2026年北京市东城区中考数学考前预测卷

**基本信息** 2026年北京东城中考数学预测卷，三轮冲刺专用，以国家智慧教育平台用户量、海洋强国实践等真实情境为载体，融合空间观念、运算能力与模型意识，精准适配中考命题趋势。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/16|三视图、科学记数法、概率、二次函数等|以“奋斗者号”抽模型考概率，体现数学眼光观察科技实践| |填空题|8/16|分式意义、因式分解、圆内接三角形、比赛积分等|矩形作图结合尺规操作，考查空间观念与创新意识| |解答题|12/68|菱形证明、采购方案、饮水机水温函数、旋转动态问题等|拉杆箱侧视图考三角函数应用，构建实际问题模型；新定义“可视度”问题，培养推理能力与创新思维|

2026年北京市东城区中考考前预测卷 数学 （考试时间：120分钟，分值：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图所示的三视图描述的几何体是(    ) A. B. C. D. 2.截至年月日，国家智慧教育平台用户总量突破亿，是世界第一大教育资源数字化中心和平台将亿用科学记数法表示应为(    ) A. B. C. D. 3.在“海洋强国”主题实践活动中，老师准备了“蛟龙号”“科学号”“奋斗者号”“向阳红”四款载人潜水器或科考船的模型，要求每个小组随机抽取两款模型，制作科普展板进行成果展示，若每款模型被抽到的可能性相等，则某小组恰好抽到“蛟龙号”和“奋斗者号”的概率是(    ) A. B. C. D. 4.若关于的一元一次方程的解是负数，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 5.将一副三角板和一个直尺按如图所示的位置摆放，则的度数为(    ) A. B. C. D. 6.拉杆式旅行箱的侧面示意图如图，箱体长，当手臂自然下垂拉旅行箱时，人体感觉较为舒服若此时拉杆伸长长度 ，拉杆与水平面夹角为，则拉杆把手一点到地面的距离为(    ) A.   B.   C. D. 7.已知二次函数的图象及其对称轴如图所示，则下列结论正确的是(    ) A. B. C. D. 8.如图，将正方形纸片沿折叠，使点的对称点落在边上，点的对称点为点，交于点，连接交于点，连接下列四个结论中：平分；∽；；，其中正确的是(    ) A. B. C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，共16分。 9.若分式有意义，则的取值范围是        ． 10.因式分解：        ． 11.分式方程的解为        ． 12.若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是        ． 13.某校准备组织全校名学生前往研学基地进行研学实践活动，随机抽取其中名同学进行研学目的地意向调查，并将调查结果制成如图统计图，估计全校学生中愿意去“湖南省科学技术馆”的学生人数为        ． 14.如图，内接于，点在劣弧上，，，，则半径的长为        ． 15.如图，在矩形中，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，，作直线，以点为圆心，的长为半径作弧，在矩形的内部与直线相交于点，连接并延长，交于点若是的中点，则        ． 16.有甲，乙，丙，丁，戊五支球队参加足球比赛，每支队伍进行场比赛．球队在每场比赛中可能获得“胜”“平”“负”三种比赛结果，每种结果对应不同的分值，并在场比赛结束后结算队伍总分．甲队伍胜场，总分分；乙队伍胜场，平场，总分分；丙队伍胜场，平场，总分分；丁队伍胜场，平场；戊队伍获胜的场数是负的场数的倍，且队伍总分是本队平场得分的倍．根据以上信息，丁队伍总分是          ，将五支队伍按分数从高到低排序，结果为          填写下面正确结果的序号．甲乙丙丁戊；甲乙丁丙戊；甲乙丁戊丙；甲乙戊丁丙 三、解答题：本题共12小题，共68分。第17-22题每题5分，第23-26题每题6分，第27-28题每题7分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分解不等式组：． 18.本小题分 计算：． 19.本小题分 已知，，求代数式的值． 20.本小题分 如图，在中，，，分别为，的中点，延长至点，使，连接，，． 求证：四边形是菱形； 若的两直角边之和为，之差为，求四边形的边长． 21.本小题分 新春佳节临近，吉祥灯笼和剪纸窗花等传统春节装饰品相继上市某校八年级年级组打算采购一批吉祥灯笼和剪纸窗花分发给各班装饰教室通过市场调研得知：若同时买个吉祥灯笼和套剪纸窗花共需元，若同时买个吉祥灯笼和套剪纸窗花共需元． 一个吉祥灯笼和一套剪纸窗花的价格分别是多少元？ 本次采购打算购买两种物品共个套，其中购买吉祥灯笼的数量不少于剪纸窗花的，且不超过剪纸窗花的倍，怎样购买两种物品最省钱？最少的费用是多少元？ 22.本小题分 在平面直角坐标系中，函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． 求，的值； 当时，对于的每一个值，的函数值大于的函数值，且小于的函数值，直接写出的取值范围． 23.本小题分 为促进学生德、智、体、美、劳全面发展，某中学对八年级的两个班分别开展不同的课后服务模式其中，一班采用传统课后服务模式，以学科作业辅导为主；二班开展“五育融合”课后服务模式，设置了艺术创作、体育拓展、劳动实践等丰富多样的活动一学期结束后，为了解两种课后服务模式的效果，学校对八年级一班和二班各名学生的综合素质进行评分． 