专题06 圆（9大考点）（河北专用）2026年中考数学一模分类汇编

**基本信息** 聚焦圆的9大核心考点，精选河北各地2026年一模试题，融合中国古典建筑、非遗文化等真实情境，突出知识综合应用与创新思维考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|占比超60%|垂径定理、切线判定与性质、正多边形计算、圆与三角函数/四边形综合|以“月洞门设计”“青铜镜圆心定位”等文化情境命题，如结合《营造法式》考垂径定理应用| |证明题|约15%|切线证明、圆与三角形综合|设置动态探究问题，如“光源移动时张角变化”考查几何直观与推理能力|

专题06 圆 9大考点概览 考点01垂径定理与其他知识的综合 考点02正多边形与圆的有关计算 考点03切线的性质和判定 考点04三角函数与圆的综合问题 考点05四边形与圆的综合问题 考点06三角形与圆的综合问题 考点07扇形面积弧长有关的计算 考点08与园有关的最值问题 考点09圆的图形变换问题 垂径定理与其他知识的综合 考点01 1．（2026·河北·一模）如图1，月洞门是中国古典建筑中的一种圆形门洞，形如满月，故称“月洞门”，其形制可追溯至汉代，但真正在美学与功能上成熟于宋代，北宋建筑学家李诫编修的《营造法式》是中国古代最完整的建筑技术典籍之一． 如图2是古人根据《营造法式》中的“五举法”作出的月洞门的设计图，月洞门呈圆弧形，用表示，点是所在圆的圆心，是月洞门的横跨，是月洞门的拱高，现在我们也可以用尺规作图的方法作出月洞门的设计图．    解答下列问题： (1)如图3，已知月洞门的横跨为，拱高为，用尺规作图的方法在图3中作出月洞门的设计图（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若m，m，求的半径长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先作线段的垂直平分线，垂足为点D，然后在射线上截取；然后连接，作线段的垂直平分线交于点O；再以点O为圆心，的长为半径作．则就是所要作的圆弧； （2）连接，设的半径为，由（1）可知，垂直平分，在直角中，使用勾股定理构造方程，并解方程即可． 【详解】（1）解：月洞门的设计图如图3所示，    （2）解：如图，连接，设的半径为，则，，    由题意可知，垂直平分， ∴，， 在直角中，， ∴， 解得，． 答：的半径长为． 2．（2026·河北廊坊·一模）项目背景：胜芳古镇是国家级历史文化名镇，其“胜芳河灯会”是首批国家级非物质文化遗产．活动小组为研究灯会中大型灯门拱架的结构，取其圆形拱架截面示意图（截面为圆的一部分）进行测量与建模实践． (1)活动一，测量与建模：如图1是灯门拱架截面示意图（截面为圆的一部分），测得圆形拱门的开口弦长为，拱高（圆拱的最大高度）为．求及半径的长； (2)活动二，灯光效果模拟实验：如图2为模拟灯会灯光效果，光源点M沿弧缓慢移动．经测量，结合（1）中的数据回答问题． ①当点M在弧的三等分点处，且在点A的右侧时，求劣弧的长； ②如图3，当光源M在最高点A时，光束张角恰好照亮拱门开口．求此时的度数，并判断当光源M沿弧（不含端点C，D）移动时，的度数是否发生变化． 【答案】(1) (2)①；②，的度数不变 【分析】（1）通过弦，拱高，弦端点的半径，垂直于弦的半径，构造直角三角形，利用勾股定理，即可得出结论； （2）①利用弧长的计算公式，即可得出结果； ②利用圆周角定理及其推论，可得出结果． 【详解】（1）解：由题意得为圆拱的半径，，   ， 设则， 在中，据勾股定理得：， 即，解得， ∴． （2）解：①， 的长m， 当点M在的三等分点处，且在点A的右侧时， m； ②当光源M在最高点A时，光束张角恰好照亮拱门开口，为优弧所对的圆周角， 光源M沿（不含端点C，D）移动时， 圆心角不变， ， 的度数不变． 3．（2026·河北石家庄·一模）【必备知识】如图1，光的反射现象中，反射光线和入射光线分别位于法线两侧，反射角入射角，这就是光的反射定律． 【问题解决】如图2，某景区在半圆形观景台（半圆）旁设置镜面栈道，镜面与半圆相切于点，与为观景台上两条笔直的小路，延长直径与交于点，彩灯发射源点在上，PC为入射光线，为法线，反射光线与半圆交于点，，． (1)求的度数和的度数； (2)当反射光线与平行时，求的长度； (3)在点从（2）中位置开始沿向右运动到点的过程中（如图3），直接写出点的运动路径长． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）由直径所对的圆周角为直角得，结合，根据直角三角形两锐角互余得的度数，由切线的性质得，由圆周角定理得，从而可求出的度数； （2）过点作，由得，得，由勾股定理得，由垂径定理得计算即可； （3）根据点的运动路径得点的运动路径长为的长即可得出结论． 【详解】（1）解：是直径， ， ， ， 与半圆相切于点， ， ， ， ， ，； （2）解：过点作，则， ， ， ， ， ， ， 由勾股定理得， ； （3）解：由题意得，点从（2）中位置开始沿向右运动到点的过程中，当点与点重合时，记反射光线与半圆交于点，连接、，如图所示， 由（2）知即， ， ， ， ，， ， ， ， ， 点的运动路径长为：． 正多边形与圆的有关计算 考点02 4．（2026·河北石家庄·一模）如图是中国人民银行1992年发行的外圆内凹九边形、立体感极强的“菊花1角硬币”．移动该硬币与形成如图2所示状态．其中是内接正九边形的一条边，经过点和圆心，点是与的交点，，，，． 结论：是的切线． 结论II：若与相切于点，则的直径为． 下列说法正确的是（   ） A．结论I正确，结论II错误 B．结论I错误，结论II正确 C．结论I正确，结论II正确 D．结论I错误，结论II错误 【答案】A 【分析】根据正多边形的性质得到每个圆心角的度数为，结合题意得到，由切线的性质即可判定结论I；根据切线的性质，矩形、正方形的判定和性质得到则，再证明，由此列式求解即可． 【详解】解：内接正九边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵点是与的交点，则是的半径， ∴是的切线，即结论I正确； 若与相切于点，如图所示，连接， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴矩形是正方形，则， 设， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， ∴的直径为，故结论II错误， 综上所述，结论I正确，结论II错误 ． 5．（2026·河北秦皇岛·一模）如图，正八边形的边长为，与正八边形的边和分别相切于点和点，则劣弧的长为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，，，延长交或其延长线于一点，可求得，结合六边形的内角和为，可求得，根据同一平面内，过一点只有一条直线与已知直线垂直，可求得点与点重合，得到，最后利用弧长公式求解即可． 【详解】解：如图所示，连接，，，延长交或其延长线于一点． ∵与正八边形的边和分别相切于点和点， ∴，． ∴． ∵八边形为正八边形， ∴． ∵六边形的内角和， ∴． ∴． ∵八边形为正八边形， ∴． 又∵，同一平面内，过一点只有一条直线与已知直线垂直， ∴直线与直线为同一条直线， ∴点与点重合． ∴． ∴． ∴劣弧的长． 6．（2026·河北石家庄·一模）如图，正四边形和正五边形内接于，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：连接， ∵正四边形和正五边形内接于， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 7．（2026·河北石家庄·一模）在一次数学实践活动课上，同学们想通过测量一些数据，计算一个正六边形螺母中间圆形螺纹孔的直径．琪琪同学如图放置一把直尺，使直尺的一边经过点A，并与圆相切，交于点M．测得，螺纹孔的直径为__________． 【答案】 【分析】过点M作交的延长线于点P，取螺纹孔的圆心为点O，切点为点Q，连接，则，根据正六边形的性质可得为等边三角形，，从而得到， ，进而得到，，继而得到，在和中，利用勾股定理可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：如图，过点M作交的延长线于点P，取螺纹孔的圆心为点O，切点为点Q，连接，则， ∵正多边形为正六边形， ∴，，， ∴为等边三角形，， ∴， ， ∴，， ∴， 在和中，， ∴， 解得：， ∴， 即螺纹孔的半径为， ∴螺纹孔的直径为． 8．（2026·河北邢台·一模）如图，边长为3的正六边形，点，为边的三等分点，点，为边的三等分点，连接，则_____． 【答案】 【分析】延长和相交于点，构造出等边三角形，从而求出和的长度，再过点作于点，构造直角三角形，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：延长和相交于点，过点作于点， ∵ 六边形是正六边形， ∴，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵点，为边的三等分点，点，为边的三等分点， ∴，， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，． 9．（2026·河北·一模）已知平面内一个角，有一个圆与这个角的两边都有两个交点，若此圆在角的两边上截得的两条弦恰好都是一个正六边形的边，那么这个角的度数为___________． 【答案】或 【分析】分两种情况讨论，即角的顶点在圆上和角的顶点在圆外两种情况，利用正多边形内角和、三角形内角和定理计算求解即可． 【详解】分两种情况讨论： 当角的顶点在圆上时，圆与角的两边截得的两条弦为圆内接正六边形的两条相邻边， 即该角为正六边形的内角，如图： 正六边形的内角为，即此时该角度数为； 当角的顶点在圆外时，圆与角的两边各交于两点，截得的两条弦为该圆内接正六边形的两条边（非相邻），如图： 弦和均为正六边形的边，则， 故， ∴； 综上，这个角的度数为或． 10．某校九年级综合与实践小组开展了一次项目式主题学习． 【项目背景】 某博物馆展出了一面珍贵的战国“山”字纹青铜镜（如图1所示），它的镜面是一个标准的圆形．为了更好地进行文物保护与数字化展示，博物馆利用金石传拓非遗传承技艺制作了一个的模型（如图2所示），首要任务就是精确找到镜面的圆心． 【项目任务】 (1)任务一圆心定位．请你设计一种几何方法，仅使用直尺和圆规来确定这面青铜镜镜面的圆心．请在图2中作出示意图，保留作图痕迹． (2)任务二博物馆提供了这面青铜镜的部分信息：镜面直径为，“山”字纹的顶点恰好位于镜面的内接正五边形的五个顶点上（如图3所示），请计算镜面的内接正五边形的边长（精确到0.1）．参考数据：，，． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）在圆上任取三点A，B，C，连接，作的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心； （2）连接，作于点F，求出中心角的度数，利用垂径定理和解直角三角形进行求解即可． 【详解】（1）解：操作步骤： 第一步，在圆上任取三点A，B，C，连接； 第二步，作的垂直平分线； 第三步，作的垂直平分线，与相交于点O； 点O就是这面青铜镜镜面的圆心． 作图如下： （2）解：连接，作于点F． ∵正五边形， ∴，． ∵， ∴，． 在中，． ∴ ∴， 答：镜面的内接正五边形的边长． 切线的性质和判定 考点03 11．（2026·河北·一模）如图，点在以为直径的半圆上，，，点在线段上运动，点与点关于对称，于点，交的延长线于点．下面是某学习小组的三个同学得到的结论： 甲：； 乙：当时，与半圆相切； 丙：若点恰好落在弧上，则． 下列说法正确的是（    ） A．只有甲的结论正确 B．只有乙的结论正确 C．只有丙的结论错误 D．只有乙的结论错误 【答案】C 【分析】连接，由轴对称的性质可得，则，再证明，得到，则可证明，据此可判断甲；连接，可证明是等边三角形，得到，证明，得到，由轴对称的性质可得，则可证明，据此可判断乙；连接，设交于点H，证明，得到点H为的中点，则可证明垂直平分，推出，则，进而得到，则，据此可判断丙． 【详解】解：如图所示，连接， 由轴对称的性质可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故甲的结论正确； 如图所示，连接， ∵为直径， ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴与半圆相切，故乙的结论正确； 如图所示，连接，设交于点H， 由轴对称的性质可得， ∵为直径， ∴，即， ∴， ∴， ∴，即点H为的中点， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故丙的结论错误． 12．（2026·河北石家庄·一模）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，D均在小正方形的顶点上，且点B，C在上，． (1)所在圆的圆心的坐标是 ； (2)所在圆的半径是 ； (3)求的长； (4)在网格中过点A作的切线，直接写出这条切线经过的格点坐标（点A除外） ． 【答案】(1) (2)5 (3) (4)， 【分析】（1）设圆心，根据求出即可；（2）计算的长度即可；（3）根据弧长公式计算即可；（4）设切线经过的格点坐标为，根据切线的性质和勾股定理列式求解即可； 【详解】（1）由图可得：，，， 点在线段的垂直平分线上，圆心与点的横坐标相同， 设圆心为， ， ， ， ， ； （2）由题可得：为圆的半径， ，， ， 圆的半径为． （3）如图， 圆心为，连接，， ， ， ； （4）设切线经过的格点坐标为， ，， ，，， 是切线， ， ， ， ， ， ， 为图中某一格点， 当时，，此时，与重合，不符合； 当时，，此时，符合题意； 当时，，此时，符合题意； 当时，，此时超出格点，不符合题意； 满足条件的点有，． 13．（2026·河北邯郸·一模）如图，在边长为6的正方形纸片上，有一个圆，圆心在正方形的中心．操作①将纸片对折，然后打开，得到折痕，折痕与圆交于点E，F，如图2；②再将纸片折叠，使点B，C分别落在，边上，展开后，折痕恰好经过点F，连接，与圆交于点G，如图3，．注：． (1)直线与圆的位置关系是 ； (2)求的长； (3)求线段的长． 【答案】(1)相切 (2) (3) 【分析】（1）由折叠的性质可得，，则可证明为中间圆的直径，再由折叠的性质可得，则可证明， 据此根据切线的判定定理可得结论； （2）取的中点，连接，，则点为圆心，由折叠的性 质可得，，证明四边形是矩形，得到，解直角三角形得到，进而由勾股定理可求得，再由是的直径，得，最后，再根据面积的等积变换求解即可； （3）由，，再由的正切值，解直角三角形即可求出． 【详解】（1）解：由折叠的性质可得，， ∴ 一定经过正方形的中心， ∴为中间圆的直径， 由折叠的性质可得， ∵ ， ∴ ， ∴与圆相切； （2）解：如图，取的中点，连接，，则点为圆心， ∵  是的切线， ∴，即， 由折叠的性质可得，， ∵ 四边形是正方形， ∴， ∴ 四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴； （3）解：由(2)知 ，， ∴ ，即， ∴． 【点睛】熟练掌握圆的切线判定技巧、圆周角定理、折叠的性质、三角形面积的等积变换等相关知识是解题的关键． 14．（2026·河北邢台·一模）如图1，在中截掉一个圆心角为的扇形，优弧与直线相切于点，且点到直线的距离为5． (1)求的长； (2)如图2，优弧上存在一动点，连接，线段从出发，绕点顺时针转动，转动速度为每秒，转动时间为秒．当线段运动到时，停止转动．过点作直线，直线与交于点． ①当直线与优弧相切时，的值为_____； ②当时，求阴影部分的面积． 【答案】(1)10 (2)①6秒或18秒② 【分析】（1）过点D作于点E，于点F，利用圆的切线的性质定理，矩形的判定与性质和直角三角形的边角关系定理解答即可； （2）①利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：点M在直线的左侧，连接，利用矩形的判定与性质得到，则；点M在直线的右侧，连接，利用矩形的判定与性质求得的旋转角度为，则； ②连接，过点O作于点F，利用矩形的判定与性质得到，则，利用直角三角形的边角关系定理求得，再利用阴影部分面积＝扇形的面积的面积解答即可． 【详解】（1）解：过点D作于点E，于点F，如图， ∵优弧与直线相切于点C， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴． 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴，解得：. ∴； （2）解：①当直线l与优弧相切于点M时，点M在直线的左侧，连接，如图， ∴， 由（1）知：， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵从出发按顺时针方向转动，转动速度为每秒， ∴． 点M在直线的右侧，连接，如图， ∴， 由（1）知：， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴的旋转角度为． ∵从出发按顺时针方向转动，转动速度为每秒， ∴． 综上，当直线l与优弧相切时，t的值为6秒或18秒． ②当时，， 连接，过点O作于点F，如图， 由题意得：， 由（1）知：， ∵， ∴， ∵， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴阴影部分面积＝扇形的面积的面积； 所以，当时，阴影部分面积为． 15．（2026·河北廊坊·一模）已知半圆O的直径，为半圆O的弦长，且，点C在射线上，以为直径作半圆D． (1)如图1，当点C与点O重合时，连接交半圆D于点P，连接． 的度数为_______；比较大小：_______（填“”“”或“”）； (2)如图2，若与半圆D相切于点G，当时，求半圆D的半径长； (3)射线交半圆D于点Q，若，当两个半圆的半径之间存在2倍关系时，直接写出劣弧的长． 【答案】(1)； (2)半圆D的半径长为 (3)劣弧的长为或 【分析】（1）根据题意及圆周角定理：直径所对应的圆周角是直角，再根据垂径定理即可得答案； （2）首先，连接，，过点O作于点H，由与半圆D相切于点G，得，再根据，，得，再由，得，进而得，最后，整理可得结论； （3）根据题意分两种情况：当半圆O的半径是半圆D的半径的2倍时，如图2；当半圆D的半径是半圆O的半径的2倍时，如图3，进行“分类讨论”，添加辅助线，过点O作于点H，连接，，然后，根据，，得到，进而得到，再证得，最后，代入弧长公式计算即可；另一种情况与此类似可得答案． 【详解】（1）解：∵点C与点O重合，是半圆D的直径， ∴的度数为； ∴， ∵是半圆O的弦长，点O是圆心，， ∴=； （2）解：如图1，连接，， ∵与半圆D相切于点G， ∴． 过点O作于点H， ∵， ∴， ∵的直径为， ∴， ∴． ∵，，， ∴， ∴半圆D的半径长为； （3）解：当半圆O的半径是半圆D的半径的2倍时，如图2，过点O作于点H，连接，． ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴劣弧的长为； 当半圆D的半径是半圆O的半径的2倍时，如图3，过点O作于点H，连接，． ∵， ∴，， ∵，， ∴， 在中，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴劣弧的长为． 劣弧的长为， 综上，劣弧的长为或． 【点睛】熟练运用圆的性质，垂径定理，勾股定理，求出，，得到，能进行“分类讨论”，并熟记弧长公式是解题的关键． 16．如图，在平行四边形中，于，，，经过点作圆和边切于点（点可与点、重合），交边、边于、．    （1）求的长； （2）若点在边上，求弧的长； （3）若点与点重合，判断点与圆的位置关系； （4）设圆的半径为，直接写出的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3）是圆的外部；（4） 【分析】（1）连接交于于，先由三角函数和勾股定理求出AC、BC，再由平行四边形性质可知BD=2BH，然后由勾股定理求出BH，即可求出BD； （2）先由切线长定理求出AE=AC，然后得到BE，再利用三角函数求出OE，从而即可求弧长； （3）由切线可知∠OAB=90°，然后利用题中锐角互余关系找到，利用三角函数即可求出AM，从而判断点D与圆的位置关系； （4）当CE为圆O直径时，圆O半径最小，当E点与B点重合时，圆O半径最大，然后根据三角函数和或等面积法求解即可． 【详解】解：（1）连接交于于，    ∵于，∴， ∵， ∴， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴． （2）当圆在上时，如图，    ∵， ∴切圆于点，连接， ∵圆和边切于点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 由于圆在上，因此∠FOC=180°， ∴弧的长为． （3）如图，设半圆交直线于，连接、，    ∵， ∴是圆的直径， ∵切圆于点， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，∴是圆的外部． （4）当CE为圆O直径时，圆O半径最小，如图，    由前面可知AB=10，AC=6，BC=8， 根据等面积可知 ∴CE=，即半径为， 当E点与B点重合时，圆O半径最大，如图，连OB、OC，过O作OH⊥BC于H，    由题可知∠OBA=90°，∠OHB=90°，∠ACB=90°， ∴∠ABC+∠OBH=∠OBH+∠BOH， ∴∠ABC=∠BOH， ∴， 由BH=BC=4， 可得， ∴，即半径为， 综上，． 【点睛】本题考查了圆的综合问题，三角函数的运用，熟练掌握切线的性质和解直角三角形是解题的关键． 三角函数与圆的综合问题 考点04 17．（2026·河北石家庄·一模）如图1，的半径为4，线段经过圆心O，与交于点A，E，是的一条弦，于点F，连接． (1)如图1，连接，若平分． ①求证：； ②若，求证：是的切线； (2)如图2，延长交于点P，当时，求的长． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)4 【分析】（1）①利用垂径定理得到，，再利用全等三角形的判定可得结论； ②连接，，利用全等三角形的性质和圆周角定理可得，利用等腰三角形的三线合一性质求得，进而可得，然后利用切线的判定可得结论； （2）作于G，连接，利用垂径定理得到，利用勾股定理分别求得，，然后利用锐角三角函数求得，利用含30度角的三角形的性质得到，再利用垂径定理求解即可． 【详解】（1）解：①证明：平分， ， ∵，线段经过圆心O， ，， ． ②连接，， ， ∴， ∴， ，， ∴， ∴， ，点C在圆上， ∴是的切线； （2）解：作于G，连接， 则， ，， ∴， ∴，则， ∴， ∵， ． 18．（2026·河北邯郸·一模）活动小组自制了一个“不倒翁”，图1是“不倒翁”稳定直立在桌面上的简易截面图，其主要结构如下：为连接不倒翁最顶端和最底端的中心支架，点，是底部半圆上的两点，连接，，连接交于点，且，在与半圆所围成的弓形部分填充固定重物．已知，为半圆的直径，． (1)若． ①求填充物部分（弓形）的深度及的长； ②如图2，当支架摆动到使点落在桌面上时，求支架顶端点到桌面的距离； (2)小组经过实验发现当时，不倒翁的摇摆效果最佳．现小组决定增加填充物提升的位置，使，并摆动支架，仍使点落在桌面上，直接写出此时点比②中点的位置升高的距离． 【答案】(1)①，的长；② (2)此时点比②中点的位置升高的距离为 【分析】（1）①根据题意，运用勾股定理得到，由即可得到，根据题意得到是等边三角形，，运用弧长公式即可得到的长为； ②延长交桌面于点，过点A作于点，结合题意得到，根据解直角三角形的计算即可求解； （2）根据题意算出②中点到的距离为，再结合图形算出当时，点到的距离为，由此即可求解． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∵为半圆的直径，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴； ②如图所示，延长交桌面于点，过点A作于点， ∵，是等边三角形，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：当时， 如图所示，过点作于点，作于点，已知，， ∴，四边形是矩形， ∴， 在中，，则， ∴当时，点到的距离为， 当时， 如图所示， 同理，四边形是矩形， 在中，， 在中，， ∴，即， 整理得，， ∴， ∴， ∴， ∴此时点比②中点的位置升高的距离为． 19．（2026·河北石家庄·一模）某公园有一个圆形草坪，圆心为，半径为3米．公园内一条笔直的小路穿过草坪，与草坪边缘交于A、B两点，圆心到小路的距离为2.2米．有一辆遥控玩具车从点开始出发，沿草坪边缘以每秒的速度顺时针行驶一圈，设运动时间为秒． (1)求的长； (2)当秒时，求此时玩具车到小路的距离； (3)点是小路上的一点，连接，米，若玩具车所在位置看作点，连接，当恰好与草坪边缘相切时，直接写出此时玩具车行驶的路程． （参考数据：，，） 【答案】(1)米 (2)此时玩具车到小路的距离为米 (3)此时玩具车行驶的路程为米或米 【分析】（1）连接，作，交于点，则由垂径定理可得，由题意可得米，米，由勾股定理可得米，即可得出结果； （2）将玩具车的位置看为点，过点作，垂足为，当秒时，，解直角三角形得出，求出，解直角三角形得出米，即可得出结果； （3）分两种情况：连接，作，交于点，当与相切于的下方时，连接，则；当与相切于的上方时，连接，则，分别利用弧长公式计算即可得出结果． 【详解】（1）解：如图，连接，作，交于点，则， 由题意可得：米，米， ∴米， ∴米； （2）解：如图，将玩具车的位置看为点，过点作，垂足为， 当秒时，， ∵在中，米，米， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴米， ∵米， ∴此时玩具车到小路的距离为米； （3）解：如图，连接，作，交于点，当与相切于的下方时，连接，则， 在中，， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， 由（2）可得， ∴此时玩具车行驶的路程为米； 如图，当与相切于的上方时，连接，则， 同理可得：，， 此时玩具车行驶的路程为米； 综上所述，此时玩具车行驶的路程为米或米． 20．（2026·河北石家庄·一模）如图，在中，，，，点在射线上（点不与点重合）；过点作，垂足为，以点为圆心，为半径在上方画半圆，交射线于点，两点（点在的左侧），设． (1)当点为中点时，求的值； (2)如图2，当点与点重合时，连接，求弧及弦的长； (3)当半圆与边无交点时，直接写出的取值范围．（参考数据：取，取，取） 【答案】(1) (2)弧的长度为：，弦的长度为 (3)或 【分析】（1）证明，即可求解； （2）先对运用等面积法求解，然后求解的度数，即可求解，再由弧长公式求解弧；过点作于，证明，求出，，则，再对运用勾股定理求解即可； （3）找到两个临界位置，即①当点O在点C左侧，且与相切时；②当点O在点C右侧，且与相切时，然后通过求解即可． 【详解】（1）解：在中，，，， ． 点为中点， ． ， ． ． ， ． ，即， ． （2）解：当点与点重合时，为边的高， ，即：， ． ，， ， ， ． 弧的长度为：．         过点作于（如图）， ． ， ． ． ，即． ，． ． 在中，． （3）解：①当点O在点C左侧，且与相切时，如图， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴当半圆O在的左侧，且与无交点时，x的取值范围为：； ②当点O在点C右侧，且与相切时，如图， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴当半圆O在的右侧，且与无交点时，x的取值范围为：； 综上，当半圆与无交点时，x的取值范围是或． 21．（2026·河北张家口·一模）如图，在中，，点D和点E分别在和边上（不与端点重合），且，延长和射线交于点F，作，与边交于点G，作的外接圆在上方的部分，连接． (1)若，，求的长． (2)求证：是的切线． (3)若，，直接写出的值． 【答案】(1)2 (2)证明见解析 (3) 【分析】(1)根据直角三角形所对的直角边是斜边的一半可解此问； (2)首先，根据，得，再由，，得，根据，得，进而，得出结论； (3)先根据勾股定理求得，设的半径为，，再根据，得，，，接着，证出，得，即，解得(舍去)，可得，最后，得出． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）证明：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵是的半径， ∴是的切线； （3）解：∵，，， ∴． 设的半径为，， ∴． ∵，即， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵，是的切线， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，即， ∴， 解得(舍去)． ∴． ∴． 【点睛】根据已知条件利用三角函数值及相似三角形的判定与性质证出，得是解决本题的关键． 四边形与圆的综合问题 考点05 22．（2026·河北张家口·一模）如图1和图2，中，对角线，P是上一点（不与点A重合），以为直径作半圆，圆心为点O，交于点E． (1)如图1，若半圆与相切，点F为切点，连接并延长，交于点G，求证：． (2)如图2，若半圆与交于点M，N，且，，． ①求的长； ②连接，直接写出与长的大小关系．（注：取） 【答案】(1)见解析 (2)①；②的长小于的长 【分析】（1）连接，由切线的性质得到，则可证明，得到；进一步可证明；由平行四边形的性质和平行线的性质可得，则可证明，据此可证明； （2）①过点O作于点T，可证明；设，解直角三角形得到，；根据，，得到，解方程可推出，再由垂径定理可得答案；②求出，得到和的长；证明，得到，则；设，由勾股定理可得，解方程可推出，据此可得答案． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵半圆与相切，点F为切点， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：①如图所示，过点O作于点T， ∵， ∴， ∵， ∴； 设， 在中，， 在中，， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴； ②如图所示，由（2）①可得， ∴， ∴，的长为； ∵是半圆O的直径， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 设， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∵， ∴的长小于的长． 23．（2026·河北保定·二模）如图，在平行四边形中，，，点P在边上（不与点B，C重合），连接，是的外接圆． (1)若． ①当时，的度数为______； ②当P是的中点时，求的长； (2)若，当与边或边所在直线相切时，求的长． 【答案】(1)①；② (2)当与边所在直线相切时，的长为，当与边所在直线相切时，的长为 【分析】（1）根据平行四边形的性质，得到， ①由垂直关系得到，利用三角形内角和计算即可； ②根据已知的线段长，推出，从而得到是等边三角形，根据这个条件，求出此时的半径，和所对圆周角是求解即可； （2）分情况讨论，利用，过点A作的垂线，通过三角函数值设参，利用图中的平行线找到相等角，从而得到相似三角形，最后用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：①在平行四边形中，， ∴， 当时，， ∴； ②∵P是的中点， ∴， 又由（1），得， ∴是等边三角形， ∴， 如解图①，连接，，过点O作于点E， ∵，， ∴，， ∴， ∴的长为； （2）解：分两种情况， 第一种：当与边所在直线相切时，A是切点，如解图②，连接并延长，交于点M， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 由垂径定理，可知， ∵， ∴， 设，则， 由，得， ∴，， ∴； 第二种：当与所在直线相切时，如解图③，设切点为Q，连接并延长，交于点N，过点A作于点H，连接，， 同第一种情况，可得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理，得，即， 解得， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 综上，当与边所在直线相切时，的长为，当与边所在直线相切时，的长为． 24．（2026·河北石家庄·一模）如图1，在平行四边形中，，，点F为的中点，过点F作于E，． (1)求的长； (2)如图2，以为直角边构造，，斜边交于点P，． ①求的长； ②的外心为O，求点O与点A之间的距离； ③将向右平移，点E平移到点B时停止，当以为直径的圆与平行四边形的边相切时，直接写出平移的距离． 【答案】(1) (2)①；②；③或 【分析】（1）设，，在中，根据勾股定理列方程解得，即可得到的长； （2）①由，证得，根据对应边成比例求出； ②连接，作于Q，得到，利用三角函数求出设，，则，解得，进而得到，由勾股定理得； ③分两种情况：圆与边或边相切，利用切线的性质及三角函数解答． 【详解】（1）解：∵点F为的中点， ∴， 在中，， 设，， 则，得， ∴； （2）解：①在中，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； ②在中，的外心是的中点O， 连接，作于Q， 在中，由勾股定理得， ∴， ∵， ∴， ∴，又， ∴在中， 设，，则 解得， ∴，， ∴ 由勾股定理得； ③由①得 当圆与边相切时，如图，过点O作，交于点M， 则， ∴，即 得， 作于点N，则， ∵， ∴， ∴， ∴平移的距离； 当圆与边相切时，如图， 同理，， ∴平移的距离； 综上，平移的距离为或． 25．（2026·河北保定·一模）如图1，在菱形中，，，对角线与相交于点，为线段上一点，过点作，交边于点N，以点为圆心，的长为半径画弧，与点下方的线段交于点（可与点B重合），与边交于点连接． (1)求的度数； (2)如图2，当点与点重合时，连接，求的长； (3)求扇形的面积最大值及此时点C与点之间的距离． 【答案】(1) (2) (3)，点与点之间的距离为 【分析】--（1）由菱形性质可知平分，故点M到AD的距离等于点M到CD的距离．结合即可得出，由此求出即可求解； （2）根据（1）可求，进而可得，再解三角形求出， （3）在中，，由此得出当最大时，最大，即扇形MPQ的面积最大，当点P与点B重合时，最大，即扇形的面积最大由此解题． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴平分． ∵点在上， ∴点到的距离等于点M到的距离． ∵， ∴点到的距离等于的长． ∵， ∴为点到的距离， ∴． ∵，∴． 在菱形中，， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵四边形是菱形，， ∴，， ∴． ∵，， ∴． ∴， ∴． ∵， ∴． （3）解：设， 由（1）得， ∴扇形的面积为． ∵，∴当r最大时，扇形的面积最大． ∵在中，， ∴当最大时，最大，即扇形的面积最大， ∴如解图②，当点与点重合时，最大，即扇形的面积最大． ∵， ∴． ∵，∴，解得， ∴，． 在中，， ∴此时点与点重合，， ∴扇形面积的最大值为， 此时点与点之间的距离为． 【点睛】性质转化：第（1）问的关键在于将“菱形对角线平分角”转化为“点到两边距离相等”，从而证明垂直关系，这是解决此类几何证明题的常用突破口． 2．三角函数法：第（2）问直接利用菱形的特殊角度（， ）及三角函数值（ ）进行计算，比纯几何法更为简洁高效． 3．函数与方程思想：第（3）问是典型的最值问题，核心策略是“以静制动”．将动态的扇形面积转化为半径 的函数，再将 与线段 建立关系，最后利用几何位置的极限状态（ 与 重合）建立方程求解，体现了数形结合与方程思想的完美结合． 26．（2026·河北邯郸·二模）综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠与展开”为主题开展数学活动．如图1，矩形纸片中，，，点是边上的一个动点，将沿折叠，点的对应点为点． (1)当落在上时，的长为 ；此时，四边形的面积为 ； (2)当点运动到边的中点时，在图2中用尺规作出折痕和点的对应点（保留作图痕迹，不写作法）； (3)如图3，连接，交于点．当点在边上从点运动到点时，点也随之运动，求点的运动路径长（结果保留）．（参考数据：） 【答案】(1)； (2)图见解析 (3) 【分析】（1）结合矩形的性质和折叠的性质，容易证明四边形是矩形，则，进而求出四边形的面积； （2）作出的垂直平分线，与的交点即为中点，再分别以点、为圆心，、为半径作圆，两圆的另一个交点即为点； （3）由折叠的性质可得，因此点在以为直径的圆上．分析弧的起点和终点，当点在点处时，点与点重合；当点在点处时，点在上，作出此时的图，因此点的运动路径为．逆向利用三角函数可计算出，从而得到，，结合半径为，利用扇形的弧长公式进行计算即可． 【详解】（1）解：如图，落在上， ∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质可得，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴； （2）解：折痕和点如图所示： 根据尺规作图可得，，， 又∵， ∴， ∴点与点关于对称； （3）解：由折叠的性质可得，， ∴， ∴点在以为直径的圆上， 当点在点处时，点与点重合； 当点在点处时，如图，取的中点，连接， 此时，点在上， ∴点的运动路径为， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的长为， ∴点的运动路径长为． 三角形与圆的综合问题 考点06 27．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=8，点P为AB的中点，E为BC上一动点，过P点作FP⊥PE交AC于F点，经过P、E、F三点确定⊙O． （1）试说明：点C也一定在⊙O上． （2）点E在运动过程中，∠PEF的度数是否变化？若不变，求出∠PEF的度数；若变化，说明理由． （3）求线段EF的取值范围，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析（2）∠PEF的度数不变，是45°（3）E≤ 【分析】（1）先根据直径所对的圆周角是直角，先证得EF是直径，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，证得点C在圆上即可； （2）根据线段的垂直平分线的判定，可证得PE=PF，得到△PEF是等腰直角三角形； （3）根据E点的移动，可知当E与C重合时，EF最长，而当EF为△ABC的中位线时，EF最短，求出即可. 【详解】解：（1）∵FP⊥PE， ∴∠FPE=90°， ∴EF为直径， ∴OP=OE=OF， ∵∠C=90°， ∴OC=OE=OF， ∴点C在⊙O上， （2）连接PC ∵AC=BC， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∵点P是AB的中点， ∴CP平分∠ACB， ∴∠ACP=45°， ∵， ∴∠ACP=∠PEF=45°， 由于∠ACP的度数不变， ∴∠PEF的度数不会发生变化． （3）当E与C重合时，EF最长，此时EF=AC=8； 当EF为△ABC的中位线时，EF最短，根据勾股定理可得AB=8， 根据三角形的中位线可得EF=4， 所以≤EF≤8． 28．如图，中，，以上一点O为圆心过点A作，交于点D． (1)尺规作图：作的垂直平分线，分别交、于点E、F；（不写作法，保留作图痕迹） (2)连接，求证：是的切线； (3)若，，求弧的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）利用线段垂直平分线的尺规作图步骤画图即可； （2）根据线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质以及直角三角形的两锐角互余得出即可； （3）根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出，根据弧长公式即可解决问题． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求： （2）证明：连接， ， ， 是的垂直平分线， ， ， 是直角三角形，， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （3）解：， ， ， ， ， ， 的长为． 【点睛】本题考查了切线的判定，线段的垂直平分线的画法及性质，等边对等角，弧长公式，三角形的内角和定理等知识点，解题关键是掌握切线的判定方法，线段垂直平分线的性质． 29．如图，四边形中，，以为直径的经过点，连接、交于点．    (1)证明：； (2)若，证明：与相切． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接，直接利用即可证得，可得，根据等腰三角形三线合一的性质可得，由是直径可得，即可证明； （2）设，则，利用勾股定理可得，根据相似三角形的判定和性质可用表示出、的长，即可表示出的长，根据勾股定理逆定理可得，即可证明与相切． 【详解】（1）证明：连接，    在和中， ， ； ， ， ， 为的直径， ， 即， ； （2）∵是直径， ∴，， 设， ， ， ， ，且， ， ， ，， 在中，， ， 在中， ，， ， ， 是直径， 与相切． 【点睛】本题考查圆周角定理、切线的判定、相似三角形的判定和性质勾股定理解三角形等，熟练掌握相关性质及定理是解题关键． 扇形面积弧长有关的计算 考点07 30．（2026·河北廊坊·一模）如图，的半径为2，A，B，C是上的三个点．若四边形为平行四边形，连接，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，交于点，证明四边形为菱形，则，可得为等边三角形和，则，进而根据扇形面积公式求解即可． 【详解】解：如图，连接，交于点，则：， 四边形为平行四边形，， 四边形为菱形， ， ∴，为等边三角形， ， 阴影部分的面积． 31．在边长为3的正六边形中，将四边形绕顶点A顺时针旋转到四边形处，如图，此时边与对角线重叠，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形与圆，旋转的性质，扇形的面积的计算．根据正六边形的性质和旋转的性质以及扇形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：∵在边长为3的正六边形中，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴图中阴影部分的面积， ∵将四边形绕顶点A顺时针旋转到四边形处， ∴， ∴图中阴影部分的面积 故选：B． 32．（2026·河北张家口·一模）如图，在中，，，分别以点、为圆心、的长为半径画弧，交、的延长线于点、．则图中阴影部分的面积为________． 【答案】 【分析】过点作于点，根据所对的直角边是斜边的一半，求出的长，根据勾股定理求出的长，根据等腰三角形三线合一，求出长，即可求出的面积，根据阴影部分的面积为即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， ，， ，． ． ． ． ． ， ． 33．（2026·河北石家庄·一模）如图，的半径为2，A，B，C是上的三个点．若四边形为平行四边形，连接，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】 【分析】连接，交于点，先证明平行四边形为菱形，再证明，，则可得图中阴影部分的面积等于扇形的面积． 【详解】解：如图，连接，交于点， ∵的半径为2， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴平行四边形为菱形， ∴，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， 又∵， ∴图中阴影部分的面积为． 34．（2026·河北衡水·模拟预测）如图，分别是某圆内接正六边形、正方形、等边三角形的一边．若，则的长为______． 【答案】/ 【分析】设圆的圆心是O，半径是r，连接，证明是等边三角形，得出圆的半径为2，再求出的度数为，进而求出结论． 【详解】解：设圆的圆心是O，半径是r，连接， 是圆内接正六边形的一边， ， ， 是等边三角形， ， 是圆内接正方形的一边， ， 是圆内接等边三角形的一边， ， ， 的长． 35．（2026·河北邯郸·一模）如图，在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，，将绕点顺时针旋转到，扫过的面积记为，交轴于点；将绕点顺时针旋转到，扫过的面积记为，交轴于点；将绕点顺时针旋转到扫过的面积记为…； （1）______； （2）按此规律，则______． 【答案】 【详解】解：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 同理，，， ∴， ，， ， ∴， ∴， 故答案为：①；② ． 36．（2026·河北秦皇岛·一模）如图1和图2，在中，．点是边上一点（不与点，点重合），以点为圆心，长为半径作，当与边相交于，两点（点在点的上方）时，连接． (1)如图1，当经过点时，求阴影部分的面积； (2)如图2，当时，求弦的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由圆周角定理得，由扇形面积公式求解即可； （2）过作交于，由垂径定理得，由直角三角形的特征得，由勾股定理得，即可求解． 【详解】（1）解：长为半径作， ， ， ； （2）解：过作交于， ， ， ， ∵， ， ． 【点睛】能熟练利用扇形面积公式、垂径定理、勾股定理进行求解是解题的关键． 与园有关的最值问题 考点08 37．（2026·河北石家庄·一模）如图，在边长为4的正方形中，对角线，相交于点．点在线段上，连接，作于点，交于点．对于下面四个结论： ①； ②； ③当时，； ④点与点之间距离的最小值为． 其中，正确的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据正方形的性质可得，结合，可得，故①符合题意；证明，可得，故②符合题意；当时，，可得，，可得，故③不符合题意；如图，取的中点，连接，，可得在以为圆心，为直径的圆上，当A，F，R共线时，最小，再进一步可判断④． 【详解】解：正方形， ， ， ， ， ，故①符合题意； ， ， ，故②符合题意； 当时，， ， ，故③不符合题意； 如图，取的中点，连接，， ， 在以为圆心，为直径的圆上， 当A，F，R共线时，最小， ， ， ， ， 点与点之间的距离的最小值为．故④符合题意． 综上所述，正确的个数有3个． 【点睛】本题核心是结合正方形性质、全等三角形与圆的轨迹思想解题，关键是发现点的轨迹为圆． 38．（2026·河北邯郸·二模）如图1，在正方形中，．以为直径在正方形内部作半圆，点O为圆心．点E在边上，且．连接，交半圆于点F．点G为上的动点．          (1)如图1，连接，求的长； (2)如图2，连接，当时，求的长； (3)如图3，连接，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据特殊角锐角函数值可得，即可求解； （2）连接，当时，点G在的垂直平分线上，此时的垂直平分线过圆心O．求出，再根据弧长公式，即可求解； （3）当点G为中点时，面积最大，连接交于点H，则，且点H为为中点，根据三角形中位线定理可得，可证明为等边三角形，即可求解． 【详解】（1）解：在中，，， ∵， ∴． ∵为直径， ∴． ∴； （2）解：连接， 当时，点G在的垂直平分线上，此时的垂直平分线过圆心O． ∴，， ∵， ∴． 又∵， ∴圆的半径为3， ∴的长； （3）解：当点G为中点时，面积最大， 连接交于点H，则，且点H为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∵点O为的中点， ∴， ∴，， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴面积最大值． 39．图1是半径为的圆形硬币，点是硬币外沿上的一定点．图2为四个轨道（厚度不计），分别记为轨道①、②、③和④，它们的形状分别为圆、长宽比为的矩形、正方形和正六边形，周长均为，对称中心均记为点P．点为轨道上一定点（除轨道①外，均为的中点）．将硬币放置在轨道外侧，使硬币与轨道在同一个平面内，且点与重合．若硬币沿轨道顺时针无滑动地滚动，当点第一次回到轨道上时，记轨道上该处位置为，则四个轨道中，最大的是（   ） A．轨道① B．轨道② C．轨道③ D．轨道④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，正方形的性质，正六边形的性质，等边三角形的性质与判定，圆的周长计算， 先求出圆形硬币的周长为，则硬币沿轨道顺时针无滑动地滚动，当点第一次回到轨道上时，点M的运动路径长为；轨道①滚动可得的长为，据此可求出；轨道②滚动可确定，过点P作于H，连接，证明四边形是矩形，得到，再证明是等腰直角三角形，得到，据此可求出；轨道③滚动，类似于轨道②可求出；轨道④滑动，可得点是的中点，连接，证明都是等边三角形，得到，则，同理可得，则；据此可得答案． 【详解】解：∵圆形硬币的半径为， ∴圆形硬币的周长为， ∴硬币沿轨道顺时针无滑动地滚动，当点第一次回到轨道上时，点M的运动路径长为； 当沿着轨道①滚动时，则的长为， ∴； 当沿着轨道②滑动时， ∵四边形是长宽比为的矩形， ∴， ∵四边形的周长为， ∴， ∵点N为的中点， ∴， ∴； 如图所示，过点P作于H，连接， ∵点P为矩形的对称中心， ∴， ∴，， 又∵，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； 当沿轨道③滑动时， ∵正方形的周长为， ∴， ∵点N为的中点， ∴， ∴， 如图所示，过点P作于H，连接， 同理可得，， ∴， ∴， ∴， ∴； 当沿着轨道④滑动时， ∵正六边形的周长为， ∴， ∵点N为的中点， ∴， ∴点是的中点， 如图所示，连接，则， 又∵， ∴都是等边三角形， ∴， ∴， 同理可得， ∴； 综上所述，当沿着轨道②滚动时，最大， 故选：B． 40．（2026·河北衡水·模拟预测）综合与实践 【情境】现有矩形纸片，，，要在该纸片上找一点P，使得．根据圆的相关性质可知，纸片上有无数个点满足要求，点P应在以为弦的圆弧上，试作出此圆弧． 【操作】嘉嘉和淇淇尝试用不同方法解决问题． 如图1，嘉嘉的思路如下： ①作的平分线； ②作的平分线，交于点O； ③以点O为圆心，或长为半径画圆，交于点M，交于点N； ④劣弧即为所求． 如图2，淇淇的思路如下： ①作线段的垂直平分线，与交于点E，与交于点F； ②以点E为圆心，长为半径画弧，交于点O； ③以点O为圆心，或长为半径画圆，交于点M，交于点N； ④劣弧即为所求． 【探究】根据以上描述，解决下列问题． (1)图1中，______，并求的半径； (2)根据淇淇的作图过程，请说明图2中的； 【拓展】结合以上活动经验，进一步解决下面的问题． (3)在纸片中找一点Q，且，设满足要求的点Q在劣弧上，在图3中，用尺规作图作出劣弧不写作法，保留作图痕迹； (4)在（3）的基础上，连接，直接写出长的最小值． 【答案】(1)90；的半径为 (2)证明见解析 (3)作图见解析 (4) 【分析】（1）证明为等腰直角三角形，求出，即可求出结论； （2）连接，得出，，进而说明求出结论； （3）先分别以A，B为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点O，再以点O为圆心，的长为半径画圆，交于点M，交于点N，即可得出图形； （4）连接，交于点Q，过点O作于点E，于点F，证明四边形为矩形，再求出，即可求出结论． 【详解】（1）解：四边形为矩形， ， ，分别为，的平分线， ，， ， 为等腰直角三角形， ， ， 的半径为； （2）解：连接，如图， 为的垂直平分线， ， 以点E为圆心，长为半径画弧，交于点O， 为的直径， ， 为的圆心角，为的圆周角， ； （3）解：1.分别以A，B为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点O， 2.以点O为圆心，的长为半径画圆，交于点M，交于点N， 则劣弧即为所求．如图， （4）解：连接，交于点Q，如图， 则此时的长取得最小值， 过点O作于点E，于点F， 则， 由作法可知：的半径为4，为等边三角形， ，， ， ，，， ， 四边形为矩形， ，， ， ， ， 长的最小值为． 圆的图形变换问题 考点09 41．（2026·河北唐山·一模）如图，的半径为4，弦，弦，，且圆心O在弦，之间，点M是劣弧上任意一点，连接，将弦左下方的图形沿折叠，折叠后的图形记为G（阴影部分），设，（）． (1)若． ①求与之间的距离； ②当线段在G的内部（不含边界）时，确定的取值范围； (2)当线段与折叠后的所在圆相切时，且切点到弦中点的距离为1，直接写出折痕的长． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①过点O作，垂足为E，交于点F，连接，由题意易得，，，然后问题可求解； ②由题意可分当为的直径时，此时线段恰好在G的内部，当点M与点A重合时，此时线段满足在G的内部，连接，然后分类进行求解即可； （2）设的中点为R，折叠后的所在圆的圆心为，且与线段的切点为Q，连接，与交于点K，过点O作，由题意易得由折叠及切线的性质可知所在圆的半径，且，，，由（1）可知：，，然后根据勾股定理及垂径定理可进行求解． 【详解】（1）解：①过点O作，垂足为E，交于点F，连接， ∵的半径为4，弦， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即与之间的距离为； ②当为的直径时，此时线段恰好在G的内部，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∴； 当点M与点A重合时，此时线段满足在G的内部，连接，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是等腰梯形， ∴， 由①可知：所对圆心角的度数为， ∴， ∵， ∴所对圆心角的度数为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当线段在G的内部（不含边界）时，的取值范围为； （2）解：设的中点为R，折叠后的所在圆的圆心为，且与线段的切点为Q，连接，与交于点K，过点O作，如图所示： ∴，， 由折叠及切线的性质可知所在圆的的半径，且，，， 由（1）可知：，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 42．（2026·河北石家庄·一模）情境 如图1，半圆的直径，点是直径上一点，点在半圆上，且． 操作：将半圆沿线段裁剪后，得到图形和图形两部分，然后保持图形BCD不动，将图形翻转后，再与图形拼接成如图2所示的平面图形，过点作的平行线，交弧于点，如图3．（说明：拼接不重叠无缝隙无剩余）． 发现： (1)直接写出与满足的数量关系； (2)如图3，若点在圆心的左侧，，当时， ①求的值； ②求的长． 探究：如图4，若点在圆心的左侧，且，连接，当时， (3)在图4的基础上，用尺规作图作出弧所在圆的圆心（保留作图痕迹，不写作法）； (4)求线段的长． 拓展： (5)如图5，若点在圆心的右侧，当弧所在的圆与相切于点时，弧的长为，直接写出线段的长： 【答案】(1) (2)①；② (3)见解析 (4) (5) 【分析】（1）根据邻补角的定义求解即可； （2）①推导出，，得到，即可解答； ②延长交于点E，连接，推导出，得到，，根据勾股定理，得到，则，求出或（不符合题意，舍去），得到，则，即可解答； （3）尺规作图-作出的垂直平分线，延长与的交点即为点G； （4）连接，由图（1），圆G与圆O为等圆，推导出，证明出四边形是矩形，求出，，得到，再根据勾股定理求出，即可解答； （5）过点D作于点D，交于点G，过点C作于点N，推导出与射线的交点G即为弧所在的圆的圆心，补全圆G，延长交圆G于点K，推导出，得到，求出，推导出，得到，则，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：①∵， ∴， 由图1，可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ②延长交于点E，连接，如图，有 ∵ ∴， ∴， ∴，是等腰直角三角形，且， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴， ∴； （3）解：如图所示，点G即为所求； 理由如下：由（1）可知，弧所在的圆的圆心在的延长线上，弧所在的圆的圆心也在的垂直平分线上， ∴的延长线与的交点即为弧所在的圆的圆心G； （4）解：如图4，连接， 由图（1），圆G与圆O为等圆， ∴，， ∴， ∵是的垂直平分线， 时，弧所在圆的圆心， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形，， ∴，，即，， ∴， ∴， ∴． （5）解：过点D作于点D，交于点G，过点C作于点N，如图 ∴，， 由图（1）可知，弧所在的圆的圆心在上， ∵弧所在的圆与相切于点时， ∴弧所在的圆的圆心在射线上， ∴与射线的交点G即为弧所在的圆的圆心， ∴， 补全圆G，延长交圆G于点K，如图 ∵弧的长为， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 试卷第86页，共87页 2/88 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 圆 9大考点概览 考点01垂径定理与其他知识的综合 考点02正多边形与圆的有关计算 考点03切线的性质和判定 考点04三角函数与圆的综合问题 考点05四边形与圆的综合问题 考点06三角形与圆的综合问题 考点07扇形面积弧长有关的计算 考点08与园有关的最值问题 考点09圆的图形变换问题 垂径定理与其他知识的综合 考点01 1．（2026·河北·一模）如图1，月洞门是中国古典建筑中的一种圆形门洞，形如满月，故称“月洞门”，其形制可追溯至汉代，但真正在美学与功能上成熟于宋代，北宋建筑学家李诫编修的《营造法式》是中国古代最完整的建筑技术典籍之一． 如图2是古人根据《营造法式》中的“五举法”作出的月洞门的设计图，月洞门呈圆弧形，用表示，点是所在圆的圆心，是月洞门的横跨，是月洞门的拱高，现在我们也可以用尺规作图的方法作出月洞门的设计图．    解答下列问题： (1)如图3，已知月洞门的横跨为，拱高为，用尺规作图的方法在图3中作出月洞门的设计图（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若m，m，求的半径长． 2．（2026·河北廊坊·一模）项目背景：胜芳古镇是国家级历史文化名镇，其“胜芳河灯会”是首批国家级非物质文化遗产．活动小组为研究灯会中大型灯门拱架的结构，取其圆形拱架截面示意图（截面为圆的一部分）进行测量与建模实践． (1)活动一，测量与建模：如图1是灯门拱架截面示意图（截面为圆的一部分），测得圆形拱门的开口弦长为，拱高（圆拱的最大高度）为．求及半径的长； (2)活动二，灯光效果模拟实验：如图2为模拟灯会灯光效果，光源点M沿弧缓慢移动．经测量，结合（1）中的数据回答问题． ①当点M在弧的三等分点处，且在点A的右侧时，求劣弧的长； ②如图3，当光源M在最高点A时，光束张角恰好照亮拱门开口．求此时的度数，并判断当光源M沿弧（不含端点C，D）移动时，的度数是否发生变化． 3．（2026·河北石家庄·一模）【必备知识】如图1，光的反射现象中，反射光线和入射光线分别位于法线两侧，反射角入射角，这就是光的反射定律． 【问题解决】如图2，某景区在半圆形观景台（半圆）旁设置镜面栈道，镜面与半圆相切于点，与为观景台上两条笔直的小路，延长直径与交于点，彩灯发射源点在上，PC为入射光线，为法线，反射光线与半圆交于点，，． (1)求的度数和的度数； (2)当反射光线与平行时，求的长度； (3)在点从（2）中位置开始沿向右运动到点的过程中（如图3），直接写出点的运动路径长． 正多边形与圆的有关计算 考点02 4．（2026·河北石家庄·一模）如图是中国人民银行1992年发行的外圆内凹九边形、立体感极强的“菊花1角硬币”．移动该硬币与形成如图2所示状态．其中是内接正九边形的一条边，经过点和圆心，点是与的交点，，，，． 结论：是的切线． 结论II：若与相切于点，则的直径为． 下列说法正确的是（   ） A．结论I正确，结论II错误 B．结论I错误，结论II正确 C．结论I正确，结论II正确 D．结论I错误，结论II错误 5．（2026·河北秦皇岛·一模）如图，正八边形的边长为，与正八边形的边和分别相切于点和点，则劣弧的长为（       ） A． B． C． D． 6．（2026·河北石家庄·一模）如图，正四边形和正五边形内接于，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．（2026·河北石家庄·一模）在一次数学实践活动课上，同学们想通过测量一些数据，计算一个正六边形螺母中间圆形螺纹孔的直径．琪琪同学如图放置一把直尺，使直尺的一边经过点A，并与圆相切，交于点M．测得，螺纹孔的直径为__________． 8．（2026·河北邢台·一模）如图，边长为3的正六边形，点，为边的三等分点，点，为边的三等分点，连接，则_____． 9．（2026·河北·一模）已知平面内一个角，有一个圆与这个角的两边都有两个交点，若此圆在角的两边上截得的两条弦恰好都是一个正六边形的边，那么这个角的度数为___________． 10．某校九年级综合与实践小组开展了一次项目式主题学习． 【项目背景】 某博物馆展出了一面珍贵的战国“山”字纹青铜镜（如图1所示），它的镜面是一个标准的圆形．为了更好地进行文物保护与数字化展示，博物馆利用金石传拓非遗传承技艺制作了一个的模型（如图2所示），首要任务就是精确找到镜面的圆心． 【项目任务】 (1)任务一圆心定位．请你设计一种几何方法，仅使用直尺和圆规来确定这面青铜镜镜面的圆心．请在图2中作出示意图，保留作图痕迹． (2)任务二博物馆提供了这面青铜镜的部分信息：镜面直径为，“山”字纹的顶点恰好位于镜面的内接正五边形的五个顶点上（如图3所示），请计算镜面的内接正五边形的边长（精确到0.1）．参考数据：，，． 切线的性质和判定 考点03 11．（2026·河北·一模）如图，点在以为直径的半圆上，，，点在线段上运动，点与点关于对称，于点，交的延长线于点．下面是某学习小组的三个同学得到的结论： 甲：； 乙：当时，与半圆相切； 丙：若点恰好落在弧上，则． 下列说法正确的是（    ） A．只有甲的结论正确 B．只有乙的结论正确 C．只有丙的结论错误 D．只有乙的结论错误 12．（2026·河北石家庄·一模）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，D均在小正方形的顶点上，且点B，C在上，． (1)所在圆的圆心的坐标是 ； (2)所在圆的半径是 ； (3)求的长； (4)在网格中过点A作的切线，直接写出这条切线经过的格点坐标（点A除外） ． 13．（2026·河北邯郸·一模）如图，在边长为6的正方形纸片上，有一个圆，圆心在正方形的中心．操作①将纸片对折，然后打开，得到折痕，折痕与圆交于点E，F，如图2；②再将纸片折叠，使点B，C分别落在，边上，展开后，折痕恰好经过点F，连接，与圆交于点G，如图3，．注：． (1)直线与圆的位置关系是 ； (2)求的长； (3)求线段的长． 14．（2026·河北邢台·一模）如图1，在中截掉一个圆心角为的扇形，优弧与直线相切于点，且点到直线的距离为5． (1)求的长； (2)如图2，优弧上存在一动点，连接，线段从出发，绕点顺时针转动，转动速度为每秒，转动时间为秒．当线段运动到时，停止转动．过点作直线，直线与交于点． ①当直线与优弧相切时，的值为_____； ②当时，求阴影部分的面积． 15．（2026·河北廊坊·一模）已知半圆O的直径，为半圆O的弦长，且，点C在射线上，以为直径作半圆D． (1)如图1，当点C与点O重合时，连接交半圆D于点P，连接． 的度数为_______；比较大小：_______（填“”“”或“”）； (2)如图2，若与半圆D相切于点G，当时，求半圆D的半径长； (3)射线交半圆D于点Q，若，当两个半圆的半径之间存在2倍关系时，直接写出劣弧的长． 16．如图，在平行四边形中，于，，，经过点作圆和边切于点（点可与点、重合），交边、边于、．    （1）求的长； （2）若点在边上，求弧的长； （3）若点与点重合，判断点与圆的位置关系； （4）设圆的半径为，直接写出的取值范围． 三角函数与圆的综合问题 考点04 17．（2026·河北石家庄·一模）如图1，的半径为4，线段经过圆心O，与交于点A，E，是的一条弦，于点F，连接． (1)如图1，连接，若平分． ①求证：； ②若，求证：是的切线； (2)如图2，延长交于点P，当时，求的长． 18．（2026·河北邯郸·一模）活动小组自制了一个“不倒翁”，图1是“不倒翁”稳定直立在桌面上的简易截面图，其主要结构如下：为连接不倒翁最顶端和最底端的中心支架，点，是底部半圆上的两点，连接，，连接交于点，且，在与半圆所围成的弓形部分填充固定重物．已知，为半圆的直径，． (1)若． ①求填充物部分（弓形）的深度及的长； ②如图2，当支架摆动到使点落在桌面上时，求支架顶端点到桌面的距离； (2)小组经过实验发现当时，不倒翁的摇摆效果最佳．现小组决定增加填充物提升的位置，使，并摆动支架，仍使点落在桌面上，直接写出此时点比②中点的位置升高的距离． 19．（2026·河北石家庄·一模）某公园有一个圆形草坪，圆心为，半径为3米．公园内一条笔直的小路穿过草坪，与草坪边缘交于A、B两点，圆心到小路的距离为2.2米．有一辆遥控玩具车从点开始出发，沿草坪边缘以每秒的速度顺时针行驶一圈，设运动时间为秒． (1)求的长； (2)当秒时，求此时玩具车到小路的距离； (3)点是小路上的一点，连接，米，若玩具车所在位置看作点，连接，当恰好与草坪边缘相切时，直接写出此时玩具车行驶的路程． （参考数据：，，） 20．（2026·河北石家庄·一模）如图，在中，，，，点在射线上（点不与点重合）；过点作，垂足为，以点为圆心，为半径在上方画半圆，交射线于点，两点（点在的左侧），设． (1)当点为中点时，求的值； (2)如图2，当点与点重合时，连接，求弧及弦的长； (3)当半圆与边无交点时，直接写出的取值范围．（参考数据：取，取，取） 21．（2026·河北张家口·一模）如图，在中，，点D和点E分别在和边上（不与端点重合），且，延长和射线交于点F，作，与边交于点G，作的外接圆在上方的部分，连接． (1)若，，求的长． (2)求证：是的切线． (3)若，，直接写出的值． 四边形与圆的综合问题 考点05 22．（2026·河北张家口·一模）如图1和图2，中，对角线，P是上一点（不与点A重合），以为直径作半圆，圆心为点O，交于点E． (1)如图1，若半圆与相切，点F为切点，连接并延长，交于点G，求证：． (2)如图2，若半圆与交于点M，N，且，，． ①求的长； ②连接，直接写出与长的大小关系．（注：取） 23．（2026·河北保定·二模）如图，在平行四边形中，，，点P在边上（不与点B，C重合），连接，是的外接圆． (1)若． ①当时，的度数为______； ②当P是的中点时，求的长； (2)若，当与边或边所在直线相切时，求的长． 24．（2026·河北石家庄·一模）如图1，在平行四边形中，，，点F为的中点，过点F作于E，． (1)求的长； (2)如图2，以为直角边构造，，斜边交于点P，． ①求的长； ②的外心为O，求点O与点A之间的距离； ③将向右平移，点E平移到点B时停止，当以为直径的圆与平行四边形的边相切时，直接写出平移的距离． 25．（2026·河北保定·一模）如图1，在菱形中，，，对角线与相交于点，为线段上一点，过点作，交边于点N，以点为圆心，的长为半径画弧，与点下方的线段交于点（可与点B重合），与边交于点连接． (1)求的度数； (2)如图2，当点与点重合时，连接，求的长； (3)求扇形的面积最大值及此时点C与点之间的距离． 26．（2026·河北邯郸·二模）综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠与展开”为主题开展数学活动．如图1，矩形纸片中，，，点是边上的一个动点，将沿折叠，点的对应点为点． (1)当落在上时，的长为 ；此时，四边形的面积为 ； (2)当点运动到边的中点时，在图2中用尺规作出折痕和点的对应点（保留作图痕迹，不写作法）； (3)如图3，连接，交于点．当点在边上从点运动到点时，点也随之运动，求点的运动路径长（结果保留）．（参考数据：） 三角形与圆的综合问题 考点06 27．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=8，点P为AB的中点，E为BC上一动点，过P点作FP⊥PE交AC于F点，经过P、E、F三点确定⊙O． （1）试说明：点C也一定在⊙O上． （2）点E在运动过程中，∠PEF的度数是否变化？若不变，求出∠PEF的度数；若变化，说明理由． （3）求线段EF的取值范围，并说明理由． 28．如图，中，，以上一点O为圆心过点A作，交于点D． (1)尺规作图：作的垂直平分线，分别交、于点E、F；（不写作法，保留作图痕迹） (2)连接，求证：是的切线； (3)若，，求弧的长． 29．如图，四边形中，，以为直径的经过点，连接、交于点．    (1)证明：； (2)若，证明：与相切． 扇形面积弧长有关的计算 考点07 30．（2026·河北廊坊·一模）如图，的半径为2，A，B，C是上的三个点．若四边形为平行四边形，连接，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 31．在边长为3的正六边形中，将四边形绕顶点A顺时针旋转到四边形处，如图，此时边与对角线重叠，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 32．（2026·河北张家口·一模）如图，在中，，，分别以点、为圆心、的长为半径画弧，交、的延长线于点、．则图中阴影部分的面积为________． 33．（2026·河北石家庄·一模）如图，的半径为2，A，B，C是上的三个点．若四边形为平行四边形，连接，则图中阴影部分的面积为________． 34．（2026·河北衡水·模拟预测）如图，分别是某圆内接正六边形、正方形、等边三角形的一边．若，则的长为______． 35．（2026·河北邯郸·一模）如图，在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，，将绕点顺时针旋转到，扫过的面积记为，交轴于点；将绕点顺时针旋转到，扫过的面积记为，交轴于点；将绕点顺时针旋转到扫过的面积记为…； （1）______； （2）按此规律，则______． 36．（2026·河北秦皇岛·一模）如图1和图2，在中，．点是边上一点（不与点，点重合），以点为圆心，长为半径作，当与边相交于，两点（点在点的上方）时，连接． (1)如图1，当经过点时，求阴影部分的面积； (2)如图2，当时，求弦的长． 与园有关的最值问题 考点08 37．（2026·河北石家庄·一模）如图，在边长为4的正方形中，对角线，相交于点．点在线段上，连接，作于点，交于点．对于下面四个结论： ①； ②； ③当时，； ④点与点之间距离的最小值为． 其中，正确的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 38．（2026·河北邯郸·二模）如图1，在正方形中，．以为直径在正方形内部作半圆，点O为圆心．点E在边上，且．连接，交半圆于点F．点G为上的动点．          (1)如图1，连接，求的长； (2)如图2，连接，当时，求的长； (3)如图3，连接，求面积的最大值． 39．图1是半径为的圆形硬币，点是硬币外沿上的一定点．图2为四个轨道（厚度不计），分别记为轨道①、②、③和④，它们的形状分别为圆、长宽比为的矩形、正方形和正六边形，周长均为，对称中心均记为点P．点为轨道上一定点（除轨道①外，均为的中点）．将硬币放置在轨道外侧，使硬币与轨道在同一个平面内，且点与重合．若硬币沿轨道顺时针无滑动地滚动，当点第一次回到轨道上时，记轨道上该处位置为，则四个轨道中，最大的是（   ） A．轨道① B．轨道② C．轨道③ D．轨道④ 40．（2026·河北衡水·模拟预测）综合与实践 【情境】现有矩形纸片，，，要在该纸片上找一点P，使得．根据圆的相关性质可知，纸片上有无数个点满足要求，点P应在以为弦的圆弧上，试作出此圆弧． 【操作】嘉嘉和淇淇尝试用不同方法解决问题． 如图1，嘉嘉的思路如下： ①作的平分线； ②作的平分线，交于点O； ③以点O为圆心，或长为半径画圆，交于点M，交于点N； ④劣弧即为所求． 如图2，淇淇的思路如下： ①作线段的垂直平分线，与交于点E，与交于点F； ②以点E为圆心，长为半径画弧，交于点O； ③以点O为圆心，或长为半径画圆，交于点M，交于点N； ④劣弧即为所求． 【探究】根据以上描述，解决下列问题． (1)图1中，______，并求的半径； (2)根据淇淇的作图过程，请说明图2中的； 【拓展】结合以上活动经验，进一步解决下面的问题． (3)在纸片中找一点Q，且，设满足要求的点Q在劣弧上，在图3中，用尺规作图作出劣弧不写作法，保留作图痕迹； (4)在（3）的基础上，连接，直接写出长的最小值． 圆的图形变换问题 考点09 41．（2026·河北唐山·一模）如图，的半径为4，弦，弦，，且圆心O在弦，之间，点M是劣弧上任意一点，连接，将弦左下方的图形沿折叠，折叠后的图形记为G（阴影部分），设，（）． (1)若． ①求与之间的距离； ②当线段在G的内部（不含边界）时，确定的取值范围； (2)当线段与折叠后的所在圆相切时，且切点到弦中点的距离为1，直接写出折痕的长． 42．（2026·河北石家庄·一模）情境 如图1，半圆的直径，点是直径上一点，点在半圆上，且． 操作：将半圆沿线段裁剪后，得到图形和图形两部分，然后保持图形BCD不动，将图形翻转后，再与图形拼接成如图2所示的平面图形，过点作的平行线，交弧于点，如图3．（说明：拼接不重叠无缝隙无剩余）． 发现： (1)直接写出与满足的数量关系； (2)如图3，若点在圆心的左侧，，当时， ①求的值； ②求的长． 探究：如图4，若点在圆心的左侧，且，连接，当时， (3)在图4的基础上，用尺规作图作出弧所在圆的圆心（保留作图痕迹，不写作法）； (4)求线段的长． 拓展： (5)如图5，若点在圆心的右侧，当弧所在的圆与相切于点时，弧的长为，直接写出线段的长： 试卷第86页，共87页 18/18 学科网（北京）股份有限公司 $