精品解析：山西省太谷区部分学校2024-2025学年下学期期中测试八年级数学试卷

2024—2025学年八年级第二学期期中质量监测卷 数学 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分．） 1. 为培养学生利用现代信息技术解决数学问题的能力，某数学教研室在本学期组织辖区内初中生开展了“运用几何画板，探寻美丽的数学世界”比赛活动．下列图形是部分参赛作品，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 本题考查了中心对称图形，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：A．该图形不是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意； B．该图形是中心对称图形，故此选项合题意； C．该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； D．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 2. 如果，那么下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，理解性质是解题的关键．根据不等式的性质1，两边都加或减同一个数或减同一个整式，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，可得答案． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴A，B，C不符合题意； ∵， ∴，D符合题意； 故选：D． 3. 已知等腰三角形的一内角度数为，则它的顶角的度数为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，能对问题正确地进行分类讨论是解答此题的关键． 分成两种情况解答：顶角是或底角是，用三角形的内角和定理即可求出顶角的度数． 【详解】解：∵等腰三角形的一内角度数为， ∴可以是顶角也可以是底角， 若是底角， 则顶角为：， 综上可得：它的顶角的度数为或． 故选：D． 4. 如图，等边的顶点A、B分别在直线a，b上，且，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、三角形外角的定义及性质、平行线的性质等知识点，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 由平行线的性质可得，再根据等边三角形的性质结合三角形外角的定义及性质求解即可． 【详解】解：如图： ∵， ； ∵是等边三角形， ， ． 故选：A． 5. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，分别求出每个不等式的解集，在数轴上表示出来即可．解题的关键是掌握：①不等式的解集在数轴上表示的方法：“”空心圆点向右画折线，“”实心圆点向右画折线，“”空心圆点向左画折线，“”实心圆点向左画折线；②一元一次不等式组的解集确定的原则：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 【详解】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴不等式组的解集为， 在数轴上表示为： 故选：D． 6. 如图，线段的垂直平分线交于点D，，则的度数为（　　） A. 48° B. 96° C. 90° D. 84° 【答案】B 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据三角形的外角的性质计算即可． 【详解】∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， 故选B． 【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质和三角形的外角的性质，解题的关键是掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 7. 如图，一次函数y1＝x+3与y2＝ax+b的图象相交于点P（1，4），则关于x的不等式x+3≤ax+b的解集是（ ） A. x≥4 B. x≤4 C. x≥1 D. x≤1 【答案】D 【解析】 【详解】根据函数图像可得：当时，，即.故选D 考点：一次函数与不等式 8. 如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路、、两两相交围成的一块平地上修建一个度假村．要使这个度假村到三条公路的距离相等，应选择的位置是（ ） A. 各边垂直平分线的交点 B. 中线的交点 C. 高的交点 D. 内角平分线的交点 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了角平分线的性质的实际应用，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得度假村的修建位置在和的角平分线的交点处，即可得出答案． 【详解】解：要使这个度假村到三条公路的距离相等，则度假村应该修在内角平分线的交点处， 故选：D． 9. 如图，为钝角三角形，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接．若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查旋转性质，平行线的性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握旋转变换的性质． 利用旋转变换的性质以及三角形内角和定理求解． 【详解】解：由旋转变换的性质可知：，， ． 故选：D． 10. 如图，是的平分线，于，，，，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点D作交的延长线于点F，根据角的平分线的性质定理，三角形的面积公式解答即可． 本题考查了角的平分线的性质定理，三角形的面积，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：过点D作交的延长线于点F， ∵是的平分线，于，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴ 故选：D． 二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分）． 11. 不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，根据解一元一次不等式的步骤解答即可求解，掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 【详解】解：移项得，， 合并同类项得，， 系数化为得，， 故答案为：． 12. 某数学兴趣小组探究三角形的平移变化引出新的思考．现将两个全等的和重叠在一起，固定不变，将沿射线平移．若的周长为8，平移的距离为2，则四边形的周长______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查平移性质，根据平移性质得到，进而可求解． 【详解】解：∵沿方向平移的距离为2， ∴，， ∵的周长为8，即， ∴ ∴四边形的周长为， 故答案为：12． 13. 一部电梯的额定限载量为1000千克，工人师傅利用手推车将一批货物搬运到电梯里，然后从楼底运到楼顶，已知工人师傅的体重为60千克，手推车的质量为20千克，货物每箱的质量为50千克，则工人师傅每次最多只能搬运重物______箱． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 【详解】解：设可以搬运货物箱． 根据题意得，， 解得， 为正整数， 最大为． 故答案为：． 14. 如图，在 中， 是的垂直平分线，，的周长为，则 的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】由是的垂直平分线，可得，，的周长为，将代入，得，即可求出的周长． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ， ， 已知的周长为，即， 将 代入，得， 的周长． 15. 如图，在中，过点作，交于点．将绕点逆时针方向旋转，点的对应点落在边上，点对应点为，交于点．已知，，，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，过点D作于H，求出，则，由勾股定理可得，证明是等腰直角三角形，得到，则，求出，则，即可得到，由旋转的性质可得，则． 【详解】解：如图所示，过点D作于H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本题共8个小题，共75分） 16. 解不等式组，并把解集表示在数轴上． （1）； （2）． 【答案】（1）， 把解集表示在数轴上： （2）， 把解集表示在数轴上： 【解析】 【分析】本题考查了不等式组的解法，用数轴表示不等式的解集，解题关键是正确求解不等式组． （1）分别求得两个不等式的解集，再将解集表示在数轴上； （2）分别求得两个不等式的解集，再将解集表示在数轴上． 【小问1详解】 解： ， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集是． 【小问2详解】 ， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集是． 17. 下面是小明解不等式的过程： ①去分母，得， ②移项、合并同类项，得， ③两边都除以，得． 先阅读以上解题过程，然后解答下列问题． （1）小明的解题过程从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号 ； （2）错误的原因是 ； （3）第③步的依据是 ； （4）写出该不等式的正确解答过程． 【答案】（1）① （2）去分母时，不等式左边第二项没有乘2 （3）不等式的基本性质3 （4） 解：正确解答为： 去分母得：， 移项、合并得：， 系数化为1得：． 【解析】 【分析】（1）观察小明解题过程，找出错误的步骤即可； （2）分析错误的原因即可； （3）利用不等式的基本性质判断即可； （4）写出正确的解答即可． 【小问1详解】 解：小明的解题过程从第①步出现错误； 故答案为：①； 【小问2详解】 解：错误的原因是：去分母时，不等式左边第二项没有乘2； 故答案为：去分母时，不等式左边第二项没有乘2； 【小问3详解】 解：第③步的依据是不等式的基本性质3； 故答案为：不等式的基本性质3； 【小问4详解】 略 18. 如图，平面直角坐标系中，的顶点都在正方形（每个小正方形边长为单位）网格的格点上． （1）的形状是______（直接写答案）； （2）将向右平移个单位长度得，在坐标系中画出并求出这个变化过程中扫过的面积； （3）画出绕点逆时针时针旋转的． 【答案】（1）等腰直角三角形 （2）如图所示为所求，这个变化过程中扫过的面积为 （3） 如图所示为所求： 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，平移变换，旋转变换等知识点，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据勾股定理及其逆定理即可判断； （2）分别作出三个顶点的对应点，再顺次连接即可得到平移后的图形，再根据这个变化过程中扫过的面积，即可求解； （3）作出点、绕点逆时针时针旋转的对应点，再顺次连接即可． 【小问1详解】 解：，，， ，且， 是等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角三角形； 【小问2详解】 解：由（1）知是等腰直角三角形，且， 这个变化过程中扫过的面积； 【小问3详解】 略 19. 已知：如图，，，E，F是垂足，．求证：． 【答案】 证明： ∴在和中 即 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形的全等的条件，属于中考常考题型．证明得，进而可证． 【详解】略 20. 