜前试鞋的画面，为水平地面，四边形为试鞋镜，其中为平面镜，与分别为入射光线和反射光线，为法线（过入射点垂直于平面镜的直线），若，，则入射角的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，三根铜线、、一同穿过纸筒，BE在纸筒右边的部分上安装着一节干电池，先从左端A，B，C三个铜线头中随机选两个进行相连，再从右端D，E，F三个铜线头中随机选两个打一个结，则电路能发生短路（把电源的两端用导线直接相连，中间没有通过任何用电器）的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，以适当长为半径作弧，交于点M，交于点N；②以点C为圆心，以的长为半径作弧，交于点O；③以点O为圆心，以的长为半径作弧，在内部交前面的弧于点P；④过点C作射线交于点D．若，，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 9 9. 我国古代数学著作《九章算术》里有“猎犬逐兔”问题：今有兔先走一百步，犬追之二百五十步，不及三十步而止．问犬不止，复行几何步及之？其大意是：现有一只兔子先走了100步，一只狗随后开始追兔子，追了250步没有追到兔子，在距离兔子30步远的地方停了下来，请问，如果狗不停下来，那么需要再跑多少步可以追到兔子？设狗再跑x步就能追上兔子，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，为的中点，若，连接，则的长为( ) A. B. C. D. 2 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：______． 12. 在平面直角坐标系中，已知点，将点P沿x轴正方向平移a个单位后，再向下平移5个单位，得到点，则的值为______． 13. 若点(x1，y1)、(x2，y2)、(x3，y3)在反比例函数的图象上，且x1＜0＜x2＜x3，则y1、y2、y3的大小关系为_____________． 14. 某学习小组计划测量学校教学楼的高度，如图，教学楼前有一个花坛，小明在花坛前方的点处，用测角仪测得教学楼顶部的仰角为，再到花坛后方的点处，用测角仪测得教学楼顶部的仰角为已知花坛的宽，则教学楼的高度约为______（点，，在同一直线上，测角仪的高度忽略不计，结果精确到，参考数据）． 15. 如图，在中，，过点B作，连接，，交于点E，且恰好是的平分线．若，，则的长为______． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 在中国传统文化中，红色的中国结象征着喜庆和繁荣，常常被赋予吉祥、团圆、美满等美好的祝愿．已知校园手工社团编制两种中国结，其中A种中国结每人每小时能编制1个，B种中国结每人每小时能编制2个，该社团计划在“六一”儿童节期间向福利院捐赠这两种中国结各120个，已知该社团共有18名学生． （1）若两种中国结同时完成，则应该如何安排编制A，B两种中国结的人数？ （2）若想在周六利用半天时间完成任务，学校另安排老师与同学们一起编制，老师的编制速度是学生编制速度的2倍，其中已经安排4位老师与同学们一起编制A种中国结，且刚好完成A种任务，至少还需要安排几位老师与同学们一起编制B种中国结才能按时完成任务？ 18. 综合与实践 【项目背景】辽宁省沈阳市沈北新区某现代农业种植专业合作社采用“北斗＋智慧农业”技术种植玉米，通过北斗导航精量播种、智能水肥一体化等技术实现精准管理．为对比传统种植与智慧农业模式的效果，某生物研究小组对该合作社试验田中甲（传统种植）、乙（智慧农业）两种种植模式下玉米的产量进行调查． 【调查与收集】 甲、乙两种玉米均种植了500亩（每亩约4000株），各随机抽取100株作为样本． 【整理与描述】 研究小组使用该技术通过实时监测玉米产量，误差可控制在以内．数据整理后如下（产量单位：株）： 甲样本（传统种植）的频数分布表： 产量分组（株） 频数 15 40 20 20 5 根据以上信息，解答问题： （1）甲样本中组的频率是______；在乙样本的扇形统计图中，组对应的圆心角度数为______； 【分析与应用】 （2）填表： 样本 平均数 中位数出现的组别 方差 甲 0.405 0.0031 乙 0.4225 ______ 0.0020 （计算平均数时，把各组中每株的产量用这组数据的中间值代替，如（的中间值为 （3）若单株产量不低于的玉米植株即视为优品，估计这1000亩试验田中优品玉米植株的总株数； （4）结合以上统计量，简要说明为什么要推广智慧农业模式． 19. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，将直线绕点C逆时针旋转，得到直线，若在直线上有一点． （1）求的度数； （2）D是线段上一点，连接交于点E，若，求点D的坐标． 20. 辽宁省作为我国东北地区的农业大省，拥有一大批品质优良、特色鲜明的土特产品，在农村直播电商平台上备受粉丝们的青睐！某电商销售抚顺特产单片黑木耳，进价为每千克60元，根据销售经验，每周销售量(千克)与销售单价(元)之间满足一次函数关系(其中(80)，部分数据如下表： 销售单价x(元) 周销售量y(千克) （1）求出与之间的函数关系式： （2）为保证在运输过程中，商品的质量不受影响，该电商在销售过程中，每千克还要支付2元的包装费，当销售单价为多少元时，该电商每周获得利润最大？最大利润是多少元？ 21. 如图，是的直径，C为的中点，E为上一点，的延长线交过点A的切线于点D，的延长线交于点F，连接． （1）求的度数； （2）若，求的值． 22. 如图1，在中，，点F是边上一点，连接，在上取一点E，使得，连接，在上截取，连接． （1）求证：； （2）如图2，沿作对称，得到，与的延长线交于点H，若，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，作，与、的交点分别为M、N，若，． ①求的长； ②求的面积． 23. 我们将任意二次函数的图象关于直线作轴对称翻折，翻折前后的函数图象整体称为“翻折函数”，直线以上部分称为“上翻折函数”，直线以下部分称为“下翻折函数”（“上翻折函数”， “下翻折函数”均包括与直线的交点）．如图1，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点（A在x轴负半轴，B在x轴正半轴），与y轴交于C点，且． （1）求该二次函数表达式； （2）如图2，当时，取其“下翻折函数”， ①求出“下翻折函数”的表达式； ②若点P，Q在“下翻折函数”上，，点Q的横坐标为，且，求的最大值； （3）在图2的基础上，当时，已知，直线与“上翻折函数”有2个不同交点时，请直接写出k的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试卷 （本试卷共23小题 满分120分 考试时长120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. “方斗杯”是古时候品茗的器具之一．如图所示的方斗杯，以箭头所指方向为主视方向，不考虑杯体厚度，则它的俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：它的俯视图为： ． 2. 2026年1月辽宁省政府工作报告指出，“兴辽英才计划”深入实施，引进高层次人才4456人，新增技能人才19.6万人．数据196000人用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，满足，为整数，故确定a、n即可求解． 【详解】解：∵要将196000写成且满足，可得， ∵196000的整数位数为6，， ∴196000用科学记数法表示为． 3. 为促进民营经济发展，辽宁省出台一系列政策措施，共同构建起省级层面“”政策体系，以下四个是辽宁省百强企业的品牌图标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：根据轴对称图形的定义：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能和原来的图形完全重合，这个图形就叫做中心对称图形，逐一判断各选项： 选项不是轴对称图形，是中心对称图形，选项不符合题意； 选项不是中心对称图形，也不是轴对称图形，选项不符合题意； 选项是轴对称图形，也是中心对称图形，选项符合题意； 选项不是轴对称图形，也不是中心对称图形，选项不符合题意． 4. 乒乓球选手赛前需挑选符合标准弹性的比赛用球，将球从高度自由下落，反弹高度在范围内为达标，则下列乒乓球反弹高度中，符合该弹性标准的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得到反弹高度的范围为，再逐项判断即可． 【详解】解：反弹高度在范围内，即反弹高度为，则符合弹性标准，故选项B符合题意． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据幂的乘方、同底数幂的乘法、单项式除法、合并同类项的运算法则逐一判断，即可得答案． 【详解】解：A选项：，计算正确，故A选项符合题意； B选项：，计算错误，故B选项不符合题意； C选项：，计算错误，故C选项不符合题意； D选项：与不是同类项，不能合并，计算错误，故D选项不符合题意． 6. 如图为小帆在试鞋镜前试鞋的画面，为水平地面，四边形为试鞋镜，其中为平面镜，与分别为入射光线和反射光线，为法线（过入射点垂直于平面镜的直线），若，，则入射角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据平行线的性质得到，再根据法线垂直于平面镜得到，再进行角度的运算可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵（法线垂直于平面镜）， ∴， ∴． 7. 如图，三根铜线、、一同穿过纸筒，BE在纸筒右边的部分上安装着一节干电池，先从左端A，B，C三个铜线头中随机选两个进行相连，再从右端D，E，F三个铜线头中随机选两个打一个结，则电路能发生短路（把电源的两端用导线直接相连，中间没有通过任何用电器）的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】列表得到所有等可能的结果数，从中找出符合条件的结果，再利用概率公式求解即可． 【详解】根据题意，列表如下： √ × × × × × × × √ 由上表可知，所有等可能的情况有9种，其中电路能发生短路的情况有2种， ∴P（电路能发生短路）． 8. 如图，在中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，以适当长为半径作弧，交于点M，交于点N；②以点C为圆心，以的长为半径作弧，交于点O；③以点O为圆心，以的长为半径作弧，在内部交前面的弧于点P；④过点C作射线交于点D．若，，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】先由尺规作图的痕迹知，然后证明得到，进而求得即可解答． 【详解】解：由尺规作图的痕迹知，． ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 9. 我国古代数学著作《九章算术》里有“猎犬逐兔”问题：今有兔先走一百步，犬追之二百五十步，不及三十步而止．问犬不止，复行几何步及之？其大意是：现有一只兔子先走了100步，一只狗随后开始追兔子，追了250步没有追到兔子，在距离兔子30步远的地方停了下来，请问，如果狗不停下来，那么需要再跑多少步可以追到兔子？设狗再跑x步就能追上兔子，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设狗再跑x步追上兔子，追及时相同时间内兔子跑了步，根据相同时间内路程比等于速度比，狗和兔子速度比恒定列方程即可． 【详解】解：∵相同时间内路程比等于速度比，狗和兔子速度比恒定， ∴狗跑250步时，兔子跑了步，因此速度比为， 设狗再跑x步追上兔子，追及时相同时间内兔子跑了步，因此速度比也可表示为， ∴可列方程． 10. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，为的中点，若，连接，则的长为( ) A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】过点作交于点，根据菱形的性质，勾股定理求得的长，进而根据中位线的性质求得，再求得的长，根据勾股定理，即可求解． 【详解】如图，过点作交于点， 四边形是菱形， ，，， ， ，， ， ，， ， ∴， 是的中点，即， ∴， 是的中位线， ∴，， ∴， ∴． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】先提公因数，再平方差公式分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查因式分解，熟记平方差公式，掌握因式分解的方法步骤是解答的关键． 12. 在平面直角坐标系中，已知点，将点P沿x轴正方向平移a个单位后，再向下平移5个单位，得到点，则的值为______． 【答案】0 【解析】 【分析】平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，据此求解即可． 【详解】由题意得， ∴ ∴． 13. 若点(x1，y1)、(x2，y2)、(x3，y3)在反比例函数的图象上，且x1＜0＜x2＜x3，则y1、y2、y3的大小关系为_____________． 【答案】y2＜y3＜y1 【解析】 【分析】对于反比例函数：当k>0时，图象在第一、三象限，在每一象限，y随x的增大而减小；当k<0时，图象在第二、四象限，在每一象限，y随x的增大而增大． 【详解】∵k=-2<0， ∴图象在第二、四象限，在每一象限，y随x的增大而增大 ∵x1＜0＜x2＜x3， ∴y2＜y3＜y1， 故答案为：y2＜y3＜y1． 【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握反比例函数的性质，即可完成． 14. 某学习小组计划测量学校教学楼的高度，如图，教学楼前有一个花坛，小明在花坛前方的点处，用测角仪测得教学楼顶部的仰角为，再到花坛后方的点处，用测角仪测得教学楼顶部的仰角为已知花坛的宽，则教学楼的高度约为______（点，，在同一直线上，测角仪的高度忽略不计，结果精确到，参考数据）． 【答案】 【解析】 【分析】在中，得出，在中，得出，根据建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴教学楼的高度约为． 15. 如图，在中，，过点B作，连接，，交于点E，且恰好是的平分线．若，，则的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】先利用勾股定理求得，如图1，分别过点E，A作，，垂足分别为F，G，利用角平分线的性质定理可得，，证明求得，，设，则，利用勾股定理和等腰三角形的性质求得，，，证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：在中，∵，， ∴， 如图1，分别过点E，A作，，垂足分别为F，G， ∵平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得，解得， ∴， 在中，∵，， ∴， ∴， 在中，∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【一题多解法】 解法二思路：如图2，过点A分别作，，的垂线，交的延长线于点F，交于点P，交于点G，先证，得，再证，得，通过线段数量关系得的长，即得与的长，结合勾股定理求出的长，证明，即可求解． 解法三思路：如图3，过点A作的垂线，交于点G，延长交于点H，易得为的中位线，即得、、的长，由等角转换得，即得的长，从而得的长，通过可求的长，结合勾股定理即可求解． 解法四思路：如图4，过点A作于点G，过点C作的垂线，交的延长线于点H，由等角转换得，即得的长，通过可求的长，即可得的长，通过可得的长，结合勾股定理即可求解． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先进行二次根式和绝对值的化简、零指数幂的运算、代入特殊角的三角函数值，进而计算可得答案； （2）利用分式的混合运算法则求解即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式． 17. 在中国传统文化中，红色的中国结象征着喜庆和繁荣，常常被赋予吉祥、团圆、美满等美好的祝愿．已知校园手工社团编制两种中国结，其中A种中国结每人每小时能编制1个，B种中国结每人每小时能编制2个，该社团计划在“六一”儿童节期间向福利院捐赠这两种中国结各120个，已知该社团共有18名学生． （1）若两种中国结同时完成，则应该如何安排编制A，B两种中国结的人数？ （2）若想在周六利用半天时间完成任务，学校另安排老师与同学们一起编制，老师的编制速度是学生编制速度的2倍，其中已经安排4位老师与同学们一起编制A种中国结，且刚好完成A种任务，至少还需要安排几位老师与同学们一起编制B种中国结才能按时完成任务？ 【答案】（1）应安排12人编制A种中国结，6人编制B种中国结 （2）至少还需要安排5位老师与同学们一起编制B种中国结才能按时完成任务 【解析】 【分析】（1）设安排编制A种中国结的有x人，则编制B种中国结的有人，根据“两种中国结同时完成”列分式方程求解即可； （2）设安排有m位同学编制A种中国结，n位老师与同学们一起编制B种中国结，先列方程求得完成A种中国结任务的学生人数m，再根据题意，得到n位老师与2位同学一起编制B种中国结，5小时至少完成120个列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设安排编制A种中国结的有x人，则编制B种中国结的有人， 根据题意，可列，解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ∴编制B种中国结的有（人）， 答：应安排12人编制A种中国结，6人编制B种中国结； 【小问2详解】 解：设安排有m位同学编制A种中国结，n位老师与同学们一起编制B种中国结， 老师的编制速度为A种每人每小时2个，B种每人每小时4个， A种任务：，整理得，解得， 即16位同学参与A种任务，剩余位同学参与B种任务； B种任务：n位老师与2位同学一起编制B种中国结，5小时至少完成120个， 则，整理得，解得， 答：至少还需要安排5位老师与同学们一起编制B种中国结才能按时完成任务． 18. 综合与实践 【项目背景】辽宁省沈阳市沈北新区某现代农业种植专业合作社采用“北斗＋智慧农业”技术种植玉米，通过北斗导航精量播种、智能水肥一体化等技术实现精准管理．为对比传统种植与智慧农业模式的效果，某生物研究小组对该合作社试验田中甲（传统种植）、乙（智慧农业）两种种植模式下玉米的产量进行调查． 【调查与收集】 甲、乙两种玉米均种植了500亩（每亩约4000株），各随机抽取100株作为样本． 【整理与描述】 研究小组使用该技术通过实时监测玉米产量，误差可控制在以内．数据整理后如下（产量单位：株）： 甲样本（传统种植）的频数分布表： 产量分组（株） 频数 15 40 20 20 5 根据以上信息，解答问题： （1）甲样本中组的频率是______；在乙样本的扇形统计图中，组对应的圆心角度数为______； 【分析与应用】 （2）填表： 样本 平均数 中位数出现的组别 方差 甲 0.405 0.0031 乙 0.4225 ______ 0.0020 （计算平均数时，把各组中每株的产量用这组数据的中间值代替，如（的中间值为 （3）若单株产量不低于的玉米植株即视为优品，估计这1000亩试验田中优品玉米植株的总株数； （4）结合以上统计量，简要说明为什么要推广智慧农业模式． 【答案】（1）0.2， （2） （3）这1000亩试验田中优品玉米植株的总株数约为1100000株 （4）推广智慧农业模式 【解析】 【分析】（1）用频率公式可得甲样本中组的频率；求得乙样本中组所占百分比，进而乘以即可求解； （2）根据中位数的求解方法，结合已知数据求解即可； （3）利用样本估计总体的求解方法求解即可； （4）根据表格数据分析解答即可． 【小问1详解】 解：甲样本中组的频率； 乙样本中组对应的圆心角度数为； 【小问2详解】 解：； ∵乙样本共100个数据，中位数为按从小到大排列数据后第50、51个数据的平均值，按从小到大排列数据后前两组频数和为，前三组频数和为， ∴第50、51个数据均落在组，故乙样本中位数出现的组别为； 【小问3详解】 解：（株）． 答：这1000亩试验田中优品玉米植株的总株数约为1100000株； 【小问4详解】 解：乙种玉米的平均数和中位数都高于甲种玉米，说明乙种玉米产量高于甲种玉米产量；乙种玉米产量的方差小于甲种玉米的方差，说明乙种玉米长势更整齐，所以要推广智慧农业模式． 19. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，将直线绕点C逆时针旋转，得到直线，若在直线上有一点． （1）求的度数； （2）D是线段上一点，连接交于点E，若，求点D的坐标． 【答案】（1） （2）点D的坐标为 【解析】 【分析】（1）解法一：如图1，过点A作轴于点M，先求得，，则，分别求得是等腰直角三角形，是等腰直角三角形得到，进而可得； 解法二：如图1，连接，利用两点坐标距离公式得到，利用勾股定理的逆定理可得； （2）解法一：先求得直线表达式为．如图2，过点E作轴于点F，则，求得，利用锐角三角函数得到，结合已知得到．设，则，进而求得即可解答； 解法二：设C到边上的高为h，由已知得，则，易得直线表达式为，设，则，将点E的坐标代入中求得即可解答； 解法三：如图4，过点D作轴，交于点H，易得直线的表达式为，设，则，证明，由可得，进而求得即可解答． 【小问1详解】 解法一：如图1，过点A作轴于点M， ∵与x轴交于点B，与y轴交于点C， ∴令，得，令，得， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵点A的坐标， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． [一题多解法] 解法二：如图1，连接，易求，，， ∴，，， ∴， ∴为直角三角形，且； 【小问2详解】 解法一：由题意，直线经过点A、点C， 设直线表达式为， 将代入，得，解得， ∴直线表达式为． 如图2，过点E作轴于点F，则，由（1）知是等腰直角三角形， ∴，则， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，∴． 设，则， 解得（负值已舍去），代入得， ∴点D的坐标为． [一题多解法] 解法二：设C到边上的高为h， ∵， ∴， ∴， ∴， 易得直线表达式为， 设，则， 将点E的坐标代入中，得 ，解得， ∴点D的坐标为． 解法三：如图4，过点D作轴，交于点H， 易得直线的表达式为， 设，则， ∴ ， ∵轴， ∴， ∴， ∴，即，解得， ∴点D的坐标为． 20. 辽宁省作为我国东北地区的农业大省，拥有一大批品质优良、特色鲜明的土特产品，在农村直播电商平台上备受粉丝们的青睐！某电商销售抚顺特产单片黑木耳，进价为每千克60元，根据销售经验，每周销售量(千克)与销售单价(元)之间满足一次函数关系(其中(80)，部分数据如下表： 销售单价x(元) 周销售量y(千克) （1）求出与之间的函数关系式： （2）为保证在运输过程中，商品的质量不受影响，该电商在销售过程中，每千克还要支付2元的包装费，当销售单价为多少元时，该电商每周获得利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）当销售单价为元时，每周获利最大，最大利润为元 【解析】 【分析】（1）设一次函数为，选取表中两组数据，和，代入，待定系数法求解析式，即可求解； （2）设总利润为元，根据题意列出列出二次函数关系式，根据二次函数的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：设一次函数为，选取表中两组数据，和，代入， 得 解得 与之间的函数关系式为≤80)； 【小问2详解】 设总利润为元， ， 整理，得， ∵，， 当时，取得最大值，最大值为， 当销售单价为元时，每周获利最大，最大利润为元． 21. 如图，是的直径，C为的中点，E为上一点，的延长线交过点A的切线于点D，的延长线交于点F，连接． （1）求的度数； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）连接．先根据圆周角定理，再根据等弧对等弦得到，进而可得，然后利用平角定义可得答案； （2）如图，延长交的延长线于点G，根据切线的性质可得，，进而可求得，利用等腰三角形的性质得到．证明，利用相似三角形的对应边成比例求解即可． 【小问1详解】 解：如图，连接． ∵为直径， ∴， ∵C为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，延长交的延长线于点G， 由（1）知，． ∵为的切线， ∴， ∴，则， ∴， ∴． 由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 22. 如图1，在中，，点F是边上一点，连接，在上取一点E，使得，连接，在上截取，连接． （1）求证：； （2）如图2，沿作对称，得到，与的延长线交于点H，若，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，作，与、的交点分别为M、N，若，． ①求的长； ②求的面积． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）①；② 【解析】 【分析】（1）先利用三角形的外角性质得到，再利用证明结论即可； （2）先证明，再证明，利用相似三角形的性质得到，进而可得结论； （3）证明得到，则，再证明得到，则，由折叠性质，得，进而可求解； ②如图，过点C作交于点K，先利用平行线分线段成比例得到，则，，证明求得，，进而求得，，，设，，利用勾股定理列方程求得，则，然后利用三角形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 证明：∵，，， ∴， 在和中， ∴； 【小问2详解】 证明：由（1）得， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由折叠性质可知，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； 【小问3详解】 解：①由（2）得， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，由折叠性质，得， ∵， ∴； ②如图，过点C作交于点K， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 由（2）可知，， ∴， ∴， ∴，， 由（3）①可知，， ∴，， ∴， 设，， 在中，，则， 在中，，则， ∴． 解得， ∴， ∴． 23. 我们将任意二次函数的图象关于直线作轴对称翻折，翻折前后的函数图象整体称为“翻折函数”，直线以上部分称为“上翻折函数”，直线以下部分称为“下翻折函数”（“上翻折函数”， “下翻折函数”均包括与直线的交点）．如图1，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点（A在x轴负半轴，B在x轴正半轴），与y轴交于C点，且． （1）求该二次函数表达式； （2）如图2，当时，取其“下翻折函数”， ①求出“下翻折函数”的表达式； ②若点P，Q在“下翻折函数”上，，点Q的横坐标为，且，求的最大值； （3）在图2的基础上，当时，已知，直线与“上翻折函数”有2个不同交点时，请直接写出k的取值范围． 【答案】（1） （2）①；② （3）或 【解析】 【分析】（1）先求得A、B、C的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）①根据题意和翻折性质求解即可； ②先求得，再求得直线的表达式，过点P作x轴的平行线，交于点N，设点P为，，则，可得，然后利用二次函数的性质求解即可； （3）先求得“上翻折函数”的表达式为，可画出草图，分别求得临界点时的 k值，根据图形可得答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴，，， ∴点，点，， 将点A、B、C坐标代入中， 得，解得， ∴二次函数表达式为； 【小问2详解】 解：①当，“下翻折函数”分为3段， 第1段，即，二次函数表达式为； 第2段，即，二次函数的表达式为； 第3段，即，二次函数的表达式为． 根据x的取值，得到不同范围下，“下翻折函数”的表达式 综上所述，“下翻折函数”的表达式为； ②∵，且即， ∴将代入中，得， ∴， 设直线的表达式，则，解得， ∴直线的表达式， 如图2，过点P作x轴的平行线，交于点N，设点P为，， 则， 又∵点N在直线上， ∴将代入， 可得， ∵，， ∴， ∵， ∴当时，； 【小问3详解】 解：或． 如图2，画出草图，当时，“上翻折函数”分为3段， 第1段，即，二次函数表达式为； 第2段，即，点，点， 设二次函数的表达式为，得，解得， ∴二次函数的表达式为； 第3段，即，二次函数的表达式为； ∴“上翻折函数”的表达式为， ①当与“第2段”相切时有两个交点，联立， 整理，得， 则，解得，此时直线与段也有一个交点； ②当与点C重合时，仅有一个交点，将点代入中，解得； ③当经过点时，解得，此时恰好也过点，与图象有三个交点． 综上所述，或． 第1页/共1页 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