第16章 一元二次方程 解答题专项突破 2025-2026学年北京版数学八年级下册

**基本信息** 以“解法-性质-应用”为逻辑主线，系统覆盖一元二次方程核心考点，通过分层训练培养数学思维与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解一元二次方程|5题|直接开平方法、公式法、因式分解法、配方法步骤规范|从基础解法到方法选择，构建解方程技能体系| |根的判别式与系数关系|5题|判别式应用、韦达定理及变形技巧|衔接方程解法，深化根的性质理解，体现数学推理| |应用（变化率）|3题|增长率公式建模、方程求解与检验|从实际问题抽象等量关系，培养数学眼光| |应用（几何）|3题|几何图形面积公式转化、方程解的合理性分析|结合空间观念，强化数学语言表达| |应用（销售）|3题|利润公式、销量与价格关系建模|联系生活实际，提升应用意识与模型观念|

解答题专项突破之一元二次方程2025-2026 北京版八年级下册 板块一：解一元二次方程 1．解方程： （1）x2﹣81＝0； （2）4（x﹣1）2＝9． 2.用公式法解方程： （1）：x2+2x﹣6＝0． （2）：2x（x﹣3）＝（x﹣1）（x+1）． 3.用因式分解法解下列方程． （1）（2x﹣3）2﹣（x﹣2）2＝0； （2）2（t﹣1）2+t＝1． 4．用指定的方法解下列方程： （1）x2+6x﹣16＝0（配方法）； （2）x2+10x+9＝0（公式法）． 5．用适当的方法解下列方程： （1）x2+4x﹣6＝0； （2）（x+4）2＝5（x+4）． 板块二：一元二次方程的解与根判别式，根与系数的关系 1.已知关于x的方程x2+2x+m＝0有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围． （2）若两个实数根分别是x1，x2，且，求m的值． 2.已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣2＝0有实数根． （1）求实数m的取值范围； （2）当m＝1时，方程的根为x1，x2，求代数式的值． 3.已知关于x的方程x2+2mx+m2﹣2＝0． （1）试说明：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有一个根为3，求2m2+12m+2053的值． 4．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x﹣3m2+m＝0． （1）求证：无论m为何值，方程总有实数根； （2）若x1，x2是方程的两个实数根，且+＝﹣，求m的值． 5.阅读材料： 材料1：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则，； 材料2：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值． 解：∵一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n， ∴m+n＝1，mn＝﹣1， 则m2n+mm2＝mn（m+n）＝﹣1×1＝﹣1 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）材料理解：一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个根为x1，x2，则x1+x2＝　　，x1x2＝　　； （2）类比应用：已知一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两根分别为m、n，求的值； （3）思维拓展：已知实数s、t满足2s2﹣3s﹣1＝0，2t2﹣3t﹣1＝0，且s≠t，求的值． 板块三：一元二次方程应用（变化率问题） 1. 某市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，10月份售出150个，12月份售出216个．求该品牌头盔11，12两个月销售量的月均增长率． 2.某商场一月份的销售额为125万元，二月份的销售额下降了20%，商场从三月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，四月份的销售额达到了144万元． （1）求二月份的销售额； （2）求三、四月份销售额的平均增长率． 3.随着我国数字化阅读方式的接触率和人群持续增多，数字阅读凭借独有的便利性成为了更快获得优质内容的重要途径.某市2023年数字阅读市场规模为万元，2025年数字阅读市场规模为万元. (1)求2023年到2025年该市数字阅读市场规模的年平均增长率； (2)若年平均增长率不变，求2026年该市数字阅读市场规模是多少万元? 板块四：一元二次方程应用（几何问题） 1．某社区在开展“美化社区，幸福家园”活动中，计划利用如图所示的直角墙角（阴影部分，两边足够长），用50米长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，AD两边）． （1）若花园的面积为400平方米，求AB的长； （2）若在直角墙角内点P处有一棵桂花树，且与墙BC，CD的距离分别是10米，30米，要将这棵树围在矩形花园内（含边界，不考虑树的粗细），则花园的面积能否为625平方米？若能，求出AB的值；若不能，请说明理由． 2.如图，要建一个面积为140平方米的仓库，仓库的一边靠墙，这堵墙长16米;在与墙平行的一边，要开一扇2米宽的门.已知围建仓库的现有木板材料可使新建板墙的总长为32米，那么这个仓库设计的长和宽应分别为多少米? 3.如图所示，在矩形中，，，点P从点A出发沿以每秒4个单位长度的速度向点B运动，同时点Q从点B出发沿以每秒2个单位长度的速度向点C运动，点P到达终点后，P、Q两点同时停止运动． （1）当秒时，线段__． （2）当__秒时，的面积是24． 板块五：一元二次方程应用（销售问题） 1．某商店经销一种销售成本为每千克30元的水产品．据某乐同学在市场分析，若按每千克40元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克． （1）当销售单价是定为每千克45元时，求月销售利润； （2）某商店想在月销售成本不超过9000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？ 2.安顺市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量（千克）与每千克降价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示： （1）求与之间的函数关系式； （2）商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价多少元？ 3.某商场以每件220元的价格购进一批商品共900件，起初，商场按每件280元的价格销售该商品，每天可售出30件，销售两天后，为庆祝“618购物节”，商场决定开展降价促销活动，经调查发现：该商品每降价1元，平均每天可多售出3件． (1)若要使该商品每天的销售利润达到降价前的两倍，则每件商品应降价多少元？ (2)在（1）的条件下，要使该商品尽快售完，需开展几天的降价促销活动？ 【答案】 解答题专项突破之一元二次方程2025-2026 北京版八年级下册 板块一：解一元二次方程 1．解方程： （1）x2﹣81＝0； （2）4（x﹣1）2＝9． 【答案】解：（1）x2﹣81＝0， x2＝81， ∴x＝±9， ∴x1＝9，x2＝﹣9； （2）4（x﹣1）2＝9， （x﹣1）2＝， ∴x﹣1＝±， ∴x1＝，x2＝﹣． 2.用公式法解方程： （1）：x2+2x﹣6＝0． 【答案】解：这里a＝1，b＝2，c＝﹣6， ∵Δ＝22﹣4×1×（﹣6）＝28＞0， ∴x＝＝﹣1±， 解得：x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣． （2）：2x（x﹣3）＝（x﹣1）（x+1）． 【答案】解：2x（x﹣3）＝（x﹣1）（x+1）， 化简为x2﹣6x+1＝0， ∵a＝1，b＝﹣6，c＝1， ∴Δ＝b2﹣4ac＝36﹣4＝32＞0， ∴， ∴，． 3.用因式分解法解下列方程． （1）（2x﹣3）2﹣（x﹣2）2＝0； （2）2（t﹣1）2+t＝1． 【答案】解：（1）（2x﹣3）2﹣（x﹣2）2＝0， ∴[（2x﹣3）+（x﹣2）][（2x﹣3）﹣（x﹣2）]＝0， ∴（3x﹣5）（x﹣1）＝0， ∴3x﹣5＝0或x﹣1＝0， ∴x1＝，x2＝1； （2）2（t﹣1）2+t＝1， ∴2（t﹣1）2+t﹣1＝0， ∴（t﹣1）（2t﹣1）＝0， ∴t1＝1，t2＝． 4．用指定的方法解下列方程： （1）x2+6x﹣16＝0（配方法）； （2）x2+10x+9＝0（公式法）． 【答案】解：（1）方程变形得：x2+6x＝16， 配方得：x2+6x+9＝16+9，即（x+3）2＝25， 开方得：x+3＝±5， 解得：x1＝2，x2＝﹣8； （2）x2+10x+9＝0， 这里a＝1，b＝10，c＝9， ∵Δ＝100﹣36＝64＞0， ∴x＝＝﹣5±4， ∴x1＝﹣1，x2＝﹣9． 5．用适当的方法解下列方程： （1）x2+4x﹣6＝0； （2）（x+4）2＝5（x+4）． 【答案】：（1）x2+4x﹣6＝0 ∵a＝1，b＝4，c＝﹣6， ∴Δ＝42﹣4×1×（﹣6）＝40， ∴， ∴x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣； （2）（x+4）2＝5（x+4） ∴（x+4）2﹣5（x+4）＝0， 则（x+4）（x+4﹣5）＝0， ∴（x+4）（x﹣1）＝0， 则x+4＝0或x﹣1＝0， ∴x1＝﹣4，x2＝1． 板块二：一元二次方程的解与根判别式，根与系数的关系 1.已知关于x的方程x2+2x+m＝0有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围． （2）若两个实数根分别是x1，x2，且，求m的值． 【答案】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有两个不相等的实数根． ∴Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×1×m＞0， 即m＜1； （2）由根与系数的关系可知：x1+x2＝﹣2，x1•x2＝m， ∵， ∴（m﹣1）2﹣4＝0 ∴m﹣1＝±2， 解得m＝3或m＝﹣1， 而m＜1， ∴m的值为﹣1． 2.已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣2＝0有实数根． （1）求实数m的取值范围； （2）当m＝1时，方程的根为x1，x2，求代数式的值． 【答案】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣2＝0有实数根， ∴Δ≥0，即（2m﹣1）2﹣4（m2﹣2）≥0， 整理得：﹣4m+9≥0， 解得：m≤． 故实数m的取值范围是m≤； （2）当m＝1时，方程为x2+x﹣1＝0， ∵该方程的两个实数根分别为x1，x2， ∴x1+x2＝﹣1，x1x2＝﹣1，+x1＝1，+x2＝1， ∴ ＝（x1+1）（3x2+3） ＝3[x1x2+（x1+x2）+1] ＝3×（﹣1﹣1+1） ＝3×（﹣1） ＝﹣3． 3.已知关于x的方程x2+2mx+m2﹣2＝0． （1）试说明：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有一个根为3，求2m2+12m+2053的值． 【答案】解：（1）∵Δ＝（2m）2﹣4×1×（m2﹣2） ＝4m2﹣4m2+8 ＝8＞0， ∴无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）∵方程有一个根为3， ∴32+6m+m2﹣2＝0， 整理，得：m2+6m＝﹣7， ∴2m2+12m+2053 ＝2（m2+6m）+2053 ＝2×（﹣7）+2053 ＝﹣14+2053 ＝2039． 4．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x﹣3m2+m＝0． （1）求证：无论m为何值，方程总有实数根； （2）若x1，x2是方程的两个实数根，且+＝﹣，求m的值． 【答案】（1）证明：∵Δ＝[﹣（2m﹣1）]2﹣4×1×（﹣3m2+m） ＝4m2﹣4m+1+12m2﹣4m ＝16m2﹣8m+1 ＝（4m﹣1）2≥0， ∴方程总有实数根； （2）解：由题意知，x1+x2＝2m﹣1，x1x2＝﹣3m2+m， ∵+＝＝＝﹣， ∴，整理得5m2﹣7m+2＝0， 解得m＝1或m＝． 5.阅读材料： 材料1：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，则，； 材料2：已知一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n，求m2n+mn2的值． 解：∵一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根分别为m，n， ∴m+n＝1，mn＝﹣1， 则m2n+mm2＝mn（m+n）＝﹣1×1＝﹣1 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）材料理解：一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个根为x1，x2，则x1+x2＝　　，x1x2＝　　； （2）类比应用：已知一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两根分别为m、n，求的值； （3）思维拓展：已知实数s、t满足2s2﹣3s﹣1＝0，2t2﹣3t﹣1＝0，且s≠t，求的值． 【答案】解：（1）∵一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个根为x1，x2，x1+x2＝﹣＝，x1x2＝＝﹣， 故答案为：，﹣； （2）∵一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0的两根分别为m、n， ∴m+n＝，mn＝﹣． ∴+＝＝＝﹣； （3）∵实数s、t满足2s2﹣3s﹣1＝0，2t2﹣3t﹣1＝0， ∴s与t看作是方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个实数根， ∴s+t＝，st＝﹣， ∴＝＝＝﹣3． 板块三：一元二次方程应用（变化率问题） 1.某市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．某商店统计了某品牌头盔的销售量，10月份售出150个，12月份售出216个．求该品牌头盔11，12两个月销售量的月均增长率． 【答案】该品牌头盔11，12两个月销售量的月均增长率为 【详解】设该品牌头盔11，12两个月销售量的月均增长率为， 依题意得：． 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔11，12两个月销售量的月均增长率为． 2.某商场一月份的销售额为125万元，二月份的销售额下降了20%，商场从三月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，四月份的销售额达到了144万元． （1）求二月份的销售额； （2）求三、四月份销售额的平均增长率． 【答案】解：（1）125×（1﹣20%）＝125×80%＝100（万元）． 答：二月份的销售额为100万元． （2）设三、四月份销售额的平均增长率为x， 依题意得：100（1+x）2＝144， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）． 答：三、四月份销售额的平均增长率为20%． 3.随着我国数字化阅读方式的接触率和人群持续增多，数字阅读凭借独有的便利性成为了更快获得优质内容的重要途径.某市2023年数字阅读市场规模为万元，2025年数字阅读市场规模为万元. (1)求2023年到2025年该市数字阅读市场规模的年平均增长率； (2)若年平均增长率不变，求2026年该市数字阅读市场规模是多少万元? 【答案】(1) (2)预计2026年该市数字阅读市场规模是万元 【详解】（1）解：设2023年到2025年该市数字阅读市场规模的年平均增长率为 根据题意得： 解得：，（不符合题意，舍去） 答：2023年到2025年该市数字阅读市场规模的年平均增长率为 （2）（万元） ∴预计2026年该市数字阅读市场规模是万元． 板块四：一元二次方程应用（几何问题） 1．某社区在开展“美化社区，幸福家园”活动中，计划利用如图所示的直角墙角（阴影部分，两边足够长），用50米长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，AD两边）． （1）若花园的面积为400平方米，求AB的长； （2）若在直角墙角内点P处有一棵桂花树，且与墙BC，CD的距离分别是10米，30米，要将这棵树围在矩形花园内（含边界，不考虑树的粗细），则花园的面积能否为625平方米？若能，求出AB的值；若不能，请说明理由． 【答案】解：（1）设AB的长为x米，则BC的长为（50﹣x）米， 由题意得：x（50﹣x）＝400， 解得：x1＝10，x2＝40， 即AB的长为10米或40米； （2）花园的面积不能为625米2， 理由如下： 设AB的长为x米，则BC的长为（50﹣x）米， 由题意得： x（50﹣x）＝625， 解得：x1＝x2＝25， 当x＝25时，BC＝50﹣x＝50﹣25＝25， 即当AB＝25米，BC＝25米＜30米， ∴花园的面积不能为625米2． 2.如图，要建一个面积为140平方米的仓库，仓库的一边靠墙，这堵墙长16米;在与墙平行的一边，要开一扇2米宽的门.已知围建仓库的现有木板材料可使新建板墙的总长为32米，那么这个仓库设计的长和宽应分别为多少米? 【答案】14米，10米 【解析】设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为（32-2x+2）米， 由题意得x•（32-2x+2）=140，整理，得x2-17x+70=0，解得x1=10，x2=7， 当垂直于墙的边长为7米，则平行于墙的长度为32-14+2=20（米）＞16米，舍去； 当垂直于墙的边长为10米，则平行于墙的长度为32-20+2=14（米）； 答：仓库的长和宽分别为14米，10米． 故答案为：14米，10米 3.如图所示，在矩形中，，，点P从点A出发沿以每秒4个单位长度的速度向点B运动，同时点Q从点B出发沿以每秒2个单位长度的速度向点C运动，点P到达终点后，P、Q两点同时停止运动． （1）当秒时，线段__． （2）当__秒时，的面积是24． 【答案】 20 2或3/3或2 【详解】解：（1）∵当秒时，， 根据勾股定理得． 故答案为：20． （2）设运动时间为秒， 此时，，， ∵的面积是24， ∴， 整理得，， 解得：， ∴当秒或3秒时，的面积是24． 故答案为：2或3． 板块五：一元二次方程应用（销售问题） 1．某商店经销一种销售成本为每千克30元的水产品．据某乐同学在市场分析，若按每千克40元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克． （1）当销售单价是定为每千克45元时，求月销售利润； （2）某商店想在月销售成本不超过9000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？ 【答案】解：（1）根据题意得：（45﹣30）×[500﹣10×（45﹣40）] ＝15×[500﹣10×5] ＝15×[500﹣50] ＝15×450 ＝6750（元）． 答：月销售利润为6750元； （2）设销售单价定为x元/千克，则每千克的销售利润为（x﹣30）元，月销售量为500﹣10（x﹣40）＝（900﹣10x）千克， 根据题意得：（x﹣30）（900﹣10x）＝8000， 整理得：x2﹣120x+3500＝0， 解得：x1＝50，x2＝70， 当x＝50时，30（900﹣10x）＝30×（900﹣10×50）＝12000＞9000，不符合题意，舍去； 当x＝70时，30（900﹣10x）＝30×（900﹣10×70）＝6000＜9000，符合题意． 答：销售单价应定为70元/千克． 2.安顺市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量（千克）与每千克降价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示： （1）求与之间的函数关系式； （2）商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价多少元？ 【答案】解：（1）设一次函数解析式为：，根据图象可知：当，；当，； ∴，解得：， ∴与之间的函数关系式为； （2）由题意得：， 整理得：，解得：．， ∵让顾客得到更大的实惠，∴. 答：商贸公司要想获利2090元，这种干果每千克应降价9元． 3.某商场以每件220元的价格购进一批商品共900件，起初，商场按每件280元的价格销售该商品，每天可售出30件，销售两天后，为庆祝“618购物节”，商场决定开展降价促销活动，经调查发现：该商品每降价1元，平均每天可多售出3件． (1)若要使该商品每天的销售利润达到降价前的两倍，则每件商品应降价多少元？ (2)在（1）的条件下，要使该商品尽快售完，需开展几天的降价促销活动？ 【答案】(1)每件商品应降价20元或30元； (2)需开展7天的降价促销活动． （1） 解：设每件商品应降价x元， 由题意，得（280-x-220）（30+3x）=（280-220）×30×2， 解得 x1=20，x2=30． 答：每件商品应降价20元或30元； （2） 解：∵要使该商品尽快售完， ∴每件商品应降价30元． 设需要开展y天的降价促销活动． 由题意，得900-30×2=（30+3×30）y． 解得y=7． 答：需开展7天的降价促销活动． 学科网（北京）股份有限公司 $