看电影已经成为人们在春节假期生活的新热潮.2022年春节电影总票房持续走高，其中《长津湖》《四海》和《奇迹》三部电影七天票房总额达到37亿元. （1）若《四海》的票房比《奇迹》的票房少2亿，《长津湖》的票房比《奇迹》的票房的3倍多4亿，求电影《长津湖》的票房； （2）若电影院票价每张60元，学生实行半价优惠.某学校计划用不超过1500元组织老师和学生共40名去电影院观看《长津湖》，问:至少组织多少名学生观看电影? 【答案】（1）25亿 （2）至少需要组织30名学生观看电影 【解析】 【分析】（1）设《奇迹》的票房为x亿；则《四海》的票房为（x-2）亿；《长津湖》的票房为(3x+4)亿，列方程即可求解． （2）设学生人数为m，则老师人数为（40-m）人，列出不等式即可求解． 【小问1详解】 解：设《奇迹》的票房为x亿；则《四海》的票房为（x-2）亿；《长津湖》的票房为(3x+4)亿． 由题意可得，x+x-2+3x+4＝37 解得：x＝7 所以《长津湖》的票房为3×7+4＝25亿 【小问2详解】 解：设学生人数为m人，则老师人数为（40-m）人． 由题意可得，m+60（40-m）≤1500 解得：m≥30 所以，至少需要组织30名学生观看电影． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用，根据题意正确列出方程和不等式是解题的关键． 21. 【新情境】 图1是一个平分角的仪器，其中，． （1）如图2，将仪器放置在上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边AB，AC上，沿AF画一条射线AP，交BC于点P．AP是的平分线吗？请判断并说明理由； （2）如图3，在（1）的条件下，过点P作于点Q，若，求的面积． 【答案】（1） 是的平分线， 理由如下： 在和中， ， ， 平分； （2）12 【解析】 【分析】本题主要考查三角形全等的判定方法及角平分线的性质，能够熟练运用角平分线的性质得到高的长度是解题关键； （1）利用证明来得到即可． （2）利用角平分线上的点到角两边的距离相等得到的高，再运用面积计算公式解题即可． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 解：过点作于点， 平分， ， ， ． 22. 阅读与思考 下面是小宇同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务． ×年×月×日 星期日 没有直角尺也能作出直角 今天，我在书店一本书上看到下面材料：木工师傅有一块如图①所示的四边形木板，他已经在木板上画出一条裁割线，现根据木板的情况，要过上的一点，作出的垂线，用锯子进行裁割，然而手头没有直角尺，怎么办呢？ 办法一：如图①，可利用一把有刻度的直尺在上量出，然后分别以，为圆心，以与为半径画圆弧，两弧相交于点，作直线，则必为． 办法二：如图②，可以取一根笔直的木棒，用铅笔在木棒上点出，两点，然后把木棒斜放在木板上，使点与点重合，用铅笔在木板上将点对应的位置标记为点，保持点不动，将木棒绕点旋转，使点落在上，在木板上将点对应的位置标记为点．然后将延长，在延长线上截取线段，得到点，作直线，则． 我有如下思考：以上两种办法依据的是什么数学原理呢？我还有什么办法不用直角尺也能作出垂线呢？ …… 任务： （1）填空；“办法一”依据的一个数学定理是_____________________________________； （2）根据“办法二”的操作过程，证明； （3）①尺规作图：请在图③的木板上，过点作出的垂线（在木板上保留作图痕迹，不写作法）； ②说明你的作法依据的数学定理或基本事实（写出一个即可） 【答案】（1）勾股定理的逆定理； （2）证明：由作图方法可知：，， ，． 又， ． ． 即． （3）①如图，直线即为所求； ②答案不唯一，如：三边分别相等的两个三角形全等（或）；等腰三角形顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线重合（或等腰三角形“三线合一”）；到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上等． 【解析】 【分析】（1）利用说明△DCE是直角三角形，说明，进而得出利用的原理是勾股定理逆定理即可； （2）由作图的方法可以得出：，，得出，，利用三角形内角和得出，即，说明垂直即可； （3）①以点为圆心，任意长为半径画弧，与有两个交点，分别以这两个交点为圆心，以大于这两个交点之间的距离的一半为半径画弧，这两段弧交于一点，连接即可； ②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，即可说明垂直． 【详解】（1）勾股定理的逆定理（或如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形）； （2）略 （3）解：①略 ②略 【点睛】本题主要考查了垂直的判定，熟练掌握说明垂直的方法是解决本题的关键． 23. 【问题提出】 （1）如图①，在中，，点为外一点，点为延长线上一点，点为线段上一点，于点M，于点，且．则线段，，之间满足的数量关系是_________； （2）如图②，已知等边三角形及外一点D，连接，，．若，试判断，，之间满足的数量关系，并说明理由； 【问题解决】 （3）如图③，在中，，点为外一点，且，，求的度数． 【答案】（1）； （2） ，理由如下： 如图（2），在上截取， 是等边三角形， ，， ， 为等边三角形， ，， ， ， ， 又， ； （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，证明，得，即可解决问题； （2）在上截取，根据等边三角形的判定与性质，证明，即可解答； （3）延长至点F，使，在上取点G，使，连接，，，证明，，即可解答． 【详解】解：（1）∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）略 （3）如图③，延长至点F，使，在上取点G，使，连接，，， ， 为等边三角形，， ，，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ，，， ， ， ，，， ， ， ． 【点睛】本题考查三角形的综合应用，主要考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年八年级第二学期期中质量监测卷 数学 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分．） 1. 为培养学生利用现代信息技术解决数学问题的能力，某数学教研室在本学期组织辖区内初中生开展了“运用几何画板，探寻美丽的数学世界”比赛活动．下列图形是部分参赛作品，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如果，那么下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知等腰三角形的一内角度数为，则它的顶角的度数为（ ） A. B. C. D. 或 4. 如图，等边的顶点A、B分别在直线a，b上，且，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，线段的垂直平分线交于点D，，则的度数为（　　） A. 48° B. 96° C. 90° D. 84° 7. 如图，一次函数y1＝x+3与y2＝ax+b的图象相交于点P（1，4），则关于x的不等式x+3≤ax+b的解集是（ ） A. x≥4 B. x≤4 C. x≥1 D. x≤1 8. 如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路、、两两相交围成的一块平地上修建一个度假村．要使这个度假村到三条公路的距离相等，应选择的位置是（ ） A. 各边垂直平分线的交点 B. 中线的交点 C. 高的交点 D. 内角平分线的交点 9. 如图，为钝角三角形，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接．若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，是的平分线，于，，，，则的长是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分）． 11. 不等式的解集为______． 12. 某数学兴趣小组探究三角形的平移变化引出新的思考．现将两个全等的和重叠在一起，固定不变，将沿射线平移．若的周长为8，平移的距离为2，则四边形的周长______． 13. 一部电梯的额定限载量为1000千克，工人师傅利用手推车将一批货物搬运到电梯里，然后从楼底运到楼顶，已知工人师傅的体重为60千克，手推车的质量为20千克，货物每箱的质量为50千克，则工人师傅每次最多只能搬运重物______箱． 14. 如图，在 中， 是的垂直平分线，，的周长为，则 的周长为______． 15. 如图，在中，过点作，交于点．将绕点逆时针方向旋转，点的对应点落在边上，点对应点为，交于点．已知，，，则______． 三、解答题（本题共8个小题，共75分） 16. 解不等式组，并把解集表示在数轴上． （1）； （2）． 17. 下面是小明解不等式的过程： ①去分母，得， ②移项、合并同类项，得， ③两边都除以，得． 先阅读以上解题过程，然后解答下列问题． （1）小明的解题过程从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号 ； （2）错误的原因是 ； （3）第③步的依据是 ； （4）写出该不等式的正确解答过程． 18. 如图，平面直角坐标系中，的顶点都在正方形（每个小正方形边长为单位）网格的格点上． （1）的形状是______（直接写答案）； （2）将向右平移个单位长度得，在坐标系中画出并求出这个变化过程中扫过的面积； （3）画出绕点逆时针时针旋转的． 19. 已知：如图，，，E，F是垂足，．求证：． 20. 看电影已经成为人们在春节假期生活的新热潮.2022年春节电影总票房持续走高，其中《长津湖》《四海》和《奇迹》三部电影七天票房总额达到37亿元. （1）若《四海》的票房比《奇迹》的票房少2亿，《长津湖》的票房比《奇迹》的票房的3倍多4亿，求电影《长津湖》的票房； （2）若电影院票价每张60元，学生实行半价优惠.某学校计划用不超过1500元组织老师和学生共40名去电影院观看《长津湖》，问:至少组织多少名学生观看电影? 21. 【新情境】 图1是一个平分角的仪器，其中，． （1）如图2，将仪器放置在上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边AB，AC上，沿AF画一条射线AP，交BC于点P．AP是的平分线吗？请判断并说明理由； （2）如图3，在（1）的条件下，过点P作于点Q，若，求的面积． 22. 阅读与思考 下面是小宇同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务． ×年×月×日 星期日 没有直角尺也能作出直角 今天，我在书店一本书上看到下面材料：木工师傅有一块如图①所示的四边形木板，他已经在木板上画出一条裁割线，现根据木板的情况，要过上的一点，作出的垂线，用锯子进行裁割，然而手头没有直角尺，怎么办呢？ 办法一：如图①，可利用一把有刻度的直尺在上量出，然后分别以，为圆心，以与为半径画圆弧，两弧相交于点，作直线，则必为． 办法二：如图②，可以取一根笔直的木棒，用铅笔在木棒上点出，两点，然后把木棒斜放在木板上，使点与点重合，用铅笔在木板上将点对应的位置标记为点，保持点不动，将木棒绕点旋转，使点落在上，在木板上将点对应的位置标记为点．然后将延长，在延长线上截取线段，得到点，作直线，则． 我有如下思考：以上两种办法依据的是什么数学原理呢？我还有什么办法不用直角尺也能作出垂线呢？ …… 任务： （1）填空；“办法一”依据的一个数学定理是_____________________________________； （2）根据“办法二”的操作过程，证明； （3）①尺规作图：请在图③的木板上，过点作出的垂线（在木板上保留作图痕迹，不写作法）； ②说明你的作法依据的数学定理或基本事实（写出一个即可） 23. 【问题提出】 （1）如图①，在中，，点为外一点，点为延长线上一点，点为线段上一点，于点M，于点，且．则线段，，之间满足的数量关系是_________； （2）如图②，已知等边三角形及外一点D，连接，，．若，试判断，，之间满足的数量关系，并说明理由； 【问题解决】 （3）如图③，在中，，点为外一点，且，，求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $