精品解析：山西晋中市太谷区明星镇中学校2025-2026学年下学期四月学情自测卷 八年级数学

2025—2026学年下学期四月学情自测卷 八年级数学 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列食品标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C．不是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D．是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意． 2. 下列多项式中，不能用平方差公式分解因式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】平方差公式为．能用平方差公式分解因式的多项式需满足是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反，据此逐一判断各选项即可． 【详解】解：∵选项A：，符合平方差公式的使用条件，能用平方差公式分解，不符合题意； ∵选项B：，两项符号相同，不符合平方差公式的使用条件，不能用平方差公式分解，符合题意； ∵选项C：，符合平方差公式的使用条件，能用平方差公式分解，不符合题意； ∵选项D：是两个平方项且符号相反，符合平方差公式的使用条件，能用平方差公式分解，不符合题意； 3. 牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一”．用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角”时，应先假设（ ） A. 一个三角形中有两个角是直角 B. 一个三角形中有两个角是钝角 C. 一个三角形中有两个角是锐角 D. 一个三角形中有一个角是直角 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答． 【详解】解：用反证法证明：“三角形中不能两个直角”时， 第一步先假设三角形中有两个内角是直角， 故选：A． 4. 已知，则一定有，“□”中应填的符号是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查不等式的基本性质，掌握不等式两边乘或除以同一个负数，不等号方向改变的性质，逐步化简原不等式即可得到结果． 【详解】解：∵ 不等式两边同时减去 ，得 不等式两边同时除以，根据不等式性质，除以负数时不等号方向改变，得 ∴ “□”中应填． 5. 在平面直角坐标系中，点先向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度得到，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的平移规律，平移规律为横坐标左移减右移加，纵坐标上移加下移减，根据规律计算即可得到结果． 【详解】解：∵点先向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度得到． ∴的横坐标为，纵坐标为． ∴的坐标为． 6. 若，，则的值为（ ） A. 8 B. 15 C. 25 D. 45 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查提公因式因式分解和代数式整体代入求值，先对所求多项式因式分解，再代入已知条件计算即可． 【详解】解： 又， 代入得 因此原式的值为． 7. 下列说法错误的是（ ） A. 等腰三角形底边上的高所在的直线是底边的垂直平分线 B. 两组边对应相等的两个直角三角形全等 C. 如果等腰三角形的底角为，那么腰上的高是腰长的一半 D. 有一个角等于的三角形是等边三角形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形性质、直角三角形全等判定、含30°角的直角三角形性质和等边三角形的判定，逐一判断各选项正误即可得到答案． 【详解】解：选项A：∵等腰三角形三线合一，底边上的高平分底边， ∴等腰三角形底边上的高所在直线是底边的垂直平分线，A说法正确． 选项B：∵两组边对应相等的两个直角三角形，若为两条直角边可利用判定全等，若为斜边和一条直角边可利用判定全等， ∴B说法正确． 选项C：∵等腰三角形底角为， ∴顶角为，腰上的高在三角形外部，可得高与另一腰的延长线围成的直角三角形中，锐角为， ∵直角三角形中，角对的直角边是斜边的一半， ∴腰上的高是腰长的一半，C说法正确． 选项D：只有一个角等于的等腰三角形才是等边三角形，任意一个有一个角为的三角形不一定是等边三角形，因此D说法错误． 8. 如图，是由绕点顺时针旋转得到的，以下说法不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】旋转前后两个图形全等，对应顶点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的夹角等于旋转角．根据旋转的性质对各选项进行判断，即可解题． 【详解】解：由旋转的性质可知，，，，，， ∴A、B、C正确，不符合题意； 不一定成立，D符合题意． 9. 如图，直线与直线相交于点，与轴交于点，则关于的不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】先把代入求出k的值，再求出点B的坐标，然后结合图象求解即可． 【详解】解：把代入，得 ， 解得， ∴， 当时，， 解得， ∴， ∴由图象可知，关于的不等式组的解集是． 10. 如图，在平面直角坐标系中，点在轴上且，点的坐标，点、点在轴上，点，为轴上两个动点，且，所走路线最短，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取点，连接交轴于点，连接，证明四边形是平行四边形，得出，则，当所走路线最短时，点重合，进而求得直线解析式，令，即可得出的坐标，即可求解． 【详解】解：如图，取点，连接交轴于点，连接 ∵点的坐标， ∴ 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴ ∴ ∴所走路线最短时，点重合， ∵，则 设直线的解析式为 代入得 解得： ∴直线的解析式为 当时， 解得； ∴，即当所走路线最短，则点的坐标为 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 在平面直角坐标系中，四边形与四边形关于原点成中心对称，则点的对称点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据中心对称的性质，两个图形关于原点成中心对称时，对应点也关于原点成中心对称，利用关于原点对称的点的坐标特征即可求解． 【详解】解：四边形与四边形关于原点成中心对称， 点与点关于原点成中心对称． 关于原点成中心对称的点的横、纵坐标分别互为相反数． 点的坐标为， 点的坐标为． 12. 若多项式加上一个单项式______，使它可以利用完全平方公式因式分解． 【答案】或或 【解析】 【分析】分情况讨论待添加的单项式，使原式符合完全平方公式的形式，即可得到结果． 【详解】解：分情况讨论如下： ①若和为完全平方公式中的两个平方项， 由，，可得中间项为 ． 添加单项式后，可得： ， ，均可利用完全平方公式因式分解，符合要求； ②若为完全平方公式中的中间项，可得：， 添加单项式后，也可利用完全平方公式因式分解，符合要求． 13. 如图，将正方形先向下平移，再向右平移得到正方形，已知正方形的边长为，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意和平移的特点，可以写出和的长度，然后即可计算出阴影部分的面积． 【详解】解：根据平移可得，， 则图中阴影部分的面积为． 14. 某学校八年级同学到劳动基地进行实践活动，第一天的任务是用100斤黄豆磨豆浆．由于操作不熟练，开始的半小时只磨完9斤黄豆，基地要求完成全部任务的时间不超4小时，若设在剩余时间内每小时需磨完斤黄豆，则可列一元一次不等式为______． 【答案】 【解析】 【分析】设在剩余时间内每小时需磨完x斤黄豆，根据完成任务量大于或等于100列不等式求解即可． 【详解】解：设在剩余时间内每小时需磨完x斤黄豆， 依题意得：． 15. 如图，在中，，，将绕点逆时针旋转，得到，连接，则的长是______． 【答案】## 【解析】 【分析】由旋转的性质可知，，，故是等边三角形，可证明与全等，可得到， ，再证和是直角三角形，然后再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：在中，， 由勾股定理得， 连结，设与相交于点，如下图所示， 中，， 绕点逆时针旋转与重合， ， 又旋转角为 ， 是等边三角形 在与中， ， 在中， 在中， ，，， ∴ ∴ 三、解答题（本大题共8小题，共66分） 16. 分解因式（或利用因式分解计算）： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式 ； 【小问3详解】 解：原式 ； 【小问4详解】 解：原式 ． 17. 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【解析】 【分析】先分别解两个不等式，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则确定该不等式组的解集，然后把解集在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 解①得， 解②得， ∴不等式组的解集是 解集在数轴上表示，如图， 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．（每个方格的边长均为1个单位长度） （1）平移得到，若点的坐标为，画出，并写出点的坐标：______； （2）将绕点逆时针旋转，画出旋转后得到的． 【答案】（1），见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据平移后的坐标为，得到是一个向右平移3个单位长度，向下平移2个单位长度的平移变换，确定坐标后，画图即可； （2）根据旋转的性质，得，，，画图解答即可． 【小问1详解】 解：根据平移后的坐标为，得到是一个向右平移3个单位长度，向下平移2个单位长度的平移变换， 由，． 故，，画图如下： 则即为所求； 【小问2详解】 解：因为，，． 根据旋转的性质，得，，， 画图如下： 则即为所求． 19. 如图，将绕着点顺时针旋转得到，点恰好落在边上，和相交于点． （1）求证：； （2）过点作，垂足为，若，，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质，等边对等角，三角形内角和，证明即可； （2）由题意可知，，，得到，根据三角形的面积公式求解即可； 【小问1详解】 证明：将绕着点顺时针旋转得到， ，， ， ， ． 【小问2详解】 （2）由题意可知，，， ， ，， ， ． 20. 学校安排560名师生外出研学两天，旅游公司有A，B两种型号的大巴车，满载时乘载情况如下表所示： A型车（辆） B型车（辆） 可乘载人数（名） 3 4 335 5 2 325 （1）求A，B两种型号的大巴车满载时可乘载人数分别为多少： （2）公司现有A型和B型大巴车共12辆可以调配使用，已知每辆A型大巴车每天的租金600元，每辆B型大巴车每天的租金800元．当总租车费用最少时，求租了多少辆A型大巴车？ 【答案】（1）A型大巴车满载时可乘载45人，B型大巴车满载时可乘载50人 （2）总租车费用最少时，租了8辆型大巴车． 【解析】 【分析】（1）设A种型号的大巴车满载时可乘载x人，B种型号的大巴车满载时可乘载y人，根据题意建立二元一次方程组，解方程组，即可求解； （2）设当租了m辆A型大巴车时，总租车费用为w元，根据题意列出不等式，求得m的取值范围，再列出函数解析式，根据一次函数的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：设A种型号的大巴车满载时可乘载x人，B种型号的大巴车满载时可乘载y人， 根据题意列方程组： 解得： 答：A型车满载时可乘载45人，B型车满载时可乘载50人． 【小问2详解】 解：设租辆型车，则租辆型车． 由题意，得 解得： ∵为非负整数， ∴ 设总费用为元，由题意，得 ， 随增大而减小 当时，最小 答：总租车费用最少时，租了8辆型大巴车． 21. 如图，在中，，，的垂直平分线分别交，于点，． （1）求证：； （2）连接，请判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）等边三角形，理由见解析 【解析】 【分析】（1）连接，证明，根据直角三角形的性质，得，等量代换证明即可； （2）根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形证明即可； 【小问1详解】 证明：连接． 因为是的垂直平分线， 所以． 所以． 因为，， 所以． 所以． 所以． 所以． 【小问2详解】 解：是等边三角形．理由如下： 因为是的垂直平分线， 所以． 因为，， 所以． 所以． 又因为， 所以是等边三角形． 22. 数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释、如图1，有足够多的边长为的小正方形，长为、宽为的长方形以及边长为的大正方形． 利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释等式，例如图2可以解释乘法：，也可以解释因式分解：． （1）若用4个类材料围成图3的形状，设外围大正方形的边长为，内部小正方形的边长为，观察图案，指出下列关系式中正确的是（写出所有正确结论的序号）______． ①；②；③；④；⑤ （2）若取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为，在虚框中画出图形，并根据所画图形，将多项式分解因式为______． （3）若取其中的若干个（三种图形都要取到拼成一个长方形，使其面积为，则的值为______．（直接写出结果） 【答案】（1）①③④⑤ （2）见解析， （3）9或21或12 【解析】 【分析】（1）由图形可得，，然后逐项求解判断即可； （2）根据题意画出图形，然后根据所画图形因式分解； （3）根据题意分三种情况讨论，分别求解即可． 【小问1详解】 解：由图形可得，，，故①正确， ∴，故②错误； 由图形可得，，即，故③正确； ∵，， ∴，即，故④正确； ∵，即，故⑤正确． ∴正确的是①③④⑤； 【小问2详解】 解：由题意可得，图形如图所示， ∴； 【小问3详解】 解：由题意可得， ①当，， ②当，， ③当，． ∴的值为9或21或12． 23. 综合与实践 定义：如图1，点、把线段分割成，和，若以，，为边的三角形是一个直角三角形，则称点，是线段的勾股分割点． 【初步感知】 （1）已知点、是线段的勾股分割点，，，若，，则_______； 【深入探究】 （2）如图2，在等腰直角中，，，，为线段上两点，满足，求证：点，是线段的勾股分割点． 【拓展延伸】 （3）如图3，在等腰直角中，，，若点在线段上，点在线段的延长线上，满足，，请直接写出的长． 【答案】（1）13 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据勾股分割点的定义可知，以，，为边的三角形是一个直角三角形，且是斜边，，是直角边，于是直接利用勾股定理即可得解； （2）将绕点逆时针旋转得到，连接，首先可证明是直角三角形，然后利用可证得，于是可得，在中利用勾股定理即可得出结论； （3）将绕点逆时针旋转得到，连接，首先可证明是直角三角形，然后利用可证得，于是可得，在中利用勾股定理可得到一个关于的一元一次方程，解方程即可求解． 【小问1详解】 解：以，，为边的三角形是一个直角三角形，且，， 是斜边，，是直角边， ； 【小问2详解】 证明：， ， 又， ， 如图，将绕点逆时针旋转得到，连接， 由旋转的性质可知： ，，，， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 点，是线段的勾股分割点； 【小问3详解】 ， ， 又， ， ， 如图，将绕点逆时针旋转得到，连接， 由旋转的性质可知： ，，，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ， ， 解得：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年下学期四月学情自测卷 八年级数学 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列食品标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列多项式中，不能用平方差公式分解因式的是（ ） A. B. C. D. 3. 牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一”．用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角”时，应先假设（ ） A. 一个三角形中有两个角是直角 B. 一个三角形中有两个角是钝角 C. 一个三角形中有两个角是锐角 D. 一个三角形中有一个角是直角 4. 已知，则一定有，“□”中应填的符号是( ) A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，点先向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度得到，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 若，，则的值为（ ） A. 8 B. 15 C. 25 D. 45 7. 下列说法错误的是（ ） A. 等腰三角形底边上的高所在的直线是底边的垂直平分线 B. 两组边对应相等的两个直角三角形全等 C. 如果等腰三角形的底角为，那么腰上的高是腰长的一半 D. 有一个角等于的三角形是等边三角形 8. 如图，是由绕点顺时针旋转得到的，以下说法不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，直线与直线相交于点，与轴交于点，则关于的不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 或 10. 如图，在平面直角坐标系中，点在轴上且，点的坐标，点、点在轴上，点，为轴上两个动点，且，所走路线最短，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 在平面直角坐标系中，四边形与四边形关于原点成中心对称，则点的对称点的坐标是______． 12. 若多项式加上一个单项式______，使它可以利用完全平方公式因式分解． 13. 如图，将正方形先向下平移，再向右平移得到正方形，已知正方形的边长为，则图中阴影部分的面积为______． 14. 某学校八年级同学到劳动基地进行实践活动，第一天的任务是用100斤黄豆磨豆浆．由于操作不熟练，开始的半小时只磨完9斤黄豆，基地要求完成全部任务的时间不超4小时，若设在剩余时间内每小时需磨完斤黄豆，则可列一元一次不等式为______． 15. 如图，在中，，，将绕点逆时针旋转，得到，连接，则的长是______． 三、解答题（本大题共8小题，共66分） 16. 分解因式（或利用因式分解计算）： （1）； （2）； （3）； （4）． 17. 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．（每个方格的边长均为1个单位长度） （1）平移得到，若点的坐标为，画出，并写出点的坐标：______； （2）将绕点逆时针旋转，画出旋转后得到的． 19. 如图，将绕着点顺时针旋转得到，点恰好落在边上，和相交于点． （1）求证：； （2）过点作，垂足为，若，，求的面积． 20. 学校安排560名师生外出研学两天，旅游公司有A，B两种型号的大巴车，满载时乘载情况如下表所示： A型车（辆） B型车（辆） 可乘载人数（名） 3 4 335 5 2 325 （1）求A，B两种型号的大巴车满载时可乘载人数分别为多少： （2）公司现有A型和B型大巴车共12辆可以调配使用，已知每辆A型大巴车每天的租金600元，每辆B型大巴车每天的租金800元．当总租车费用最少时，求租了多少辆A型大巴车？ 21. 如图，在中，，，的垂直平分线分别交，于点，． （1）求证：； （2）连接，请判断的形状，并说明理由． 22. 数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释、如图1，有足够多的边长为的小正方形，长为、宽为的长方形以及边长为的大正方形． 利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释等式，例如图2可以解释乘法：，也可以解释因式分解：． （1）若用4个类材料围成图3的形状，设外围大正方形的边长为，内部小正方形的边长为，观察图案，指出下列关系式中正确的是（写出所有正确结论的序号）______． ①；②；③；④；⑤ （2）若取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为，在虚框中画出图形，并根据所画图形，将多项式分解因式为______． （3）若取其中的若干个（三种图形都要取到拼成一个长方形，使其面积为，则的值为______．（直接写出结果） 23. 综合与实践 定义：如图1，点、把线段分割成，和，若以，，为边的三角形是一个直角三角形，则称点，是线段的勾股分割点． 【初步感知】 （1）已知点、是线段的勾股分割点，，，若，，则_______； 【深入探究】 （2）如图2，在等腰直角中，，，，为线段上两点，满足，求证：点，是线段的勾股分割点． 【拓展延伸】 （3）如图3，在等腰直角中，，，若点在线段上，点在线段的延长线上，满足，，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $