精品解析：山东省济宁市汶上县2024—2025学年八年级下学期数学期中阶段练习

2024—2025学年度第二学期期中阶段练习 八年级数学试题 注意事项： 1．本试题分第I卷和第II卷两部分，第I卷为选择题，30分；第II卷为非选择题，90分；共120分．考试时间为120分钟． 2．答第I卷前务必每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号（ABCD）涂黑，如需改动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其他答案． 3．答第II卷时，在题号所示答题区域作答，答题作图时，先用2B铅笔试画，无误后用黑色签字笔描黑． 4．填空题请直接将答案填写在答题卡上，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 第I卷（选择题 共30分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 化简的结果是（ ） A. B. 2 C. D. 4 2. 已知三角形的三边分别为3，4，5，则该三角形为（ ）． A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 锐角三角形 D. 不能确定 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在矩形中，点在上，当是等边三角形时，为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，的对角线，相交于点，点是的中点，，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，，点是线段的中点，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2＝21，小正方形的面积为5，则大正方形的面积为（　　） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 9. 如图，在中，，且，，点D是斜边上的一个动点，过点D分别作于点M，于点N，连接，则线段的最小值为 （ ） A. 5 B. 12 C. D. 13 10. 如图，菱形的面积为，点是的中点，点是上的动点．若的面积为，则的面积为（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题 共90分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是________． 12. 在矩形中，对角线与交于点，请添加一个条件：______使得矩形是正方形．（只写一个） 13. 社团活动课上，九年级学习小组测量学校旗杆的高度．如图，他们在B处测得旗杆顶部A的仰角为，，则旗杆的高度为______m． 14. 观察下列各式： ，，，…… 按照以上的规律，写出第10个式子为________________． 15. 如图，菱形的边长为2，，边在数轴上，以点为圆心，长为半径画弧交数轴于点．若点表示的实数是3，则点表示的实数是________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点A的坐标为，点E在边上．将沿折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为，则点E的坐标为___________． 三、解答题：本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1） （2） 18. 如图，在中，点，分别在边，上，． （1）求证：； （2）连接．请添加一个与线段相关的条件，使四边形是平行四边形．（不需要说明理由） 19. 已知，求下列各式的值 （1） （2） 20. 劳动教育是新时代教育体系中的重要组成部分．如图，区域是云岩区某学校为劳动课开辟的劳动场地，小路将场地分为“水果培育”和“蔬菜种植”两个部分，现用皮尺测量得到． （1）请判断小路是否与垂直，并说明理由； （2）求劳动场地的面积． 21. 如图，的中线，交于点O，点F，G分别是，的中点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当时，求证：是矩形． 22. 综合探究： 几何探究是培养推理能力、几何直观和创新意识的重要途径．解决几何综合探究问题，往往需要运用从特殊到一般，化动为静、类比等数学思想方法． 【问题情境】 分别以的两边和为边作正方形和，连接，探究与之间满足的数量和位置关系． 【初步感知】 （1）如图1，若，写出与之间满足的数量和位置关系，并说明理由； 【深入探究】 （2）如图2，改变点的位置，其他条件不变，猜想与之间满足的数量和位置关系，并证明猜想． 23. 小明在学习时发现四边形面积与对角线存在关联，下面是他的研究过程： 【探究论证】 （1）如图①，在中，，，垂足为点D．若，，则______． （2）如图②，在菱形中，，，则______． （3）如图③，在四边形中，，垂足为点O．若，，则______；若，，猜想与a，b的关系，并证明你的猜想． 【理解运用】 （4）如图④，在中，，，，点P为边上一点． 小明利用直尺和圆规分四步作图： （ⅰ）以点K为圆心，适当长为半径画弧，分别交边，于点R，I； （ⅱ）以点P为圆心，长为半径画弧，交线段于点； （ⅲ）以点为圆心，长为半径画弧，交前一条弧于点，点，K在同侧； （ⅳ）过点P画射线，在射线上截取，连接，，． 请你直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第二学期期中阶段练习 八年级数学试题 注意事项： 1．本试题分第I卷和第II卷两部分，第I卷为选择题，30分；第II卷为非选择题，90分；共120分．考试时间为120分钟． 2．答第I卷前务必每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号（ABCD）涂黑，如需改动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其他答案． 3．答第II卷时，在题号所示答题区域作答，答题作图时，先用2B铅笔试画，无误后用黑色签字笔描黑． 4．填空题请直接将答案填写在答题卡上，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 第I卷（选择题 共30分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 化简的结果是（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查算术平方根，掌握算术平方根的定义是解题的关键． 根据算术平方根的定义进行解题即可． 【详解】∵； ∴. 故选：D . 2. 已知三角形的三边分别为3，4，5，则该三角形为（ ）． A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 锐角三角形 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理即可求解． 【详解】因为，所以这个三角形一定是直角三角形． 故选A． 【点睛】此题主要考查勾股定理，解题的关键是熟知勾股定理的逆定理的应用． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法、二次根式的加法、二次根式的性质，根据二次根式的乘除法、二次根式的加法、二次根式的性质逐项计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：A、和不是同类二次根式，故不能直接相加，原选项计算错误，不符合题意； B、，故原选项计算错误，不符合题意； C、，故原选项计算正确，符合题意； D、，故原选项计算错误，不符合题意； 故选：C． 4. 如图，在矩形中，点在上，当是等边三角形时，为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键． 由矩形得到，继而得到，而是等边三角形，因此得到． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 故选：C． 5. 如图，的对角线，相交于点，点是的中点，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，中位线定理，由四边形是平行四边形，得，即点是的中点，又点是的中点，故有是中位线，然后根据中位线定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，即点是的中点， 又∵点是的中点， ∴是中位线， ∴， 故选：． 6. 如图，在中，，，，点是线段的中点，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边的中线性质，勾股定理，由勾股定理得，然后根据直角三角形斜边的中线性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得：， ∵点是线段的中点， ∴， 故选：． 7. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，有理数乘法，由题意得，则，然后求出的值，最后代入求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意得， ∴， 将代入原式，得：， ∴， 故选：． 8. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2＝21，小正方形的面积为5，则大正方形的面积为（　　） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】根据小正方形的面积为5可得（a-b）2= a2-2ab+b2=5，再根据（a+b）2＝21可得a2+2ab+b2=21，从而可得大正方形的面积为a2+b2=13． 【详解】解：如图所示： ∵（a+b）2=21， ∴a2+2ab+b2=21①， ∵小正方形的面积为5， ∴（a-b）2= a2-2ab+b2=5②， ①+②得：2a2+2b2=26， ∴大正方形的面积为a2+b2=13， 故选：A． 【点睛】本题考查完全平方公式在几何图形中的应用，勾股定理．能正确表示大正方形和小正方形的面积是解题关键． 9. 如图，在中，，且，，点D是斜边上的一个动点，过点D分别作于点M，于点N，连接，则线段的最小值为 （ ） A. 5 B. 12 C. D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，垂线段最短，矩形性质，解题的关键是掌握矩形对角线相等． 连接，根据勾股定理求出，通过证明四边形为矩形，得出，则当时，最小，根据，即可解答． 【详解】解：连接， ∵，且，， ∴根据勾股定理可得， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴， 当时，最小， 此时， ∴， 解得：， ∴的最小值为． 故选：C． 10. 如图，菱形的面积为，点是的中点，点是上的动点．若的面积为，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形中线的性质，连接， 连接，由面积关系得，，同理，再由三角形面积关系得 ，然后求出，即可解决问题，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 连接， ∵点是的中点，菱形的面积为， ∴， 同理：， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴， 故选：． 第II卷（非选择题 共90分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【详解】解：根据二次根式有意义的条件得：， 解得． 12. 在矩形中，对角线与交于点，请添加一个条件：______使得矩形是正方形．（只写一个） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查正方形的判定，解题的关键是掌握：有一组邻边相等或对角线互相垂直的矩形是正方形．据此解答即可． 【详解】解：． 理由：∵四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形． 故答案为：（答案不唯一）． 13. 社团活动课上，九年级学习小组测量学校旗杆的高度．如图，他们在B处测得旗杆顶部A的仰角为，，则旗杆的高度为______m． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，直接利用锐角三角函数，求出的值即可． 【详解】解：由题意：， ∴； 故答案为：． 14. 观察下列各式： ，，，…… 按照以上的规律，写出第10个式子为________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是数字的变化规律和二次根式的性质，根据上述等式找出一般规律是解题的关键． 根据上述等式，得出一般规律：第个等式为，即可得出第10个等式． 【详解】解：根据上述等式，得出一般规律：第个等式为， 第10个等式：， 故答案为：． 15. 如图，菱形的边长为2，，边在数轴上，以点为圆心，长为半径画弧交数轴于点．若点表示的实数是3，则点表示的实数是________． 【答案】 【解析】 【分析】如图所示，过点C作交于点，首先求出，勾股定理得到，然后求出，进而求解即可． 【详解】如图所示，过点C作交于点， ∵菱形的边长为2，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点表示的实数是3， ∴点表示的实数是． 16. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点A的坐标为，点E在边上．将沿折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为，则点E的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】设正方形的边长为a，与y轴相交于G，先判断四边形是矩形，得出，，，根据折叠的性质得出，，在中，利用勾股定理构建关于a的方程，求出a的值，在中，利用勾股定理构建关于的方程，求出的值，即可求解． 【详解】解∶设正方形的边长为a，与y轴相交于G， 则四边形是矩形， ∴，，， ∵折叠， ∴，， ∵点A的坐标为，点F的坐标为， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴，， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴点E的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，坐标与图形，矩形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理等知识，利用勾股定理求出正方形的边长是解题的关键． 三、解答题：本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）把12化成，化成，48化成，在把4，，16开方出来，最后合并． （2）先按多项式乘多项式的法则展开，再分别合并有理数部分与部分． 【小问1详解】 ． 【小问2详解】 ． 【点睛】本题主要考查了实数的运算，二次根式的化简，最简二次根式．解决问题的关键是深刻理解最简二次根式的概念，熟练分解出能开得尽方的因式（因数），分母有理化因式（因数），合并同类二次根式．（1）先把各个根式化简，再合并最简同类二次根式．（2）先按多项式乘多项式的法则展开，再分别合并有理数与无理数． 18. 如图，在中，点，分别在边，上，． （1）求证：； （2）连接．请添加一个与线段相关的条件，使四边形是平行四边形．（不需要说明理由） 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴即， 在与中， ， ∴； （2）添加（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的判定； （1）根据平行四边形的性质得出，，结合已知条件可得，即可证明； （2）添加，依据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可求解． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 添加（答案不唯一） 如图所示，连接． ∵四边形是平行四边形， ∴，即， 当时，四边形是平行四边形． 19. 已知，求下列各式的值 （1） （2） 【答案】（1）12 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可求出的值，再把所求式子利用完全平方公式分解因式得到，据此代入求值即可； （2）根据题意可求出和的值，再把所求式子利用平方差公式分解因式得到，据此代入求值即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴ ； 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ∴ ． 20. 劳动教育是新时代教育体系中的重要组成部分．如图，区域是云岩区某学校为劳动课开辟的劳动场地，小路将场地分为“水果培育”和“蔬菜种植”两个部分，现用皮尺测量得到． （1）请判断小路是否与垂直，并说明理由； （2）求劳动场地的面积． 【答案】（1） ，理由如下： ，，， ，， ， ， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理与勾股定理的逆定理的应用； （1）利用勾股定理的逆定理判定即可； （2）利用勾股定理先求解，再进一步计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∴， ∴劳动场地的面积为． 21. 如图，的中线，交于点O，点F，G分别是，的中点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当时，求证：是矩形． 【答案】（1） 证明：∵的中线，交于点O， ∴，， ∵点F，G分别是，的中点， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形； （2） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵G是中点， ∴， ∴， 同理， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴是矩形． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判断，三角形中位线定理等知识，解题的关键是： （1）利用三角形中位线定理可得出，，然后利用平行四边形的判定即可得证； （2）利用平行四边形的性质得出，，结合点G是的中点，可得出，同理，则可得出，，然后利用矩形判定即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 综合探究： 几何探究是培养推理能力、几何直观和创新意识的重要途径．解决几何综合探究问题，往往需要运用从特殊到一般，化动为静、类比等数学思想方法． 【问题情境】 分别以的两边和为边作正方形和，连接，探究与之间满足的数量和位置关系． 【初步感知】 （1）如图1，若，写出与之间满足的数量和位置关系，并说明理由； 【深入探究】 （2）如图2，改变点的位置，其他条件不变，猜想与之间满足的数量和位置关系，并证明猜想． 【答案】（1），；理由： 如图所示，延长交于H， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∵， ∴点B在上， ∴， ∴，， 又∵， ∴，即， ∴，； （2），； 证明：如图，延长交于点，交于点， 四边形和为正方形， ，，． ， 即． ． ，． ， ． ． ，． 【解析】 【分析】（1）如图所示，延长交于H，先由正方形的性质得到，证明点B在上，进而证明，得到，，再由三角形内角和定理和对顶角相等得到，即可得到，； （2）如图，延长交于点，交于点，同理可证明，则，同理可推出，即． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，正确证明三角形全等是解题的关键． 23. 小明在学习时发现四边形面积与对角线存在关联，下面是他的研究过程： 【探究论证】 （1）如图①，在中，，，垂足为点D．若，，则______． （2）如图②，在菱形中，，，则______． （3）如图③，在四边形中，，垂足为点O．若，，则______；若，，猜想与a，b的关系，并证明你的猜想． 【理解运用】 （4）如图④，在中，，，，点P为边上一点． 小明利用直尺和圆规分四步作图： （ⅰ）以点K为圆心，适当长为半径画弧，分别交边，于点R，I； （ⅱ）以点P为圆心，长为半径画弧，交线段于点； （ⅲ）以点为圆心，长为半径画弧，交前一条弧于点，点，K在同侧； （ⅳ）过点P画射线，在射线上截取，连接，，． 请你直接写出的值． 【答案】（1）2，（2）4， （3）， 猜想：， 证明：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴； （4）10 【解析】 【分析】（1）根据三角形的面积公式计算即可； （2）根据菱形的面积公式计算即可； （3）结合图形有，，即可得，问题随之得解； （4）先证明是直角三角形，由作图可知：，即可证明，再结合（3）的结论直接计算即可． 【详解】（1）∵在中，，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2； （2）∵在菱形中，，， ∴， 故答案为：4； （3）∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：， 猜想：略； （4）根据尺规作图可知：， ∵在中，，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴根据（3）的结论有：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，菱形的性质，作一个角等于已知角的尺规作图，勾股定理的逆定理等知识，难度不大，掌握作一个角等于已知角的尺规作图方法，是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $