精品解析：山东省鄄城县2025－2026学年下学期八年级期中考试数学试题

初中八年级数学学习素养诊断测试 时间：120分钟，总分120分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把最后结果填在答题卡的相应位置） 1. 我国传统文化中的“福禄寿喜”图，属于美工艺术字分类，由四个图案构成．这四个图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，也是中心对称图形．故本选项符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不符合题意； D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故本选项不符合题意． 故选B． 2. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质进行判断即可． 【详解】解：，故选项A错误； ，故选项B错误； ，故选项C错误； ，故选项D正确； 3. 若等腰三角形的一个角是，则它的底角为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】分的角是顶角和底角时，结合等腰三角形两底角相等和三角形内角和为计算即可． 【详解】解：分两种情况讨论： 若的角是底角，则底角为， 此时顶角为，符合三角形内角和定理； 若的角是顶角， ∵等腰三角形两底角相等，三角形内角和为， ∴底角为， ∴该等腰三角形的底角为或． 4. 在数轴上表示不等式的解集，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先解不等式，然后在数轴上表示不等式的解集即可求解． 【详解】解： 解得：， 数轴上表示不等式的解集 故选：A． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，数形结合是解题的关键． 5. 正方形ABCD在直角坐标系中的位置如图所示，将正方形ABCD绕点A按顺时针方向旋转180°后，C点的坐标是( ) A. (2，0) B. (3，0) C. (2，－1) D. (2，1) 【答案】B 【解析】 【分析】正方形ABCD绕点A顺时针方向旋转180°后，C点的对应点与C一定关于A对称，A是对称点连线的中点，据此即可求解． 【详解】根据题意得：AC=2， 设正方形ABCD绕点A顺时针方向旋转180°后C的对应点设是C′，则AC′=AC=2， 则OC′=3， 故C′的坐标是(3，0)． 故选B． 【点睛】本题考查坐标与图形变化-旋转．理解正方形ABCD绕点A顺时针方向旋转180°后，C点的对应点与C′一定关于A对称是解题关键． 6. 如果关于的不等式的解集如图所示，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】表示出不等式的解集，由数轴上表示的不等式解集确定出a的值即可． 【详解】解：已知不等式移项得：3x≤a-1， 解得：x≤， 由数轴得：x≤-1， ∴=-1， 解得：a=-2． 故选：B． 【点睛】此题考查了解一元一次不等式，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键． 7. 如图，一次函数的图象与正比例函数的图象交于点A，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数求得的坐标，然后根据图象，写出直线在直线的下方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：当时，， 解得， ∴， 当时，， 所以不等式的解集为． 8. 如图，将绕点O逆时针旋转，得到．若，则的度数是（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，掌握旋转的性质是本题的关键．由旋转的性质可得，由三角形内角和定理可求，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵将绕点O逆时针旋转，得到， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 9. 某校要购买一批羽毛球拍和羽毛球，现有经费850元，已知羽毛球拍150元/套，羽毛球30元/盒，若该校购买了4套羽毛球拍，x盒羽毛球，则下列不等式列式正确的是（ ） A. ≤850 B. C. ≤850 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，列出关于x的不等式即可． 【详解】根据题意：可得：≤850， 故选C． 【点睛】本题主要考查一元一次不等式的实际应用，根据题意，找到不等量关系，列出不等式，是解题的关键． 10. 如图，在中，，，平分交于E，于D．下列结论：①；②点E在线段的垂直平分线上；③；④．其中正确的个数有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理、线段垂直平分线的判定定理、直角三角形的性质判断即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴点E在线段的垂直平分线上，故②正确； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，故③正确； ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，故④正确； 综上，正确的个数为4个，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了线段的垂直平分线的判定、三角形内角和定理、直角三角形的性质，掌握相关的判定定理和性质定理是解题关键． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，直接填写答案） 11. 牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一”．用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角”时，应先假设___． 【答案】一个三角形中有两个角是直角 【解析】 【分析】本题主要考查了反证法的应用，解题的关键在于能够熟练掌握反证法的步骤．根据反证法的步骤：第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可． 【详解】解：用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角”时，应先假设一个三角形中有两个角是直角， 故答案为：一个三角形中有两个角是直角． 12. 用不等式表示“的3倍与2的差不大于0”为__________________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，解题关键是理解题意并抓住关键词． 首先表示的3倍与2的差，再表示差不大于0即可． 【详解】的3倍表示为：， 与2的差表示为：， 不大于0表示为：． 故答案为：． 13. 不等式的解集是，则的取值范围是____． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵不等式 的解集是，且 ， ∴不等式 两边同时除以时，不等号方向改变， ∴， ∴． 14. 我们定义，例如．若，是整数，且满足，则的最小值是__________． 【答案】-5 【解析】 【分析】首先把所求的式子转化成一般的不等式的形式，然后根据x，y是整数即可确定x，y的值，从而求解． 【详解】解：根据题意得：1＜6-xy＜3， 则3＜xy＜5， 又∵x、y均为整数， ∴x=1，y=4；此时，x+y=5； x=2，y=2；此时，x+y=4； x=-1，y=-4；此时，x+y=-5； x=-2，y=-2；此时，x+y=-4； 故x+y的最小值是-5， 故答案为-5． 【点睛】本题考查了不等式的整数解，正确确定x，y的值是关键． 15. 如图，上午9时，一条船从A处出发，以20海里/时的速度向正北航行，11时到达B处，从A，B处望灯塔C，测得，，那么从B处到灯塔C的距离是______海里． 【答案】40 【解析】 【分析】本题主要考查了等角对等边，三角形外角的性质，先求出海里，再利用三角形外角的性质证明，则海里． 【详解】解：由题意得，海里， ∵，， ∴， ∴， ∴海里， ∴从B处到灯塔C的距离是40海里， 故答案为：40． 16. 已知：如图，在△ABC中，AB＝BC=3，∠BAC＝30°，分别以点A，C为圆心，AC的长为半径作弧，两弧交于点D，连接DA，DC，BD,下面四个结论中，①AD＝CD；②BD⊥AC；③AC=6；④△ACD是等边三角形；所有正确结论的序号是_____． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质，和直角三角形的性质，勾股定理对各项逐一进行判定即可． 【详解】解：∵分别以点A，C为圆心，AC的长为半径作弧，两弧交于点D， ∴AD=CD=AC，故①正确； ∴△ACD是等边三角形，故④正确； ∵AB=BC，AD=CD， ∴BD垂直平分AC， ∴BD⊥AC，故②正确； ∵AB=BC， ∴∠ACB=∠BAC=30°， ∵△ACD是等边三角形， ∴∠DAC=60°， ∴∠BAD=90°， ∵BD⊥AC， ∴∠ADB=30°， ∵AB=BC=3， ∴DB=6， ∴， ∴AC=，故③错误； 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形，垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 下面是小明同学解不等式的过程，请阅读并完成相应任务． 解：⋯⋯第一步 ，⋯⋯第二步 ，⋯⋯第三步 ，⋯⋯第四步 （1）任务一： ①以上解题过程中，第一步变形的依据是 ； ②第 步出现错误，这一步出现错误的原因是 ； （2）任务二：请直接写出该不等式的正确解集，并把解集表示在数轴上． 【答案】（1）①不等式的基本性质2；②四；不等式两边除以时，不等号的方向没有改变； （2），见解析． 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 任务一：①根据不等式的基本性质，即可解答；②根据解一元一次不等式的步骤，进行计算逐一判断即可解答； 任务二：按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答． 【小问1详解】 解：任务一：①以上解题过程中，第一步是进行去分母，变形依据是不等式的基本性质2； ②第四步开始出现错误，这一步错误的原因是不等式两边除以时，不等号的方向没有改变； 故答案为：①不等式的基本性质 2 ；②四；不等式两边除以 时，不等号的方向没有改变； 【小问2详解】 解：任务二：， 去分母得，， 移项合并同类项得，， 系数化为1得，． 把解集表示在数轴上如图所示： 18. 解不等式组：，把解集在数轴上表示出来，并求出非负整数解． 【答案】；图见解析；非负整数解为0或1． 【解析】 【分析】分别解出不等式①和②，在数轴上表示出来即可求得解集及非负整数解．本题关键是根据一元一次不等式的解法求解不等式，利用数轴即可求出不等式组解集． 【详解】由①得：，则； 将②得：，则； 不等式组的解集为，如图： 它的非负整数解为0或1． 19. 已知：如图，ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至E，使CECD，连接DE． （1）证明：BDE是等腰三角形； （2）若AB＝2，求DE的长度． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）由为等边三角形，可求出，由是等腰三角形求出，根据等角对等边即可证得； （2）由勾股定理求出BD即可求得． 【详解】（1）证明：为等边三角形， ， ， ， ， 为中线 ， ， ， 是等腰三角形； （2）解：为中线， ，， ， 在中，由勾股定理得：, ． 【点睛】此题考查了等边三角形性质，勾股定理，等腰三角形性质，三角形的外角性质等知识点的应用，解题的关键是求出DE=BD和求出BD的长． 20. 如图，在中，，，是的垂直平分线，垂足为点E，交于点D，连接． （1）求证：平分； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由线段垂直平分线的性质可得，由等边对等角得出，再结合三角形内角和定理求出，即可得证； （2）由角平分线的性质定理可得，由直角三角形的性质可得，最后再由勾股定理计算即可得出结果． 【小问1详解】 证明：∵是的垂直平分线， ， ， 在中，，， ， ， ， 平分． 【小问2详解】 解：平分，，， ， 在中，， ， ， 在中，， ， 设，则， 由勾股定理：， 解得， ． 21. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． （1）将绕原点O旋转得到，画出； （2）平移，使点A的对应点的坐标为，画出平移后的； （3）若将绕某一点P旋转可得到，请直接写出点P的坐标． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）（2，－4） 【解析】 【分析】本题考查了坐标的平移，中心对称，旋转，熟练掌握相应的知识是解题的关键． （1）根据中心对称规律，确定变换后的坐标，画图即可． （2）根据平移规律，确定变换后的坐标，画图即可． （3）根据旋转中心是对应线段垂直平分线的交点，借助中点坐标公式解答即可． 【小问1详解】 解：根据题意，得，其中心对称坐标分别为 画图如下： 【小问2详解】 解：根据题意，得，且平移，使点A的对应点的坐标为，得到平移规律是向右平移4个单位，向下平移8个单位，于是得到．画图如下： ． 则即为所求． 【小问3详解】 解：根据旋转作图，得，， 根据中点坐标公式，得， 同理可得，，它们的中点的坐标也为． ． 22. 随着科技的发展，新能源汽车正逐渐成为人们喜欢的交通工具，其需求量快速增长．为满足客户需求，现某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解1辆型汽车、1辆型汽车的进价共计37万元；若单次购买型汽车超过15辆每辆车进价会打九五折，单次购买型汽车超过15辆每辆车进价优惠5千元，当购买型和型车各20辆时共需支付进价715万元． （1）求该汽车销售公司单独购进，型号汽车各一辆时进价分别为多少万元？ （2）因资金紧张，该公司计划以不超过260万元购进以上两种型号的新能源汽车共15辆，每辆型汽车在进价的基础上提高7000元销售，每辆型汽车在进价的基础上提高销售．假如这些新能源汽车全部售出，至少要获利12.5万元，该公司有哪几种购进方案？哪种方案获得的利润最多，最多利润是多少？ 【答案】（1）购进，型号汽车各一辆时进价分别为15，22万元． （2）该公司有2种购进方案，分别是购进A 型汽车10辆，B型汽车5辆∶购进A型汽车11辆，B型汽车4辆．购进A型汽车10辆，B型汽车5辆的方案获得的利润最多，最多利润是13.6万元． 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次不等式组的应用以及一元一次不等式组的应用． （1）设购进，型号汽车各一辆时进价分别为x，y万元，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解即可得出答案． （2）设购进A型汽车m辆，则购进B型汽车辆，根据题意列出关于m的一元一次不等式组，求解并根据m的取值分别讨论计算即可得出答案． 【小问1详解】 解：设购进，型号汽车各一辆时进价分别为x，y万元， 根据题意可知： 解得：， 则购进，型号汽车各一辆时进价分别为15，22万元． 【小问2详解】 解：设购进A型汽车m辆，则购进B型汽车辆， 根据题意可得出： 解得： ∵m为正整数， ∴或11， 当时，购进B型汽车为5辆， 此时利润为：（万元） 当时，购进B型汽车为4辆， 此时利润为：（万元） 综上：该公司有 2种购进方案，分别是购进A 型汽车 10 辆，B型汽车5辆或购进A型汽车 11 辆，B 型汽车4辆．购进A型汽车10 辆，B型汽车5辆的方案获得的利润最多，最多利润是 13.6万元． 23. 如图所示，在同一个坐标系中一次函数和的图象，分别与轴交于点、，两直线交于点．已知点坐标为，点坐标为，观察图象并回答下列问题： （1）关于x的方程的解是___；关于的不等式的解集是______． （2）直接写出关于x的不等式组解集是______． （3）若点坐标为， ①关于的不等式的解集是______； ②的面积为______． ③在轴上找点，使得的值最大，则点坐标为______． 【答案】（1）； （2） （3）①；②；③ 【解析】 【分析】此题主要考查了一元一次方程的解、一次函数与不等式，一次函数与不等式组， （1）利用直线与轴交点即为时，对应的值，进而得出答案； （2）利用两直线与轴交点坐标，结合图象得出答案； （3）①利用图象即可求解；②利用三角形面积公式求得即可；③记交轴于点，此时最大，再求解直线解析式即可． 【小问1详解】 解：一次函数和的图象，分别与轴交于点、，点坐标为，点坐标为， 关于的方程的解是，关于的不等式的解集为， 【小问2详解】 根据图象可以得到关于的不等式组的解集； 【小问3详解】 ①∵点， 结合图象可知，不等式的解集是； ②，， ； ③，记交轴于点， 此时，此时最大， 设直线为， ∴，解得， 直线为， 令，则， ， 24. 我们定义：如果两个等腰三角形顶角相等，且顶角顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，形象的可以看作两双手，所以通常称为“手拉手全等模型”． （1）例如，如图1，与都是等腰三角形，其中，则________（________）； （2）类比：如图2，已知与都是等腰三角形，，，且，求证：； （3）拓展：如图3，，，，试探索线段，，之间满足的等量关系，并证明结论． 【答案】（1）， （2）见解析 （3），见解析 【解析】 【分析】（1）先证，再根据即可证明； （2）先证，再根据即可证明； （3）连接，先证，则可得，，进而可得． 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，以及勾股定理．熟练掌握以上知识是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵与都是等腰三角形， ∴， 又∵ ∴，即， 在和中，， ∴． 故答案为： ， 【小问2详解】 证明：∵， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：，理由如下： 连接，如图所示： ∵，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初中八年级数学学习素养诊断测试 时间：120分钟，总分120分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把最后结果填在答题卡的相应位置） 1. 我国传统文化中的“福禄寿喜”图，属于美工艺术字分类，由四个图案构成．这四个图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 若等腰三角形的一个角是，则它的底角为（ ） A. B. C. 或 D. 或 4. 在数轴上表示不等式的解集，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 正方形ABCD在直角坐标系中的位置如图所示，将正方形ABCD绕点A按顺时针方向旋转180°后，C点的坐标是( ) A. (2，0) B. (3，0) C. (2，－1) D. (2，1) 6. 如果关于的不等式的解集如图所示，则的值是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，一次函数的图象与正比例函数的图象交于点A，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，将绕点O逆时针旋转，得到．若，则的度数是（） A. B. C. D. 9. 某校要购买一批羽毛球拍和羽毛球，现有经费850元，已知羽毛球拍150元/套，羽毛球30元/盒，若该校购买了4套羽毛球拍，x盒羽毛球，则下列不等式列式正确的是（ ） A. ≤850 B. C. ≤850 D. 10. 如图，在中，，，平分交于E，于D．下列结论：①；②点E在线段的垂直平分线上；③；④．其中正确的个数有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，直接填写答案） 11. 牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一”．用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角”时，应先假设___． 12. 用不等式表示“的3倍与2的差不大于0”为__________________． 13. 不等式的解集是，则的取值范围是____． 14. 我们定义，例如．若，是整数，且满足，则的最小值是__________． 15. 如图，上午9时，一条船从A处出发，以20海里/时的速度向正北航行，11时到达B处，从A，B处望灯塔C，测得，，那么从B处到灯塔C的距离是______海里． 16. 已知：如图，在△ABC中，AB＝BC=3，∠BAC＝30°，分别以点A，C为圆心，AC的长为半径作弧，两弧交于点D，连接DA，DC，BD,下面四个结论中，①AD＝CD；②BD⊥AC；③AC=6；④△ACD是等边三角形；所有正确结论的序号是_____． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 下面是小明同学解不等式的过程，请阅读并完成相应任务． 解：⋯⋯第一步 ，⋯⋯第二步 ，⋯⋯第三步 ，⋯⋯第四步 （1）任务一： ①以上解题过程中，第一步变形的依据是 ； ②第 步出现错误，这一步出现错误的原因是 ； （2）任务二：请直接写出该不等式的正确解集，并把解集表示在数轴上． 18. 解不等式组：，把解集在数轴上表示出来，并求出非负整数解． 19. 已知：如图，ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至E，使CECD，连接DE． （1）证明：BDE是等腰三角形； （2）若AB＝2，求DE的长度． 20. 如图，在中，，，是的垂直平分线，垂足为点E，交于点D，连接． （1）求证：平分； （2）若，求的长． 21. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． （1）将绕原点O旋转得到，画出； （2）平移，使点A的对应点的坐标为，画出平移后的； （3）若将绕某一点P旋转可得到，请直接写出点P的坐标． 22. 随着科技的发展，新能源汽车正逐渐成为人们喜欢的交通工具，其需求量快速增长．为满足客户需求，现某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解1辆型汽车、1辆型汽车的进价共计37万元；若单次购买型汽车超过15辆每辆车进价会打九五折，单次购买型汽车超过15辆每辆车进价优惠5千元，当购买型和型车各20辆时共需支付进价715万元． （1）求该汽车销售公司单独购进，型号汽车各一辆时进价分别为多少万元？ （2）因资金紧张，该公司计划以不超过260万元购进以上两种型号的新能源汽车共15辆，每辆型汽车在进价的基础上提高7000元销售，每辆型汽车在进价的基础上提高销售．假如这些新能源汽车全部售出，至少要获利12.5万元，该公司有哪几种购进方案？哪种方案获得的利润最多，最多利润是多少？ 23. 如图所示，在同一个坐标系中一次函数和的图象，分别与轴交于点、，两直线交于点．已知点坐标为，点坐标为，观察图象并回答下列问题： （1）关于x的方程的解是___；关于的不等式的解集是______． （2）直接写出关于x的不等式组解集是______． （3）若点坐标为， ①关于的不等式的解集是______； ②的面积为______． ③在轴上找点，使得的值最大，则点坐标为______． 24. 我们定义：如果两个等腰三角形顶角相等，且顶角顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，形象的可以看作两双手，所以通常称为“手拉手全等模型”． （1）例如，如图1，与都是等腰三角形，其中，则________（________）； （2）类比：如图2，已知与都是等腰三角形，，，且，求证：； （3）拓展：如图3，，，，试探索线段，，之间满足的等量关系，并证明结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $