期末考前满分冲刺之解答题（63题）（二十一种覆盖训练）-2025-2026学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（苏科版）

**基本信息** 以“覆盖式”模块整合初中数学核心知识，通过方法提炼与分层训练构建从基础到综合的解题体系，培养抽象能力、推理意识与应用意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |分解因式|3组|提公因式法、公式法、十字相乘法|从基本方法到进阶技巧，结合几何模型深化理解| |分式方程|3组|去分母化整式方程、验根|解法步骤→实际应用，体现模型意识| |平行四边形证明|5组|边/角/对角线判定|一般平行四边形→特殊平行四边形→折叠综合，形成逻辑链| |统计与概率|3组|样本估计总体、频率估计概率|数据收集→整理→分析→决策，培养数据观念| |新定义与综合|6组|作差法、模型迁移、无刻度作图|结合跨模块知识，提升创新意识与综合应用能力|

期末考前满分冲刺之解答题覆盖训练思维导图 解答 覆盖一 分解因式 1．把下列各式因式分解： (1)； (2)． 2．因式分解： (1)； (2)． 3．因式分解： (1)； (2)． 覆盖二 二次根式的运算 4．计算 (1) (2) 5．计算： (1)； (2)． 6．计算： (1)； (2)． 覆盖三 解分式方程 7．解分式方程： (1)； (2)． 8．解方程． (1)； (2)． 9．解分式方程： (1)． (2)． 覆盖四 分式的化简求值 10．先化简，再求值：，其中． 11．先化简，再求值：，其中． 12．先化简，再求值：，其中． 覆盖五 平行四边形的证明 13．在中，点E、F分别在上，且． (1)求证：； (2)求证：四边形为平行四边形． 14．如图，是的中线，延长至E，使得，连接． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若的面积是2，求四边形的面积． 15．如图，四边形对角线交于点，且为中点，，．求证： (1)； (2)四边形是平行四边形． 覆盖六 (特殊)平行四边形的证明 16．如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分，过点A作交的延长线于点E，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 17．如图，在菱形中，对角线，相交于点，是的中点，连接并延长到点，使，连接，． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，，求四边形的面积． 18．如图①，四边形为正方形，为对角线上一点，连接，． (1)求证：； (2)如图2，过点作，交边于点，以，为邻边作矩形，连接． ①求证：矩形是正方形； ②若正方形的边长为，，求正方形的边长； (3)若正方形的边长为，连接，如图③，直接写出的值． 覆盖七 统计 19．为弘扬传统文化，某中学组织全校学生参加传统文化知识竞赛，并从中抽取了部分学生的成绩数据（成绩为整数，满分为100分），将收集的数据分A，B，C，D，E五个等级，绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据统计图中的信息，解答下列问题： (1)所抽取的学生人数是_______，频数分布条形图中_______，扇形统计图中_______． (2)成绩在81分及以上为优秀，若该校以2000人计算，估计成绩优秀的学生人数． 20．为引导学生合理规划周末时间，养成健康向上的课余生活习惯，某学校针对学生周末娱乐方式进行抽样调查，科学分析学生课余时间分配情况．本次调查将学生周末主要娱乐方式分为五类：A（看视频）、B（玩游戏）、C（看课外书）、D（运动）、E（其他）．以下是根据调查结果绘制的统计图的一部分，其中每名学生只统计最主要的一项娱乐方式． (1)本次调查的样本容量是_____； (2)请补全条形统计图； (3)已知该校学生有1200人，请估计看视频和玩游戏为主的学生有多少人？并提出合理引导规划建议一条． 21．中共中央办公厅、国务院办公厅印发的《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》中，对学生每天的作业时间提出明确要求：“初中书面作业平均完成时间不超过90分钟．”某校为了解学生完成作业的时间情况，对全校名学生进行问卷调查，把完成作业的时间（据悉全部学生完成作业的时间均在分钟）分为5个等级（：；：；：；：；：，并随机抽取了部分学生的调查问卷进行分析，根据分析结果绘制了不完整的频数分布直方图和扇形统计图． 请根据以上信息，解答下列问题： (1)本次调查抽取了___________名学生的调查问卷； (2)___________，___________； (3)补全频数分布直方图； (4)请你估计全校名学生中，书面作业平均完成时间不超过分钟的学生人数． 覆盖八 分式方程的应用 22．列方程解应用题： 某校在商场购进两种品牌的篮球，购买品牌篮球花费了2500元，购买品牌篮球花费了2000元，且购买品牌篮球数量是购买品牌篮球数量的2倍，已知购买一个品牌篮球比购买一个品牌篮球多花30元． (1)问购买一个品牌、一个品牌的篮球各需多少元？ (2)该校决定再次购进两种品牌篮球共60个，恰逢商场对两种品牌篮球的售价进行调整，品牌篮球售价比第一次购买时提高了10%，品牌篮球按第一次购买时售价的9折出售，如果该校此次购买两种品牌篮球的总费用不超过3640元，那么该校此次最多可购买多少个品牌篮球？ 23．清明过后就是春茶的采摘季节．已知熟练采茶工人每天采茶的数量是新手采茶工人的倍，每个熟练采茶工人采摘斤鲜叶比新手采茶工人采摘斤鲜叶少用天． (1)求熟练采茶工人和新手采茶工人一天分别能采摘鲜叶的斤数； (2)某茶厂计划一天采摘鲜叶不少于斤，现安排熟练采茶工人和新手采茶工人共人参与采摘．已知熟练采茶工人每人每天工资元，新手采茶工人每人每天工资元，怎样安排熟练采茶工人与新手采茶工人的人数，使一天所付工资最少？并求出所付的最少工资． 24．2026年马年春节联欢晚会中《武》《奶奶的最爱》等机器人表演节目火爆全网，让机器人成为新春热点．某文化演艺公司计划采购A，B两种型号的表演机器人，用于各类文艺演出的舞台呈现．据了解，A型机器人的单价比B型机器人的单价低3000元，用580000元购买A型机器人的数量和用640000元购买B型机器人的数量相同． (1)求A，B两种型号表演机器人的单价各是多少元； (2)该文化演艺公司计划购买A，B两种型号的表演机器人共25台，且A型机器人的购买数量不超过B型机器人购买数量的3倍，购买A型机器人多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？ 覆盖九 尺规作图 25．如图，在矩形中，，点为边上一点，连接． (1)尺规作图：在线段上找点，在线段上找点，使得四边形为菱形．（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母． (2)在（1）的条件下，若，，求菱形的边长． 26．已知四边形是平行四边形，． (1)请利用尺规作图作的角平分线交于点E，在上截取，连接；（要求保留作图痕迹，不写作法）； (2)求证：四边形是菱形．（请补全下面的证明过程） 证明：∵四边形是平行四边形， ，∴①________． ∵平分， ， ∴②________，， 又， ∴③________． 又∵④________， ∴四边形为平行四边形， 又， ∴平行四边形是菱形． 27．如图，已知直线l和直线l外一点A． (1)请用尺规在图中作正方形，使得顶点B，D在直线l上（要求：保留作图痕迹，不需要写作法） (2)若点A到直线l的距离是，的平分线交边于点E，则的长为________． 覆盖十 概率 28．植树节为每年3月12日，某中学买了一批树苗组织学生去植树．资料显示该种树苗在相同条件下成活试验的部分结果如下表： 每批棵数n 50 100 150 400 800 1000 成活的棵数m 37 77 a 316 640 800 成活的频率 b (1)完成上述表格：_____________，_____________； (2)这种树苗成活的概率估计值为_____________（精确到）． (3)如果想要有1000棵树能够成活，那么在相同条件下买1200棵树苗够吗？为什么？ 29．某工厂3月份共生产了26000件工艺品，为了检测该产品的合格率，工厂质检员对产品进行抽检，统计合格的件数，得到如下表格： 抽取件数（件） 50 100 200 300 500 1000 合格频数 48 98 194 490 980 合格频率 0.96 0.98 0.97 0.98 0.98 (1)求表格中，的值； (2)若该工厂每生产一件不合格产品将损失20元，求3月份该工厂因不合格产品所造成的损失大约为多少元？ (3)如果重新抽取1000件产品进行质检，对比上表记录的数据，两表的结果会一样吗？为什么？ 30．某批羽毛球的质量检验结果如下： 抽取的羽毛球数/只 50 100 200 500 1000 1500 2000 次品的频数 2 5 12 29 54 75 102 次品的频率 0.040 0.050 0.060 0.058 0.054 0.050 m (1)完成上述表格：______； (2)从这批羽毛球中，任意抽取一只羽毛球是次品的概率估计值是______（精确到0.01）； (3)若该批次共生产了100000只羽毛球，估计其中次品的数量． 覆盖十一 十字相乘法与分组分解法 31．如图，大矩形是由三个小矩形和一个小正方形拼成的． (1)观察猜想： 请根据此图填空：（________）（________）． (2)说理验证： 事实上，我们也可以用如下代数方法进行变形： （________）（________） （________）（________）． (3)迁移运用：请对下列多项式因式分解： ①填空：________； ②． 32．常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但多项式的项数三项以上时，直接使用上述方法可能有点困难，此时可尝试下面的方法：如．我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解． 过程如下： ． 这种分解因式的方法叫分组分解法． 利用这种分组的思想方法解决下列问题： (1)分解因式：________； (2)分解因式：； (3)已知a，b，c分别是三边的边长且，请判断的形状，并说明理由． 33．【类比学习】 小明同学类比除法的竖式计算，想到对二次三项式进行因式分解的方法： 即，所以． 【初步应用】 (1)请你完成下面的竖式计算． (2)小明看到了这样一道被墨水污染的因式分解题：，（其中□、△代表两个被污染的系数），他列出了下列竖式： 得出______，______． 【深入研究】 (3)小明用这种方法对多项式进行因式分解，进行到了：．（*代表一个多项式），请你利用前面的方法，列出竖式，将多项式因式分解． 覆盖十二 因式分解的几何应用 34．【知识回顾】一般地，两数和的完全平方公式为：，如果我们将写成，就可以由两数和的完全平方公式推导出两数差的完全平方公式．过程如下：． (1)【类比推理】已知两数的立方和公式为，请类比两数差的完全平方公式的推理过程，推导两数的立方差公式： ． (2)【应用公式】因式分解：． (3)【拓展提升】如图，将八个完全相同的直角三角形拼成一个大正方形，设，若，则： ① ； ②若该直角三角形的两条边长分别为a和b，且，请先将代数式进行因式分解，然后求出代数式的值． 35．按要求解答： (1)如图所示的四个图形可拼成如图所示的一个大长方形，据此写出一个多项式的因式分解为______； (2)如图，有足够多的边长为的大正方形，长为，宽为的长方形和边长为的小正方形，请利用拼图将多项式进行因式分解，在图虚线框中画出你的拼图，并写出因式分解的结果； (3)若多项式（为正整数）可以用拼图法因式分解，则______． 36．“数缺形时少直观，形少数时难入微”，在探究“因式分解”时，我们借助直观、形象的几何模型，转化成“几何”形式来求解．运用到了“数形结合”的数学思想．下面，让我们一起来探索其中的规律． 【实践操作】 如图，有若干个边长为a的小正方形纸片（A类）、宽为a长为b的长方形纸片（B类）以及边长为b的大正方形纸片（C类）．我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式． (1)用若干个A类、B类、C类纸片拼成图1中的长方形，根据图形多项式可以因式分解得_________． (2)现用x张A卡片、y张B卡片、z张C卡片拼出一个长为，宽为的长方形，试求出的值=________； 【知识迁移】 (3)根据图2：若，则的值=_____． 覆盖十三 二次根式的新定义 37．定义：我们将与称为一对“有理式”．