精品解析：安徽亳州市蒙城县大兴中学2025--2026学年下学期九年级数学期中(沪科版)试题卷

九年级数学（沪科版） 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 二次函数的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵ ∴，，． 根据二次函数顶点坐标公式，可得： ，． ∴二次函数的顶点坐标为． 2. 下列各组数中，成比例的是（ ） A. 3，2，7，6 B. 3，5，1，10 C. 5，2，4，7 D. 2，6，1，3 【答案】D 【解析】 【分析】根据比例的性质，即最小的数和最大的数相乘与另外两个数相乘的积相等，即可判断． 【详解】解：A、，故不符合题意； B、，故不符合题意； C、，故不符合题意； D、，故符合题意； 3. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．若电流由减少至，则电阻的变化情况是（ ） A. 增大，增大了 B. 减小，减小了 C. 增大，增大了 D. 减小，减小了 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据题意得到反比例函数解析式是解题的关键，根据题意，由待定系数法求出反比例函数解析式，再根据反比例函数的性质进行计算即可得到答案． 【详解】解：设， 把代入，得：， 反比例函数的解析式为， 当时，， 当电流I从减少至时，电阻R增大了， 故选：A． 4. 若ac=bd(ac≠0)，则下列各式一定成立的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据比例的性质、合比性质，等式的性质对各选项逐一判断即可得答案. 【详解】A.转换为等积式是ad=bc，和已知不一致，故该选项不符合题意， B.，根据比例的基本性质得abd=acd，b=c，和已知不符合，故该选项不符合题意， C.若ac=bd，则，根据比例的合比性质，得，故该选项符合题意， D.若ac=bd，则，根据等式的性质得，故该选项不符合题意， 故选C. 【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例式和等积式的互相转化、合比性质及等式的性质是解题关键. 5. 下列说法正确的是（ ） A. 等腰三角形都是相似图形 B. 菱形都是相似图形 C. 各边对应成比例的多边形是相似多边形 D. 等边三角形都是相似三角形 【答案】D 【解析】 【分析】相似多边形的判定条件：对应角相等且对应边成比例的多边形是相似多边形，据此对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A选项，等腰三角形的顶角不一定相等，对应角不都相等，因此等腰三角形不都是相似图形，A错误 B选项，菱形的内角度数不一定相等，对应角不都相等，因此菱形不都是相似图形，B错误 C选项，该说法只满足各边对应成比例，缺少对应角相等的条件，例如边长相等的菱形和正方形，各边对应成比例但对应角不相等，不是相似多边形，因此C错误 D选项，等边三角形的三个内角都是，对应角相等，且三边都对应成比例，因此等边三角形都是相似三角形，D正确． 6. 第19届杭州亚运会的会徽“潮涌”将自然奇观与人文精神进行巧妙融合，其中浪潮设计借助了黄金分割比以给人协调的美感．如图，若点可看作是线段的黄金分割点（），，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】若点是线段的黄金分割点（），则有．列方程即可求解． 【详解】解：设的长为，， 根据黄金分割的定义，得， 化简，整理得， 解得或（不符合题意，舍去） 即的长是． 7. 如图是一架梯子的示意图，其中，且，为使其更稳固，在A，间加绑一条安全绳（线段），量得，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵，且，， ∴， ∴， 故选：B ． 8. 在同一直角坐标系中，函数和的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据一次函数的图象排除B、C，再根据一次函数与反比例函数图象分析A、D即可． 【详解】解：∵， ∴一次函数的图象与y轴交于正半轴，B、C错误； A．由一次函数的图象可知，即，反比例函数图象应经过一、三象限，符合选项图象； D．由一次函数的图象可知，即，反比例函数图象应经过二、四象限，不符合选项图象． 9. 如图，已知抛物线的对称轴是，直线轴，且交抛物线于点，下列结论错误的是（ ） A. B. 若实数，则 C. D. 当时， 【答案】C 【解析】 【分析】先根据抛物线对称轴求出，再由抛物线开口向上，得到，则由此即可判断A；根据抛物线开口向上在对称轴处取得最小值即可判断B；根据当时，，即可判断C；根据时，直线l与抛物线的两个交点分别在y轴的两侧，即可判断D． 【详解】解：∵抛物线的对称轴是， ∴， ∴， ∵抛物线开口向上， ∴， ∴， ∴，故A说法正确，不符合题意； ∵抛物线开口向下，抛物线对称轴为直线x=-1， ∴当x=-1时，， ∴当实数，则， ∴当实数时，，故B说法正确，不符合题意； ∵当时，， ∴a+2a-2＜0，即3a-2＜0，故C说法错误，符合题意； ∵， ∴直线l与抛物线的两个交点分别在y轴的两侧， ∴，故D说法正确，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查了根据二次函数的图象去判断式子符号，二次函数的系数与图象之间的关系等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． 10. 如图，要判定与相似，欲添加一个条件，下列可行的条件有（ ） ①；②；③；④；⑤． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】由∠A=△A,得出要判定△ABC与△AED相似,根据有两边对应成比例,且夹角相等的两三角形相似得出只要具备条件或即可;或根据有两角对应相等的两三角形相 似,判断即可. 【详解】解：由∠A=△A,得出要判定△ABC与△AED相似,根据有两边对应成比例,且夹角相等的两三角形相似得出只要具备条件或即可; ,, ,, ,故①正确； ,故②正确； ,故③错误； ∠BED+∠C=， ∠B+∠EDC=， ∠ADE+∠EDC=, ∠B=∠ADE,∠A=∠A, △AED∽ACB,故④正确； ∠A=∠A,∠BED=∠C,不能推出两三角形相似，故⑤错误； 即正确的有①②④，共三个， 故选C. 【点睛】本题主要考查三角形相似的判定方法． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 已知三条线段a，b，c，其中b是a，c的比例中项，如果，，则b的值为______． 【答案】12 【解析】 【分析】根据比例中项的定义可得，代入，的值计算，结合线段长度为正，即可得到的值． 【详解】解：线段是，的比例中项 将，代入得 线段长度为正数 12. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A的坐标为，与反比例函数的图象交于点C，D，则k的值为______． 【答案】6 【解析】 【分析】分别过点A和点C作y轴的垂线，垂足分别为F、E，证明得到，则，可知k的值． 【详解】解：如图所示，分别过点A和点C作y轴的垂线，垂足分别为F、E， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点C在反比例函数的图象上， ∴． 13. 如图，在中，是边上的中线，点F是边上的一点，且，过点F作，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例得到，即，根据中线的定义得到，即可求出的值． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵是边上的中线， ∴， ∴． 14. 已知抛物线与直线相交于点A，B． （1）若点A的横坐标为，则点A的纵坐标为______； （2）当时，若抛物线与直线存在交点，则a的取值范围是______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）利用交点既在抛物线上又在直线上，将横坐标代入抛物线解析式和直线中，列出方程，求出纵坐标； （2）将代入抛物线和直线中，可得此时，结合二次函数的图像及性质可知，当时，，从而求出解参数的取值范围． 【详解】（1）∵抛物线与直线相交于点A，B， ∴当时，，解得， ∴点A的纵坐标为； （2）当时，，， ∴，∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴若抛物线与直线在上存在交点，则当时，， ∴，解得， ∵，即，故答案为：． 【点睛】本题是二次函数与一次函数交点的综合题，考查函数交点的坐标特征，二次函数的图形及性质，数形结合即可求出的取值范围． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 利用比例的基本性质求的值． （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】根据比例的基本性质，两个外项与的积等于两个内项与的积，可得方程，求解即可； 由比例的基本性质可得，对方程求解即可. 【详解】（1） ，即，解得． （2） ，即，解得． 【点睛】本题考查了比例的基本性质，根据比例的基本性质将比例转化为方程进行计算是解题的关键. 16. 如图，在平行四边形ABCD中，点E为边BC上一点，连接AE并延长AE交DC的延长线于点M，交BD于点G，过点G作GF∥BC交DC于点F． 求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】由GF∥BC，根据平行线分线段成比例定理，可得，又由四边形ABCD是平行四边形，可得AB=CD，AB∥CD，继而可证得，则可证得结论． 【详解】证明：∵GF∥BC， ∴， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AB∥CD， ∴， ∴． 点评：此题考查了平行分线段成比例定理以及平行四边形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 已知二次函数． （1）求该函数图象的对称轴； （2）当时，点，在该函数图象上，比较m，n的大小并说明理由． 【答案】（1）； （2），理由见解析． 【解析】 【分析】（1）根据对称轴公式计算即可； （2）先求出m、n的值，进而根据作差法比较即可． 【小问1详解】 解：∵二次函数， ∴二次函数的对称轴为直线； 【小问2详解】 解：，理由如下： ∵点，在该函数图象上， ∴，， 则， ∵， ∴， 即． 18. 已知a，b，c是的三边长，且． （1）求的值； （2）若中a的长度为18，求的周长． 【答案】（1） （2）39 【解析】 【分析】（1）由题意可设，，，其中，结合题意代入计算即可求解； （2）根据题意得到，可算出的值，再根据周长的计算即可求解． 【小问1详解】 解：由题意可设，，，其中， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）得， ∴， ∴，， ∴的周长为． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，已知格点和（顶点均为网格线的交点）． （1）判断和是否相似，并说明理由； （2）在上找一点F，使得． 【答案】（1）和相似，见解析 （2）见详解 【解析】 【分析】（1）结合图形及勾股定理确定，的长度，进而可得，即可得解； （2）取格点，连接，易得，结合即可证明． 【小问1详解】 解：和相似，理由如下： 根据图形可知，， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 如下图，点即为所求： 理由如下：连接， ∵， ∴， 又∵， ∴． 20. 如图，在中，点D，E分别为，边上的点，连接并延长交于点F，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析； （2）20． 【解析】 【分析】（1）过点A作交BC于点M，根据平行线分线段成比例得到，，根据可知； （2）根据得到，由（1）得，根据得到，即可求出的长． 【小问1详解】 证明：过点A作交BC于点M， ∵， ∴，， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 由（1）得， ∵， ∴， ∴． 21. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于点A，B，交反比例函数的图象于点． （1）求反比例函数的表达式； （2）已知抛物线经过点B． ①求抛物线与x轴的交点个数； ②该抛物线与反比例函数的图象交于点，求代数式的值． 【答案】（1）； （2）①该抛物线与x轴有两个交点；． 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法求函数解析式即可； （2）①先求出抛物线的解析式，利用二次函数与一元二次方程的关系和根的判别式解题即可；②由题意可得，然后代入计算即可． 【小问1详解】 解：∵点在直线上， ∴，解得，则． ∴． ∵点在反比例函数图象上， ∴，解得． ∴反比例函数的表达式为． 【小问2详解】 解：①直线交y轴于点B， ∴点B的坐标为， 将代入中，解得， ∴二次函数的表达式为， ， ∴该抛物线与x轴有两个交点； ②根据题意可知，n是方程的解， ∴， 去分母得， 整理得， ∴． 22. 四边形为平行四边形，点和点分别为边，的中点，连接、，交对角线于点． （1）若，求的长； （2）如果，求证：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据三角形中位线定理得，由平行线分线段成比例定理得，继而得到，根据平行四边形性质得，推出，可得结论； （2）根据中点的定义及已知得，由（1）知，推出，即可得证． 【小问1详解】 解：如图，连接交于点， ∵点和点分别为边，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形，， ∴， ∴， ∴的长为； 【小问2详解】 证明：∵为边的中点， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查三角形中位线定理，平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定等知识点．掌握平行线分线段成比例定理和相似三角形的判定是解题的关键． 23. 2025年春节，随着电影《哪吒2》的爆火，某超市计划购进“哪吒”和“敖丙”两款手办进行销售．经了解每个“哪吒”手办的进价比每个“敖丙”手办的进价多10元，用720元购进“哪吒”手办的个数与用540元购进“敖丙”手办的个数相同． （1）单个“哪吒”手办和单个“敖丙”手办的进价分别是多少元？ （2）该超市发现每个“哪吒”手办的售价为52元时，可卖出180个，每增加1元，销量将减少10个．超市要求利润率不低于且不高于．问超市应如何定价才能获得最大利润，最大利润是多少元？ 【答案】（1）单个“敖丙”手办的进价是30元，单个“哪吒”手办的进价是40元 （2）“哪吒”手办定价56元时，才能获得最大利润，最大利润为2240元 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，二次函数的应用，根据等量关系列出方程，函数解析式，是解题的关键． （1）设单个“敖丙”手办的进价是元，则单个“哪吒”手办的进价是元，根据用720元购进“哪吒”手办的个数与用540元购进“敖丙”手办的个数相同，得出答案即可； （2）设单个“哪吒”手办的定价是元，总利润为w元，列出函数解析式，根据二次函数的最值进行求解即可． 【小问1详解】 解：设单个“敖丙”手办的进价是元，则单个“哪吒”手办的进价是元，根据题意得： ， 解得：， 经检验是原方程的解，且符合题意， ， 单个“敖丙”手办的进价是30元，单个“哪吒”手办的进价是40元； 【小问2详解】 解：设单个“哪吒”手办的定价是元，总利润为w元，根据题意得， ， 又利润率不低于且不高于， ， ， ， 在对称轴右侧随的增大而减小， 时，元， “哪吒”手办定价56元时，才能获得最大利润，最大利润为2240元． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学（沪科版） 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 二次函数的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数中，成比例的是（ ） A. 3，2，7，6 B. 3，5，1，10 C. 5，2，4，7 D. 2，6，1，3 3. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．若电流由减少至，则电阻的变化情况是（ ） A. 增大，增大了 B. 减小，减小了 C. 增大，增大了 D. 减小，减小了 4. 若ac=bd(ac≠0)，则下列各式一定成立的是( ) A. B. C. D. 5. 下列说法正确的是（ ） A. 等腰三角形都是相似图形 B. 菱形都是相似图形 C. 各边对应成比例的多边形是相似多边形 D. 等边三角形都是相似三角形 6. 第19届杭州亚运会的会徽“潮涌”将自然奇观与人文精神进行巧妙融合，其中浪潮设计借助了黄金分割比以给人协调的美感．如图，若点可看作是线段的黄金分割点（），，则的长是（ ） A. B. C. D. 7. 如图是一架梯子的示意图，其中，且，为使其更稳固，在A，间加绑一条安全绳（线段），量得，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 在同一直角坐标系中，函数和的图象大致是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，已知抛物线的对称轴是，直线轴，且交抛物线于点，下列结论错误的是（ ） A. B. 若实数，则 C. D. 当时， 10. 如图，要判定与相似，欲添加一个条件，下列可行的条件有（ ） ①；②；③；④；⑤． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 已知三条线段a，b，c，其中b是a，c的比例中项，如果，，则b的值为______． 12. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A的坐标为，与反比例函数的图象交于点C，D，则k的值为______． 13. 如图，在中，是边上的中线，点F是边上的一点，且，过点F作，那么______． 14. 已知抛物线与直线相交于点A，B． （1）若点A的横坐标为，则点A的纵坐标为______； （2）当时，若抛物线与直线存在交点，则a的取值范围是______． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 利用比例的基本性质求的值． （1）． （2）． 16. 如图，在平行四边形ABCD中，点E为边BC上一点，连接AE并延长AE交DC的延长线于点M，交BD于点G，过点G作GF∥BC交DC于点F． 求证：． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 已知二次函数． （1）求该函数图象的对称轴； （2）当时，点，在该函数图象上，比较m，n的大小并说明理由． 18. 已知a，b，c是的三边长，且． （1）求的值； （2）若中a的长度为18，求的周长． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，已知格点和（顶点均为网格线的交点）． （1）判断和是否相似，并说明理由； （2）在上找一点F，使得． 20. 如图，在中，点D，E分别为，边上的点，连接并延长交于点F，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 21. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于点A，B，交反比例函数的图象于点． （1）求反比例函数的表达式； （2）已知抛物线经过点B． ①求抛物线与x轴的交点个数； ②该抛物线与反比例函数的图象交于点，求代数式的值． 22. 四边形为平行四边形，点和点分别为边，的中点，连接、，交对角线于点． （1）若，求的长； （2）如果，求证：． 23. 2025年春节，随着电影《哪吒2》的爆火，某超市计划购进“哪吒”和“敖丙”两款手办进行销售．经了解每个“哪吒”手办的进价比每个“敖丙”手办的进价多10元，用720元购进“哪吒”手办的个数与用540元购进“敖丙”手办的个数相同． （1）单个“哪吒”手办和单个“敖丙”手办的进价分别是多少元？ （2）该超市发现每个“哪吒”手办的售价为52元时，可卖出180个，每增加1元，销量将减少10个．超市要求利润率不低于且不高于．问超市应如何定价才能获得最大利润，最大利润是多少元？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $