精品解析：陕西汉中市仁德学校2025-2026学年高一下学期第一次月考数学试题

高一（下）第一次月考数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题 共58分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知角的终边过点，若，则（ ） A. B. C. 10 D. 2. 已知一个扇形的半径与弧长相等，且扇形的面积为，则该扇形的周长为（ ） A. B. C. D. 3. 为了得到函数的图象，只要把函数的图象上所有点（ ） A. 横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 B. 横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C. 纵坐标缩短到原来的，横坐标不变 D. 纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 4. 将函数 的图象向左平移个单位后，所得到的图象对应的函数为偶函数，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法正确的是（    ） A. 若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 B. 两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C. 若，，则 D. 向量与向量的长度相等 6. 已知，，则，，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的部分图象如图所示，其中图象最高点和最低点的横坐标分别为和，图象在轴上的截距为，则（ ） A. 1 B. C. D. 0 8. 已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知函数，则（    ）． A. B. 在上单调递增 C. 为的一个对称中心 D. 最小正周期为 10. （多选）已知函数，则（ ） A. 为的一个周期 B. 的图象关于直线对称 C. 在上单调递减 D. 函数的一个零点为 11. 下列条件中，能使和的终边关于轴对称的是（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 如图，已知为平行四边形内一点，，则等于______________.（用表示） 13. 若，且，则______. 14. 设函数，若在区间上，函数有4个零点，则实数的取值范围是______． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在轴的正半轴上，终边经过点，其中. （1）若，求的值； （2）若，求的值. 16. 已知， （1）求的值； （2）求； 17. 已知函数的最小正周期为，且点是该函数图象的一个最高点. （1）求函数的解析式； （2）求函数的单调增区间； （3）若，求函数的值域. 18. 如图所示，某城市中心有一圆形广场，政府计划在广场上用栅栏围一块扇形环面区域（由扇形去掉扇形构成）种植花卉，已知米，米，扇形环面区域面积为100平方米，圆心角为弧度. （1）当米时，求的长； （2）记花卉周围栅栏的长度为米，试问取何值时，的值最小？并求出最小值. 19. 已知函数的图象如图所示. （1）求函数的对称中心和单调递增区间； （2）先将函数图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），然后将得到的函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），最后将所得图象向左平移个单位后得到函数的图象.若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一（下）第一次月考数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题 共58分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知角的终边过点，若，则（ ） A. B. C. 10 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由诱导公式可知，再由正切函数的定义知，即可求出. 【详解】，角的终边过点， 由正切函数的定义知，解得. 故选：B. 【点睛】本题考查三角函数定义和诱导公式的应用，属于基础题. 2. 已知一个扇形的半径与弧长相等，且扇形的面积为，则该扇形的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由题意利用扇形的面积公式可得，解得的值，即可得解扇形的周长的值． 【详解】解：设扇形的半径为，则弧长， 又因为扇形的面积为， 所以， 解得， 故扇形的周长为． 故选：． 3. 为了得到函数的图象，只要把函数的图象上所有点（ ） A. 横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 B. 横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C. 纵坐标缩短到原来的，横坐标不变 D. 纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角函数的图象变换，可得答案. 【详解】只要将函数图象上所有点的横坐标变成原来的，纵坐标不变，可得函数的图象. 故选：A 4. 将函数的图象向左平移个单位后，所得到的图象对应的函数为偶函数，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】将函数的图象向左平移个单位后得到函数 . 因为 是偶函数，则 . 整理得 ， 因为，取时，得到最小正数. 因此的最小值为. 5. 下列说法正确的是（    ） A. 若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 B. 两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C. 若，，则 D. 向量与向量的长度相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题可根据单位向量、平行向量、相等向量等向量的基本概念，对每个选项逐一进行分析判断. 【详解】单位向量是指模等于的向量.若两个单位向量平行，它们的方向可能相同或相反.当方向相反时，这两个单位向量并不相等.所以A选项错误.  两个有共同起点且长度相等的向量，它们的方向不一定相同.向量由大小和方向共同决定，方向不同时，终点也不同.比如，以原点为起点，长度都为的向量，一个沿轴正方向，一个沿轴正方向，它们的终点显然不同.所以B选项错误.  当时，对于任意向量和，都有且，但与不一定平行.因为零向量与任意向量都平行.所以C选项错误.  向量与向量是方向相反的向量，但它们的长度是相等的，因为向量的长度只与向量的大小有关，与方向无关.所以D选项正确.  故选：D. 6. 已知，，则，，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用诱导公式将不同名化同名比较与的大小，然后再比较与的大小，从而得出结论. 【详解】因为，且， 所以. 故选：. 【点睛】本题考查三角函数值大小的比较，较简单. 注意函数名的转化及三角函数单调性的应用. 7. 已知函数的部分图象如图所示，其中图象最高点和最低点的横坐标分别为和，图象在轴上的截距为，则（ ） A. 1 B. C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的图象可得， ，再由五点法作图得,解得，然后根据图象在轴上的截距为，由求得函数解析式即可. 【详解】由函数的图象可知， 所以 ， ， 由五点法作图知：, 解得，所以， 又， 所以， 所以, 故选：A 8. 已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦型函数的单调性得，即可求. 【详解】由，则，且， 由函数在区间上单调递增，则，所以. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知函数，则（    ）． A. B. 在上单调递增 C. 为的一个对称中心 D. 最小正周期为 【答案】BCD 【解析】 【分析】直接求解判断A选项；由函数正切函数的单调区间、对称轴公式、周期公式进行求解分别判断B、C、D选项. 【详解】对于A，已知函数，，故A错误； 对于B，，，解得，当时，， 所以在上单调递增，，故B正确； 对于C，把带代入，，为的一个对称中心，故C正确； 对于D，最小正周期为，故D正确. 故选：BCD. 10. （多选）已知函数，则（ ） A. 为的一个周期 B. 的图象关于直线对称 C. 在上单调递减 D. 函数的一个零点为 【答案】AD 【解析】 【分析】本题考查的形如的函数的性质，包裹周期、对称性、单调性以及函数零点等. 【详解】函数的最小正周期，故A正确； 当时，，由余弦函数图象的对称性知，B错误； 函数在上单调递减，在上单调递增，故C错误； ，，故D正确. 故选：AD． 11. 下列条件中，能使和的终边关于轴对称的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据和的终边关于轴对称时，逐一判断正误即可. 【详解】根据和的终边关于轴对称时可知， 选项B中，符合题意；选项D中，符合题意； 选项AC中，可取时显然可见和的终边不关于轴对称. 故选：BD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 如图，已知为平行四边形内一点，，则等于______________.（用表示） 【答案】 【解析】 【详解】. 13. 若，且，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由已知条件知，根据同角平方关系求，结合诱导公式得，即可求. 【详解】由知：，即， 由且，可得：. ∵， ∴. 故答案为：. 14. 设函数，若在区间上，函数有4个零点，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】去绝对值，将的解析式化简，作出的图象，函数有4个零点，则与的图象有4个不同的交点，数形结合即可得到答案. 【详解】当时，， 当时，，作出的图象，如图所示， 函数有4个零点，则与的图象有4个不同的交点， 所以． 故答案为： 【点睛】本题考查已知函数的零点个数求参数的取值范围，涉及到正弦型函数的作图，考查学生数形结合思想，转化与化归思想，是一道中档题. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在轴的正半轴上，终边经过点，其中. （1）若，求的值； （2）若，求的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）用三角函数的定义； （2）先求正切值，再把弦化切. 【详解】（1）由题意知，， 因为， 所以. 解得， 所以. （2）当时，， 所以. 【点睛】本题为基础题，考查三角函数的定义及同角三角函数的关系. 16. 已知， （1）求的值； （2）求； 【答案】（1）2；（2）. 【解析】 【分析】（1）由已知，化简整理可得，即可得解； （2）化简，根据（1）的结果代入即可得解． 【详解】（1）由已知， 化简得，整理得故 （2） ． 【点睛】本题考查了三角函数的运算，考查了知弦求切和知切求弦，主要利用了诱导公式，属于简单题. 17. 已知函数的最小正周期为，且点是该函数图象的一个最高点. （1）求函数的解析式； （2）求函数的单调增区间； （3）若，求函数的值域. 【答案】（1）；（2） ；（3），. 【解析】 【分析】（1）由的最小正周期求出，根据图象上一个最高点，求出与的值，即可求得函数的解析式； （2）根据正弦函数的单调增区间，得出，即可求得函数的单调增区间； （3）求出时的取值范围，根据正弦函数的图象和性质，从而求出函数的最大值和最小值，即可得出值域． 【详解】解：（1）根据的最小正周期为，且， 可得， 再根据是图象的一个最高点， 可得，则，即， ，， 即，， 又由于，解得：，. （2）令， 由于函数的单调递增区间是：，，， 所以， 则， 所以函数的单调增区间是． （3）当时，则，则， 而， 故当时，函数取得最大值为：， 当时，函数取得最小值为：， 故函数的值域为，． 【点睛】本题考查由的图象性质确定其解析式，根据正弦函数的图象和性质，求正弦型函数的单调性和值域，考查化简计算能力． 18. 如图所示，某城市中心有一圆形广场，政府计划在广场上用栅栏围一块扇形环面区域（由扇形去掉扇形构成）种植花卉，已知米，米，扇形环面区域面积为100平方米，圆心角为弧度. （1）当米时，求的长； （2）记花卉周围栅栏的长度为米，试问取何值时，的值最小？并求出最小值. 【答案】（1） （2）当时取等号，栅栏长度的最小值为40米. 【解析】 【分析】（1）根据扇形的面积公式列方程得出关于的函数解析式，令，求出，在根据求出答案； （2）根据弧长公式求出关于的函数表达式，根据均值不等式可得的最小值. 【小问1详解】 利用扇形的面积公式可得， 所以， 于是米. 【小问2详解】 依题意可得弧长，弧长， 所以栅栏的长度，将代入上式，整理可得， 当且仅当时取等号，所以栅栏长度的最小值为40米. 19. 已知函数的图象如图所示. （1）求函数的对称中心和单调递增区间； （2）先将函数图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），然后将得到的函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），最后将所得图象向左平移个单位后得到函数的图象.若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）对称中心为，；单调递增区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数图象求得的解析式，然后利用整体代入法求得的对称中心和单调递增区间； （2）利用三角函数图象变换的知识求得的解析式，根据在区间上的值域转化不等式，由此求得的取值范围. 【小问1详解】 由图可知：，所以，所以，， 又， 所以，. 所以. 令，，则，. 所以的对称中心为，. 令，即， 所以函数的单调递增区间为. 【小问2详解】 由题. 当时，. 因为对任意的恒成立， 则. 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $