专题03 一元二次方程根与系数的关系专训10大题型（专项训练）数学新教材北京版八年级下册

专题03 一元二次方程根与系数的关系专训10大题型（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、利用根与系数的关系直接求代数式的值 1 题型二、利用根与系数的关系间接求代数式的值 2 题型三、利用根与系数的关系降次求代数式的值 3 题型四、利用根与系数的关系求参数的值 5 题型五、构造一元二次方程求代数式的值 6 题型六、利用根与系数的关系判断根的情况 8 题型七、根的代入与根与系数的关系结合问题 9 题型八、根与系数的关系新定义问题 11 题型九、根与系数的多结论判断问题 11 题型十、根与系数关系与几何图形结合 11 B综合攻坚・能力跃升 题型一、利用根与系数的关系直接求代数式的值 1．关于的一元二次方程的两个根是,，则的值为（   ） A．5 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到，，代入计算即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两个根是,， ，， ． 2．若方程的两个实数根为，的值为（    ） A． B．2 C． D．16 【答案】A 【分析】对于一元二次方程，两根之积． 【详解】解：， ， ． 3．已知，是关于x的方程的两根，则的值为_______． 【答案】9 【分析】先根据根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：根据根与系数的关系可得：，， ∴ ． 4．不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【详解】（1）解：， ，； （2）解：， ，； （3）解：， ，． 题型二、利用根与系数的关系间接求代数式的值 5．已知是方程的两个根，则的值为（   ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系和完全平方公式的变形求解． 【详解】解：∵是方程的两个根， ∴由一元二次方程根与系数的关系可得， ∵， ∴代入得． 6．若是方程的两个实数根，则代数式的值为（   ） A．11 B．10 C． D．0 【答案】A 【分析】先利用一元二次方程根的定义，将用含的一次式表示，再结合韦达定理（根与系数的关系）得到的值，最后代入代数式化简求值． 【详解】解：是方程的实数根， ， ， 是方程的两个实数根， ， ∴ ． 7．若一元二次方程的两个根为，，则____________ 【答案】10 【分析】先得到两根之和与两根之积，再将所求代数式通分变形后，代入数值计算即可得到结果． 【详解】解：对于一元二次方程， 其中，，， 根据根与系数的关系可得： ，， ∴． 8．已知关于x的方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)记该方程的两个实数根为，，求代数式． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）求出，即可得证； （2）由一元二次方程根与系数的关系可得，，将所求代数式变形为，整体代入计算即可得出结果． 【详解】（1）证明：由题意可得： ， ， ， ∴该方程总有两个实数根； （2）解：∵该方程的两个实数根为，， ∴，， ∴ ． 题型三、利用根与系数的关系降次求代数式的值 9．设是方程的两个根，则代数式的值等于（    ） A． B．4 C． D．12 【答案】A 【分析】利用一元二次方程根的概念和根与系数的关系，得到，，，然后通过将高次项降次后得到，然后代入求值． 【详解】解：∵是方程的两个根， ∴，，， ∴，， ∵， ∴原式 ． 10．若是方程的两个根，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的相关知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 利用满足方程得出，代入原式简化，再根据根与系数关系求的值即可． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， 即， 代入原式得： ， 又∵是方程的两个根， ∴， ∴ 原式． 故选：C． 11．若m，n是一元二次方程的两个实数根，则的值为_____________ 【答案】3 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系．利用根与系数的关系得到，，然后代入化简后的结果，即可． 【详解】解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴，即， 故答案为：3 12．已知m是一元二次方程的一个根，则的值是 _________ ． 【答案】2024 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义和代数式求值，熟知方程解的定义、灵活应用整体思想是关键． 由m是方程的根，得，进而表示m³，并利用方程变形得到，代入求值． 【详解】解：因为m是一元二次方程的一个根，所以，即． 则． 因此，． 由， 两边除以，得， 即． 所以，原式 ． 故答案为：2024． 题型四、利用根与系数的关系求参数的值 13．已知关于的一元二次方程的两个实数根为，若，则的值为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】本题利用一元二次方程根与系数的关系求出的可能取值，再根据方程有两个实数根的要求，通过判别式检验舍去不符合的解，得到最终结果． 【详解】解：将原方程整理为一般形式， 对于一元二次方程，可得， ∵ 一元二次方程两根之和满足，且已知， ∴， 解得或， ∵方程有两个实数根， ∴ 判别式， 代入得， 当时，，符合要求， 当时，，不存在两个实数根，舍去， ∴． 14．已知方程的一个根是另一个根的2倍，则的值是（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系；设方程的两个根为r和，利用根与系数的关系求和与积，解出r后求k. 【详解】解：设方程的两个根为r和， ∴两根之和， ∴， ∴， ∴另一个根为， ∵两根之积， ∴. 故选：C. 15．设，是方程的两个根，且，则______． 【答案】 【分析】根据根与系数的关系得出关于的一元一次方程，即可求解． 【详解】解：∵，是方程的两个根， 则，， ∴， 解得：． 16．已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求的取值范围； (2)如果方程的两个实数根为，且，求的值． 【答案】(1)的取值范围是； (2)． 【分析】（）计算一元二次方程根的判别式进而即可求解； （）利用根与系数的关系，，然后由，再代入求解即可． 【详解】（1）解： ， ∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴即， 解得：， ∴的取值范围是； （2）解：∵方程的两个实数根为， ∴，， ∴ ， ∴， 解得：，， ∵， ∴舍去， ∴． 题型五、构造一元二次方程求代数式的值 17．若实数、满足，且，则的值是（    ） A． B．3 C．1 D． 【答案】B 【分析】整理等式确定是同一个一元二次方程的两个不相等的实根，再利用根与系数的关系求出和，最后通分计算目标代数式即可． 【详解】解：实数，满足， ，且， 整理第二个等式得， 和是一元二次方程的两个不相等的实数根， 根据一元二次方程根与系数的关系，可得，， ． 18．已知实数满足，则的值为（    ） A．2 B．2或7 C．7 D．7或9 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系. 根据题意可知，实数是一元二次方程的实数根，再根据一元二次方程根与系数的关系及方程相等的两实数根解题即可． 【详解】解：依题意，实数是一元二次方程的实数根， 若，则， ； 若，则； 故选：B． 19．已知实数m，n满足：，，且，则的值为 ____________________ ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的根等知识，通过变形的方程，得到满足与相同的二次方程，从而利用根与系数的关系求出与 的和与积，进而代入表达式求值． 【详解】解：由，且（因为若，代入方程得，矛盾）， 两边除以，得， 又， 所以和是方程的两个根， 根据根与系数的关系，有，，即， 所以， 代入原式：， 将代入， 分子为， 分母为． 由，得， 代入分子：， 分母：， 所以原式． 故答案为：． 20．阅读下面材料，再解方程： 解方程 解：当时，原方程化为，解得：，（不合题意，舍去）； 当时，原方程化为，解得：，（不合题意，舍去）； ∴原方程的根是，． (1)请参照例题解方程； (2)拓展应用：已知实数m，n满足：，求：的值． 【答案】(1)， (2)2或 【分析】（1）分两种情况分析：当时，当时，分别解一元二次方程即可； （2）分两种情况分析：①当时，②当时，然后根据根与系数的关系求解即可． 【详解】（1）解：当时，原方程化为， 解得：，（不合题意，舍去）； 当时，原方程化为， 解得：，（不合题意，舍去）； ∴原方程的根是，． （2）∵， ①当时，， ②当时，m、n是方程的两根， ∴，， ∴原式． ∴的值为2或． 题型六、利用根与系数的关系判断根的情况 21．关于的一元二次方程有两个不相等的同号实数根，则的取值范围是（  ） A．且 B． C．且 D． 【答案】D 【分析】本题需要结合一元二次方程定义，二次根式有意义的条件，根的判别式和根同号的要求，列出不等式组求解即可． 【详解】解：原方程是关于的一元二次方程，且含二次根式， 且， 解得：且， 方程有两个不相等的实数根， 判别式， 解得：， 两个根同号，同号两数乘积为正，两根乘积为， ，即， 综上所述，可得：． 22．对于一元二次方程． ①若，则方程必有一根为； ②若一元二次方程无实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个实数根，且，则必有； ④若是方程的一个实数根，则．上述说法中一定正确的是（   ） A．①② B．①③ C．①④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】逐一分析四个关于一元二次方程的说法，①将代入方程，结合得出方程必有根；②由方程无实根推出，但无法确定原方程判别式的正负，故不能确定原方程有两个不等实根；③将根代入方程，化简得到；④通过假设变形并代入根的条件，得出只有时结论才成立，最终确定①③正确． 【详解】①将代入方程得，故方程必有一根为； ②若方程无实根，则， ∵对于方程，的值无法确定是否大于， ∴不能确定方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个根，则， 又∵， ∴； ④假设， 整理得，则， 又∵是一元二次方程的根，则， 把代入得，得， 即只有在时，结论才正确． 故一定正确的说法是①③．故选B． 23．关于的方程，有下列四个命题：（   ） 甲：是该方程的根；    乙：是该方程的根； 丙：该方程两根之和为2；    丁：该方程两根之积小于0． 如果只有一个假命题，则该命题是 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】本题只有一个假命题，因此依次假设一个命题为假，其余三个为真，通过计算验证是否符合条件，即可得到结果． 【详解】解：分四种情况讨论： ①假设甲为假命题，乙、丙、丁为真命题， ∵乙说是方程的根，丙说两根之和为， ∴另一根为， ∴两根之积为，与丁说两根之积小于矛盾，此情况不成立； ②假设乙为假命题，甲、丙、丁为真命题， ∵甲说是方程的根，丙说两根之和为， ∴另一根为，两根之积为，满足丁的命题，此情况成立，只有乙为假命题； ③假设丙为假命题，甲、乙、丁为真命题， ∵甲说是根，乙说是根， ∴两根之积为，与丁说两根之积小于矛盾，出现两个假命题，此情况不成立； ④假设丁为假命题，甲、乙、丙为真命题， ∵甲说是根，乙说是根， ∴两根之和为，与丙说两根之和为矛盾，出现两个假命题，此情况不成立， 综上，假命题是乙． 24．已知关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，，且，则的值为______． 【答案】 【分析】利用根与系数的关系和根的判别式得到，，，进而得到，结合可得出关于的方程，解之可得出的值． 【详解】解：关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，， ，，， ， 或 （舍去），或， 故答案为：． 题型七、根的代入与根与系数的关系结合问题 25．已知α，β是方程的两个根，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】利用方程根的定义化简所求式子，再根据两根之积得出，最终计算结果． 【详解】解：∵α是方程的根， ∴． 对变形，得. 同理可得，. ∴原式． ∵ α，β是方程的两个根，得． ∴原式． 26．已知，是方程的两个根，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用一元二次方程根的定义对所求的代数式降次变形，再结合根与系数的关系得到两根乘积，代入计算即可． 【详解】，是方程的两个根， 由方程根的定义得，， 由一元二次方程根与系数的关系得， ， 又， ， 由，得， ， 原式， 将代入得：原式． 27．若a，b是方程的两个实数根，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根据一元二次方程的解及根与系数的关系找出、，是解题的关键． 根据一元二次方程的解得出，，进而求出，再利用根与系数的关系可得出 ， ，整体代入化简后的表达式计算． 【详解】解：∵是方程 的根， ∴，即， ∴ ， 同理：． ∴， ∵， ， ∴原式． 故答案为：． 28．已知，a，b是一元二次方程的两个根，则______． 【答案】4 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系，得到，，并利用方程变形简化表达式． 【详解】解：由根与系数的关系，得，． 由于a是方程的根，故，即， 所以． 因此，（，由 知）． 原式． 代入，得． 故答案为：4． 题型八、根与系数的关系新定义问题 29．对于任意实数a，b，定义新运算“”： ，例如：．若m，n是方程的两个实数根，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，新定义下的实数运算；由得：，由根与系数的关系得；再把所求代数式通分，整体代入即可． 【详解】解：∵， ∴， 整理得：， ∵m，n是方程的两个实数根， 即m，n是方程的两个实数根， ∴； ∴； 故选：A． 30．定义运算：．若a，b是方程的两根，则的值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．与m有关 【答案】A 【分析】由根与系数的关系可找出，根据新运算找出，将其中的1替换成，即可得出结论． 【详解】解：∵a，b是方程的两根， ∴， ∴． 故选A． 【点睛】本题考查定义新运算，一元二次方程根与系数的关系．理解并掌握新运算的法则，掌握一元二次方程根与系数的关系，是解题的关键． 31．对于任意实数，，定义：．若方程的两根记为、，则______． 【答案】2 【分析】本题主要考查了新定义，一元二次方程根与系数的关系，根据新定义运算将原方程化为一般式，利用根与系数的关系求出和的值，再根据计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵方程的两根记为、， ∴， ∴， 故答案为：2． 32．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a、b、c均不为0．请根据此定义解决下列问题： (1)方程的倒方程是 ； (2)若是的倒方程的解，求出c的值． (3)若m，n是一元二次方程的倒方程的两个不相等的实数根，求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解法和倒方程的定义是解题的关键． （1）根据新定义的含义可得答案； （2）根据题意得到方程的倒方程为，把代入即可得到的值； （3）根据题意得到方程的倒方程为，再结合方程根与系数的关系进一步解答即可． 【详解】（1）解：方程的倒方程是； 故答案为：； （2）解：由题意得：方程的倒方程为， 把代入方程得 ：， ∴； （3）解：由题意得：方程的倒方程为， ∵m，n是方程的两个不相等的实数根， ∴， ， ∴ ∴ ． 题型九、根与系数的多结论判断问题 33．关于x的方程，有下面5个说法： ①存在实数k，使得方程无实数根； ②存在实数k，使得方程恰有1个实数根； ③存在实数k，使得方程恰有2个不同实数根； ④存在实数k，使得方程恰有3个不同实数根； ⑤存在实数k，使得方程恰有4个不同实数根； 其中正确的说法有（    ）个 A．0 B．2 C．3 D．5 【答案】C 【分析】设，则原方程可变形为（1），利用一元二次方程根的判别式可得，再分三种情况讨论，结合一元二次方程根与系数的关系与根的判别式，即可求解． 【详解】解：设， 则原方程可变形为（1）， ∴， ∴当，即时，方程（1）没有实数根， 即存在实数k，使得方程无实数根，故①正确； 当，即时，方程（1）有两个相等实数根， ∴， 解得：， 即存在实数k，使得方程恰有1个实数根，故②正确； 当，即时，方程（1）有两个不相等实数根， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴无实数根，有2个不相等的实数根， ∴存在实数k，使得方程恰有2个不同实数根，故③正确；不存在实数k，使得方程恰有3个或4个不同实数根，故④⑤错误； ∴正确的说法有3个． 故选：C 【点睛】本题考查了根的判别式和根与系数的关系的应用，关键是用换元的思想，将原方程转化为较简单的方程，本题分类比较复杂，属于较难试题． 34．若关于x的一元二次方程各项系数满足，则关于此方程的根的情况，下列说法错误的是（   ） A．必有两个不相等的实数根 B．当时，有两个相等的实数根 C．当a，c同号时，方程有两个正的实数根 D．当a，b同号时，方程有两个异号实数根 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，A、B通过根的判别式进行判断，C、D结合根与系数的关系得结论． 【详解】解：∵一元二次方程的各项系数满足， ∴， ∴ ． 当时，，方程有两个相等的实数根，故A错误，符合题意；B正确，不符合题意； 当a，c同号时，方程两根的积为，两根的和为． ∴方程有两个正的实数根，故C正确，不符合题意； 当a，b同号时，两根的和为，两根的积为， ∴方程有两个异号实数根，故D正确，不符合题意， 故选：A． 35．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法：①方程是倍根方程；②若是倍根方程，则；③若，则关于x的方程是倍根方程；④若方程是倍根方程，且，则方程的一个根为1．其中正确的是_______．（写出所有正确说法的序号） 【答案】②③④ 【分析】本题考查了解一元二次方程、一元二次方程根与系数的关系，解本题的关键在理解题意，正确作出判断． 通过解出一元二次方程，结合“倍根方程”的定义，即可判断说法①；根据解方程，得出，，再结合“倍根方程”的定义，得出或，进而得出或，然后再用十字相乘法分解，再把，代入，即可判断说法②；通过解出一元二次方程，结合“倍根方程”的定义，即可判断说法③；根据“倍根方程”的定义，设，再根据一元二次方程根与系数的关系，得出，进而得出，解出即可判断说法④． 【详解】解：①解方程得：， ∴方程不是倍根方程，故①不正确； ②∵是倍根方程，且，， ∴或， ∴或， ∴，故②正确； ③∵， 解方程得：，， ∴，故③正确； ④∵方程是倍根方程， ∴设， ∵，即， ∴， ∴， ∴，即方程的一个根为1． 故④正确． 综上所述，说法正确的为：②③④． 故答案是：②③④ 36．若关于x的一元二次方程的两个根为，，且，下列说法：①；②，；③；④关于x的一元二次方程的两个根为，．其中正确的说法是________．（填写序号） 【答案】①②④ 【分析】此题考查了根与系数的关系与根的判别式，解题的关键是正确运用：若，是一元二次方程的两根，则，．根据根与系数的关系得，利用消去得到，从而即可对①进行判断；由于，，利用有理数的性质可对②进行判断；根据根的判别式的意义得到，即，则可对③进行判断；利用把方程化为，由于方程可变形为，所以或，于是可对④进行判断． 【详解】解：根据根与系数的关系得， ∵， ∴， ∴，故①正确； ∵，， ∴，，故②正确； ∵， ∴， 即， ∴，故③错误； ∵， ∴方程化为， ∴， ∵方程可变形为， ∴或， 解得，，故④正确． 故答案为：①②④． 题型十、根与系数关系与几何图形结合 37．已知等腰三角形三边分别为，，，且，是关于的一元二次方程的两根，则的值为（   ） A．32 B．36 C．32或36 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系、三角形的三边关系，分三种情况讨论：当时，当时，当时． 【详解】解：（Ⅰ）当时，即为腰时． 因为，是关于的一元二次方程的两根，可得 解得 因为， 所以，当时，，，不能围成三角形． （Ⅱ）当时，即为腰时． 同（Ⅰ）可知，当时，，，不能围成三角形． （Ⅲ）当时，即，为腰时． 因为，是关于的一元二次方程的两根，且，可得 解得 因为， 所以，当时，，，可以围成等腰三角形． 因为，是关于的一元二次方程的两根，可得 所以． 故选：B 38．若，是一元二次方程的两个实数根，若满足，我们称此类方程为“差根方程”． （1）已知关于x的方程是“差根方程”，则_________； （2）已知是直角三角形，，，若的两边、的长是一个“差根方程”的两个实数根，请写出一个符合条件的“差根方程”：_______． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】（1）解方程求出方程的两个解，再根据“差根方程”的定义建立方程求解即可； （2）根据“差根方程”的定义和勾股定理求出的长，设出满足题意的方程，再利用根与系数的关系求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， 解得或， ∵关于x的方程是“差根方程”， ∴， 解得； （2）不妨设， ∵的两边、的长是一个“差根方程”的两个实数根， ∴， ∴，即， ∵是直角三角形，且，， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴； 设符合题意的方程为， 则由根与系数的关系可得， ∴， ∴符合题意的方程为（答案不唯一）． 39．已知的一条边的长为5，另两边、的长是关于x的一元二次方程的两个实数根． (1)求证：无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)当k为何值时，为直角三角形，并求出的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2)时，周长为；时，周长为 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式进行证明即可； （2）利用一元二次方程根与系数的关系得到，，再分为斜边和为直角边两种情况，利用勾股定理列方程进行计算即可． 【详解】（1）证明：， 无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：由得， ，， 当为斜边时， ， 解得或（舍去）， 则，， 所以的周长为：； 当为直角边时， ， 解得， 则，， 所以的周长为：， 综上所述，当时，周长为12；当时，周长为30． 40．已知，是一元二次方程的两实根. (1)如果，求的值； (2)如果等腰一边长为7，另两边为，，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． （2）根据根与系数的关系定理，得，，结合等腰三角形，三角形三边关系定理解答即可． 【详解】（1）解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∵是方程的两个实数根， ∴， 解得． ∵， ∴， ∴， 整理，得， 解得或（舍去）， 故的值为6． （2）解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∵等腰三角形的一边长为7， 当时， ∴，， ∴， 整理，得， 解得， 当时，， 此时三角形的三边长为7，7，3，三角形存在， 故三角形的周长为； 当时，， 此时三角形的三边长为7，7，15，三角形不存在； 同理，当时，三角形的周长为17； ∵等腰三角形的一边长为7， 当时， ∴， 解得， ∴， 此时三角形的三边长为7，3，3，三角形不存在； 综上所述，三角形周长为17． 1．（25-26九年级上·北京·期末）若，是方程的两个实数根，则代数式的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了利用方程根的定义和根与系数的关系求解．将代入原方程得到，再结合的值整体代入目标式即可． 【详解】解：∵是方程的根， ，即， ∵，是方程的两个实数根， ∴， ∴， ∴ ， 故选：C． 2．（25-26九年级上·河北石家庄·期末）已知是方程的两个实数根．若，求（    ） A．3 B． C．4 D．0 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，由根与系数的关系，将条件转化为关于a的方程求解即可． 【详解】解：∵方程是， ∴设，，， 则，， ∴， 代入，， 得， 给定， ∴， 解得， ∴， 当时，方程为，其根的判别式，满足题意 此时，方程确为二次方程，符合条件． 故选：D． 3．（25-26九年级上·北京海淀·开学考试）已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式，二次根式的运算，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系和完全平方公式的变形是解题的关键．利用根与系数的关系得，，再利用，即可求解． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴（负值舍去）， 故选：B． 4．（25-26九年级上·北京·月考）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是（    ） ①方程是倍根方程； ②是倍根方程，则； ③若，满足，则关于的方程是倍根方程； A．①②③ B．② C．③ D．②③ 【答案】D 【分析】本题属于新定义题，掌握解一元二次方程的方法、理解新定义是解题的关键． ①是求出方程的两个根，根据倍根方程的定义进行判断即可，求出②中方程的两个根，根据倍根方程的定义，分两种情况求出m和n的关系，代入后面的式子即可判断，③根据，得出，解方程即可判断对错． 【详解】解：①方程的解为，，此方程不是倍根方程，此结论错误； ②∵是倍根方程，且， ∴或， ∴或， ∴，此结论正确． ③关于x的一元二次方程是“倍根方程”，理由如下： ∵， ∴方程可变为：方程， 解方程得：， ∴，此结论正确； 故选D． 5．（25-26九年级上·四川凉山·期末）若m、n是两个不相等的实数，且满足，，则代数式的值为______． 【答案】6 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键，由题可得m、n是的两个根，整理得到，从而得到，的值，代入即可得到答案． 【详解】解：∵m、n是两个不相等的实数，且满足，， ∴m、n是，即的两个根， 根据根与系数的关系，得，， ∴ ， 故答案为：6． 6．（25-26九年级上·北京海淀·自主招生）关于的方程有两个整数根，则整数的值是__________． 【答案】或 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，正确掌握根与系数的关系是解题的关键． 利用根与系数的关系，通过因式分解得到整数根的可能组合，再求出整数的值． 【详解】解：设方程的两个整数根为，（令）， 根据根与系数的关系，得，， 将两式相减，得，，即， 由于，是整数，因此，也是整数，且乘积为5， 当时，，或当时， 解得： ，，或，， ， 或， 故答案为：或． 7．（25-26九年级上·北京海淀·自主招生）若关于的方程的两个实数根都大于，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，熟练掌握根与系数的关系是解题关键．根据方程有两个实数根得出，可得或，根据两个实数根都大于列不等式组，解不等式组即可得答案． 【详解】解：设方程的两个实数根为、， ∴，，， 解得：或， ∵关于的方程的两个实数根都大于， ∴，， ∴， 解得：， ∴的取值范围是 故答案为：． 8．（23-24八年级上·上海金山·月考）已知关于的一元二次方程有两个不相等的整数根和，且，如果是正整数，则的值为______________． 【答案】或 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，由一元二次方程根与系数的关系得出，，再根据整数，是正整数，可得出或，然后分情况求出c的值，再验证即可得出答案． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的整数根和， ∴， ∵， ∴， 即可得出：，， ∵整数，是正整数， ∴或， 根据题意可知：， 当时，则，， 把，代入， 解得：， 当时，，满足题意， 当时，则，， 把，代入， 解得：， 当时，，满足题意， 综上：或． 故答案为：或． 9．（2026九年级上·福建泉州·专题练习）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：该一元二次方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程的两个根，是一个矩形的两边长，矩形对角线长为5，试求k的值． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系及矩形的性质，熟练掌握判别式的计算和根与系数的关系是解题的关键． （1）先写出一元二次方程的系数，再计算判别式，判断其符号． （2）先利用根与系数的关系得到和，再结合矩形对角线与边长的勾股定理关系，建立关于的方程，最后求解并检验． 【详解】（1）证明：∵方程为 ∴， ， ， ∵， ∴该一元二次方程总有两个不相等的实数根； （2）解：∵是方程的两个根， ∴， ∵矩形对角线长为， ∴， ∵， ∴， 解得或， ∵矩形边长为正数，即， ∴，， ∴， ∴． 10．（25-26八年级上·上海黄浦·期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若该方程的两个实数根分别为、，且，求的值． 【答案】(1)且 (2) 【分析】本题考查根与系数的关系及根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．一元二次方程的两个根，，满足，． （1）根据方程有两个根可得，再结合即可解决问题； （2）利用根与系数的关系即可解决问题． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：． 又∵， ∴的取值范围是且． （2）解：∵该方程有两个实数根分别为、， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 解得：， 经检验是原方程的解，但，不符合题意舍去， ∴． 11．（25-26九年级上·北京·期末）关于的一元二次方程经过适当变形，可以写成的形式、现列表探究的变形： 的变形 5 0 4 3 1 6 2 2 7 回答下列问题： (1)表格中的值为__________； (2)观察上述探究过程，表格中与满足的等量关系为__________； (3)记的两个变形为和，则的值为__________． 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握利用公式法、因式分解法和配方法解一元二次方程． （1）先把方程两边加上6，然后把方程左边因式分解，从而得到t的值； （2）利用表中数据得到m与n的和为一次项系数的相反数； （3）由（2）的结论得到，，则即，从而得到的值． 【详解】（1）解：， ， ， 所以， 故答案为：3； （2）解：， ， ， ， 所以为一次项系数的相反数， 即； 故答案为：； （3）解：由（2）的结论得到，， 所以， 即， ∴． 故答案为：． 12．（25-26九年级上·北京·期中）阅读并思考： 设是关于字母的一个整式，若是方程的一个根，则整式必有一个因式，即．其中仍然是关于字母的一个整式． (1)若，则的一个根是___________； (2)设一元二次方程有两个根，则方程可化为，即，与原方程比较系数， 得到一元二次方程根与系数的关系： 利用上式结论解题：已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，求实数的值； (3)探究引申：设一元三次方程有三个根则原方程可化为，试着展开上式，然后比较系数，可以得到根与系数的关系： 利用上式结论解题：已知方程有三个根，求的值； 【答案】(1)2 (2)3 (3)10 【分析】本题主要考查了一元二次方程和一元三次方程的根与系数的关系、完全平方公式的变形以及一元二次方程根的判别式，熟练掌握根与系数的关系和公式变形是解题的关键． （1）根据已知的整式因式分解形式，结合方程根的定义，直接确定方程的一个根． （2）先利用一元二次方程根与系数的关系求出和，再代入已知条件得到关于的方程，同时结合根的判别式确定的取值． （3）先根据一元三次方程根与系数的关系求出和，再利用完全平方公式的变形计算求值． 【详解】（1）解：∵，令，则， ∴或， ∴的一个根是， 故答案为：2． （2）解：∵方程， ∴ ，． 又∵ ， ∴ ， 整理得， 因式分解得， 解得或． ∵ 方程有两个不相等的实数根， ∴ ， 即， ， ， ． ∴ ． （3）解：对于方程， ∵ 一元三次方程根与系数的关系为，，这里，，， ∴ ，． ∴ ， ． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 一元二次方程根与系数的关系专训10大题型 目录 A题型建模・专项突破 题型一、利用根与系数的关系直接求代数式的值 1 题型二、利用根与系数的关系间接求代数式的值 2 题型三、利用根与系数的关系降次求代数式的值 3 题型四、利用根与系数的关系求参数的值 5 题型五、构造一元二次方程求代数式的值 6 题型六、利用根与系数的关系判断根的情况 8 题型七、根的代入与根与系数的关系结合问题 9 题型八、根与系数的关系新定义问题 11 题型九、根与系数的多结论判断问题 11 题型十、根与系数关系与几何图形结合 11 B综合攻坚・能力跃升 题型一、利用根与系数的关系直接求代数式的值 1．关于的一元二次方程的两个根是,，则的值为（   ） A．5 B． C．2 D． 2．若方程的两个实数根为，的值为（    ） A． B．2 C． D．16 3．已知，是关于x的方程的两根，则的值为_______． 4．不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积． (1)； (2)； (3)． 题型二、利用根与系数的关系间接求代数式的值 5．已知是方程的两个根，则的值为（   ） A．2 B．4 C．5 D．6 6．若是方程的两个实数根，则代数式的值为（   ） A．11 B．10 C． D．0 7．若一元二次方程的两个根为，，则____________ 8．已知关于x的方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)记该方程的两个实数根为，，求代数式． 题型三、利用根与系数的关系降次求代数式的值 9．设是方程的两个根，则代数式的值等于（    ） A． B．4 C． D．12 10．若是方程的两个根，则的值为（    ） A． B． C． D． 11．若m，n是一元二次方程的两个实数根，则的值为_____________ 12．已知m是一元二次方程的一个根，则的值是 _________ ． 题型四、利用根与系数的关系求参数的值 13．已知关于的一元二次方程的两个实数根为，若，则的值为（   ） A． B． C．或 D． 14．已知方程的一个根是另一个根的2倍，则的值是（    ） A．1 B． C．2 D． 15．设，是方程的两个根，且，则______． 16．已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求的取值范围； (2)如果方程的两个实数根为，且，求的值． 题型五、构造一元二次方程求代数式的值 17．若实数、满足，且，则的值是（    ） A． B．3 C．1 D． 18．已知实数满足，则的值为（    ） A．2 B．2或7 C．7 D．7或9 19．已知实数m，n满足：，，且，则的值为 ____________________ ． 20．阅读下面材料，再解方程： 解方程 解：当时，原方程化为，解得：，（不合题意，舍去）； 当时，原方程化为，解得：，（不合题意，舍去）； ∴原方程的根是，． (1)请参照例题解方程； (2)拓展应用：已知实数m，n满足：，求：的值． 题型六、利用根与系数的关系判断根的情况 21．关于的一元二次方程有两个不相等的同号实数根，则的取值范围是（  ） A．且 B． C．且 D． 22．对于一元二次方程． ①若，则方程必有一根为； ②若一元二次方程无实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个实数根，且，则必有； ④若是方程的一个实数根，则．上述说法中一定正确的是（   ） A．①② B．①③ C．①④ D．①②③④ 23．关于的方程，有下列四个命题：（   ） 甲：是该方程的根；    乙：是该方程的根； 丙：该方程两根之和为2；    丁：该方程两根之积小于0． 如果只有一个假命题，则该命题是 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 24．已知关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，，且，则的值为______． 题型七、根的代入与根与系数的关系结合问题 25．已知α，β是方程的两个根，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 26．已知，是方程的两个根，则的值为（　　） A． B． C． D． 27．若a，b是方程的两个实数根，则的值为_____． 28．已知，a，b是一元二次方程的两个根，则______． 题型八、根与系数的关系新定义问题 29．对于任意实数a，b，定义新运算“”： ，例如：．若m，n是方程的两个实数根，则的值为（    ） A． B． C． D． 30．定义运算：．若a，b是方程的两根，则的值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．与m有关 31．对于任意实数，，定义：．若方程的两根记为、，则______． 32．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中a、b、c均不为0．请根据此定义解决下列问题： (1)方程的倒方程是 ； (2)若是的倒方程的解，求出c的值． (3)若m，n是一元二次方程的倒方程的两个不相等的实数根，求代数式的值． 题型九、根与系数的多结论判断问题 33．关于x的方程，有下面5个说法： ①存在实数k，使得方程无实数根； ②存在实数k，使得方程恰有1个实数根； ③存在实数k，使得方程恰有2个不同实数根； ④存在实数k，使得方程恰有3个不同实数根； ⑤存在实数k，使得方程恰有4个不同实数根； 其中正确的说法有（    ）个 A．0 B．2 C．3 D．5 34．若关于x的一元二次方程各项系数满足，则关于此方程的根的情况，下列说法错误的是（   ） A．必有两个不相等的实数根 B．当时，有两个相等的实数根 C．当a，c同号时，方程有两个正的实数根 D．当a，b同号时，方程有两个异号实数根 35．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法：①方程是倍根方程；②若是倍根方程，则；③若，则关于x的方程是倍根方程；④若方程是倍根方程，且，则方程的一个根为1．其中正确的是_______．（写出所有正确说法的序号） 36．若关于x的一元二次方程的两个根为，，且，下列说法：①；②，；③；④关于x的一元二次方程的两个根为，．其中正确的说法是________．（填写序号） 题型十、根与系数关系与几何图形结合 37．已知等腰三角形三边分别为，，，且，是关于的一元二次方程的两根，则的值为（   ） A．32 B．36 C．32或36 D．无法确定 38．若，是一元二次方程的两个实数根，若满足，我们称此类方程为“差根方程”． （1）已知关于x的方程是“差根方程”，则_________； （2）已知是直角三角形，，，若的两边、的长是一个“差根方程”的两个实数根，请写出一个符合条件的“差根方程”：_______． 39．已知的一条边的长为5，另两边、的长是关于x的一元二次方程的两个实数根． (1)求证：无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)当k为何值时，为直角三角形，并求出的周长． 40．已知，是一元二次方程的两实根. (1)如果，求的值； (2)如果等腰一边长为7，另两边为，，求的周长． 1．（25-26九年级上·北京·期末）若，是方程的两个实数根，则代数式的值为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·河北石家庄·期末）已知是方程的两个实数根．若，求（    ） A．3 B． C．4 D．0 3．（25-26九年级上·北京海淀·开学考试）已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·北京·月考）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是（    ） ①方程是倍根方程； ②是倍根方程，则； ③若，满足，则关于的方程是倍根方程； A．①②③ B．② C．③ D．②③ 5．（25-26九年级上·四川凉山·期末）若m、n是两个不相等的实数，且满足，，则代数式的值为______． 6．（25-26九年级上·北京海淀·自主招生）关于的方程有两个整数根，则整数的值是__________． 7．（25-26九年级上·北京海淀·自主招生）若关于的方程的两个实数根都大于，则的取值范围是__________． 8．（23-24八年级上·上海金山·月考）已知关于的一元二次方程有两个不相等的整数根和，且，如果是正整数，则的值为______________． 9．（2026九年级上·福建泉州·专题练习）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：该一元二次方程总有两个不相等的实数根； (2)若该方程的两个根，是一个矩形的两边长，矩形对角线长为5，试求k的值． 10．（25-26八年级上·上海黄浦·期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若该方程的两个实数根分别为、，且，求的值． 11．（25-26九年级上·北京·期末）关于的一元二次方程经过适当变形，可以写成的形式、现列表探究的变形： 的变形 5 0 4 3 1 6 2 2 7 回答下列问题： (1)表格中的值为__________； (2)观察上述探究过程，表格中与满足的等量关系为__________； (3)记的两个变形为和，则的值为__________． 12．（25-26九年级上·北京·期中）阅读并思考： 设是关于字母的一个整式，若是方程的一个根，则整式必有一个因式，即．其中仍然是关于字母的一个整式． (1)若，则的一个根是___________； (2)设一元二次方程有两个根，则方程可化为，即，与原方程比较系数， 得到一元二次方程根与系数的关系： 利用上式结论解题：已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，求实数的值； (3)探究引申：设一元三次方程有三个根则原方程可化为，试着展开上式，然后比较系数，可以得到根与系数的关系： 利用上式结论解题：已知方程有三个根，求的值； 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $