陕西汉中市仁德学校2025-2026学年高一下学期第三次月考数学试题

高一（下）学期第三次月考 数学试题 （时间：120分钟满分：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷 上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题共58分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的) 1.已知i为虚数单位，i(2-3i)=() A.-3-2i B.3+2i C.-3+2i D.3-2i 2.如图，△ABC斜二测画法的直观图是△A'B'C',△AB'C'的面积为6，那么△ABC的面积为() A.12√2 B.24V2 y C.32 D.3v2 2 3.已知sin(元-a)=, 5、 则cosa=() B A B.、3 C.4 5 4.已知i为虚数单位，则复数z=3+i对应的复平面上的点位于() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5.若直线a不平行于平面B,则下列结论成立的是() A.平面B内所有直线都与a是异面直线B.平面B内不存在与a平行的直线 C.平面B内所有直线都与a相交 D.直线a与平面B有公共点 6.已知向量a=(x,2),方=(5，-，若a/i,则a-=() A.35 B.6 C.9 D.6N5 7.在直三棱柱ABC-ABC中，AC=AB=AA=2,∠BAC=120°，D是棱B,C的中点，则异面直线AD 与B,C所成角的余弦值为() A.0 B.3io c.5 10 D.25 10 8.将函数f()=sin0x(@>0)图象上所有点的横坐标缩短到原来的；（纵坐标不变），再向左平移 80 个单位长度，得到函数g()的图象，若g()在（行上单调递减。则实数心的取值范围为(） 37 C.48 D. 「37 48 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.已知复数z=a2-1+(a+1)i,a∈R,则下列结论正确的是() A.若z为纯虚数，则a=±1 B.若a=0,则z=-1-i C.若a=0,则川z=1 D.若z在复平面内对应的点位于第四象限，则 a∈(-0，-1) 10.设m,n,I是三条不同的直线，a,B是两个不同的平面，下列命题中为假命题的是() A.若mlln,ncB,则m11p B.若a∥B,mc,则m//B C.若l⊥m,l⊥n,则m/ln D.若m/1a,nl/a,则mln 11.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c,c=6,且(2a-b)CosC=ccos B,则下列 结论正确的是（) A.C=元 B.△ABC外接圆的面积为12π 6 C.△ABC的面积的最小值是9√3 D.a+2b的最大值是4√21 第二部分（非选择题共92分) 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.设函数f)=sin了x,则 f1)+f(2)+f3)++f2025）= 13.在△ABC中，已知D是BC边上一点，若BD=BC,AD=AB+2AC, 3 则实数2的值是 14.如图，四面体ABCD中，AD=BC=2,AD L BC.若平行于直线AD和BC的平面分别和棱 AB,AC,CD,BD交于点E,F,G,H.有以下四个结论： B ①四边形EFGH的周长为定值；②四边形EFGH的面积为定值； ③四边形EFGH为矩形；④四边形EFGH的面积有最大值1. 则其中正确的结论 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分)已知ā=(3,4)，b=(2,-2), (1)求a+b的坐标及a+b|; (2)若(2a-3b)与(ma+b)垂直，求实数m的值. 16.(15分)已知复数z=m(m-1)+(m-1)i. (I)若z为纯虚数，求实数m的值： 2若怎3，求实数m的位 17.(15分)如图，在正方体ABCD-ABCD中，E为DD的中点. (1)求证：BD,/1平面AEC: Dy C A 6) (2)取CC中点F,求证：平面AEC/平面BFD (3)求异面直线AE与DB所成角的余弦值 B 18.17分)已知函数f-2sin(2x-孕. (1)求f(x)的最小正周期、对称轴和对称中心： (2)求fx)在[0，]上的最值及此时x的取值： (3)锐角△ABC中，bC=3,角A满足f(A)=V3,求角A的值与△ABC面积. 19.(I7分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA=PB,PA⊥PB, F为CP上的点，且BF⊥平面PAC. A------D B (I)求证：BC⊥平面PAB; (2)求直线PC与平面ABCD所成角的正弦值： (3)在棱PD上是否存在一点G,使GF/I平面PAB,若存在，求PG的长；若不存在，说明理由. 4高一年级（下）三次月考数学参考答案 题号 1 2 3 4 6 7 8 9 10 答案 B A D A D B B BD ACD 题号 11 答案 BD 12.V5 2 13.3 14.①③④ 【详解】因为BCI∥平面EFGH,平面ABC∩平面EFGH=EF,BCc平面ABC, 所以EFIIBC,同理可证HG/BC,所以EFIIGH: 又AD∥平面EFGH,平面ADC∩平面EFGH=FG,ADc平面ADC, 所以FGIIAD,同理可证EHIAD,所以FGIIEH; 所以四边形EFGH为平行四边形，又AD L BC,则EF⊥FG,所以四边形EFGH为矩形， 所以③正确： 由相似三角形的性质得g-4仁，FC-G,所以F+G-4C+C-1,BC=AD=2, BC ACAC AD 、BC AD AC'AC 所以EF+FG=2, 所以四边形EFGH的周长为定值4，所以①正确： 因为SroH=EF×FG≤ EF+FG2 =1,当且仅当EF=FG=1时取等号， 2 所以四边形EFGH的面积有最大值1，所以②错误，④正确. 故答案为：①③④ 15.(5,2),√29：(2)m=2 【详解】(1)由a=(3,4),b=(2,-2),得ā+b=(3,4)+(2,-2)=(5,2),故 |ā+b=V52+22=V29 (2)由a=(3,4),b=(2,-2),得2a-3b=(0,14),ma+b=(3m+2,4m-2), 由2a-36)与(ma+D)垂直，得14(4m-2)=0,解得m=2 1 16.(1)0 (2)±2 【详解】(1)z为纯虚数，则 m2-m=0 m-1≠0’ 答案第1页，共4页 解得m=0,所以m的值为0： (2)由， 1+i1-i =3可得z1-)+z(1+i)=3(1-i0(1+i)=6, 所以z+z+(z-z)i=2m(m-1)-2(m-1)2=2m2-2=6, 解得m=±2. 17.(1)证明见解析：(2②)证明见解析：③) 5 【详解】(1)在正方体ABCD-ABCD中，连接BD交AC于O,连接EO, 则O为BD的中点，而E为DD,的中点，则OE/IBD, 又OEc平面AEC,BD丈平面AEC, 所以BD,II平面AEC. (2)由F为CC的中点，E为DD的中点，得CF//ED,CF=ED,, 则四边形CFD,E为平行四边形，D,F//EC,又ECc平面AEC,D,F丈平面AEC, 于是D,FI/平面AEC,由(I)知BDII平面AEC,而BD,OD,F=D,BD,D,Fc平面BFD, 所以平面AEC//平面BFD. D ! (3)由(1)知，OE/1BD,则∠AEO是异面直线AE与DB所成 A B EL 的角或其补角， 令正方体的棱长AB=2,则OE=√5，AE=√5， 因此cos∠AEO=OE=V5V5 AE5 5 所以异面直线AE与DB所成角的余弦值为 5 18.最小正周期为元，对称轴为x=5江+，k∈乙，对称中心为区+，0(k∈乙： 122 62 (②)最小值为-V5,此时x=0:最大值为2，此时x= 12 336 4 【详解】(1)由2x--5+m,k∈Z,得x=孤+，k∈Z:由2x-=km,kZ,得 32 122 3 答案第2页，共4页 r君+经keZ, 所以f的最小正周期为元，对称轴为x=5西+，k∈乙，对称中心为（及+，0XkeZ. 122 2 2)当xe0时，2--，则当2x-背写即x=0时，f=5: 3 当2x-骨-子即x沿时，f=2, 12 所以f()的最小值为-5，此时x=0:最大值为2，此时x=5π 12 3由0=5，得m21-月-=5，百A为版角，则21-号-青解得4=号 32 3’ v3 又bc=3,所以△ABC面积为S。4c=)-besin A= 4 19.(1)证明过程见解析 2)v6 3)6 6 3 【详解】(1)因为BF⊥平面PAC,PAc平面PAC,所以BF⊥PA, 又因为PA⊥PB,PBOBF=B,PB,BFC平面PBC, 所以PA⊥平面PBC, 因为BCC平面PBC,所以PA⊥BC, 又因为底面ABCD是边长为2的正方形，所以AB⊥BC, 且PA∩AB=A,PA,ABC平面PAB, 所以BC⊥平面PAB, (2) D B4 C 作PE⊥AB,垂足为E,连接EC, 因为平面PAB⊥平面ABCD,PEC平面PAB,平面PAB⌒平面ABCD=AB, 所以PE⊥平面ABCD,所以∠PCE为直线PC与平面ABCD所成的角， 因为PA=PB,PALPB,8-2,所以PE=号B=LPB=点， 因为BC⊥平面PAB,PBC平面PAB,所以BC⊥PB, 所以在直角三角形PBC中，由勾股定理可得PC=√2+4=√6， 答案第3页，共4页 所以sin∠PCE=PE-L-V6 PC6 6 (3) G A sE:>D B O 作FG/ICD,交PD于G,连接ED, 因为FG1/CD,AB/ICD,所以FG/IAB, 因为FGC平面PAB,ABC平面PAB,所以FG/平面PAB, 因为BF⊥平面PAC,PCc平面PAC,所以BF⊥PC, 因为BC⊥PB,PB=V2,BC=2,PC=√6， 所以x2-6xBF,解得8F-29,所以PF=2-5 33 因为PE⊥平面ABCD,EC,EDC平面ABCD,所以PE⊥EC,PE⊥ED, 又因为EC=ED=√1+4=V5,所以PC=PD, 叉因为FG1ICD,所以PG=PF=N6 3 答案第4页，共4页