精品解析：山东济宁市汶上县2025-2026学年第二学期期中阶段练习 八年级数学试题

2025—2026学年度第二学期期中阶段练习 八年级数学试题 注意事项： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷为选择题，30分；第Ⅱ卷为非选择题，90分；共120分．考试时间为120分钟． 2．答第Ⅰ卷前务必每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号（ABCD）涂黑，如需改动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其他答案． 3．答第Ⅱ卷时，在题号所示答题区域作答，答题作图时，先用2B铅笔试画，无误后用黑色签字笔描黑． 4．填空题请直接将答案填写在答题卡上，解答题应写出文字说明、解题过程或演算步骤． 第Ⅰ卷（选择题共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 正六边形的外角和是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正多边形的外角和，根据任意多边形的外角和为360度，判断即可． 【详解】解：六边形的外角和是． 故选：C． 2. 化简的结果为（ ） A. B. 4 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【详解】解：． 3. 若在实数范围内有意义，则的值可以是（ ） A. －2 B. 3 C. －1 D. 0 【答案】B 【解析】 【详解】解：由二次根式有意义的条件得， 解得 ． B选项符合题意． 4. 如图，四边形中，对角线，相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，根据平行四边形的各种判定方法解题即可． 【详解】解：A、，，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可以判定四边形是平行四边形，不符合题意； B、，，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可以判定四边形是平行四边形，不符合题意； C、，，根据一组对边平行且相等的两个四边形是平行四边形，可以判定四边形是平行四边形，能符合题意； D、，不能判定四边形是平行四边形，符合题意． 故选：D． 5. 下列计算错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式的运算法则逐一判断选项的正误即可． 【详解】解：A、二次根式的加法运算是把被开方数相同的二次根式合并，与的被开方数不相同，不能直接合并为，故选项符合题意； B、根据二次根式乘法法则：，，故选项不符合题意； C、根据二次根式除法法则：，，故选项不符合题意； D、根据二次根式乘方性质：，，故选项不符合题意． 6. 如图，长为的梯子斜靠在竖直的墙上，梯子的底端离墙角线的距离为，则梯子顶端的高度h为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理解答即可． 【详解】解：根据勾股定理，得， 即， 所以梯子顶端的高度h为． 7. 如图，在中，，点、、分别是边、、的中点，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键． 由题意可得为的中位线，根据三角形的中位线定理可得，则，四边形是平行四边形，即可判断A、B、D；再由，是边的中点，即可判断C． 【详解】解：点、、分别是边、、的中点 ∴为的中位线， ∴， ∴，四边形是平行四边形， ∴， 故A、B、D正确，不符合题意； ∵，是边的中点， ∴， 故C错误，符合题意， 故选：C． 8. 如图，在矩形中，．动点P从点A出发沿方向以的速度向点B运动，动点H从点B出发沿方向以的速度向点A运动，动点Q从点C出发沿方向以的速度向点D运动．点P，点H和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另外两点也随之停止运动．设动点的运动时间为t秒，当时，t的值为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据速度时间路程，得到线段长，结合等腰三角形三线合一构造辅助线，计算出、的长，根据矩形的判定和性质得到线段，根据等量关系列方程求解． 【详解】解：过点Q作，交于点M， 点Q的运动速度为 ，运动时间为t秒， ， 点P的运动速度为 ，运动时间为t秒， ， 点H的运动速度为 ，运动时间为t秒， ， 四边形是矩形，， ，， ， ，， ， ， ，， ， 四边形是矩形， ， 即， 解得． 【点睛】本题考查矩形性质和判定、等腰三角形三线合一、动点问题中速度、时间和路程的关系，解决本题的关键是利用速度×时间=路程来表示线段长，根据线段相等建立等量关系，列方程求解． 9. 按如下步骤作四边形：（1）画；（2）以点为圆心，个单位长为半径画弧，分别交、于点、：（3）分别以点和点为圆心，个单位长为半径画弧，两弧交于点；（）连接、、．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了作线段，菱形的性质与判定，根据作图可得四边形是菱形，进而根据菱形的性质，即可求解． 【详解】解：根据作图可得 ∴四边形是菱形，则， 又∵， ∴ 故选：D． 10. 如图，在正方形中，点E在边上，，垂足为点F．若，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点作于点，利用含角的直角三角形的性质以及勾股定理求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，则， ∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴由勾股定理得， ∴的面积为． 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 当时，的值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】将代入根式中．先计算根号内的减法运算，再利用算术平方根的定义计算最终结果． 【详解】解：将代入二次根式​， 得． 12. 平行四边形的一组邻边长分别为，，一条对角线长为．若为整数，则的值可以为______．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形三边关系，不等式组的整数解，根据题意得出，进而写出一个整数解即可求解． 【详解】解：依题意， ∴， ∵为整数， ∴可以是，，，， 故答案为：（答案不唯一）． 13. 如图，数轴上点O对应的数是0，点A对应的数是2，，且，以O为圆心，长为半径画弧，交数轴于点C，则点C所对应的数为______． 【答案】 【解析】 【分析】首先利用勾股定理计算出OB的长，然后再由题意可得BO=CO，进而可得CO的长． 【详解】∵数轴上点A对应的数为2， ∴AO＝2， ∵AB⊥OA于A，且AB＝1， ∴BO＝＝＝， ∵以原点O为圆心，OB为半径画弧，交数轴于点C， ∴OC的长为， 则点C所对应的数为 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了实数与数轴，勾股定理，关键是利用勾股定理计算出BO的长． 14. 清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，数字类规律探究，观察可知，每组勾股数的第一个数字为奇数，后面两个数字为两个连续的整数，得到第⑤组勾股数的第1个数为11，设第2个数为，则第3个数为，根据勾股定理列出方程进行求解． 【详解】解：由题意，第⑤组勾股数的第1个数为11，设第2个数为，则第3个数为， 由勾股定理，得：， 解得：， ∴； ∴第⑤组勾股数为； 故答案为：． 15. 如图，菱形的对角线相交于点O，P为边上一动点（不与点A，B重合），于点E，于点F，若，则的最小值为 ______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据菱形的性质得到，，根据矩形的判定定理得到四边形是矩形，求得，当时，最小，利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求解即可． 【详解】解：连接，如图所示， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵于点，于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵当取最小值时，的值最小， ∴当时，最小，即的值最小， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，垂线段最短，菱形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握垂线段最短是解题的关键． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、解题过程或演算步骤． 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）2 （2）5 【解析】 【分析】（1）先化简二次根式，再计算乘法，然后计算加减法即可； （2）先利用完全平方公式计算乘法、化简二次根式，再计算加减法即可． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 已知，求下列各式的值． （1）； （2）． 【答案】（1）2 （2）22 【解析】 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：， 将代入上式得， 原式＝． 18. 小明在延时课上进行了项目式学习实践探究，记录并绘制了如下表格． 课题 在放风筝时测量风筝离地面的垂直高度 模型抽象 测绘数据 ①测得水平距离的长为12米． ②根据手中剩余线的长度，计算出风筝线的长为13米． ③牵线放风筝的手到地面的距离的长为1.5米． 模型抽象 点，，，在同一平面内 请根据表格信息，解答下列问题． （1）求风筝离地面的垂直高度的长． （2）若想要风筝沿方向再上升4米，则在水平距离保持不变的前提下，小明手中的线应该再放出多少米？ 【答案】（1）6.5米； （2）2米． 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用； （1）过点作于点，根据勾股定理求出，进而求出； （2）风筝沿方向上升至点，先根据勾股定理求出风筝线的长，再根据题意计算，得到答案． 【小问1详解】 解：如图1，过点作于点， 在中，，米，米， 由勾股定理，得（米）， 则（米）； 【小问2详解】 解：如图2，风筝沿方向上升至点， 由（1），可知米， 所以（米）， 在中，由勾股定理，得（米）， 所以小明手中的线应该再放出（米）． 19. 如图，在四边形中，，是对角线． （1）尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，作线段的垂直平分线，垂足为点O，与边分别交于点E，F（要求：不写作法，保留作图痕迹，并将作图痕迹用黑色签字笔描黑）； （2）在（1）的条件下，连接，求证：四边形为菱形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定，线段垂直平分线的性质及其尺规作图，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）分别以B、D为圆心，以大于长的一半画弧，二者交于M、N，连接分别与与边分别交于点E，F，则点E和点F即为所求； （2）由线段垂直平分线的定义打得到，，，再由等边对等角和平行线的性质可推出，则可证明，得到，据此可证明结论． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 证明：如图所示， ∵垂直平分， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形． 20. 【归纳与应用】归纳是学好数学的敲门砖，尤其对几何而言．例如，我们看到图1是平行四边形，就会联想到：从边的角度，平行四边形的对边平行且相等；从角的角度，平行四边形的对角相等，邻角互补；从对角线的角度，平行四边形的对角线互相平分．通过如此归纳形成知识体系的学习方法，成为我们解决相关问题的金钥匙． （1）【尝试归纳】请根据图2，写出3条直角三角形的性质： ①__________________， ②__________________， ③__________________； （2）【实践应用】小明同学在思考直角三角形的性质时，作出了图3，其中，点D是的中点，，，试帮他判断四边形的形状，并证明你的结论． 【答案】（1）；；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 （2）四边形是正方形；证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用直角三角形的性质求解； （2）根据正方形的判定方法进行证明． 【小问1详解】 解：，，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； 【小问2详解】 解：四边形是正方形，证明如下： ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵，点D是的中点， ∴． ∴平行四边形是菱形． ∵，点D是的中点， ∴． ∴． ∴菱形是正方形． 21. 如图，在中，，是的中点．延长至点，使．连接，记，的周长为，的周长为，四边形的周长为． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）10 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． （1）先证明对角线互相平分，继而得到四边形是平行四边形，再由即可证明为矩形； （2）由矩形的性质得到，，得到二元一次方程组，求出，再由勾股定理即可求解． 【小问1详解】 证明：∵是的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴的长为10． 22. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC=6cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒． （1）求BC边的长； （2）当△ABP为直角三角形时，求t的值； （3）当△ABP为等腰三角形时，求t的值． 【答案】（1）8cm；（2）4或；（3）5或8或． 【解析】 【分析】（1）直接根据勾股定理求出BC的长度； （2）当△ABP为直角三角形时，分两种情况：①当∠APB为直角时，②当∠BAP为直角时，分别求出此时的t值即可； （3）当△ABP为等腰三角形时，分三种情况：①当AB＝BP时；②当AB＝AP时；③当BP＝AP时，分别求出BP的长度，继而可求得t值． 【详解】解：（1）在Rt△ABC中，BC2＝AB2−AC2＝102−62＝64， ∴BC＝8（cm）； （2）由题意知BP＝2tcm， ①当∠APB为直角时，点P与点C重合，BP＝BC＝8cm，即t＝4； ②当∠BAP为直角时，BP＝2tcm，CP＝（2t−8）cm，AC＝6cm， 在Rt△ACP中，AP2＝62＋（2t−8）2， 在Rt△BAP中，AB2＋AP2＝BP2， 即：102＋[62＋（2t−8）2]＝（2t）2， 解得：t＝， 故当△ABP为直角三角形时，t＝4或t＝； （3）①当AB＝BP时，t＝5； ②当AB＝AP时，BP＝2BC＝16cm，t＝8； ③当BP＝AP时，AP＝BP＝2tcm，CP＝|2t−8|cm，AC＝6cm， 在Rt△ACP中，AP2＝AC2＋CP2， 所以（2t）2＝62＋（2t−8）2， 解得：t＝， 综上所述：当△ABP为等腰三角形时，t＝5或t＝8或t＝． 【点睛】本题考查了勾股定理以及等腰三角形的知识，解答本题的关键是掌握勾股定理的应用，以及分情况讨论，注意不要漏解． 23. 已知点在正方形的内部，点E在边上，是线段的垂直平分线，连接． （1）如图1，若的延长线恰好经过点D，，求的长； （2）如图2，点F是的延长线与的交点，连接． ①求证：； ②如图3，设相交于点G，连接．若，直接判断的形状，不必说明理由． 【答案】（1） （2）①证明见解析；②等腰直角三角形 【解析】 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质证明全等三角形，得出相等的边和角，利用等角对等边求出相关线段的长度，然后利用勾股定理求解； （2）①利用线段垂直平分线的性质得出相等的线段和角，利用等边对等角以及三角形内角和定理证明； ②根据线段垂直平分线得出直角以及相等的边和角，利用全等三角形的判定和性质进行证明． 【小问1详解】 解：∵是线段的垂直平分线， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵四边形是正方形， ∴平分． ∴． ∴． ∴． 在中，由勾股定理得，． ∴． ∴； 【小问2详解】 解：①证明：由题意知，． ∴． ∴， ∵四边形是正方形， ∴． ∴． ∴； ②解：是等腰直角三角形，理由如下： ∵，， ∴同①得， ∴， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期期中阶段练习 八年级数学试题 注意事项： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷为选择题，30分；第Ⅱ卷为非选择题，90分；共120分．考试时间为120分钟． 2．答第Ⅰ卷前务必每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号（ABCD）涂黑，如需改动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其他答案． 3．答第Ⅱ卷时，在题号所示答题区域作答，答题作图时，先用2B铅笔试画，无误后用黑色签字笔描黑． 4．填空题请直接将答案填写在答题卡上，解答题应写出文字说明、解题过程或演算步骤． 第Ⅰ卷（选择题共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 正六边形的外角和是（ ） A. B. C. D. 2. 化简的结果为（ ） A. B. 4 C. D. 2 3. 若在实数范围内有意义，则的值可以是（ ） A. －2 B. 3 C. －1 D. 0 4. 如图，四边形中，对角线，相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 下列计算错误的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，长为的梯子斜靠在竖直的墙上，梯子的底端离墙角线的距离为，则梯子顶端的高度h为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，点、、分别是边、、的中点，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在矩形中，．动点P从点A出发沿方向以的速度向点B运动，动点H从点B出发沿方向以的速度向点A运动，动点Q从点C出发沿方向以的速度向点D运动．点P，点H和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另外两点也随之停止运动．设动点的运动时间为t秒，当时，t的值为（ ） A. B. 1 C. D. 9. 按如下步骤作四边形：（1）画；（2）以点为圆心，个单位长为半径画弧，分别交、于点、：（3）分别以点和点为圆心，个单位长为半径画弧，两弧交于点；（）连接、、．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形中，点E在边上，，垂足为点F．若，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 当时，的值为______． 12. 平行四边形的一组邻边长分别为，，一条对角线长为．若为整数，则的值可以为______．（写出一个即可） 13. 如图，数轴上点O对应的数是0，点A对应的数是2，，且，以O为圆心，长为半径画弧，交数轴于点C，则点C所对应的数为______． 14. 清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为______． 15. 如图，菱形的对角线相交于点O，P为边上一动点（不与点A，B重合），于点E，于点F，若，则的最小值为 ______． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、解题过程或演算步骤． 16. 计算： （1）； （2）． 17. 已知，求下列各式的值． （1）； （2）． 18. 小明在延时课上进行了项目式学习实践探究，记录并绘制了如下表格． 课题 在放风筝时测量风筝离地面的垂直高度 模型抽象 测绘数据 ①测得水平距离的长为12米． ②根据手中剩余线的长度，计算出风筝线的长为13米． ③牵线放风筝的手到地面的距离的长为1.5米． 模型抽象 点，，，在同一平面内 请根据表格信息，解答下列问题． （1）求风筝离地面的垂直高度的长． （2）若想要风筝沿方向再上升4米，则在水平距离保持不变的前提下，小明手中的线应该再放出多少米？ 19. 如图，在四边形中，，是对角线． （1）尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，作线段的垂直平分线，垂足为点O，与边分别交于点E，F（要求：不写作法，保留作图痕迹，并将作图痕迹用黑色签字笔描黑）； （2）在（1）的条件下，连接，求证：四边形为菱形． 20. 【归纳与应用】归纳是学好数学的敲门砖，尤其对几何而言．例如，我们看到图1是平行四边形，就会联想到：从边的角度，平行四边形的对边平行且相等；从角的角度，平行四边形的对角相等，邻角互补；从对角线的角度，平行四边形的对角线互相平分．通过如此归纳形成知识体系的学习方法，成为我们解决相关问题的金钥匙． （1）【尝试归纳】请根据图2，写出3条直角三角形的性质： ①__________________， ②__________________， ③__________________； （2）【实践应用】小明同学在思考直角三角形的性质时，作出了图3，其中，点D是的中点，，，试帮他判断四边形的形状，并证明你的结论． 21. 如图，在中，，是的中点．延长至点，使．连接，记，的周长为，的周长为，四边形的周长为． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求的长． 22. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC=6cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒． （1）求BC边的长； （2）当△ABP为直角三角形时，求t的值； （3）当△ABP为等腰三角形时，求t的值． 23. 已知点在正方形的内部，点E在边上，是线段的垂直平分线，连接． （1）如图1，若的延长线恰好经过点D，，求的长； （2）如图2，点F是的延长线与的交点，连接． ①求证：； ②如图3，设相交于点G，连接．若，直接判断的形状，不必说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $