精品解析：2026年辽宁鞍山市西丰县九年级下学期初中学业水平模拟数学试卷（二）

2026年西丰县初中学业水平考试模拟（二） 数学试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：120分 第一部分 选择题 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的选项填入下表中相应题号下的空格内） 1. 如图，这是某机器零件的设计图纸.下列长度（L）的零件合格的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正负数的意义，先算出零件合格的范围为，再判断每个选项的数值在不在范围内，如果在吗，那就符合题意，否则不符合题意，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∴零件合格的范围为 ∵， ∴A选项不符合题意； ∵， ∴B选项不符合题意； ∵， ∴C选项符合题意； ∵， ∴D选项不符合题意； 故选：C 2. 如图，将矩形绕着它的一边所在的直线l旋转一周，得到的立体图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆柱的概念和面动成体，属于应知应会题型，熟练掌握基础知识是解题关键． 根据面动成体：一个长方形绕着它的一条边所在的直线旋转一周后所得到的立体图形是圆柱，据此判断即可． 【详解】解：将矩形绕着它的一边所在的直线l旋转一周，得到的立体图形是 ． 故选：C 3. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（ ） A. 且 B. C. 且 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据是关于的一元二次方程，可知，根据一元二次方程有实数根，可得不等式，解不等式求出的取值范围即可． 【详解】解：是关于的一元二次方程， ， 又有实数根， ， 解得：， 的取值范围为且． 4. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】抛物线顶点式的顶点坐标为，直接根据解析式即可求出顶点坐标． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是． 5. 如图，两个平面镜平行放置，光线经过平面镜反射时，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，解题的关键是由平行线的性质推出．由平行线的性质推出，得到，由平角定义即可求出的度数． 【详解】解：如图： 两平面镜平行， ， ， ． 故选：A． 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A．与不是同类项，不能合并，故不正确； B．，正确； C．，故不正确； D．，故不正确． 7. 非物质文化遗产是我国传统文化的优秀代表．西丰县非物质文化遗产有满族“剪纸、刺绣、民歌、舞蹈”等．小亮从这四种中随机选择2种，用于宣传西丰的非物质文化遗产，恰好选中“剪纸”和“舞蹈”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解． 【详解】解：根据题意，剪纸、刺绣、民歌、舞蹈四种非物质文化遗产分别记为，，，， 画出树状图如下： 一共有12种等可能的情况，恰好选中“剪纸”和“舞蹈”的情况有2种， （恰好选中“剪纸”和“舞蹈”）． 8. 某农业合作社在春耕期间采购了，两种型号无人驾驶农耕机器，已知每台型机器的进价比每台型机器进价的2倍少万元；采购相同数量的，两种型号机器．分别花费了万元和万元．若设每台型机器的进价为万元，根据题食可列出关于的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用．熟练掌握分式方程的应用是解题的关键． 设每台型机器的进价为万元，则每台型机器的进价为万元，根据采购数量相同可列方程． 【详解】解：设每台型机器的进价为万元，则每台型机器的进价为万元， 依题意得，， 故选：C． 9. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线，相交于点，其中，的坐标分别为，．反比例函数的图像经过点，将矩形向左平移，当点落在这个反比例函数的图像上时，平移的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将点坐标代入反比例函数解析式可求出的值，确定反比例函数表达式．因为矩形对角线互相平分，点是中点，所以利用中点坐标公式可求出平移前点的坐标．因为矩形向左平移时点的纵坐标不变，将纵坐标代入反比例函数解析式求出平移后点的横坐标．根据平移距离等于平移前点的横坐标减去平移后点的横坐标，计算即可． 【详解】反比例函数过点，代入得， ∴反比例函数为． ∵矩形对角线互相平分， ∴E是的中点，，的坐标分别为，． ∴点E的横坐标为：，纵坐标为：． 矩形向左平移时，点的纵坐标不变，仍为． 将代入反比例函数， ∴平移后的横坐标． 平移距离． 10. 如图，在中，，，平分，连接，满足，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由相似三角形的判定得到，进而得到，过点分别作于点于点，进而得到，进而求出，最后在中，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：平分， ， ， ， ， ， ， 过点分别作于点于点，如图所示： 平分， ， ， 四边形为正方形， ， ，， ， ，即， ， 在中，，，， 由勾股定理得． 第二部分 非选择题 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若是方程的一个根，则的值为__________． 【答案】13 【解析】 【分析】根据方程的根的定义，将代入原方程可得的值，再将所求代数式变形后，整体代入计算即可得到结果． 【详解】解：是方程的一个根， ， ∴， ∴． 12. 一个扇形的弧长是，其圆心角是，此扇形的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据弧长公式求出扇形的半径，再根据扇形的面积公式求解即可． 【详解】解：设扇形的半径为r，则， 解得：， ∴扇形的面积． 13. 如图，建筑物上有一杆．从与相距10的处观测旗杆顶部的仰角为，观测旗杆底部的仰角为，则旗杆的高度约为_____（结果取整数，参考数据：，，）． 【答案】3 【解析】 【分析】根据正切的定义分别求出AC、BC，结合图形计算即可． 【详解】解：在中，， 则， 在中，， 则， ∴()， 故答案为3． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用——仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 14. 如图，四边形内接于，是的直径，，连接，与对角线交于点M，若的半径是6，，则的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理的推理，弧与弦之间的关系，勾股定理和三角形中位线定理，根据，得到，则由，证明为的中位线，得到，则可求出，利用勾股定理求出，即可利用勾股定理求出． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，点M为的中点， ∵点O为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∵的半径是6， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， 故答案为：． 15. 如图，在中，，M是边上一点，且，N是边上的一动点，将沿折叠得到，当点落在的一条边上时，的长为________． 【答案】或 【解析】 【分析】该题主要考查了翻折变换的性质、勾股定理，解一元二次方程及解直角三角形，解题的关键是灵活运用勾股定理等知识进行解答．分两种情况：点在上，或者点在上，进行分类讨论． 【详解】在中，，， 过点作，垂足为D， 则， ，， ， ． 分两种情况： ①如图①，当点落在边上时，此时． 在中，． 由折叠可知， ， ； ②如图②，当点落在边上时，过点作于点P，交于点Q， ， ． 设，则， 则． 由折叠可知． 在中，根据勾股定理，得， 解得（舍去）， ． 综上所述：的长为或， 故答案为：或． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算和化简 （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 如图，中，在的延长线上，连接为的中点． （1）尺规作图：在内部求作一点，使点到点的距离都相等（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的基础上，若直线与线段交于点，连接，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查尺规作线段垂直平分线，及垂直平分线的性质，中位线的判定和性质，掌握垂直平分线的性质，中位线的判定和性质是解题的关键． （1）根据垂直平分线的性质，分别作线段的垂直平分线即可； （2）根据题意得到是的中位线，结合中位线的性质即可求解． 【小问1详解】 解：如答图所示，运用尺规作线段的垂直平分线，交于点， ∴点即为所求作． 【小问2详解】 证明：由（1）中所作的图形可知：， ， 为线段的垂直平分线， ， 为的中点， ， 是的中位线， ，即． 18. 为增强学生的交通安全意识，某市开展“交通安全宣讲员”遴选活动．某校有男、女学生各10名报名参加校级初选，报名的学生需进行“笔试”“宣讲”“答辩”三项测试（每项测试满分均为100分），将笔试、宣讲、答辩三项的测试成绩按的比例计算出每人的总评成绩．这20名学生的总评成绩频数直方图如下图（每组含最小值，不含最大值），小亮和小慧的三项测试成绩和总评成绩（取整数）如下表． 姓名 性别 测试成绩/分 总评成绩/分 笔试 宣讲 答辩 小亮 男 75 88 80 小慧 女 85 92 70 84 （1）请计算出小亮的总评成绩； （2）学校决定根据总评成绩在男女生中各择优选拔5名学生参加市级遴选，试分析小亮、小慧能否入选，并说明理由． 【答案】（1）83分 （2）小亮一定能入选，小慧不一定能入选，见解析 【解析】 【分析】本题主要考查频数分布直方图，解题的关键是掌握加权平均数的定义． （1）根据加权平均数的定义求解即可； （2）根据频数直方图得出答案即可． 【小问1详解】 解：小亮的总评成绩 （分）． 答：小亮的总评成绩为83分． 【小问2详解】 小亮一定能入选，小慧不一定能入选． 理由如下：由男生总评成绩频数直方图可得，总评成绩不低于80分的男生有4名，小亮的总评成绩为83分，学校要选拔5名男生，小亮的成绩在前4名，因此小亮一定能入选；由女生总评成绩频数直方图可得，总评成绩不低于80分的女生有6名，小慧的总评成绩为84分，学校要选拔5名女生，小慧的成绩不一定在前5名，因此小慧不一定能入选． 19. 为了解某一汽车停车棚与停放汽车车型的匹配度．为此某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下： 活动主题 了解某一汽车停车棚与停放汽车车型的匹配度 活动准备 1．调查停车棚及它的侧面示意图； 2．准备皮尺等测量工具． 采集数据 图1是汽车停车棚的侧面结构的平面示意图，信息如下： 1．棚顶的横截面是抛物线的一部分； 2．车棚与支柱的交点到地面的距离的长）为； 3．棚顶的最高点（抛物线的顶点）的竖直高度（的长）是，距离支柱的水平距离（的长）是4m，棚顶右端点B距离支柱OQ的水平距离与车位的长都为，即． 确定思路 小组成员经过讨论，确定以点为坐标原点，底面所在的直线为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．设抛物线的表达式为，分析数据得到顶点与点的坐标，进而求出抛物线的表达式，再利用表达式解决问题． 根据以上信息，解决下列问题： （1）求抛物线的表达式； （2）若一辆货车截面可看作长为，高为的矩形，为了安全，矩形上侧顶点距离棚顶的铅垂高度应不小于．试判断该货车能否完全停到车棚内，并说明理由． 【答案】（1） （2）能，理由见解析 【解析】 【分析】（1）先根据题意确定抛物线的顶点坐标与抛物线上一点的坐标，再利用顶点式代入求解，即可得到抛物线表达式； （2）货车截面为长5m的矩形，需确定矩形最右侧顶点的横坐标，代入抛物线解析式求出对应高度，对比货车高度1.95m加安全余量0.2m，判断是否满足安全要求． 【小问1详解】 解：由题意可知：顶点的坐标为，点的坐标为， 设抛物线表达式为， 将代入解析式： ， ， ， ， 抛物线的表达式为． 【小问2详解】 解：已知，货车长5m， 则矩形最右侧顶点的横坐标为：， 将代入抛物线解析式： ， 货车安全允许的最大高度：， ， 该货车能完全停到车棚内． 20. 将一个放置在平面直角坐标系中，其中，点的坐标为，点在边上（不与点，重合），作直线交轴于点，点关于直线的对应点为，连接，． （1）如图1，当四边形是菱形时，求直线的解析式； （2）如图2，当点落在轴上时，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，可得，进而得到∴，求出点坐标，则待定系数法求解析式即可； （2）先求出直线的解析式，设，根据列方程求出，则面积可求. 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴，， ∴，即：，， 解得：，， ∴， 设直线的解析式为， ∴解得：， 即：； 【小问2详解】 解：设， ∵， ∴解得：， ∴， ∵点在上， ∴设， ∵点关于直线的对应点为，点落在轴上， ∴，， ∴， 即：， ∵， ∴即：， 解得：， 即：， ∴. 21. 如图，是的直径，点D在的延长线上，C、E是⊙O上的两点，，，延长交的延长线于点F． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径； 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，先得出，可得，利用，得出，结合，可得，即可证明； （2）证明，得出，即可求出，即可求出，即可求解． 【小问1详解】 证明：如图，连接，    ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， ∵是的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：在中，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的半径． 22. 在正方形中，是对角线上一点，是的中点，以为一边作正方形，点恰好在边所在的直线上，连接． （1）如图1，当点在边上时，连接，． ①求证：， ②试猜想与的数量关系和位置关系，并说明理由； （2）当是的三等分点，时，请直接写出的长． 【答案】（1）①证明见解析；②与的数量关系为，位置关系为，理由见解析 （2）或 【解析】 【分析】（1）①由四边形、四边形是正方形，可得，，，进而可证明，利用全等三角形的性质即可得证；②延长至点，使，连接，分别与，交于点，，由①可知，，，可证明，得出，，在与中，利用三角形内角和可得，即，然后由为中点，是的中点，得出是的中位线，从而得出，； （2）由（1）得：，，，线段的三等分点有两个，所以要进行分类讨论：当时，延长至点，使，连接，，在中，求出，然后由即可求出结果；当时，如图所示，延长至点，使，连接，，在中，，然后由即可求出结果，最后综合两种情况即可． 【小问1详解】 解：①证明：∵四边形、四边形是正方形， ∴，，， ∴，即， 在与中 ∴， ∴； ②与的数量关系为，位置关系为，理由如下： 如图所示，延长至点，使，连接，分别与，交于点，， 由①可知，，， 又∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∵， ∴在与中，，即， ∵，即为中点， 又∵是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴，， ∴与的数量关系为，位置关系为． 【小问2详解】 解：∵是的三等分点，而线段的三等分点有两个， ∴当时，如图所示，延长至点，使，连接，， 由（1）得：，，， ∴， ∴，， ∵，四边形是正方形， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， ∴当时，如图所示，延长至点，使，连接，， 同理由（1）得：，，， ∴， ∴，， ∵，四边形是正方形， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， 综上：或． 23. 如图1，抛物线与轴交于点，与轴交于点，顶点的坐标为，是抛物线上一点，是抛物线对称轴上一动点． （1）求抛物线的表达式及的值； （2）若点的坐标为，请判断四边形的形状，并说明理由； （3）①如图2，当时，直接写出点的坐标：__________； ②如图3，当，，分别是，，的中点时，连接，，直接写出的最小值为__________． 【答案】（1）抛物线的表达式为；； （2）四边形是平行四边形，证明见解析； （3）①点P的坐标为；②的最小值为． 【解析】 【分析】（1）已知抛物线顶点坐标，设顶点式，代入点求解a，再展开为一般式；再将点代入表达式求n． （2）先求点B、C的坐标，计算四边形各边长度，通过对边相等判定平行四边形． （3）①设点，利用距离公式表示和，根据列方程求解m． ②利用中位线定理将转化为，作点C关于对称轴的对称点，当B、P、共线时，最小． 【小问1详解】 设抛物线的顶点式为（因顶点为）． 将点代入得：； 化简得，解得． 因此，抛物线的表达式为，展开为． 点在抛物线上， 将代入得：． 【小问2详解】 由（1）知抛物线解析式为． 当时，，故； 当时，，故． ， ， ， ． 因为且， 所以四边形是平行四边形． 【小问3详解】 ①设， 由得，即：； 解得． 因此，点P的坐标为． ②因为E，F，G分别是，，的中点， 所以，， 所以． 作点关于对称轴的对称点， 连接交对称轴于点P，如图， 此时最小，最小值为的长． 所以； 因此，的最小值为． 【点睛】本题考查了二次函数顶点式与一般式的转化、待定系数法求函数表达式、坐标与线段长度计算（两点间距离公式）、平行四边形及菱形的判定、中位线定理、轴对称求最短路径问题等知识点．解题关键在于利用函数性质求坐标、通过距离公式和方程求解动点坐标、借助中位线和轴对称转化最短路径问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年西丰县初中学业水平考试模拟（二） 数学试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：120分 第一部分 选择题 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的选项填入下表中相应题号下的空格内） 1. 如图，这是某机器零件的设计图纸.下列长度（L）的零件合格的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，将矩形绕着它的一边所在的直线l旋转一周，得到的立体图形是（ ） A. B. C. D. 3. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（ ） A. 且 B. C. 且 D. 4. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，两个平面镜平行放置，光线经过平面镜反射时，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 非物质文化遗产是我国传统文化的优秀代表．西丰县非物质文化遗产有满族“剪纸、刺绣、民歌、舞蹈”等．小亮从这四种中随机选择2种，用于宣传西丰的非物质文化遗产，恰好选中“剪纸”和“舞蹈”的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 某农业合作社在春耕期间采购了，两种型号无人驾驶农耕机器，已知每台型机器的进价比每台型机器进价的2倍少万元；采购相同数量的，两种型号机器．分别花费了万元和万元．若设每台型机器的进价为万元，根据题食可列出关于的方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线，相交于点，其中，的坐标分别为，．反比例函数的图像经过点，将矩形向左平移，当点落在这个反比例函数的图像上时，平移的距离为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，平分，连接，满足，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若是方程的一个根，则的值为__________． 12. 一个扇形的弧长是，其圆心角是，此扇形的面积为__________． 13. 如图，建筑物上有一杆．从与相距10的处观测旗杆顶部的仰角为，观测旗杆底部的仰角为，则旗杆的高度约为_____（结果取整数，参考数据：，，）． 14. 如图，四边形内接于，是的直径，，连接，与对角线交于点M，若的半径是6，，则的长是______． 15. 如图，在中，，M是边上一点，且，N是边上的一动点，将沿折叠得到，当点落在的一条边上时，的长为________． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算和化简 （1）计算：； （2）化简：． 17. 如图，中，在的延长线上，连接为的中点． （1）尺规作图：在内部求作一点，使点到点的距离都相等（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的基础上，若直线与线段交于点，连接，求证：． 18. 为增强学生的交通安全意识，某市开展“交通安全宣讲员”遴选活动．某校有男、女学生各10名报名参加校级初选，报名的学生需进行“笔试”“宣讲”“答辩”三项测试（每项测试满分均为100分），将笔试、宣讲、答辩三项的测试成绩按的比例计算出每人的总评成绩．这20名学生的总评成绩频数直方图如下图（每组含最小值，不含最大值），小亮和小慧的三项测试成绩和总评成绩（取整数）如下表． 姓名 性别 测试成绩/分 总评成绩/分 笔试 宣讲 答辩 小亮 男 75 88 80 小慧 女 85 92 70 84 （1）请计算出小亮的总评成绩； （2）学校决定根据总评成绩在男女生中各择优选拔5名学生参加市级遴选，试分析小亮、小慧能否入选，并说明理由． 19. 为了解某一汽车停车棚与停放汽车车型的匹配度．为此某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下： 活动主题 了解某一汽车停车棚与停放汽车车型的匹配度 活动准备 1．调查停车棚及它的侧面示意图； 2．准备皮尺等测量工具． 采集数据 图1是汽车停车棚的侧面结构的平面示意图，信息如下： 1．棚顶的横截面是抛物线的一部分； 2．车棚与支柱的交点到地面的距离的长）为； 3．棚顶的最高点（抛物线的顶点）的竖直高度（的长）是，距离支柱的水平距离（的长）是4m，棚顶右端点B距离支柱OQ的水平距离与车位的长都为，即． 确定思路 小组成员经过讨论，确定以点为坐标原点，底面所在的直线为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．设抛物线的表达式为，分析数据得到顶点与点的坐标，进而求出抛物线的表达式，再利用表达式解决问题． 根据以上信息，解决下列问题： （1）求抛物线的表达式； （2）若一辆货车截面可看作长为，高为的矩形，为了安全，矩形上侧顶点距离棚顶的铅垂高度应不小于．试判断该货车能否完全停到车棚内，并说明理由． 20. 将一个放置在平面直角坐标系中，其中，点的坐标为，点在边上（不与点，重合），作直线交轴于点，点关于直线的对应点为，连接，． （1）如图1，当四边形是菱形时，求直线的解析式； （2）如图2，当点落在轴上时，求的面积． 21. 如图，是的直径，点D在的延长线上，C、E是⊙O上的两点，，，延长交的延长线于点F． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径； 22. 在正方形中，是对角线上一点，是的中点，以为一边作正方形，点恰好在边所在的直线上，连接． （1）如图1，当点在边上时，连接，． ①求证：， ②试猜想与的数量关系和位置关系，并说明理由； （2）当是的三等分点，时，请直接写出的长． 23. 如图1，抛物线与轴交于点，与轴交于点，顶点的坐标为，是抛物线上一点，是抛物线对称轴上一动点． （1）求抛物线的表达式及的值； （2）若点的坐标为，请判断四边形的形状，并说明理由； （3）①如图2，当时，直接写出点的坐标：__________； ②如图3，当，，分别是，，的中点时，连接，，直接写出的最小值为__________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $