精品解析：江苏省盐城市东台市第一中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷

2023～2024学年度第二学期期中考试 高二数学试题 （考试时间120分钟 总分150分） 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请在答题纸的指定位置填涂答案选项．） 1. 已知向量，，且，则x的值为（ ） A. 4 B. C. 5 D. 2. 某学校开设5门球类运动课程、4门田径类运动课程和3门水上运动课程供学生学习，某位学生任选1门课程学习，则不同的选法共有（ ） A. 60种 B. 30种 C. 12种 D. 11种 3. 在展开式中，的系数是（ ） A. B. 8 C. D. 4 4. 先后两次抛一枚质地均匀的骰子，记事件“第一次抛出的点数小于3”，事件“两次点数之和大于3”，则（ ） A. B. C. D. 5. 为直线的方向向量，和分别为平面与的法向量（与不重合，），下列说法：①；②；③；④．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 5位医生被分配到4个接种点承担接种新冠疫苗工作，每个医生只能去一个接种点，每个接种点至少有一名医生，其中医生甲不能单独完成接种工作，则共有（ ）种不同的分配方法 A. 24 B. 48 C. 96 D. 12 7. 如图，已知棱长为2的正方体，，，分别为，的中点，则异面直线与所成角为（ ） A. B. C. D. 8. 把外形相同的球分装在三个盒子中，每盒10个，其中第一个盒子中有6个球标有字母，4个球标有字母；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中有红球8个，白球2个．试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母的球，则在第二个盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母的球，则在第三个盒子中任取一个球．如果第二次取出的是红球，则称试验成功，则试验成功的概率为（ ） A. 0.59 B. 0.62 C. 0.48 D. 0.64 二、多项选择题：（本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知离散型随机变量的分布列如下所示，则（ ） 1 3 A. B. C. D. 10. 在的展开式中，下列结论正确的是（ ） A. 第4项和第5项的二项式系数相等 B. 奇数项的二项式系数和为256 C. 有理项有2项 D. 常数项为84 11. 已知分别为随机事件的对立事件，，，则（ ） A. B. 若独立，则 C. 若互斥，则 D. 若，则 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，计15分．不需要写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上．） 12. 若，则的值为______． 13. 某校在课后服务中开设了“球类”、“棋类”、“书法”、“绘画”“舞踩”等五项活动，若甲同学准备从这五项活动中随机选三项，则“书法”和“绘画”这两项中至多有一项被选中的概率为______． 14. 已知空间四边形（见图），其各边及其对角线的长都是6，，，，则______，的长为______． 四、解答题：（本大题共5小题，共77分，请在答题纸指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 身高各不相同六位同学站成一排照相， （1）A与同学不相邻，共有多少种站法？（结果用数字作答） （2）三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有多少种站法？（结果用数字作答） 16. 如图，已知四棱锥底面是直角梯形，，，，且平面，．求： （1）平面与平面所成的二面角的正弦值； （2）点到平面的距离． 17. “英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2023年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加学科知识竞答活动，题库中共有10道题目，随机抽取3道让学生回答．已知某同学只能答对其中的6道，试求： （1）抽到他能答对题目数的分布列； （2）求的期望和方差． 18. 从①第4项的系数与第2项的系数之比是；②第3项与倒数第2项的二项式系数之和为36；这两个条件中任选一个，再解决补充完整的题目． 已知（），且的二项展开式中，____． （1）求值； （2）①求二项展开式的中间项； ②求的值． 19. 如图，在直三棱柱中，，，为的中点． （1）若为上的一点，且，求证； （2）在（1）条件下，若异面直线与所成的角为，求直线与平面所成角的正弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023～2024学年度第二学期期中考试 高二数学试题 （考试时间120分钟 总分150分） 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请在答题纸的指定位置填涂答案选项．） 1. 已知向量，，且，则x的值为（ ） A. 4 B. C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量垂直得到方程，求出. 【详解】由题意得，解得. 故选：A 2. 某学校开设5门球类运动课程、4门田径类运动课程和3门水上运动课程供学生学习，某位学生任选1门课程学习，则不同的选法共有（ ） A. 60种 B. 30种 C. 12种 D. 11种 【答案】C 【解析】 【分析】利用分类加法计数原理即可得结果. 【详解】根据分类加法计数原理可知不同的选法有种， 故选：. 3. 在的展开式中，的系数是（ ） A. B. 8 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用二项式定理计算即可. 【详解】的展开式通项为， 取，则，系数为. 故选：A 4. 先后两次抛一枚质地均匀的骰子，记事件“第一次抛出的点数小于3”，事件“两次点数之和大于3”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用古典概型及条件概率公式计算即可. 【详解】由题意可知，所以. 故选:B. 5. 为直线的方向向量，和分别为平面与的法向量（与不重合，），下列说法：①；②；③；④．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量法分别判断即可得到答案. 【详解】因为 不重合，， 对①，平面平行等价于平面的法向量平行，故①正确； 对②，平面的法向量垂直等价于平面垂直，故②正确； 对③，若 ，故③错误； 对④，，故④正确. 故选：C. 6. 5位医生被分配到4个接种点承担接种新冠疫苗工作，每个医生只能去一个接种点，每个接种点至少有一名医生，其中医生甲不能单独完成接种工作，则共有（ ）种不同的分配方法 A. 24 B. 48 C. 96 D. 12 【答案】C 【解析】 分析】先从4人中选1人与甲组成1组，再连同剩余3人分配到4个接种点即可求解. 【详解】从能独立工作的4名医生中选一人与甲同时工作有种，然后把剩余3人与所选2人视为4组，分到4个不同的接种点，共有种， 故共有 故选：C 7. 如图，已知棱长为2的正方体，，，分别为，的中点，则异面直线与所成角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，求出的坐标，利用空间向量夹角公式即可求解. 【详解】如图分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设异面直线与所成角为， 则 ， 所以异面直线与所成角为. 故选：D. 8. 把外形相同的球分装在三个盒子中，每盒10个，其中第一个盒子中有6个球标有字母，4个球标有字母；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中有红球8个，白球2个．试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母的球，则在第二个盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母的球，则在第三个盒子中任取一个球．如果第二次取出的是红球，则称试验成功，则试验成功的概率为（ ） A. 0.59 B. 0.62 C. 0.48 D. 0.64 【答案】B 【解析】 【分析】根据古典概率的公式结合全概率公式计算. 【详解】设A＝“从第一个盒子中取得标有字母A球”， B＝“从第一个盒子中取得标有字母B的球”，R＝“第二次取出的球是红球”， 则，，，， . 所以试验成功的概率为. 故选：B. 二、多项选择题：（本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知离散型随机变量的分布列如下所示，则（ ） 1 3 A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题意得，解得可判断A，代入离散型随机变量的期望与方差公式即可判断BCD． 【详解】由题意可知，， 解得，故A正确； ，故B错误； ，故C正确； ，故D正确． 故选：ACD． 10. 在的展开式中，下列结论正确的是（ ） A. 第4项和第5项的二项式系数相等 B. 奇数项的二项式系数和为256 C. 有理项有2项 D. 常数项为84 【答案】BD 【解析】 【分析】利用二项式定理的性质，对四个选项逐项分析可得答案． 【详解】∵第4项的二项式系数为,第5项的二项式系数为不相等，A错误； 奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，为28＝256，B正确； 设其通项为Tr+1，则，． 当时，Tr+1为有理项，C错误； 当r＝6时，为常数项，T7＝＝＝84，D正确． 故选：BD． 11. 已知分别为随机事件的对立事件，，，则（ ） A. B. 若独立，则 C. 若互斥，则 D. 若，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于选项ABC，直接根据条件概率公式、互斥和独立定义以及相应概率公式推导运算即可判断；对于D，先由条件概率公式得，即，再利用韦恩图展示即可得解. 【详解】对于A，，故A对； 对于B，若独立，则，故B对； 对于C，若互斥，则， 故，， 所以，故C对； 对于D，即， 则，而与不一定相等， 如下图所示，所占据面积可以不等，只要在左右两侧占据面积相等， 则有，但由图可知，故D错. 故选：ABC. 【点睛】易错点睛：时，易错误理解得. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，计15分．不需要写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上．） 12. 若，则的值为______． 【答案】6或8 【解析】 【分析】由组合数公式的性质即可直接求得答案. 【详解】因为，所以或，其中， 解得或，经检验符合题意， 故答案为：或. 13. 某校在课后服务中开设了“球类”、“棋类”、“书法”、“绘画”“舞踩”等五项活动，若甲同学准备从这五项活动中随机选三项，则“书法”和“绘画”这两项中至多有一项被选中的概率为______． 【答案】## 【解析】 【分析】可先求出“书法”和“绘画”这两项都被选上的概率，再利用对立事件相关知识可解． 【详解】甲同学准备从这五项活动中随机选三项，共有种选法， 设事件A＝“书法和绘画至多有一项被选中”，则＝“书法和绘画都被选中”， 则， 则． 故答案为：． 14. 已知空间四边形（见图），其各边及其对角线的长都是6，，，，则______，的长为______． 【答案】 ①. ②. 5 【解析】 【分析】利用向量的线性运算，即可求得结果;再利用向量的平方等于向量模的平方，结合向量的数量积运算，即可求出模长. 【详解】 由可得：， 由得：， 所以， 即； 又由各边及其对角线的长都是6，即各面都是等边三角形， 所以， 则 所以， 故答案为：①,②. 四、解答题：（本大题共5小题，共77分，请在答题纸指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 身高各不相同的六位同学站成一排照相， （1）A与同学不相邻，共有多少种站法？（结果用数字作答） （2）三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有多少种站法？（结果用数字作答） 【答案】（1）480 （2）120 【解析】 【分析】（1）先排其余4人，再利用插空法分析运算； （2）先对人全排列，再根据部分定序问题运算求解. 【小问1详解】 先排列除A与外的4个人，有种方法，4个人排列共有5个空， 利用插空法将A和插入5个空，有种方法， 所以共有种方法. 【小问2详解】 对6个人全排列有种方法，全排列有种方法， 则从左到右按高到矮的排列有种方法. 16. 如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，，且平面，．求： （1）平面与平面所成的二面角的正弦值； （2）点到平面的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接建立空间直角坐标系，先求法向量，再求两法向量夹角的余弦值，再求正弦值即可； （2）直接用空间向量法求点到面的距离. 【小问1详解】 以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系． ，，，，，， 设平面的法向量，则，令，则， 所以． 取平面的法向量为，， 所以， 即平面与平面所成的二面角的正弦值． 【小问2详解】 ，平面的法向量为， 点到平面的距离. 17. “英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2023年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加学科知识竞答活动，题库中共有10道题目，随机抽取3道让学生回答．已知某同学只能答对其中的6道，试求： （1）抽到他能答对题目数的分布列； （2）求的期望和方差． 【答案】（1）分布列见解析 （2）， 【解析】 【分析】（1）求出的可能取值及其对应的概率，即可求出随机变量的分布列；（2）根据分布列由期望方差公式求解即可得出答案； 【小问1详解】 由题意知：所有可能的取值为， ；； ；； 的分布列为： 0 1 2 3 【小问2详解】期望； 又， 方差． 18. 从①第4项的系数与第2项的系数之比是；②第3项与倒数第2项的二项式系数之和为36；这两个条件中任选一个，再解决补充完整的题目． 已知（），且的二项展开式中，____． （1）求的值； （2）①求二项展开式的中间项； ②求的值． 【答案】（1）条件选择见解析， （2）①；②． 【解析】 【分析】（1）由题意，根据系数、二项式系数等知识，列出等式，解出的值． （2）由题意，利用通项公式求出二项展开式的中间项，再判断、、、、为正数，、、、为负数，再给赋值，从而求出的值． 【小问1详解】 若选择①第4项的系数与第2项的系数之比是， 则有， 化简可得，求得或（舍去）． 若选择②第3项与倒数第2项的二项式系数之和为36， 则有， 化简可得，求得或（舍去）． 【小问2详解】 由（1）可得， ①的二项展开式的中间项为． ②二项式展开式的通项公式为， 所以、、、、为正数，、、、为负数． 在中，令． 再令，可得， ∴． 19. 如图，在直三棱柱中，，，为中点． （1）若为上的一点，且，求证； （2）在（1）的条件下，若异面直线与所成的角为，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）法一：取中点，由题意得平面，要证，因为，及证面即可.法二：先证平面，在建系，向量法证明. （2）先看出与所成的角为与所成的角，即，建系向量法求直线与平面所成角的正弦值即可. 【小问1详解】 法一：取中点，连接，有， 因为，所以， 因为三棱柱为直三棱柱， 所以平面平面， 因平面平面平面， 所以平面， 因为平面，所以． 因为为的四等分点，为的中点， 所以， 因为，所以直棱柱的侧面是正方形，所以， 又因为，，所以，又，，平面， 所以面，而面， 所以，即． 法二：取中点，连接，连接交于点，连接 因为，所以， 因为三棱柱为直三棱柱， 所以平面平面， 因为平面平面，平面，， 所以平面， 因为，所以直棱柱的侧面是正方形， 所以， 如图以为坐标原点，分别以为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系 设，，，，，，， 所以，即． 【小问2详解】 连接，因为分别是的中点，所以， 所以异面直线与所成的角为与所成的角，因此 所以， ，，，， ，， ， 设平面的法向量为， 则即 则的一组解为 所以． 所以直线与平面所成角的正弦值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$