因为，通过这样一对“有理式”乘积可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造这种“有理式”来解决．例如：已知，求的值，可以这样解答：因为，所以．已知：，根据“有理式”的定义，试解决以下问题： (1)求代数式的值； (2)结合已知条件和第（1）问的结果，解关于的方程：． 38．定义：若两个二次根式满足，且是有理数，则称与是关于的共轭二次根式． (1)若与是关于的共轭二次根式，则___________； (2)若与是关于4的共轭二次根式，求的值； (3)若与是关于24的共轭二次根式，求的值． 39．定义：若二次根式可以表示成的形式（其中a，b，m，n都是正整数），则称为完整根式，是的完整平方根．例如：因为，所以是一个完整根式，是的完整平方根． (1)判断：是否是的完整平方根，并说明理由； (2)已知完整根式的完整平方根是，求x的值； (3)若的完整平方根是，证明：是完全平方数． 覆盖十四 特殊平行四边形的折叠问题 40．如图1，将纸片沿中位线折叠，使点A的对称点D落在边上，再将纸片分别沿等腰和等腰的底边上的高线，折叠，折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形，类似地，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为叠合矩形， (1)将纸片按图2的方式折叠成一个叠合矩形，则操作形成的折痕分别是线段_______，______；_____． (2)纸片还可以按图3的方式折叠成一个叠合矩形，若，，求的长． (3)如图4，四边形纸片满足，，，，小明把该纸片折叠，得到叠合正方形．请你帮助画出两个不同叠合方式的叠合正方形的示意图，并直接写出，的长． 41．综合与实践 在综合与实践课上，王老师组织同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动，现有矩形纸片，其中，． (1)操作发现 操作一：如图1，将矩形纸片沿对角线折叠，使点B落在点处，与交于点O，将纸片展平再次折叠，使点A与点C重合，折痕为，然后展平，连接得到图2，则四边形是________形．图1中的点O与图2中的点E________（填“一定会”、“一定不会”或“不一定”）重合． (2)实践探究 操作二：如图3，在矩形纸片中，点G为上的动点，将纸片沿折叠，使点B落在点处，连接，直接写出的最小值是________． (3)拓展与应用 操作三：如图4，在矩形纸片中，点G为的中点，将纸片沿折叠，使点B落在点处，连接． ①判断与折痕的位置关系，并说明理由； ②直接写出________． 42．综合与实践： 综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． 【操作判断】 (1)操作一： 如图1，正方形纸片，将沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形的内部，得到折痕，点B的对应点为M，连接；将沿过点A的直线折叠，使与重合，得到折痕，将纸片展平，连接． 根据以上操作，易得点E，M，F三点共线，且① °；②线段，，之间的数量关系为 ． (2)【深入探究】 操作二： 如图2、将沿所在直线折叠，使点C落在正方形的内部，点C的对应点为N，将纸片展平，连接、． 同学们在折纸的过程中发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同，当点E在边上某一位置时（点E不与点B，C重合），点N恰好落在折痕上，此时交于点P，如图3所示． ①小明通过观察图形，测量并猜想，得到结论，请证明该结论是否成立，并说明理由． ②【拓展应用】若正方形纸片的边长为3，当点N落在折痕上时，求出线段的长． 覆盖十五 分式的作差法比较应用 43．综合与探究 【阅读理解】：我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的策略一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一，作差法：就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小，即要比较代数式A、B的大小，只要算的值，若，则；若，则；若．则． 例如：当时，比较和的大小． 我们采用作差法： ， 【类比运用】（1）当时，请用作差法比较和的大小； 【知识运用】（2）①当时，请用作差法比较和的大小； ②请用①的结论比较大小：______（用“>、=、<”填空）； 【综合运用】（3）边长为a和b（其中）的两个正方形按如图的样子摆放，设和的面积之和为，阴影部分的面积为，请判断与的大小关系，并说明理由． 44．【材料阅读】作差法比较大小 作差法比大小是通过计算两个数（或代数式）的差值，将差与0比较，从而判断两者大小的方法，核心逻辑是“差值定大小”． 设比较对象为、，其操作步骤可以分为以下几步． （1）作差：计算与的差； （2）变形：对差进行化简、因式分解等（若差为常数，此步可省略）； （3）判断：判断差与0的大小关系，得出结论． 若，则；若，则；若，则． 例如：比较3与的大小，作差得，所以；比较与的大小，作差得，因为，所以，所以． 【问题解决】 (1)比较代数式与的大小； (2)已知，比较与的大小． 45．【阅读】 我们分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，而解决问题的策略一般要进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．所谓“作差法”就是通过作差、变形，并利用差的符号确定它们的大小，即要比较代数式M，N的大小，只需要作出它们的差．若，则；若，则；若，则． 【运用】 (1)若，要比较和的大小，只需要， ∴可得_______．（填“”“”或“”） (2)若，，，试比较与的大小． (3)甲、乙两水果店分别两次采购同一种苹果，第一次采购的价格为元/斤，第二次采购的价格为元/斤（是整数，且）．甲店两次各购买了斤苹果，乙店两次购买苹果均花费了元．试比较甲店和乙店两次采购苹果的平均价格的高低． 覆盖十六 分式方程的新定义 46．我们定义：形如（不为零），且两个解分别为的方程称为＂十字分式方程＂． 例如为十字分式方程，可化为． 再如为十字分式方程，可化为．． 应用上面的结论解答下列问题： (1)若十字分式方程的两个解分别为，求的值． (2)若关于的十字分式方程的两个解分别为，求的值． 47．定义：如果两个分式与的和为常数，且为正整数，则称与互为“和整分式”，常数称为“和整数值”． 例如，，，，则与互为“和整分式”，“和整数值”． (1)已知分式，判断与是否互为“和整分式”，若是，请求出“和整数值”；若不是，请说明理由； (2)已知分式，，与互为“和整分式”，且“和整数值”．若分式的值为正整数，求正整数的值． (3)记（2）中分式的值为正整数，已知分式，，且，若关于的方程无解，直接写出的值． 48．定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式的“互动分式”． (1)判断下列分式是否为分式的“互动分式”（若“是”，填“√”；若“不是”，填“×”． ①，（   ）②（   ） (2)小益在求分式的“互动分式”时，用了以下方法：设的“互动分式”为，则，∴，∴．请你仿照小益的方法求分式的“互动分式”； (3)若与是“互动分式”，且关于的方程的解为正整数，为正整数，求代数式的最大值． 覆盖十七 分式中的欧拉公式 49．欧拉是历史上享誉全球的最伟大的数学家之一，他不仅在高等数学各个领域作出杰出贡献，也在初等数学中留下了不凡的足迹．设为两两不同的非零实数，称为欧拉分式． (1)写出对应的表达式； (2)化简对应的表达式． 50．欧拉是18世纪瑞士著名的数学家、物理学家、天文学家．以欧拉命名的常数、公式、定理随处可见．在分式中，就有这样一个欧拉分式： (1)请你对欧拉分式中，当时的情况进行证明； (2)请你利用欧拉分式解决下列问题： 计算：； 求的值．（带特殊值不给分） 51．阅读理解 欧拉是18世纪瑞士著名的数学家，他的贡献遍及高等数学的各个领域，同时，在初等数学中也到处留下了他的足迹．下面是关于分式的欧拉公式： 这个公式我们可以分情况进行研究，例如，当时的欧拉公式为： ， 证明如下： 左边 ____________ ______ (1)请将材料中时欧拉公式的证明过程补充完整； (2)写出当时的欧拉公式，并证明； (3)利用欧拉公式，______． 覆盖十八 正方形的十字模型与半角模型 52．综合与实践 正方形中十字模型 如图1，在正方形中，如果点E、F分别在、上，且，垂足为M，那么与相等吗？证明你的结论． （1）对于上面的问题，我是这样思考的： （2）反思1：对于两个端点分别在正方形一组对边上的线段，若这样的两条线段互相垂直，那么这两条线段是否仍然相等呢？ 对此可以做进一步探究： 如图2，在正方形中，如果点E、F、G、H分别在、、、上，且，垂足为M，那么与相等吗？证明你的结论． （3）反思2：对于两个端点分别在正方形一组对边上的线段，若这样的两条线段相等，那么这两条线段是否一定垂直呢？ 对此可以做进一步探究： 如图3，正方形的边长为，P为边上一点，，点Q是的中点，过点Q作直线分别与、相交于点M、N．若，求的长． 任务： (1)完成笔记中“我是这样思考的”证明过程； (2)回答笔记中反思1的探究问题，并证明； (3)回答笔记中反思2的探究问题，并写出过程． 53．如图1，四边形是正方形，，分别在边和上，且，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．小明为了解决线段，，之间的关系，将绕点顺时针旋转后解决了这个问题． (1)请根据图2直接写出线段，，之间的关系：______． (2)如图3，等腰直角三角形，，，点，在边上，且，请写出，，之间的关系，并说明理由． (3)如图4，点在正方形的对角线上，是直角三角形，，斜边交于点，，，求的值． 54．问题发现 (1)基本模型—十字架模型 如图1所示，在正方形内，点E在边上，点F在边上，、交于点H，①若则有结论；②反之若有，则有结论． 对于上述问题请选择一个命题加以证明． (2)模型运用 如图2，在正方形中，，点E在边上（不与C、D重合），连接，将沿翻折，得到，连接并延长交于点F． ①若，求的值． ②如图3，若与交于点G，连接，若，求证：． 覆盖十九 四边形的几何新定义 55．类比于等腰三角形的定义，我们定义：有组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”． (1)如图1，四边形的顶点、、在网格格点上，请你在的正方形网格中分别画出3个不同形状的等邻边四边形，要求顶点在网格格点上； (2)如图2，在平行四边形中，是上一点，是上一点，，，请说明四边形是“等邻边四边形”； (3)如图3，在平行四边形中，，平分，交于点，，，是线段上一点，当四边形是“等邻边四边形”时，请求出的长度． 56．定义：如果凸四边形的一条对角线把这个四边形分成面积相等的两个三角形，则称这个四边形为对等四边形，该条对角线称为对等对角线．例如：如图1，在凸四边形中，若，则四边形为对等四边形，为四边形的对等对角线．    (1)【概念理解】下列图形中，属于对等四边形的是___________． A．有一对邻边相等的四边形    B．对角线互相垂直的四边形 C．有一对邻角相等的四边形    D．平行四边形 (2)【探究升级】请你通过探究，写出对等四边形的一条性质，并利用定义证明； (3)【综合应用】如图2，在平面直角坐标系中，，若平面内存在一动点C，使得四边形为对等四边形，求点C的运动轨迹构成的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围． 57．定义：若四边形有一组对角互补，有一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形定义为“郡外四边形”．    (1)如下：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形，一定是“郡外四边形”的是：______． (2)如图点P是正方形对角线上一点，点O是线段中点，点E是射线上一点，且，连接． ①如图1，当点P在线段上时，求证：四边形为“郡外四边形”； ②如图2，当点P在线段上时，试用等式来表示的数量关系，并证明． 覆盖二十 四边形的函数新定义 58．定义：对于给定的一次函数（，、为常数），把形如（，、为常数）的函数称为一次函数的“关联”函数，已知平行四边形的顶点坐标分别为． (1)若点分别在一次函数的关联函数图象上，则__________；__________． (2)点在函数的“关联”函数图象上，求的值． (3)一次函数（，、为常数），其中、满足． ①请问一次函数的图象是否经过某个定点，若经过，请求出定点坐标；若不经过，请说明理由； ②一次函数（，、为常数）的“关联”函数图象与恰好有两个交点，求的取值范围． 59．定义：对于给定的一次函数（，，为常数），把形如（，，为常数）的函数称为一次函数（，，为常数）的“沉毅函数”．例如：一次函数，它的“沉毅函数”为． (1)若点在一次函数的“沉毅函数”图象上，求的值； (2)如图，平行四边形的顶点坐标分别为，，，，一次函数（，，为常数）的“沉毅函数”图象与平行四边形交于M，N，P，Q四点，其中点坐标是，，的横坐标分别为，，请求出的值； (3)一次函数：（，，为常数），其中，满足． （ⅰ）若有另一个一次函数（），设函数，，函数的最大值为8，求的值； （ⅱ）当时，在平面直角坐标系中，已知，，点在轴上，点在的“沉毅函数”图象上，是否存在以E，F，G，H为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出，两点的坐标；若不存在，请说明理由． 60．定义：对于一个函数，当它的自变量x与函数值y满足时，有，我们就称此函数是在范围内的“标准函数”．例如：函数y＝－x＋4，当x＝1时，y＝3；当x＝3时，y＝1，即当时，有，所以函数y＝－x＋4是在范围内的“标准函数”． (1)正比例函数y＝x是在范围内的“标准函数”吗？请判断并说明理由． (2)若一次函数y＝kx＋b（k，b是常数，）是在范围内的“标准函数”，求此一次函数的解析式． (3)如图，矩形ABCD的边AB＝2，BC＝1，且点B的坐标为（2，2），若一次函数y＝ax＋h（a，h是常数，）是在范围内的“标准函数”，当一次函数y＝ax＋h与矩形ABCD有交点时，求m＋n的取值范围． 覆盖二十一 无刻度尺作图 61．“无刻度直尺”是尺规作图的工具之一，它的作用在于连接任意两点、作任意直线、延长任意线段等．结合图形的性质，只利用无刻度直尺也可以解决一些几何作图问题．请仅用无刻度的直尺进行以下作图： (1)如图1，菱形中，分别是中点，以为边作一个矩形；（保留作图痕迹，不写作法） (2)如图2，菱形中，是对角线上一点，以为边作一个菱形；（保留作图痕迹，不写作法） (3)如图3，平行四边形中，点分别是边上一点，且满足．连接，请过点作的垂线，垂足为．（保留作图痕迹，不写作法） 62．探究活动：等积变形 【问题情境】如图1，已知直线，点、在直线上，点在直线上，那么图中与面积相等的三角形是___________． 【问题探究】在由边长为1的小正方形构成的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点． 如图2，已知在的网格图形中，四边形的顶点都在格点上， 求作格点，使．（仅利用无刻度直尺作图，保留作图痕迹并写出结论） 【问题拓展】如图3，已知平行四边形是边的中点，求作一点，使．（仅利用无刻度直尺作图，保留作图痕迹并写出结论）． 63．如图，已知四边形为菱形，点是边的中点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹． (1)在图1中作出边的中点； (2)在图2中作出矩形，使得点分别在边上． 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末考前满分冲刺之解答题覆盖训练思维导图 解答 覆盖一 分解因式 1．把下列各式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 2．因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平方差公式分解因式即可； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先提公因式，再运用完全平方公式进行因式分解； （2）先提公因式，再运用平方差公式进行因式分解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 覆盖二 二次根式的运算 4．计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 5．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 6．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 覆盖三 解分式方程 7．解分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)原分式方程无解 【分析】（1）、（2）将分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】（1）解：， 两边同乘：， ， 解得：， 检验：将代入中，， ∴为原方程的解； （2）解： ， 两边同乘：， ， ， ， 解得：， 检验：将代入中，， ∴原分式方程无解． 8．解方程． (1)； (2)． 【答案】(1)原分式方程无解． (2) 【详解】（1）解：方程两边同乘以， 得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得， 检验：当时，， 故原分式方程无解． （2）解：方程两边同乘以， 得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 检验：当时，， 故原分式方程的解为． 9．解分式方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】（1）根据解分式方程的基本步骤解答即可． （2）根据解分式方程的基本步骤解答即可． 【详解】（1）解： 方程两边同乘，去分母得， 去括号，得 移项，合并同类项，得， 检验：当时，， ∴是原分式方程的根． （2）解： 方程两边同乘，去分母得， 去括号，得 整理，得 移项，合并同类项，得 系数化为1，得， 检验：当时，， ∴是原分式方程的增根，原分式方程无解． 覆盖四 分式的化简求值 10．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解： 当时，原式． 11．先化简，再求值：，其中． 【答案】 【详解】解：原式， 当时，原式． 12．先化简，再求值：，其中． 【答案】，2 【分析】先计算括号内分式的减法，再计算除法运算得到化简的结果，再把代入计算即可． 【详解】解：． 当时，原式． 覆盖五 平行四边形的证明 13．在中，点E、F分别在上，且． (1)求证：； (2)求证：四边形为平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质，得到，结合，即可得证； （2）根据平行四边形的性质，推出，即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵点E、F分别在上，且， ∴，，即， ∴四边形为平行四边形． 14．如图，是的中线，延长至E，使得，连接． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若的面积是2，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】（1）根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明结论； （2）根据三角形的中线平分三角形的面积得到，再由平行四边形的性质可得答案． 【详解】（1）证明：∵是的中线， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴． 15．如图，四边形对角线交于点，且为中点，，．求证： (1)； (2)四边形是平行四边形． 【答案】(1)证明过程见解析； (2)证明过程见解析． 【分析】（1）由平行线的性质，可得，，由已知可得，可得，即可证得结论； （2）由，可得，可得四边形的对角线互相平分，即可证得结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∵为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． （2）证明：∵， ∴， 又∵，四边形的对角线交于点， ∴四边形的对角线互相平分， ∴四边形是平行四边形． 覆盖六 (特殊)平行四边形的证明 16．如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分，过点A作交的延长线于点E，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、勾股定理、“斜中半”等知识点，熟练掌握菱形的性质与判定是本题解题关键． （1）由条件，得到四边形是平行四边形，再根据角平分线的条件通过倒角得到一组邻边相等即可证得； （2）利用菱形的性质可得对角线互相垂直平分，通过勾股定理得线段的长度，再利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这一定理求得的长度． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形， 又平分， ， ， ， 四边形是菱形． （2）在菱形中，，，， 三角形是直角三角形， ， ， 且， ， ， ， ． 17．如图，在菱形中，对角线，相交于点，是的中点，连接并延长到点，使，连接，． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）由，得出四边形是平行四边形，再由菱形的性质可知，即可得出四边形是矩形． （2）由菱形的性质得出，由含30度直角三角形的性质得出，由勾股定理求出，然后根据求解即可． 【详解】（1）证明：∵是的中点， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴，即， ∴四边形是矩形． （2）解：∵菱形，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 18．如图①，四边形为正方形，为对角线上一点，连接，． (1)求证：； (2)如图2，过点作，交边于点，以，为邻边作矩形，连接． ①求证：矩形是正方形； ②若正方形的边长为，，求正方形的边长； (3)若正方形的边长为，连接，如图③，直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②； (3)8 【分析】（1）根据正方形的性质证明，即可解决问题； （2）①作于，于，得到，然后证，则，即可证明； ②证明，可得，，证明，连接，根据勾股定理即可解决问题． （3）根据正方形的性质和勾股定理求得，由（2）得，则． 【详解】（1）证明：四边形为正方形， ，， 在和中， ， ， ； （2）解：①过点E作于，于，如图，    正方形中，， 四边形是矩形， ， 点是正方形对角线上的点， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形是矩形， 矩形是正方形； ②正方形和正方形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在中，． ， ， 如图，连接，    ， 是等腰直角三角形， ． 正方形的边长为． （3）解：∵正方形的边长为， ∴， 由（2）得， 则． 【点睛】此题主要考查了正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，三角形的全等的性质和判定，勾股定理，角平分线的性质，解本题的关键是根据题中所给条件正确作出辅助线构造全等三角形． 覆盖七 统计 19．为弘扬传统文化，某中学组织全校学生参加传统文化知识竞赛，并从中抽取了部分学生的成绩数据（成绩为整数，满分为100分），将收集的数据分A，B，C，D，E五个等级，绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据统计图中的信息，解答下列问题： (1)所抽取的学生人数是_______，频数分布条形图中_______，扇形统计图中_______． (2)成绩在81分及以上为优秀，若该校以2000人计算，估计成绩优秀的学生人数． 【答案】(1)200，16， (2)估计该校成绩优秀的学生约有940人 【分析】（1）根据B组人数和占比求出总数，乘以A组占比求出a的值，乘以D组占比即可求出n； （2）利用样本估计总体的思想求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得B组有40人，占比为， ∴所抽取的学生人数是； ∴频数分布条形图中； ∴； （2）解：根据题意得，E组人数为：（人） （人）， 答：估计该校成绩优秀的学生约有940人． 20．为引导学生合理规划周末时间，养成健康向上的课余生活习惯，某学校针对学生周末娱乐方式进行抽样调查，科学分析学生课余时间分配情况．本次调查将学生周末主要娱乐方式分为五类：A（看视频）、B（玩游戏）、C（看课外书）、D（运动）、E（其他）．以下是根据调查结果绘制的统计图的一部分，其中每名学生只统计最主要的一项娱乐方式． (1)本次调查的样本容量是_____； (2)请补全条形统计图； (3)已知该校学生有1200人，请估计看视频和玩游戏为主的学生有多少人？并提出合理引导规划建议一条． 【答案】(1)200 (2)见详解 (3)估计看视频和玩游戏为主的学生有582人；建议：学校可以开展“周末健康生活”主题活动，引导学生减少视频和游戏时间，增加运动、阅读等有益活动 【分析】（1）用E类人数除以所占百分比，可得出本次调查的样本容量； （2）分别求出B和C类的人数，补全条形统计图即可； （3）用 1200 乘以样本中看视频和玩游戏为主的百分比可得结论，根据得出的结论提出一条合理引导规划建议即可． 【详解】（1）解：（人）， 所以，本次调查的样本容量是 200 ； （2）解：B的人数为（人）， C类的人数为（人）， 补全条形统计图如下： （3）解：（人）， 所以，估计看视频和玩游戏为主的学生有582人； 建议：学校可以开展“周末健康生活”主题活动，引导学生减少视频和游戏时间，增加运动、阅读等有益活动． 21．中共中央办公厅、国务院办公厅印发的《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》中，对学生每天的作业时间提出明确要求：“初中书面作业平均完成时间不超过90分钟．”某校为了解学生完成作业的时间情况，对全校名学生进行问卷调查，把完成作业的时间（据悉全部学生完成作业的时间均在分钟）分为5个等级（：；：；：；：；：，并随机抽取了部分学生的调查问卷进行分析，根据分析结果绘制了不完整的频数分布直方图和扇形统计图． 请根据以上信息，解答下列问题： (1)本次调查抽取了___________名学生的调查问卷； (2)___________，___________； (3)补全频数分布直方图； (4)请你估计全校名学生中，书面作业平均完成时间不超过分钟的学生人数． 【答案】(1) (2)； (3)见解析 (4)名 【分析】（）利用等级的频数与对应占比，通过除法计算出本次调查抽取的学生总数为名； （）先根据等级的频数和总人数算出其占比，确定的值；再用减去其他等级的占比，算出等级的占比，确定的值； （）根据总人数和各等级的占比，计算出等级的人数，据此补全频数分布直方图； （）先算出样本中作业时间不超过分钟的学生占比，再用全校总人数乘以该占比，估计出全校对应人数为名． 【详解】（1）解：已知等级频数为，占比， （名）． （2）解：等级频数为， ∴ ∵ ∴． （3）解：频数分布直方图中的学生人数为（名）， 的学生人数为（名）． 补全频数分布直方图如解图； （4）解： （名）， 答：估计全校名学生中，书面作业平均完成时间不超过分钟的学生人数为名． 覆盖八 分式方程的应用 22．列方程解应用题： 某校在商场购进两种品牌的篮球，购买品牌篮球花费了2500元，购买品牌篮球花费了2000元，且购买品牌篮球数量是购买品牌篮球数量的2倍，已知购买一个品牌篮球比购买一个品牌篮球多花30元． (1)问购买一个品牌、一个品牌的篮球各需多少元？ (2)该校决定再次购进两种品牌篮球共60个，恰逢商场对两种品牌篮球的售价进行调整，品牌篮球售价比第一次购买时提高了10%，品牌篮球按第一次购买时售价的9折出售，如果该校此次购买两种品牌篮球的总费用不超过3640元，那么该校此次最多可购买多少个品牌篮球？ 【答案】(1)购买一个A品牌的篮球需50元，购买一个B品牌的篮球需80元 (2)该校此次最多可购买20个B品牌篮球 【分析】（1）设购买一个A品牌的篮球需元，则购买一个B品牌的篮球需元，根据等量关系列出方程，解方程并检验即可求解； （2）设该校可购买个B品牌篮球，则购买A品牌的篮球个，根据不等关系列出不等式并解不等式即可求解； 【详解】（1）解：设购买一个A品牌的篮球需元，则购买一个B品牌的篮球需元， 则可得， 解得， 经检验，是原方程的解， （元）， 答：购买一个A品牌的篮球需50元，购买一个B品牌的篮球需80元； （2）解：设该校可购买个B品牌篮球，则购买A品牌的篮球个， 则可得， 解得， 答：该校此次最多可购买20个B品牌篮球． 23．清明过后就是春茶的采摘季节．已知熟练采茶工人每天采茶的数量是新手采茶工人的倍，每个熟练采茶工人采摘斤鲜叶比新手采茶工人采摘斤鲜叶少用天． (1)求熟练采茶工人和新手采茶工人一天分别能采摘鲜叶的斤数； (2)某茶厂计划一天采摘鲜叶不少于斤，现安排熟练采茶工人和新手采茶工人共人参与采摘．已知熟练采茶工人每人每天工资元，新手采茶工人每人每天工资元，怎样安排熟练采茶工人与新手采茶工人的人数，使一天所付工资最少？并求出所付的最少工资． 【答案】(1)熟练采茶工人一天能采摘鲜叶斤，新手采茶工人一天能采摘鲜叶斤 (2)安排名熟练采茶工人，名新手采茶工人时，一天所付工资最少，最少工资为元 【分析】（）设新手采茶工人一天能采摘鲜叶斤，则熟练采茶工人一天能采摘鲜叶斤，根据题意列出方程解答即可求解； （）设安排熟练采茶工人名，则安排新手采茶工人 名，一天所付总工资为元，根据题意列不等式求出的取值范围，再列出与的一次函数关系式，进而根据一次函数的性质解答即可求解． 【详解】（1）解：设新手采茶工人一天能采摘鲜叶斤，则熟练采茶工人一天能采摘鲜叶斤， 由题意得，， 解得， 经检验是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：熟练采茶工人一天能采摘鲜叶斤，新手采茶工人一天能采摘鲜叶斤； （2）解：设安排熟练采茶工人名，则安排新手采茶工人 名，一天所付总工资为元， 由题意得，， 解得， 又由题意得，， ， 随的增大而增大， ∴当取最小值时，取得最小值， 此时， ， 答：安排名熟练采茶工人，名新手采茶工人时，一天所付工资最少，最少工资为元． 24．2026年马年春节联欢晚会中《武》《奶奶的最爱》等机器人表演节目火爆全网，让机器人成为新春热点．某文化演艺公司计划采购A，B两种型号的表演机器人，用于各类文艺演出的舞台呈现．据了解，A型机器人的单价比B型机器人的单价低3000元，用580000元购买A型机器人的数量和用640000元购买B型机器人的数量相同． (1)求A，B两种型号表演机器人的单价各是多少元； (2)该文化演艺公司计划购买A，B两种型号的表演机器人共25台，且A型机器人的购买数量不超过B型机器人购买数量的3倍，购买A型机器人多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？ 【答案】(1)A型机器人的价格为29000元，则B型机器人的价格为32000元 (2)故购买A型机器人18台，购买B型机器人7台时，费用最低，最低费用746000元 【分析】（1）设A型机器人的价格为x元，则B型机器人的价格为元，根据用580000元购买A型机器人的数量和用640000元购买B型机器人的数量相同，列出方程进行求解即可； （2）根据题意，A型机器人买了台，采购费用为，根据题意，列出不等式求出的范围，列出一次函数的解析式，利用一次函数的性质，求最值即可． 【详解】（1）解：设A型机器人的价格为x元，则B型机器人的价格为元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的根且符合题意， 此时， 答：A型机器人的价格为29000元，则B型机器人的价格为32000元． （2）解：根据题意，A型机器人买了台，则购买B型机器人的数量为台， 根据题意，得，解得， 采购费， 由得w随a的增大而减小， ∵a为整数，故当时，w取得最小值，最小值为（元） 故购买A型机器人18台，购买B型机器人7台时，费用最低，最低费用746000元． 覆盖九 尺规作图 25．如图，在矩形中，，点为边上一点，连接． (1)尺规作图：在线段上找点，在线段上找点，使得四边形为菱形．（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母． (2)在（1）的条件下，若，，求菱形的边长． 【答案】(1)见解析 (2)菱形的边长为5 【分析】（1）根据菱形的对角线互相垂直平分的性质，作线段的垂直平分线，分别交、于点、，即可得到满足条件的菱形． （2）设菱形的边长为，利用菱形四边相等的性质表示出的长度，再结合矩形的直角，在中应用勾股定理列方程求解边长． 【详解】（1）解：如图，菱形即为所求． （2）解：∵四边形是菱形， ， ∵四边形是矩形， ， 设菱形的边长为，则，， 在中，，， 根据勾股定理可得：，即， 解得， ∴菱形的边长为． 26．已知四边形是平行四边形，． (1)请利用尺规作图作的角平分线交于点E，在上截取，连接；（要求保留作图痕迹，不写作法）； (2)求证：四边形是菱形．（请补全下面的证明过程） 证明：∵四边形是平行四边形， ，∴①________． ∵平分， ， ∴②________，， 又， ∴③________． 又∵④________， ∴四边形为平行四边形， 又， ∴平行四边形是菱形． 【答案】(1)作图见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据题干信息逐步作图即可； （2）根据题干信息逐步完善推理依据与推理过程即可． 【详解】（1）解：作的角平分线交于点E，在上截取，连接，如图所示： （2）证明：∵四边形是平行四边形， ， ∴①． ∵平分， ， ∴②，， 又， ∴③． 又∵④， ∴四边形为平行四边形， 又， ∴平行四边形是菱形． 27．如图，已知直线l和直线l外一点A． (1)请用尺规在图中作正方形，使得顶点B，D在直线l上（要求：保留作图痕迹，不需要写作法） (2)若点A到直线l的距离是，的平分线交边于点E，则的长为________． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）过点A作垂线交直线于点O，以点O为圆心，为半径画圆交直线于点B，点D，交直线的垂线于点C即可． （2）由正方形的性质得出，，，利用勾股定理求出，由角平分线的性质定理得出，最后根据即可求出答案． 【详解】（1）解：正方形如下图所示： 由作图可得， ∴四边形是矩形， 又， ∴矩形是 正方形； （2）解：∵四边形是正方形，， ∴，，， ∴， ∴， 过点E作交与点F， ∵平分，，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴． 覆盖十 概率 28．植树节为每年3月12日，某中学买了一批树苗组织学生去植树．资料显示该种树苗在相同条件下成活试验的部分结果如下表： 每批棵数n 50 100 150 400 800 1000 成活的棵数m 37 77 a 316 640 800 成活的频率 b (1)完成上述表格：_____________，_____________； (2)这种树苗成活的概率估计值为_____________（精确到）． (3)如果想要有1000棵树能够成活，那么在相同条件下买1200棵树苗够吗？为什么？ 【答案】(1)， (2) (3)不够，理由见解析 【分析】（1）利用成活率、每批棵树、成活的棵树的关系列式计算即可； （2）利用大量测试下，试验的频率在概率附近波动； （3）利用1200乘以成活概率，再与1000比较即可． 【详解】（1）解：，． （2）解：因为在相同条件下，当试验次数很大时，事件发生的频率可作为概率的近似值，而试验数据量最大为1000棵，对应频率为， 所以这种树苗成活的概率估计值是，（精确到）． （3）解：不够，理由如下： 由（棵），则想要有1000棵树能够成活，那么在相同条件下买1200棵树苗不够． 29．某工厂3月份共生产了26000件工艺品，为了检测该产品的合格率，工厂质检员对产品进行抽检，统计合格的件数，得到如下表格： 抽取件数（件） 50 100 200 300 500 1000 合格频数 48 98 194 490 980 合格频率 0.96 0.98 0.97 0.98 0.98 (1)求表格中，的值； (2)若该工厂每生产一件不合格产品将损失20元，求3月份该工厂因不合格产品所造成的损失大约为多少元？ (3)如果重新抽取1000件产品进行质检，对比上表记录的数据，两表的结果会一样吗？为什么？ 【答案】(1) ， (2)3月份该工厂因不合格产品所造成的损失大约为10400元 (3)结果不一定一样，原因见解析 【分析】（1）根据频数除以总数等于频率，列式计算即可求解； （2）用乘以不合格品的概率再乘以20即可求解； （3）根据频率估计概率作答即可． 【详解】（1）解：由题意得，，； （2）解：（元）， 答：3月份该工厂因不合格产品所造成的损失10400元； （3）解：结果很可能会不一样，但随着抽取产品数量的增加，它们的合格率都会稳定在左右． 30．某批羽毛球的质量检验结果如下： 抽取的羽毛球数/只 50 100 200 500 1000 1500 2000 次品的频数 2 5 12 29 54 75 102 次品的频率 0.040 0.050 0.060 0.058 0.054 0.050 m (1)完成上述表格：______； (2)从这批羽毛球中，任意抽取一只羽毛球是次品的概率估计值是______（精确到0.01）； (3)若该批次共生产了100000只羽毛球，估计其中次品的数量． 【答案】(1)0.051 (2)0.05 (3)次品数量为5000只 【分析】（1）根据题意列式计算即可； （2）利用频率估计概率求解即可； （3）用总数乘样本中次品的数量所占百分比即可． 【详解】（1）解：； （2）解：从这批羽毛球中，任意抽取一只羽毛球是次品的概率估计值是0.05； （3）解：（只）， 答：该批次共生产了100000只羽毛球，估计其中次品的数量为5000只． 覆盖十一 十字相乘法与分组分解法 31．如图，大矩形是由三个小矩形和一个小正方形拼成的． (1)观察猜想： 请根据此图填空：（________）（________）． (2)说理验证： 事实上，我们也可以用如下代数方法进行变形： （________）（________） （________）（________）． (3)迁移运用：请对下列多项式因式分解： ①填空：________； ②． 【答案】(1)， (2)，，， (3)①；② 【分析】（1）根据等面积求解； （2）利用单项式乘多项式以及因式分解求解； （3）①利用代数方法变形因式分解； ②利用代数方法变形因式分解． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解：①； ② ． 32．常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但多项式的项数三项以上时，直接使用上述方法可能有点困难，此时可尝试下面的方法：如．我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解． 过程如下： ． 这种分解因式的方法叫分组分解法． 利用这种分组的思想方法解决下列问题： (1)分解因式：________； (2)分解因式：； (3)已知a，b，c分别是三边的边长且，请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 是等腰三角形，理由见解析 【分析】（1）利用分组分解法进行因式分解即可； （2）利用分组分解法进行因式分解即可； （3）将等式左边进行因式分解，转化为两个因式的积的形式，再进行判断即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：为等腰三角形，理由如下： ， ， ， ， ∵，，是三边的边长， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． 33．【类比学习】 小明同学类比除法的竖式计算，想到对二次三项式进行因式分解的方法： 即，所以． 【初步应用】 (1)请你完成下面的竖式计算． (2)小明看到了这样一道被墨水污染的因式分解题：，（其中□、△代表两个被污染的系数），他列出了下列竖式： 得出______，______． 【深入研究】 (3)小明用这种方法对多项式进行因式分解，进行到了：．（*代表一个多项式），请你利用前面的方法，列出竖式，将多项式因式分解． 【答案】(1)见解析 (2)5，3 (3)见解析 【分析】（1）利用列竖式除法的结果进行分解； （2）根据竖式除法的运算方法先确定△表示的数，然后确定□代表的数； （3）利用列竖式除法的结果进行分解． 【详解】（1）解：列式如下： （2）解：仿照例题，得：， ∴， 则有，， ∴，； （3）解：列式如下： ∴ ， ∴将多项式可因式分解为． 覆盖十二 因式分解的几何应用 34．【知识回顾】一般地，两数和的完全平方公式为：，如果我们将写成，就可以由两数和的完全平方公式推导出两数差的完全平方公式．过程如下：． (1)【类比推理】已知两数的立方和公式为，请类比两数差的完全平方公式的推理过程，推导两数的立方差公式： ． (2)【应用公式】因式分解：． (3)【拓展提升】如图，将八个完全相同的直角三角形拼成一个大正方形，设，若，则： ① ； ②若该直角三角形的两条边长分别为a和b，且，请先将代数式进行因式分解，然后求出代数式的值． 【答案】(1) (2) (3)①11；② 【分析】（1）推导立方差公式 将转化为，代入两数和的立方公式，替换b为，得到； （2）利用分组法以及完全平方公式进行分解即可； （3）①设直角三角形短直角边为a，长直角边为b，一个直角三角形的面积为，个三角形的面积，大正方形边长，小正方形边长．由，求出． ②因式分解并求值：将分组为，提取公因式得．结合已知条件，代入得值即可． 【详解】（1）解：∵， 将转化为，代入和的立方公式得： ． （2）解： ． （3）解：①设直角三角形的短直角边为a，长直角边为b，则大正方形的边长为，面积；小正方形MNPQ的边长为，面积，三角形的面积为，， ∵， ∴， 整理得：， ∴即． ② ， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴原式． 35．按要求解答： (1)如图所示的四个图形可拼成如图所示的一个大长方形，据此写出一个多项式的因式分解为______； (2)如图，有足够多的边长为的大正方形，长为，宽为的长方形和边长为的小正方形，请利用拼图将多项式进行因式分解，在图虚线框中画出你的拼图，并写出因式分解的结果； (3)若多项式（为正整数）可以用拼图法因式分解，则______． 【答案】(1)； (2)画图见解析，； (3)或． 【分析】（）利用图形的面积等于边长乘以边长进行分解即可； （）利用图形的面积等于边长乘以边长进行分解即可； （）利用图形的面积等于边长乘以边长进行分解即可． 【详解】（1）解：由图可知，， ∴； （2）解：如图，， ； （3）解：如图 或 ∴或， ∴或． 36．“数缺形时少直观，形少数时难入微”，在探究“因式分解”时，我们借助直观、形象的几何模型，转化成“几何”形式来求解．运用到了“数形结合”的数学思想．下面，让我们一起来探索其中的规律． 【实践操作】 如图，有若干个边长为a的小正方形纸片（A类）、宽为a长为b的长方形纸片（B类）以及边长为b的大正方形纸片（C类）．我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式． (1)用若干个A类、B类、C类纸片拼成图1中的长方形，根据图形多项式可以因式分解得_________． (2)现用x张A卡片、y张B卡片、z张C卡片拼出一个长为，宽为的长方形，试求出的值=________； 【知识迁移】 (3)根据图2：若，则的值=_____． 【答案】(1) (2)21 (3)12 【分析】（1）拼成的长方形长为，宽为，则长方形面积为 ，由已知多项式转化为长与宽的乘积形式，完成因式分解． （2）利用多项式乘法计算出长为、宽为的长方形的面积表达式，再根据A、B、C类纸片对应的面积项，分别确定x、y、z的值，最后计算的值． （3）利用，将已知和的值代入，开平方即可求出的值． 【详解】（1）解：观察图1，拼成的长方形长为， 宽为， 长方形面积为 ， ∵面积等于所有纸片面积和， ∴． （2）解：∵长为、宽为的长方形面积为：， A类卡片对应，故；B类对应，故；C类对应，故， ∴． （3）由完全平方公式可得： ， ∴，： ∴， ∵为正数， 故． 覆盖十三 二次根式的新定义 37．定义：我们将与称为一对“有理式”．因为，通过这样一对“有理式”乘积可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造这种“有理式”来解决．例如：已知，求的值，可以这样解答：因为，所以．已知：，根据“有理式”的定义，试解决以下问题： (1)求代数式的值； (2)结合已知条件和第（1）问的结果，解关于的方程：． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据题干中的方法进行解答即可； （2）根据（1）中的结论得到，进行解答即可． 【详解】（1）解： ， ∴． （2）解：由（1）知： 而 两式相加得： 则 两边平方得到，，解得， 经检验，是方程的解， ∵，成立． 38．定义：若两个二次根式满足，且是有理数，则称与是关于的共轭二次根式． (1)若与是关于的共轭二次根式，则___________； (2)若与是关于4的共轭二次根式，求的值； (3)若与是关于24的共轭二次根式，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是新定义的含义，二次根式的乘法与除法运算； （1）由新定义可得，再计算即可； （2）由新定义可得，再计算即可； （3）由新定义可得，再进一步计算即可； 【详解】（1）解：， ∴； （2）解：， ； （3）解：与是关于24的共轭二次根式， ． ． 39．定义：若二次根式可以表示成的形式（其中a，b，m，n都是正整数），则称为完整根式，是的完整平方根．例如：因为，所以是一个完整根式，是的完整平方根． (1)判断：是否是的完整平方根，并说明理由； (2)已知完整根式的完整平方根是，求x的值； (3)若的完整平方根是，证明：是完全平方数． 【答案】(1)是的完整平方根，理由见解析 (2)x的值为4 (3)证明见解析 【分析】（1）根据完整平方根的定义，计算出即可判断； （2）由完整根式的定义，，进而即可求出，则，则可求出x； （3）由，可得，，将其代入，计算得，进而即可证明． 【详解】（1）解：是的完整平方根，理由如下： 由题意得， ， ∴是的完整平方根； （2）解：由题意得， ， ∴ ∴，即， ∵为正整数， ∴或， ∴或， ∴； （3）证明：由题意得， ∴， ∴ ， ∵为正整数， ∴是完全平方数， ∴是完全平方数． 【点睛】本题为二次根式新定义题型，以“完整根式”为载体，融合完全平方公式、对应相等、代数变形等知识，考查对新定义的理解与应用，体现化归的数学思想． 覆盖十四 特殊平行四边形的折叠问题 40．如图1，将纸片沿中位线折叠，使点A的对称点D落在边上，再将纸片分别沿等腰和等腰的底边上的高线，折叠，折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形，类似地，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为叠合矩形， (1)将纸片按图2的方式折叠成一个叠合矩形，则操作形成的折痕分别是线段_______，______；_____． (2)纸片还可以按图3的方式折叠成一个叠合矩形，若，，求的长． (3)如图4，四边形纸片满足，，，，小明把该纸片折叠，得到叠合正方形．请你帮助画出两个不同叠合方式的叠合正方形的示意图，并直接写出，的长． 【答案】(1)、； (2)13 (3)图见解析，，或， 【分析】（1）根据题意得出操作形成的折痕分别是线段；由折叠的性质得出的面积的面积，四边形的面积=四边形的面积，得出，即可得出答案； （2）由矩形的性质和勾股定理求出，即可得出答案； （3）折法1中，由折叠的性质得：，，，，，由叠合正方形的性质得出，由勾股定理得出，得出，； 折法2中，由折叠的性质得：四边形的面积梯形的面积，，，，，，求出，由叠合正方形的性质得出，正方形的面积，由勾股定理求出，设，则，由梯形的面积得出，求出，由得出方程，解方程求出，，进而得到、的长． 【详解】（1）解：根据题意得：操作形成的折痕分别是线段、； 由折叠的性质得：，四边形四边形， ∴的面积的面积，四边形的面积=四边形的面积， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是矩形，，，， ∴， 由折叠的性质得：，，， ∴， ∴； （3）解：①折法1中，如图4所示： 由折叠的性质得：，，，，， ∵四边形是叠合正方形， ∴， ∴， ∴，； ②折法2中，如图5所示： 由折叠的性质得：四边形的面积梯形的面积，，，，，， ∴， ∵四边形是叠合正方形， ∴，正方形的面积， ∵， ∴， 设，则， ∵梯形的面积， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴，． 41．综合与实践 在综合与实践课上，王老师组织同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动，现有矩形纸片，其中，． (1)操作发现 操作一：如图1，将矩形纸片沿对角线折叠，使点B落在点处，与交于点O，将纸片展平再次折叠，使点A与点C重合，折痕为，然后展平，连接得到图2，则四边形是________形．图1中的点O与图2中的点E________（填“一定会”、“一定不会”或“不一定”）重合． (2)实践探究 操作二：如图3，在矩形纸片中，点G为上的动点，将纸片沿折叠，使点B落在点处，连接，直接写出的最小值是________． (3)拓展与应用 操作三：如图4，在矩形纸片中，点G为的中点，将纸片沿折叠，使点B落在点处，连接． ①判断与折痕的位置关系，并说明理由； ②直接写出________． 【答案】(1)菱形；一定会 (2) (3)①；②7.2 【分析】（1）根据折叠可得垂直平分，推出，证明可得，然后利用四边相等的四边形是菱形；利用勾股定理分别求出的长即可得出结论； （2）连接，利用勾股定理求出，由翻折可知，点在以点C为圆心，半径为8的圆上，当A，，C三点共线时，最小，即可求出最小值； （3）①由折叠的性质可得，利用等边对等角、三角形外角的性质可得，进而得出，然后利用平行线的判定即可得证；②连接交于M，证明，利用等面积法求出，然后在中利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接，设与交于点M， 由折叠可知，，，即垂直平分， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， 设，则， 在中，， ∴， 解得，即； 在图1中，由折叠得，， ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得，即； ∴， 故图1中的点O与图2中的点E一定会重合． （2）解：连接， ∵，，． ∴， 由翻折可知，点在以点C为圆心，半径为8的圆上， ∴当A，，C三点共线时，最小，此时； （3）解：①．理由如下： ∵折叠， ∴，， ∴， ∵G为中点， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴； 如图，连接交于M， ∵， ∴， 又，， ∴，即， ∵矩形纸片中，，，G为中点， ∴，， ∴， ∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 42．综合与实践： 综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． 【操作判断】 (1)操作一： 如图1，正方形纸片，将沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形的内部，得到折痕，点B的对应点为M，连接；将沿过点A的直线折叠，使与重合，得到折痕，将纸片展平，连接． 根据以上操作，易得点E，M，F三点共线，且① °；②线段，，之间的数量关系为 ． (2)【深入探究】 操作二： 如图2、将沿所在直线折叠，使点C落在正方形的内部，点C的对应点为N，将纸片展平，连接、． 同学们在折纸的过程中发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同，当点E在边上某一位置时（点E不与点B，C重合），点N恰好落在折痕上，此时交于点P，如图3所示． ①小明通过观察图形，测量并猜想，得到结论，请证明该结论是否成立，并说明理由． ②【拓展应用】若正方形纸片的边长为3，当点N落在折痕上时，求出线段的长． 【答案】(1)①45；② (2)①成立，见解析；② 【分析】（1）①由正方形的性质得出，由折叠的性质可得：，，即可求解； ②由折叠的性质即可求解； （2）①根据正方形的性质和折叠的性质得到是等腰直角三角形，再根据全等三角形的判定和性质求解即可； ②证明是等腰直角三角形，求出，再由含角的性质以及勾股定理求解． 【详解】（1）解：①∵四边形是正方形， ∴， 由折叠的性质可得：，， ∴，即； ②由折叠的性质可得：，， ∵， ∴； （2）①结论：成立，理由如下： 将沿所在直线折叠，使点落在正方形的内部，点的对应点为， ∵四边形是正方形， ∴， 由折叠的性质可得：，，， ∴， ∵， ∴， 由（1）得：， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②∵点落在折痕上， ∴，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质、折叠的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 覆盖十五 分式的作差法比较应用 43．综合与探究 【阅读理解】：我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的策略一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一，作差法：就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小，即要比较代数式A、B的大小，只要算的值，若，则；若，则；若．则． 例如：当时，比较和的大小． 我们采用作差法： ， 【类比运用】（1）当时，请用作差法比较和的大小； 【知识运用】（2）①当时，请用作差法比较和的大小； ②请用①的结论比较大小：______（用“>、=、<”填空）； 【综合运用】（3）边长为a和b（其中）的两个正方形按如图的样子摆放，设和的面积之和为，阴影部分的面积为，请判断与的大小关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）①；②；（3），理由见解析 【分析】本题考查了分式的加减运算，整式的加减计算，乘法公式，因式分解，正确利用作差法比较大小是解题的关键． （1）利用整式加减计算化简，再判断差值正负即可； （2）①利用异分母分式减法法则进行计算，再判断差值正负即可；②利用①结论即可判断； （3）先表示，由完全平方公式表示，然后作，差因式分解可得，再根据平方非负性即可判断正负． 【详解】（1）解： ， ， ； （2）解：① ， ； ②， ∴， 故答案为：； （3），理由如下： 由题意得， ． 44．【材料阅读】作差法比较大小 作差法比大小是通过计算两个数（或代数式）的差值，将差与0比较，从而判断两者大小的方法，核心逻辑是“差值定大小”． 设比较对象为、，其操作步骤可以分为以下几步． （1）作差：计算与的差； （2）变形：对差进行化简、因式分解等（若差为常数，此步可省略）； （3）判断：判断差与0的大小关系，得出结论． 若，则；若，则；若，则． 例如：比较3与的大小，作差得，所以；比较与的大小，作差得，因为，所以，所以． 【问题解决】 (1)比较代数式与的大小； (2)已知，比较与的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算、分式的加减，代数式的比较大小、不等式的性质，熟练掌握知识点是解决问题的关键； （1）计算与的差，先去括号再配方得完全平方式，最后判断差与0的大小关系，得出结论即可； （2）计算与的差，通分计算，根据，判断差与0的大小关系，得出结论即可． 【详解】（1）解： ， ， ， ∵， ∴， ∴； （2）解： ， ， ∵， ∴，， ∴， ∴． 45．【阅读】 我们分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，而解决问题的策略一般要进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．所谓“作差法”就是通过作差、变形，并利用差的符号确定它们的大小，即要比较代数式M，N的大小，只需要作出它们的差．若，则；若，则；若，则． 【运用】 (1)若，要比较和的大小，只需要， ∴可得_______．（填“”“”或“”） (2)若，，，试比较与的大小． (3)甲、乙两水果店分别两次采购同一种苹果，第一次采购的价格为元/斤，第二次采购的价格为元/斤（是整数，且）．甲店两次各购买了斤苹果，乙店两次购买苹果均花费了元．试比较甲店和乙店两次采购苹果的平均价格的高低． 【答案】(1) (2) (3)甲店的平均价格比乙店的平均价格高 【分析】（）根据作差法的比较法则即可求解； （）求出的差，再根据作差法的比较法则即可判断求解； （）根据题意表示出甲店和乙店的平均价格，再利用作差法比较即可判断求解； 本题考查了作差法，掌握分式的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：由题意得，甲店的平均价格为元/斤， 乙店的平均价格为元/斤， ∴ ， ∵，，且， ∴，， ∴， 即， ∴甲店的平均价格比乙店的平均价格高． 覆盖十六 分式方程的新定义 46．我们定义：形如（不为零），且两个解分别为的方程称为＂十字分式方程＂． 例如为十字分式方程，可化为． 再如为十字分式方程，可化为．． 应用上面的结论解答下列问题： (1)若十字分式方程的两个解分别为，求的值． (2)若关于的十字分式方程的两个解分别为，求的值． 【答案】(1) (2)2022 【分析】本题考查了新定义运算，解分式方程、因式分解的应用等知识点，理解十字分式方程的定义是解题关键． （1）将方程改写成，再根据十字分式方程的定义作答即可； （2）先根据十字分式方程的定义以及、、的取值范围求出，，即，，然后代入求解即可． 【详解】（1）解：十字分式方程变形为， 可化为， ∴，或 ∴； （2）解：方程是十字分式方程，可化为， ∴，， ∵，， ∴，，即，， 代入得，， ∴的值为2022． 47．定义：如果两个分式与的和为常数，且为正整数，则称与互为“和整分式”，常数称为“和整数值”． 例如，，，，则与互为“和整分式”，“和整数值”． (1)已知分式，判断与是否互为“和整分式”，若是，请求出“和整数值”；若不是，请说明理由； (2)已知分式，，与互为“和整分式”，且“和整数值”．若分式的值为正整数，求正整数的值． (3)记（2）中分式的值为正整数，已知分式，，且，若关于的方程无解，直接写出的值． 【答案】(1)是互为“和整分式”， (2) (3)或 【分析】本题考查新定义“和整分式”的理解，分式的加减运算，分式方程的解法及无解问题，理解新定义是解题关键． （1） 先化简分式，再计算的结果，根据新定义判断是否为和整分式并确定值． （2）先根据和整分式的定义求出，再化简，结合为正整数及为正整数求解的值． （3）先确定的值，再根据列出方程，分一次项系数为0和方程有增根两种情况求解的值． 【详解】（1）解： 是正整数 与是互为“和整分式”，“和整数值” （2）解：， 与互为“和整分式”， （） 的值为正整数，为正整数 为的负约数 或 解得或 是正整数 舍去 答：正整数的值为1． （3）解：由（2）知 两边乘得 整理得 关于的方程无解 分两种情况 情况一： 解得，此时方程，无解 情况二：方程有增根，增根为 将代入 得 解得 综上，的值为或． 48．定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式的“互动分式”． (1)判断下列分式是否为分式的“互动分式”（若“是”，填“√”；若“不是”，填“×”． ①，（   ）②（   ） (2)小益在求分式的“互动分式”时，用了以下方法：设的“互动分式”为，则，∴，∴．请你仿照小益的方法求分式的“互动分式”； (3)若与是“互动分式”，且关于的方程的解为正整数，为正整数，求代数式的最大值． 【答案】(1)①√；②× (2) (3) 【分析】本题考查了分式的混合运算，分式有意义的条件，理解新定义是解题的关键． （1）根据互动分式的定义进行判断； （2）仿照题目中给到的方法进行求解； （3）根据（2）找规律求出；再根据分式方程解的情况求出，求出代数式，再对代数式配方求解即可． 【详解】（1）解：①∵， ， ∴， ∴是分式的“互动分式”， ②∵， ， ∴， ∴不是分式的“互动分式”， 故答案为：①√；②×． （2）解：设的“互动分式”为， 则， ∴， 即， ∴． 所以分式的“互动分式”为； （3）解：∵设与为“互动分式”， ∴，或， ∴，或 解得：，或， ∵是的“互动分式”， ∴且，，或且，， ∴，或， 解得，或， ∵关于的方程， 整理得：， ∵解为正整数，为正整数， ∴， 经检验时，， ∴符合意义， 当时，，， ∴， ∴ ∴与不是“互动分式”，故舍去； 当时，，， ∴，， ∴． ∴与是“互动分式”， ， 当时的最大值是． 综上所述：最大值为． 覆盖十七 分式中的欧拉公式 49．欧拉是历史上享誉全球的最伟大的数学家之一，他不仅在高等数学各个领域作出杰出贡献，也在初等数学中留下了不凡的足迹．设为两两不同的非零实数，称为欧拉分式． (1)写出对应的表达式； (2)化简对应的表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的加减法，熟练掌握分式的加减运算法则是解答本题的关键． （1）把代入表达式即可求出对应的表达式； （2）把代入表达式，然后通分并化简即可求出对应的表达式． 【详解】（1）解：； （2）解：， ， ， ． 50．欧拉是18世纪瑞士著名的数学家、物理学家、天文学家．以欧拉命名的常数、公式、定理随处可见．在分式中，就有这样一个欧拉分式： (1)请你对欧拉分式中，当时的情况进行证明； (2)请你利用欧拉分式解决下列问题： 计算：； 求的值．（带特殊值不给分） 【答案】(1)详见解析 (2)； 【分析】本题主要考查分式的加减法、有理数的加减混合运算、分式的值，熟练掌握以上运算法则是解题的关键． （1）先通分，再化简计算即可； （2）①令，，，进而得出答案； ②对原式进行变形，即可得出答案． 【详解】（1）解：当时， 原式 ； （2）解：①令，，， 则原式； ②原式 ． 51．阅读理解 欧拉是18世纪瑞士著名的数学家，他的贡献遍及高等数学的各个领域，同时，在初等数学中也到处留下了他的足迹．下面是关于分式的欧拉公式： 这个公式我们可以分情况进行研究，例如，当时的欧拉公式为： ， 证明如下： 左边 ____________ ______ (1)请将材料中时欧拉公式的证明过程补充完整； (2)写出当时的欧拉公式，并证明； (3)利用欧拉公式，______． 【答案】(1)见解析； (2)，见解析； (3)． 【分析】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算法则． （）当时，然后通分，再化简运算即可； （）当时，然后通分，再化简运算即可； （）当时，令，，，然后通分，再化简运算即可． 【详解】（1）证明：左边 ； （2）解：时， 证明： ； （3）解：当时， 令，，，则 ， 故答案为：． 覆盖十八 正方形的十字模型与半角模型 52．综合与实践 正方形中十字模型 如图1，在正方形中，如果点E、F分别在、上，且，垂足为M，那么与相等吗？证明你的结论． （1）对于上面的问题，我是这样思考的： （2）反思1：对于两个端点分别在正方形一组对边上的线段，若这样的两条线段互相垂直，那么这两条线段是否仍然相等呢？ 对此可以做进一步探究： 如图2，在正方形中，如果点E、F、G、H分别在、、、上，且，垂足为M，那么与相等吗？证明你的结论． （3）反思2：对于两个端点分别在正方形一组对边上的线段，若这样的两条线段相等，那么这两条线段是否一定垂直呢？ 对此可以做进一步探究： 如图3，正方形的边长为，P为边上一点，，点Q是的中点，过点Q作直线分别与、相交于点M、N．若，求的长． 任务： (1)完成笔记中“我是这样思考的”证明过程； (2)回答笔记中反思1的探究问题，并证明； (3)回答笔记中反思2的探究问题，并写出过程． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 (3)或，过程见解析 【分析】（1）根据正方形的性质得到，，再利用证明，即可证明； （2）作交于点，作交于点，根据正方形的性质证出四边形和都是平行四边形，则有，，由（1）同理得，即可证明； （3）分2种情况讨论：①当时；②当与不垂直时，分别画出对应的示意图，再根据正方形的性质、勾股定理、三角形中位线定理等知识即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：，证明如下： 如图，作交于点，作交于点， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴四边形和都是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 由（1）同理得， ∴ ∴； （3）解：①当时， 如图，过点作的垂线分别与直线、相交于点、，连接， 由（2）中的结论，可知， ∴是满足的一种情况； ∵正方形的边长为， ∴，， ∴， ∵点Q是的中点，， ∴是的垂直平分线， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴，， ∴当时，的长为； ②当与不垂直时， 如图，在直线上取异于的点使得，延长交直线于点，取的中点，连接， ∵， ∴， ∵正方形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是满足的另一种情况； ∵点Q是的中点，点是的中点， ∴是的中位线，， ∴， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴， 即， ∴当与不垂直时，的长为； 综上，的长为或． 53．如图1，四边形是正方形，，分别在边和上，且，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．小明为了解决线段，，之间的关系，将绕点顺时针旋转后解决了这个问题． (1)请根据图2直接写出线段，，之间的关系：______． (2)如图3，等腰直角三角形，，，点，在边上，且，请写出，，之间的关系，并说明理由． (3)如图4，点在正方形的对角线上，是直角三角形，，斜边交于点，，，求的值． 【答案】(1) (2)，理由详见解析 (3) 【分析】（1）根据旋转的性质，可以证出，从而得到线段，，之间的关系； （2）类比（1）的做法，可以讲绕点A顺时针旋转得到，连接．可以证出，是直角三角形，利用勾股定理得到线段，，之间的关系； （3）结合题干容易判断出就是（2）的模型，利用（2）的结论可得线段，，之间的关系，设，则，代入关系式解方程即可． 【详解】（1）解：由旋转可得，， ∴，，，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴点G在直线上， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：；理由如下： 把绕点顺时针旋转得到，连接，如图3， 由旋转的性质可得，，，，， ∵，， ∴， ∴，即， 由勾股定理可得，， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵四边形是正方形，， ∴，，， 由勾股定理可得，， ∵是直角三角形，， ∴， 把绕点顺时针旋转得到，连接，如图所示： 同理（2）可得：， 设，则有， ∴ 解得：， 即． 【点睛】本题考查旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理，熟练掌握旋转的性质构造全等三角形是解题关键． 54．问题发现 (1)基本模型—十字架模型 如图1所示，在正方形内，点E在边上，点F在边上，、交于点H，①若则有结论；②反之若有，则有结论． 对于上述问题请选择一个命题加以证明． (2)模型运用 如图2，在正方形中，，点E在边上（不与C、D重合），连接，将沿翻折，得到，连接并延长交于点F． ①若，求的值． ②如图3，若与交于点G，连接，若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)①；②见解析 【分析】（1）①根据正方形的性质以及同角的余角相等，找到相等的边和角，利用证明，进而可得； ②根据正方形的性质得内角为，根据证明，得，进而得，从而证明； （2）①先根据勾股定理求的长，记与相交于点，由翻折得、，根据等面积法得，进而根据计算； ②根据正方形和翻折性质得，根据，得， 结合翻折得，从而证明． 【详解】（1）选择①，证明如下： 证明：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； 选择②，证明如下： 证明：四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ； （2）①解：四边形是正方形，， ， 在中，， 由翻折得，垂直平分， 记与相交于点，则，且， 在中， ，即， 解得，， ； ②证明：由翻折得，，，， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ． 覆盖十九 四边形的几何新定义 55．类比于等腰三角形的定义，我们定义：有组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”． (1)如图1，四边形的顶点、、在网格格点上，请你在的正方形网格中分别画出3个不同形状的等邻边四边形，要求顶点在网格格点上； (2)如图2，在平行四边形中，是上一点，是上一点，，，请说明四边形是“等邻边四边形”； (3)如图3，在平行四边形中，，平分，交于点，，，是线段上一点，当四边形是“等邻边四边形”时，请求出的长度． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)或或． 【分析】（1）根据勾股定理和“等邻边四边形”的定义求解即可； （2）根据题意证明出，得到，进而求解即可； （3）如图所示，过点B作交于点G，首先求出，得到，求出，然后根据题意分3种情况讨论，然后分别根据勾股定理和等边三角形的性质求解即可． 【详解】（1）如图所示， 图（甲）和图（乙）中，； 图（丙）中； ∴四边形是等邻边四边形； （2）∵四边形是平行四边形 ∴，， ∴ ∵，， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴四边形是“等邻边四边形”； （3）如图所示，过点B作交于点G ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵平分 ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴当四边形是“等邻边四边形”，且时， ∴； 如图所示，当时，过点F作交于点H，连接 ∴ ∵， ∴， ∵，即 ∴ ∴， ∴ ∴此时四边形是“等邻边四边形”； ∴ ∵ ∴是等边三角形 ∴， 如图所示，当时，过点M作交于点M ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 综上所述，当四边形是“等邻边四边形”时，的长度为或或． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质，勾股定理，等边三角形的性质和判定，含角直角三角形的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 56．定义：如果凸四边形的一条对角线把这个四边形分成面积相等的两个三角形，则称这个四边形为对等四边形，该条对角线称为对等对角线．例如：如图1，在凸四边形中，若，则四边形为对等四边形，为四边形的对等对角线．    (1)【概念理解】下列图形中，属于对等四边形的是___________． A．有一对邻边相等的四边形    B．对角线互相垂直的四边形 C．有一对邻角相等的四边形    D．平行四边形 (2)【探究升级】请你通过探究，写出对等四边形的一条性质，并利用定义证明； (3)【综合应用】如图2，在平面直角坐标系中，，若平面内存在一动点C，使得四边形为对等四边形，求点C的运动轨迹构成的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围． 【答案】(1)D (2)在对等四边形中，对等对角线平分另一条对角线；证明见解析 (3)的轨迹是线段；或的轨迹是射线； 【分析】（1）根据对等四边形的定义结合平行四边形的性质可得结论； （2）先写出性质：在对等四边形中，对等对角线平分另一条对角线；再画图，结合定义与全等三角形的判定与性质可得结论； （3）分两种情况讨论：如图，当对角线为对等对角线时，如图，当为对等对角线时，再结合对等四边形的性质可得答案． 【详解】（1）解：根据对等四边形的定义可得： 平行四边形是对等四边形；其余选项的四边形都不是对等四边形； （2）解：在对等四边形中，对等对角线平分另一条对角线； 已知四边形是对等四边形，对等对角线为，； 求证：； 证明：如图，过作于，过作于， ∴， ∵，    ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：如图，当对角线为对等对角线时，    ∵，，， ∴在直线上， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线为：， 当时，， 解得：， ∴此时的横坐标范围为； 如图，当为对等对角线时， 由（2）可得，平分，    ∴过的中点， 同理可得：直线为：， ∴的轨迹是射线； 【点睛】本题考查的是新定义的含义，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，一次函数的几何应用，点的轨迹问题，难度较大，理解新定义是含义是解本题的关键． 57．定义：若四边形有一组对角互补，有一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形定义为“郡外四边形”．    (1)如下：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形，一定是“郡外四边形”的是：______． (2)如图点P是正方形对角线上一点，点O是线段中点，点E是射线上一点，且，连接． ①如图1，当点P在线段上时，求证：四边形为“郡外四边形”； ②如图2，当点P在线段上时，试用等式来表示的数量关系，并证明． 【答案】(1)正方形 (2)①见解析；② 【分析】（1）根据“郡外四边形”定义求解即可； （2）①通过证明可得，由得出，证出即可；②从两方面分析：当点E与点C重合时，点P恰好在中点处，此时，；当点E在的延长线上时，连接，由，得，由正方形性质可得，利用勾股定理即可证明． 【详解】（1）解：平行四边形：相等邻边的夹角不是直角，故平行四边形不是“郡外四边形”； 矩形：没有一组邻边相等，故矩形不是“郡外四边形”； 菱形：相等邻边的夹角不是直角，故菱形不是“郡外四边形”； 正方形：有一组对角互补，有一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，故正方形是“郡外四边形”； （2）证明：①∵四边形是正方形，是对角线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由四边形内角和为， ∴， ∵， ∴， ∴且， ∴四边形为“郡外四边形”； 证明：② ； ∵四边形是正方形，是对角线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （i）当点E与点C重合时，点P恰好在中点处，此时，， 则由勾股定理有：； （ii）当点E在的延长线上时，如图，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 连接，如图，    ∵且， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴在中，， ∴， ∵， ∴； 综上，有． 【点睛】本题是四边形的综合问题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，等边对等角，灵活运用这些性质是解题的关键． 覆盖二十 四边形的函数新定义 58．定义：对于给定的一次函数（，、为常数），把形如（，、为常数）的函数称为一次函数的“关联”函数，已知平行四边形的顶点坐标分别为． (1)若点分别在一次函数的关联函数图象上，则__________；__________． (2)点在函数的“关联”函数图象上，求的值． (3)一次函数（，、为常数），其中、满足． ①请问一次函数的图象是否经过某个定点，若经过，请求出定点坐标；若不经过，请说明理由； ②一次函数（，、为常数）的“关联”函数图象与恰好有两个交点，求的取值范围． 【答案】(1)3，5 (2)3或 (3)①经过定点，定点坐标为；②当或且时，“关联”函数图象恰好与有两个交点 【分析】本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的图象和性质、函数图象上点的坐标特点等知识，正确理解题意、灵活应用数形结合思想是解题的关键． （1）根据“关联”函数的定义求解即可； （2）分与两种情况，将点G的坐标代入函数关系式求解即可； （3）①由已知条件可将函数关系式变形为，可得结论； ②“关联”函数图象经过点A时，与平行四边形有三个交点，当“关联”函数图象经过点时，与平行四边形有三个交点；分别求得相应的b的值，即可求解． 【详解】（1）解：∵点、在一次函数的“关联”函数图象上，且， ， 故答案为：3，5； （2）解：∵点在函数的“关联”函数图象上， 当时，，解得：， 当时，，解得：，综上所述，的值为3或； （3）解：①经过定点： ， ， 代入得：， 当时，； ∴一次函数的图象过定点，定点坐标为； ②由①可知：一次函数的“关联”函数图象经过定点和， ， 且点在内，设一次函数的“关联”图象与轴的交点为， 点沿轴向上平移过程中，当“关联”函数图象经过点时，与有三个交点， 将代入，解得：， 时，“关联”函数图象恰好与有两个交点，符合题意； 点沿轴继续向上平移，当“关联”函数图象经过点时，与有三个交点， 且时，“关联”函数图象恰好与有两个交点，符合题意； ∴当或且时，“关联”函数图象恰好与有两个交点． 59．定义：对于给定的一次函数（，，为常数），把形如（，，为常数）的函数称为一次函数（，，为常数）的“沉毅函数”．例如：一次函数，它的“沉毅函数”为． (1)若点在一次函数的“沉毅函数”图象上，求的值； (2)如图，平行四边形的顶点坐标分别为，，，，一次函数（，，为常数）的“沉毅函数”图象与平行四边形交于M，N，P，Q四点，其中点坐标是，，的横坐标分别为，，请求出的值； (3)一次函数：（，，为常数），其中，满足． （ⅰ）若有另一个一次函数（），设函数，，函数的最大值为8，求的值； （ⅱ）当时，在平面直角坐标系中，已知，，点在轴上，点在的“沉毅函数”图象上，是否存在以E，F，G，H为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出，两点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)5 (2)3 (3)（ⅰ）或；（ⅱ）存在，或或或 【分析】本题主要考查一次函数的基本性质，利用平行四边形的性质求解，理解新定义“沉毅函数”，进行分情况分析是解题关键． （1）根据题意确定，然后将点E代入求解即可； （2）根据题意整理得，然后代入一次函数（，，为常数）的“沉毅函数”，确定点M和N的纵坐标分别为3和1，确定其横坐标为，即可求解； （3）（ⅰ）根据题意确定，分别代入两个一次函数得出，然后分两种情况分析：当时，即时，当时，即时，结合一次函数的性质求解即可； （ⅱ）根据题意确定，得出的“沉毅函数”为，然后分两种情况分析：当以为边，当以为对角线时，分别利用平行四边形的性质列出方程组求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数为“沉毅函数”， ∴， 将点代入得：； （2）根据题意得：点坐标在上， ∴， ∴， ∴一次函数（，，为常数）的“沉毅函数”为：， ∵，，，， ∴点M和N的纵坐标分别为3和1， ∴当时，解得， ∴； 当时，解得， ∴； ∴， ∴； （3）（ⅰ）∵， ∴， ∴，， ∴， 当时，即时，y随x的增大而增大， ∵，函数的最大值为8， ∴当时，， 代入得：，解得：； 当时，即时，y随x的增大而减小， ∵，函数的最大值为8， ∴当时，， 代入得：，解得：； 综上可得：或； （ⅱ）根据题意，联立得：， 解得：， ∴， ∴的“沉毅函数”为， 当以为边，当点H在上时， 设， ∵，， ∴，解得， ∴； 当点H在上时，同理得：； 当以为对角线时，点H在上时， ∴，解得， ∴； 当点H在上时，同理得：； 综上可得：或或或 ． 60．定义：对于一个函数，当它的自变量x与函数值y满足时，有，我们就称此函数是在范围内的“标准函数”．例如：函数y＝－x＋4，当x＝1时，y＝3；当x＝3时，y＝1，即当时，有，所以函数y＝－x＋4是在范围内的“标准函数”． (1)正比例函数y＝x是在范围内的“标准函数”吗？请判断并说明理由． (2)若一次函数y＝kx＋b（k，b是常数，）是在范围内的“标准函数”，求此一次函数的解析式． (3)如图，矩形ABCD的边AB＝2，BC＝1，且点B的坐标为（2，2），若一次函数y＝ax＋h（a，h是常数，）是在范围内的“标准函数”，当一次函数y＝ax＋h与矩形ABCD有交点时，求m＋n的取值范围． 【答案】(1)正比例函数y=x是在[1，2022]范围内的“标准函数”，理由见解析 (2)y=x或y=-x+8； (3)4≤m+n≤7 【分析】（1）根据“标准函数”的定义，找出当x=1时，y=1；当x=2022时，y=2022．由此即可得出函数y=x是在[1，2022]范围内的“标准函数”； （2）分k>0和k<0两种情况考虑，根据“标准函数”的定义，即可得出关于k、b的二元一次方程组，解方程组即可求出k、b的值，从而得出函数解析式； （3）根据“标准函数”的定义，求出一次函数的解析式，根据矩形的性质结合AB＝2，BC＝1，且点B的坐标为（2，2），即可得出点D的坐标，分别代入B、D点的坐标，即可得出直线y=ax+h与矩形ABCD有公共点时，m+n的取值范围，由此即可得出结论． 【详解】（1）解：正比例函数y=x是在[1，2022]范围内的“标准函数”，理由如下： 当x=1时，y=1；当x=2022时，y=2022．即当1≤x≤2022时，有1≤y≤2022， ∴函数y=x是在[1，2022]范围内的“标准函数”； （2）解：当k>0时，y随x的增大而增大， ∴当x=2时，y=2，当x=6时，y=6， 即，解得：， ∴此时函数的解析式为y=x； 当k<0时，y随x的增大而减小， ∴当x=2时，y=6，当x=6时，y=2， 即，解得：， ∴此时函数的解析式为y=-x+8． 综上所述：若一次函数是在[2，6]范围内的“标准函数”，则该函数的解析式为y=x或y=-x+8； （3）解：∵一次函数是在[m，n]范围的“标准函数”， ∴y随x的增大而减小， ∴当x=m时，y=n，当x=n时，y=m， ∴，解得：a=-1， ∴h=m+n， ∴一次函数的解析式为y=-x+（m+n）． ∵矩形ABCD的边AB＝2，BC＝1， ∴AD∥BC，CD=AB=2， ∵点B的坐标为（2，2）， ∴点C（3，2）， ∴D点的坐标为（3，4）， 当点B在该一次函数图象上时，有2=-2+（m+n），解得：m+n=4； 当点D在该一次函数图象上时，有4=-3+（m+n），解得：m+n=7． ∴当直线y=ax+h与矩形ABCD有公共点时，m+n的取值范围为4≤m+n≤7． 【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质、解二元一次方程组、矩形的性质以及一次函数的图象，解题的关键是理解“标准函数”的定义，一次函数的图象和性质，矩形的性质． 覆盖二十一 无刻度尺作图 61．“无刻度直尺”是尺规作图的工具之一，它的作用在于连接任意两点、作任意直线、延长任意线段等．结合图形的性质，只利用无刻度直尺也可以解决一些几何作图问题．请仅用无刻度的直尺进行以下作图： (1)如图1，菱形中，分别是中点，以为边作一个矩形；（保留作图痕迹，不写作法） (2)如图2，菱形中，是对角线上一点，以为边作一个菱形；（保留作图痕迹，不写作法） (3)如图3，平行四边形中，点分别是边上一点，且满足．连接，请过点作的垂线，垂足为．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)见解析． 【分析】（1）根据菱形的性质和三角形中位线定理作图即可； （2）根据菱形的中心对称性作图即可； （3）连接，交于，作直线交于，连接交于，于点． 【详解】（1）解：如图，四边形即为所求． （2）解：如图，四边形即为所求． （3）解：如图为的垂线，垂足为． 证明：∵， ∴， ∵平行四边形， ∴， ∴， ∴， 在和， ， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴． 62．探究活动：等积变形 【问题情境】如图1，已知直线，点、在直线上，点在直线上，那么图中与面积相等的三角形是___________． 【问题探究】在由边长为1的小正方形构成的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点． 如图2，已知在的网格图形中，四边形的顶点都在格点上， 求作格点，使．（仅利用无刻度直尺作图，保留作图痕迹并写出结论） 【问题拓展】如图3，已知平行四边形是边的中点，求作一点，使．（仅利用无刻度直尺作图，保留作图痕迹并写出结论）． 【答案】问题情境：；问题探究：图见详解；问题拓展：图见详解 【分析】本题主要考查平行线的性质、平行四边形的性质与判定及作图，熟练掌握平行线的性质、平行四边形的性质与判定及作图是解题的关键； 问题情境：根据“平行线间的距离都相等”可进行求解； 问题探究：先得出四边形的面积，然后根据等积法可进行作图； 问题拓展：根据平行四边形的性质及全等三角形的性质与判定可进行作图． 【详解】解：问题情境：由可知：点到线段的距离都相等，且都以线段为底， ∴与面积相等的三角形是； 故答案为； 问题探究：由网格可知：， ∴， 所以所作如图所示： 问题拓展：所作如图所示： 分别连接并延长，交于点F、G，连接并延长，交于一点Q， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 同理可得：， ∴， ∴． 63．如图，已知四边形为菱形，点是边的中点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹． (1)在图1中作出边的中点； (2)在图2中作出矩形，使得点分别在边上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接菱形的对角线交于点，连接并延长与的交点即为点，根据菱形的性质得到，即可证明，则； （2）连接菱形的对角线交于点，连接并延长与交于点，连接与交于点，连接并延长交于点，连接并延长交于点，则四边形即为所求．首先由得到，同理，则四边形为平行四边形，由点分别为的中点可得，继而可证明四边形为平行四边形，则，由点为中点得到点为的重心，则点为中点，同理可得四边形为平行四边形，则，再由菱形的邻边得到，故四边形为矩形． 【详解】（1）解：如图1，点即为所求； （2）解：如图2，矩形即为所求； 学科网（北京）股份有限公司 $