【数据收集与整理】 一班和二班学生综合素质评分的数据整理如下表： 分数分 一班人数人 二班人数人 【数据分析与运用】 为了更深入地对比两种课后服务模式下学生综合素质的情况，学校对两组样本数据的众数、中位数、平均数、方差进行了整理，结果如下表： 众数 中位数 平均数 方差 一班 二班 表中的值为______，的值为______，的值为______； 对于这次测试，班级成绩比较整齐的是______班；填“一”或“二” 在第二学期，八年级一班也实施了“五育融合”课后服务模式，学期结束后再次对一班的综合素质进行评分，已知全班同学的评分只有分、分、分、分四种，且中位数为，众数为，则评分为分的同学最多有多少人？ 24.本小题分 如图，是的外接圆，是的直径，点在的延长线上，连接，． 求证：是的切线． 过点作，垂足为，若的面积是的面积的倍，，求的长． 25.本小题分 图是某学校饮水机，有开水、温水两个按钮，图为其信息图． 该校某数学小组想研究如何操作才能用容积为的水杯，接出最佳温度在包括与的温水，他们查阅资料得知，在不计热损失的情况下开水和温水混合时，开水放出的热量等于温水吸收的热量，即：开水体积开水降低的温度温水体积温水升高的温度小组讨论后决定采用先接一定时间的温水，再接开水，直至接满水杯的方案进行研究设接温水时间为秒，请你帮助他们解决以下问题： 接到温水的体积是______，接到开水的体积是______；用含的代数式表示 经过试验，他们发现当接满水后，水温为时口感很好，请求出此时的值； 设水杯中水的温度为，求关于的函数解析式并直接写出使水杯中水的温度达到最佳水温时的取值范围． 26.本小题分 已知二次函数为常数． 求证：该函数的图象与轴总有公共点； 若该函数在时，随的增大而减小；在时，随的增大而增大，求的取值范围； 设该抛物线与轴的两个交点分别为，点在点左侧，顶点为是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 27.本小题分 在中，，，点从点出发沿边向点移动，连接，将线段绕点逆时针旋转的度数，得到对应线段，为点的对应点． 如图，当点落在边上时，求的长； 当点移动到时，求点到边的距离； 在点从点移动到点的过程中，求点经过的路径长请直接写出答案． 28.本小题分 在平面直角坐标系中，对于图形和，给出如下定义：若图形上的所有的点都在的内部或的边上，称的最小值为点对图形的可视度，此时点为图形的可视点． 已知点在点中，对线段的可视度的点是______； 已知：点，，，直线上存在点，使得点对四边形的可视度，求的取值范围； 已知点，圆的半径为，若直线上存在长为的线段，使得上所有点都是圆的可视点，且点对于圆的可视度满足，直接写出的取值范围． 第3页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $2026年北京市东城区中考考前预测卷 数学 (考试时间：120分钟，分值：100分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷 一、选择题本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图所示的三视图描述的几何体是() 2.截至2025年12月30日，国家智慧教育平台用户总量突破1.78亿，是世界第一大教 育资源数字化中心和平台.将1.78亿用科学记数法表示应为() A.17.8×1010 B.0.178×109 C.1.78×108 D.1.78×109 3.在“海洋强国”主题实践活动中，老师准备了“蛟龙号”“科学号”“奋斗者号”“向阳红01”四款载 人潜水器或科考船的模型，要求每个小组随机抽取两款模型，制作科普展板进行成果展示，若每款模型被 抽到的可能性相等，则某小组恰好抽到“蛟龙号”和“奋斗者号”的概率是() 1 A.2 B,君 c D.3 4.若关于x的一元一次方程x一2m+1=0的解是负数，则m的取值范围是() A.m≤2 B.m<2 C.m≤2 D.m<2 5.将一副三角板和一个直尺按如图所示的位置摆放，则∠1的度数为() A.45° B.75° C.659 D.60° 第1页，共9页 6.拉杆式旅行箱的侧面示意图如图，箱体长AB=54Cm,当手臂自然下垂拉旅行箱时，人体感觉较为舒服. 若此时拉杆伸长长度BC=acm,拉杆与水平面夹角为，则拉杆把手一点C到地面的距离CD为() A.(54 a)tana cm B.(54+a)sina cm C.c 54+a D. sina cm D 7.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象及其对称轴如图所示，则下列结论正确的是() A.ac>0 B.2a-b>0 C.b2-4ac<0 D.a-b+c<0 y 8.如图，将正方形纸片ABCD沿PQ折叠，使点C的对称点E落在边AB上，点D的对称点为点F,EF交AD于点 G,连接CG交PQ于点H,连接CE.下列四个结论中①EC平分LBEG;②△PBE∽△QFG;③S△cEG=S△cBE +S四边形CDQH:④GH2=GQ·GD,其中正确的是() A.②④ B.①②④ C.①③④ D.①②③④ G Q E B 第2页，共9页 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，共16分。 9.若2x二6分式有意义，则x的取值范围是一· 10.因式分解：a3b-6a2b+9ab=一. 11.分式方程x一1=2x+1的解为一· 12.若关于x的方程mx2+2x一1=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是· 13.某校准备组织全校500名学生前往研学基地进行研学实践活动，随机抽取其中50名同学进行研学目的地 意向调查，并将调查结果制成如图统计图，估计全校学生中愿意去“湖南省科学技术馆”的学生人数为 人数 25 20 15 10 湖南省湖南省 隆平水 科学技 地质博 稻博物 长沙气目的地 象科普 术馆 物馆 馆 馆 14.如图，△ABC内接于⊙0，点D在劣弧AB上，∠BAD=15°，∠ACB=60°，AD=2,则半径的长为一· 0 B D 15.如图，在矩形ABCD中，分别以点B,C为圆心，大于BC的长为半径作弧，两弧交于点E,F,作直线E F,以点B为圆心，BA的长为半径作弧，在矩形ABCD的内部与直线EF相交于点P,连接AP并延长，交CD于 点Q,若Q是CD的中点，则0-一： 第3页，共9页 16.有甲，乙，丙，丁，戊五支球队参加足球比赛，每支队伍进行10场比赛.球队在每场比赛中可能获得 “胜”“平”“负”三种比赛结果，每种结果对应不同的分值，并在10场比赛结束后结算队伍总分.甲队 伍胜10场，总分30分：乙队伍胜6场，平4场，总分22分：丙队伍胜4场，平3场，总分15分；丁队伍胜5场， 平2场：戊队伍获胜的场数是负的场数的2倍，且队伍总分是本队平场得分的4倍.根据以上信息，丁队伍总 分是，将五支队伍按分数从高到低排序，结果为（填写下面正确结果的序号）.①甲乙丙丁戊② 甲乙丁丙戊：③甲乙丁戊丙：④甲乙戊丙 三、解答题：本题共12小题，共68分。第17-22题每题5分，第23-26题每题6分，第27-28题每题7 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 2x+1≥-3 17.(本小题5分)解不等式组： -1< 18.(本小题5分) 计算：(-3)2+V8-(月-1+50-4cos45°. 19.(本小题5分) 已知a-b=4,ab=-2,求代数式8ab2-8a2b的值. 第4页，共9页 20.(本小题5分) 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D,O分别为AB,AC的中点，延长DO至点E,使E0=DO,连接CD, CE,AE (1)求证：四边形ADCE是菱形： (2)若△ABC的两直角边之和为14，之差为2(BC>AC),求四边形ADCE的边长. E D B 21.(本小题5分) 新春佳节临近，吉祥灯笼和剪纸窗花等传统春节装饰品相继上市某校八年级年级组打算采购一批吉祥灯笼 和剪纸窗花分发给各班装饰教室.通过市场调研得知：若同时买20个吉祥灯笼和50套剪纸窗花共需1100元， 若同时买40个吉祥灯笼和30套剪纸窗花共需1500元. (1)一个吉祥灯笼和一套剪纸窗花的价格分别是多少元？ (②)本次采购打算购买两种物品共60个（套），其中购买吉祥灯笼的数量不少于剪纸窗花的，且不超过剪纸窗 花的2倍，怎样购买两种物品最省钱？最少的费用是多少元？ 22.(本小题5分) 在平面直角坐标系xOy中，函数y=kx+b(k≠0)的图象由函数y=-x的图象平移得到，且经过点(1,2). (1)求k,b的值： 第5页，共9页 (2)当x>1时，对于x的每一个值，y=mx(m≠0)的函数值大于y=kx+b的函数值，且小于y=bx+1的函 数值，直接写出m的取值范围. 23.(本小题6分) 为促进学生德、智、体、美、劳全面发展，某中学对八年级的两个班分别开展不同的课后服务模式其中， 一班采用传统课后服务模式，以学科作业辅导为主；二班开展“五育融合”课后服务模式，设置了艺术创 作、体育拓展、劳动实践等丰富多样的活动.一学期结束后，为了解两种课后服务模式的效果，学校对八年 级一班和二班各40名学生的综合素质进行评分. 【数据收集与整理】 班和二班学生综合素质评分的数据整理如下表： 分数（分） 678910 班人数（人）411103 班人数（人）17 13 5 【数据分析与运用】 为了更深入地对比两种课后服务模式下学生综合素质的情况，学校对两组样本数据的众数、中位数、平均 数、方差进行了整理，结果如下表： 众数中位数平均数方差 班 m 7.9251.219 班 8 8 0.978 (1)表中m的值为 ,n的值为 ,p的值为； (2)对于这次测试，班级成绩比较整齐的是 班：（填“一”或“二”） (3)在第二学期，八年级一班也实施了“五育融合”课后服务模式，学期结束后再次对一班的综合素质进行 评分，已知全班同学的评分只有7分、8分、9分、10分四种，且中位数为8.5，众数为9，则评分为10分的同 学最多有多少人？ 24.(本小题6分) 如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，点E在BC的延长线上，连接AE,LABE=LCAE. (1)求证：AE是⊙O的切线， (2)过点C作CD⊥AE,垂足为D,若△ABC的面积是△ADC的面积的3倍，CE=12,求OC的长. 第6页，共9页 25.(本小题6分) 图-1是某学校饮水机，有开水、温水两个按钮，图一2为其信息图. 开水 温水 开水 ○ 温水 水流速度 水流速度 15ml/s 100℃ 30℃ 20ml/s 图1 图2 该校某数学小组想研究如何操作才能用容积为600mL的水杯，接出最佳温度在35℃~38℃（包括35℃与38℃） 的温水，他们查阅资料得知，在不计热损失的情况下开水和温水混合时，开水放出的热量等于温水吸收的 热量，即：开水体积×开水降低的温度=温水体积×温水升高的温度小组讨论后决定采用先接一定时间的 温水，再接开水，直至接满水杯的方案进行研究设接温水时间为x秒，请你帮助他们解决以下问题： (1)接到温水的体积是mL,接到开水的体积是mL:(用含x的代数式表示) (2)经过试验，他们发现当接满水后，水温为37℃时口感很好，请求出此时x的值： (3)设水杯中水的温度为y℃，求y关于x的函数解析式并直接写出使水杯中水的温度达到最佳水温时x的取值 范围 26.(本小题6分) 已知二次函数y=x2+(2m-2)x-4m(m为常数). (1)求证：该函数的图象与x轴总有公共点： 第7页，共9页 (2)若该函数在0≤x≤1时，y随x的增大而减小；在3≤x≤4时，y随x的增大而增大，求m的取值范围； (3)设该抛物线与x轴的两个交点分别为A,B(点A在点B左侧)，顶点为P.是否存在实数m,使得LAPB=90°？ 若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由. 27.(本小题7分) 在△ABC中，AC=BC=5,AB=8,点M从点B出发沿BA边向点A移动，连接MC,将线段MC绕点M逆时针 旋转∠B的度数，得到对应线段MN,N为点C的对应点. (1)如图1，当点N落在AC边上时，求BM的长： (2)当点M移动到MN⊥AB时，求点N到AC边的距离； (3)在点M从点B移动到点A的过程中，求点N经过的路径长（请直接写出答案）， C N M 图1 备用图 28.(本小题7分) 在平面直角坐标系xOy中，对于图形Q和∠P,给出如下定义：若图形Q上的所有的点都在∠P的内部或∠P的 边上，称LP的最小值为点P对图形Q的可视度a,此时点P为图形Q的a可视点. 4 3引 ·M3 2 M ·M2 N -2-10 12 31 -4-3-2-1012345x B (1)已知点N(2,0).在点M1(0,V3),M2(13),M3(2,3)中，对线段0N的可视度a=60°的点是 (2)已知：点A(-2,2),B(-2,-2),C(2,-2),D(2,2).直线y=x+b上存在点F,使得点F对四边形ABCD 第8页，共9页 的可视度a=45°，求b的取值范围： (3)已知点TCO,圆T的半径为1，若直线y=-V3x+受：上存在长为1的线段MN,使得MN上所有点都是 圆T的可视点P,且点P对于圆T的可视度a满足60°≤≤90°，直接写出t的取值范围. 第9页，共9页 2026年北京市东城区中考考前预测卷 数学 （考试时间：120分钟，分值：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图所示的三视图描述的几何体是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：几何体的三视图都是长方形，不符合要求；  B.几何体的主视图是五边形，不符合要求；  C.几何体的三视图都与已知视图一致，符合要求；  D.几何体的主视图不一致，不符合要求．  故选：． 根据三视图的意义判断并解答即可． 本题考查了由三视图判断几何体，重点考查学生的空间想象能力，是基础题，难度不大． 2.截至年月日，国家智慧教育平台用户总量突破亿，是世界第一大教育资源数字化中心和平台将亿用科学记数法表示应为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：亿． 故选：． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 3.在“海洋强国”主题实践活动中，老师准备了“蛟龙号”“科学号”“奋斗者号”“向阳红”四款载人潜水器或科考船的模型，要求每个小组随机抽取两款模型，制作科普展板进行成果展示，若每款模型被抽到的可能性相等，则某小组恰好抽到“蛟龙号”和“奋斗者号”的概率是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：用，，，分别表示“蛟龙号”“科学号”“奋斗者号”“向阳红”，画树状图如下： 一共有种等可能的情况，其中恰好抽到“蛟龙号”和“奋斗者号”的结果有种， 恰好抽到“蛟龙号”和“奋斗者号”的概率是． 故选：． 画树状图列举出所有可能的情况和恰好抽到“蛟龙号”和“奋斗者号”的结果，然后利用概率公式求解． 本题考查列表或树状图求概率，解题的关键是读懂题意，能用列表或树状图求出所有可能的情况． 4.若关于的一元一次方程的解是负数，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：由得：， 关于的一元一次方程的解是负数， ， 解得， 故选：． 由得，根据关于的一元一次方程的解是负数，知，解之即可． 本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 5.将一副三角板和一个直尺按如图所示的位置摆放，则的度数为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：如图， 根据题意，得，， ， 直尺对边互相平行， 两直线平行，同位角相等， 则的度数为， 故选：． 根据平行线的性质和三角形外角的性质解答即可． 本题考查了三角形外角的性质，平行线的性质，关键是相关性质的熟练掌握． 6.拉杆式旅行箱的侧面示意图如图，箱体长，当手臂自然下垂拉旅行箱时，人体感觉较为舒服若此时拉杆伸长长度 ，拉杆与水平面夹角为，则拉杆把手一点到地面的距离为(    ) A.   B.   C. D. 【答案】B  【解析】解：拉杆伸长长度 ，拉杆与水平面夹角为，  ，  ，    故答案为：． 根据正弦的定义求解即可． 本题考查解直角三角形的应用，正确进行计算是解题关键． 7.已知二次函数的图象及其对称轴如图所示，则下列结论正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：观察图象可得，，， 故，选项错误； 图象与轴有两个交点，故，选项错误； 当时，，故D选项错误； 对称轴为直线，变形可得， 从而，故B选项正确， 故选：． 根据二次函数图象和系数的关系，逐个判断即可． 本题考查了二次函数的图象与系数的关系，熟练掌握这些内容是解题关键． 8.如图，将正方形纸片沿折叠，使点的对称点落在边上，点的对称点为点，交于点，连接交于点，连接下列四个结论中：平分；∽；；，其中正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：将正方形纸片沿折叠，使点的对称点落在边上，点的对称点为点，交于点，连接交于点，连接 由折叠可知，， 由题意可得：， ， 正确； ， 由折叠可知，，， ， ， ， ， ， ， ， ∽， 正确；  过点作，则， 在和中， ， ≌， ，， 在和中 ， ≌， ， ， 错误； 连接，，， ≌，≌， ，， ， ， ， ， 由折叠可得：， ， ， 由折叠可知：， ， ， ，，，四点共线， ， 在和中， ≌ ， ， ， ， ， ， ∽， ， 正确； 故选：． 利用折叠与平行线的性质即可求解； 利用两个角对应相等的两个三角形相似进行判定即可； 过点作，证明≌，≌，进而根据面积可判断； 连接，，，由全等三角形的性质可知，由折叠可知，根据勾股定理可知，根据的角可知，，，四点共线，然后易得∽即可求解． 本题考查正方形的性质，正确进行计算是解题关键． 二、填空题：本题共8小题，共16分。 9.若分式有意义，则的取值范围是        ． 【答案】．  【解析】解：由题可知， ， 解得． 故答案为：． 根据分母不为零的条件进行解题即可． 本题考查分式有意义的条件，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 10.因式分解：        ． 【答案】  【解析】解：原式， 故答案为：． 先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解． 该题考查了因式分解，正确进行计算是解题关键． 11.分式方程的解为        ． 【答案】．  【解析】解：方程两边同时乘，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 解得：， 检验：把代入， 分式方程的解为． 故答案为：． 把分式方程转变为整式方程，解整式方程求出的值，然后检验即可． 本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的方法是解题的关键． 12.若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是        ． 【答案】且．  【解析】解：关于的方程有两个不相等的实数根， 且． 故答案为：且． 根据方程有两个不相等的实数根得到且，代入计算解答即可． 本题考查了一元二次方程的根的判别式，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． 13.某校准备组织全校名学生前往研学基地进行研学实践活动，随机抽取其中名同学进行研学目的地意向调查，并将调查结果制成如图统计图，估计全校学生中愿意去“湖南省科学技术馆”的学生人数为        ． 【答案】．  【解析】解：由统计图可知：名， 估计全校学生中愿意去“湖南省科学技术馆”的学生人数为名． 故答案为：． 利用样本估计整体即可解答． 本题考查了用样本估计整体，熟练掌握该知识点是关键． 14.如图，内接于，点在劣弧上，，，，则半径的长为        ． 【答案】．  【解析】解：连接，，，如图， ，， ， ， 点在劣弧上， ， ， 是等腰直角三角形， ， 设的半径是， ， 解得：负值舍去． 故答案为：． 连接，，，根据圆周角定理求出和的度数，进而求出的度数，判定为等腰直角三角形，利用勾股定理即可求出半径的长． 本题主要考查的是圆周角定理，等腰直角三角形，勾股定理，熟知以上知识是解题的关键． 15.如图，在矩形中，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，，作直线，以点为圆心，的长为半径作弧，在矩形的内部与直线相交于点，连接并延长，交于点若是的中点，则        ． 【答案】．  【解析】解：记与的交点为，与的交点为，如图， 根据作图可知，为的垂直平分线，且， 为的垂直平分线，四边形是矩形， ，且， 设，，则，，， ， ， 由条件可知， ， ∽， ，即， 整理可得， 两边同时平方可得， 则，即， ． 故答案为：． 设，，根据作图可知为的垂直平分线，再由勾股定理可表示的长度，由此可表示的长度，结合三角形相似边成比例求解即可． 本题考查了基本作图、线段垂直平分线的性质，熟练掌握以上知识点是关键． 16.有甲，乙，丙，丁，戊五支球队参加足球比赛，每支队伍进行场比赛．球队在每场比赛中可能获得“胜”“平”“负”三种比赛结果，每种结果对应不同的分值，并在场比赛结束后结算队伍总分．甲队伍胜场，总分分；乙队伍胜场，平场，总分分；丙队伍胜场，平场，总分分；丁队伍胜场，平场；戊队伍获胜的场数是负的场数的倍，且队伍总分是本队平场得分的倍．根据以上信息，丁队伍总分是          ，将五支队伍按分数从高到低排序，结果为          填写下面正确结果的序号．甲乙丙丁戊；甲乙丁丙戊；甲乙丁戊丙；甲乙戊丁丙 【答案】分   【解析】解：设胜一场得分， 因为甲队伍胜场，总分分， 所以， 解得：， 所以胜一场得分． 设平一场得分， 因为乙队伍胜场，平场，总分分， 所以， 解得：， 所以平一场得分． 设负一场得分， 因为丙队伍胜场，平场，总分分， 所以， 解得：， 所以负一场不得分． 所以丁队伍总分是分． 设戊队伍负场，则获胜场，平场， 根据题意得：， 解得：， 所以戊队伍总分是分． 又因为， 所以将五支队伍按分数从高到低排序，结果为甲乙丁戊丙． 故答案为：分，． 根据甲、乙、丙队伍的得分情况，可得出胜一场得分、平一场得分、负一场不得分，结合“丁队伍胜场，平场”，可求出丁队伍的总分，设戊队伍负场，则获胜场，平场，根据戊队伍总分是本队平场得分的倍，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值，进而可求出戊队伍总分，再将五个队伍的总分比较后，即可得出结论． 本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 三、解答题：本题共12小题，共68分。第17-22题每题5分，第23-26题每题6分，第27-28题每题7分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.解不等式组：． 【答案】．  【解析】解：解不等式组，  解不等式得；  解不等式得；  故不等式组的解集为． 先依次求出两个不等式的解集，再取公共部分为不等式组的解集即可． 本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的法则是解题的关键． 18.本小题分 计算：． 【答案】  【解析】解： ． 先算零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，再算乘法，最后算加减即可． 本题考查的是零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，熟知以上知识是解题的关键． 19.本小题分 已知，，求代数式的值． 【答案】．  【解析】解：因为，， 所以， ． 对代数式因式分解：提取公因式，得到，进一步变形为代入已知条件，计算：． 本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是运用提公因式法将式子进行因式分解． 20.本小题分 如图，在中，，，分别为，的中点，延长至点，使，连接，，． 求证：四边形是菱形； 若的两直角边之和为，之差为，求四边形的边长． 【答案】，分别为，的中点， ，， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是菱形    【解析】证明：，分别为，的中点， ，， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是菱形； 解：设，， 的两直角边之和为，之差为， ， 解得， 即，， ， 为的中点， ， 若的两直角边之和为，之差为则四边形的边长为． 根据题意得出四边形是平行四边形，利用已知条件及菱形的判定即可证明； 设，，根据题意建立方程组求解得出，，再由勾股定理即可求解． 本题考查平行四边形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 21.本小题分 新春佳节临近，吉祥灯笼和剪纸窗花等传统春节装饰品相继上市某校八年级年级组打算采购一批吉祥灯笼和剪纸窗花分发给各班装饰教室通过市场调研得知：若同时买个吉祥灯笼和套剪纸窗花共需元，若同时买个吉祥灯笼和套剪纸窗花共需元． 一个吉祥灯笼和一套剪纸窗花的价格分别是多少元？ 本次采购打算购买两种物品共个套，其中购买吉祥灯笼的数量不少于剪纸窗花的，且不超过剪纸窗花的倍，怎样购买两种物品最省钱？最少的费用是多少元？ 【答案】一个吉祥灯笼的价格是元，一套剪纸窗花的价格是元  购买个吉祥灯笼，套剪纸窗花时最省钱，最少费用为元  【解析】解：设一个吉祥灯笼的价格是元，一套剪纸窗花的价格是元， 根据题意列二元一次方程组得，， 解得， 即一个吉祥灯笼的价格是元，一套剪纸窗花的价格是元， 答：一个吉祥灯笼的价格是元，一套剪纸窗花的价格是元； 设购买个吉祥灯笼，则购买剪纸窗花为套，总费用为元， 根据题意列一元一次不等式可得：， 解得， 由题意得， ， 随的增大而增大， 当时，取得最小值为， 此时，， 购买个吉祥灯笼，套剪纸窗花时最省钱，最少费用为元． 设一个吉祥灯笼的价格是元，一套剪纸窗花的价格是元，列出二元一次方程组即可求解； 设购买个吉祥灯笼，则购买剪纸窗花为套，总费用为元，列出不等式、一次函数表达式即可求解． 本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，关键是根据题意找到关系式． 22.本小题分 在平面直角坐标系中，函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． 求，的值； 当时，对于的每一个值，的函数值大于的函数值，且小于的函数值，直接写出的取值范围． 【答案】，    【解析】解：由平移性质可知， 将点代入得， ， ，． 由可得， ， 当时，对于的每一个值，的函数值大于的函数值，且小于的函数值， ， 由，得， ， ， 当时，， 当时，对于的每一个值，恒成立时，， ； 由，得， ， ， 当时，， 当时，对于的每一个值，恒成立时，， ； 综上所述，． 依据题意，根据函数的图象是由函数的图象平移得到，从而，结合函数过点，可得，进而计算可以得解； 由可得为，为，可得，再根据当时，对于的每一个值都成立即可求解． 本题考查了一次函数与一元一次不等式，熟练掌握该知识点是关键． 23.本小题分 为促进学生德、智、体、美、劳全面发展，某中学对八年级的两个班分别开展不同的课后服务模式其中，一班采用传统课后服务模式，以学科作业辅导为主；二班开展“五育融合”课后服务模式，设置了艺术创作、体育拓展、劳动实践等丰富多样的活动一学期结束后，为了解两种课后服务模式的效果，学校对八年级一班和二班各名学生的综合素质进行评分． 【数据收集与整理】 一班和二班学生综合素质评分的数据整理如下表： 分数分 一班人数人 二班人数人 【数据分析与运用】 为了更深入地对比两种课后服务模式下学生综合素质的情况，学校对两组样本数据的众数、中位数、平均数、方差进行了整理，结果如下表： 众数 中位数 平均数 方差 一班 二班 表中的值为______，的值为______，的值为______； 对于这次测试，班级成绩比较整齐的是______班；填“一”或“二” 在第二学期，八年级一班也实施了“五育融合”课后服务模式，学期结束后再次对一班的综合素质进行评分，已知全班同学的评分只有分、分、分、分四种，且中位数为，众数为，则评分为分的同学最多有多少人？ 【答案】  二  人  【解析】解：学校对八年级一班和二班各名学生的综合素质进行评分， 一班得分的人数为；二班得分的人数为； 则一班得分的众数为，即；一班成绩的中位数为第、名成绩的平均数，为，即；二班成绩的平均数为，即； 故答案为：，，； 由题中数据可知，一班成绩的方差为；二班成绩的方差为， ， 二班得成绩比较整齐； 故答案为：二； 全班同学的评分只有分、分、分、分四种，且中位数为，众数为， 设得分、分、分、分的人数分别为，，，， 全班同学的评分中位数为， 由一班成绩的中位数为第、名成绩的平均数，可知第名成绩为分、第名成绩为分， 则班级得、分学生的总人数为人，即， 一班成绩的众数为， ， 则， ， 则取得的最小整数为，此时有最大值，为， 当全班得或分的人数不超过人时，即、时，分为分的同学最多，有人． 先求出一班、二班得分人数，再由众数、中位数和平均数的求法求解即可； 通过比较题中数据里方差的大小即可得到答案； 由题中得分情况、得分中位数及众数分析即可得到答案． 本题考查方差，正确记忆相关知识点是解题关键． 24.本小题分 如图，是的外接圆，是的直径，点在的延长线上，连接，． 求证：是的切线． 过点作，垂足为，若的面积是的面积的倍，，求的长． 【答案】连接， ， ， ， ， 是的直径， ， ， ， 是的半径， 是的切线    【解析】证明：连接， ， ， ， ， 是的直径， 直径所对的圆周角是直角， ， ， 是的半径， 是的切线； 解：， ， ， ， ∽， 相似三角形的对应边成比例， 的面积是的面积的倍， ， ， 设， ，， ， ，， ∽， 相似三角形的对应边成比例， ， ， ． 连接，由等边对等角得到，则，由直径所对的圆周角是直角得到，则可导角证明，据此可证明结论； 证明∽，得到，则，设，则，，证明∽，得到，则，据此可求出． 本题考查切线的判定和性质，掌握切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键． 25.本小题分 图是某学校饮水机，有开水、温水两个按钮，图为其信息图． 该校某数学小组想研究如何操作才能用容积为的水杯，接出最佳温度在包括与的温水，他们查阅资料得知，在不计热损失的情况下开水和温水混合时，开水放出的热量等于温水吸收的热量，即：开水体积开水降低的温度温水体积温水升高的温度小组讨论后决定采用先接一定时间的温水，再接开水，直至接满水杯的方案进行研究设接温水时间为秒，请你帮助他们解决以下问题： 接到温水的体积是______，接到开水的体积是______；用含的代数式表示 经过试验，他们发现当接满水后，水温为时口感很好，请求出此时的值； 设水杯中水的温度为，求关于的函数解析式并直接写出使水杯中水的温度达到最佳水温时的取值范围． 【答案】     【解析】解：温水水流速度为，接温水用时秒， 接到温水的体积是； 又共接水， 接到开水的体积是， 故答案为：，； 根据题意得：， 解得：， 答：的值为； 根据题意得：， 化简得，， 由题意可得： ， 解得：， 的取值范围是， 故答案为：． 利用接到温水的体积温水的水流速度接温水的时间，可用含的代数式表示出接到温水的体积；利用接到开水的体积整杯水的体积接到温水的体积，即可用含的代数式表示出接到开水的体积； 利用开水体积开水降低的温度温水体积温水升高的温度，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； 利用开水体积开水降低的温度温水体积温水升高的温度，可找出关于的函数关系式，再结合饮水最佳温度是包括与，即可求出的取值范围． 本题考查了列代数式、一元一次方程的应用以及一次函数的应用，正确进行计算是解题关键． 26.本小题分 已知二次函数为常数． 求证：该函数的图象与轴总有公共点； 若该函数在时，随的增大而减小；在时，随的增大而增大，求的取值范围； 设该抛物线与轴的两个交点分别为，点在点左侧，顶点为是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】已知二次函数， 当时，得：， ， ， ， 方程总有实数根， 该函数的图象与轴总有公共点    存在，的值为或  【解析】证明：已知二次函数， 当时，得：， ， ， ， 方程总有实数根， 该函数的图象与轴总有公共点； 解：二次函数中，， 抛物线图象开口向上，对称轴为直线， 函数在时，随的增大而减小，在时，随的增大而增大， ， 解得：， 的取值范围是； 解：存在实数，使得；理由如下： 当时，得：， 解得：，， 的长度为， 顶点的横坐标为，代入函数解析式得纵坐标：， 点， 抛物线关于对称轴对称， ， 若，则是等腰直角三角形， 则斜边上的高等于的一半，且在轴上， 高的长度为， ， 整理得， 解得：或， 当时，，此时，，两点重合，不符合题意，舍去； 当时，或，解得或，均符合题意， 因此存在实数，使得，的值为或． 令，计算一元二次方程的判别式，证明判别式恒大于等于即可； 二次函数开口向上，对称轴左侧随增大而减小，右侧随增大而增大，根据题目给出的增减性得到对称轴的取值范围，解不等式即可得到的取值范围； 先求出抛物线与轴交点坐标和顶点坐标，结合且，可知是等腰直角三角形，利用斜边的高等于斜边一半列方程求解，舍去不符合条件的解即可得到结果． 本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，等腰直角三角形的性质，灵活运用二次函数的性质成为解题的关键． 27.本小题分 在中，，，点从点出发沿边向点移动，连接，将线段绕点逆时针旋转的度数，得到对应线段，为点的对应点． 如图，当点落在边上时，求的长； 当点移动到时，求点到边的距离； 在点从点移动到点的过程中，求点经过的路径长请直接写出答案． 【答案】    【解析】解：当点落在边上时，，， ， ， 在和中， ， ≌， ， 故B； 如图所示，设交于点，作于点，于点， 当时，由同理得， 由，， 故BD，， 故，， 故C，， ， ， ， ， 即点到边的距离为； 在上取，连接，如图所示， 由旋转可知，且和为等腰三角形， 故易得∽， ，， ∽， ， 故点在与成夹角的射线上运动， 当点到达点时，点运动停止，此时为点经过的路径轨迹， 此时有，如图所示， 对于顶角为的等腰，作于点，如图所示， 由知，， 则， 故C， 故， 即点经过的路径长为． 证明≌即可得到答案； 设交于点，作于点，于点，由及等腰三角形的性质知，，从而得，，进而可求出和的长，最终解直角三角形可得的长； 在上取，连接，易得旋转相似∽，进一步得到∽， 则，故得点在与成夹角的射线上运动，当点到达点时，点运动停止，此时为点经过的路径轨迹，根据相似比例关系可求的长． 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质与判定，解直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并利用相似找出动点的运动轨迹是解题关键． 28.本小题分 在平面直角坐标系中，对于图形和，给出如下定义：若图形上的所有的点都在的内部或的边上，称的最小值为点对图形的可视度，此时点为图形的可视点． 已知点在点中，对线段的可视度的点是______； 已知：点，，，直线上存在点，使得点对四边形的可视度，求的取值范围； 已知点，圆的半径为，若直线上存在长为的线段，使得上所有点都是圆的可视点，且点对于圆的可视度满足，直接写出的取值范围． 【答案】，  或  【解析】解：如图，，点，连接，，，，，， 轴，轴， ，，，，， ， 是等边三角形，即， ， ， ， ， ，，， ，对线段的可视度为，对线段的可视度不是， 故答案为：，； 若在线段上方，且时，要使得，由圆周角定理可知在以为圆心，为半径的弧上； 圆心角， 圆周角， 若在线段上方，且时，要使得，由圆周角定理可知在以为圆心，为半径的弧上； 圆心角， 圆周角， 根据对称性与中心对称，将弧与弧组成的图案顺时针依次旋转、、所得到的图案，即为对四边形的可视度的点的可行区域，如下图所示， 要使得直线上存在点，只需要与点的可行区域有交点即可， 当与上的弧相切于点时， ， ， 又点在第二象限， ， 将代入得：， 解得：， 根据中心对称当与上的弧相切于点时，此时， 将代入得：， 解得：， 综上所述，； 的取值范围为或理由如下： 对于半径为的，若点对于的可视度满足时，分别过点作的切线，，即， 当时，如图， ，，，， 四边形是正方形， 此时， 当时，如图， ，，，， 平分，即， 此时， 当点对于的可视度满足时，， 点在以为圆心，与为半径的圆环内包括边界， 上所有点都是的可视点，且点对于的可视度满足，那么必定在这个圆环之内， 我们来讨论一条长为的线段刚好卡在圆环上的临界状态： 点在半径为的上，点在半径为的上，此时过点作，如图， 设，则， ，， ，解得， ， 、分别在半径为的上，如图， 此时由垂径定理可得， ， 综上所述，到直线距离需要满足， 直线与轴交于， 到直线距离， ， 解得：或， 综上所述，的取值范围为或． 根据定义判断、、是否等于即可； 若在线段上方，且时，要使得，在以为圆心，为半径的弧上；若在线段上方，且时，要使得，在以为圆心，为半径的弧上；再根据对称性可得出点的可行区域，要使得直线上存在点，只需要与点的可行区域有交点即可，据此即可求出的取值范围； 对于半径为的，若点对于的可视度满足时，分别过点作的切线，，即时，，得出点在以为圆心，与为半径的圆环内包括边界，然后讨论一条长为的线段刚好卡在圆环上的临界状态，据此可求出到直线距离的范围，据此即可求出的取值范围． 本题属于圆的综合题，主要考查了勾股定理，直线与圆的位置关系，锐角三角函数的定义，圆的切线的性质，圆周角定理等，正确理解题目中的定义内容，并且正确作出辅助线是解答本题的关键． 第14页，共33页 学科网（北京）股份有限公司 $